高二数学-常用导数的公式公开课优秀课件(经典、值得收藏)
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3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
3.2导数的计算(27张PPT)
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
这又说明什么?
这又说明什么?
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
第三章
导数及其应用
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯 净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化 到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为： 5284 c(x)= (80 x 100). 100 x 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率; (1)90%; (2)98%.
sin x＋xcos xcos x＋xsin x ＝ cos2x
2
sin xcos x＋x ＝ . cos2x
练习：求下列函数的导数 x＋ 3 1 1 2 x (1)y＝x(x ＋ ＋ 3)； (2)y＝e sin x； (3)y＝ 2 . x x x ＋3 1 1 1 2 3 解：(1)∵y＝x(x ＋ ＋ 3)＝x ＋1＋ 2，∴y′＝3x2－ 23. x x x x
这又说明什么?
这又说明什么?
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
第三章
导数及其应用
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯 净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化 到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为： 5284 c(x)= (80 x 100). 100 x 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率; (1)90%; (2)98%.
sin x＋xcos xcos x＋xsin x ＝ cos2x
2
sin xcos x＋x ＝ . cos2x
练习：求下列函数的导数 x＋ 3 1 1 2 x (1)y＝x(x ＋ ＋ 3)； (2)y＝e sin x； (3)y＝ 2 . x x x ＋3 1 1 1 2 3 解：(1)∵y＝x(x ＋ ＋ 3)＝x ＋1＋ 2，∴y′＝3x2－ 23. x x x x
【高中数学选修2-2】1.2.1常用函数的导数及导数公式 PPT 课件
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
例 1 求 y＝x3＋sinx 的导数．
新课——导数的运算法则
2、积的导数
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,
例 2.求函 y数 axcoxs的导数
新课——导数的运算法则
3、商的导数
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
(Cu)＝Cu
小结 1.基本初等函数的导数公式 2.导数的运算法则
课后必看 教材14-15页.
常听见这样的感叹：要是当初2018年 中国大 学毕业 生薪酬 排行榜 通过对 280多 万以及 多届毕 业生调 研后， 计算出 了各高 校毕业 生的薪 酬状况 。 虽然我们都知道名校毕业生的收入会普 遍比较 高，但 这份榜 单告诉 我们， 清华北 大毕业 生的月 薪，平 均近万 ，而普 通院校 的只有 两三千 。
x
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
或 y’|x=x0,
即 f'x 0 ： lx i 0 m y x lx i 0fm (x 0 x x ) f(x 0 )
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
例 1 求 y＝x3＋sinx 的导数．
新课——导数的运算法则
2、积的导数
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,
例 2.求函 y数 axcoxs的导数
新课——导数的运算法则
3、商的导数
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
(Cu)＝Cu
小结 1.基本初等函数的导数公式 2.导数的运算法则
课后必看 教材14-15页.
常听见这样的感叹：要是当初2018年 中国大 学毕业 生薪酬 排行榜 通过对 280多 万以及 多届毕 业生调 研后， 计算出 了各高 校毕业 生的薪 酬状况 。 虽然我们都知道名校毕业生的收入会普 遍比较 高，但 这份榜 单告诉 我们， 清华北 大毕业 生的月 薪，平 均近万 ，而普 通院校 的只有 两三千 。
x
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
或 y’|x=x0,
即 f'x 0 ： lx i 0 m y x lx i 0fm (x 0 x x ) f(x 0 )
高中数学《导数的概念》公开课优秀课件
高中数学《导数的概念》公开课优秀课件标题：高中数学《导数的概念》公开课优秀课件尊敬的各位老师，大家好！今天我们将一起学习高中数学中一个非常重要的概念——导数的概念。
这个概念在微积分学中占据了重要的地位，对于我们理解函数的变化率，以及在科学、工程、经济和计算机科学等领域都有广泛的应用。
一、导数的定义首先，让我们来看看导数的定义。
假设有一个函数f(x)，在某一点x0的附近取一系列的点，这些点的横坐标是x0+Δx。
那么，函数f(x)在点x0的导数就是这一系列点的纵坐标f(x0+Δx)与横坐标之商的极限，记作f'(x0)。
二、导数的几何意义从几何意义上来看，导数表示函数在某一点处的切线的斜率。
当我们把函数在x0附近的点沿着横坐标逐渐移动时，该点的纵坐标会相应地变化，这个变化率就是导数。
三、导数的应用导数的应用非常广泛，它可以用来解决很多实际问题。
例如，在物理学中，导数被用来描述物体的运动学和动力学问题，如速度和加速度；在经济学中，导数被用来分析成本、收益和价格的变化；在计算机科学中，导数被用来研究图像处理和人工智能的问题。
四、导数的计算导数的计算有很多方法，其中最常见的方法是使用导数的定义。
我们可以根据定义来推导出一些基本的导数公式，如常数函数的导数为0，幂函数的导数与其指数有关，三角函数的导数与其角度有关等。
五、总结与复习今天我们学习了导数的概念和计算方法。
导数是微积分学的基础，它描述了函数在某一点处的变化率。
通过学习导数的定义和基本公式，我们可以解决很多实际问题。
六、作业与扩展阅读为了加深对导数概念的理解，请大家完成以下作业：1、复习并熟练掌握导数的基本定义和公式；2、自行寻找并解决一到两个与导数相关的问题（可以从物理、经济或计算机科学等领域寻找）。
同时，我推荐大家阅读《微积分的概念》这本书，作者是著名的数学家Richard Courant。
这本书对微积分的概念有深入且生动的解释，对于我们深入理解导数的概念非常有帮助。
高二导数ppt课件
指数函数和对数函数导数
指数函数f(x)=ex的导数为f'(x)=ex，对数函数f(x)=lnx的导数为 f'(x)=1/x。
导数四则运算法则
加法法则
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)，即两个函数的和的导数等于各 自导数之和。
减法法则
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)，即两个函数的差的导数等于被减 数导数减去减数导数。
导数在图像变换中的应用
02
利用导数的性质，研究函数图像的平移、伸缩、对称等变换规
律。
导数在曲线绘制中的应用
03
通过计算函数的导数，确定曲线的切线斜率，从而绘制出函数
的图像。
04
高阶导数及其应用
高阶导数概念引入
定义与性质
高阶导数表示函数在某一点附近 的变化速率，具有局部性、线性
性和求导法则等基本性质。
微分在近似计算中应用举例
利用微分进行函数值的近似计算
通过计算函数在某一点的导数，可以估算函数在该点附近的函数值。
利用微分求最值问题
通过求解函数的导数，可以确定函数的单调区间和极值点，进而求出函数的最值。
THANKS
感谢观看
乘法法则
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，即两个函数的积的导数等 于第一个函数导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第 二个函数导数。
除法法则
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g²(x)，即两个函数的商 的导数等于分子中第一个函数导数乘以分母减去分子乘以 分母导数再除以分母平方。
指数函数f(x)=ex的导数为f'(x)=ex，对数函数f(x)=lnx的导数为 f'(x)=1/x。
导数四则运算法则
加法法则
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)，即两个函数的和的导数等于各 自导数之和。
减法法则
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)，即两个函数的差的导数等于被减 数导数减去减数导数。
导数在图像变换中的应用
02
利用导数的性质，研究函数图像的平移、伸缩、对称等变换规
律。
导数在曲线绘制中的应用
03
通过计算函数的导数，确定曲线的切线斜率，从而绘制出函数
的图像。
04
高阶导数及其应用
高阶导数概念引入
定义与性质
高阶导数表示函数在某一点附近 的变化速率，具有局部性、线性
性和求导法则等基本性质。
微分在近似计算中应用举例
利用微分进行函数值的近似计算
通过计算函数在某一点的导数，可以估算函数在该点附近的函数值。
利用微分求最值问题
通过求解函数的导数，可以确定函数的单调区间和极值点，进而求出函数的最值。
THANKS
感谢观看
乘法法则
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，即两个函数的积的导数等 于第一个函数导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第 二个函数导数。
除法法则
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g²(x)，即两个函数的商 的导数等于分子中第一个函数导数乘以分母减去分子乘以 分母导数再除以分母平方。
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
高二数学-2导数的运算法则公开课优秀课件(经典、值得收藏)
3
u2
2
1
2
x
3 2
即y
1
2
x
3 2
.
二、求复合函数的导数
例2 求下列函数的导数.
(2)y＝log2(2x＋1)；
解：设 y＝log2u，u＝2x＋1，
则yx log2 u2x 1
1 2 u ln 2
2x
2
1 ln
2
即y
2x
2
1ln
2
.
二、求复合函数的导数
例2 求下列函数的导数.
1
(3) y (sin x2 )3
(1)y＝(x2＋1)(2x－3)；
【解法：二y】′ ＝y＝(x(2x＋2＋1)1′)((22xx－－33))+＝(2xx2＋3－13) x(22＋x－2x3－) ′3 【化为和、差】 y＝′＝[(x(22) x′ 3＋) ′ －(1)(′3](x22x) －′ ＋3)(+2x(x)2′＋－1)(3[()2′x) ′ － (3) ′] ＝＝26xx·2(－2x6－x＋3)+2.(x2＋1)·2 ＝ 6x2－6x＋2
需弄清函数是怎样复合的，
1
解 设y u 3 ,u sin t,t x2
求导时由外到里逐层求导. 注意一定要到底，不要遗漏.
则yx
u
1 3
sin
t
x2
1 3
u
2 3
c
ost
2
x
1 3
sin
t
2 3
2 3
c os x 2
即y
2x
sin x2
cosx；
5
解： y x 3cosx
【化成幂指数形式】
第二学期高二数学人教A版选修22.2导数的概念精品PPT课件
y' |xx0 表 示 函 数 y关 于 自 变 量x在x0处 的 导 数.
1 .平 均 变 化 率 ： y f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 1 x ) f(x 1 )
x x 2 x 1
x
2．瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在_某__一__时__刻___的速度称为瞬时速度．
易混点
1.h(t0t)h(t0) [4.9(t0t)26.5(t0t)10](4.9t026.5t010) 4.9(t022t0tt2)6.5t06.5t104.9t026.5t010 9.8t0t4.9t26.5t 2 .v h th (t0 tt) h (t0 ) 9 .8 t0 t 4 .9 t t2 6 .5 t 9 .8 t0 4 .9 t 6 .5 3 .求 当 t趋 于 0 时 ， v 趋 于 的 值 ? lit m 0 ( 9 .8 t0 4 .9 t 6 .5 ) 9 .8 t0 6 .5 4 . 当 t 0 = 2 时 ， l i t m 0 ( 9 . 8 t 0 4 . 9 t 6 . 5 ) 9 . 8 2 6 . 5 = 1 3 . 1
肇庆学院附属中学 郑瑞华老师
复习回顾 1.1.1变化率问
题 具 体 实 例 ( 数 学 上 ) ： 函 数 yf(x )的 图 象 分 别 如 下 ，
求 [ 0 , 3 ] 上 的 平 均 变 化 率 ？
y
y
y
10
10
10
3x
3x
3x
（1）
（2）
（3）
yf(3)f(0)10, x 30 3
yf(3)f(0)10, x 30 3
但是x 0到底是个啥？ 无穷小量究竟是不是0？ 无穷小及其分析是否合理？
高中数学导数运算法则PPT课件
代入 y0＝ex0，得 y0＝1， 即 P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得距离为 22.
第19页/共21页
例5.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1, y 2x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①
教学目标 熟练运用导数的四则运算法则，并能灵活运
用
• 教学重点：熟练运用导数的四则运算法则
• 教学难点：商的导数的运用
第1页/共21页
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn , 则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x;
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第 二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第
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练习：点 P 是曲线 y＝ex 上任意一点，求点 P 到直线 y＝x 的最小距离．
解：根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与曲线 y＝ex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的点，如图．
则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1，
即 y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得 x0＝0，
利用点到直线的距离公式得距离为 22.
第19页/共21页
例5.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1, y 2x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①
教学目标 熟练运用导数的四则运算法则，并能灵活运
用
• 教学重点：熟练运用导数的四则运算法则
• 教学难点：商的导数的运用
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我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn , 则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x;
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第 二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第
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练习：点 P 是曲线 y＝ex 上任意一点，求点 P 到直线 y＝x 的最小距离．
解：根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与曲线 y＝ex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的点，如图．
则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1，
即 y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得 x0＝0，
导数公式大全(最具说服力的)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
(cot x) = - csc2x .
(sec x) = sec x tan x . (csc x) = - csc x cot x .
另外还有反三角函数旳导数公式：
(arcsin x) 1 , 1- x2
-1
(arccos x)
,
1- x2
(arctan
x)
1 1 x2
,
(arc
cot
x)
1
dx 4
dx n
f (x) 称为 f (x) 旳一阶导数.
而把
例3 求下列函数旳二阶导数
(1) y x cos x (2) y arctan x
解：
(1) y ' cos x x(- sin x) cos x - x sin x
y" - sin x - (sin x x cos x) -2sin x - x cos x
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
u( x) - u2(x) .
乘法法则旳推广：
(uvw) ' u 'vw uv ' w uvw '
补充例题： 求下列函数旳导数：
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1， 求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)，又(x4) = 4x3，(cos x) = - sin x， (ex) = ex， (1) = 0，
故
高二数学导数的运算法则PPT优秀课件
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
• ＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.
2．函数 f(x)＝x3＋21x＋1的导数是(
[例 2] 求函数 y＝sin44x＋cos44x的导数．
• [分析] 解答本题可先化简解析式再求导 函数，否则较繁．
• [点评] 不加分析，盲目套用求导法则，会 给运算带来不便，甚至导致错误．在求导 之前，对三角恒等式先进行化简，然后再 求导，这样既减少了计算量，也可少出差 错．
求函数 y＝－sin2x(1－2sin24x)的导数． [解析] ∵y＝－sin2x·(1－2sin24x) ＝－sin2x·cos2x＝－12sinx， 所以 y′＝(－12sinx)′＝－12cosx.
• ∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
• ∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
• ∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
• 已知抛物线y＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，过 点(1,1)的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b 的值．
• [解析] 由于抛物线y＝ax2＋bx－7经过点 (1,1)，
(4)y＝xtanx－co2sx.
• [解析] (1)方法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋ (x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝ 3x2＋2x－1.
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
• ＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.
2．函数 f(x)＝x3＋21x＋1的导数是(
[例 2] 求函数 y＝sin44x＋cos44x的导数．
• [分析] 解答本题可先化简解析式再求导 函数，否则较繁．
• [点评] 不加分析，盲目套用求导法则，会 给运算带来不便，甚至导致错误．在求导 之前，对三角恒等式先进行化简，然后再 求导，这样既减少了计算量，也可少出差 错．
求函数 y＝－sin2x(1－2sin24x)的导数． [解析] ∵y＝－sin2x·(1－2sin24x) ＝－sin2x·cos2x＝－12sinx， 所以 y′＝(－12sinx)′＝－12cosx.
• ∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
• ∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
• ∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
• 已知抛物线y＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，过 点(1,1)的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b 的值．
• [解析] 由于抛物线y＝ax2＋bx－7经过点 (1,1)，
(4)y＝xtanx－co2sx.
• [解析] (1)方法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋ (x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝ 3x2＋2x－1.
( 人教A版)高中数学选修22：1.2.11.2.2第1课时导数公式课件 (共31张PPT)
人教A版数学 ·选修2－2 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 9:26:13 AM
•11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/152021/9/152021/9/15Sep-2115-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/152021/9/152021/9/15Wednesday, September 15, 2021
1．曲线 y＝f(x)在点 P 处的切线只有一条，但过点 P 求曲线 y＝f(x)的切线时， 点 P 不一定是切点，故应设出切点坐标，并求切点坐标，有几个切点就有几条 切线． 2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方 程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的 导数值．
1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
第 1 课时 导数公式
考纲定位
重难突破
1.能根据定义求函数 y＝c，y 重点：基本初等函数的导数
＝x，y＝x2，y＝1x，y＝
x的
公式和导数的四则运算法 则，并能用公式和法则求简
导数.
单函数的导数.
2.掌握基本初等函数的导数 难点：指数函数和对数函数
[典例 2] 已知曲线 y＝ x，求：
(1)曲线上与直线 y＝2x－4 平行的切线方程；
(2)求过点 P(0,1)且与曲线相切的切线方程．
[解析] (1)设切点坐标为(x0，y0)，由 y＝ x，
高二数学-常用导数的公式公开课优秀课件(经典、值得收藏)
幂函数的导数
1. x =1 2.（x2）=2 x
猜想：xn
3.（ 1 ）=（x x
1）=
-1 x2
x2
4.（
1
x）=（x 2）=
1
1x
1 2
2x 2
nxn 1 , n Q*
基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax f(x)＝ex
x x x0
x
x
loga x
ln x ln a
1 ln a
1 x
思考辨析 判断正误
1.若 y＝ 2，则 y′＝12×2＝1.( × ) 2.f(x)＝x13，则 f′(x)＝－x34.( √ )
3. (2x ) x 2x 1 （ × ）
4.若f(x)＝5x，则f′(x)＝5xlog5e.( × )
祝大家学习愉快
x
x
x
x
2x x
所以y
lim y lim（2x+ x）=2x
x0 x
x0
怎样理解（x2）=2x ？
基本函数的导数公式
4.求函数y 1 的导数. x
解： y f (x x) f (x)
x
x
-
x2
1 +x
x
1 -1 x xx
x
x-（x+ x） （x x+ x） x
所以y
lim y lim（- 1 ）= -1
解：求函数y 2x 的导数
y f ( x x) f ( x) （2 x x）-2x 2
x
x
x
y
高二数学 常见函数的导数 ppt名师课件
3
（8）、y= f (1)
例2、求在曲线y=cosx上一点P( ，1)处
的切线方程
32
变式： 已知点P在函数y=cosx上，（0≤x≤2π）， 且在点P处的切线斜率大于0，求点P的 横坐标的取值范围。
例３、若直线y=-x+b为函数 y 1 x
图象的切线，求b及切点的坐标
变式 1、直线 y 1 x 3 能作为下列函数图象的切线 2
吗？若能，求出切点的坐标，若不能，简述理由
(1) f (x) 1 (2) f (x) 1
x
x
(3) f(x)=sinx (4)f(x)=ex
变式2:求曲线y=x2 在点(1,1) 处的切
线方程
变式3:求曲线y=x2 过点(０,－1) 处的
切线方程
变式4:已知直线y=x-1,点P为y=x2
(cosx) －sinx
例1、求下列函数导数。
（1）、 y x 5
（2）、 y 4 x
（3）、 y x x x
（4）、 y ogl 3 x
（5）、 y ogl
1 (x 0，a 0，a，x 1)
x
(
1 a
)
（6）、y=sin( +x)意一点,求P在什么位置到已知 直线距离最短.
小结：
1、常见函数的导数
(1)常函数的导数 (C) 0
(2)幂函数的导数
(x ) x 1 （α为常数）
(3)指数函数的导数 (ax ) ax ln a(a 0，a 1)
特别地当 a e时，(ex ) ex
常见函数的导数
忆一忆？
1、函数在一点处导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的步骤。
（8）、y= f (1)
例2、求在曲线y=cosx上一点P( ，1)处
的切线方程
32
变式： 已知点P在函数y=cosx上，（0≤x≤2π）， 且在点P处的切线斜率大于0，求点P的 横坐标的取值范围。
例３、若直线y=-x+b为函数 y 1 x
图象的切线，求b及切点的坐标
变式 1、直线 y 1 x 3 能作为下列函数图象的切线 2
吗？若能，求出切点的坐标，若不能，简述理由
(1) f (x) 1 (2) f (x) 1
x
x
(3) f(x)=sinx (4)f(x)=ex
变式2:求曲线y=x2 在点(1,1) 处的切
线方程
变式3:求曲线y=x2 过点(０,－1) 处的
切线方程
变式4:已知直线y=x-1,点P为y=x2
(cosx) －sinx
例1、求下列函数导数。
（1）、 y x 5
（2）、 y 4 x
（3）、 y x x x
（4）、 y ogl 3 x
（5）、 y ogl
1 (x 0，a 0，a，x 1)
x
(
1 a
)
（6）、y=sin( +x)意一点,求P在什么位置到已知 直线距离最短.
小结：
1、常见函数的导数
(1)常函数的导数 (C) 0
(2)幂函数的导数
(x ) x 1 （α为常数）
(3)指数函数的导数 (ax ) ax ln a(a 0，a 1)
特别地当 a e时，(ex ) ex
常见函数的导数
忆一忆？
1、函数在一点处导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的步骤。
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x
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2x x
所以y
lim y lim（2x+ x）=2x
x0 x
x0
怎样理解（x2）=2x ？
基本函数的导数公式
4.求函数y 1 的导数. x
解： y f (x x) f (x)
x
x
-
x2
1 +x
x
1 -1 x xx
x
x-（x+ x） （x x+ x） x
所以y
lim y lim（- 1 ）= -1
x x x0
x
x
loga x
ln x ln a
1 ln a
1 x
思考辨析 判断正误
1.若 y＝ 2，则 y′＝12×2＝1.( × ) 2.f(x)＝x13，则 f′(x)＝－x34.( √ )
3. (2x ) x 2x 1 （ × ）
4.若f(x)＝5x，则f′(x)＝5xlog5e.( × )
基本初等函数的导数公式
求y sin x的导数 （此内容为拓展知识，不要求掌握）
解： y sin( x x) sin x
y x
cos( x
x 2
)
sin x 2
x
2 cos( x
x ) sin x
2
2
y
lim
y
lim
2 cos( x
x ) sin
x 2
x x0
x 0
2 x
cos x
2
所以(sinx)´=cosx
x0 x
x 0 x 2 +x x
x2
基本函数的导数公式
5.求函数y x的导数.
解： y f (x x) f (x)
x
x
1 x x+ x
x x - x （ x x - x）（ x x + x）
x
x（ x x + x）
所以yy1Fra bibliotek1lim
lim
=
x 0 x x 0 x x+ x 2 x
基本函数的导数公式
幂函数的导数
1. x =1 2.（x2）=2 x
猜想：xn
3.（ 1 ）=（x x
1）=
-1 x2
x2
4.（
1
x）=（x 2）=
1
1x
1 2
2x 2
nxn 1 , n Q*
基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax f(x)＝ex
基本函数的导数
例1.求下列函数的导数.
(1)y＝sin
π 6
解：y′＝0.
(2)y＝lg x
解：y′＝xln110.
(3)y＝3 x4
解：∵y＝3
x4＝
x
4 3
y
=
4
1
x3
3
基本函数的导数
例1.求下列函数的导数.
(4)y＝ x2 x
解：
∵y＝
x2 x＝
x
3 2
y
=
3
1
x2
=
3
x
22
(5)y＝2cos2x2－1. 解 ∵y＝2cos2x2－1＝cos x，
同理可得(cosx)´=-sinx
基本初等函数的导数公式
求y ln x的导数 （此内容为拓展知识，不要求掌握）
1
知识点：lim 1 x x e
x0
ln1 x
y lim ln( x x) ln x lim
x
x 0
x
x 0
x
x
1 lim
x
ln1 x
1
lim
ln1
x
x
1
x x0 x
人教版选20修172-2 第1.2节
基本初等函数的导数
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x ，y＝ x的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
温故知新
导数的定义：
y f ( x)= lim
x0 x
lim f ( x x0
由定义求导数的步骤
f(x)＝logax
f(x)＝ln x
导函数
f′(x)＝_0__ f′(x)＝_α_x_α_－__1
f′(x)＝_c_o_s_x_ f′(x)＝_－__s_i_n_x_ f′(x)＝ axln a (a>0)
f′(x)＝_e_x_ 1
f′(x)＝ xln a (a>0且a≠1)
1 f′(x)＝_x_
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
导数的几何意义
例 2.求函数 y＝－1x在12，－2处的切线方程 解： ∵y′＝－1x′＝x－2，
∴k＝y′|x 1 2
＝12－2＝4，
∴切线方程为 y＋2＝4x－12，
即y＝4x－4.
导数的几何意义
例3.求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线方程.
解 ∵O(0,0)不在曲线y＝ln x上. ∴设切点Q(x0，y0)， 则切线的斜率 k＝x10. 又切线的斜率 k＝yx00－ －00＝lnx0x0， ∴lnx0x0＝x10，即 x0＝e， ∴Q(e,1)，∴k＝1e， ∴切线方程为 y－1＝1e(x－e)，即 x－ey＝0.
（2） 算比值： （3）取极限：
y 0 x
y lim y 0 x0 x
基本函数的导数公式
2.求函数y x的导数.
解：（1）求增量： y f (x x) f (x) x
（2） 算比值：
（3）取极限：y
y
x1
x
x
lim y lim 1=1
x0 x
x0
基本函数的导数公式
练习1.求函数y 2x, y 3x, y 4x的导数.
x) f (x) x
1.求增量： y 2.算比值： y
x
f (x f (x
3.取极限：f ( x)=y
x) x) x
lim x0
f (x) f (x)
y
f (x
lim
x
x0
x) f (x) x
基本函数的导数公式
1.求函数y c(c为常数)的导数.
解：（1）求增量： y f ( x x) f ( x) c c 0
解：求函数y 2x 的导数
y f ( x x) f ( x) （2 x x）-2x 2
x
x
x
y
y lim
lim 2=2
x0 x
x0
(2 x)' =2
同理 (3x) =3，(4x) =4 猜想 (kx) =k，k R
基本函数的导数公式
3.求函数y x2的导数.
解：
y f ( x x) f ( x) （x x）2 -x2 x2 2x x+（ x）2 -x2
祝大家学习愉快