自适应算法的收敛性分析
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t0
∂ym (t ) [K m − K ] ∂Km
+
∂ym (t ) ∂y (t ) [τ − τ ] + m [Tm − T ]} dt ∂τm (t ) m Tm (t )
tห้องสมุดไป่ตู้
(t )dt = θm (t0 ) − c(t )λ ∫ h(t )h T (t )θ
t0
(5 -23)
上式的离散形式为
⎡ ⎤ K Km E (s ) = Y (s ) − Ym (s ) = U (s ) ⎢ e −τ s − e −τms ⎥ 3 3 ⎢⎣ (Ts + 1) ⎥⎦ (Tms + 1)
(5-14) (5-15) (5-16)
θm (t ) = [Km (t ), τm (t ),Tm (t )]T
θ(t ) = [K (t ), τ(t ),T (t )]T
θm (t ) = θm (t0 ) − c(t )λ ∂J ∂θm (t )
t t0
θm (t )=θ(t )
= θm (t0 ) − c(t )λ ∫ h(t )e(t )dt
(5-17)
这里 h(t ) 是自适应系统当 θm (t ) = θ(t ) 时的敏感度函数，即
⎡ ⎤T 1 ′ (t, θ) ⎥ m (t, θ), 3ym h(t ) = ⎢ − ym (t, θ), y ⎣⎢ K m (t ) ⎦⎥
由式(5-23)和(5-25)，可得
( k ), k ⎤ = ∆V ⎣⎡ θ ⎦ i ( k + 1 ) − θ i ( k ) ⎤ ⎡ θ ⎤ ∑ ⎣⎡ θ ⎦ ⎣ i ( k + 1 ) + θi ( k ) ⎦
i =1 3
λ
i
k k ⎡ ⎤T ⎡ ⎤ ( k ) − c(k )λ T ( k ) λ −1θ (k ) ⎢ = ⎢ θ ( k ) − c(k )λ ∑ h ( i )e ( i ) ⎥⎥ λ −1 ⎢⎢ θ ∑ h ( i )e ( i ) ⎥⎥ − θ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ i =k 0 i =k 0
(k ),k ] ≤ 0 , 因此参数偏差方程(2-25)是大范围一致渐近稳定的，有 ∆V [θ (k ) = 0 即 lim θ
自适应算法的收敛性分析
最速下降法是设计模型参考自适应系统参数自适应律的一种有效方法，可以 适用于不同的自适应结构。然而直接采用最速下降法设计的自适应控制系统，同 采用其它局部参数最优化方法的系统一样，不能保证参数调整过程中，系统总是 稳定的，即存在算法的收敛性或者说系统的稳定性问题。这主要是因为最速下降 法是以驱动模型误差 e 为零的思想为基础的，但这未必能使可调参数达到它们的 精确值， 其收敛性很大程度上依赖于自适应增益的选择。 当自适应增益足够小时， 可保证系统的稳定性，但自适应收敛速度可能相当缓慢；当自适应增益过大时， 自适应参数可能不能收敛，导致系统不稳定。 （对改进算法 2） 一个好的自适应控制系统必须给出自适应算法收敛性的充分保证，不仅能使 模型误差 e 趋于零，而且能以较快的速度使可调参数收敛于它的准确值。这里我 们采用了一类基于 Lyapunov 稳定性理论的设计方法，其基本思想是保证控制器 参数自适应调节过程是稳定的，然后再尽量使这个过程收敛快一些。
(i )] θm (k + 1) = θm (k0 ) − c(k )λ ∑ [h(i )h T (i )θ
i =k0 k
(5-24)
(k0 ) = θ (j )=θ (k ) 。 由于算法在求和区域 k0 ≤ j ≤ k 内 ， θ
因 此 ，(5-24) 式 可 进 一 步 表 示 为
k ⎡ ⎤ (k + 1) = ⎢ I-c(k )λ (k ) θ ∑ h(i)h T (i) ⎥⎥ θ ⎢ i = k0 ⎣⎢ ⎦⎥
k ⎡ 3 ⎤ ⎡ k ⎤2 ⎢ ⎢ = c(k ) ⎢ ∑ λic(k ) ⎢ ∑ hi ( j ) e( j ) ⎥⎥ − 2 ∑ e 2 ( j ) ⎥⎥ ⎢⎣ j =k0 ⎥⎦ ⎢⎣ i =1 ⎥⎦ j =k 0
(5-28)
(k ),k ] ≤ 0 ，c(k)应满足： 考虑到 c(k)≥0，要使 ∆V [θ
(5-27)
(k ),k ] 满足下列条件： 显然由式(5-26)所定义的V [θ
(k ) ≠ 0 ，V [θ (k ),k ] > 0 ； z 对所有 θ (k ) = 0 ，V [θ (k ),k ] = 0 ； z 对于 θ (k ),k ] → ∞ 。 (k ) → ∞ ，V [θ z 当 θ
(5-18)
定义参数偏差矢量：
(t ) = θm (t ) − θ θ
(5-19)
利用台劳展式将 ym (θm , t ) 在 θ 处展开，得
t
θm (t + ∆t ) = θm (t0 ) − c(t )λ ∫ h(t )[y(θ,t ) − ym (θm , t )]dt
t0 t
≈ θm (t0 ) − c(t )λ ∫ { h(t )[y(θm , t ) − ym (θ, t )] +
⎡ k ⎤ = c 2 (k ) ⎢⎢ ∑ e(i )hT ( i ) ⎥⎥ λ ⎥⎦ ⎣⎢ i =k0
⎡ k ⎤ ⎡ k ⎤ ⎢ ∑ h (i ) ⎥ − 2c(k ) ⎢ ∑ e(i )hT ( i ) ⎥ θ e ( i ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (k ) ⎥⎦ ⎣⎢ i =k0 ⎦⎥ ⎣⎢ i =k0
k
2 ∑ e2 (j ) 0 ≤ c(k ) ≤
j = k0
⎡ k ⎤2 ⎢ ⎥ ( ) λ h j e ( j ) ∑ i⎢∑ i ⎥⎥ ⎢⎣ j =k0 i =1 ⎦
3
(5-29)
根 据 Lyapunov 稳 定 性 定 理 ， 满 足 (2-29) 式 的 自 适 应 增 益 c(k) 可 使
(5-25)
(k ) 的自由运动方程，可由 Lyapunov 稳定性理论判断其稳定性。 上式是关于 θ
定义
(k ), k ⎤ = θ T (k )λ−1θ (k ) = V ⎡⎣ θ ⎦ i 2 (k ) λ i ∑θ
i =1 3
(5-26)
(k ), k ] = V [θ (k + 1), k + 1] − V [θ (k ), k ] ∆V [θ
∂ym (t ) [K m − K ] ∂Km
+
∂ym (t ) ∂y (t ) [τ − τ ] + m [Tm − T ]} dt ∂τm (t ) m Tm (t )
tห้องสมุดไป่ตู้
(t )dt = θm (t0 ) − c(t )λ ∫ h(t )h T (t )θ
t0
(5 -23)
上式的离散形式为
⎡ ⎤ K Km E (s ) = Y (s ) − Ym (s ) = U (s ) ⎢ e −τ s − e −τms ⎥ 3 3 ⎢⎣ (Ts + 1) ⎥⎦ (Tms + 1)
(5-14) (5-15) (5-16)
θm (t ) = [Km (t ), τm (t ),Tm (t )]T
θ(t ) = [K (t ), τ(t ),T (t )]T
θm (t ) = θm (t0 ) − c(t )λ ∂J ∂θm (t )
t t0
θm (t )=θ(t )
= θm (t0 ) − c(t )λ ∫ h(t )e(t )dt
(5-17)
这里 h(t ) 是自适应系统当 θm (t ) = θ(t ) 时的敏感度函数，即
⎡ ⎤T 1 ′ (t, θ) ⎥ m (t, θ), 3ym h(t ) = ⎢ − ym (t, θ), y ⎣⎢ K m (t ) ⎦⎥
由式(5-23)和(5-25)，可得
( k ), k ⎤ = ∆V ⎣⎡ θ ⎦ i ( k + 1 ) − θ i ( k ) ⎤ ⎡ θ ⎤ ∑ ⎣⎡ θ ⎦ ⎣ i ( k + 1 ) + θi ( k ) ⎦
i =1 3
λ
i
k k ⎡ ⎤T ⎡ ⎤ ( k ) − c(k )λ T ( k ) λ −1θ (k ) ⎢ = ⎢ θ ( k ) − c(k )λ ∑ h ( i )e ( i ) ⎥⎥ λ −1 ⎢⎢ θ ∑ h ( i )e ( i ) ⎥⎥ − θ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ i =k 0 i =k 0
(k ),k ] ≤ 0 , 因此参数偏差方程(2-25)是大范围一致渐近稳定的，有 ∆V [θ (k ) = 0 即 lim θ
自适应算法的收敛性分析
最速下降法是设计模型参考自适应系统参数自适应律的一种有效方法，可以 适用于不同的自适应结构。然而直接采用最速下降法设计的自适应控制系统，同 采用其它局部参数最优化方法的系统一样，不能保证参数调整过程中，系统总是 稳定的，即存在算法的收敛性或者说系统的稳定性问题。这主要是因为最速下降 法是以驱动模型误差 e 为零的思想为基础的，但这未必能使可调参数达到它们的 精确值， 其收敛性很大程度上依赖于自适应增益的选择。 当自适应增益足够小时， 可保证系统的稳定性，但自适应收敛速度可能相当缓慢；当自适应增益过大时， 自适应参数可能不能收敛，导致系统不稳定。 （对改进算法 2） 一个好的自适应控制系统必须给出自适应算法收敛性的充分保证，不仅能使 模型误差 e 趋于零，而且能以较快的速度使可调参数收敛于它的准确值。这里我 们采用了一类基于 Lyapunov 稳定性理论的设计方法，其基本思想是保证控制器 参数自适应调节过程是稳定的，然后再尽量使这个过程收敛快一些。
(i )] θm (k + 1) = θm (k0 ) − c(k )λ ∑ [h(i )h T (i )θ
i =k0 k
(5-24)
(k0 ) = θ (j )=θ (k ) 。 由于算法在求和区域 k0 ≤ j ≤ k 内 ， θ
因 此 ，(5-24) 式 可 进 一 步 表 示 为
k ⎡ ⎤ (k + 1) = ⎢ I-c(k )λ (k ) θ ∑ h(i)h T (i) ⎥⎥ θ ⎢ i = k0 ⎣⎢ ⎦⎥
k ⎡ 3 ⎤ ⎡ k ⎤2 ⎢ ⎢ = c(k ) ⎢ ∑ λic(k ) ⎢ ∑ hi ( j ) e( j ) ⎥⎥ − 2 ∑ e 2 ( j ) ⎥⎥ ⎢⎣ j =k0 ⎥⎦ ⎢⎣ i =1 ⎥⎦ j =k 0
(5-28)
(k ),k ] ≤ 0 ，c(k)应满足： 考虑到 c(k)≥0，要使 ∆V [θ
(5-27)
(k ),k ] 满足下列条件： 显然由式(5-26)所定义的V [θ
(k ) ≠ 0 ，V [θ (k ),k ] > 0 ； z 对所有 θ (k ) = 0 ，V [θ (k ),k ] = 0 ； z 对于 θ (k ),k ] → ∞ 。 (k ) → ∞ ，V [θ z 当 θ
(5-18)
定义参数偏差矢量：
(t ) = θm (t ) − θ θ
(5-19)
利用台劳展式将 ym (θm , t ) 在 θ 处展开，得
t
θm (t + ∆t ) = θm (t0 ) − c(t )λ ∫ h(t )[y(θ,t ) − ym (θm , t )]dt
t0 t
≈ θm (t0 ) − c(t )λ ∫ { h(t )[y(θm , t ) − ym (θ, t )] +
⎡ k ⎤ = c 2 (k ) ⎢⎢ ∑ e(i )hT ( i ) ⎥⎥ λ ⎥⎦ ⎣⎢ i =k0
⎡ k ⎤ ⎡ k ⎤ ⎢ ∑ h (i ) ⎥ − 2c(k ) ⎢ ∑ e(i )hT ( i ) ⎥ θ e ( i ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (k ) ⎥⎦ ⎣⎢ i =k0 ⎦⎥ ⎣⎢ i =k0
k
2 ∑ e2 (j ) 0 ≤ c(k ) ≤
j = k0
⎡ k ⎤2 ⎢ ⎥ ( ) λ h j e ( j ) ∑ i⎢∑ i ⎥⎥ ⎢⎣ j =k0 i =1 ⎦
3
(5-29)
根 据 Lyapunov 稳 定 性 定 理 ， 满 足 (2-29) 式 的 自 适 应 增 益 c(k) 可 使
(5-25)
(k ) 的自由运动方程，可由 Lyapunov 稳定性理论判断其稳定性。 上式是关于 θ
定义
(k ), k ⎤ = θ T (k )λ−1θ (k ) = V ⎡⎣ θ ⎦ i 2 (k ) λ i ∑θ
i =1 3
(5-26)
(k ), k ] = V [θ (k + 1), k + 1] − V [θ (k ), k ] ∆V [θ