东北大学概率论课件及习题答案

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东北大学《概率论》在线作业3 辅导答案

A.
2
B. 1
C. 3/4
D. 2/5
答：D
5.公交部门承诺某线路每班车到站间隔不超过20分钟，因此每个候车的乘客等待时间超出15分钟的概率最多只有：
A. 0.125；
B. 0.25；
C. 0.5；
D. 0.75
答：B
6.随机变量X，方差为D(X)=9，则D(2X+3)=( )
A. 9
B. 18
C. 36
单选题判断题
二、判断题（共5道试题，共25分。）
1.抛一个质量均匀的硬币n次，当n为偶数时，正面出现n/2次的概率最大。
A.错误
B.正确
答：B
2.抛一个质量均匀的硬币n次，当n为奇数时，正面出现(n+1)/2和(n-1)/2次的概率最大。
A.错误
B.正确
答：B
3.泊松分布可以看做是二项分布的特例。
A.错误
D. DX+DY = 0
答：B
3.卖水果的某个体户，在不下雨的日子可赚100元，在雨天则要损失10元。该地区每年下雨的日子约有130天，则该个体户每天获利的期望值是（1年按365天计算）
A. 90元
B. 45元
C. 55元
D. 60.82元
答：D
4.设离散型随机变量X分布律为P{X=K}=5A(0.5)K,其中K=1,2，……，则A=
A.对任何实数u,都有p1=p2
B.对任何实数u，都有p1<p2
C.
只对u的个别值，才有p1=p2
D.
对任何实数u,都有p1>p2
答：A
15.从装有3个红球和2个白球的袋子中任取两个球，记A=“取到两个白球”，则=
A.取到两个红球

概率论课件东北大学

(2) 实验可能出现的一切结果可事先预知，但不能事先预知每次实验会出现哪一个结果。
2.样本空间
随机试验所有可能结果组成的集合称为它的样本空间，用符号Ω来表示。
样本空间的元素，即实验的每一个可能结果
称为样本点，用符号来表示。
样本空间可以是有限 (或无限) 多个离散点，也可以是有限(或无限)的区间；还可以是二维或者任意维数的集合。
如 A= { HHH，TTT } ，则 A 的对立事件的样本点是{ HHT，HTH，HTT，THH，THT， TTH } 即三次出现的结果不全相同。
3. 随机事件的运算规则
符号集合论含义
Ω 空间或全集

空集

元素
A
子集
A 是 A 的元素
概率论含义
样本空间或必然事件不可能事件样本点随机事件
(1).事件的包含关系
如果 A 发生必然导致 B 的发生，则称 A 包含在 B 中，记为 A B 。
即 A 的每个样本点也都属于 B
AB
S
A = { HHH }，三次都是正面， B = { H } ，第一次是正面。
特别的，对任意 A 有 A S
(2).事件的和运算
得到一个新事件，它的发生表示这些事件中至少有一个发生，
A B A B, A BA B
例1.7 某工程队承包建造了三幢楼房，设Ai表“第
i幢楼房经验收合格”,i=1,2,3.试用A1，A2，A3表示下列事件:
(1) 只有第一幢楼房验收合格
(2) 恰有一幢楼房验收合格
(3) 至少有一幢楼房验收合格
(4) 至多有第一幢楼房验收随机现象； 2. 教材 5 页第 1，2，3 题。

概率论课后答案

第一章习题一1（4）解：设1B =“两件都是不合格品”，2B =“一件是合格品，另一件是不合格品”，A =“已知所取两件中有一件是不合格品”，则12A B B =+，由题意知，1226442210101112()()282,,()()()15153C C C P B P B B B C C P A P P =====+=故P{1B |A}=11()()()()2/1512/35P AB P B P A P A ===3. 解：A:表示两个一级队被分在不同组，则A :表示两个一级队被分在同一组192181020()()1()0.4740.526,C C P A P A P A C ==-==5．解：设一段长为x ，另一段长为y ，样本空间:0,0,0x a y a x y a Ω<<<<<+<，所求事件满足：0202()a x a y x y a x y ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪+>--⎪⎪⎩从而所求概率＝14CDEOABS S=. 6．解：设所取两数为,,X Y 样本空间占有区域Ω,两数之积小于14:14XY <,故所求概率()()1()()1S S D S D P S Ω--==Ω,而11411()(1)1(1ln 4)44S D dx x =-=-+⎰,故所求概率为1(1l n4)4+.8.解：设A —某种动物由出生算起活到20年以上，()0.8P A =，B —某种动物由出生算起活到25年以上，()0.4P B =，则所求的概率为()()0.4()()0.5()()0.8P AB P B BBP P A A P A P A ===== 9．解：设A —某地区后30年内发生特大洪灾，()0.8P A =，B —某地区后40年内发生特大洪灾，()0.85P B =，则所求的概率为 ()()0.15()1()1110.250.2()()P BA P B B B P P A A P A P A =-=-=-=-=.10.解：设A={收报台收到信号“.”}，则A ={收报台收到信号“-”}，设B={发报台发出信号“.”}，则B ={发报台发出信号“-”}，由题意知道：()0.4,(|)0.8,(|)0.2,(|)0.1,(|)0.9,P B P A B P A B P A B P A B =====P(B)=0.6,1()0.65,AP B =32()0.7,()0.85AAP P B B ==由贝叶斯公式得：()(|)(|)0.923()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =≈+()(|)(|)0.75()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =≈+12．解：设1A ：所抽螺钉来自甲厂， 2A ：所抽螺钉来自乙厂，3A ：所抽螺钉来自丙厂，B ：所抽螺钉是次品，则1()25%P A =，2()35%P A =，3()40%P A =，1(|)5%P B A =，2(|)4%P B A =，3(|)2%P B A =（1）由全概率公式：112233()()(|)()(|)()(|)0.0345P B P A P B A P A P B A P A P B A =⋅+⋅+⋅=（2）由贝叶斯公式：111(|)()(|)0.3623()P B A P A P A B P B ==.13．解：设A:{直到第n 次才取k 次()k n ≤红球}={第n 次取到红球}{前n-1次取到k-1次红球}，则所求的概率为11111119()101010191010k n kk n kn kk n P A C C -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14．解：设A 表示灯泡使用寿命在1000h 以上，则由题意得()0.2P A =，()0.8P A =，设事件B 表示三个灯泡使用1000h 后恰有i 个坏了，则“三个灯泡使用1000h 后最多只有一个坏了”这一事件课表示为01B B +，由二项概率公式所求概率为01()P B B +=31230313()()0.2(0.2)0.80.104P B P B C +=+⋅= 15．解：设试验E —从二盒火柴中任取一盒，A —取到先用完的哪盒，1()2P A =，则所求概率为将E 重复独立作2n r -次A 发生n 次的概率，故所求的概率为222211()()()222nnn n r n r n rn r n rC P n C-----==.16．设甲、乙两袋，甲袋中有2只白球，4只红球；乙袋中有3只白球，2只红球.今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球. 1）问取到白球的概率是多少？2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：设A ：取到白球，B ：从甲球袋取白球24431) ()(/)()(/)()5/9 6666P A P A B P B P A B P B =+=⋅+⋅=(/)()2/92) (/)()/()2/5()5/9P A B P B P B A P AB P A P A ====17．3个射手向一敌机射击，射中的概率分别是0.4，0.6和0.7.如果一人射中，敌机被击落的概率为0.2；二人射中，被击落的概率为0.6；三人射中则必被击落.（1）求敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率. 解:设A={敌机被击落}，B i ={i 个射手击中}，i=1,2,3. 则B 1,B 2,B 3互不相容.由题意知：132()0.2,()0.6,()1A A AP P P B B B ===，由于3个射手射击是互相独立的，所以1()0.40.40.30.60.60.30.60.40.70.324P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 2()0.40.60.30.40.70.40.60.70.60.436P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=3()0.40.60.70.168P B =⨯⨯=因为事件A 能且只能与互不相容事件B 1,B 2,B 3之一同时发生.于是（1）由全概率公式得31()()(|)0.3240.20.4360.60.16810.4944i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑（2）由Bayes 公式得33331()(|)0.168(|)0.340.4944()(|)iii P B P A B P B A P B P A B ====∑. 第二章1（4）.设随机变量X 的密度函数为2, 01()0 , x x p x <<⎧=⎨⎩其它，用Y表示对X 的3次独立重复观察中事件1{}2X ≤出现的次数，{2}__P Y ==.解：(3,)Yp B ，1211{}224p P X xdx =≤==⎰，由二项概率公式 223139{2}()()4464P Y C ===.2．解：{报童赔钱}⇔{卖出的报纸钱不够成本}，而当 0.15 X <1000× 0.1时，报童赔钱，故{报童赔钱} ⇔{X ≤666}3.解：设X 表示取出次品的只数，则(1)X 的分布律为{}31331322035C P X C ===，{}1221331312135C C P X C ===，{}212133131235C C P X C ===或者(2)X 的分布函数为0 ,022{0} = ,0135()34{0}{1} ,1235{0}{1}x P X x F x P X P X x P X P X <=≤<==+==≤<=+={2} =1 ,2P X x ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪+=≥⎩，则分布律的图像即为F(x)的分段函数图像。

概率论·课后答案(绝对详解)

i习题一3 设,,B A 为二事件，化简下列事件：B B B A B BA B A B A B A =⋃=⋃⋃=⋃⋃)()())()(1(B B A B B A A A B A B A =⋃⋃⋃=⋃⋃)())()(2(4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。

3024.010302410427210678910445==⋅=⋅⋅⋅⋅=p5 n 张奖券中有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。

答案：.1k n k mn C C --6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？解；将这五双靴子分别编号分组},,,,{};,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==，则C 表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有.45C不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i 只，且编号不同，其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C i i i41045341523251235451)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-=-= 2113218177224161247720104060401011234789105453245224551=-=⋅⋅-=⋅++++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+-= 7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过51的概率。

答案：518在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。

,0,0a y a x <<<<且a y x <+<0，又41222,,=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧--<---<--->+P ay a x a y x y x a x y y x a y x y x a y x 9在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于41的概率。

东北大学19春学期《概率论》在线作业2（答案）

东北⼤学19春学期《概率论》在线作业2（答案）东⼤19春学期《概率论》在线作业2试卷总分:100 得分:100[题⽬1]、设X、Y的联合分布函数是F(x，y)，则F(+∞，y)等于：A、0；B、1；C、Y的分布函数；D、Y的密度函数。

标准答案:C[题⽬2]、若P(A)=0,B为任⼀事件，则A、A为空集B、B包含AC、A,B相互独⽴D、A,B互不相容标准答案:C[题⽬3]、如果随机事件A，B相互独⽴，则有：A、AB=空集；B、P(A)=P(B)；C、P(A|B)=P(A)；D、AB=B。

标准答案:C[题⽬4]、从概率论的⾓度来看，你认为下列⽣活中的哪⼀种现象具有合理的成分？A、某同学认为某门课程太难，考试不可能及格，因此放弃了努⼒学习；B、某⼈总是⽤⼀个固定的号码去买彩票，她坚信总有⼀天这个号码会中奖；C、某⼈总是抢先第⼀个抽签，认为这样抽到好签的可能性最⼤；D、某⾜球教练认为⽐赛时他的⾐服颜⾊与⽐赛的结果有关，所以总穿着同⼀件“幸运服”去指挥⽐赛。

标准答案:B[题⽬5]、在某学校学⽣中任选⼀名学⽣,设事件A:选出的学⽣是男⽣”;B选出的学⽣是三年级学⽣"。

则P(A|B)的含义是：A、选出的学⽣是三年级男⽣的概率B、已知选出的学⽣是三年级的，他是男⽣的概率C、已知选出的学⽣是男⽣，他是三年级学⽣的概率D、选出的学⽣是三年级的或他是男⽣的概率标准答案:B[题⽬6]、设随机事件A发⽣的概率为0.4,B 发⽣的概率为0.3及A,B两事件⾄少有⼀件发⽣的概率为0.6，那么A发⽣且B不发⽣的概率为A、0.2B、0.3C、0.4D、0.6标准答案:B[题⽬7]、设随机变量X与Y均服从正态分布，X~N（u，42），Y~N（u,52），记p1=P{X=u-4},p2=P{u+5},那么（）A、对任何实数u,都有p1=p2B、对任何实数u，都有p1p2C、只对u的个别值，才有p1=p2D、对任何实数u,都有p1p2标准答案:A[题⽬8]、n个⼈排成⼀列，已知甲总排在⼄的前⾯，求⼄恰好紧跟在甲后⾯的概率：A、2/n-1B、1/n-1C、2/nD、1/n标准答案:C第9题,随机变量X与Y的联合分布函数为F(x,y)，X与Y的各⾃分布函数分别为FX(x)和FY(y),则A、FY(y)B、FX(x)C、FX(x)FY(y)D、FX(x)+FY(y)标准答案:B第10题,设表⽰10次独⽴重复射击命中次数，每次命中的概率为0.4，则E（X2）=A、18.4B、16.4C、12D、16标准答案:A第11题,如果A、B是任意两个随机事件，那么下列运算正确的是：A、（A–B）+（B–A）＝空集；B、（A–B）+（B–A）＝A∪B；C、（A–B）＝A∪B–A；D、（A–B）＝A–AB正确答案:D第12题,随机变量X表⽰某学校⼀年级同学的数学期末成绩，则⼀般认为X服从（）。

《概率论》第一章习题(A)参考答案

第一章习题（A ）参考答案（注：有些题可能存在多种解法，希望同学能够多动脑思考，不要将思维局限于参考答案。

）4．解：（1）()1()0.7P B P B =-= ，()()()()0.4P AB P A P B P A B ∴=+-⋃=；（2）()()()()0.3P B A P B AB P B P AB -=-=-= ；（3）()()1()0.2P AB P A B P A B =⋃=-⋃= 。

5．解：从8个球中任取2个，共有2887282!n C ⨯===种取法。

设事件A 表示取到的两个球颜色相同，可分成两种情况：取到白球；取到黑球。

完成事件A 共有22535432132!2!m C C ⨯⨯=+=+=种取法，则根据古典概型的概率计算公式，可求得13()28m P A n ==。

6．解：考虑将两组分别记为甲组和乙组，则分配球队的时候，先将10支球队分到甲组，再将剩下的10支球队分到乙组，共有101010201020n C C C ==种分法。

对于最强的两队，先取一支强队分到甲组，接着再从其余18支稍弱的球队中取9支分到甲组，这样甲组就有一支最强队及9支稍弱的队，最后将剩下的10支球队分到乙组，这样共有19218m C C =种分法。

则最强的两队被分到不同组内的概率为192181020100.526319===≈C C m p n C 。

7．解：将12个球随意放入3个盒子中，对于每个球，都可以从3个盒子中选一个盒子放球进去，因此共有123n =种放法。

设事件A 表示第一个盒子中有3个球，先从12个球中取出3个球放进第一个盒子，剩下的9个球随意放进其余两个盒子中，对于这9个球，每个都可以从其余两个盒子中选一个盒子放球进去，因此完成事件A 共有39122m C =⨯种方法，则第一个盒子中有3个球的概率为3912122()0.2123C m P A n ⨯==≈。

8．解：由于每颗骰子有6个不同的点数，因此同时掷4颗均匀骰子共有46n =种不同的结果。

东北大学概率论课后习题答案PPT2-3

第三节连续型随机变量及其分布
如果存在实数域上的非负函数f(x)，使对于任一实数 a，b(a<b)，随机变量X的取值在区间(a,b]中的概率为
P(a x b) f ( x)dx
a
b
则称X为连续型随机变量。其中，非负函数f(x)即是描述连续型随机变量X取值规律的概率函数，称为X的概率密度函数，记为 X ~ f ( x) ，概率密度函数简称为密度函数。 X的密度函数有时记为 f X ( x)
返回
例10 将一温度调节器放置在存储着某种液体的容器内，调节器定在d℃，液体的温度X（以℃计）是一个随机变量，且X～ N(d,0.52)。(1)若d=90，求X<90的概率；(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少？
解（1）所求概率为 X 90 89 90 P{ X 89} P 0.5 0.5 89 90 ( 2 ) 0.5 1 ( 2) 1 0.9772 0.0228.
1 2
e

( x )2 2 2
, x ,
其中,(>0)为常数，则X为正态变量，称其服从参数为, 2 的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为X～ N(,2)。
f ( x)
正态分布密度函数图示
o

x
性质：1.曲线关于x=对称。
2.当x=时取到最大值。
例2 判断函数
| x| G (1,2) (5,6) ，求 f ( x ) Ae 例3 是随机变量X的密度函数为，
（1）常数A；（2）P{-1<X<2}和
P( x G )
常见的连续型随机变量及其分布

概率论课后习题答案北大

概率论课后习题答案北大概率论课后习题答案北大北大是中国著名的高等学府，其数学系在国内乃至国际上都享有盛誉。

概率论是数学系的一门重要课程，它研究的是随机现象的规律性。

作为一门理论性较强的学科，概率论的习题往往需要一定的思考和推理能力。

下面，我们就来看一下北大概率论课后习题的答案。

1. 设A、B、C为三个事件，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(C)=0.5，且P(A∩B)=0.1，P(A∩C)=0.2，P(B∩C)=0.3，P(A∩B∩C)=0.05，求：(1) P(A∪B∪C)的值；(2) P(A'∩B'∩C')的值。

解答：(1) 根据概率的加法原理，有P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) -P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)。

代入已知条件，可得P(A∪B∪C) = 0.3 + 0.4 + 0.5 - 0.1 - 0.2 - 0.3 + 0.05 =0.65。

(2) 根据概率的补集公式，有P(A'∩B'∩C') = 1 - P(A∪B∪C)。

代入已知条件，可得P(A'∩B'∩C') = 1 - 0.65 = 0.35。

2. 设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，已知P(X > 2) = 0.3，P(X < -1) = 0.1，求：(1) X的期望μ和方差σ^2的值；(2) P(-1 < X < 2)的值。

解答：(1) 根据正态分布的性质，有P(X > 2) = P(Z > (2-μ)/σ) = 0.3，其中Z是标准正态分布。

查表可得，对应的Z值为0.524，即(2-μ)/σ = 0.524。

同理，有P(X < -1) = P(Z < (-1-μ)/σ) = 0.1，对应的Z值为-1.281，即(-1-μ)/σ = -1.281。

概率论课后习题答案

习题1解答1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为{|0,1,2,,100}ii n nΩ==.（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为{10|0,1,2,}k k Ω=+=，或写成{10,11,12,}.Ω=（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.（3）取直角坐标系，则有22{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生； (2)A 、B 、C 中恰好发生一个； (3)A 、B 、C 中至少有一个发生； (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5)A 、B 、C 中至少有两个发生； (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -；(2)ABC ABC ABC ；(3)AB C 或ABCABCABCABCABCABCABC ；(4)ABC ABCABC .(5)AB AC BC 或ABC ABC ABCABC ；(6)ABCABCABCABC .3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B .解：（1）{|0.81}AB x x =<≤；（2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或；（4）{|00.5 1.62}AB x x x =≤<<≤或.4. 一个样本空间有三个样本点，其对应的概率分别为22,,41p p p -，求p 的值. 解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以2241 1.p p p ++-=解之得1233p p =-=-，又因为一个事件的概率总是大于0，所以3p =- 5. 已知()P A =0.3，()P B =0.5，()P A B =0.8，求(1)()P AB ；(2)()P A B -；(3)()P AB .解：(1)由()()()()P AB P A P B P AB =+-得()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P AB =-=-=-=6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B . 解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P AB P A P B P AB =-=-=--+得()()1P A P B +=，从而()1.P B p =-7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C .解：()()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 解：依题意可知，基本事件总数为34个.以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个杯子最多放一个球，共有34A 种方法，故34136().416A P A ==2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为211343C C C 种，故211343239().416C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有14C 种放法，故14331().416C P A ==9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为4987487987411098790P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p .(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p .(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217551010=+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P .(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P . 11. 把2，3，4，5诸数各写在一X 小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所以 23342/1/2P A A =⨯=.12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”.所以包含79A 个样本点，于是7799)(A A P =.13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次,求他(她)等待时间短于10分钟的概率.解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在),60,0(记 “等待时间短于10分钟”为事件,A 则有(0,60),Ω=)60,50(=A ,⊂Ω于是)(A P 6010=.61= 14. 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。

东北大学概率论课后习题答案PPT2-2

（1） pk 0, k=1,2, …
一个函数是否是
概率分布
（2） pk 1
k
分布律也可以用表格的形式来表示：
X
x1 x2 … xn …
pk
p1 p2 … pn …
称为随机变量X的概率分布表。
也可用矩阵表示
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
也可用散点图表示。
有了分布列，可以计算任意时间的概率
几何分布的无记忆性
在贝努利试验中，等待首次成功的时间服从几何分布。现在假定已知在前m次试验中没有出现成功，那么为了达到首次成功所再需要的等待时间′也还是服从几何分布，与前面的失败次数m无关，形象化地说，就是把过去的经历完全忘记了。因此无记忆性是几何分布所具有的一个有趣的性质。但是更加有趣的是，在离散型分布中，也只有几何分布才具有这样一种特殊的性质。
件，第i个零件为不合格品的概率为 pi 1/ i 1,i 1,2,3 ，若
以X表示三个零件中合格品的个数，问X是二项变量吗？写出 X的分布律。
例5：某人进行射击，设每次射击的命中率为0．02，独立射击 400次，试求至少击中两次的概率。
解：将一次射击看成是一次试验．设击中的次数为X，则X～ B(400，0.02)。X的分布律为 P{ X k} 4k00(0.02)k (0.98)400k , k 0,1,,400. 于是所求概率为 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
P{Y
4} 1
k
3 0
8k0(0.01)k
(0.99)80k
0.0087.
我们发现，在后一种情况尽管任务重了(每人平均

东北大学《概率与数理统计》课件-第4章

(k 0,常数),求W的数学期望.
解：由上面的公式
E(W
)
kv 2
f
(v)dv
a
kv 2
1
dv
1
ka2
0a
3
例9 求数学期望E(eX)，若 (1)X~P(3); (2) X~B(n,p); (3) X~N(1,4).
例10 设二维连续型随机变量（X ,Y）的概率密度为
f
( x,
y)
Asin( x
x0
N min( X1, X2 ) 的分布函数为
Fmin ( x)
1 [1
F ( x)]2
1
2x
e
x0
0
x0
于是N的概率密度为
fmin
(
x)
2
2x
e
x0
0
x0
E(N
)
xfmin
(
x)dx
0
2x
2x
e dx
2
例4.4 商店的销售策略某商店对某种家用电器的销售采用先使用后
付款的方式 ,记使用寿命为X (以年计),规定 : X 1,一台付款1500元;1 X 2,一台付款2000元; 2 X 3,一台付款2500元; X 3,一台付款3000元.
y)
0 x
2
0
其它
(1)求系数A, (2)求E( X ), E( XY ).
解：（1）由于
f
( x,
y)dxdy
/2
dy
/2
Asin( x
y)dx
1，得A
1
0
0
2
例10 设二维连续型随机变量（X ,Y）的概率密度为

东北大学智慧树知到“会计学”《概率论X》网课测试题答案2

东北大学智慧树知到“会计学”《概率论X》网课测试题答案（图片大小可自由调整）第1卷一.综合考核(共15题)1.小概率事件必然发生，指的是在无穷次实验中，小概率事件肯定会发生。

()A.正确B.错误2.设F(x)是随机变量X的分布函数，则对()随机变量X，有P{X₁ A.任意B.连续型C.离散型D.任意离散型3.抛一个质量均匀的硬币n次，当n为奇数时，正面出现(n+1)/2和(n-1)/2次的概率最大。

()A.正确B.错误4.离散型随机变量X，X所有取值为0，1，2，且P(X=0)=0.5，P(X=1)=0.25，P(X=2)=0.25，则P(XA.0B.0.5C.0.25D.15.甲再能存活20年的概率为0.7，乙再能存活20年的概率为0.9，则两人均无法活20年的概率是()A.0.63B.0.03C.0.27D.0.076.设X，Y均服从正态分布，则协方差Cov(X，Y)=0是X与Y相互独立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要7.将C，C，E，E，I，N，S等7个字母随机的排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率()A.1/7!B.1/1260C.5!/7!D.1/6408.任何情况都可以利用等可能性来计算概率。

()A.正确B.错误9.设一个病人从某种手术中复原的概率是0.8，则有3个病人，恰有2个人手术后存活的概率是：()A.0.223B.0.384C.0.448D.0.33810.关于独立性，下列说法错误的是()A.若A1，A2，A3，……，An相互独立，则其中任意多个事件仍然相互独立B.若A1，A2，A3，……，An相互独立，则它们之中的任意多个事件换成其对立事件后仍相互独立C.若A与B相互独立，B与C相互独立，C与A相互独立，则A，B，C相互独立D.若A，B，C相互独立，则A+B与C相互独立11.甲乙二人进行桌球比赛，每局甲胜的概率为1/3，乙胜的概率为2/3，三局两胜，若记X为比赛的局数，则EX=()A.22/9B.3C.2D.2/312.如果A是B的对立事件，则肯定有：()A.P(A)≤P(B)B.P(A)≥P(B)C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A)+P(B)=113.设随机变量X的方差DX=σ²，则D(ax+b)=()A.aσ²+bB.a²σ²+bC.aσ²D.a²σ²14.某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭。

东北大学概率论课件及习题答案

从而(X ,Y ) 0，X ,Y不相关。
关于的符号:
当 > 0时,称X与Y为正相关. 当 < 0时,称X与Y为负相关.
相关系数和协方差具有相同的符号,因此, 前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到这里. 即
正相关表示两个随机变量有同时增加或同时减少的变化趋势.
负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势.
这里a是定数，我们有
E( X ) 1
2
cos tdt 0,E(Y )
1
2
cos(t a)dt 0
2 0
2 0
E( X 2 ) 1 2 cos2 tdt 1 ,E(Y 2 ) 1 2 cos2(t a)dt 1
2 0
2
2 0
2
1 2
1
E( XY ) 2 0
cos t cos(t a)dt cos a 2
都存在，则称矩阵
c11 c12 L c21 c22 L
c1n
c2
n
M M
M
cn1 cn2 L
cnn
为随机变量( X1, X 2 ,L , X n )的协方差矩阵。显然，
上述矩阵是一个对称矩阵。
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y 相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：
0 E{[Y (a0 b0 X )]2} D[Y (a0 b0 X )] [E(Y (a0 b0 X ))]2 故有D[Y (a0 b0 X )] 0，E[Y (a0 b0 X )] 0 由方差的性质4可知，P{Y a0 X b0} 1。
相关系数性质的证明
反之，若存在常数a*,b*,使得P{Y a* X b*} 1，于是 D[Y (a* X b*)] 0 即得 E{[Y (a* b* X )]2} 0 故有0 E{[Y (a* b* X )]2} min E{[Y (a bX )]2}

东北大学概率论与数理统计课后习题答案

05且abc1解n2时?niia1?n3时????12112121aaaaaaaa????????213121321aaaaaaaaa???一般地?????213121aaaaaa??????????????1212131211???nnniiaaaaaaaaaaa121123121aaaaaaaaaannn?????????23
求P(B). 解由于 P(AB)=P(A)＋P(B)－P(A＋B) =P(A)＋P(B)－1+P(A＋B) =P(A)＋P(B)－1+P(A B)
所以, P(A)＋P(B)－1=0
即, P(B)＝1－P(A)＝1－p
精选课件
13
第一章习题1.3(第19页)
2. 在1500个产品中, 有400个次品, 1100个正品, 从中
=1, 2, 3,… ，A={1, 2, 3}
(3)把单位长度的一根细棒折成三段, 观察各段的长度,
A表示“三段细棒能构精选成课件一个三角形”.
1
=(a, b, 1－a－b)|a, b>0且a+b<1,
=(a, b, c)|a, b, c>0且a+b＋c＝1,
A={(a, b, 1－a－b)|0<a, b<0.5且a+b>0.5}
(2) P=3/12=1/4＝0.25
精选课件
16
6. 假设2个叫Davis的男孩, 3个叫Jones的男孩, 4个叫Smith
的男孩随意地坐在一排9座的座位上. 那么叫Davis的男孩
刚好坐在前两个座位上, 叫Jones的男孩坐在挨着的3个座
位上, 叫Smith的男孩坐在最后4个座位上的概率是多少?
任取200个, 求: (1) 恰有90个次品的概率; (2) 至少有2个

概率论习题答案

.
（1） AB=A (2) A+B=A (3) A+B+C=A
解 (1)A B
(2)B A
(3)B A,C A
第2次 1 罐中有围棋子8白子4黑子，今任取3
子，求下列事件的概率 (1) 全是白子 (2) 取到2
黑子1白子（3）至少有一颗黑子
.
解 A= { 全是白子}
B={ 取到2黑子1白子}
解 Ai（i=1，2，3）B={任取一件产品为次品}
(1) P(B) P(A1)P(B | A1) P(A2)P(B | A2) P(A3)P(B | A3) E
25%5% 35% 4% 40% 2% 0.25
0.4
0.35
(2)
A1
P( A2
|
B)
P( A2B) P(B)
P( A2 )P(B P(B)
P(A B C) 1 P(A B C) 1 P(ABC)
1 (1 1)(1 1)(1 1) 234
5 加工某零件要经过第一 ,第二 ,第三 ,第四道工序,次品率分别为2%, 3% ,4% ,5% ,各道工序独立,求加工出来的零件为次品的概率解 Ai={第i道工序出次品} ( i=1,2,3,)
(2) P{0.4 X 0.6} 2xdx 0.62 0.42 0.4
(3) P{| X 0.5 | a} P{a 0.5 X a 0.5} 0.4
B={加工出来的零件为次品}
P(B) P(A1 A2 A3) 1 P(A1 A2 A3 A4) 1 P(A1 A2 A3 A4)
1 P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) 1 (1 2%)(13%)(1 4%)(15%)
6 3次独立重复试验,事件A至少出现一次的概率为 63 ,求A在一次试验中出现的概率

东北大学概率论与数理统计ppt第三章

3. 二维随机变量的分布函数
(1) 联合分布函数对任意两个实数 x、y ，二元函数 F (x,y) = P { X ≤ x,Y ≤ y } 称为随机向量 (X,Y) 的分布函数，或者也称随机变量 X、Y 的联合分布函数。联合分布函数是随机向量性质的完整刻划，本质上是两个随机事件交事件的概率。
(3) 联合分布函数的性质 1º F (x,y) 是变量x 和y 的不减函数； 2º 0≤ F (x,y) ≤1，且对于任意固定的x 和y 分别有， F x, 0, F , y 0,
F , 0, F , 1.
3º F (x,y) = F (x+0,y) , F (x,y) = F (x,y +0) 4º 对于任意x1＜x2,y1＜y2 ,下述不等式成立， F (x2 ,y2 ) + F (x1 ,y1 ) - F (x1 ,y2 ) - F (x2 ,y1 ) ≥0.
例3.2.6 前面例题中讨论的随机取数问题 X 1 2 3 4 Y 1 2 3 4
pi •
1/4 0 1/8 1/8 1/12 1/12 1/16 1/16
0 0 0 0 1/12 0 1/16 1/16
1/4 1/4 1/4 1/4
p• j
25/48 13/48 7/48 3/48
3. 二维均匀分布
例3.2.2 如果(X,Y) 服从一个矩形内的均匀分布： f(x,y) = 1/ab ，0 ＜x ＜ a 、0 ＜y ＜ b 则 X、Y 仍然还服从均匀分布。例3.2.3 如果(X,Y) 服从单位圆内的均匀分布，即 f(x,y) = 1/ ， x2 + y2 ＜ 1 则 X、Y 分别都不再服从均匀分布。
pi j、pi • 与 p • j 分别是 ( X ,Y ) 的联合分布律以及两个边缘分布律，i 、j ≥ 1 。如果对某个固定的 i ，有 pi • ＞ 0，则定义 pi j p j | i = —— ，对于所有的 j ≥1 pi • 是Y 关于随机事件( X = xi )的条件分布同理可以定义 X 关于随机事件( Y = yj )的条件分布

东北大学远程教育14秋学期《概率论》在线作业2 答案

东北大学远程教育14秋学期《概率论》在线作业2 答案本次《概率论》在线作业2试卷共有15道单选题和判断题，总分为100分。

1.若随机变量X和Y的相关系数为0.9，Z=X-0.4，则Y 与Z的相关系数为多少？正确答案为C，即0.9.2.已知P(A)=0.8，P(B)=0.7，P(A|B)=0.8，则下列结论正确的是什么？正确答案为A，即A与B独立。

3.对于随机变量X和Y，下列哪一个是正确的？正确答案为A，即E(X+Y)=E(X)+E(Y)。

4.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于多少？正确答案为A，即-1.5.若X～N(u1,σ12)，Y～N(u2,σ22)，则（X，Y）的联合分布是什么？正确答案为C，即未必是二维正态。

6.设表示10次独立重复射击命中次数，每次命中的概率为0.4，则E(X2)等于多少？正确答案为A，即18.4.7.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为什么？正确答案为D，即甲种产品滞销或乙种产品畅销。

8.设X~N(0,1)，Y=3X+2，则Y的分布是什么？正确答案为C，即Y~N(2,9)。

9.离散型随机变量X，X所有取值为0,1,2，且P(X=0)=0.5，P(X=1)=0.25，P(X=2)=0.25，则P(X<3)等于多少？正确答案为D，即1.10.某人从家到单位途中经过3个交通岗亭，每个岗亭遇到红灯的概率是独立的且为0.4.求此人上班途中遇到红灯的次数的期望值。

正确答案：B，即1.2次。

11.设X和Y是两个独立的随机变量，且P(X=1)=0.3，P(Y=2)=0.4，则P(X=1且Y=2)=0.3×0.4=0.12.正确答案：D。

12.设随机变量X的分布函数为F(x)，则F(A)可以表示为P(X≤A)。

正确答案：D。

13.XXX极限定理表明，二项分布的极限分布是正态分布。

正确答案：D。

14.随机变量X表示某种电子元件的使用寿命，一般认为其服从指数分布。

东北大学概率论课件

X ∼ N ( µ , C ), Y = AX ∼ N ( Aµ , ACA′)
3. 设(X1,X2, …,Xn)T服从n元正态分布，则
“X1,X2, …,Xn相互独立” 等价于 “X1,X2, …,Xn两两不相关”
存在，称它为X和Y的k+l阶混合（原点）矩. 若
E {( X − EX )k (Y − EY )l }, k , l = 1, 2, ...
存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩. 协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.
２、多维随机量的期望向量
二维随机变量(X1,X2)T的期望向量定义为
4.4 矩、协方差阵
1、矩
定义设X和Y是随机变量，若
E ( X k ), k = 1, 2, ...
存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩. 若
E {( X − EX )k }, k = 2, 3, ...
存在，称它为X的k阶中心矩.
若
E ( X kY l ),
k , l = 1, 2, ...
1 1
3、多维随机量的协方差矩阵
将二维随机变量(X1,X2)T的四个二阶中心矩
c11 = E{[ X1 − E ( X1 )]2 } c12 = E{[ X1 − E ( X1 )][ X 2 − E ( X 2 )]} c21 = E{[ X 2 − E ( X 2 )][ X1 − E ( X1 )]}
c22 = E{[ X 2 − E ( X 2 )] }
2
这是一个对称矩阵
排成矩阵的形式: ⎛ c11 c12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜c c22 ⎟ ⎝ 21 ⎠ 称此矩阵为(X1,X2)T的协方差矩阵.
类似定义n维随机变量(X1,X2, …,Xn)T 的协方差矩阵. 若 ci j = Cov ( X i , X j )

东北大学远程教育14秋学期《概率论》在线作业1完整答案

东北⼤学远程教育14秋学期《概率论》在线作业1完整答案《概率论》在线作业1试卷总分：100 测试时间：--单选题判断题⼀、单选题（共 15 道试题，共 75 分。

）V 1. 设X为随机变量，D(10X)=10，则D（X）= 正确答案：AA.1/10B. 1C. 10D. 100满分：5 分2. 设X与Y独⽴，且EX=EY=0，DX=DY=1，E(X+2Y)2=(正确答案：C )A. 2B. 3C. 5D. 6满分：5 分3. 已知随机变量X服从正态分布N（2，22）且Y=aX+b服从标准正态分布，则（正确答案：C）A. a = 2 , b = -2B. a = -2 , b = -1C. a = 1/2 , b = -1D. a = 1/2 , b = 1满分：5 分4. 从⼀副扑克牌中连抽2张，则两张牌均为红⾊的概率：正确答案：AA. 25|102B. 26|102C. 24|102D. 27|102满分：5 分5. 设表⽰10次独⽴重复射击命中次数，每次命中的概率为0.4，则E（X2）=正确答案：AA. 18.4B. 16.4C. 12D. 16满分：5 分6. 下⾯哪⼀个结论是错误的？正确答案：AA. 指数分布的期望与⽅差相同；B. 泊松分布的期望与⽅差相同；C. 不是所有的随机变量都存在数学期望；D. 标准正态分布的随机变量落在区间(-2,2)⾥的概率⽐0.5⼤。

满分：5 分7. 设DX = 4，DY = 1，ρXY=0.6，则D(2X-2Y) =正确答案：CA. 40B. 34C. 25.6D. 17,.6满分：5 分8. 设盒中有10个⽊质球，6个玻璃球，玻璃球有2个为红⾊，4个为蓝⾊；⽊质球有3 个为红⾊，7个为蓝⾊，现从盒中任取⼀球，⽤A表⽰“取到蓝⾊球”；B表⽰“取到玻璃球“。

则P(B|A)=正确答案：DA. 3/5B. 4/7C. 3/8D. 4/11满分：5 分9.设X~(2,9),且P(X>C)=P(XA. 1B. 2C. 3D. 4满分：5 分10. 设X服从均匀分布，使得概率P（1.5＜X＜3.4）达到最⼤的X的分布是：正确答案：AA. U(1,2)；B. U(3,4)；C. U(5,6)；D. U(7,8)。