2009年高考数学(安徽)文(word版含答案)

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2013年高考数学安徽文(word版含答案)

2013安徽高考文数解析一、选择题1.设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（）（A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）32.已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R A B =ð（）（A ）{}2,1-- （B ）{}2- （C ）{}1,0,1-（D ）{}0,13.如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）（A ）34(B)16 (C)1112(D)25244.“(21)0x x -=”是“0x =”的（）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（） (A)2 (B)2 (C)3 (D)9(A)1 （B ）2 （C ）4 （D ） 7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =（）（A ）6- （B ）4- （C ）2- （D ）28.函数()y f x =的图象如图所示,在区间[],a b 上可找到()2n n ≥个不同的数123,,,,n x x x x ,使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===，则n 的取值范围是（） (A){}2,3 (B){}2,3,4 (C){}3,4(D){}3,4,59.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2b c a +=,3sin 5sin A B =,则角C =（）(A)3π (B)23π (C)34π (D)56π10.已知函数()32f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，且()112f x x x =<，则关于x的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是（）（A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6 二、填空题11.函数1ln(1)y x=++的定义域为__________.12.若非负变量,x y 满足约束条件1,24,x y x y -≥-⎧⎨+≤⎩则x y +的最大值为________.13.若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则a b 与夹角的余弦值为_______.14.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时，()(1)f x x x =-，则当10x -≤≤时，()f x =_________.15.如图,正方体1111ABCD A BC D -棱长为1,P 为BC 的中点, Q 为线段1CC 上的动点,过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是_____.(写出所有正确命题的编号)①当102CQ <<时,S 为四边形； ②当12CQ =时,S 为等腰梯形； ③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足113C R =；④当314CQ <<时,S 为六边形； ⑤当1CQ =时,S 的面积为26. 三、解答题16.（本小题满分12分）设函数()sin sin()3f x x x π=++.（1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合；（2）不画图，说明函数()y f x =的图象可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到. 17.为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,x x ，估计12x x -的值. 18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=.已知2,PB PD PA ===（1）证明：PC BD ⊥；（2）若E 为PA 的中点，求三菱锥P BCE -的体积.Q1A BC19.（本小题满分13分）设数列{}n a 满足12a =，248a a +=,且对任意*n N ∈，函数1212()()cos -sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅⋅满足()02f π'=，(1)求数列{}n a 的通项公式；（2）若122n n n a b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n S .20.(本小题满分13分)设函数()22(1)f x ax a x =-+,其中0a >,区间(){}0I x f x =>(1)求I 的长度(注:区间(),αβ的长度定义为βα-)；(2)给定常数()0,1k ∈,当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值.21.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点P .数学（文科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分。

高考数学解答题双曲线中的仿射变换 Word版含答案

11.双曲线中的仿射变换利用仿射变换再解T8联考16题一．基本原理1. 压缩变换：xOy 平面上的所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的a b ，即x x a y yb ''⎧=⎪⎨=⎪⎩，xOy平面上的双曲线1:2222=-by a x C 变为x O y '''平面上的等轴双曲线22'2'a y x =-.结论1.在压缩变换下，x O y '''平面对应封闭图形面积S '是原来xOy 平面上封闭图形面积S 的a b 倍，即a S S b'=． 2.旋转变化将等轴双曲线旋转︒45即可得到反比例函数，即变成了初中的反比例函数22ka yk x，两条渐近线分别是坐标轴，下面通过一个例子予以说明. 在平面直角坐标系中，已知双曲线2:22=-y x C ，将其绕原点O 逆时针旋转︒45，求所得到的的曲线的方程'C .3.反比例函数的一个重要性质若直线l 与反比例函数相切，同时交坐标轴分别与B A ,，则k S AOB 2=∆. 证明：设切点),(00y x P 因为2)('x kx f -=，所以斜率为20x k -，所以，直线l 的方程为： )(000x x x k x k y --=-，令0=y ，得02x x A =，令0=x ，得02x ky B =，所以， k y x S B A OAB 221=⋅=∆. 二．典例分析例1（T8联考16题）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的左、右焦点分别为1F 和2F ，O 为坐标原点，过2F 作渐近线x a b y =的垂线，垂足为P ，若61π=∠PO F ，则双曲线的离心率为________；又过点P 作双曲线的切线交另一条渐近线于点Q ，且OPQ ∆的面积32=∆OPQ S ，则该双曲线的方程为_________.解析：第一个空较简单，321,23222=+==∴=∴a b a a c e b a . 第二个空：将双曲线压缩再旋转后得到反比例函数，于是2'''32a S S ba Q OP OPQ =⇒=∆∆，由于b a 23=且32=ab ，可解得：双曲线方程为：14322=-y x . 例2.（2014年福建）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别为1:2l y x =，2:2l y x =-．（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 点为坐标原点，动直线l 分别交直线1l ，2l 于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、第四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程，若不存在，说明理由．解：（1）因为双曲线E 的渐近线分别为1:2l y x =，2:2l y x =-，所以2ba=．所以222c a a -=．故5c a =，从而双曲线E 的离心率5ce a ==．（2）由（1）知，双曲线E 的方程为222214x y a a-=．作22212xxx ya y y ，再将双曲线沿逆时针旋转45得：22a x y；""1482A OB AOB S S OA OB ，设A B 与双曲线切于点200,2a P x x ，则2202A Ba k x ，故A B 方程为 220222a a yx x x x ，002,2OBx OA y ，22004824x y aa，通过仿射变换回去可知，双曲线方程为221416x y -=。

2009年高考数学(江苏卷)(word版含答案)

示，则．
π

2π 3

π 3
O 1
x
5．现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为．
（第 4 题图）
6．某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10
2 ．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 ， | a | 2 ， | b |
3 ，则向量 a 和向量 b 的数量积
a b
．
3 2
3．函数 f ( x ) x 15 x 33 x 6 的单调减区间为． 1
y
( x ) ( ， A ，为常数， 4 ．函数 y As i n A 0， 0 )在闭区间 [ π， 0] 上的图象如图所
次，投中的次数如下表：学生甲班乙班 1号 6 6 2号 7 7
2
3号 7 6
4号 8 7
5号 7 9
则以上两组数据的方差中较小的一个为 s

．．开始
7．右图是一个算法的流程图，最后输出的 W
8．在平面上，空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则它们的体积比为 9．在平面直角坐标系
3
S 0
T 1
．中，点 P 在曲线
xoy
C : y x 10x 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点
P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为 10 ．已知 a ．
S T 2 S
S ≥10
Y
T T 2
N
5 1 2

高考数学(文)(新课标版)考前冲刺复习讲义：第2部分专题三第2讲数列求和及其综合应用 Word版含答案

第2讲数列求和及其综合应用错位相减法求和[学生用书P34]共研典例类题通法错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，其依据是：c n ＝a n b n ，其中{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，则qc n ＝qa n b n ＝a n b n ＋1，此时c n ＋1－qc n ＝(a n ＋1－a n )·b n ＋1＝db n ＋1，这样就把对应相减的项变成了一个等比数列，从而达到求和的目的．(2016·高考山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n .【解】(1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式．所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3. 所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，所以T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋ (2)＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n ）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.应用错位相减法求和需注意的问题(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列．(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1，2进行验证． [跟踪训练](2016·兰州模拟)等差数列{a n }中，已知a n ＞0，a 1＋a 2＋a 3＝15，且a 1＋2，a 2＋5，a 3＋13构成等比数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得： a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，即a 2＝5. 又(5－d ＋2)(5＋d ＋13)＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)，所以a 1＝a 2－d ＝3，a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝2n ＋1. 又b 1＝a 1＋2＝5，b 2＝a 2＋5＝10，所以公比q ＝2，所以b n ＝5×2n －1.(2)因为T n ＝5[3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1]， 2T n ＝5[3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n ]，两式相减得－T n ＝5[3＋2×2＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n ]＝5[(1－2n )2n －1]，则T n ＝5[(2n －1)2n ＋1]．裂项相消法求和[学生用书P35]共研典例类题通法 1．常见的裂项类型 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1； (2)1n （n ＋k ）＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ；(3)1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1；(4)14n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(5)n ＋1n （n －1）·2n ＝2n －（n －1）n （n －1）·2n ＝1（n －1）2n －1－1n ·2n. 2．裂项相消法求和的基本思想是把数列的通项公式a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{a n }的通项公式，使之符合裂项相消的条件．(2016·海口调研测试)在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1＝7，且a 2，a 5，a 10成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和S n ； (2)若b n ＝5a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】(1)因为a 2，a 5，a 10成等比数列，所以(7＋d )(7＋9d )＝(7＋4d )2，又因为d ≠0，所以d ＝2，所以a n ＝2n ＋5，S n ＝（7＋2n ＋5）n 2＝n 2＋6n .(2)由(1)可得b n ＝5（2n ＋5）（2n ＋7）＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋5－12n ＋7，所以T n ＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋19－111＋…＋12n ＋5－12n ＋7＝5n14n ＋49.裂项相消法的技巧在裂项时要注意把数列的通项分拆成的两项一定是某个数列中的相邻的两项，或者是等距离间隔的两项，只有这样才能实现逐项相消，只剩余有限的几项，从而求出其和．[跟踪训练](2016·石家庄模拟)已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫11－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.分组转化求和[学生用书P35]共研典例类题通法分组转化求和的三种类型分组转化求和是把数列之和分为几组，每组中的各项是可以利用公式(或其他方法)求和的，求出各组之和即得整体之和，这类试题一般有如下三种类型：(1)数列是周期数列，先求出每个周期内的各项之和，然后把整体之和按照周期进行划分，再得出整体之和；(2)奇偶项分别有相同的特征的数列(如奇数项组成等差数列、偶数项组成等比数列)，按照奇数项和偶数项分组求和；(3)通项中含有(－1)n 的数列，按照奇数项、偶数项分组，或者按照n 为奇数、偶数分类求和．(2016·呼和浩特模拟)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝2a n －1＋(n －2)(n ≥2，n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .【解】(1)因为a n ＋n ＝2[a n －1＋(n －1)]，a n ＋n ≠0，所以{a n ＋n }是首项为4，公比为2的等比数列，所以a n ＋n ＝4×2n －1＝2n ＋1. 所以a n ＝2n ＋1－n .(2)S n ＝(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)－(1＋2＋3＋…＋n )＝2n ＋2－n 2＋n ＋82.分组求和的常见方法 (1)根据等差、等比数列分组. (2)根据正号、负号分组.(3)根据数列的周期性分组.[题组通关]1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n －1(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2017＝( )A ．1009B ．1010C ．－1009D ．－1010B [解析] 因为a n ＝(－1)n －1(n ＋1)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2017＝(2－3)＋(4－5)＋…＋(2016－2017)＋2018＝1008×(－1)＋2018＝1010.2．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，数列{a 2n －1}是首项为1的等差数列，数列{a 2n }是首项为2的等比数列，且满足S 3＝a 4，a 3＋a 5＝a 4＋2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求S 2n .[解] (1)设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1＋d ，a 4＝2q ，a 5＝1＋2d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋d ＝2q ，（1＋d ）＋（1＋2d ）＝2＋2q ，解得d ＝2，q ＝3.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝2k －1，2·3n 2－1，n ＝2k ，(k ∈N *)．(2)S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2×30＋2×31＋…＋2×3n －1) ＝（1＋2n －1）n 2＋2（1－3n ）1－3＝n 2－1＋3n .等差、等比数列的综合问题[学生用书P36]共研典例类题通法解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋1a n －1，数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：S n ＜34.【解】(1)由已知a n ＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，n ∈N *，得（a n ＋1－1）＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，即1＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，亦即1a n ＋1－1－1a n －1＝－1(常数)．所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是以1a 1－1＝－2为首项，－1为公差的等差数列．可得1a n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝nn ＋1.(2)证明：因为b n ＝a n ＋1a n －1＝（n ＋1）2n （n ＋2）－1＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫12－14＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＜12×⎝⎛⎭⎫1＋12＝34.解决数列综合问题的方法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解. [跟踪训练](2016·武汉模拟)已知S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1（2n ＋1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)设{a n }的公差为d (d ≠0)，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 22＝S 1S 4，即(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，化简得d 2＝2a 1d .因为d ≠0，所以d ＝2a 1.① 因为a 3＝－52，所以a 1＋2d ＝－52.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－12d ＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12.(2)因为b n ＝1（2n ＋1）a n ＝1（2n ＋1）⎝⎛⎭⎫－n ＋12＝－2（2n ＋1）（2n －1）＝12n ＋1－12n －1，所以T n ＝⎝⎛⎭⎫13－1＋⎝⎛⎭⎫15－13＋⎝⎛⎭⎫17－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n －1＝－1＋12n ＋1＝－2n 2n ＋1. 课时作业[学生用书P120(独立成册)]1．设各项均为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4a 8＝32，则S 11的最小值为( ) A ．22 2B ．442C ．22D ．44B [解析] 因为数列{a n }为各项均为正数的等差数列，所以a 4＋a 8≥2a 4a 8＝82，S 11＝（a 1＋a 11）×112＝112(a 4＋a 8)≥112×82＝442，故S 11的最小值为442，当且仅当a 4＝a 8＝42时取等号．2．已知在数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( ) A ．445 B ．765 C ．1080D ．3105B [解析] 因为a n ＋1＝a n ＋3，所以a n ＋1－a n ＝3. 所以{a n }是以－60为首项，3为公差的等差数列．所以a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63. 令a n ≤0，得n ≤21. 所以前20项都为负值．所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30| ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋a 21＋…＋a 30 ＝－2S 20＋S 30.因为S n ＝a 1＋a n 2n ＝－123＋3n 2×n ，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝765.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1a n －1＝a n (n ≥2)，则数列{a n }的前40项和S 40等于( )A ．20B ．40C ．60D ．80C [解析] 由a n ＋1＝a na n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，可得a 3＝3，a 4＝1，a 5＝13，a 6＝13，a 7＝1，a 8＝3，…，这是一个周期为6的数列，一个周期内的6项之和为263，又40＝6×6＋4，所以S 40＝6×263＋1＋3＋3＋1＝60.4．(2016·郑州模拟)设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＝12，a 24＝4a 2a 8，若1b n＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，则数列{b n }的前10项和为( )A ．－2011B.2011C ．－95D.95A [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝4a 2a 8，所以(a 1q 3)2＝4a 1q ·a 1q 7，即4q 2＝1，所以q ＝12或q ＝－12(舍)，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ＝2－n ，所以log 2a n ＝log 22－n ＝－n ，所以1b n ＝－(1＋2＋3＋…＋n )＝－n （1＋n ）2，所以b n ＝－2n （1＋n ）＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以数列{b n }的前10项和为－2⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13⎦⎤＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝－2·⎝⎛⎭⎫1－111＝－2011. 5．设b n ＝a n （a n ＋1）（a n ＋1＋1）(其中a n ＝2n －1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 5＝( )A.3133B.3233C.3166D.1633C [解析] 由题意得，b n ＝2n －1（2n －1＋1）（2n ＋1）＝12n －1＋1－12n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋1－121＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋1－122＋1＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1－12n ＋1＝12－12n ＋1，所以T 5＝12－133＝3166.6．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a＞0，且a ≠1)，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和大于62，则n 的最小值为( )A ．8B ．7C ．6D ．9C [解析] 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）g 2（x ）＞0，知f （x ）g （x ）在R 上是增函数，即f （x ）g （x ）＝a x 为增函数，所以a ＞1.又因为a ＋1a ＝52，所以a ＝2或a ＝12(舍)．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和S n ＝21＋22＋…＋2n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2＞62.即2n ＞32，所以n ＞5.7．(2016·海口调研测试)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1，2，3，…)，则S 2n ＋3＝________．[解析] 依题意得S 2n ＋3＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋2＋a 2n ＋3)＝1＋14＋116＋…＋14n ＋1＝1－14n ＋21－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋2. [答案]43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋28．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为________．[解析] 设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则第2，3，4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814⇒a 21q 3＝92，两式相除得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q 3＝1a 1＋1a 1q ＋1a 1q 2＋1a 1q3＝2. [答案]29．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2017＝________．[解析] 因为a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，所以a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2，所以S 2017＝1009a 1＋1008a 2＝1009×⎝⎛⎭⎫12－2＋1008×2＝10052. [答案]1005210．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n >1，n ∈N *，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝________．[解析]因为⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2，S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋2，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }从第二项开始为等差数列，当n ＝2时，S 3＋S 1＝2S 2＋2，所以a 3＝a 2＋2＝4，所以S 10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋9（2＋18）2＝91. [答案]9111．(2016·东北四市联考)已知数列{a n }满足a 1＝511，a 6＝－12，且数列{a n }的每一项加上1后成为等比数列．(1)求a n ；(2)令b n ＝|log 2(a n ＋1)|，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)由题意数列{a n ＋1}是等比数列，设公比为q ，a 1＋1＝512，a 6＋1＝12＝512×q 5，解得q ＝14. 则数列{a n ＋1}是以512为首项，14为公比的等比数列，所以a n ＋1＝211－2n ，a n ＝211－2n －1.(2)由(1)知b n ＝|11－2n |，当n ≤5时，T n ＝10n －n 2，当n ≥6时，T n ＝n 2－10n ＋50，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2，n ≤5n 2－10n ＋50，n ≥6. 12．(2016·哈尔滨模拟)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解] (1)设数列{a n }的公比为q ，因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2.因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4.即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0.因为公比q ≠0，所以q ＝2.所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1，所以a n b n ＝(2n －1)2n ，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×4（1－2n －1）1－2－(2n －1)2n ＋1 ＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.13．数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＞n n ＋1. [解] (1)证明：因为a n ＋1＝a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n ，即1a n ＋1－1a n ＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知1a n ＝2n －1，所以S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2. 1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2＞11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 14．(选做题)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12，－2，⎝⎛⎭⎫7π12，2，且在区间⎝⎛⎭⎫π12，7π12上为单调函数． (1)求ω，φ的值；(2)设a n ＝nf ⎝⎛⎭⎫n π3(n ∈N *)，求数列{a n }的前30项和S 30. [解] (1)由题可得ωπ12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，7ωπ12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得ω＝2，φ＝2k π－2π3，k ∈Z ，因为|φ|＜π，所以φ＝－2π3. (2)因为a n ＝2n sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π3－2π3(n ∈N *)，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π3－2π3(n ∈N *)的周期为3，前三项依次为0，3，－3，所以a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ＝(3n －2)×0＋(3n －1)×3＋3n ×(－3)＝－3(n ∈N *)，所以S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝－10 3.。

2009年高考数学(北京)文(word版含答案)

15．（共12分）
解：（Ⅰ）因为
=
=
所以函数的最小正周期为．
（Ⅱ）由得
所以．
即的最大值为1，最小值为．
16．（共14分）
解法一：
（Ⅰ）四边形是正方形，
．
底面，
．
平面．
平面平面．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面于
为与平面所成的角．
分别为的中点
．பைடு நூலகம்
又底面
底面．
在中
即与平面所成的角为．
16．（本小题共14分）
如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当且E为PB的中点时，
求AE与平面PDB所成的角的大小．
17．（本小题共13分）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．
14．设A是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么称是A的一个“孤立元”．给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．（本小题共12分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值．
20．（本小题共13分）
设数列的通项公式为．数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式；

2010年高考数学新课标(文)(word版含答案)

□ABCD 的内部，则 z 2 x 5 y 的取值范围是
（A）（ 14，16）（B）（ 14，20）（C）（ 12，18）（D）（ 12，20）
| lg x | ， 0 x ≤10，（12）已知函数 f ( x) 1 若 a， b， c 互不相等，且 f (a) f (b) f (c) ， x 6. x 10. 2
1] 上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有（ 14 ）设函数 y f ( x) 为区间 [0，
可以用随机模拟方法近似计算由曲线 y f ( x) 及直线 x 0 ，x 1 ，y 0 0 ≤ f x ≤1，
1] 上的均匀随机数 x1，x2，，xN 和所围成部分的面积 S ，先产生两组（每组 N 个）区间 [0，
（A）
k 1，S 0
SS
1 k (k 1)
是
k k 1
kN
否
输出S
结束
(9)设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x) 2x 4 ( x ≥ 0 )，则 x f x 2 0 = （A） x x 2或x 4 （C） x x 0或x 6 （10）若 cos = （A）
y1，y2，，yN ，由此得到 N 个点 xi，yi i 1 ， 2，，N ．再数出其中满足
y1 ≤ f ( xi )(i 1 ， 2，，N ) 的点数 N1 ，那么由随机模拟方法可得 S 的近似值为
(15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的入所有可能的几何体前的编号) ① 三棱锥 ② 四棱锥 ③ 三棱柱 ④ 四棱柱 ⑤ 圆锥 ⑥ 圆柱

2009年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析

2009年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•安徽）i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】先根据两个复数相除的除法法则化简，再依据两个复数相等的充要条件求出a和b的值，即得乘积ab的值．【解答】解：∵===﹣1+3i=a+bi，∴a=﹣1，b=3，∴ab=﹣1×3=﹣3．故选B．【点评】本题考查两个复数相除的方法，以及两个复数相等的充要条件的应用．2．（5分）（2009•安徽）若集合A={x||2x﹣1|＜3}，B={x|＜0}，则A∩B是（）A．{x|﹣1＜x＜﹣或2＜x＜3} B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜﹣}【考点】交集及其运算．【专题】综合题．【分析】集合A中的绝对值不等式可利用讨论2x﹣1的正负得到一个不等式组，求出不等式组的解集即可得到集合A；集合B中的其他不等式可转化为2x+1与x﹣3同号即同时为正或同时为负得到两个不等式组，分别求出解集即可得到集合B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵|2x﹣1|＜3，∴﹣3＜2x﹣1＜3，即，∴﹣1＜x＜2，又∵＜0，∴（2x+1）（x﹣3）＞0，即或，∴x＞3或x＜﹣，∴A∩B={x|﹣1＜x＜﹣}．故选D【点评】此题是以绝对值不等式和其他不等式的解法为平台，考查了求交集的运算，是一道中档题．3．（5分）（2009•安徽）下列曲线中离心率为的是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过验证法可得双曲线的方程为时，．【解答】解：选项A中a=，b=2，c==，e=排除．选项B中a=2，c=，则e=符合题意选项C中a=2，c=，则e=不符合题意选项D中a=2，c=则e=，不符合题意故选B【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了双曲线方程中利用，a，b和c的关系求离心率问题．4．（5分）（2009•安徽）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）A．p：a+c＞b+d，q：a＞b且c＞dB．p：a＞1，b＞1，q：f（x）=a x﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限C．p：x=1，q：x=x2D．p：a＞1，q：f（x）=log a x（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】由题意根据必要条件、充分条件和充要条件的定义对ABCD四个选项进行一一判断，从而求解．【解答】解：A、∵q：a＞b且c＞d，∴a+c＞b+d，∴q⇒p，但p推不出q，p是q的必要不充分条件，故A正确；B、∵p：a＞1，b＞1，∴f（x）=a x﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限，但若b=1，a ＞1时f（x）的图象也不过第二象限，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故B错误；C、∵x=1，∴x=x2，但当x=0时，x=x2，也成立，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故C错误；D、∵a＞1，∴f（x）=log a x（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数，p是q的充要条件，故D错误；故选A．【点评】本小题主要考查了命题的基本关系及必要条件、充分条件和充要条件的定义，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．5．（5分）（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．18【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．【解答】解：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴S n=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，S n达到最大值400．故选：B．【点评】求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n取正整数这一条件．6．（5分）（2009•安徽）设a＜b，函数y=（a﹣x）（x﹣b）2的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】根据所给函数式的特点，知函数值的符号取决于x的值与a的值的大小关系，当x≥a 时，y≤0，当x≤a时，y≥0，据此即可解决问题．【解答】解：∵y=（a﹣x）（x﹣b）2∴当x≥a时，y≤0，故可排除A、D；又当x≤a时，y≥0，故可排除C；故选B．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及数形结合的数学思想方法，属于容易题．7．（5分）（2009•安徽）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据约束条件：，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可．【解答】解：满足约束条件：，平面区域如图示：由图可知，直线恒经过点A（0，），当直线再经过BC的中点D（，）时，平面区域被直线分为面积相等的两部分，当x=，y=时，代入直线的方程得：k=，故选A．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．8．（5分）（2009•安徽）已知函数f（x）=sinwx+coswx（w＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【分析】先把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式，再根据三角函数单调区间的求法可得答案．【解答】解：f（x）=sinwx+coswx=2sin（wx+），（w＞0）．∵f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f（x）的一个周期，∴=π，w=2．f（x）=2sin（2x+）．故其单调增区间应满足2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z．kπ﹣≤x≤kπ+，故选C．【点评】本题主要考查三角函数单调区间的求法．求三角函数的周期、单调区间、最值都要把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式在进行解题．9．（5分）（2009•安徽）已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y=0 C．3x+y﹣2=0 D．3x﹣y﹣2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义．【专题】压轴题．【分析】对等式两边进行求导数，通过赋值求切线斜率；对等式赋值求切点坐标；据点斜式写出直线方程．【解答】解：∵f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1∴f′（1+x）=﹣2f′（1﹣x）﹣2x+3∴f′（1）=﹣2f′（1）+3∴f′（1）=1f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1∴f（1）=2f（1）+1∴f（1）=﹣1∴切线方程为：y+1=x﹣1即x﹣y﹣2=0故选A【点评】本题考查对数的几何意义，在切点处的对数值是切线斜率，求切线方程．10．（5分）（2009•安徽）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；压轴题．【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62，再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解．【解答】解：甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法，因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，这是一个古典概型，所以所求概率为=，故选D．【点评】本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数，代入公式求解．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）（2009•安徽）若随机变量X～N（μ，σ2），则P（X≤μ）=．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；作图题．【分析】由正态分布的图象规律知，其在x=μ左侧一半的概率为，故得P（ζ≤μ）的值．【解答】解：∵ζ服从正态分布N（μ，σ2），根据正态密度曲线的对称性可得∴曲线关于x=μ对称，P（X≤μ）=选填：．【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．12．（2009•安徽）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为（ρ∈R），它与曲线（α为参数）相交于两点A和B，则|AB|=．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．【专题】直线与圆．【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，求出弦心距，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值．【解答】解：直线的极坐标方程为（ρ∈R），化为直角坐标方程为x﹣y=0．曲线（α为参数）的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，表示以（1，2）为圆心，半径等于2的圆．求得弦心距d==，故弦长为2=2=，故答案为．【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．13．（5分）（2009•安徽）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是127．【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算a值，并输出满足条件a＞100的第一个a值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量a的值的变化情况进行分析，不难给出答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a 是否继续循环循环前1/第一圈 3 是第二圈7 是第三圈15 是第四圈31 是第五圈63 是第六圈127 否故最后输出的a值为：127故答案为：127【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．14．（5分）（2009•安徽）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是2．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意，建立坐标系，设出A，B点的坐标，并设∠AOC=α，则向量，且=x+y，由向量相等，得x，y的值，从而求得x+y的最值．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（﹣，）．设∠AOC=α，则=（cosα，sinα）．∵=x+y=（x，0）+（﹣，y）=（cosα，sinα）.∴∴x+y=sinα+cosα=2sin（α+30°）．∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．∴x+y有最大值2，当α=60°时取最大值2．答案：2【点评】本题是向量的坐标表示的应用，结合图形，利用三角函数的性质，容易求出结果．15．（5分）（2009•安徽）对于四面体ABCD，下列命题正确的序号是①④⑤．①相对棱AB与CD所在的直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【考点】棱锥的结构特征．【专题】常规题型；压轴题．【分析】①根据三棱锥的结构特征判断．②根据对棱不一定相互垂直判断．③可由正四面体时来判断．④由棱中点两两连接构成平行四边形判断．⑤根据两边之和大于第三边判断．【解答】解：①根据三棱锥的结构特征知正确．②因为只有对棱相互垂直才行，所以不一定，不正确．③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，若是正四面体时，则两直线相交，不正确．④因为相对棱中点两两连接构成平行四边形，而对棱的中点的连接正是平行四边形的对角线，所以三条线段相交于一点，故正确．⑤设图中CD是最长边．BC+BD＞CD，AC+AD＞CD若AC+BC≤CD 且AD+BD≤CD则AC+AD+BC+BD≤CD+CD，矛盾则命题成立．故答案为：①④⑤【点评】本题主要考查三棱锥的结构特征，通过作高，取中点连线，来增加考查的难度，即全面又灵活，是一道好题，属中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2009•安徽）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，然后求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为sin（C﹣A）=1，所以，且C+A=π﹣B，∴，∴，∴，又sinA＞0，∴（Ⅱ）如图，由正弦定理得∴，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴【点评】本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力．17．（12分）（2009•安徽）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是．在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数x就是一个随机变量．写出x的分布列（不要求写出计算过程），并求x的均值（即数学期望）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】由题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列和x的均值．【解答】解：由题意知X的可能取值为1，2，3，随机变量X的分布列是X 1 2 3PX的均值为EX=1×+2×+3×=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和均值的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．18．（13分）（2009•安徽）如图所示，四棱锥F﹣ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=．AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2．（1）求二面角B﹣AF﹣D的大小；（2）求四棱锥E﹣ABCD与四棱锥F﹣ABCD公共部分的体积．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】（1）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足，连接BG、DG，根据定义可知∠BGD为二面角B﹣AF﹣D的平面角，在三角形BGD中求出此角即可；（2）连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E﹣ABCD与四棱锥F﹣ABCD的公共部分为四棱锥H﹣ABCD，过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足，然后求出HP，利用体积公式V=S菱形ABCD•HP求解即可．【解答】解：（1）解：连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足，连接BG、DG．由BD⊥AC，BD⊥CF得BD⊥平面ACF，故BD⊥AF．于是AF⊥平面BGD，所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD为二面角B﹣AF﹣D的平面角．由FC⊥AC，FC=AC=2，得∠FAC=，OG=．由OB⊥OG，OB=OD=，得∠BGD=2∠BGO=．（2）解：连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E﹣ABCD与四棱锥F﹣ABCD的公共部分为四棱锥H﹣ABCD．过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足．因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，所以平面ACEF⊥平面ABCD，从而P∈AC，HP⊥AC．由+=+=1，得HP=．又因为S菱形ABCD=AC•BD=，故四棱锥H﹣ABCD的体积V=S菱形ABCD•HP=．【点评】本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识．考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．19．（12分）（2009•安徽）已知函数，讨论f（x）的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题．【分析】先求出函数的定义域，然后求出导函数，设g（x）=x2﹣ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a2﹣8，然后讨论△的正负，再进一步考虑导函数的符号，从而求出函数的单调区间．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），．设g（x）=x2﹣ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a2﹣8．①当△=a2﹣8＜0，即时，对一切x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上是增函数．②当△=a2﹣8=0，即时，仅对有f′（x）=0，对其余的x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上也是增函数．③当△=a2﹣8＞0，即时，方程g（x）=0有两个不同的实根，，0＜x1＜x2．x （0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+ 0 _ 0 +f（x）单调递增↗极大单调递减↘极小单调递增此时f（x）在上单调递增，在是上单调递减，在上单调递增．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化的能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（13分）（2009•安徽）点P（x0，y0）在椭圆（a＞b＞0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ，0＜．直线l2与直线l1：垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ（Ⅰ）证明：点P是椭圆与直线l1的唯一交点；（Ⅱ）证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．【考点】直线与圆锥曲线的关系；等比关系的确定．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由，得y=，从而x=acosβ，由此能证明直线l1与椭圆有唯一交点P．（Ⅱ）tanα==tanβ，由此得tanαtanγ=tan2β≠0，从而能证明tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．【解答】解：（Ⅰ）由，得y=，代入椭圆，得，将，代入上式，得x2﹣2acosβx+a2cos2β=0，从而x=acosβ，∴有唯一解，即直线l1与椭圆有唯一交点P．（Ⅱ）tanα==tanβ，l1的斜率为tan=，由此得tanαtanγ=tan2β≠0，∴tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．【点评】本题考查直线与椭圆有唯一交点的证明，考查tanα，tanβ，tanγ构成等比数列的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．（13分）（2009•安徽）首项为正数的数列{a n}满足a n+1=（a n2+3），n∈N+．（1）证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，a n都是奇数；（2）若对一切n∈N+都有a n+1＞a n，求a1的取值范围．【考点】数列递推式；数列的函数特性．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）首先在n=1时，知a1为奇数，再利用归纳法证明对一切n≥2，a n都是奇数；（2）先求出a n+1﹣a n的表达式，利用函数思想求解不等式a n+1﹣a n＞0，求出a n取值范围，利用归纳法求出a1的取值范围．【解答】（1）证明：已知a1是奇数，假设a k=2m﹣1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得a k+1==m（m﹣1）+1是奇数．根据数学归纳法，对任何n≥2，a n都是奇数．（2）法一：由a n+1﹣a n=（a n﹣1）（a n﹣3）知，a n+1＞a n当且仅当a n＜1或a n＞3．另一方面，若0＜a k＜1，则0＜a k+1＜=1；若a k＞3，则a k+1＞=3．根据数学归纳法得，0＜a1＜1⇔0＜a n＜1，∀n∈N+；a1＞3⇔a n＞3，∀n∈N+．综上所述，对一切n∈N+都有a n+1＞a n的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．法二：由a2=＞a1，得a12﹣4a1+3＞0，于是0＜a1＜1或a1＞3．a n+1﹣a n=﹣=，因为a1＞0，a n+1=，所以所有的a n均大于0，因此a n+1﹣a n与a n﹣a n﹣1同号．根据数学归纳法，∀n∈N+，a n+1﹣a n与a2﹣a1同号．因此，对一切n∈N+都有a n+1＞a n的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．【点评】此题主要考查数学归纳法求解有关数列的问题时的应用．。

2009年高考安徽数学(文)试题及参考答案

2009年高考安徽数学（文)试题及参考答案本试卷分为两部分，满分100分，考试时间150分钟。

第一部分为选择题，1页至7页，共7页。

应考者必须在“答题卡”上按要求填涂，不能答在试卷上。

第二部分为非选择题，8页至9页，共2页。

应考者必须在“答题纸”上答题。

PART ONE（50 POINTS）Ⅰ. Vocabulary and Structure (10 points, 1 point for each item)从下列各句四个选项中选出一个最佳答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。

1．It makes good＿to bring an umbrella; it seems to be raining today.A. sense B．reasonC. suggestionD. advice2．If you are too＿of your children, they will never learn to deal with difficulties in life.A. respectiveB. detectiveC．protective D．effective.3．His intelligence will＿him to get a scholarship to college.A. enableB. persuadeC. suggestD. employ4．The professor asked a question, and David＿a good answer.A. put up withB. stood up forC．came up with D．looked down upon5．No sooner had we reached home＿a violent storm broke out.A. whenB. thatC．until D．than6．People differ＿one another＿their ability to handle stress.A. from...to B．from...inC. for...inD. in...from7．They should try to＿their usual inhibitions and join in the fun.A. send off B．lay asideC．take to D. turn off8．During the past two decades, research has＿our knowledge of daydreaming.A. expandedB. emergedC. descendedD. conquered9．The students are required to＿the main ideas of the article in their own words.A. symbolizeB. minimizeC．synchronize D. summarize10．The outline of rooftops and chimneys＿against the pale sky.A. pulled outB. looked outC．held out D．stood outⅡ．Cloze Test (10 points, 1 point for each item)下列短文中有＋个空白，每个空白有四个选项。

2009年广东省高考数学试卷(文科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

2009年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1.已知全集U =R ，则正确表示集合M ={−1, 0, 1}和N ={x|x 2+x =0}关系的韦恩(Venn)图是（）A.B.C.D.2. 下列n 的取值中，使i n =1（i 是虚数单位）的是（） A.n =2B.n =3C.n =4D.n =53. 已知平面向量a →=(x, 1)，b →=(−x, x 2)，则向量a →+b →( ) A.平行于x 轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线 4. 若函数y =f(x)是函数y =a x−a(a >0，且a ≠1)的反函数，且f(12)=1，则函数y =( ) A.log 2xB.12xC.log 12xD.2x−25. 已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3⋅a 9＝2a 52，a 2＝1，则a 1＝（）A.12B.√22C.√2D.26. 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( ) A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④7. 已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ．若a =c =√6+√2，且∠A =75∘，则b =( ) A.2B.4+2√3C.4−2√3D.√6−√28. 函数f(x)=(x −3)e x 的单调递增区间是( )A.(−∞, 2)B.(0, 3)C.(1, 4)D.(2, +∞)9. 函数y =2cos 2(x −π4)−1是（） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数10. 广州2010年亚运会火炬传递在A ，B ，C ，D ，E 五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见表．若以A 为起点，E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是（）C.22D.23二、填空题（共5小题，每小题5分，第14-15题，属选做题，满分25分） 11. 某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：框应填________，输出的s=________．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）12. 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本、用系统抽样法，将全体职工随机按1∼200编号，并按编号顺序平均分为40组（1∼5号，6∼10号，…，196∼200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．13. 以点(2, −1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是________．14. 选做题：若直线y=2+3t．x=1−2t，（t为参数）与直线4x+ky=1垂直，则常数k=________．15. 选做题：如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，∠ACB=30∘，则圆O的面积等于________．三、解答题（共6小题，满分80分）16. 已知向量a→=(sinθ,−2)与b→=(1,cosθ)互相垂直，其中θ∈(0,π2)．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若sin(θ−φ)=√1010，0<φ<π2，求cosφ的值．17. 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示．墩的上半部分是正四棱锥P−EFGH，下半部分是长方体ABCD−EFGH．图(2)、图(3)分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图．（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；（2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线BD⊥平面PEG．。

高考数学(文)二轮复习专题一三角函数和平面向量第2讲平面向量、解三角形 Word版含答案

第2讲平面向量、解三角形【课前热身】第2讲平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0，所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1，即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲平面向量、解三角形一、填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲平面向量、解三角形一、填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55，所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ，即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ，所以sin(A+C )=3sin B cos B ，所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。

2009年高考数学(天津)文(word版含答案)

2009 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟．第 Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3. 本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．参考公式： ·如果事件 A, B 互斥，那么 P( A
恒成立的是（ A． f ( x ) 0 ） B． f ( x ) 0 C． f ( x ) x
，下面的不等式在 R 上
D． f ( x) x
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第Ⅱ卷
注意事项： 1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3. 本卷共 12 小题，共 100 分．题号得分得分评卷人二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．把答案填在题中横线上．二三（17）（18）（19）（20）（21）（22）总分
a =___________．
15 ．若等边 △ ABC 的边长为 2 3 ，若平面内一点 M 满足 CM
1 2 CB CA ，则 6 3
MA · MB
．
2 2
16 ．若关于的不等式 (2 x 1) ax 的解集中的整数恰有 3 个，则实数 a 的取值范围

(word完整版)高考数学中的内切球和外接球问题

高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ,则该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ,则此球的表面积为.例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（）.A. 16B. 20C. 24D. 323.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9,底面周长为3,则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ,高为h ,则有 6x 3 9 会 3 2.6 — x h 8 4的半径的常用公式二、构造法（补形法）1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 V 3 ,则其外接球的表面积是.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为V 3 ,则其外接球的表面积是.故其外接球的表面积S 4 r 2 9 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a,b,c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则有2R va 2 b 2 c 2.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

高考数学(文)一轮复习文档：选修4-5 不等式选讲第3讲柯西不等式与排序不等式 Word版含答案

第3讲柯西不等式与排序不等式,)1．二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)(二维变式)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|，a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|．(3)定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．(4)定理3(二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22(5)(三角变式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）22．柯西不等式的一般形式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1，2，…，n)时，等号成立．3．排序不等式设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n为b1，b2，…，b n的任一排列，则有：a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和．排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．柯西不等式的证明若a，b，c，d都是实数，求证(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc 时，等号成立．【证明】因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－b2d2－2acbd＝a2d2＋b2c2－2adbc＝(ad－bc)2≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立．即(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．设α，β是两个向量，求证|α·β|≤|α||β|，当且仅当β为零向量或存在实数k，使α＝kβ时等号成立．如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量α＝(a，b)，β＝(c，d)，α与β之间的夹角为θ，0≤θ≤π.根据向量数量积(内积)的定义，有α·β＝|α||β|cos θ，所以|α·β|＝|α||β||cos θ|.因为|cos θ|≤1，所以|α·β|≤|α||β|.如果向量α和β中有零向量，则ad－bc＝0，不等式取等号．如果向量α和β都不是零向量，则当且仅当|cos θ|＝1，即向量α和β共线时，不等式取等号．柯西不等式的证明可利用已学过的比较法，也可利用向量法，柯西三角不等式还可利用几何法证明．如下：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，则（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. 证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)．由|CA |＋|CB |≥|BA |与两点间的距离公式得（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. 当且仅当点C 位于线段BA 上时取等号．设a 1，a 2，b 1，b 2为实数，求证：a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2. (a 21＋a 22＋b 21＋b 22)2＝a 21＋a 22＋2a 21＋a 22b 21＋b 22＋b 21＋b 22 ≥a 21＋a 22＋2|a 1b 1＋a 2b 2|＋b 21＋b 22 ≥a 21＋a 22－2(a 1b 1＋a 2b 2)＋b 21＋b 22 ＝(a 21－2a 1b 1＋b 21)＋(a 22－2a 2b 2＋b 22) ＝(a 1－b 1)2＋(a 2－b 2)2，所以a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2.利用柯西不等式求最值已知正实数u ，v ，w 满足u 2＋v 2＋w 2＝8，求u 49＋v 416＋w 425的最小值．【解】因为u 2＋v 2＋w 2＝8.所以82＝(u 2＋v 2＋w 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 23·3＋v 24·4＋w 25·52≤⎝ ⎛⎭⎪⎫u 49＋v 416＋w 425(9＋16＋25)，所以u 49＋v 416＋w 425≥6450＝3225.当且仅当u 23÷3＝v 24÷4＝w 25÷5，即u ＝65，v ＝85，w ＝2时取到“＝”，所以当u ＝65，v ＝85，w ＝2时u 49＋v 416＋w 425的最小值为3225.利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．1．设x ，y ，z ∈R ，2x －y －2z ＝6，试求x 2＋y 2＋z 2的最小值．考虑以下两组向量u ＝(2，－1，－2)，v ＝(x ，y ，z )，根据柯西不等式(u ·v )2≤|u |2·|v |2，得2≤(x 2＋y 2＋z 2)，即(2x －y －2z )2≤9(x 2＋y 2＋z 2)，将2x －y －2z ＝6代入其中，得36≤9(x 2＋y 2＋z 2)，即x 2＋y 2＋z 2≥4，故x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.2．设x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝25，试求x －2y ＋2z 的最大值与最小值．根据柯西不等式，有(1·x －2·y ＋2·z )2≤(x 2＋y 2＋z 2)，即(x －2y ＋2z )2≤9×25，所以－15≤x －2y ＋2z ≤15，故x －2y ＋2z 的最大值为15，最小值为－15.利用柯西不等式证明不等式设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥1003.【证明】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＝13(12＋12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2 ≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2 ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋（a ＋b ＋c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥13×(1＋9)2＝1003，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立，所以所求证的不等式成立．利用柯西不等式证明的关键是恰当构造变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．注意等号成立的条件．1．已知a ，b 为正数，求证1a ＋4b ≥9a ＋b .因为a >0，b >0，所以由柯西不等式，得(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b＝·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a＋b ·4b 2＝9，当且仅当a ＝12b 时取等号，所以1a ＋4b ≥9a ＋b.2．设a ，b >0，且a ＋b ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.因为(12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2≥25⎝⎛⎭⎪⎫因为ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.利用排序不等式求最值设a ，b ，c 为任意正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值．【证明】不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b，由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，上述两式相加得： 2⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，即a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.当且仅当a ＝b ＝c 时，ab ＋c＋b c ＋a ＋ca ＋b 取最小值32.求最小(大)值时，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出适当的一个或两个乱序和，从而求出其最小(大)值．设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值．令S ＝1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ），则S ＝（abc ）2a 3（b ＋c ）＋（abc ）2b 3（a ＋c ）＋（abc ）2c 3（a ＋b ）＝bc a （b ＋c ）·bc ＋ac b （a ＋c ）·ac ＋abc （a ＋b ）·ab .由已知可得：1a （b ＋c ）≥1b （a ＋c ）≥1c （a ＋b ），ab ≤ac ≤bc .所以S ≥bc a （b ＋c ）·ac ＋ac b （a ＋c ）·ab ＋abc （a ＋b ）·bc＝c a （b ＋c ）＋a b （a ＋c ）＋bc （a ＋b ）.又S ≥bc a （b ＋c ）·ab ＋ac b （a ＋c ）·bc ＋abc （a ＋b ）·ac＝b a （b ＋c ）＋c b （a ＋c ）＋ac （a ＋b ），两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥331abc＝3.所以S ≥32，即1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值为32., )1．设a ，b ∈(0，＋∞)，若a ＋b ＝2，求1a ＋1b的最小值．因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝(1＋1)2＝4.所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b≥4，即1a ＋1b≥2. 当且仅当a ·1b＝b ·1a，即a ＝b 时取等号，所以当a ＝b ＝1时，1a ＋1b的最小值为2.2．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c的最小值．因为(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝·⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a＋b ·2b＋c ·2c 2＝18.所以2a ＋2b ＋2c ≥2.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，所以2a ＋2b ＋2c的最小值为2.3．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n (n ≥2，n ∈N *)的一个排列，求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n. 设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n－1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，则1c 1 >1c 2>…>1c n －1，且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n. 故原不等式成立．4．已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥32.由柯西不等式及题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ·≥(x ＋y ＋z )2＝27. 又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x ＋y ＋z )＝183，所以x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32，当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立．5．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求x ＋y ＋z 的值．由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，即(x ＋2y ＋3z )2≤14，因此x ＋2y ＋3z ≤14. 因为x ＋2y ＋3z ＝14，所以x ＝y 2＝z3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147.6．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值．由柯西不等式得 (4＋4＋1)×≥2，所以9≥(2a ＋2b ＋c －1)2. 因为2a ＋2b ＋c ＝8，所以(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，当且仅当a －12＝b ＋22＝c －3时等号成立，所以(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499.7．已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．(1)证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27.所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.8．已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)． (1)求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2的最小值；(2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.(1)因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab≥3·32⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝3×38＝6，当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2且a ＝b ，即a ＝b ＝12且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2有最小值6.(2)证明：由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝·≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2，当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号．所以(ax 1＋bx 2)·(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.9．(1)关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，求a 的取值范围； (2)设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．(1)因为|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1，且|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，所以a >1，即a 的取值范围是(1，＋∞)． (2)由柯西不等式，得·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 22 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4×x 4＋5×y 5＋2×z 22＝(x ＋y ＋z )2，即25×1≥(x ＋y ＋z )2.所以5≥|x ＋y ＋z |，所以－5≤x ＋y ＋z ≤5. 所以x ＋y ＋z 的取值范围是．10．设a 1，a 2，…，a n 为实数，证明：a 1＋a 2＋…＋a n n≤a 21＋a 22＋…＋a 2nn.不妨设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，由排序原理得a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＋…＋a n a n ， a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a 1， a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a 3＋a 2a 4＋a 3a 5＋…＋a n a 2，…a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a n ＋a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n a n －1，以上n 个式子两边相加得n (a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n )≥(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )2，两边同除以n 2得a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n n ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 2，所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2nn ≥a 1＋a2＋a 3＋…＋a n n，结论得证．不等式选讲1．不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．1．(选修45 P19习题1.2T5，P17例5改编)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为a.(1)求实数a的值；(2)解不等式f(x)≤5.(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，从而解得a＝2.(2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6（x ≤2）2（2<x ≤4）2x －6（x >4）. 结合函数y ＝f (x )的图象知，不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤112.2．(选修45 P16例3、P35例3改编)已知函数f (x )＝|3x －1|.(1)设f (x )≤2的解集为M ，记集合M 中的最大元素为a max ，最小元素为a min ，求a max －a min ； (2)若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝a max ，求1a ＋1b的最小值．(1)f (x )≤2，即为 |3x －1|≤2，所以－2≤3x －1≤2，即－13≤x ≤1.所以M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13≤ x ≤1. 即a max ＝1，a min ＝－13，a max －a min＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝43.(2)由(1)知，a ＋b ＝1，且a ，b 为正实数，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时取等号，即1a ＋1b ≥4，所以1a ＋1b的最小值为4.3．(选修45 P20习题1.2T9，P37习题3.1T8改编)(1)若关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|≤a 的解集不是空集，求a 的范围；(2)若g (x )＝x ，且p >0，q >0，p ＋q ＝1，x 1，x 2∈ (1)法一：|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1.即|x －3|＋|x －4|的最小值为1.所以|x －3|＋|x －4|≤a 的解集不是空集时，a ≥1. 法二：设f (x )＝|x －3|＋|x －4| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋7，x ＜3，1，3≤x ≤4，2x －7，x >4.函数f(x)的图象为所以f(x)min＝1.则f(x)≤a的解集不是空集时，a≥1.(2)证明：由p>0，q>0，p＋q＝1，要证不等式pg(x1)＋qg(x2)≤g(px1＋qx2)成立，即为证明p x1＋q x2≤px1＋qx2成立．(*)法一：(分解法)要证(*)成立，即证(p x1＋q x2)2≤(px1＋qx2)2成立．即证：p2x1＋2pq x1x2＋q2x2≤px1＋qx2，即证px1(1－p)＋qx2(1－q)－2pq x1x2≥0.因为p＋q＝1.只需证pqx1＋pqx2－2pq x1x2≥0成立．即证(x1－x2)2≥0.因为(x1－x2)2≥0显然成立．所以原不等式成立．法二：(柯西不等式法)因为(p x1＋q x2)2＝(p·px1＋q·qx2)2≤＝(p＋q)(px1＋qx2)因为p＋q＝1.所以(p x1＋q x2)2≤px1＋qx2.所以p x1＋q x2≤px1＋qx2.即pg(x1)＋qg(x2)≤g(px1＋qx2)．4．(选修45 P19习题1.2T5，P45习题3.3T4改编)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥3.(1)当x <－1时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ∈(3，＋∞)；当－1≤x <2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈ (1)①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1<－2x －2，解得x <－1；②当－1<x <－12时，原不等式可化为x ＋1<－2x －2，解得x <－1，此时原不等式无解；③当x ≥－12时，原不等式可化为x ＋1<2x ，解得x >1.综上，M ＝{x |x <－1或x >1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，所以，要证f (ab )>f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|>|a ＋b |，即证|ab ＋1|2>|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1>a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1>0，即证(a 2－1)(b 2－1)>0.因为a ，b ∈M ，所以a 2>1，b 2>1，所以(a 2－1)(b 2－1)>0成立，所以原不等式成立．。

2011年高考数学安徽文(word版含答案)

选择题1. 1.设i 是虚数单位，复数a 1+2-ii为纯虚数，则实数a 为（）（A ）2 （B ） -2 （C ） 1-2 （D ） 122.集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则(U S T ∩）ð等于（）（A ）}{,,,1456（B ） }{,15 （C ） }{4 （D ） }{,,,,123453.双曲线8222=-y x 的实轴长是（）（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）424. 若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则a 的值为（）（A ）-1（B ） 1 （C ） 3（D ） -35.若点(,)a b 在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（）（A ）（a 1，b ）（B ）(10,1)a b - （C ）（a10,b +1）（D ）2(,2)a b 6.设变量x,y 满足110x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤，≤，≥,则x y +2的最大值和最小值分别为（）（A ）1，-1 （B ）2，-2 （C ）1，-2（D ）2，-17.若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则（）（A ）15 （B ）12 （C ）-12 （D ）-15 8.一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）（A ）48 （B ）（C ）（D ）809. 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（）（A ）1（B ） 1 （C ） 1（D ）110.函数2)1()(x ax x f n -=在区间[0,1]上的图像如下图所示，则n 可能是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4填空题11.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x =22x x -，则(1)f = . 12.如下图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .13.函数y =的定义域是 .14. 已知向量,a b 满足()()+2⋅-=-6a b a b ，且1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角为 . 15.设()f x =sin 2cos 2a x b x +，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π= ②7()10f π＜()5f π ③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ⑤存在经过点（a ，b ）的直线与函数()f x 的图像不相交以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）.解答题16.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a b 12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.17.设直线112212121,1,,20.l y k x l y k x k k k k =+=-+=：：其中实数满足（1）证明1l 与2l 相交；（2）证明1l 与2l 的交点在椭圆222+=1x y 上.18.设2e ()1xf x ax=+，其中a 为正实数. （1）当34=a 时，求()f x 的极值点；（2）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.19.如下图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1OA =，2OD =，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形.（1）证明直线BC EF ∥；（2）求棱锥F OBED -的体积.20.（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程ˆybx a =+; （2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.21.在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和n S .安徽文选择题1. 1.设i 是虚数单位，复数a 1+2-ii为纯虚数，则实数a 为（）（A ）2 （B ） -2 （C ） 1-2 （D ） 122.集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则(U S T ∩）ð等于（）（A ）}{,,,1456（B ） }{,15 （C ） }{4 （D ） }{,,,,123453.双曲线8222=-y x 的实轴长是（）（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）424. 若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则a 的值为（）（A ）-1（B ） 1 （C ） 3（D ） -35.若点(,)a b 在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（）（A ）（a 1，b ）（B ）(10,1)a b - （C ）（a10,b +1）（D ）2(,2)a b 6.设变量x,y 满足110x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤，≤，≥,则x y +2的最大值和最小值分别为（）（A ）1，-1 （B ）2，-2 （C ）1，-2（D ）2，-17.若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则（）（A ）15 （B ）12 （C ）-12 （D ）-15 8.一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）（A ）48 （B ）（C ）（D ）809. 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（）（A ）110（B ） 18 （C ） 16（D ）1510.函数2)1()(x ax x f n -=在区间[0,1]上的图像如下图所示，则n 可能是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4填空题11.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x =22x x -，则(1)f = . 12.如下图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .13.函数y =的定义域是 .14. 已知向量,a b 满足()()+2⋅-=-6a b a b ，且1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角为 . 15.设()f x =sin 2cos 2a x b x +，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π= ②7()10f π＜()5f π ③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ⑤存在经过点（a ，b ）的直线与函数()f x 的图像不相交以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）. 解答题16.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a b 12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.17.设直线112212121,1,,20.l y k x l y k x k k k k =+=-+=：：其中实数满足（1）证明1l 与2l 相交；（2）证明1l 与2l 的交点在椭圆222+=1x y 上.18.设2e ()1xf x ax =+，其中a 为正实数.（1）当34=a 时，求()f x 的极值点；（2）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.19.如下图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1OA =，2OD =，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形.（1）证明直线BC EF ∥；（2）求棱锥F OBED -的体积.20.（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程ˆybx a =+; （2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.21.在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和n S .参考答案1.A提示：设ii()ia b b 1+∈2-R =，则1+i i(2i)2i a b b b =-=+，所以1,2b a ==.故选A. 2.B提示：{}1,5,6U T =ð，所以(){}1,6U S T =∩ð.故选B. 3.C提示：x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C. 4.B提示：圆的方程x y x y 22++2-4=0可变形为()()x y 22+1+-2=5，所以圆心为（－1,2），代入直线x y a 3++=0得1a =. 5.D提示：由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上.6.B提示：1,1,0x y x y x +=-==三条直线的交点分别为（0,1），（0，－1），（1,0），分别代入x y +2，得最大值为2，最小值为－2.故选B. 7.A提示：12349103a a a a a a +=+==+=，故a a a 1210++=3⨯5=15L .故选A.8.C 提示：由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()12244242⨯+⨯=，四个侧面的面积为(44224++=+，所以几何体的表面积为48+故选C.9.D提示：通过画树状图或列举法可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为31155=.故选D. 10.A提示：代入验证，当1n =时，()()(nn n nf x a x x a x x x2+2+1=⋅1-=-2+，则()(f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯⋅1-=3332，知a 存在.故选A. 11.－3提示：2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-. 12.15提示：由算法框图可知(1)1232k k T k +=++++=，若T ＝105，则k ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15. 13.（－3，2）提示：由260x x -->可得260x x +-<，即()()+320x x -<，所以32x -<<. 14.3π 提示：由22(2)()6261+-=-+-=-=得，即a b a b a a b b a b ，所以1cos ,2〈〉==a b a b a b ，又,[0,]〈〉∈πa b ，所以,3π〈〉=a b . 15.①③提示：由题意可知())f x x ϕ=+的周期为π，在6x =π处取得最值，结合图像易知：①正确（12x =11π是f （x ）的零点）；③正确；④错误（在6x =π处可能取得最大值，也可能取得最小值）；⑤错误（函数f （x ）的图像和点（a ，b ）均介于直线y y ==）；由7()()()10255f f f ππππ-+=可知②错误. 16.解：由12cos()0B C B C A ++=+=π-和，得.23sin ,21cos ,0cos 21===-A A A再由正弦定理，得.22sin sin ==a Ab B,,,cos 2b a B A B B B π<<<==由知所以不是最大角从而由上述结果知).2123(22)sin(sin +=+=B A C设边BC 上的高为h ，则有.213sin +==C b h 17.证明：（1）反证法，假设是l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1=k 2，代入k 1k 2+2=0，得 .0221=+k此与k 1为实数的事实相矛盾. 从而2121,l l k k 与即≠相交.（2）（方法一）由方程组121,1y k x y k x =+⎧⎨=-⎩解得交点P 的坐标),(y x 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-=.,2121212k k k k y k k x而.144228)()2(22222122212121222121222121221222=++++=-++++=-++-=+k k k k k k k k k k k k k k k k k k y x此即表明交点.12),(22上在椭圆=+y x y x P（方法二）交点P 的坐标),(y x 满足1211.y k x y k x -=⎧⎨+=⎩，12121,0.1.1120,20.y k xx y k x y y k k x x-⎧=⎪⎪≠⎨+⎪=⎪⎩-++=⋅+=故知从而代入得整理后，得,1222=+y x所以交点P 在椭圆.1222上=+y x18.解：对)(x f 求导得22212()e (1)xax axf x ax +-'=+ . ① （1）当34=a ，若.21,23,0384,0)(212===+-='x x x x x f 解得则综合①,可知所以,21=x 是极小值点,22=x 是极大值点. （2）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a >0，知2210ax a x -+≥在R上恒成立，因此2444(1)0,a a a a ∆=-=-≤由此并结合0>a ，知010,1a a <≤，即的取值范围是（ 19.（1）证明：如下图，设G 是线段DA 与EB 延长线的交点.由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，所以OB ∥DE 且OB =DE 21，OG=OD =2，同理，设G '是线段DA 与FC 延长线的交点，有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合.在△GED 和△GFD 中，由OB ∥DE 且OB =DE 21和OC ∥DF 且12OC DF =，可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF . （2）解：由OB =1，OE =2，60,EOBEOB S ∠=︒=知，而△OED 是边长为2的正三角形，故OEDS=所以OBED EOB OEDS SS=+=四边形过点F 作FQ ⊥DG ，交DG 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F —OBED的高，且FQ =3，所以13.32F OBED OBED V FQ S -=⋅=四棱锥四边形 20.解：（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据处理如下：对处理后的数据，容易算得.2.3,5.6402604224294192)11()2()21()4(,2.3,02222=-===+++⨯+⨯+-⨯-+-⨯-===x b y a b y x 由上述计算结果，知所求回归直线方程为ˆ257(2006) 6.5(2006) 3.2,yb x a x -=-+=-+ 即ˆ 6.5(2006)260.2.y x =-+ ①（2）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为2.2992.26065.62.260)20062012(5.6=+⨯=+-（万吨）≈300（万吨）.21．解：（1）设122,,,n t t t +构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则,2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ①2121,n n n T t t t t ++=⋅⋅⋅⋅ ②①×②并利用231210(12),i n i n t t t t i n +-+==+≤≤得22(2)12211221()()()()10,lg 2, 1.n n n n n n n n T t t t t t t t t a T n n +++++=⋅⋅⋅⋅===+从而≥ （2）由题意和（1）中计算结果，知tan(2)tan(3), 1.n b n n n =+⋅+≥另一方面，利用tan(1)tan tan1tan[(1)],1tan(1)tan k k k k k k +-=+-=++⋅ 得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+k k k k 所以∑∑+==⋅+==231tan )1tan(n k n k k n k k b S 23tan(1)tan [1]tan1tan(3)tan 3.tan1n k k k n n +=+-=-+-=-∑。

2009年高考数学(湖南)理(word版含答案)

12分）2⋅=⋅=，求角233AB AC AB AC BC20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点(30)F ，的距离的4倍与它到直线2x =的距离的3倍之和记为d ．当P 点运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和．（Ⅰ）求点P 的轨迹C ；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最大值． 21．（本小题满分13分）对于数列{}n u ，若存在常数0M >，对任意的n ∈*N ，恒有1121||||||n n n n u u u u u u M +--+-++-≤，则称数列{}n u 为B -数列．（I ）首项为1，公比为q （||1q <）的等比数列是否为B -数列？请说明理由；（Ⅱ）设n S 是数列{}n x 的前n 项和．给出下列两组论断： A 组：①数列{}n x 是B -数列， ②数列{}n x 不是B -数列； B 组：③数列{}n S 是B -数列， ④数列{}n S 不是B -数列．请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题．判断所给命题的真假，并证明你的结论；（Ⅲ）若数列{}n a ，{}n b 都是B -数列，证明：数列{}n n a b 也是B -数列．23AB AC AB AC⋅=⋅得2bc(0π)A∈，，因此π6A=．23AB AC BC⋅=得bc5π3 sin sin()C C⋅-=1AE A =，所以，故平面ADE 如图所示，设DDF D =，所以11A B ∥，AB ⊥平面C 易知AB =（3，AC =（0，，AD =3⎛ ，，32AB x AC y ==+·33x y =-||ADAD AD >=·，n n 210=由此即知，直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值为2|a a ++-1)．2|S S ++-}n 不是B -2|S S ++-22|a b ++-21a a ++-21)b b ++-。

2011年高考数学全国数学文(word版含答案)

选择题1．设集合U ={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U M N ð（∩）=（）.(A){}12，(B){}23，(C){}2，4(D){}1，42．函数0)y x =≥的反函数为（）.(A)2()4x y x =∈R (B)2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x ∈R(D)24(0)y x x =≥3．设向量,a b 满足1||||1,2==⋅=-a b a b ,则2+=a b （）.4．若变量,x y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（）.(A)17(B)14(C)5(D)35．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是（）.(A)a >1b + (B)a >1b - (C)2a >2b (D)3a >3b6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差d = 2，224k k S S +-=,则k = （）.(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 57．设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（）.(A)13(B) 3 (C) 6 (D) 98．已知直二面角l αβ--，点,,A AC l α∈⊥C 为垂足，点,B BD l β∈⊥，D 为垂足，若AB =2，1AC BD ==，则CD =（）.(A)2(D)19．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）. (A)12种 (B)24种 (C)30种 (D)36种 10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=（）.(A) 12-(B)1 4-(C)14(D)1211．设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =（）.(A)4(B)(C)8(D)12．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N .若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（）. (A)7π (B)9π (C)11π (D)13π填空题13．10(1)x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为． 14．已知α∈（3,2ππ），tan 2,cos αα=则= ． 15．已知正方体1111ABCD A BC D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为．16．已知12,F F 分别为双曲线C : 221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为（2，0），AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = ．解答题17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S .18．△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．己知sin sin sin sin ,a A c C C b B += （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若75,2,A b ==求a c ,.19．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立.（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（II ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.20．如下图，四棱锥S ABCD -中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，AB =BC =2，CD =SD =1.（I ）证明：SD ⊥平面SAB ；（II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小.21．已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a =++---∈R . （I ）证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）；（II ）若0()f x x x =在处取得极小值，0(1,3)x ∈，求a 的取值范围.22．如下图，已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交于,A B 两点，点P 满足.OA OB OP ++=0（Ⅰ）证明：点P 在C 上；（II ）设点P 关于O 的对称点为Q ，证明：,,,A P B Q 四点在同一圆上.参考答案1.D提示：由于{2,3}M N =，所以(){1,4}U MN =ð；2.B提示：由y ＝x ≥0），得x ＝24y （y ≥0）.故所求反函数为y ＝24x （x ≥0）.3.B提示：222441423,+=++⋅=+-=a b a b a b 即2+=a b4.C提示：如下图，约束条件所表示的可行域为阴影部分，把直线2x ＋3y ＝0平移，当它过点A (1，1)时，函数23z x y =+的值达到最小，所以z min ＝2×1＋3×1＝5；5.A提示：这需要逐个判断和辨别：对于（B ），1a b >-是a b >成立的必要不充分条件；对于（C ），22a b >是a b >成立的既不充分又不必要条件；对于（D ），33a b >是a b >成立的充要条件；只有（A ），1a b >+是使a b >成立的充分而不必要条件. 6.D提示：因为212111()[(1)]2(21)k k k k S S a a a kd a k d a k d +++-=+=++++=++，所以22(21)24k ++=，解得k ＝5. 7.C提示：两个图像能再次重合，说明平移的单位长度3π应为最小正周期的整数倍，即23kT k ωππ==⋅，k ∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z .故正数ω的最小值为6. 8.C提示：如下图，依题意可知AC β⊥，故AC BC ⊥.又2,1,AB AC BD ===，可得BC =CD9.B提示：本题可分两步，第一步是从4位同学中选出2人选修课程甲，有24C 种不同的方法；第二步是剩下的2位同学选乙或丙课程，有2×2种不同的方法.根据分步计数原理，不同的选法共有24C 2224⨯⨯=种.10.A提示：5511111()(+2)=()=()=2(1)2222222f f f f -=----⨯-=-⨯.11.C提示：依题意，这样的圆必位于第一象限，设半径为r ，则圆心为(r ，r )，所以2224+1-)r r r -=（）（，即210170r r -+=.若两圆的半径分别为12,r r ，则两圆心的距离128C C ====.12.D提示：如下图，圆M 的半径是2，球的半径为4，故球心O 到圆M 的距离为322422=-=OM .又圆N 所在平面与圆M 所在平面成60︒二面角，所以球心O 到圆N 的距离为32==OMON ，所以圆N 的半径1334222=-=-=ON R r ，于是面积为2r ππ=13.13．0A B lC D αβE提示：通项公式11010()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-，故x 的系数是110C -，9x 的系数是910C -，根据组合数性质191010C C =，所以系数之差为0. 14．提示：由()2α3π∈π，，tan 2α=，得541t a n1s e c 2-=+-=+-=αα，故55s e c 1c o s -==αα； 15．23提示：如下图，连结DE ，则DAE ∠就是异面直线AE 与BC 所成的角，易得32231c o s ===∠AE AD DAE .16．6提示：由1(6,0)F - ，2(6,0)F ，(2,0)M ，知1284MF MF ==，.根据角平分线定理，得22121==MF MF AF AF ，即212AF AF =.又根据双曲线的定义，知6221==-a AF AF ，解得62=AF . 17．解：设{}n a 的公比为q ，由题设得12116,630.a q a a q =⎧⎨+=⎩解得113,2,2, 3.a a q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或当113,2,32,3(21);n n n n a q a S -===⨯=⨯-时当112,3,23,3 1.n n n n a q a S -===⨯=-时18．解：（I）由正弦定理得222.a c b +=由余弦定理得2222cos .b a c ac B =+-故cos 45.B B ==︒因此（II ）sin sin(3045)A =︒+︒s i n 30c o s 45c o s 30s i n 45=︒︒+︒︒=故sin 1sin A a b B =⨯==+sin sin 602sin sin 45C c b B ︒=⨯=⨯=︒19．记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买. （I ）()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===+()()()()0.8P C P A B P A P B =+=+= . （II ）,()1()10.80.2,D C P D P C ==-=-=123()0.20.80.384.P E C =⨯⨯=20．解：（I ）如下图所示，取AB 的中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ==. 连结SE，则,SE AB SE ⊥ 又1SD =，故222ED SE SD =+，所以DSE ∠为直角. 由,,AB DE AB SE DESE E ⊥⊥=，得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥. SD 与两条相交直线AB ,SE 都垂直. 所以SD ⊥平面SAB .（II ）由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE . 作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD，2SD SE SF DE ⨯==. 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG =DC =1. 连结SG ，则SG BC ⊥. 又,BC FG SGFG G ⊥=，故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG .作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC .S F F G FH SG ⨯==，即F 到平面SBC.由于ED //BC ，所以ED //平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也为7.设AB 与平面SBC 所成的角为α，则sin arcsin77d EB αα===.21．解：（I ）2'()3636.f x x ax a =++-由(0)124,'(0)36f a f a =-=-得曲线()0y f x x ==在处的切线方程为(36)124y a x a =-+-，由此知,曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）（II ）由2'()02120.f x x ax a =++-=得（i ）当11,()a f x ≤≤时没有极小值；（ii ）当11,'()0a a f x ><=或时由，得12x a x a =-=-+故02.x x =由题设知，1 3.a <-当1a >时，不等式13a <-无解；当1a <时，解不等式513, 1.2a a <-<-<<得综合（i ）（ii ），得a 的取值范围是5(,1).2-22．解：（I ）由题知(0,1)F ，则直线l 的方程为1y =+，代入2212y x +=并化简，得2410x --=.设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y则12,44x x ==121212)212x x y y x x +=+=++=.由题意，得312312()()12x x x y y y =-+=-=-+=-. 所以点P的坐标为(1)-. 经验证，点P的坐标为(1)-满足方程221,2y x +=故点P 在椭圆C 上. （II）由(1)2P --和题设知，(2Q ，PQ 的垂直平分线1l 的方程为2y x =.①设AB 的中点为M，则1()42M ，AB 的垂直平分线2l 的方程为14y x =+.②由①，②得12,l l的交点为1()8N .21||8||||2||||||NP AB x x AM MN NA ===-======故||||NP NA =.又||||NP NQ =，||||NA NB =，所以||||||||NA NP NB NQ ===，由此知,,,A P B Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上.。

2009年高考数学(广东)文(word版含答案)

（Venn）图是（ U N M A．
n
） U N M B． U M C．） N U M D． N
2．下列 n 的取值中，使 i 1 （ i 是虚数单位）的是（ A． n 2 B． n 3 C． n 4
2
D． n 5 ）
3．已知平面向量 a ( x，， 1) b ( x，x ) ，则向量 a b （ A．平行于 x 轴 C．平行于 y 轴 B．平行于第一、三象限的角平分线 D．平行于第二、四象限的角平分线
A＝75° ，则 b （
A．2
） C． 4－2 3 ） D． D．
B． 4＋2 3
6－ 2
8．函数 f ( x) ( x 3)e x 的单调递增区间是（ A． ,2 9．函数 y 2cos x
2
B．（0，3）
C．（ 4
试卷类型：A
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” ． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式 V

(完整word版)高一数学集合练习题

高一数学集合的练习题及答案一、、知识点：本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。

在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。

本章知识结构1、集合的概念集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。

理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。

对象――即集合中的元素。

集合是由它的元素唯一确定的。

整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。

确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。

不同的――集合元素的互异性。

2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。

我们理解起来并不困难。

我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。

理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。

几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。

3、集合的表示方法（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：①元素不太多的有限集，如{0，1，8}②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3， (100)③呈现一定规律的无限集，如{1，2，3，…，n，…}●注意a与{a}的区别●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。

（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。

但关键点也是难点。

学习时多加练习就可以了。

另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。

如{x|y ＝x 2}， {y|y ＝x 2}， {（x ，y ）|y ＝x 2}是三个不同的集合。

4、集合之间的关系●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。

“包含”关系是集合与集合之间的关系。

掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn 图描述集合之间的关系是基本要求。