圆中考数学压轴题

1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°.

（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标.

（2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明.

（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式.

2 如图（4），正方形111

OA B C的边长为1，以O为圆心、

1

OA为半径作扇形

1111

OAC AC

，与

1

OB相交于点

2

B，设正方形

111

OA B C

与扇形

11

OA C之间的阴影部分的面积为

1

S；然后以

2

OB为对角线作正方形

222

OA B C，又以O为圆心，、

2

OA为半径作扇形

22

OA C，22

A C与

1

OB相交于点

3

B，设正方形

222

OA B C与扇形

22

OA C之间的阴影部分面积为

2

S；按此规律继续作下去，设正方形

n n n

OA B C

与扇形

n n

OA C之间的阴影部分面积为

n

S．

（1）求

123

S S S

，，；

（2）写出

2008

S；

（3）试猜想

n

S（用含n的代数式表示，n为正整数）．

3 (10分)如图，点I是△ABC的内心，线段A I的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．

（1）求证：I D=BD；

（2）设△ABC的外接圆的半径为5，I D=6，AD x

=，DE y

=，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

4 如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧BD的中点，AC交BD于点E，AE＝2，EC＝1．

（1）求证：DEC

△∽ADC

△；（3分）

（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予

证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．（4分）

（3）延长AB到H，使BH＝OB．

1

B2

B3

A1

A2

A3

O

C

C

C

图4

S2

S1

S3

求证：CH是⊙O的切线．（3分）

5 如图10，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为BC上的一动点．

（1）问添加一个什么条件后，能使得

BD BE

BC BD

？请说明理由；

（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；

（3）如图11，在（1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．

6 如图1，已知正方形ABCD的边长为点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．

（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）？

（2）求四边形CDPF的周长；

（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF*FG=CF*OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．

G

7 如图，在平面直角坐标系

xoy 中，M 是x 轴正半轴上一点，M 与x 轴的正半轴交于A B ，两点，A 在B 的左侧，且OA OB

，的长是方程2

12270x x -+=的两根，ON 是M 的切线，N 为切点，N 在第四象限．

（1）求

M 的直径．

（2）求直线ON 的解析式．

（3）在x 轴上是否存在一点T ，使OTN △是等腰三角形，若存在请在图2中标出T 点所在位置，并画出OTN △（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T 的坐标）若不存在，请说明理由．

·

M · A

F

C

O

P E D

图

1

图1

图2

1 解：（1）连结AD. ∵∠ABO=60°,

∴∠ADO=60°…..1分

由点A 的坐标为（3，0）得OA=3. ∵在Rt △ADO 中有 cot ∠ADO=

OD

OA

,…………….2分 ∴OD=OA ·cot ∠ADO=3·cot60°=3×

3

3

=3. ∴点D 的坐标为（0，3）……………3分

（2）DC 与△AOB 的外接圆相切于点D ，理由如下: 由（1）得OD=3 ,OA=3. ∴2

2

22(3)323AD OD OA =+=

+=.

又∵C 点坐标是（-1，0）, ∴OC=1.

∴2222

1(3)2CD OC OD =+=+=………………4分 ∵AC=OA+OC=3+1=4,

∴CD 2

+AD 2

=22

+(23)2

=42

=AC 2

…………………5分 ∴∠ADC=90°,即AD ⊥DC.

由∠AOD=90°得AD 为圆的直径.

∴DC 与△AOB 的外接圆相切于点D ……………6分

（说明：也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解.） （3）由二次函数图象过点O （0，0）和A （3，0）, 可设它的解析式为 y=ax(x-3)（a ≠0）.

如图，作线段OA 的中垂线交△AOB 的外接圆于E 、F 两点，交AD 于M 点，交OA 于N 点. 由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知，抛物线的顶点就是点E 或F.

M E

F

N