常用统计量分布表
统计量及其分布
样本均值的抽样分布 (例题分析)
【例】设一个总体含有4 个个体，分别为X1=1、X2=2、 X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下。
总体均值和方差
总体的频数分布
X
i 1
N
i
N
N
2.5
2
2 ( X ) i i 1
0.02 0 2 1 0.1
21 Φ0.2
0.8414
(4) 样本 k 阶(原点)矩
1 n k Ak X i , k 1, 2, ; n i 1
1 n k 其观察值 k x i , k 1, 2, . n i 1
n n 1 2 1 2 2 E( S ) E X i nX (Xi X ) E n 1 i 1 n 1 i 1
2
1 n 2 2 E ( X i ) nE ( X ) n 1 i 1 2 1 n 2 2 2 ( ) n 2 n 1 i 1 n
n
k 1
n
2
2
n
,
定理 设总体X的期望E(X) = ,方差D(X) = 2，X1， X2，…，Xn为总体X的样本， X，S2分别为样本均值 和样本方差，则
E( X ) E( X )
D( X ) 2 D( X ) n n
E( S 2 ) D( X ) 2
思考：在分组样本场合，样本均值如何计算？ 二者结果相同吗？
x1 f1 x n f n 其中 x n
常用统计量与计算方法
代入公式（3—5）得：
Md
L
i
n
15 68
( c) 57 ( 16) 70.5
(天)
f2
20 2
即间隔时间的中位数为70.5天。
L — 频数最多所在组的下限
i — 组距 （即全距/组数）
f — 频数最多所在组的频数
n — 总频数（即总次数）
c — 小于频数最多所在组的累加频数
19
（三）众数 (mode) M0 (书 P17)
26
为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变异 程度 ，人们 首 先会考虑到以平均数为标准，求 出各个观测值与平均数的离差，（x x） ，称为 离均差。
虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的 性质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均 差之和 为零，即Σx（ x ） = 0 ，因 而 不 能 用离均差之和Σ（x x ）来 表 示 资料中所有观 测值的总偏离程度。
注： 小样本的自由度为n-1
x x 2
n 1
n 30
35
标准差的计算方法
上述计算方法需先求出平均数（一般为约数），容易 引起计算误差，因此采用原始数据进行计算 (书P20)
大样本： S x 2 x 2 / n
n
小样本： S x 2 x 2 / n
n -1
为简化计算过程，若试验观测数值较大（小）时，可将各观测值
乙组的变异明显低于甲组， R 不能反映 组内其它数据的 变异度 25
二、变异数
缺点
c. 样本较大时, 抽到较大值与较小值的可能性也较大， 因而样本极差也较大，故样本含量相差较大时，不宜用 极差来比较分布的离散度。
当资料很多，而又要迅速对资料的变异程度作出判断 用途 时，有时可先利用极差判断。
第五章-正态分布、常用统计分布和极限定理
的面积， 然后根据1 0.125 0.875查附表4， 对应
Z 1.15,那么录取分数线
x X Z X 74 1.1511 86.65(分)
表5-2
例11：
0Z 图5-11
(1)求Z 1分数以上的概率是多少 ？
解：Z 1时， (Z) 0.34134, Z以上的概率为
（Z） Z
1
t2
e 2 dt
2
(Z 2 ) 图5-8 Z 2
(Z2 Z1)
图5-9Z1 Z 2
例4：已知服从标准正态分布 N(0，1)， 求P( 1.3) ? 解：因为() 1,() P( 1.3) P( 1.3) 所以( 1.3) 1 P( 1.3) 1 (1.3) 1 - 0.9032 0.0968
2
如果把u 0， 1代入(x)
1
e
(
xu)2
2 2
2
(x)
1
x2
e2
2
标准正态分布其实是一般正态分布的一个特 例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(μ，σ2)。
一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态 分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到μ点， 并且以σ为单位记分。
σ=1
0
图5-5
13.6%
13.6%
2.16% 0.11%
3 2 1 图05-6 1
2.16% 0.11%
23
三、标准分的实际意义
例1：甲、乙、丙3个同学《社会统计学》分数 都是80分，甲同学所在班平均成绩μ甲=80分， μ 乙=75分， μ丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙、 丙3个同学在班上的成绩。
心理统计学重点知识
心理统计学一．描述统计（一）统计图表 1、统计图次数分布图——①直方图：用以矩阵的面积表示连续性随即变量次数分布的图形。
②次数多边形图：一种表示连续性随机变量次数分布的线形图，属于次数分布图。
③累加次数分布图：分为累加直方图和累加曲线图；其中累加曲线的形状大约有三种：一种是曲线的上枝长于下枝（正偏态），另一种是下枝长于上枝（负偏态），第三种是上枝，下枝长度相当（正态分布）。
其他统计图：条形图：用于离散型数据资料； 圆形图：用于间断性资料；线形图：更多用于连续性资料，凡预表示两个变量之间的函数关系，或描述某种现象在时间上的发展趋势，或一种现象随另一种现象变化的情况，用这种方法比较好。
散点图： 2、统计表①简单次数分布表 ②分组次数分布表③相对次数分布表：将次数分布表中各组的实际次数转化为相对次数，即用频数比率表示。
④累加次数分布表⑤双列次数分布表：对有联系的两列变量用同一个表来表示其次数分布。
（二）集中量数 1、算术平均数M1nii XX N==∑优点：反应灵敏；计算严密；计算简单；简明易解；适合于进一步用代数方法演算；较少受抽样变动的影响；缺点：受极端数据的影响；若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数； 计算和运用平均数的原则： 同质性原则；平均数与个体数值相结合的原则； 平均数与标准差、方差相结合原则； 性质：①在一组数据中每个变量与平均数之差的总和等于零②在一组数据中，每一个数都加上一个常数C ，所得的平均数为原来的平均数加常数C ③在一组数据中，每一个数都乘以一个常数C ，所得的平均数为原来的平均数乘以常数C 2、中数：Md 按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数，即这组数据中，一般数据比它大，一般数据比它小。
注意计算方法；3、众数：Mo 是指在次数分布中出现次数最多的那个数值；三者的关系：正偏态分布中，M>Md>Mo 负偏态分布中，M<Md<MoMo=3Md-2M （自己推导一下）（三）差异量数差异量数就是对一组数据的变异性，即离中趋势特点进行度量和描述的统计量，也称为离散量数。
正态分布统计量
正态分布统计量正态分布统计量（Normal Distribution Statistics）是通过对正态分布（Normal Distribution）的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）进行统计学分析而得出的一些数学量。
正态分布是一种经典的概率分布，广泛存在于自然界和社会人文领域，包括但不限于生物统计学、金融学、社会科学等领域中的数据分析研究。
正态分布统计量的研究在基础理论和实际应用中都具有极其重要的意义。
一、正态分布概述正态分布，也被称为高斯分布（Gaussian Distribution），是一种连续型概率分布。
它的概率密度函数在数学上被表示为：f(x) = (1 / sqrt(2πσ²)) * e^(-((x-μ)²/2σ²))其中，μ代表正态分布的期望值，即均值；σ²则表示方差，反映了样本数据的离散程度。
e是自然对数的底数，即2.71828...，sqrt是平方根函数。
这个公式的图形呈钟型，中心对称，两边逐渐递降，且两端趋于无穷小。
因为其形状呈现出如此独特的特征，正态分布被广泛使用并且是许多实际问题的基础。
二、正态分布的重要性为什么正态分布是如此重要呢？这是因为它是自然界、社会人文领域和现代科学中随机变量的模型。
正态分布在许多场合中都会自然出现，因此非常适合于描述自然规律。
例如，在统计学中，一个样本的平均值通常服从正态分布。
在金融领域的股票市场分析中，价格波动通常也服从正态分布。
在社会心理学中，人们的智商分布也呈现正态分布。
此外，中心极限定理（Central Limit Theorem）也是正态分布重要性的原因之一。
中心极限定理表明，随着样本容量的增大，样本均值趋向于服从正态分布。
因此，如果我们知道一个样本的样本均值和方差，我们就可以使用正态分布统计量来预测整个总体的分布情况。
三、正态分布统计量正态分布统计量是对正态分布进行分析时引入的一些基本概念和指标。
spss教程-常用的数据描述统计：频数分布表等--统计学
第二节常用的数据描述统计本节拟讲述如何通过SPSS菜单或命令获得常用的统计量、频数分布表等。
1．数据这部分所用数据为第一章例1中学生成绩的数据,这里我们加入描述学生性别的变量“sex”和班级的变量“class”，前几个数据显示如下（图2－2），将数据保存到名为“2—6—1.sav”的文件中。
图2－2：数据输入格式示例1．Frequencies语句（1）操作打开数据文件“2—6—1。
sav"，单击主菜单Analyze /Descriptive Statistics / F requencies…，出现频数分布表对话框如图2-3所示。
图2－3：Frequencies定义窗口把score变量从左边变量表列中选到右边，并请注意选中下方的Display frequency table复选框（要求显示频数分布表）。
如果您只要求得到一个频数分布表,那么就可以点OK按钮了。
如果您想同时获得一些统计量,及统计图表，还需要进一步设置。
①Statistics选项单击Statistics按钮,打开对话框，请按图2—4自行设置。
有关说明如下：(ⅰ）在定义百分位值（percentile value)的矩形框中,选择想要输出的各种分位数，SPSS提供的选项有:●Quartiles四分位数,即显示25%、50%、75％的百分位数。
●Cut points equal 把数据平均分为几份。
如本例中要求平均分为3份.●Percentile显示用户指定的百分位数，可重复多次操作。
本例中要求15％、50％、85%的百分位数。
(ⅱ）在定义输出集中趋势(Central Tendency)的矩形框中，选择想要输出的集中统计量，常用的选项有: ●Mean 算术平均数●Median 中数●Mode 众数●Sum 算术和（ⅲ)在定义输出离散统计量（Dispersion)的矩形框中,选择想要输出的离散统计量，常用的选项有：●Std。
Deviation 标准差●Variance 方差●Range 全距●Minimum 最小值●Maximum 最大值●S。
统计学中常见分布的应用
1引言
在数理统计中，常见的分布包括指数分布，普哇松分布，正态分布， 分布， 分布， 分布．这些常见分布的参数的区间估计和假设检验问题是在日常生产生活中我们常用到的问题，在大部分的文献资料中对正态分布的这一问题讨论较多，本文将就其它五个常见分布的参数的区间估计和假设检验问题进行详细的介绍．其中包括这五种分布的密度函数、性质及其在数理统计中的应用．
那么
～ ，
所以假设拒绝域：对于给定的 和 ，由
，
是自由度为 的 分布之 水平双侧分位数，假设 之 水平的拒绝域是
，
接受域是
．
例某种中药饮片中成分 的含量规定为 ，现在抽验了该药物一批成品中的五个片剂，测得其中成分 的含量分别为： 假设该药物中成分 的含量 服从正态分布，问在 的显著性水平下，抽验结果是否与片剂中成分 的含量为 要求相符？
其中 为常数，这种分布叫作指数分布．显然，我们有
指数分布含有一个参数 ，通常把这分种分布记作 ．如果随机变量 服从指数分布 ，则记为 ～ ，因为
（连续随机变量的分布函数 等于概率密度 在区间 上的反常积分）由此可得指数分布 的分布函数为
=
2.5 普哇松分布
定义5［3］（P64）称随机变量 服从普哇松分布，如果
２五中常见分布的定义及其相关性质
2.1 分布
定义1［1］（P225）称随机变量 服从 分布，自由度为 ，如果它有密度函数
性质假设 独立同标准正态分布，则随机变量
服从 分布，自由度等于 ．
2.2 分布
定义2[1]（P228）称随机变量 服从 分布，自由度为 ，如果它有密度函数
．
性质假设 服从标准正态分布， 服从 分布，自由度为 ，而且 和 相互独立，那么随机变量 ，服从 分布，自由度为 ．
第3节 常用统计分布(三个常用分布)
例2
设X
~
N
(
,
2
),
Y
2
~
2 (n),且X ,Y相互独立,
试求 T X 的概率分布.
Yn
解 因为X ~ N(, 2),所以 X ~ N(0,1)
又Y
2
~
2 (n),且X ,Y独立,则
X
与Y
2
独立,
由定理得
T (X ) / X ~ t(n) (Y / 2) / n Y n
n
事实上，它们受到一个条件的约束：
Xi nX
i 1
n
i 1
Xi
X
1
n
(
i 1
Xi
nX )
1
0
0.
例1
设X1 ,
X 2 ,
,
X
为
6
来
自
正
态
总
体N
(0,1)的
一
组
样
本,
求C1
,
C
使
2
得
Y C1( X1 X 2 )2 C2( X 3 X4 X5 X6 )2
服 从 2分 布.
解
X1
2
4
则C1 1 2 ,C2 1 4 .
3. t 分布 定义 设 X ~ N (0, 1), Y ~ 2 (n), 且 X , Y
独立,则称随机变量 T X 服从自由度为 n Y /n
的 t 分布, 记为T ~ t(n).
t 分布又称学生氏(Student)分布. t(n) 分布的概率密度函数为
2. 2分布（卡方分布）
定义、设 X1, X 2 ,L , X n 相互独立，同服从 N (0, 1)
频数分布表及图形描述
生成交叉频数分布表
列联表的描述性分析
(例题分析—SPSS)
饮 料 类 型* 顾 客 性 别Crosstabulation
列 联 表 的 统 计 描 述
顾 客 性 别 男 饮 料 类 型 果 汁 Count % withi n 饮 料 类 型 % withi n 顾 客 性 别 % of Total Count % withi n 饮 料 类 型 % withi n 顾 客 性 别 % of Total Count % withi n 饮 料 类 型 % withi n 顾 客 性 别 % of Total Count % withi n 饮 料 类 型 % withi n 顾 客 性 别 % of Total Count % withi n 饮 料 类 型 % withi n 顾 客 性 别 % of Total Count % withi n 饮 料 类 型 % withi n 顾 客 性 别 % of Total 1 16.7% 4.5% 2.0% 6 60.0% 27.3% 12.0% 7 63.6% 31.8% 14.0% 2 25.0% 9.1% 4.0% 6 40.0% 27.3% 12.0% 22 44.0% 100.0% 44.0% 女 5 83.3% 17.9% 10.0% 4 40.0% 14.3% 8.0% 4 36.4% 14.3% 8.0% 6 75.0% 21.4% 12.0% 9 60.0% 32.1% 18.0% 28 56.0% 100.0% 56.0% Total 6 100.0% 12.0% 12.0% 10 100.0% 20.0% 20.0% 11 100.0% 22.0% 22.0% 8 100.0% 16.0% 16.0% 15 100.0% 30.0% 30.0% 50 100.0% 100.0% 100.0%
χ2分布查表举例
χ2分布查表举例χ2分布是概率统计学中常用的一种分布，它是根据正态分布的平方和而得到的。
在实际应用中，我们经常需要查找χ2分布表来计算一些与χ2分布相关的概率或统计量。
本文将以一个具体的例子来详细介绍如何使用χ2分布表进行查表。
1. 问题描述假设有一批产品，我们想要检验其质量是否符合标准。
我们从这批产品中随机抽取了100个样本，并对每个样本进行了质量检测。
现在我们想要判断这批产品的整体质量是否符合标准，即判断总体质量是否服从某个特定的分布。
2. 假设检验为了判断总体质量是否符合某个特定的分布，我们需要进行假设检验。
假设我们已经知道总体质量服从一个特定的理论分布（比如正态分布），那么我们可以通过观察样本数据来判断这个假设是否成立。
3. 计算χ2统计量在进行假设检验时，我们需要计算一个统计量来衡量观察值与理论值之间的差异程度。
对于χ2检验而言，该统计量就是χ2统计量。
4. 计算自由度在计算χ2统计量之前，我们需要先确定自由度。
自由度是指可以独立取值的变量的个数。
对于χ2检验而言，自由度的计算方法是样本个数减去1。
5. 查找临界值根据假设检验的要求，我们需要设定一个显著性水平（一般为0.05），来判断观察值与理论值之间的差异是否显著。
为了确定是否拒绝原假设，我们需要查找χ2分布表来找到与给定显著性水平相对应的临界值。
6. 比较统计量与临界值将计算得到的χ2统计量与查找得到的临界值进行比较。
如果统计量大于临界值，则拒绝原假设；如果统计量小于等于临界值，则接受原假设。
7. 例子假设我们观察到样本数据中有60个产品符合标准，40个产品不符合标准。
我们想要判断这批产品整体质量是否符合标准。
根据样本数据，我们可以计算出χ2统计量。
根据公式：χ2 = Σ((O-E)^2 / E)其中，O表示观察到的频数，E表示期望的频数。
假设这批产品整体质量符合标准，那么我们可以根据标准来计算期望频数。
假设有100个样本，60%符合标准，40%不符合标准。
统计量及其分布ppt课件
图5.1.1 SONY彩电彩色浓度分布图q
表5.1.1 各等级彩电的比例(%)
等级
I
|X-m|<5/3
II
III
5/3<|X-m|<10/3 10/3 <|X-m|<5
IV
|X-m|>5
美产 33.3 33.3 33.3
0
日产 68.3 27.1 4.3
0.3
抽样 ：
5.1.2 样本
要了解总体的分布规律，在统计分析工作中，往往 是从总体中抽取一部分个体进行观测，这个过程称为抽 样。样本
x 344 344 x 347 347 x 351 351 x 355
x 355
由伯努里大数定律：
第25页
两点分布，只要 n 相当大，Fn(x)依概率收敛于F(x) 。
更深刻的结论：格里纹科定理
定理5.2.1 设 x1,x2,L,xn 是取自总体分布函数为F(x) 的样本F，n ( x ) 为其经验分布函数，当n 时，有
若以 p 表示这堆数中1的比例（不合格品率）， 则该总体可由一个二点分布表示：
X01 P 1p p
比如：两个生产同类产品的工厂的产品 的总体分布：
例5.1.2 在二十世纪七十年代后期，美国消费者购买
日产SONY彩电的热情高于购买美产 SONY彩电，原因何在？
原因在于总体的差异上！
➢ 1979年4月17日日本《朝日新闻》刊登调查报 告指出N(m, (5/3)2)，日产SONY彩电的彩色浓 度服从正态分布，而美产SONY彩电的彩色浓 度服从(m5 , m+5)上的均匀分布。
元件数 4 8 6 5 3 4 5 4
寿命范围 (192 216] (216 240] (240 264] (264 288] (288 312] (312 336] (336 360] (360 184]
方差和标准差,频数分布表
方差和标准差1一、自学指导：看书P 140-P145 回答下列问题：1、一组数据中_____________________的差，叫做这组数据的极差，极差是表示两组数据变化范围的大小，极差大的变化范围______,极差小的变化范围______2、n x x x x ...,,,321为一组数据x 为它们的平均数，方差的基本公式2S =_______________,方差描述了一组数据__________的大小，方差的值越小，数据的波动越小，越________,越__________3、标准差就是____________的算术平方根，公式为σ=___________，它能更精确的描述了一组数据波动的大小4、表示一组数据波动大小的量有____________________二、自学书P143例1、P144例2并完成书后练习三、自学反馈：1.已知某样本的方差是4，则这个样本的标准差是_____.2.已知一个样本1,3，2，x ，5，其平均数是3，则这个样本的标准差是_____.极差是______3.甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且打中环数的平均数 乙甲x x =如果甲的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是S 甲2___S 乙2。
4.已知一个样本的方差的平均数是S 2=51［（X 1-4）2+（x 2-4）2+…+（x 5-4）2］，这个样本的平均数是____,样本的容量是_____② 请根据这两名射击手的成绩在图中画出折线图（说明极差的概念）③你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？6八年级（5）班要从黎明的张军两位获选人中选出一人去参加学科竞赛，他们在平时的5次测试中成绩如下（单位：分）黎明：652 652 654 652 654张军：667 662 653 640 643如果你是班主任，在收集了上述数据或，你将利用哪些统计的知识来决定这一个名额？四、拓展提高：1、已知一组5个数据的和为100，平方和为2010，求方差和标准差2、若1,2,3，x 的平均数为3，又4,5，x ，y 的平均数为5，则样本0,1,2,3,4，x ，y 的方差是_________五、检测：求 -4，-3, 0, 4 , 3的极差，方差，标准差和平均数方差和标准差2 射击次序2543211、甲、乙两人在相同条件下各射10（1）请填写下表：（2）请你就下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：从平均数和方差相结合看，谁的成绩好？从平均数和命中9环以上的次数相结合看，谁的成绩较好？从折线图上两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？2、探究：1、分别求下列各组数据的平均数、方差、标准差：①已知两组数据1,2,3,4,5，和101,102,103,104,105.②已知两组数据为1,2,3,4,5和3,6,9，12,15.通过以上两题的计算，你发现的结论是________________________③用你发现的结论来解决以下的问题： 十九八七六五四三二一987654321已知数据x 1，x 2，x 3………，x n 的平局数为a ，方差为b ，标准差为c 则 数据x 1+3,x 2+3,x 3+3,……,x n +3的平均数为_______，方差为_______,标准差为___________.（2）x 1-3,x 2-3,x 3-3,,……,x n -3的平均数为________,方差为________,标准差为__________.（3）数据4x 1,4x 2,4x 3,…，4x n 的平均数为_________, 方差为_________, 标准差为__________(4)数据2x 1-3,2x 2-3,2x 3-3,…,2x n -3的平均数为_________, 方差为________， 标准差为__________。
三大分布及正态总体统计量的分布
泊松分布在统计学中的应用
01
在计数数据分析和可靠性工程中，泊松分布在预测和解释随机 事件发生的频率方面非常有用。
02
在生物统计学中，泊松分布用于描述遗传变异和基因突变的频
率。
在物理学中，泊松分布用于描述放射性衰变和粒子碰撞的次数。
03
泊松分布的参数
λ
事件的平均发生率，决定了泊 松分布的形状和规模。
p
每次试验成功的概率，是一 个0到1之间的实数。
k
成功的次数，是一个0到n之 间的非负整数。
04
正态总体统计量的分布
样本均值的分布
1
样本均值是总体均值的无偏估计，其分布近似于 正态分布，当样本量足够大时，样本均值的分布具有对称性，即均值点是其对称 轴，标准差越小，分布越集中，对称性越好。
3
样本均值的标准误是衡量样本均值与总体均值差 异的指标，其计算公式为标准差除以样本量的平 方根。
样本方差的分布
01
样本方差是总体方差的估计量，其分布并不服从正 态分布，而是卡方分布。
02
样本方差的大小与样本量有关，样本量越大，方差 越小；样本量越小，方差越大。
03
样本方差的自由度等于样本量减去1。
二项分布在统计学中的应用
01
可靠性分析
在可靠性工程中，二项分布用于 描述产品在多次试验中失败的次 数。
遗传学
02
03
统计学
在遗传学中，二项分布用于描述 在n次独立重复的遗传试验中某 基因出现的次数。
在统计学中，二项分布用于描述 在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数。
二项分布的参数
n
试验次数，是一个非负整数 。
正态分布的性质
常用统计量数
第三十九页，课件共有81页
累积百分数
100.00 99.32 97.89 85.21 91.53 86.37 79.32 72.42 65.84 58.00 50.84 43.79 37.16 29.89 22.58 14.84 6.89 1.74 0.37
P90＝73.52
X=82， PR＝96.28
(3) 由于i=10.2不是整数， 向上取整，所以第85百分位数对应的是第 11项，其值为2630。
同理，计算第50百分位（中位数）。i=(50/100) ×12=6，是整数，第50 第三十五页，课件共有81页
百分位分数的计算
1. 组下限：
2. 组上限：
第三十六页，课件共有81页
二、百分等级分数
方差与标准差事最经常用于描述次数分布 离散程度的差异量数。 （一）总体方差与总体标准差 （二）样本方差与样本标准差 （三）标准差的合成 （四）方差与标准差的意义
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方差与标准差的定义
方差：每个数据与该组数据平均数之差乘方 后的均值，即离均差平方和的平均数。 标准差：方差的算术平方根，表示一列数据 的平均差距。
限制，就只有（n－k）个自由度了 。计算样本方差时， n个变量值本 身有n个自由度。但受到样本均 数的限制，任何一个“离均差” 均可以用另外的（n－1）个“离均 差”表示，所以只有（n－1）个独 立的“离均差”，因此只有（n
－1）个自由度。
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（三）标准差的合成
方差具有可加性。在已知几个组方差或标准差的情况下，
Mo＝3Mdn－2M
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众数
Mode，Mo
众数：一组数据中出现次数最多的数
概率论各种分布总结表
概率论各种分布总结表摘要：1.概率论简介2.离散型概率分布a.伯努利分布b.二项分布c.几何分布d.泊松分布3.连续型概率分布a.均匀分布b.正态分布c.指数分布d.伽马分布e.威布尔分布4.分布的性质与应用5.常见概率分布问题解析6.概率论在实际领域的应用正文：概率论是数学的一个重要分支，主要研究随机现象的规律性。
在概率论中，分布是描述随机变量取值规律的重要概念。
根据随机变量的取值范围，概率分布可分为离散型和连续型。
离散型概率分布主要包括伯努利分布、二项分布、几何分布和泊松分布等。
伯努利分布描述的是一个具有两个可能结果的试验，例如抛硬币。
二项分布则用于描述多个独立重复试验中成功次数的概率。
几何分布关注的是离散随机变量在一定条件下达到某个阈值所需的试验次数。
泊松分布则用于描述在一定时间内或空间内随机事件发生的次数。
连续型概率分布主要涉及均匀分布、正态分布、指数分布、伽马分布和威布尔分布等。
均匀分布描述的是随机变量在某个区间内取值的概率。
正态分布，又称高斯分布，是自然界中最常见的分布之一，用于描述许多现实中的随机现象。
指数分布关注的是随机变量在某个值以下的概率，具有“越小越密集”的特点。
伽马分布和威布尔分布则分别用于描述等待时间和服务时间等随机现象。
了解各种概率分布的性质和特点，有助于我们在实际问题中选择合适的分布来描述随机现象。
在解决概率论问题时，首先要根据问题特点选择合适的分布，然后运用相应的概率计算公式求解。
此外，概率论在各个领域都有广泛的应用，如金融、医学、工程等，掌握概率论知识能够帮助我们更好地分析和解决实际问题。
总之，概率论中的各种分布总结了随机变量取值规律，掌握这些分布及其应用，对于解决实际问题具有重要意义。
第一节基本统计分析一`频数分布表
以下，我们介绍的主要是SPSS。
SPSS（PASW）基础
软件名称
Statistical Package for Social Science （1975-2000年） Statistical Product and Service Solutions(2000年-2009年4月) Predictive Analytics Software（2009年4月起）
Cumulativ e P erc en t 27.8 44.7 69.5 83.8 92.2 95.8 97.3 98.9 100.0
Statistics:
Dispersion(离差栏）:
Std.Deviation 标准差
Variance
方差
Range
全距
Minimum
最小值
Maximum
最大值
Valid Percent 27.8 16.9 24.9 14.2 8.4 3.6 1.6 1.5 1.1 100.0
Cumulative Percent 27.8 44.7 69.5 83.8 92.2 95.8 97.3 98.9 100.0
还可直接作出图形（Charts）： Bar charts:条形图 Pie Charts:圆图、饼图 Histograms:直方图，只适用于连续的
4、关于相关系数统计意义的检验：由于抽样误差的存在。 检验的零假设——总体中两个变量间的关系为0。
SPSS只给出给假设成立的概率P值。
（1）Analyze ——Correlations—— Bivariate
计算指定的两个变量之间的相关系数，可选择 Pearson相关、Spearman和
f分布表计算
标题：F分布表计算方法及应用在统计学中，F分布是一种常用的统计分布，用于衡量两组观测数据之间的关联程度。
F分布表是进行统计推断和数据分析的重要工具。
本文将介绍F分布表的计算方法，并应用于实际案例。
一、F分布表的基本概念F分布是一种连续概率分布，其概率质量函数具有两个自由度。
在统计学中，F统计量是一种常用的统计量，用于衡量两组观测数据之间的关联程度。
F分布表则提供了F统计量的概率质量函数。
二、F分布表计算方法1. 查找F分布表：根据所研究的自由度组合，在F分布表中查找对应的概率值。
2. 计算F统计量：根据样本数据，计算两组观测数据的F统计量。
3. 确定概率质量函数：根据所查找的F分布表中的概率值，确定F统计量的概率质量函数。
三、实际案例应用假设我们有一组样本数据，其中包含两组观测数据x和y，我们想知道这两组数据之间是否存在显著关联。
为此，我们可以使用F分布表进行统计分析。
步骤1：收集样本数据x和y，计算它们的平均值和标准差。
步骤2：根据样本数据，计算F统计量F=(x-μ1)/σ1,(y-μ2)/σ2，其中μ1和μ2分别为两组数据的均值，σ1和σ2分别为两组数据的标准差。
步骤3：查找F分布表，查找自由度为(n1-1, n2-1)对应的概率值p。
其中n1和n2分别为样本x和样本y的个数。
步骤4：根据概率值p，判断两组数据之间是否存在显著关联。
如果p小于显著性水平（如0.05），则认为两组数据之间存在显著关联；否则，认为两组数据之间不存在显著关联。
四、总结通过以上介绍，我们可以了解到F分布表计算方法及其在统计学中的应用。
在实际案例中，我们可以通过收集样本数据、计算F统计量、查找F分布表和判断显著性水平等方法，对两组观测数据进行统计分析，从而得出有意义的结论。
F分布表是进行统计学研究的重要工具之一，掌握其计算方法和应用技巧对于提高统计学研究的质量具有重要意义。