随机数的产生与检验优秀课件

随机数。
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（二）产生随机数的一般方法：
手工方法：抽签、掷骰子、摇号等； 随机数表法：占用内存大，目前已很少使用； 物理方法：放射性衰变、电子设备的热噪音、
宇宙射线的触发时间等等；不能重复计算； 数学方法：使用最广。
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（三）伪随机数
伪随机数：在计算机上用数学方法产生均匀随机数 是指按照一定的计算方法而产生的数列，它们具有 类似于均匀随机变量的独立抽样序列的性质，这些 数既然是依照确定算法产生的，便不可能是真正的 随机数，因此常把用数学方法产生的随机数称为伪 随机数。
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定理
定理1.1：设 F(x) 是连续且严格单调上升的分 布函数，它的反函数存在，且记为 F 1(x) ， 即 F[F 1(x)] x
1、若随机变量 的分布函数为 F(x) ，则
F( ) ~ U (0,1)
2、若随机变量 R ~ U (0,1) ，则 F 1(R) 的分布函 数为 F(x)
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证明：
求余运算的式子A(mod M)定义为：
A(modM )
A
A M
M
A
A A
M
M
when A M when A M
其中
A M
表示求
A M
的整数部分。
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线性同余法（Linear Congruence Generator，LCG） 的递推公式为：
xn (axn1 c)(modM )
随机数的产生与检验优秀课件
第一节 概论
（一）基本概念和定理
1. 意义：由于在统计学的不同技术中需要 使用随机数，比如从统计总体中随机抽取 样本时，或者在将实验动物随机分配到不 同的试验组的过程中，或者在进行蒙特卡 罗模拟法计算的时候等等，所以。。。
2.定义：设随机变量X~F(x),则称随机变量X 的抽样序列{Xi}为分布F(x)的随机数。
xn (axn1 c)(modM )
rn xn M
初值x 0
n 1,2,...
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两个常用的混合同余发生器：
xn
(515 xn1 1)(mod235 ) rn xn 235 x0 235
n 1,2,...
xn
(314159269xn1 453806245)(mod231) rn xn 231 x0 231
统计检验：对生成的伪随机数进行假设检验 理论检验：从理论上讨论随机数发生器性质
rn xn M
初值x 0
n 1,2,...
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线性同余法的周期：
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线性同余法产生的序列 x0, x1, x2, 一定会重复，因 为周期最多只有M个可能取值。
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满周期
说明：满周期是T=M时。
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补充1：混合同余发生器 与
素数模乘同余发生器
当c≠0时，下式称为混合同余发生器，当 c=0时，称为乘同余发生器，此时当模为 素数时，称它为素数模乘同余发生器。
伪随机数不可能真随机；
需要对产生的伪随机数进行各种检验保证其符合独 立性条件且分布为要求的分布；
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第二节 均匀随机数的产生
均匀随机数的产生： 主要有线性同余法（LCG），组合同余法，
反馈位移寄存器方法等
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（一）同余与线性同余法
同余
性质：
① 对称性：a≡b(mod M)，则b≡a(mod M). ② 传递性:若a≡b(mod M)，b≡c(mod M)，则a≡c(mod M).
设随机变量 F ( ) 的分布函数为 F1(u) ，当u [0,1]
时，F1(u) P{F ( ) u} P{ F 1(u)} F[F 1(u)] u 当u 0时，F1(u) 0 ；当u 1时， F1(u) 1 所以 F( ) ~ U (0,1) 设F 1(R) 的分布函数为F2 (x)， 则
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常用的素数模乘同余发生器 ：
x
n
3125 xn1 (mod 235 rn xn (235 31)
x0 235 31
31)
n 1,2,...
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常用的素数模乘同余发生器 ：
x
n
ai xn1 (mod 231
rn
xn (2 31
1)
x0 231 1
1)
(i 1,2,3,4)
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Maclaren 和 Marsaglia在1965年 提出的著名的组合发生器是组合同余 发生器,该算法的具体步骤如下：
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步骤： 1.用第一个LCG产生 k 个随机数，一般取 k 218 。这 k 个 随机数被顺序地存放在矢量 T (t1,t2 ,,tk ) 中。置 n 1 ;
2 .用第二个LCG产生一个随机整数 j ,要求 1 j k ;
③
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性质4：
例如：已知12≡60(mod 16)，M=16，取C=6，a=2， b=10，因为(M,C)=2，则有2≡10(mod 8)，其中 M/(M,C)=16/2=8。 或者，取C=12， M=16，因为(M,C)=4，则有1≡5(mod 4)，其中M/(M,C)=16/4=4。
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求余运算
3. 令 xn t j ，然后再用第一个LCG产生一个随机数 y ,
令 t j y ；置 n n 1 ;
4 .重复2~3，得随机数列 xn ，即为组合同余发生器产生 的数列。若第一个LCG的模为 M ，令 rn xn M ，则 rn 为
均匀随机数。
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第三节 随机数检验
检验目的：检验均匀伪随机数符合独立同均匀分布； 两种检验方法
F2 (x) P{F 1(R) x} P{R F (x)} FR[F (x)] F (x)
因为 R ~ U (0,1) ，对任意 F(x) [0,1] 有 FR (F(x)) F(x) 。 所以 F 1(R) 的分布函数为 F(x)
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定理1.1说明了任意分布的随机数均可由均匀分布 U (0,1) 的随机数变换得到。常简称 U (0,1) 的随机数为均匀分布
n 1,2,...
a1 16807
a3 764261123
a2 397204094
a4 630360016
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补充2：组合发生器 ：
思想： 先用一个随机数发生器产生的随机数列为
基础，再用另一个发生器对随机数列进行重新 排列得到的新数列作为实际使用的随机数。这 种把多个独立的发生器以某种方式组合在一起 作为实际使用的随机数，希望能够比任何一个 单独的随机数发生器得到周期长、统计性质更 优的随机数，即组合发生器。