不定积分计算的各种方法.
不定积分的计算
例
dx cos xdx d sin x sec xdx 2 cos x cos x 1 sin 2 x
1 1 1 ( )d sin x 2 1 sin x 1 sin x
1 1 sin x 1 (1 sin x)2 ln C ln C 2 2 1 sin x 2 cos x
x
；
(a 0)
f (e )e dx
x x
f (e
)de
x
；
dx f (ln x) f (ln x)d ln x ； x
f (cos x) sin xdx f (cos x)d cos x
；
凑微分公式
f (sin x) cos xdx
f (sin x)d sin x
3.积分
F (u ) C
F ( ( x)) C.
4.u ( x)
认真 体会
回代
凑微分公式
通过实践，可以归纳出如下一般凑微分形式：
1 f ( ax b)dx a
f (ax b) xdx
2
f (ax b)d (ax b)
1 2a
(a 0) ；
f ( ax 2 b)d ( ax 2 b)
uv (uv) uv.
作不定积分运算, 即得
(uv) uv uv, or
uvdx uv vudx,
or
将被积函数u转换为v
udv uv vdu,
称之为 分部积分公式.
注1. 不能直接求
uvdx
改写 转化
求
不定积分计算的各种方法
不定积分计算的各种方法不定积分是微积分中的重要概念，用于求解函数的原函数。
计算不定积分的方法有很多种，下面将介绍其中常用的几种方法。
1.替换法（换元法）：替换法是求不定积分最常用的方法之一、通过引入一个新的变量代替原函数中的一部分，使得被积函数被替换为新变量的导数形式。
然后将积分转化为新变量的积分，最后再将结果换回原变量。
替换法适用于当被积函数具有其中一种特殊形式时，例如三角函数、指数函数、对数函数等。
2.分部积分法：分部积分法是求不定积分的另一种常用方法。
它通过将被积函数拆分成两个函数的乘积形式，然后将积分转化为其中一个函数的积分和另一个函数的导数的积分。
这个方法适用于当被积函数是两个函数的乘积形式时。
3.微分方程法：微分方程法适用于求解一些具有特殊形式的微分方程的原函数。
通过将微分方程转化为不定积分形式，并通过求解该不定积分得到原函数。
4.图像法：图像法适用于当被积函数的几何意义或图像特点已知时。
通过观察被积函数的几何性质，可以直接得出不定积分的结果。
5.线性代数法：线性代数法是一种较为复杂的计算不定积分的方法，适用于一些特殊的被积函数形式。
它通过将被积函数视为多项式的线性组合形式，并利用线性代数中的方法求解。
6.对称性法：对称性法适用于具有对称性质的被积函数。
通过利用函数的对称性质，可以将不定积分简化为更容易处理的形式。
7.勾股定理法：勾股定理法适用于当被积函数具有勾股定理形式时。
通过利用勾股定理，可以将不定积分转化为勾股定理的逆定理的形式，然后求解。
8.换项法：换项法适用于当被积函数的形式与换项公式相似时。
通过将被积函数拆分成一个或多个项的和的形式，然后通过换项公式对其中的其中一项进行换项，从而简化积分计算。
综上所述，计算不定积分时常用的方法有替换法、分部积分法、微分方程法、图像法、线性代数法、对称性法、勾股定理法和换项法等。
在实际计算中，可以根据被积函数的特点选择相应的方法，以简化计算过程并求得准确的结果。
关于不定积分计算的总结
关于不定积分计算的总结不定积分是微积分中的一个重要概念，主要用于求函数的原函数。
在计算不定积分时，需要掌握一些基本的积分公式和技巧，以及一些应用不定积分的方法。
下面是关于不定积分计算的一些总结。
一、基本不定积分公式：1. 常数函数：∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为任意常数。
2. 幂函数：∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C，其中n≠-1，C为任意常数。
3.正弦和余弦函数：∫sinxdx=-cosx+C∫cosxdx=sinx+C∫sec^2xdx=tanx+C∫csc^2xdx=-cotx+C∫secxdxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=-cscx+C。
4.指数和对数函数：∫e^xdx=e^x+C∫a^xdx=(a^x)/(lna)+C∫(1/x)dx=ln，x，+C。
5.反三角函数：∫1/(√(1-x^2))dx=sin^(-1)(x)+C∫1/(1+x^2)dx=tan^(-1)(x)+C。
二、通用技巧：1. 常数倍和求和：∫(kf(x)+g(x))dx=k∫f(x)dx+∫g(x)dx∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。
2. 反函数：如果F'(x)=f(x)，则∫f(x)dx=F(x)+C。
3. 分部积分法：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
分部积分法适用于由两个函数的乘积构成的积分。
4. 代换法：设x=g(t)或t=h(x)，则dx=g'(t)dt或dx=(1/h'(x))dt。
代换法适用于需要进行变量代换的积分。
5. 三角函数的平方：∫sin^2xdx=(1/2)(x-sin(x)cos(x))+C∫cos^2xdx=(1/2)(x+sin(x)cos(x))+C。
6.分数分解：对于有理函数，可以使用部分分数分解的方法将其化简为简单的分式相加。
7.特殊函数的特殊方法：对于特定的函数形式，可以使用特殊的方法进行不定积分的计算，如有理函数的积分可以使用多项式的除法。
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式
不定积分是求导的反向运算，是解决微积分问题的重要方法之一，而四则运算则是数学中最基本的运算方法之一。
在进行不定积分的过程中，我们也需要运用四则运算的相关公式，以便更加高效地解决问题。
下面是不定积分的四则运算公式：
1. 常数倍法则：∫ k*f(x) dx = k*∫ f(x) dx （k为常数）
2. 和差法则：∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx；
∫ [f(x) - g(x)] dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx
3. 积法公式：∫ f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫ g(x)f'(x) dx
4. 倒代换公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du （其中 u = g(x)）
通过掌握这些不定积分的四则运算公式，我们可以更加轻松地进行不定积分的计算，提高我们的数学解题能力。
- 1 -。
不定积分的方法总结
不定积分的方法总结教学过程：在实际问题的解决过程中，我们不仅要用到求导数和微分，还要用到与求导数和微分相反的计算即积分运算.也就是由函数的导数求原函数,它是积分学的基本问题之一-----求不定积分.一、原函数１．引例1：已知物体运动方程s st，则其速度是物体位移s对时间t的导数.反过来,已知物体的速度v是时间t的函数v vt,求物体的运动方程s st,使它的导数s t等于v vt,这就是求导函数的逆运算问题.引例2:已知某产品的产量P是时间t的函数P Pt,则该产品产量的变化率是产量P对时间t的导数P t.反之,若已知某产量的变化率是时间t 的.函数Pt,求该产品产量函数Pt,也是一个求导数运算的逆运算的问题.2.（定义5.1）（原函数）设fx是定义在区间I上的函数．若存在可导函数Fx，对x I均有F x fxordFx fxdx,则称Fx为fx在I上的一个原函数.例如：由sinx cosx知sinx是cosx的一个原函数；又sinx 5 cosx,sinxc cosx（c是常数），所以sinx 5,sinx c也都是函数cosx的一个原函数.再如：由2x3 6x2知2x是6x的一个原函数；322x3 c 6x2，所以2x3 c（c是常数）也是6x2的一个原函数．注意：没有指明区间时，应默认为区间就是函数定义域．二、不定积分1．原函数性质观察上述例子知：函数的原函数不唯一，且有性质1若fx CI,则fx存在I上的原函数Fx.2若Fx为fx在I上的一个原函数，则Fx C都是fx的原函数,其中C为任意常数.3若Fx和Gx都是fx的原函数，则Fx Gx C.证明：Fx GxF xG x fx fx 0.C R, s.t.Fx Gx C.4设Fx为fx在I上的原函数,则fx在I上全体原函数为Fx C（其中C为任意常数）.2.（定义5.2）函数fx在I上的全体原函数称为fx在I上的不定积分,记作 C R,s.t. fxdx.即若Fx为fx在I上的一个原函数,则有 fxdx Fx C,C为任意常数.说明：1 ---积分号；2fx---被积函数；3fxdx----被积表达式.4x----积分变量.3.结论：①连续函数一定有原函数．②fx若有原函数,则有一簇原函数.它们彼此只相差一个常数.提问：初等函数在其定义区间上是否有原函数？例：edx,sinxdx， x2 2sinx xdx）（一定有原函数，但原函数不一定还是初等函数.）例1求（1）3xdx；（2）x5dx. 2解（1）∵x 3x，∴32233xdx x C.x6 x655（2） C. x, xdx 6 6例2求解1 1 x2dx. arctanx 1,21 x1 1 x2dx arctanx C.1提问： dx arccotx C对吗？1 x21例3求 dx.x11解: lnx , dx lnx C.xx例4:某商品边际成本为100 2x,则总成本函数为Cx 100 2xdx 100x x2 C.3．导数与不定积分的关系f xdx fx C.1* dfx fx C.1dfxdx fx. dx2*d fxdx fxdx.2可见：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.提问:如何验证积分的结果是正确的?积分的导数是被积函数时正确二、不定积分的几何意义如图： fxdx Fx C，函数fx的不定积分表示斜率为fx的原函数对应的一簇积分曲线.在同一点x0处积分曲线簇的切线平行.此曲线蔟可由Fx沿y轴上下平行移动而得到．积分曲线：函数fx原函数y Fx的图形称为fx的积分曲线.不定积分的几何意义：fx的不定积分是一簇积分曲线Fx C.且在同一点x0处积分曲线簇的切线互相平行.例5设曲线通过点P1,2,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线为y fx,依题意知x2dy 2x,dx 2x, 2xdx x2 C,2于是fx x C,由f1 2 C 1,所求曲线方程为y x 1.提问：如何验证积分的结果是正确的？（结果求导必须是被积函数）小结：１．Fx为fx在I上的原函数,则fx在I上全体原函数Fx c为fx的不定积分，即2fxdx Fx c２．注意当积分号消失时常数ｃ产生．３．熟记积分公式，注意将被积函数恒等变形后用公式计算不定积分．课后记：存在的问题不能正确理解几何意义；计算错误较多，找不对原函数，写掉积分常数C.（提问）判断下列结论是否正确（不正确说明理由）13dx 3x C.2xdx3515x C6 C.4 1x2 1x C.5 1x lnx C.6 5xdx 5xln5 C.7 2exdx ex C.8 2sinxdx cosx C.9 11 x2dx arctanx c arccotx C.10 sec2xdx tanx C.11 csc2xdx cotx C.12 arcsinx C arccosx C.13 secxtanxdx secx C.12 cscxcotxdx cscx C.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
求不定积分的基本方法
说明: 此技巧适用于形为 acoxsbsin xdx的积分. ccoxsdsin x
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例 解1：2因. 求 为I1aco sx isx b n sixn dIx2 及 aco cx sox bssixndx. a acco oxxss b bssiin n xxdx b acco oxxss a bssiin n xxdx
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3. 分部积分法
uvdxuvuvdx
使用原则:
1) v 易求出
由 2) uvvdx;比
好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三”
的顺序, 排前者取为 u ,排后者取为 v .
计算格式: 列表计 算
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多次分部积分的 规 律
senc2x
(n 2 )se n 3 x c se xtc axn senc2xtaxn ( n 2 )sn e 2 x c (s 2 x e 1 )d x c
sen c2xtaxn(n2)In(n2)In2
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例8. 求
解:
设
x1, F(x)x1
x1
u u u
u (n) u(n1)
(1)n (1)n1
v(n1k) v(n1) v (n) v(n1) v
v
特别: 当 u 为 n 次多项式时u(,n1) 0,计算大为简便 .
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例1. 求
解: 原式
2x3x 32x 22x
dx
1 ((3232))x2dxadxx axlnadx
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式
不定积分是微积分中的重要概念之一，而四则运算也是基本的数学运算。
在对不定积分进行计算时，常常需要运用四则运算。
以下是不定积分的四则运算公式：
1. 和的不定积分等于各部分不定积分的和。
∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
2. 差的不定积分等于各部分不定积分的差。
∫(f(x)-g(x))dx=∫f(x)dx-∫g(x)dx
3. 乘积的不定积分可以通过积分分部法来求得。
∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫g(x)f'(x)dx
4. 商的不定积分可以通过换元积分法来求得。
∫f(x)/g(x)dx=∫[f(g(x))/g(x)]g'(x)dx
在实际计算中，不定积分的四则运算常常需要与其他的积分技巧和公式相结合，才能得到最终的结果。
因此，对于不定积分的学习和掌握，需要不断地进行练习和实践。
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基本的3种不定积分方法
基本的3种不定积分方法基本的三种不定积分方法是：代入法、分部积分法和换元法。
这些方法都用于求解函数的不定积分，即求函数的原函数。
1.代入法：代入法是基本的一种不定积分方法。
它通过选取适当的变量代换，将被积函数转化为更容易求解的形式。
首先，通过观察被积函数的形式，选取一个变量代换来简化函数。
例如，如果被积函数中有一个较为复杂的根式，我们可以选取一个新的变量，使得根式可以被表示为新变量的幂函数。
然后对新变量进行求导和求逆，并用新变量替代原变量进行积分。
举个例子，如果我们计算不定积分∫(x/(1+x²)) dx，我们可以选取u=1+x²，使得被积函数可以表示为 du/dx。
然后我们对等式两边同时求导，得到 du=2xdx，进而得到∫(x/(1+x²)) dx = ∫(1/u) du。
通过代入法，我们将原来的被积函数转化为了一个更简单的函数进行积分。
2.分部积分法：分部积分法是另一种常用的求不定积分的方法。
它是导数乘积的逆运算，通过将一个积分分解为两个函数的乘积，以便其中一个函数的导数形式可以被简化。
分部积分法的公式为∫(u dv) = uv - ∫(v du)。
其中 u 和 v 分别为两个待定函数，du 和 dv 分别为其导数。
具体应用分部积分法时，我们首先选择一个函数 u 作为被积函数的导数，然后选取另一个函数 dv，使得 dv 尽可能简单。
然后我们计算出u 的导数 du 和 v 的不定积分。
例如，对于不定积分∫(x sinx) dx，我们可以选取 u=x，dv=sinx。
然后计算出 du=dx 和v=∫sinx dx=-cosx。
最后根据分部积分法公式，我们得到∫(x sinx) dx = -xcosx + ∫cosx dx = -xcosx + sinx + C。
通过分部积分法，我们将原来的被积函数分解为两个函数的乘积，以便其中一个函数可以更容易地被积分。
3.换元法：换元法是一种常用的不定积分方法。
举例说明不定积分计算的一些常用方法
举例说明不定积分计算的一些常用方法以《举例说明不定积分计算的一些常用方法》为标题，写一篇3000字的中文文章不定积分是微积分中一个重要的概念，它专门用于计算函数不定积分。
不定积分通常用于求解微分方程，以及解决物理学、化学、经济学等多种学科中的问题。
本文旨在举例说明不定积分计算的一些常用方法。
第一种不定积分的计算方法是分部积分法。
分部积分由较简单的函数组合而成，通过求解部分函数，可以解决较复杂的函数求积问题。
例如，当计算函数《f(x) = x2 + 5x - 4》的不定积分时，可以先求解其中的x2，再求解5x，最后求解-4，即可结合三部分求出总的积分结果。
第二种不定积分的计算方法是分变量法。
通常，函数的求积过程是由多个变量组成的。
分变量法是把函数中的多个变量分开求积，最后结合起来求出积分结果。
比如，当计算函数《f(x, y) = 6xy + 3x2》的不定积分时，先求解其中的6xy，然后求解3x2，最后结合这两部分求出总的积分结果。
第三种不定积分计算方法是解析技巧法。
解析技巧法是通过利用函数本身的性质，运用解析方法求解不定积分。
比如，当计算函数《f(x) = 3 sin2x》的不定积分时，可以利用函数本身的性质，把sin2x分解为2 sinx cosx，再利用解析技巧求解出总的积分结果。
第四种不定积分计算方法是变形法。
变形法是把原来的函数按照一定的规则变形，然后再进行不定积分求解。
例如，当计算函数《f(x) = x3 + lnx》的不定积分时，可以把x3变形为x2 + 1，再结合lnx，按照分部积分法求解出总的积分结果。
是一种非常有效的计算不定积分的方法。
关于不定积分的计算，还包括导数分段法、反函数分段法、积分变换法、高等数学方法等。
不定积分的计算不仅要掌握其计算方法，还要有较强的数学解题思维。
以上就是本文举例说明不定积分计算的一些常用方法，希望可以给大家带来帮助。
在计算不定积分时，需要根据实际情况选择最合适的方法，以达到最快的求解效果。
求积分的方法
求积分的方法一、换元法。
换元法是求解不定积分中常用的一种方法。
当被积函数中含有较为复杂的函数时，可以通过引入新的变量来简化被积函数，从而更容易进行积分运算。
换元法的关键是选择合适的替换变量，通常要根据被积函数的形式和特点来选择。
例如，当被积函数中含有平方根、三角函数等形式时，可以尝试使用三角代换或者根式代换来简化被积函数，然后进行积分运算。
二、分部积分法。
分部积分法是求解不定积分中常用的另一种方法。
当被积函数是两个函数的乘积形式时，可以通过对被积函数进行分解，然后利用分部积分公式进行积分运算。
分部积分法的关键是选择合适的分解方式，通常要根据被积函数的形式和特点来选择。
例如，当被积函数中含有指数函数、三角函数等形式时，可以尝试使用指数函数、三角函数的导数和原函数之间的关系来进行分解，然后进行积分运算。
三、换限积分法。
换限积分法是求解定积分中常用的一种方法。
当被积函数的自变量的取值范围较为复杂时，可以通过引入新的变量来简化定积分的计算。
换限积分法的关键是选择合适的变量替换方式，通常要根据定积分的积分区间和被积函数的形式来选择。
例如，当定积分的积分区间为无穷大区间时，可以尝试使用新的变量替换无穷大，然后进行积分运算。
四、利用积分表。
在实际应用中，有些函数的积分可以通过积分表来直接查找得到。
积分表中包含了许多常见函数的不定积分和定积分的结果，可以直接利用积分表来求解一些特定函数的积分。
在使用积分表时，需要注意查找的函数形式和积分的范围，以确保得到正确的积分结果。
五、数值积分法。
当无法通过解析方法求解积分时，可以通过数值积分法来进行近似计算。
数值积分法通过将积分区间进行等分，然后利用数值计算方法对每个小区间进行积分运算，最后将各个小区间的积分结果相加得到整个积分的近似值。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等。
总结。
求解积分是数学中的一个重要问题，通过合理选择求积分的方法，可以更加高效地进行积分运算。
不定积分的基本技巧与计算方法
不定积分的基本技巧与计算方法一、不定积分的基本概念和定义（200字）不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数的原函数。
不定积分通常用∫来表示。
给定一个函数f(x)，如果存在函数F(x)满足F'(x) = f(x)，则F(x)称为f(x)的一个原函数。
利用不定积分，我们可以求解出一个函数的所有原函数。
二、不定积分的基本规则（400字）1. 常数积分法：对于常数C，∫C dx = Cx + K（K为常数）2. 幂函数积分法：对于函数f(x) = x^n（n ≠ -1），则其原函数F(x) = ∫f(x) dx = (1/n+1)x^(n+1) + K（n ≠ -1，K为常数）3. 指数函数积分法：对于函数f(x) = e^x，其原函数F(x) = ∫f(x) dx = e^x + K （K为常数）4. 三角函数积分法：对于函数f(x) = sin(x)，其原函数F(x) = -cos(x) + K（K为常数）三、不定积分的常见计算方法（1200字）1. 分部积分法：当有一个积分是一个函数的导数乘另一个函数时，我们可以通过分部积分法来进行计算。
假设有两个函数u(x)和v(x)，则分部积分公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) -∫v(x)u'(x)dx。
需要注意的是，选择u(x)和v'(x)时，要尽量使得∫v(x)u'(x)dx容易计算。
2. 换元积分法：当积分中存在复杂的函数组合时，我们可以通过换元积分法来进行简化。
假设有函数u(g(x))，并且g'(x) ≠ 0，则换元积分公式为∫f(u(g(x)))g'(x)dx =∫f(u)du。
在使用换元积分法时，需要进行适当的变量代换，使得积分变为更容易计算的形式。
3. 部分分式分解法：当被积函数是多项式或多项式除以多项式时，我们可以通过部分分式分解法进行计算。
部分分式分解法的基本思想是将一个有理函数拆分成几个简单的有理函数的和。
求不定积分的基本方法
1 例13. 求不定积分 ∫ dx . (2 + cos x) sin x sin x 解: 原式 = ∫ (令 u = cos x) dx 2 (2 + cos x ) sin x 1 =∫ du 2 ( 2 + u )(u − 1) A=1
1 ( 2+u )(u −1)
习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
第四章
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
∫ f ( x ) dx
第一类换元法 第二类换元法
∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt
分部积分
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1 dx . 例4. 设 y ( x − y ) = x , 求积分 ∫ x − 3y 解: y ( x − y ) 2 = x 令 x − y = t, 即 y = x −t
2
t3 x= 2 , t −1
t t 2 (t 2 − 3) y = 2 , 而 dx = 2 dt 2 t −1 (t − 1)
=
x x − 3 ln(e 6
+ 1) − 2
x 3 ln(e 3
x + 1) − 3 arctan e 6
+C
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3 cos x − sin x dx . 例11. 求 ∫ cos x + sin x
不定积分的计算
1 dx d(1),
x2
x
sin xdx d cosx, exdx dex ,
等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中 拼凑出合适的微分因子．
例10 求
1 a2 x2 dx.
解
dx 1 a2 x2 a2
1 dx 1 ( x)2
a
1 a
1
1x d( )
( x)2 a
a
1 arctan x C.
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C.
3
5
7
说明: 当被积函数是三角函数(如正弦函数和余 弦函数)相乘时，拆开奇次项去凑微分.
例7 求 sin3 xdx.
解 sin3 xdx sin2 x sin xdx
dex
arctan ex C.
dex exdx
1
1 u
2
du
arctan u C
一般地, 有
ex f (ex )dx f (ex )dex.
例9 求
dx 2x ln
x
.
解
n
x)
1 ln ln x C. 2
d ln x 1 dx x
1du u
a
a
1
1 u
2
du
arctan u C
d x 1 dx aa
例11 求
1 dx (a 0).
a2 x2
1 du 1 u2
arcsin u C
解
1 dx 1 1 dx
a2 x2
a 1 ( x)2
a
d x 1 dx aa
1
不定积分的计算方法及举例
不定积分的计算方法及举例
不定积分是指在定积分的基础上，将积分上限及下限变为未知数，从而求解更
复杂的定积分问题。
不定积分的计算方法主要有两种：一种是采用换元法，另一种是采用变量变换法。
换元法是指将不定积分的上下限变为已知数，然后将不定积分转化为定积分，
再利用定积分的计算方法求解。
例如，求解不定积分∫x^2dx，可以将上下限变为
a和b，即∫a^2b^2dx，然后将其转化为定积分∫a^2dx+∫b^2dx，再利用定积分的计算方法求解，即∫a^2dx+∫b^2dx=1/3a^3+1/3b^3。
变量变换法是指将不定积分的上下限变为未知数，然后利用变量变换法将不定
积分转化为定积分，再利用定积分的计算方法求解。
例如，求解不定积分∫x^2dx，可以将x变为t，即∫t^2dt，然后将其转化为定积分∫t^2dt，再利用定积分的计
算方法求解，即∫t^2dt=1/3t^3。
以上就是不定积分的计算方法及举例，不定积分的计算方法主要有换元法和变
量变换法，可以将不定积分转化为定积分，再利用定积分的计算方法求解。
不定积分计算方法
不定积分计算方法
不定积分是指在定积分难以求解时，可采用某种积分方法来改写原积分形式而求解的积分。
下面是常见的不定积分计算方法：
一、傅里叶变换法
1、原积分的变换函数的傅里叶变换；
2、计算变换函数的傅里叶变换的变量F(s)；
3、把F(s)带入不定积分的表达式中，求出不定积分的值。
二、Laplace变换法
1、原积分的变换函数的Laplace变换；
2、计算变换函数的Laplace变换的变量F(s)；
3、把F(s)带入不定积分的表达式中，求出不定积分的值。
三、格式变换法
1、通过某种变换把不定积分变成定积分形式；
2、根据变换后的积分形式，使用定积分的解法；
3、计算出定积分结果；
4、还原变换，得到不定积分结果。
四、拉普拉斯变换法
1、积分的变换函数的拉普拉斯变换；
2、计算变换函数的拉普拉斯变换的变量F(s)；
3、把F(s)带入不定积分的表达式中，求出不定积分的值。
五、换元法
1、定义理想积分约束条件；
2、通过合法换元变换，把不定积分变换成多个新定积分；
3、利用定积分解法，求出每个定积分的结果；
4、将结果还原，求出不定积分的值。
六、检验方法
1、定义积分约束条件；
2、对不定积分函数作误差估计；
3、使用不定积分的某种方法得出积分的逼近值；
4、计算误差，比较逼近结果是否满足误差估计，如果满足可以接受该结果，否则可以采用更加精确的方法计算。
有理函数不定积分的几种计算方法
有理函数不定积分的几种计算方法一、直接法：直接法是指将有理函数展开为多项式的形式，然后利用多项式的不定积分公式逐项求积分。
例如，对于有理函数f(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是多项式函数，我们可以将f(x)展开为：f(x)=C1⋅x^n+C2⋅x^(n-1)+...+Cn⋅x+Cn+1然后根据多项式的不定积分公式∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)，依次对每一项求积分，最后将所有的积分结果相加即可得到原函数的不定积分。
二、部分分式分解法：部分分式分解法适用于当有理函数的分母为两个或多个不可约因式的乘积时。
其基本思想是将有理函数的分母进行因式分解，然后将其分解为若干个分式的和，其中每个分式的分母为一个不可约因式的乘幂。
例如，对于有理函数f(x)=P(x)/Q(x)，其中Q(x)=(x-a)^m1*(x-b)^m2*...*(x-z)^mk，a、b、..、z为不同的数，m1、m2、..、mk为正整数，我们可以将f(x)进行部分分式分解，得到：f(x)=A1/(x-a) +A2/(x-a)^2 + ... + B1/(x-b) + B2/(x-b)^2 + ... + Z1/(x-z) +Z2/(x-z)^2 + ...然后对每个不同的分式进行不定积分，最后将所有的积分结果相加即可得到原函数的不定积分。
三、倒代换法：倒代换法适用于当有理函数中含有不可分化的函数、有理函数表达式以及乘法、开方等特殊形式时。
其基本思想是将原有理函数中的自变量用一个新的变量代替，使得代换后的函数能够用常见的函数的积分公式来求积分。
例如，对于有理函数f(x)=(x^2-1)/x，我们可以进行倒代换x=1/t，那么原函数可以表示为：f(t)=(-1-t^2)/(t^3)，然后对代换后的函数求积分，再将积分结果转换回原来的自变量即可得到原函数的不定积分。
四、待定系数法：待定系数法适用于当有理函数中含有一些特殊形式的函数时，如指数函数、三角函数等。
基本的3种不定积分方法
基本的3种不定积分方法不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求解函数原函数的过程。
在求不定积分时，通常会遇到各式各样的函数形式，因此需要运用不同的方法来求解。
在本文中，将介绍基本的三种不定积分方法：代入法、分部积分法和换元法。
1.代入法：代入法是一种简单而常用的不定积分方法，它适用于特定的函数形式。
当被积函数是一个复合函数的时候，可以通过代入法来求积分。
具体来说，就是将整个或部分被积函数进行代入。
举个例子，如果要求解函数f(x)=2x^3的不定积分∫f(x)dx，可以通过代入法进行计算。
将x^3看作一个整体，令u=x^3，那么f(x)可以写成f(u)=2u。
所以∫f(x)dx=∫2udx=2∫udx=2∫dx^3=(2/4)x^4+C=x^4/2+C。
2.分部积分法：分部积分法是求解一些函数积分时常用的方法。
它基于求导法则d(uv)/dx=u(dv/dx)+v(du/dx)的逆过程。
根据此法则，可以将一个积分转化为一个简化的形式。
具体的计算步骤如下：步骤1：将被积函数f(x)表示为两个函数的乘积，即f(x)=u(x)v'(x)。
步骤2：计算出u(x)的导数du/dx和v(x)的不定积分∫v'(x)dx。
步骤3：将上述结果带入分部积分公式∫f(x)dx=uv-∫v(x)du/dx中，即∫f(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)du/dx。
举个例子，如果要求解函数f(x)=xln(x)的不定积分∫f(x)dx，可以通过分部积分法来计算。
将f(x)表示为f(x)=ln(x)×x，令u=ln(x)，v'=x，则du/dx=1/x，∫v'(x)dx=∫xdx=(1/2)x^2、将上述结果带入分部积分公式∫f(x)dx=uv-∫v(x)du/dx中，得到∫f(x)dx=xln(x)-(1/2)x^2+C。
3.换元法：换元法是不定积分中常用的一种方法，它通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式。
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解原式=
=
= （ 为任意常数）
注可用 来代替 .
例2.1.2求
解原式=
= （ 为任意常数）
例2.1.3求
解原式=
= （c为任意常数）
例2.1.4求
解原式=
=
=
说明直接积分法通常只能计算比较简单的积分或能够运用基本积分表计算的积分，当遇到比较难，比较复杂的积分的时候，通常无法直接积分，这时就要运用其它方法，下面将介绍并讨论其它几种求积分的方法.
1.不定积分的概念
定义[1]函数 在区间上 的全体原函数称为 在 上的不定积分，记作 ，其中称 为积分号， 为被积表达式， 为积分变量.
根据定义，如 是 的一个原函数，函数族 是 的不定积分， 属于常数，可以写作： . 称为积分常数， .于是我们可以得到：
2.不定积分的计算方法
2.1 直接积分法
通过研究，积分公式可由导数公式推导出来，通过归纳得到了一个积分表，
例[7]2.3.3求
解令
列表如下：
6 0
积分结果：
例2.3.4求
解令
列表如下：
……….
………
可以看出表中 与 两个函数的积 是一个能够计算出的不定积分，
通过计算得出结果：
例[8]2.3.5求
解
（求导） + （积分）
一次
—
二次
得：
所以
例2.3.6求
解
由（ii）可知第二换元积分法是第一换元积分法的逆行，换元与回代正好相反，其本质是把积分中的变量 用一适当的式子 来替换，变为另一种恒等形式的积分，所以可以把这种方法叫作替换变量法.基本形式: 设 ，其在题目中常用的换元方法有根式代换、三角代换、倒代换、指数代换、双曲代换、欧拉代换等变换，下面看应用此方法解决问题的例子[4]：
例2.2.5求
解令 ，得
原式=
=
=
=
例2.2.6求
解令 ，于是
例2.2.7求
解令
原式
例2.2.8求
解令 ，则 ，
原式=
=
=
=
注意由于用换元积分法求积分所得的结果还是换元后的形式，不能作为最终结果，因此要把变量换回原来的变量形式[5].
2.3 分部积分法
定理[1]（分部积分法）若 与 可导，不定积分 存在，则 也存在，并有 （3）
关键词：不定积分；直接积分法；换元积分法；分部积分法;
特殊类型函数的积分
Various Methods of Indefinite Integral calculation
Abstract
The indefinite integral problemplaysan importantrolein solving various points,the solving method is novel and diverse. This paper introduces a lot of indefinite integral calculation method and special indefinite integral calculation method. Example: Immediate integration,integration by substitution,integration by parts and a few special functions of integration techniques and methods. Amongthem, the element integral method includingfirstexchange elementintegral methodandsecond different element integral method.Some special types offunctions include indefinite integral of rational functions, Trigonometric rational expression of indefinite integralandSome unreasonable radicals of indefinite integral.Besides, introducing some new ideas for indefinite integral. The methods used in the calculation of indefinite integral of higher frequency andthese methods in the process of operation and application is both simple and practical.In this paper,combining the exampleanddiscussing the indefinite integral of quick and convenient way to solve it.
本科毕业论文（设计）
题 目：不定积分计算的各种方法
学 院:应用数学学院
专 业：数学与应用数学
姓 名：陈林朋
学 号：11020093
指导老师：谢如龙职称:副教授
论文字数：6395
完成日期：2015 年 5 月 26 日
巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书
本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.
Key words:indefinite integral,immediate integration,integration by substitution,integration by parts,special type function integral
引 言
不定积分及其计算是学习求解各种积分的基础，不定积分计算的各种方法及其应用对于学习更深层次的积分必不可少，掌握不定积分在学习积分方面具有重要作用.导数运算需要根据其逻辑关系一步步去计算，而不定积分的计算则不同，计算不定积分需要根据题型需要用合适的方法去求解，因此求解积分和求解导数相比来说，没有死板地根据模式来生搬硬套，反而更加灵活多样.为了能够更好地学习不定积分，我们需要对其方法要有足够的了解.
保密的毕业论Leabharlann (设计)在解密后遵守此规定.本人签名：
日期：
导师签名：
日期：
不定积分计算的各种方法
摘 要
不定积分的求解问题对求解各种积分具有重要作用，其求解方法新颖且多样.本论文将要介绍一些不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，例如：直接积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、分布积分法以及一些特殊类型函数的积分；其中一些特殊类型函数的积分有：有理函数的不定积分、三角函数有理式的不定积分、某些无理根式的不定积分,这类积分方法技巧做了介绍；除此之外介绍了一些求解不定积分的新方法，这些方法在不定积分的计算中使用的次数较高而且较为简单，并且这些方法在运算和运用过程中既简单又实用.本论文是通过结合例题探讨各种快捷方便的不定积分的解题方法.
2.2 换元积分法
定理[1]（换元积分法）：设 在 上有定义， 在 上可导，且 ，并记
（i）若 在 上存在原函数 ，则 在 上也存在原函数 ， ，即
= .（1）
（ii）又若 ，则上述命题（i）可逆，即当 在 上存在原函数 时， 在 上也存在原函数 = = ，即 = .（2）
（i）（ii）对应两种换元方法，分别是第一、第二换元积分法，（1）（2）是两种积分方法的积分公式.
凑微分 令
同代 ，下面看应用此方法解决问题的例子：
例2.2.1求
解原式= u=10x+3
= u=10x+3
例2.2.2求
解法一原式=
=
=
解法二原式=
=
=
用不同形式进行凑微分，可以得到不同形式的结果，但把结果代入原式进行检验，其都是对的.
例2.2.3求
解原式=
=
=
=
例2.2.4求
解
2.2.2 第二换元积分法
表中包含推导出的基本积分公式，我们把这个表叫做基本积分表.
1.
2.
3.
4. .
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
利用表中公式和一些不定积分的基本性质求不定积分，这种方法叫做直接积分法.如果被积函数进行一系列的恒等变换可以形成代数和的形式，并能逐项积分，那么可以用直接积分法求解[2].例如：
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巢湖学院本科毕业论文（设计）
本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文 (设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院.学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致.
证由 或
左右两边同时求不定积分就可得到（3）式.常简写作 （4）
用分布积分法求积分主要在于 和 的选取，一般 不易求， 易求，分布积分法有几种常见的形式，如公式法、列表法.下面用几个例子说明：
2.3.1 公式法
利用公式（3）直接求积分[6]
例2.3.1求
解原式
例2.3.2求
解原式
2.3.2 列表法
对于求有些积分要多次反复使用分部积分公式才能求出解果，计算不仅长而且繁琐，还要注意符号的变化，在计算过程中容易产生错误，而列表法就能解决这些问题，其运算简单快捷，下面看几个例子：