不定积分计算的各种方法.
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例2.2.5求
解令 ，得
原式=
=
=
=
例2.2.6求
解令 ，于是
例2.2.7求
解令
原式
例2.2.8求
解令 ，则 ，
原式=
=
=
=Fra Baidu bibliotek
注意由于用换元积分法求积分所得的结果还是换元后的形式，不能作为最终结果，因此要把变量换回原来的变量形式[5].
2.3 分部积分法
定理[1]（分部积分法）若 与 可导，不定积分 存在，则 也存在，并有 （3）
凑微分 令
同代 ，下面看应用此方法解决问题的例子：
例2.2.1求
解原式= u=10x+3
= u=10x+3
例2.2.2求
解法一原式=
=
=
解法二原式=
=
=
用不同形式进行凑微分，可以得到不同形式的结果，但把结果代入原式进行检验，其都是对的.
例2.2.3求
解原式=
=
=
=
例2.2.4求
解
2.2.2 第二换元积分法
证由 或
左右两边同时求不定积分就可得到（3）式.常简写作 （4）
用分布积分法求积分主要在于 和 的选取，一般 不易求， 易求，分布积分法有几种常见的形式，如公式法、列表法.下面用几个例子说明：
2.3.1 公式法
利用公式（3）直接求积分[6]
例2.3.1求
解原式
例2.3.2求
解原式
2.3.2 列表法
对于求有些积分要多次反复使用分部积分公式才能求出解果，计算不仅长而且繁琐，还要注意符号的变化，在计算过程中容易产生错误，而列表法就能解决这些问题，其运算简单快捷，下面看几个例子：
由（ii）可知第二换元积分法是第一换元积分法的逆行，换元与回代正好相反，其本质是把积分中的变量 用一适当的式子 来替换，变为另一种恒等形式的积分，所以可以把这种方法叫作替换变量法.基本形式: 设 ，其在题目中常用的换元方法有根式代换、三角代换、倒代换、指数代换、双曲代换、欧拉代换等变换，下面看应用此方法解决问题的例子[4]：
表中包含推导出的基本积分公式，我们把这个表叫做基本积分表.
1.
2.
3.
4. .
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
利用表中公式和一些不定积分的基本性质求不定积分，这种方法叫做直接积分法.如果被积函数进行一系列的恒等变换可以形成代数和的形式，并能逐项积分，那么可以用直接积分法求解[2].例如：
Key words:indefinite integral,immediate integration,integration by substitution,integration by parts,special type function integral
引 言
不定积分及其计算是学习求解各种积分的基础，不定积分计算的各种方法及其应用对于学习更深层次的积分必不可少，掌握不定积分在学习积分方面具有重要作用.导数运算需要根据其逻辑关系一步步去计算，而不定积分的计算则不同，计算不定积分需要根据题型需要用合适的方法去求解，因此求解积分和求解导数相比来说，没有死板地根据模式来生搬硬套，反而更加灵活多样.为了能够更好地学习不定积分，我们需要对其方法要有足够的了解.
关键词：不定积分；直接积分法；换元积分法；分部积分法;
特殊类型函数的积分
Various Methods of Indefinite Integral calculation
Abstract
The indefinite integral problemplaysan importantrolein solving various points,the solving method is novel and diverse. This paper introduces a lot of indefinite integral calculation method and special indefinite integral calculation method. Example: Immediate integration,integration by substitution,integration by parts and a few special functions of integration techniques and methods. Amongthem, the element integral method includingfirstexchange elementintegral methodandsecond different element integral method.Some special types offunctions include indefinite integral of rational functions, Trigonometric rational expression of indefinite integralandSome unreasonable radicals of indefinite integral.Besides, introducing some new ideas for indefinite integral. The methods used in the calculation of indefinite integral of higher frequency andthese methods in the process of operation and application is both simple and practical.In this paper,combining the exampleanddiscussing the indefinite integral of quick and convenient way to solve it.
1.不定积分的概念
定义[1]函数 在区间上 的全体原函数称为 在 上的不定积分，记作 ，其中称 为积分号， 为被积表达式， 为积分变量.
根据定义，如 是 的一个原函数，函数族 是 的不定积分， 属于常数，可以写作： . 称为积分常数， .于是我们可以得到：
2.不定积分的计算方法
2.1 直接积分法
通过研究，积分公式可由导数公式推导出来，通过归纳得到了一个积分表，
2.2 换元积分法
定理[1]（换元积分法）：设 在 上有定义， 在 上可导，且 ，并记
（i）若 在 上存在原函数 ，则 在 上也存在原函数 ， ，即
= .（1）
（ii）又若 ，则上述命题（i）可逆，即当 在 上存在原函数 时， 在 上也存在原函数 = = ，即 = .（2）
（i）（ii）对应两种换元方法，分别是第一、第二换元积分法，（1）（2）是两种积分方法的积分公式.
证(i)对复合函数进行求导：
所以 以 为其原函数，（1）式成立.
(ii)在的 条件下， 存在反函数 ，且
，于是又能验证（2）式成立：
=
2.2.1 第一换元积分法
由（i）知用凑微分法求积分是通过把所要积分的函数中的一部分送到 括号里面，凑成基本公式的形式，再来求积分，所以了解并掌握基本的的积分公式，熟知怎样通过变形及恒等变换来凑微分是解决问题的关键，其基本形式[3]：
保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定.
本人签名：
日期：
导师签名：
日期：
不定积分计算的各种方法
摘 要
不定积分的求解问题对求解各种积分具有重要作用，其求解方法新颖且多样.本论文将要介绍一些不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，例如：直接积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、分布积分法以及一些特殊类型函数的积分；其中一些特殊类型函数的积分有：有理函数的不定积分、三角函数有理式的不定积分、某些无理根式的不定积分,这类积分方法技巧做了介绍；除此之外介绍了一些求解不定积分的新方法，这些方法在不定积分的计算中使用的次数较高而且较为简单，并且这些方法在运算和运用过程中既简单又实用.本论文是通过结合例题探讨各种快捷方便的不定积分的解题方法.
例2.1.1求
解原式=
=
= （ 为任意常数）
注可用 来代替 .
例2.1.2求
解原式=
= （ 为任意常数）
例2.1.3求
解原式=
= （c为任意常数）
例2.1.4求
解原式=
=
=
说明直接积分法通常只能计算比较简单的积分或能够运用基本积分表计算的积分，当遇到比较难，比较复杂的积分的时候，通常无法直接积分，这时就要运用其它方法，下面将介绍并讨论其它几种求积分的方法.
本科毕业论文（设计）
题 目：不定积分计算的各种方法
学 院:应用数学学院
专 业：数学与应用数学
姓 名：陈林朋
学 号：11020093
指导老师：谢如龙职称:副教授
论文字数：6395
完成日期：2015 年 5 月 26 日
巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书
本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.
本人签名：
日期：
巢湖学院本科毕业论文（设计）
本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文 (设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院.学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致.
例[7]2.3.3求
解令
列表如下：
6 0
积分结果：
例2.3.4求
解令
列表如下：
……….
………
可以看出表中 与 两个函数的积 是一个能够计算出的不定积分，
通过计算得出结果：
例[8]2.3.5求
解
（求导） + （积分）
一次
—
二次
得：
所以
例2.3.6求
解
解令 ，得
原式=
=
=
=
例2.2.6求
解令 ，于是
例2.2.7求
解令
原式
例2.2.8求
解令 ，则 ，
原式=
=
=
=Fra Baidu bibliotek
注意由于用换元积分法求积分所得的结果还是换元后的形式，不能作为最终结果，因此要把变量换回原来的变量形式[5].
2.3 分部积分法
定理[1]（分部积分法）若 与 可导，不定积分 存在，则 也存在，并有 （3）
凑微分 令
同代 ，下面看应用此方法解决问题的例子：
例2.2.1求
解原式= u=10x+3
= u=10x+3
例2.2.2求
解法一原式=
=
=
解法二原式=
=
=
用不同形式进行凑微分，可以得到不同形式的结果，但把结果代入原式进行检验，其都是对的.
例2.2.3求
解原式=
=
=
=
例2.2.4求
解
2.2.2 第二换元积分法
证由 或
左右两边同时求不定积分就可得到（3）式.常简写作 （4）
用分布积分法求积分主要在于 和 的选取，一般 不易求， 易求，分布积分法有几种常见的形式，如公式法、列表法.下面用几个例子说明：
2.3.1 公式法
利用公式（3）直接求积分[6]
例2.3.1求
解原式
例2.3.2求
解原式
2.3.2 列表法
对于求有些积分要多次反复使用分部积分公式才能求出解果，计算不仅长而且繁琐，还要注意符号的变化，在计算过程中容易产生错误，而列表法就能解决这些问题，其运算简单快捷，下面看几个例子：
由（ii）可知第二换元积分法是第一换元积分法的逆行，换元与回代正好相反，其本质是把积分中的变量 用一适当的式子 来替换，变为另一种恒等形式的积分，所以可以把这种方法叫作替换变量法.基本形式: 设 ，其在题目中常用的换元方法有根式代换、三角代换、倒代换、指数代换、双曲代换、欧拉代换等变换，下面看应用此方法解决问题的例子[4]：
表中包含推导出的基本积分公式，我们把这个表叫做基本积分表.
1.
2.
3.
4. .
5.
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7.
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10.
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12.
13.
14.
利用表中公式和一些不定积分的基本性质求不定积分，这种方法叫做直接积分法.如果被积函数进行一系列的恒等变换可以形成代数和的形式，并能逐项积分，那么可以用直接积分法求解[2].例如：
Key words:indefinite integral,immediate integration,integration by substitution,integration by parts,special type function integral
引 言
不定积分及其计算是学习求解各种积分的基础，不定积分计算的各种方法及其应用对于学习更深层次的积分必不可少，掌握不定积分在学习积分方面具有重要作用.导数运算需要根据其逻辑关系一步步去计算，而不定积分的计算则不同，计算不定积分需要根据题型需要用合适的方法去求解，因此求解积分和求解导数相比来说，没有死板地根据模式来生搬硬套，反而更加灵活多样.为了能够更好地学习不定积分，我们需要对其方法要有足够的了解.
关键词：不定积分；直接积分法；换元积分法；分部积分法;
特殊类型函数的积分
Various Methods of Indefinite Integral calculation
Abstract
The indefinite integral problemplaysan importantrolein solving various points,the solving method is novel and diverse. This paper introduces a lot of indefinite integral calculation method and special indefinite integral calculation method. Example: Immediate integration,integration by substitution,integration by parts and a few special functions of integration techniques and methods. Amongthem, the element integral method includingfirstexchange elementintegral methodandsecond different element integral method.Some special types offunctions include indefinite integral of rational functions, Trigonometric rational expression of indefinite integralandSome unreasonable radicals of indefinite integral.Besides, introducing some new ideas for indefinite integral. The methods used in the calculation of indefinite integral of higher frequency andthese methods in the process of operation and application is both simple and practical.In this paper,combining the exampleanddiscussing the indefinite integral of quick and convenient way to solve it.
1.不定积分的概念
定义[1]函数 在区间上 的全体原函数称为 在 上的不定积分，记作 ，其中称 为积分号， 为被积表达式， 为积分变量.
根据定义，如 是 的一个原函数，函数族 是 的不定积分， 属于常数，可以写作： . 称为积分常数， .于是我们可以得到：
2.不定积分的计算方法
2.1 直接积分法
通过研究，积分公式可由导数公式推导出来，通过归纳得到了一个积分表，
2.2 换元积分法
定理[1]（换元积分法）：设 在 上有定义， 在 上可导，且 ，并记
（i）若 在 上存在原函数 ，则 在 上也存在原函数 ， ，即
= .（1）
（ii）又若 ，则上述命题（i）可逆，即当 在 上存在原函数 时， 在 上也存在原函数 = = ，即 = .（2）
（i）（ii）对应两种换元方法，分别是第一、第二换元积分法，（1）（2）是两种积分方法的积分公式.
证(i)对复合函数进行求导：
所以 以 为其原函数，（1）式成立.
(ii)在的 条件下， 存在反函数 ，且
，于是又能验证（2）式成立：
=
2.2.1 第一换元积分法
由（i）知用凑微分法求积分是通过把所要积分的函数中的一部分送到 括号里面，凑成基本公式的形式，再来求积分，所以了解并掌握基本的的积分公式，熟知怎样通过变形及恒等变换来凑微分是解决问题的关键，其基本形式[3]：
保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定.
本人签名：
日期：
导师签名：
日期：
不定积分计算的各种方法
摘 要
不定积分的求解问题对求解各种积分具有重要作用，其求解方法新颖且多样.本论文将要介绍一些不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，例如：直接积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、分布积分法以及一些特殊类型函数的积分；其中一些特殊类型函数的积分有：有理函数的不定积分、三角函数有理式的不定积分、某些无理根式的不定积分,这类积分方法技巧做了介绍；除此之外介绍了一些求解不定积分的新方法，这些方法在不定积分的计算中使用的次数较高而且较为简单，并且这些方法在运算和运用过程中既简单又实用.本论文是通过结合例题探讨各种快捷方便的不定积分的解题方法.
例2.1.1求
解原式=
=
= （ 为任意常数）
注可用 来代替 .
例2.1.2求
解原式=
= （ 为任意常数）
例2.1.3求
解原式=
= （c为任意常数）
例2.1.4求
解原式=
=
=
说明直接积分法通常只能计算比较简单的积分或能够运用基本积分表计算的积分，当遇到比较难，比较复杂的积分的时候，通常无法直接积分，这时就要运用其它方法，下面将介绍并讨论其它几种求积分的方法.
本科毕业论文（设计）
题 目：不定积分计算的各种方法
学 院:应用数学学院
专 业：数学与应用数学
姓 名：陈林朋
学 号：11020093
指导老师：谢如龙职称:副教授
论文字数：6395
完成日期：2015 年 5 月 26 日
巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书
本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.
本人签名：
日期：
巢湖学院本科毕业论文（设计）
本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文 (设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院.学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致.
例[7]2.3.3求
解令
列表如下：
6 0
积分结果：
例2.3.4求
解令
列表如下：
……….
………
可以看出表中 与 两个函数的积 是一个能够计算出的不定积分，
通过计算得出结果：
例[8]2.3.5求
解
（求导） + （积分）
一次
—
二次
得：
所以
例2.3.6求
解