2013年江苏高考数学模拟试卷(二)
2013年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷
2013年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知i是虚数单位，复数对应的点在第象限．2.设全集U=R，集合A={x|-1≤x≤3}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B ．3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-1，则数据a1，a2，a3，a4，a5的方差为．4.“x＞3”是“x＞5”的条件(请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个合适的填空)．5.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则此双曲线方程为．6.根据如图所示的流程图，输出的结果T为．7.在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为．8.在不等式组所表示的平面区域内所有的格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为．9.在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则cos2α+cos2β=1．类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有．10.已知圆C：(x-a)2+(y-a)2=1(a＞0)与直线y=3x相交于P，Q两点，若∠PCQ=90°，则实数a= ．11.分别在曲线y=e x与直线y=ex-1上各取一点M与N，则MN的最小值为．12.已知向量，满足，，且对一切实数x，恒成立，则与的夹角大小为．13.已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为．14.已知a为正的常数，若不等式对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为．二、解答题(本大题共12小题，共80.0分)15.如图，在△ABC中，，角A的平分线AD交BC于点D，设∠BAD=α，．(1)求sin∠BAC和sin C；(2)若，求AC的长．16.已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，M为SB的中点．(1)求证：CM∥平面SAE；(2)求证：SE⊥平面SAB；(3)求三棱锥S-AED的体积．17.已知等差数列{a n}的公差d不为零，且，a2=a4+a6．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，求满足S n-2a n-20＞0的所有正整数n的集合．18.如图，设A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，过原点O 作直线交线段AB于点M(异于点A，B)，交椭圆于C，D两点(点C在第一象限内)，△ABC和△ABD的面积分别为S1与S2．(1)若M是线段AB的中点，直线OM的方程为，求椭圆的离心率；(2)当点M在线段AB上运动时，求的最大值．19.如图所示，有两条道路OM与ON，∠MON=60°，现要铺设三条下水管道OA，OB，AB(其中A，B分别在OM，ON上)，若下水管道的总长度为3km，设OA=a(km)，OB=b(km)．(1)求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；(2)已知点P处有一个污水总管的接口，点P到OM的距离PH为，到点O的距离PO为，问下水管道AB能否经过污水总管的接口点P？若能，求出a的值，若不能，请说明理由．20.已知a为正的常数，函数f(x)=|ax-x2|+lnx．(1)若a=2，求函数f(x)的单调增区间；(2)设，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值．21.(选修4-1几何证明选讲)如图，ABCD为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E，F，∠AFB的平分线分别交AB，CD于点H，K．求证：EH=EK．22.(选修4-2：矩阵与变换)已知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)在矩阵对应变换的作用下，得到的对应点分别为A'(0，0)，，C'(0，2)，求矩阵M．23.(选修4-4：坐标系与参数方程)已知曲线C的参数方程(θ为参数)，直线l的极坐标方程：．直线l与曲线C交于M，N两点，求MN的长．24.(选修4-5：不等式选讲)已知常数a满足-1＜a＜1，解关于x的不等式：ax+|x+1|≤1．25.已知抛物线和抛物线在交点处的两条切线互相垂直，求实数a的值．26.已知数列{b n}满足，．(1)求b2，b3，猜想数列{b n}的通项公式，并用数学归纳法证明；(2)设，，比较x x与y y的大小．。
2013年江苏省高考数学试卷及答案(最全版)
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1、函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ▲2、设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲3、双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲4、集合}1,0,1{-共有 ▲ 个子集5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ （流程图暂缺）6、抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次甲 87 91 90 89 93乙 89 90 91 88 92则成绩较为稳定（方程较小）的那位运动员成绩的方差为 ▲7、现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为 ▲8、如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，， 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体 积为2V ，则=21:V V ▲ 9、抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）。
若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ 10、设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ▲ 11、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ， 若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ▲13、在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数x y 1=（0>x ）图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲14、在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 ▲A BC1ADE F 1B 1C二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
苏州市2013届高考数学模拟试卷及答案
苏州市2013届高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． 1．已知集合}5,3,1{=A ，集合},,2{b a B =，若{1,3}A B =I ，则b a +的值是 ．2．若复数z 满足(12)2i z i +=+，则z 的虚部为 ．3．右图是一个算法流程图．若输入5n =，则输出k 的值为 ．4．设函数2()log 12f x x =-的单调减区间是 ．5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的同学有30人，则n 的值为 ．6．在线段AB 上任取一点P ，以P 为顶点，B 为焦点作抛物线，则该抛物线的准线与线段AB 有交点的概率是 ．7．已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ，若曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程是220x y --=，则a = ．8．设数列}{n a (n ∈*N )是等差数列.若2a 和2012a 是方程03842=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2013项的和=2013S ．元9．函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在一个周期内的部分图象如图所示， 则()12f π的值是 .10．三棱锥S ABC -中，E ，F ，G ，H 分别为SA ，AC ，BC ，SB 的中点，则截面EFGH 将 三棱锥S ABC -分成两部分BGH AFE V -与SEH CFG V -的体积之比为 .11．在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，若P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅uuu r uu r的取值范围是___________.12．已知实数,,x y z 满足2221x y z ++=，则xy yz +的最大值是 .13．设数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，对于任意的n N +∈，2,,n n n a S a 成等差数列，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2(ln )nn n x b a =，若对任意的实数(]1,x e ∈（e 是自然对数的底）和任意正整数n ，总有n T r <()r N +∈．则r 的最小值为 .14．如图，双曲线22221x y a b-=(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ．则菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值12S S = .（第10题图）SACEHGF（第9题图）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤． 15．（本小题满分14分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2=a ，13-=b ，且b 是c 2与A cos 的等比中项．（1）求A ，B ，C ；（2）若函数()sin(2)f x x ϕ=+（4ϕπ<）满足2)2(c C f =，求函数)(x f 的解析式及单调递减区间．16．（本小题满分14分）在等腰梯形PDCB (见图1）中，//DC PB ，33PB DC ==，DA PB ⊥，垂足为A ，将PAD ∆沿AD 折起，使得PA AB ⊥，得到四棱锥P ABCD -（见图2）．在图2中完成下面问题： （1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；（2）在线段PB 上是否存在一点M ，使//PD 平面AMC .若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.17．（本小题满分14分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设2CD x =．（1）若用一种金属线条对梯形部件ABCD 镶边，求最少需要准备该金属线条多少米； （2）求梯形部件ABCD 面积的最大值．A B DP 图1ABDCPM图2B ACD O •18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，P 为椭圆上的一点，Q 为上顶点，M 在1PF 上，12F M MP =，2PO F M ⊥.（1）求当离心率12e =时的椭圆方程； （2）求满足题设要求的椭圆离心率范围； （3）当椭圆离心率最小时，若过(0,的直线l 与椭圆交于,A B （异于Q ），试问：AQB ∠是否为定值并给出证明. 19．（本小题满分16分）若在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k ∈N ，21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . （1）若2k q =（*k ∈N ），求13521k a a a a -++++ .（2）若对任意的*k ∈N ，22122,,k k k a a a ++成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-. ①求证：{}n b 成等差数列；②若12d =，试求数列{}k d 的前k 项和k D .20．（本小题满分16分）已知函数1()(2)(1)2ln ,().(,e xf x a x xg x xe a -=---=∈R 为自然对数的底数） （1）若函数1()(0,)2f x 在上无零点，求a 的最小值；（2）若对任意给定的(](]00,e ,0,e (1,2)i x x i ∈=在上总存在两个不同的，使得0()(),i f x g x a=成立求的取值范围.参考答案一、填空题1.42.35-3.34.1(,)2-∞5.1006.127.2 8.20139.10.1∶1 11.[9,9]-13.214.22二、解答题15．（1）根据题意得2222cos 22b c a b c A c bc+-=⋅=⋅，即2222b b c a =+-，解得c a =.∴cos B ==.∴6B π=，∴512A C π==. （2）∵()sin(2)f x x ϕ=+，2)2(c Cf =，512C π=，∴5sin()12ϕπ+=又∵4ϕπ<，∴5124ϕππ+=，6ϕπ=-，∴()sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k ππ3ππ+<-<π+∈Z ，可得单调递减区间为,,36k k k π5π⎛⎫π+π+∈ ⎪⎝⎭Z16．证明：（1）∵在图1的等腰梯形PDCB 中，PB DA ⊥，∴所以在四棱锥ABCD P -中，AB DA ⊥，又PA AB ⊥，且AB DC //，∴PA DC ⊥，DA DC ⊥， 而⊂DA 平面PAD ，⊂PA 平面PAD ，A DA PA = ， ∴⊥DC 平面PAD .∵⊂DC 平面PCD ， ∴平面⊥PAD 平面PCD .（2）当21=MB PM 时，有PD //平面AMC ． 证明：在梯形ABCD 中，连结AC 、BD 交于点O ，连结OM .易知AOB ∆∽DOC ∆，所以21==AB DC OB DO . 又21=MB PM ，所以MB PM OB DO =，所以在平面PBD 中，有MO PD //． 又因为⊄PD 平面AMC ，⊂MO 平面AMC ，所以PD //平面AMC .17．如图所示，以直径AB 所在的直线为x 轴，线段AB 中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设(,)C x y ，过点C 作AB CE ⊥于E ，则(01)OE x x =<<，∴1EB x =-（1）∵221x y +=，∴CB =设ABCD 的周长为l ，则221)l x x =++<<. 下面只需要求l 的最大值.令t ，则222(0x t t =-<，A BD OPMB A CDO•E∴2242(1)55l t t t =-+=--+≤，即当1t =时，l 有最大值5. （2）11()()(22)(1)22S x AB CD CE x y x x =+⋅=+=+<< （方法1）()S x ==，令43221t x x x =--++，则32322'4622(231)2(1)(21)t x x x x x x =--+=-+-=-+-，令'0t =，12x =，当102x <<时，'0t >，当112x <<时，'0t <，所以当12x =时，t 有最大值2716，)(x S（方法2）21'()(1)2S x x =++=，令'()0S x =，∴2210x x +-=，(21)(1)0x x -+=，12x =.且当102x <<时，0)(>'x S ，当112x <<时，0)(<'x S ，所以当12x =时，()S x. （方法3）设COE θ∠=（02θπ<<），过点C 作CE AB ⊥于E ，则cos ,sin OE CE θθ==，11()()(22cos )sin (1cos )sin 22S AB CD CE θθθθθ=+⋅=+=+(0)2θπ<<，'()[(sin sin cos )]'(sin )'(sin cos )'S θθθθθθθ=+=+⋅22cos cos sin θθθ=+-22cos cos 1θθ=+-， 令'()0S θ=，得1co s 2θ=，即3θπ=，cos 1θ=-（舍），且当03θπ<<时，'()0S θ>，当32θππ<<时，'()0S θ<，所以当3θπ=时，()S θ18．（1）由题意11,2c c e a ===，得2a =，2223b a c ∴=-=,∴椭圆方程为22143x y +=. （2）（方法1）设00(,),(,)M M P x y M x y ，12(1,0),(1,0)F F -1(1,)M M F M x y ∴=+ ，00(,)M M MP x x y y =--．010122,2,22,M M M M x x x F M MP y y y +=-⎧=∴⎨=-⎩ 0021,332,3M M x x y y ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴200242(,)333F M x y =- ．20F M OP ⋅= ,2000242()0333x x y ∴-+=,2200020x x y ∴-+=2222200022(1)(1)(1)x x y b a a a=-=-- ,22001210x x a a ∴-+-=在(,]a a -上有解，22001210y x x a a =-+-= 对称轴是2x a =，2()0,()0,f a a a f a ->⎧>∴⎨≤⎩ ()0,()0,f a f a ->⎧∴⎨≤⎩02a ∴<≤112c e a a ∴==≥，01e << ,112e ∴≤<． （方法2）12221211(),23PO PF PF F M PM PF PF PF =+=-=-，由2PO F M ⊥得20PO F M ⋅=，121211()()023PF PF PF PF ∴+⋅-=，化简得：221122230PF PF PF PF -⋅-= ， 22112122||2||||cos 3||0PF PF PF F PF PF ∴-∠-= ,①在12F PF ∆中，由余弦定理,有222121212||||2||||cos 4PF PF PF PF F PF c ∴+-∠= ,②②-①得：2224||4PF c = ，即2||PF c = ,2||a c PF a c -≤≤+，2a c ∴≤，即12c e a =≥， 又01e <<，1[,1)2e ∴∈.（3）AQB ∠恒为直角．事实上，当e 最小时，即12e =，由（1）知椭圆方程为22143x y +=， 依题意可设AB所在直线方程为y kx =，代入椭圆方程得22576(34)049k x +--=， 设1122(,),(,),A x y B x y则12122576,49(34)x x x x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩Q ，1122(,,QA QB x y x y ∴⋅==1122(,,x kx x kx -=2121212192()49x x k x x x x +++=21212192(1)()49k x x x x +++=22576192(1)49(34)49k k -+++=2222576576192576768049(34)k k k k ---++=+， AQB ∴∠恒为直角.19．（1）2k q = ，21214k k a a +-∴=，∴13521,,k a a a a - 是首项为1，公比为4的等比数列， ∴13521141(41)143k kk a a a a --++++==-- . （2）① 2,2122,k k k a a a ++成等差数列，212222k k k a a a ++∴=+，又21222211,k k k k k k a a a a q q ++++==⋅ ，112k k q q +∴+=，则1111k kq q +-=-，得1111111k k k k q q q q +==+---，111111k k q q +∴-=--，即11n n b b +-=， {}n b ∴是公差为1的等差数列.②1322,2d a a =∴=+ ，则由223212a a a =⨯=+，解得22a =或21a =-. （ⅰ）当22a =时，12q =，11b ∴=，则1(1)1k b k k =+-⨯=，即11k k q =-， 得1k k q k +=，所以221221(1)k k a k a k +-+=， 则2121321121231k k k k k a a a a a a a a +-+--=⋅⋅⋅⋅ 2222222(1)21(1)(1)1k k k k k +=⋅⋅⋅⋅=+- ， ∴2212(1)(1)1k k k a k a k k k q k++===++，则212(3)1,;2k k k k k k d a a k D ++=-=+∴= （ⅱ）当21a =-时，11,q =-112b ∴=-，则13(1)122k b k k =-+-⨯=-，即1312k k q =--，得1232k k q k -=-， ∴2121321121231k k k k k a a a a a a a a +-+--=⋅⋅⋅⋅ 222222131()()()2221()()()222k k k k --=⋅⋅⋅⋅--- =214()2k -则212(21)(23)k k ka a k k q +==--，21242k k k d a a k +∴=-=-，从而22k D k =. 综上所述，(3)2k k k D +=或22k D k =． 20．（1）因为1()0(0,)2f x <在区间上恒成立不可能，故要使函数1()(0,)2f x 在上无零点，只要对任意的1(0,),()02x f x ∈>恒成立，即对12ln (0,),221xx a x ∈>--恒成立. 令2ln 1()2,(0,),12x l x x x =-∈-则2222(1)2ln 2ln 2()(1)(1)x x x x x l x x x --+-=-=--，再令 21()2ln 2,(0,)2m x x x x =+-∈，则22222(1)()0x m x x x x --'=-+=<，故()m x 在1(0,)2上为减函数，于是1()()22ln 202m x m >=->，从而()0l x >，于是()l x 在1(0,)2上为增函数，综上，若函数1()(0,)2f x 在上无零点，则a 的最小值为24ln 2-．（2）111()e e (1)e ,x x x g x x x ---'=-=-当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当(]1,e x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，又因为1e (0)0,(1)1,(e)e e 0g g g -===⋅>，所以，函数(](]()0,e 0,1.g x 在上的值域为当2a =时，不合题意；当2a ≠时，2(2)()2(2)22()2a x a x a f x a x xx-----'=--==，(]0,x e ∈，令()0f x '=，得22x a =-，由题意得，()f x 在(]0,e 不单调，故220e,22ea a <<<--即①此时，当,(),()x f x f x '变化时的变化情况如下：又因为，当0x →时，()f x →+∞，()2ln 22f a a a=---， ()(2)(e 1)2f e a =---，所以，对任意给定的(]00,e x ∈，在(]0,e e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立，当且仅当a 满足下列条件：23222ln 0,()0,22(2)(1)2 1.()1,a f a aa e f e ⎧⎧-≤≤⎪⎪--⎨⎨⎪⎪---≥≥⎩⎩即 令22()2ln,(,2)2eh a a a a =-∈-∞--，则 2()12[ln 2ln(2)]122ah a a a a ''=---=-=--，()0h a '=令得02a a ==或，故当(,0)a ∈-∞时，()0h a '>，函数()h a 单调递增；当2(0,2)ea ∈-时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，所以对任意的2(,2)e a ∈-∞-有()(0)0h a h ≤=，即②对任意2(,2)ea ∈-∞-恒成立.由③式解得：32.e 1a ≤--④ 综合①④可知，当(]03,2,0,e ,e 1a x ⎛⎤∈-∞-∈ ⎥-⎝⎦时对任意给定的在(]0,e (1,2),i x i =上总存在两个不同的使0()()i f x g x =成立.。
2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷 (2)
2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上．1．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（2，1），向量=（3，5），则向量的坐标为_________．2．（5分）（2013•南通二模）设集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣5x≥0}，则A∩（∁R B）=_________．3．（5分）（2013•南通二模）设复数z满足|z|=|z﹣1|=1，则复数z的实部为_________．4．（5分）（2013•南通二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+e x（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为_________．5．（5分）（2013•南通二模）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为_________分钟．6．（5分）（2014•盐城一模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为_________．7．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线y2﹣3x2=3共焦点，且经过点，则该椭圆的离心率为_________．8．（5分）（2013•南通二模）若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为_________cm．9．（5分）（2013•南通二模）将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为_________．10．（5分）（2013•南通二模）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为_________．11．（5分）（2013•南通二模）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为_________．12．（5分）（2013•南通二模）设数列{a n}满足：a3=8，（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0（n∈N*），则a1的值大于20的概率为_________．13．（5分）（2013•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是_________．14．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设A（﹣1，1），B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•南通二模）已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．（1）若AB=，求△ABC的另外两条边长；（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．16．（14分）（2013•南通二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面PBC⊥平面PAB．17．（14分）（2013•南通二模）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元．（每平方米平均综合费用=）．（1）求k的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？18．（16分）（2013•南通二模）已知函数f （x）=（m﹣3）x3+9x．（1）若函数f （x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调函数，求m的取值范围；（2）若函数f （x）在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值．19．（16分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．20．（16分）（2013•南通二模）设无穷数列{a n}满足：∀n∈N*，a n＜a n+1，．记．（1）若，求证：a1=2，并求c1的值；（2）若{c n}是公差为1的等差数列，问{a n}是否为等差数列，证明你的结论．选做题：本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．求证：DE2=DB•DA．22．（10分）（2013•南通二模）选修4﹣2：矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵（m＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．23．（2013•南通二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy中，已知圆，圆．（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1，C2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．24．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．必做题：本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•南通二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．26．（10分）（2013•南通二模）设b＞0，函数，记F（x）=f′（x）（f′（x）是函数f（x）的导函数），且当x=1时，F（x）取得极小值2．（1）求函数F（x）的单调增区间；（2）证明|[F（x）]n|﹣|F（x n）|≥2n﹣2（n∈N*）．2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上．1．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（2，1），向量=（3，5），则向量的坐标为（1，4）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由=，代入坐标即可运算．解答：解：∵=（2，1），=（3，5），∴==（3，5）﹣（2，1）=（1，4）故答案为：（1，4）点评：本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础试题2．（5分）（2013•南通二模）设集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣5x≥0}，则A∩（∁R B）=（0，3]．考点：交、并、补集的混合运算．分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合A，B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确答案．解答：解：由题意B={x|x2﹣5x≥0}={x|x≤0或x≥5}，故∁R B={x|0＜x＜5}，又集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，∴A∩（∁R B）=（0，3]．故答案为（0，3]．点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键．3．（5分）（2013•南通二模）设复数z满足|z|=|z﹣1|=1，则复数z的实部为．考点：复数求模．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R）．∵复数z满足|z|=|z﹣1|=1，∴，解得．∴复数z的实部为．故答案为．点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）（2013•南通二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+e x（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为ln6﹣．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由x＜0时的解析式，先求出f（﹣ln6），再由f （x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），得到答案．解答：解：∵当x＜0时，f （x）=x+e x，∴f（﹣ln6）=﹣ln6+e﹣ln6=﹣ln6又∵f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6﹣故答案为：ln6﹣点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的值，其中熟练掌握奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x），是解答的关键．5．（5分）（2013•南通二模）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为72分钟．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：先由茎叶图写出所有的数据，求出所有数据和，再利用和除以数据的个数，得到该运动员的平均训练时间．解答：解：有茎叶图知，天中进行投篮训练的时间的数据为64，65，67，72，75，80，81；∴该运动员的平均训练时间为：=72．故答案为：72．点评：解决茎叶图问题，关键是能由茎叶图得到各个数据，再利用公式求出所求的值．6．（5分）（2014•盐城一模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为145．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28时，S的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值．∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，故输出的S值为145．故答案为：145．点评：本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．7．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线y2﹣3x2=3共焦点，且经过点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，双曲线y2﹣3x2=3焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．然后根据椭圆的定义，结合两点的距离公式得2a=|AF1|+|AF2|=4，从而a=2，可得c，可得该椭圆的离心率．解答：解：∵双曲线y2﹣3x2=3，即，∴双曲线的焦距为4，∴c=2，焦点坐标为F1（0，﹣2），F2（0，2），∵椭圆经过点A，∴根据椭圆的定义，得2a=|AF1|+|AF2|=+=4，可得a=2，所以离心率e===．故答案为：．点评：本题给出椭圆的焦点和椭圆上一点的坐标，求椭圆的基本量，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于基础题．8．（5分）（2013•南通二模）若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可．解答：解：设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=2π⇒r=1cm，∴h==cm．故答案是．点评：本题考查圆锥的侧面展开图及圆锥的轴截面．9．（5分）（2013•南通二模）将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由左加右减上加下减的原则，可确定函数平移后的函数解析式，利用伸缩变换推出所求函数解析式．解答：解：图象上的每一点向右平移1个单位，得到函数，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为．故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的平移与伸缩变换．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．10．（5分）（2013•南通二模）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为4．考点：数列的求和；函数的零点．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：画出图象，可看出交点的个数，并利用对称性即可求出．解答：解：由（x）=（x﹣1）sinπx﹣1=0（﹣1＜x＜3）可得sinπx=令g（x）=sinπx，h（x）=，（﹣a＜x＜3）则g（x），h（x）都是关于（1，0）点对称的函数故交点关于（1，0）对称又根据函数图象可知，函数g（x）与h（x）有4个交点，分别记为A，B，C，D则x A+x B+x C+x D=4故答案为：4点评：熟练掌握数形结合的思想方法和函数的对称性是解题的关键11．（5分）（2013•南通二模）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为﹣．考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由tan的值，利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1，确定出α的范围，进而sinα与cosα的值，再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tan=，∴tanα==＞1，∴α∈（，），∴cosα==，sinα==，∵sin（α+β）=＜，∴α+β∈（，π），∴cos（α+β）=﹣，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣．故答案为：﹣点评：此考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2013•南通二模）设数列{a n}满足：a3=8，（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0（n∈N*），则a1的值大于20的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由给出的等式得到数列递推式，说明数列是等差数列或等比数列，求出a3=8时对应的a1的值，则a1的值大于20的概率可求．解答：解：∵（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0，∴a n+1﹣a n﹣2=0或2a n+1﹣a n=0，分别取n=1，2．则a3﹣a2=2，a2﹣a1=2或a2=2a3，a1=2a2．当a3=8时，a2=6或a2=16，当a2=6时，a1=4或a1=12，当a2=16时，a1=14或a1=32，∴a1的值大于20的概率为．故答案为．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了古典概型及其概率计算公式，解答此题的关键是不能把数列看做等差数列或等比数列独立的求解，此题虽是基础题但容易出错．13．（5分）（2013•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是9．考点：进行简单的合情推理；函数的值．专题：新定义．分析：先根据基本不等式得x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，及x2x3+x4x5≥2+≥2，再研究使三个不等式等号都成立的条件，即可得出max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值．解答：解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，同样x2x3+x4x5≥2，+≥2，使三个不等式等号都成立，则x1x2=x3x4=，x2x3=x4x5=，x1=x5即x1=x3=x5，x2=x4 x1x2=x2x3=x3x4=x4x5所以729=x13×x22=，（x1x2）3=729×x2x2最小为1，所以x1x2最小值为9，此时x1=x3=x5=9 x2=x4=1．故答案为：9．点评：本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用，属于中档题．14．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设A（﹣1，1），B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为2．考点：点到直线的距离公式．专题：综合题．分析：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，联立方程组⇒kx2+bx﹣1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理，结合△ABC为正三角形，可求得k及|AD|，从而可得答案．解答：解：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，由得kx2+bx﹣1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，y1+y2=+==b，设BC的中点为D，则D（﹣，）．因为A（﹣1，1），依题意，k AD•k BC=﹣1，即•k=﹣1，由于k＜0，故1﹣k≠0，∴b=（b＞0）．∵|BC|=|x1﹣x2|=•=•=•∴d A﹣BC=|BC|，即=×|BC|=×2•，即=ו，解得：k=．∵b=＞0，∴k=，k2=，∴d A﹣BC======2．故△ABC的高为2．故答案为：2．点评：本题考查韦达定理与点到直线的距离公式，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•南通二模）已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．（1）若AB=，求△ABC的另外两条边长；（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由三角形的面积公式及已知AB，可求b，c，然后再利用余弦定理可求（2）由（1）可知BC，利用余弦定理可求b，设BC的中点为D，则，结合O为△ABC的外心，可得，从而可求解答：解：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，于是，所以bc=4．…（3分）因为，所以．由余弦定理得．…（6分）（2）由得b2+c2+4=21，即，解得b=1或4．…（8分）设BC的中点为D，则，因为O为△ABC的外心，所以，于是．…（12分）所以当b=1时，c=4，；当b=4时，c=1，．…（14分）点评：本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用．还考查了向量的基本运算及性质的应用．16．（14分）（2013•南通二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面PBC⊥平面PAB．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由BC∥平面PAD，利用线面平行的性质定理即可得到BC∥AD，再利用线面平行的判定定理即可证明AD∥平面PBC；（2）自P作PH⊥AB于H，由平面PAB⊥平面ABCD，可得PH⊥平面ABCD．于是BC⊥PH．又BC⊥PB，可得BC⊥平面PAB，进而得到面面垂直．解答：证明：（1）因为BC∥平面PAD，而BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD=AD，所以BC∥AD．因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC．（2）自P作PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD．因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PH．因为∠PBC=90°，所以BC⊥PB，而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，即PB∩PH=P．因为PB，PH⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为BC⊂平面PBC，故平面PBC⊥平面PAB．点评：本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质定理，线面平行的判定与性质定理，需要较强的推理能力和空间想象能力．17．（14分）（2013•南通二模）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元．（每平方米平均综合费用=）．（1）求k的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？考点：函数模型的选择与应用．分析：（1）求出每幢楼为5层时的所有建筑面积，算出所有建筑费，直接由每平方米平均综合费用=列式求出k的值；（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n），同样利用题目给出的每平方米平均综合费用的关系式列出f （n）的表达式，然后利用基本不等式求出f （n）的最小值，并求出层数．解答：解：（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5平方米，所有建筑费用为[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10，所以，1270=，解之得：k=50．（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n），由题设可知f （n）==+25n+825≥2+825=1 225（元）．当且仅当=25n，即n=8时等号成立．答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元．点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了学生的数学建模能力和计算能力，是中档题．18．（16分）（2013•南通二模）已知函数f （x）=（m﹣3）x3+9x．（1）若函数f （x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调函数，求m的取值范围；（2）若函数f （x）在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；综合题；导数的综合应用．分析：（1）函数f （x）在R上是单调函数，说明y=f'（x）在（﹣∞，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，根据f'（x）=3（m﹣3）x2+9得f'（0）=9＞0，从而得到只有f'（x）≥0在R上恒成立，由此建立关于m的不等式即可解出实数m的取值范围．（2）根据（1）的结论，当m≥3时f （x）在R上为增函数，当m＜3时在区间，上单调递减，在区间单调递增．再根据m的取值结合函数的单调性建立关于m的方程，解得m=﹣2符合题意，得到本题答案．解答：解：（1）求导数，得f'（x）=3（m﹣3）x2+9∵f'（0）=9＞0，∴f （x）在区间（﹣∞，+∞）上只能是单调增函数．…（3分）又∵f'（x）=3（m﹣3）x2+9≥0在区间（﹣∞，+∞）上恒成立，∴，解之可得m≥3，即m的取值范围是[3，+∞）．…（6分）（2）由（1）的结论，得当m≥3时，f （x）在[1，2]上是增函数，所以[f （x）]max=f （2）=8（m﹣3）+18=4，解得m=＜3，不合题意舍去．…（8分）当m＜3时，f'（x）=3（m﹣3）x2+9=0，解之得．所以f （x）的单调区间为：在区间，上单调递减，在区间单调递增．…（10分）①当，即时，得，∴f （x）在区间[1，2]上单调增，可得[f （x）]max=f（2）=8（m﹣3）+18=4，m=，不满足题设要求．②当，即0＜m＜时，可得[f （x）]max=舍去．③当，即m≤0时，则，∴f （x）在区间[1，2]上单调减，可得[f （x）]max=f （1）=m+6=4，m=﹣2，符合题意综上所述，m的值为﹣2．…（16分）点评：本题给出三次多项式函数，讨论了函数的单调性，已知函数在区间[1，2]上的最大值为4的情况下求参数m 的值．着重考查了利用导数研究函数的单调性、三次多项式函数在闭区间上最值的求法等知识，属于中档题．19．（16分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．考点：直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）通过r=2，M点的坐标为（4，2），求出A1（﹣2，0），A2（2，0）．然后推出P、Q坐标，即可求直线PQ方程；（2）证明法一：设A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，直线MA1的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线PQ的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标．法二：设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，与圆C的交点P设为P（x1，y1）．求出直线MA2的方程，与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标．解答：解：（1）当r=2，M（4，2），则A1（﹣2，0），A2（2，0）．直线MA1的方程：x﹣3y+2=0，解得．…（2分）直线MA2的方程：x﹣y﹣2=0，解得Q（0，﹣2）．…（4分）由两点式，得直线PQ方程为：2x﹣y﹣2=0．…（6分）（2）证法一：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），直线MA1的方程是：y=（x﹣r）．…（8分）解得．…（10分）解得．…（12分）于是直线PQ的斜率k PQ=，直线PQ的方程为．…（14分）上式中令y=0，得x=，是一个与t无关的常数．故直线PQ过定点．…（16分）证法二：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），与圆C的交点P设为P（x1，y1）．直线MA2的方程是：y=（x﹣r）；与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．则点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，…（10分）化简得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）+t2（x2﹣r2）=0．①又有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，圆C：x2+y2﹣r2=0．②①﹣t2×②得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）﹣t2（x2﹣r2）﹣t2（x2+y2﹣r2）=0，化简得：（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．所以直线PQ的方程为（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．③…（14分）在③中令y=0得x=，故直线PQ过定点．…（16分）点评：不考查直线与圆的位置关系，直线系方程的应用，考查计算能力与转化思想．20．（16分）（2013•南通二模）设无穷数列{a n}满足：∀n∈N*，a n＜a n+1，．记．（1）若，求证：a1=2，并求c1的值；（2）若{c n}是公差为1的等差数列，问{a n}是否为等差数列，证明你的结论．考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）根据已知条件排除a1=1、a1≥3即可证得a1=2，，通过计算可得a2=3，故=b2，代入数值可求得；（2）由a n+1＞a n⇒n≥2时，a n＞a n﹣1，由此可推得a n≥a m+（n﹣m）（m＜n），从而，即c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，又{c n}是公差为1的等差数列，所以1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，故a n+1﹣a n=1，由此可判断{a n}是否为等差数列；解答：（1）因为，所以若a1=1，则矛盾，若，可得1≥a1≥3矛盾，所以a1=2．于是，从而．（2）{a n}是公差为1的等差数列，证明如下：a n+1＞a n⇒n≥2时，a n＞a n﹣1，所以a n≥a n﹣1+1⇒a n≥a m+（n﹣m），（m＜n），即c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，由题设，1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，所以a n+1﹣a n=1，即{a n}是等差数列．点评：本题考查等差数列的判定及通项公式，考查学生的逻辑推理能力，难度较大．选做题：本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．求证：DE2=DB•DA．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：欲证DE2=DB•DA，由于由切割线定理得DF2=DB•DA，故只须证：DF=DE，也就是要证：∠CFD=∠DEF，这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得．解答：证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（10分）点评：本题考查的与圆有关的比例线段、切线的性质、切割线定理的运用．属于基础题．22．（10分）（2013•南通二模）选修4﹣2：矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵（m＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．考点：逆变换与逆矩阵．专题：计算题．分析：确定点在矩阵对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵M；再求出对应行列式的值，即可得到M的逆矩阵．解答：解：设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换下的像是P'（x'，y'），由，得因为P'（x'，y'）在圆x2+y2=1上，所以（mx）2+（nx+y）2=1，化简可得（m2+n2）x2+2nxy+y2=1．…（3分）依题意可得m2+n2=2，2n=2，m=1，n=1或m=﹣1，n=1，而由m＞0可得m=1，n=1．…（6分）故，故矩阵M的逆矩阵M﹣1=．…（10分）点评：本题考查矩阵与变换，考查逆矩阵的求法，确定变换前后坐标之间的关系是解题的关键．23．（2013•南通二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy中，已知圆，圆．（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1，C2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标；（2）求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（1）圆C1的极坐标方程为ρ=2，圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，由得，故圆C1，C2交点坐标为圆．…（5分）（2）由（1）得，圆C1，C2交点直角坐标为，故圆C1与C2的公共弦的参数方程为…（10分）注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣（2分）．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．24．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．考点：一般形式的柯西不等式．专题：计算题．分析：利用柯西不等式，即可求得的最小值．解答：解：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，∴（）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，即当且仅当a=b=c=时，取等号∴当a=b=c=时，的最小值为1．点评：本题考查求最小值，解题的关键是利用柯西不等式进行求解，属于中档题．必做题：本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•南通二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y 轴，以过A，且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．解答：解：（1）如图，以A为原点，AC、AB所在直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），，．所以==，所以向量与所成的角为，故AA1与棱BC所成的角是．（2）设P为棱B1C1上的点，由，得P（2λ，4﹣2λ，2）．设平面PAB的法向量为=（x，y，z），，，由，得，取x=1，得z=﹣λ，故=（1，0，﹣λ）．而平面ABA1的一个法向量是=（1，0，0），则=，解得，即P为棱B1C1中点，其坐标为P（1，3，2）．。
数学_2013年江苏省高考数学模拟试卷(二)(含答案)
2013年江苏省高考数学模拟试卷（二）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 集合A ={x|0<x ≤3, x ∈R}，B ={x|−1≤x ≤2, x ∈R}，则A ∪B =________．2. 已知z ∈C ，且(z +2)(1+i)=2i ，则z =________．3. 在等差数列{a n }中，a 5=3，a 6=−2，则a 3+a 4+...+a 8=________．4. 已知|a →|=3，|b →|=2．若a →⋅b →=−3，则a →与b →夹角的大小为________．5. 为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是________．6. 如图伪代码的输出结果为________．7. 计算：∘√3sin10∘√1−cos80∘=________．8. 已知函数f(x)=x 2−|x|，若f(−m 2−1)<f(2)，则实数m 的取值范围是________． 9. 在一个水平放置的底面半径为√3cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm ，则R =________cm ．10. 若方程lnx +2x −10=0的解为x 0，则不小于x 0的最小整数是________．11. 若动直线ax +by =1过点A(b, a)，以坐标原点O 为圆心，OA 为半径作圆，则其中最小圆的面积为________．12. 已知函数f(x)＝ax −x 4，x ∈[12, 1]，A 、B 是其图象上不同的两点．若直线AB 的斜率k总满足12≤k ≤4，则实数a 的值是________．13. 在平行四边形ABCD 中，∠A =π3，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM|→|BC|→=|CN|→|CD|→，则AM →⋅AN →的取值范围是________．14. 椭圆x 2a 2+y 25=1(a 为定值，且a >√5)的左焦点为F ，直线x =m 与椭圆交于点A ，B ，△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15. 已知函数f(x)=sin(π2+x)cosx−sinxcos(π−x)，（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）在△ABC中，已知A为锐角，f(A)=1，BC=2,B=π3，求AC边的长．16. 如图已知在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M，N，P，Q分别是AA1，BB1，AB，B1C1的中点，（1）求证：面PCC1⊥面MNQ；（2）求证：PC1 // 面MNQ．17. 如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD，其长为32米，宽为18米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a米与b米均不小于2米，且要求“转角处（图中矩形AEFG）”的面积为8平方米（1）试用a表示草坪的面积S(a)，并指出a的取值范围（2）如何设计人行道的宽度a、b，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积．（3）直接写出（不需要给出演算步骤）草坪面积的最小值及此时a的值．18. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且圆C:x2+y2+√3x−3y−6=0过A，F2两点．（1）求椭圆标准的方程；（2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β−α=2π3时，证明：点P在一定圆上；（3）设椭圆的上顶点为Q，证明：PQ=PF1+PF2．19. 已知数列{a n}和{b n}满足：a1=λ，a n+1=23a n+n−4，b n=(−1)n(a n−3n+21)，其中λ为实数，n为正整数．S n为数列{b n}的前n项和．（1）对任意实数λ，证明：数列{a n}不是等比数列；（2）对于给定的实数λ，试求数列{b n}的通项公式，并求S n．（3）设0<a<b（a，b为给定的实常数），是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a<S n<b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．20. 已知函数f(x)＝a x+x2−xlna(a>0, a≠1)．(Ⅰ)当a>1时，求证：函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；(Ⅱ)若函数y ＝|f(x)−t|−1有三个零点，求t 的值；(Ⅲ)若存在x 1，x 2∈[−1, 1]，使得|f(x 1)−f(x 2)|≥e −1，试求a 的取值范围．三、[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．21. 已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，∠ACB 的平分线分别交AE 、AB 于点F 、D ．（1）求∠ADF 的度数； （2）若AB ＝AC ，求ACBC 的值．22. 选修4−2：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量e 1→=[11]，并且M 对应的变换将点(−1, 2)变换成(9, 15)，求矩阵M ．23. （选修4−4：坐标系与参数方程）曲线C 1:{x =1+cosθy =sinθ（θ为参数），在曲线C 1上求一点，使它到直线C 2:{x =−2√2+12ty =1−12t （t 为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离． 24. （选修4−5：不等式选讲）若a ，b ，c ∈R +，求证：b 2a+c 2b+a 2c≥c√b a +a √c b +b √ac．25.如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知AB =4，AD =3，AA 1=2，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的点，且EB =FB =1．（1）求异面直线EC 1与FD 1所成角的余弦值；（2）试在面ABCD 上确定一点G ，使G 到平面D 1EF 距离为√1111．26. 某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （1）恰有2人申请A 片区房源的概率；（2）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．2013年江苏省高考数学模拟试卷（二）答案1. {x|−1≤x ≤3}2. −1+i3. 34. 23π5. 486. 317. √28. (−1, 1)9. 3210. 511. π12. 9213. [2, 5]14. 2315. 解：（1）由f(x)=sin(π2+x)cosx−sinxcos(π−x)得到：f(x)=cos2x+sinxcosx=1+cos2x2+sin2x2=√22(√22cos2x+√22sin2x)+12=√22sin(2x+π4)+12，∴ T=2π2=π；（2）∵ f(A)=cos2A+sinAcosA=1移项得：sinAcosA=1−cos2A=sin2A，因为A为锐角，所以sinA≠0∴ sinA=cosA，则A=π4根据正弦定理得：BCsinA =ACsinB即ACsinπ3=2sinπ4，所以AC=2×√32√22=√6．16. 证明：（1）∵ AC=BC，P是AB的中点∴ AB⊥PC∵ AA1⊥面ABC，CC1 // AA1，∴ CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内∴ CC1⊥AB，∵ CC1∩PC=C∴ AB⊥面PCC1；又∵ M，N分别是AA1、BB1的中点，四边形AA1B1B是平行四边形，MN // AB，∴ MN⊥面PCC1．∵ MN在平面MNQ内，∴ 面PCC1⊥面MNQ；（2）连PB1与MN相交于K，连KQ，∵ MN // PB，N为BB1的中点，∴ K为PB1的中点．又∵ Q是C1B1的中点∴ PC1 // KQ而KQ⊂平面MNQ，PC1⊄平面MNQ ∴ PC1 // 面MNQ．17. 解：（1）由条件可知ab=8，即b=8a∵ b≥2∴ b=8a≥2，则a≤4∵ a≥2∴ 2≤a≤4S(a)=(32−2a)(18−b)=(32−2a)(18−8)=592−4(9a+64)（2）∵ 9a+64a ≥2√9a⋅64a=48当且仅当9a=64a 即a=83时取等号，S(a)取得最大值400m2（3）当a=4时S(a)有最小值384m218. （1）解：圆x2+y2+√3x−3y−6=0与x轴交点坐标为A(−2√3，0)，F2(√3,0)，故a=2√3，c=√3，所以b=3，∴ 椭圆方程是：x212+y29=1．（2）证明：设点P(x, y)，因为F1(−√3, 0)，F2(√3, 0)，则k PF1=tanβ=x+√3，k PF2=tanα=x−√3，因为β−α=2π3，所以tan(β−α)=−√3．因为tan(β−α)=tanβ−tanα1+tanαtanβ=−2√3yx2+y2−3，所以−2√3yx2+y2−3=−√3．化简得x2+y2−2y=3．所以点P在定圆x2+y2−2y=3上．（3）证明：在满足（2）的条件下，∵ |PQ|2=x2+(y−3)2=x2+y2−6y+9，x2+y2=3+2y，∴ |PQ|2=12−4y．又|PF1|2=(x+√3)2+y2=2y+6+2√3x，|PF2|2=(x−√3)2+y2=2y+6−2√3x，∴ 2|PF1|×|PF2|=2√4(y+3)2−12x2=4√(y+3)2−3x2，因为3x2=9−3y2+6y，所以2|PF1|×|PF2|=4√4y2，∵ β=α+2π3>2π3，又点P在定圆x2+y2−2y=3上，∴ y<0，所以2|PF1|×|PF2|=−8y，从而(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+2|PF1|×|PF2|+|PF2|2=4y+12−8y=12−4y= |PQ|2．所以|PQ|=|PF1|+|PF2|．19. 证明：（1）假设存在一个实数，使{a n }是等比数列，则有a 22=a 1a 3，即(23λ−3)2=λ(49λ−4)⇔49λ2−4λ+9=49λ2−4λ⇔9=0，矛盾．所以{a n }不是等比数列．（2）因为b n+1=(−1)n+1[a n+1−3(n +1)+21]=(−1)n+1(23a n −2n +14) =−23(−1)n ⋅(a n −3n +21)=−23b n当λ≠−18时，b 1=−(λ+18)≠0，由上可知b n ≠0， ∴b n+1b n=−23(n ∈N +)．故当λ≠−18时，数列{b n }是以−(λ+18)为首项，−23为公比的等比数列．b n =−(λ+18)⋅(−23)n−1，S n =−35(λ+18)(1−(−23)n )当λ=−18时，b n =0，S n =0（3）由（2）知，当λ=−18，b n =0，S n =0，不满足题目要求． ∴ λ≠−18，要使a <S n <b 对任意正整数n 成立，即a <−35(λ+18)•[1−(−23)n ]<b(n ∈N +)…①得a1−(−23)n <−35(λ+18)<b 1−(−23)n 令f(n)=1−(−2)n ，则当n 为正奇数时，1<f(n)≤53；当n 为正偶数时，59≤f(n)<1， ∴ f(n)的最大值为f(1)=53，f(n)的最小值为f(2)=59，于是，由①式得95a <−35(λ+18)<35b ⇔−b −18<λ<−3a −18．当a <b ≤3a 时，由−b −18≥=−3a −18，不存在实数满足题目要求；当b >3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有a <S n <b ，且λ的取值范围是(−b −18, −3a −18)．20. （1）∵ 函数f(x)＝a x +x 2−xlna ，∴ f′(x)＝a x lna +2x −lna ＝2x +(a x −1)lna ， 由于a >1，故当x ∈(0, +∞)时，lna >0，a x −1>0，所以f′(x)>0， 故函数f(x)在(0, +∞)上单调递增．（2）当a >0，a ≠1时，因为f′(0)＝0，且f(x)在(0, +∞)上单调递增， 故f′(x)＝0有唯一解x ＝0．所以x ，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：又函数y ＝|f(x)−t|−1有三个零点，所以方程f(x)＝t ±1有三个根， 即y ＝f(x)的图象与两条平行于x 轴的两条直线y ＝t ±1共有三个交点．不妨取a >1，y ＝f(x)在(−∞, 0)递减，在(0, +∞)递增，极小值f(0)＝1也是最小值， 当x →±∞时，f(x)→+∞．∵ t −1<t +1，∴ f(x)＝t +1有两个根，f(x)＝t −1只有一个根． ∴ t −1＝f min (x)＝f(0)＝1，∴ t ＝2．(Ⅲ)因为存在x 1，x 2∈[−1, 1]，使得|f(x 1)−f(x 2)|≥e −1，所以当x ∈[−1, 1]时，|（f(x)）max −（f(x)）min |＝（f(x)）max −（f(x)）min ≥e −1， 由(Ⅱ)知，f(x)在[−1, 0]上递减，在[0, 1]上递增， 所以当x ∈[−1, 1]时，（f(x)）min ＝f(0)＝1， （f(x)）max ＝max{f(−1), f(1)}，而f(1)−f(−1)=(a +1−lna)−(1a+1+lna)=a −1a−21na ，记g(t)=t −1t −21nt(t >0)，因为g ′(t)=1+1t2−2t=(1t−1)2≥0（当t ＝1时取等号）， 所以g(t)=t −1t−21nt 在t ∈(0, +∞)上单调递增，而g(1)＝0，所以当t >1时，g(t)>0；当0<t <1时，g(t)<0，也就是当a >1时，f(1)>f(−1)，当0<a <1时，f(1)<f(−1)．综合可得，①当a >1时，由f(1)−f(0)≥e −1，可得a −lna ≥e −1，求得a ≥e ． ②当0<a <1时，由f(−1)−f(0)≥e −1⇒1a +lna ≥e −1⇒0<a ≤1e ， 综上知，所求a 的取值范围为(0, 1e ]∪[e, +∞)． 21. ∵ CA 切圆O 于A 点， 由弦切角定理， 可得∠CAE ＝∠B又∵ CD 为∠ACB 的角平分线， ∴ ∠ACD ＝∠BCD∴ ∠ACD +∠CAE ＝∠B +∠BCD 即∠ADF ＝∠AFD 又∵ BE 为圆O 的直径 ∴ ∠DAF ＝90∘ ∴ ∠ADF ＝45∘若AB ＝AC ，则∠CAE ＝∠B ＝∠ACB ＝30∘ 则ACBC =√3322. 解：设M =[ab c d ]，则[a b c d ][11]=3[11]=[33]，故{a +b =3c +d =3， [a b cd ][−12]=[915]，故{−a +2b =9−c +2d =15，联立以上两方程组解得a =−1，b =4，c =−3，d =6， 故M =[−14−36]．23. 解：将直线C 2化为普通方程得：x +y −1+2√2=0， 设所求的点为P(1+cosθ, sinθ)， 则P 到直线C 2的距离d =√2−1|√2=|sin(θ+π4)+2|， 当θ+π4=3π2，即θ=5π4时，sin(θ+π4)=−1，d 取得最小值1，此时点P 的坐标为(1−√22, −√22)． 24. 解：∵ a ，b ，c ∈R +，所以b 2a +c 2b≥2√b 2a ⋅c 2b=2c√ba ，b 2a +a 2c ≥2√b 2a ⋅a 2c =2b √ac c 2b +a 2c ≥2√c 2b ⋅a 2c =2a √cb三式相加可得2(b 2a +c 2b+a 2c)≥2(c√b a +a √c b +b √ac ) 即b 2a+c 2b+a 2c≥c√ba+a √cb+b √a c．成立．25. 解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵ AB =4，AD =3，AA 1=2，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的点，且EB =FB =1， ∴ D 1(0, 0, 2)，E(3, 3, 0)，F(2, 4, 0)，C 1(0, 4, 2)． ∴ EC 1→=(−3, 1, 2)，FD 1→=(−2, −4, 2)∴ 异面直线EC 1与FD 1所成角的余弦值=|cos <EC 1→，FD 1→>|=|6−4+4√14⋅√24|=√2114． （2）∵ D 1(0, 0, 2)，E(3, 3, 0)，F(2, 4, 0)， ∴ D 1E →=(3, 3, −2)，D 1F →=(2, 4, −2)，设向量n →=(x, y, z)与平面D 1EF 垂直，则有n →⋅D 1E →=0，n →⋅D 1F →=0，∴ {3x +3y −2z =02x +4y −2z =0，解得n →=(1, 1, 3)，设在面ABCD 上确定一点G(a, b, 0)，则EG →=(a −3, b −3, 0)， ∵ G 到平面D 1EF 距离为√1111， ∴√11=√1111， ∴ a +b −6=1，即b =7−a ．故在面ABCD 上确定一点G(a, 7−a, 0)，使G 到平面D 1EF 距离为√1111． 26. 解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A 片区房源，共有C 4222∴ 根据等可能事件的概率公式得到P =C 422234=827（2）由题意知ξ的可能取值是1，2，3 P(ξ=1)=334=127，P(ξ=2)=A 32C 43C 11+C 42C 22C 3234=1427，P(ξ=3)=C 42A 334=4∴ ξ的分布列是：∴ Eξ=1×127+2×1427+3×49=6527。
2013年江苏高考数学模拟试卷
一、选择题：（每小题5分，共60分）1．集合A= ，集合B= ，则 ( )A. B. C. D.2．设则的大小关系是 ( )A. B. C. D.3.已知A. B. C. D.4．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是A. B．C．D．5. 如下程序框图的功能是：给出以下十个数：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是（）A. B.C. D.6．已知复数在复平面上对应点为，则关于直线的对称点的复数表示是（）．A. B. C. D.7.抛物线上的点到直线距离的最小值是（）A．B．C．D．8．已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值（）．A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负9.在平面直角坐标系中，不等式（为常数）表示的平面区域的面积为8，则的最小值为（）A．B．C． D．10.若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.11．如图，，是双曲线： (a＞0，b＞0)的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点．若 | | : | | : | |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为（）A． B．C．2 D．12．已知以为周期的函数，其中。
若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（）A．B． C． D.二、填空题：（每小题5分，共20分）13.公比为4的等比数列中,若是数列的前项积,则有 , , 也成等比数列,且公比为；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列中，若是的前项和，则有一相应的等差数列，该等差数列的公差为____________.14.已知函数，其导函数记为，则 .15．设二次函数的值域为，则的最小值为16．给出下列四个命题：①②，使得成立；③为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取得的点到距离大小1的概率为；④在中，若，则是锐角三角形，其中正确命题的序号是三、解答题：17．（本题满分12分）在中分别为 , , 所对的边，且（1）判断的形状；（2）若，求的取值范围18. (本小题满分12分)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）. （1）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．19．（本小题满分12分）如图，已知矩形的边 , ,点、分别是边、的中点，沿、分别把三角形和三角形折起，使得点和点重合，记重合后的位置为点。
2013年江苏省南京市、淮安市高考数学二模试卷
2013年江苏省南京市、淮安市高考数学二模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合A={2a，3}，B={2，3}．若A∪B={1，2，3}，则实数a的值为．【答案】【解析】试题分析：根据题意，由A与B及A∪B，易得2a=1，即可得到答案．∵集合A={2a，3}，B={2，3}且A∪B={1，2，3}，则有2a=1，∴a=0故答案为：0．2.函数f(x)=sinxcosx的最小正周期是．【答案】π【解析】试题分析：根据二倍角的正弦公式，化简可得f(x)=sin2x，再由三角函数的周期公式即可算出函数f(x)的最小正周期．∵sin2x=2sinxcosx∴f(x)=sinxcosx=sin2x，因此，函数f(x)的最小正周期T==π故答案为：π3.若复数(i是虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为．【答案】2【解析】试题分析：利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出．∵复数===是纯虚数，∴，解得m=2．因此实数m的值为2．故答案为2．4.盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概率是．【答案】【解析】试题分析：因为只是从盒子中摸出求，对3只白球和2只黑球标记后无需思考排序问题，用列举法写出从中随机地摸出两只球的所有摸法种数，查出两只球颜色相同的摸法种数，则两只球颜色相同的概率可求．记3只白球分别为白1，白2，白3，2只黑球分别记为黑1，黑2．从中随机地摸出两只球，所有不同的摸法为(白1白2)(白1白3)(白1黑1)(白1黑2)(白2白3)(白2黑1)(白2黑2)(白3黑1)(白3黑2)(黑1黑2)共10种，其中两只球颜色相同的摸法有(白1白2)(白1白3)(白2白3)(黑1黑2)共4种，所以两只球颜色相同的概率是p=．故答案为．5.根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI技术规定(试行)》，AQI共分为六级：(0，50]为优，(50，100]为良，(100，150]为轻度污染，(150，200]为中度污染，(200，300]为重度污染，300以上为严重污染．2012年12月1日出版的《A市早报》对A市2012年11月份中30天的AQI进行了统计，频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，可以看出A市该月环境空气质量优、良的总天数为．【答案】12【解析】试题分析：根据频率分布直方图，估计该月环境空气质量优、良的频率和，进而根据频数=频率×样本容量可得答案．由频率分布直方图得：样本中“环境空气质量优、良”的频率为(0.002+0.006)×50=0.04由样本估计总体，A 市该月环境空气质量优、良的总天数为0.04×30=12天故答案为：12．6.如图是一个算法流程图，其输出的n的值是．【答案】5【解析】试题分析：本题是一个循环结构，由图可以看出此循环体执行5次，由于每次执行都是对S加上3n，由此规律计算出结果．此图，此循环体共执行了5次，第一次执行S=1+3=4，n=2；第二次执行后TS=1+3+6=10，n=3；第三次执行后，S=1+3+6+9=19，n=4；第四次执行后，S=1+3+6+9+12=31，n=5；此时S=31＞20，故退出循环体，输出n=5．故答案为：5．7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为cm．【答案】【解析】试题分析：设此圆的底面半径为r，高为h，母线为l，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r=1，再根据勾股定理得h==2cm，即得此圆锥高的值．设此圆的底面半径为r，高为h，母线为l，则∵圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为的扇形，∴l=3，得2πr=×l=2π，解之得r=1因此，此圆锥的高h===2cm8.在平面直角坐标系x O y中，设过原点的直线l与圆C：(x-3)2+(y-1)2=4交于M、N两点，若MN，则直线l的斜率k的取值范围是．【答案】[0，]【解析】试题分析：如图所示，过点C作OE⊥MN，垂足为E，连接CM．由|MN|，则可得|CE|≤，利用点到直线的距离公式求出|CE|即可．如图所示，过点C作OE⊥MN，垂足为E，连接CM．设直线MN的方程为y=kx，则|CE|==，∵|MN|，∴，化为4k2-3k≤0，解得．故直线l的斜率k的取值范围是．故答案为．9.设数列{a n}是公差不为0的等差数列，S n为其前n项和，若，S5=5，则a7的值为．【答案】9【解析】试题分析：设出等差数列的公差，由题意列关于首项和公差的二元一次方程组，求出首项和公差，则a7的值可求．设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，由，S5=5，得，整理得，解得．所以a7=a1+6d=-3+6×2=9．10.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=2x-1-3，则不等式f(x)＞1的解集为．【答案】(-2，0)∪(3，+∞)【解析】试题分析：当x=0时根据奇函数的特性得f(x)=0，故原不等式不成立；当x＞0时，原不等式化成2x-1-3＞1，解之可得x＞3；当x＜0时，结合函数为奇函数将原不等式化为2--x-1-3＜-1，解之可得-2＜x＜0．最后综合即可得到原不等式的解集．①当x=0时，f(x)=0，显然原不等式不能成立②当x＞0时，不等式f(x)＞1即2x-1-3＞1化简得2x-1＞4，解之得x＞3；③当x＜0时，不等式f(x)＞1可化成-f(-x)＞1，即f(-x)＜-1，∵-x＞0，可得f(-x)=2-x-1-3，∴不等式f(-x)＜-1化成2-x-1-3＜-1，得2-x-1＜2，解之得-2＜x＜0综上所述，可得原不等式的解集为(-2，0)∪(3，+∞)11.在△ABC中，已知AB=2，BC=3，∠ABC=60°，BD⊥AC，D为垂足，则的值为．【答案】【解析】试题分析：因为BD 是AC 边上的高，所以BD丄CC，•=0，故有=•(+)=2+•=．由△ABC的面积=AB×BC sin60°=AC×BD结合余弦定理能求出BD的长，从而得出结果．∵BD是AC边上的高，∴BD丄AC，∴•=0，∴=•(+)=2+•=．又△ABC的面积=AB×BC sin60°或△ABC的面积=AC×BD∴AB×BC sin60°=AC×BD∴×2×3sin60°=×BD∴BD=∴=．故答案为：．12.关于x的不等式(2ax-1)lnx≥0对任意x∈(0，+∞)恒成立，则实数a的值为．【答案】【解析】试题分析：依题意，对x∈(0，1]，x∈[1，+∞)分类讨论，构造f(x)=，利用函数的单调性即可求得实数a的值．∵(2ax-1)lnx≥0对任意x∈(0，+∞)恒成立，∴当x∈(0，1]时，lnx≤0，∴2ax-1≤0，∴a≤(0＜x≤1)，令f(x)=，则f(x)在(0，1]上单调递减，∴f(x)min=f(1)=∴a≤．①当x∈[1，+∞)时，lnx≥0，∴(2ax-1)lnx≥0对任意x∈(0，+∞)恒成立⇔2ax-1≥0对任意x∈(0，+∞)恒成立，同理可求a≥f(x)max=f(1)=．②由①②得：a=．故答案为：．13.在平面直角坐标系x O y中，已知双曲线C：．设过点M(0，1)的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则直线l的斜率为．【答案】【解析】试题分析：设直线AB方程为y=kx+1，与双曲线方程联解得(3-4k2)x2-8kx-16=0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得x1+x2=且x1x2=，根据得x1=-2x2，将三个式子联解，即可得到直线l的斜率．设直线AB方程为y=kx+1，与双曲线消去y，得(3-4k2)x2-8kx-16=0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得…(1)∵，可得x1=-2x2，∴代入(1)得，消去x2得-2()2=，解之得k2=，得k=故答案为：14.已知数列{a n}的通项公式为a n=7n+2，数列{b n}的通项公式为．若将数列{a n}，{b n}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{c n}，则c9的值为．【答案】961【解析】试题分析：由数列{a n}的通项公式为a n=7n+2，数列{b n}的通项公式为．可分析出当m=7k+4或m=7k+5，k∈Z时，b m才能在{a n}中出现，即为公共项．进而得到答案．令a n=b m，即7n+2=m2，设k∈Z，1．若m=7k，则b m=49k2=7(7k2)∉{a n}．2．若m=7k+1，则b m=(7k+1)2=49k2+14k+1=7(7k2+2k)+1∉{a n}．3．若m=7k+2，则b m=(7k+2)2=49k2+28k+4=7(7k2+4k)+4∉{a n}．4．若m=7k+3，则b m=(7k+3)2=49k2+42k+9=7(7k2+6k+1)+2∈{a n}．5．若m=7k+4，则b m=(7k+4)2=49k2+56k+16=7(7k2+8k+2)+2∈{a n}．6．若m=7k+5，则b m=(7k+5)2=49k2+70k+25=7(7k2+10k+3)+4∉{a n}．7．若m=7k+6，则b m=(7k+6)2=49k2+84k+36=7(7k2+12k+5)+1，不∈{a n}．故当m=7k+3和m=7k+4，k∈Z时，项b m才能在{a n}中出现，即为公共项．所以公共项为b3，b4，b10，b11，b17，b18，b24，b25，b31，b32，…所以c9=312=961．故答案为：961二、解答题(本大题共12小题，共80.0分)15.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，(1)求B；(2)若，求cos C的值．【答案】解：(1)由正弦定理得，∴，∴，化为sin B cos C+sin C cos B=2sin A cos B，∴sin(B+C)=2sin A cos B，∵B+C=π-A，∴sin A=2sin A cos B，∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，得到．又B∈(0，π)，∴．(2)∵，∴，解得．∵A∈(0，π)∴A为锐角．∴，．∴cos C=cos(π-A-B)=cos(A+B)==-cos A cos+==．【解析】(1)利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式、特殊角的三角函数值即可得出；(2)利用两角和的正切公式平方关系、诱导公式、两角和的余弦公式即可得出．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，PB⊥平面ABCD，CD⊥BD，PB=AB=AD=1，点E在线段PA上，且满足PE=2EA．(1)求三棱锥E-BAD的体积；(2)求证：PC∥平面BDE．【答案】解：(1)过E作EF⊥AB，垂足为F，∵PB⊥平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD，又平面PAB∩平面ABCD=AB，EF⊂平面PAB，∴EF⊥平面ABCD，即EF为三棱锥E-BAD的高，∵EF∥PB，PE=2EA，PB=1，∴EF=，∵CD⊥BD，梯形ABCD为直角梯形，∴∠A=90°，∵AB=AD=1，∴V E-BAD=×S△BAD×EF=．(2)证明：连接AC交BD与G，连接EG，∵∠A=90°，AB=AD=1，∴BD=，∠CBD=45°，∵CD⊥BD，∴BC=2，∵AD∥BC，BC=2，AD=1，∴=，∵PE=2EA，∴EG∥PC，又PC⊄平面BDE，EG⊂平面BDE，∴PC∥平面BDE．【解析】(1)先作垂线，求棱锥的高，再根据体积公式求棱锥的体积；(2)根据在三角形中分相邻两边等比例的线段平行于底边，证线线平行，再由线线平行证明线面平行．17.如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，∠AOB=60°，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，问C应选在何处，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大，并说明理由．【答案】解：根据题意，四边形ODCE是平行四边形因为∠AOB=60°，所以∠ODC=180°-∠AOB=120°连接OC，设OC=r，OD=x，OE=y在△OCD中，根据余弦定理得OC2=OD+2DC2-2OD•DC cos120°即r2=x2+y2+xy∴(x+y)2=r2+xy≤r2+()2．解之得(x+y)2≤r2，可得x+y≤r，当且仅当x=y=r时，等号成立∴x+y的最大值为r，此时C为弧AB的中点答：当点C取在弧AB的中点时，可使修建的道路CD与CE的总长最大．【解析】由题意，得四边形ODCE是平行四边形，连接OC，设OC=r，OD=x，OE=y，可得△OCD 中∠ODC=180°-∠AOB=120°．利用余弦定理得r2=x2+y2+xy，再由基本不等式算出x+y≤r，当且仅当x=y=r时等号成立．由此可得当点C取在弧AB的中点时，可使修建的道路CD与CE的总长最大．18.已知数列{a n}的各项都为正数，且对任意n∈N*，都有(k为常数)．(1)若，求证：a1，a2，a3成等差数列；(2)若k=0，且a2，a4，a5成等差数列，求的值；(3)已知a1=a，a2=b(a，b为常数)，是否存在常数λ，使得a n+a n+2=λa n+1对任意n∈N*都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明：∵，∴，令n=1，则，∵a1＞0，∴2a2=a1+a3，故a1，a2，a3成等差数列；(2)当k=0时，，∵数列{a n}的各项都为正数，∴数列{a n}是等比数列，设公比为q＞0，∵a2，a4，a5成等差数列，∴a2+a5=2a4，∴，∵a1＞0，q＞0，∴q3-2q2+1=0，化为(q-1)(q2-q-1)=0，解得q=1或．∴或．(3)存在常数λ=，使得a n+a n+2=λa n+1对任意n∈N*都成立．证明如下：∵，∴，∴，即，由于a n＞0，两边同除以a n a n+1，得到，∴=…=，即当n∈N*时，都有，∵a1=a，a2=b，，∴a3=．∴=．∴存在常数λ=，使得a n+a n+2=λa n+1对任意n∈N*都成立．【解析】(1)把，代入，令n=1化简即可证明；(2)当k=0时，，由于数列{a n}的各项都为正数，可得数列{a n}是等比数列，设公比为q＞0，根据a2，a4，a5成等差数列，可得a2+a5=2a4，即，解出即可；(3)存在常数λ=，使得a n+a n+2=λa n+1对任意n∈N*都成立．由，及，可得，由于a n＞0，两边同除以a n a n+1，得到，进而=…=，即当n∈N*时，都有，再利用已知求出a1，a2，a3即可证明．19.在平面直角坐标系x O y中，椭圆C：过点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(x0，y0)在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线l的方程为x0x+3y0y-6=0．①求证：直线l与椭圆C有唯一的公共点；②若点F关于直线l的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标．解：(1)由题意得解得所以所求椭圆C的方程为．(2)联立，消去y得(*)由于点P(x0，y0)在椭圆C上，∴，化为．故(*)可化为．∵．所以方程组仅有一组解(x0，y0)，即直线与椭圆有唯一公共点．②点F(-2，0)，过点F且与直线l垂直的方程为3y0x-x0y+6y0=0．解方程，得，因为P(x0，y0)在椭圆，∴，所以解即为．所以点F(-2，0)关于直线l的对称点的坐标为Q．当x0≠2时，=．所以直线PQ的方程为．即(x-2)y0-yx0+2y=0．∴，即直线过定点M(2，0)．【解析】(1)把A，B的坐标代人椭圆的方程即可解得a2，b2；(2)①把直线l的方程与椭圆的方程联立，证明△=0即可；②把直线l的方程为x0x+3y0y-6=0与过点F且与直线l垂直的方程为3y0x-x0y+6y0=0联立即可得到交点坐标，再利用中点坐标公式即可得到其对称点Q的坐标，得到直线PQ的方程即可证明．20.设函数f(x)=x2-(a-2)x-alnx．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；(3)若方程f(x)=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．解：(1)x∈(0，+∞)．==．当a≤0时，f(x)＞0，函数f(x)在(0，+∞0上单调递增，即f(x)的单调递增区间为(0，+∞)．当a＞0时，由f(x)＞0得；由f(x)＜0，解得．所以函数f(x)的单调递增区间为∞，单调递减区间为．(2)由(1)可得，若函数f(x)有两个零点，则a＞0，且f(x)的最小值，即．∵a＞0，∴．令h(a)=a+-4，可知h(a)在(0，+∞)上为增函数，且h(2)=-2，h(3)==，所以存在零点h(a0)=0，a0∈(2，3)，当a＞a0时，h(a)＞0；当0＜a＜a0时，h(a)＜0．所以满足条件的最小正整数a=3．又当a=3时，f(3)=3(2-ln3)＞0，f(1)=0，∴a=3时，f(x)由两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．(3)∵x1，x2是方程f(x)=c得两个不等实数根，由(1)可知：a＞0．不妨设0＜x1＜x2．则，．两式相减得+alnx2=0，化为a=．∵，当时，f(x)＜0，当∞时，f(x)＞0．故只要证明即可，即证明x1+x2＞，即证明，设，令g(t)=lnt-，则=．∵1＞t＞0，∴g(t)＞0．∴g(t)在(0，1)上是增函数，又在t=1处连续且g(1)=0，∴当t∈(0，1)时，g(t)＜0纵成立．故命题得证．【解析】(1)对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出；(2)由(1)可得，若函数f(x)有两个零点，则a＞0，且f(x)的最小值，即．可化为h(a)=．利用单调性判断其零点所处的，．两式相减得+alnx2=0，化为a=．由，当时，f(x)＜0，当∞时，f(x)＞0．故只要证明即可，即证明，令换元，再利用导数即可证明．21.选修4-1：几何证明选讲如图，圆O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交圆O于点E，连结BE与AC交于点F，求证：AE2=EF•BE．【答案】解：∵△ACD中，CD=AC，∴∠CAD=∠D∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D∵△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∵∠ACB=∠CAD+∠D=2∠D∴∠ABC=2∠D=2∠EBC，从而∠ABE=∠EBC=∠FAE又∵∠AEB=∠FEA，∴△AEB∽△FEA由此可得，即AE2=EF•BE．【解析】等腰△ACD中得∠CAD=∠D，结合圆周角定理证出∠EBC=∠D．等腰△ABC中得到∠ABC=∠ACB，利用△ACD的外角得到∠ACB=∠CAD+∠D=2∠D，从而∠ABC=2∠EBC，所以∠ABE=∠EBC=∠FAE．由∠AEB=∠FEA为两个三角形的公共角，证出△AEB∽△FEA，得到，即得AE2=EF•BE．22.选修4-2：矩阵与变换已知二阶矩阵(1)求矩阵A的特征值和特征向量；(2)设向量，求A5β．【答案】解：(1)矩阵A的特征多项式为f(λ)==(λ-3)(λ+2)令f(λ)=0，得λ=3或λ=-2将λ=3代入二元一次方程组，得，解之得y=0∴矩阵A属于特征值3的特征向量为将λ=-2代入二元一次方程组，得，取x=1得y=-1∴矩阵A属于特征值-2的特征向量为；(2)由(1)知，向量β是矩阵A的属于特征值-2的一个特征向量∴A5β=λ5β=-32=．【解析】(1)根据题意给出矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ-3)(λ+2)，从而解出两个特征值分别为3和-2．再分别将3和-2回代到二元一次方程组，即可解出相应的特征向量．(2)由(1)的结论得向量β是矩阵A的属于特征值-2的一个特征向量，利用特征向量的定义与性质即可算出A5β的值．23.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y中，已知直线L：(t为参数)和曲线C：(t为参数)．若P是曲线C上任意一点，求点P到直线L的距离的最小值及此时点P的坐标．【答案】解：由直线L：，得直线L的普通方程为2x+y-1=0，由曲线C：，得曲线C的普通方程为y=x2-2x+2．∵方程组无解，∴直线L和曲线C没有公共点．由y=x2-2x+2，得y=2x-2，再令2x-2=-2，得x=0，代入曲线y=x2-2x+2，得y=2．∴当点P为(0，2)时，它到直线L的距离最小，最小距离为．【解析】分别化直线L和曲线C的参数方程为普通方程，联立方程组后方程组无解可知直线和曲线相离，由导数求出和直线平行且与曲线相切的直线与曲线的切点，再由点到直线的距离公式求解．24.选修4-5：不等式选讲若正数a，b满足a+b=1，求的最小值．【答案】解：∵正数a，b满足a+b=1，∴(3a+2)+(3b+2)=7，∴=•()•[(3a+2)+(3b+2)]=[5++]≥(5+2)=，当且仅当=，即a=，且b=时，等号成立，故的最小值为．【解析】由题意可得(3a+2)+(3b+2)=7，再根据=[5++]，利用基本不等式求得它的最小值．25.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=4，CB=4，CC1=，∠ACB=90°，点M在线段A1B1上．(1)若A1M=3MB1，求异面直线AM与A1C所成角的余弦值；(2)若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．【答案】解：(1)分别以CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则C(0，0，0)，A(4，0，0)，A1(4，0，2)，B1(0，4，2)∵A1M=3MB1，∴M(1，3，2)，可得=(4，0，2)，=(-3，3，2)，∴cos＜，＞===-由于异面直线所成角为直角或锐角，所以异面直线AM与A1C所成角的余弦值为；(2)由(1)得B(0，4，0)，B1(0，0，2)∴=(-4，4，0)，=(-4，0，2)设=(a，b，c)是平面ABC1的一个法向量，可得，取a=1，得b=1，c=∴=(1，1，)，而直线AM与平面ABC1所成角为30°，可得与所成角为60°或120°∴|cos＜、＞|=，设A1M=x，则=(x-4，4-x，2)即===解之得x=2或6，由于M在A1B1上可得x＜6，故A1M=x=2即点M为线段A1B1的中点时，满足直线AM与平面ABC1所成角为30°．【解析】(1)以CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．算出向量、的坐标，利用空间向量的夹角公式，即可求出异面直线AM与A1C所成角的余弦值为；(2)利用垂直向量数量积为零的方程，建立方程组解出=(1，1，)是平面ABC1的一个法向量，设A1M=x，则=(x-4，4-x，2)，结合题意可得与所成角为60°A1B1的中点时，满足直线AM与平面ABC1所成角为30°．26.设f(x)=(1+x)(1+2x)…(1+nx)(其中，n∈N*且n≥2)，其展开后含x r项的系数记作a r(r=0，1，2，…，n)．(1)求a1(用含n的式子表示)；(2)求证：．【答案】解：(1)由题意从函数的解析式的n个括号中，选一个x，余下的选常数，∴a1=1+2+…+n=．(2)由题意从函数的解析式的n个括号中，选两个含有x的项，余下的选常数，即可得到a2，∴a2=1×2+1×3+…+1•n+2×3+2×4+…+2•n+…+(n-1)•n====∴．【解析】(1)从函数的解析式的n个括号中，选一个x，余下的选常数，即可得到a1(用含n的式子表示)；(2)从函数的解析式的n个括号中，选两个x项，余下的选常数，即可得到a2，然后证明：．。
2013苏州、无锡、常州、镇江四市高三二模数学试卷及答案
苏、锡、常、镇四市2013届高三教学情况调查（二）2013.5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上；1、 已知i 是虚数单位，复数31i z i+=+对应的点在第 象限。
2、 设全集U R =，集合{}13A x|x =-≤≤，集合{}1B x |x =>，则UA CB = 。
3、 已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，则数据1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的方差为 。
4、 “3x >”是“5x >”的条件。
（请在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）。
5、 若双曲线()2210y x a a -=>的一个焦点到一条渐近线的距离等，则此双曲线方程为 。
6、 根据右图所示的流程图，输出的结果T 为 。
7、 在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为 。
8、 在不等式组031y x x y x ⎧⎪≤⎪<≤⎨⎪⎪>⎩，所表示的平面区域内的所有格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为 。
9、 在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有221cos αcos β+=。
类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCD A BC D -中，对角线1AC 与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有 。
10、 已知圆C ：()()()2210x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于P 、Q 两点，若90PCQ ︒∠=，则实数a = 。
11、 分别在曲线x y e =与直线1y ex =-上各取一点M 与N ，则MN 的最小值为 。
12、 已知向量a ，b 满足a = ，1b = ，且对一切实数x ，a xb a b +≥+ 恒成立，则a 与b 的夹角大小为 。
2013年江苏省高考数学试卷及解析
(1)求索道 的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
1.函数 的最小正周期为▲.
解析：
2.设 (i为虚数单位)，则复数 的模为▲.
解析：
3.双曲线 的两条渐近线的方程为▲.
解析：
4. 集合 共有▲个子集.
解析： （个）
5.右图是一个算法的流程图，则输出的 的值是▲
解析：经过了两次循环，n值变为3
6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
解不等式得到 的解集用区间表示为
12.在平面直角坐标系 中，椭圆 的标准方程为 ，右焦点为 ,右准线为 ，短轴的一个端点为 ，设原点到直线 的距离为 ， 到 的距离为 .若 ，则椭圆的离心率为▲.
解析：
由题意知
所以有 两边平方得到 ，即
两边同除以 得到 ，解得 ，即
13.平面直角坐标系 中，设定点 ， 是函数 图像上一动点，若点 之间最短距离为 ，则满足条件的实数 的所有值为▲.
时， 有2个零点
时， 有1个零点
综上所述： 或 时， 有1个零点
时， 有2个零点
平面
为 中点
在平面 中， 在平面外
平面
与 相交于
在平面 中
平面 平面
(2) 平面 平面
为交线
在 中，
平面
与 相交于
在平面 中
平面
17.（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系 中，点 ，直线 .设圆的半径为1，圆心在 上.
江苏省2013年高考数学模拟专家卷(2)
2013年江苏高考数学模拟试题（二）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合M ＝{x ｜y ＝lg x }，N ＝{ x ｜y ＝1－x }，则M ∩N ＝ ▲ ． 2．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i （i 是虚数单位），则复数z 的实部为 ▲ ． 3．根据如图所示的算法流程图，输出的结果T 为 ▲ ．4．上图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上(含60)为考试合格，则这次考试的合格率为 ▲ ．5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5的概率是 ▲ ．6、在边长为3的正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，则FD →²DE →的值为 ▲ ． 7．若直线y ＝kx －3与曲线y ＝2ln x 相切，则实数k ＝ ▲ ．8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (2013)＝ ▲ ．9．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋2x －1，则不等式f (x )＜－1的解集是 ▲ ． 10. 已知锐角,A B 满足tan()2tan A B A +=，则tan B 的最大值是 ▲ ．11．已知2()23f x x x =-+，()1g x kx =-，则“|k |≤2”是“f (x )≥g (x )在R 上恒成立”的 ▲ （填“充分但不必要条件”、“必要但不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中的一个．） 12．已知数列{a n }满足3a n ＋1+a n ＝4(n ∈N*)，且a 1＝9，其前n 项之和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1125的最小整数n 是 ▲ ．13．在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积 为 ▲ ．14．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方 形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN ＝ ▲ ．（第3题图）(第4题图） N二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案写在答卷纸．．．相应位置上． 15．（本题满分14分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ． （1）求角B 的大小；（2）求sin A ＋sin C 的取值范围．16．（本题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点．现将△ADE 沿DE 折起，得四棱锥A －BCDE ．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）若平面ADE ⊥平面BCDE ，求四面体FDCE 的体积．17.（本小题满分14分）如图，现有一个以∠AOB 为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB ．现欲在弧AB 上取不同于A 、B 的点C ，用渔网沿着弧AC (弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上)、半径OC 和线段CD (其中CD ∥OA )，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若OA ＝1km ，∠AOB ＝π3．求所需渔网长度(即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和)的取值范围．（第16题图）ABEO A BO B C D 养殖区域Ⅰ养殖区域Ⅱ18．（本题满分16分）已知椭圆C ： x 2a 2＋ y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的左焦点为F 1（－3，0），过点F 1作一条直线l 交椭圆于A ，B两点，点A 关于坐标原点O 的对称点为A 1，两直线AB ，A 1B 的斜率之积为－1625．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知D （m ，0）为F 1右侧的一点，连AD ，BD 分别交椭圆左准线于M ，N 两点，若以MN 为直径的圆恰好过点F 1，求m 的值．19．（本题满分16分）已知函数f (x )＝x 3＋x 2－ax (a ∈R )．（1）当a ＝0时，求与直线x －y －10＝0平行，且与曲线y ＝f (x )相切的直线的方程； （2）求函数g (x )＝f (x )x－a ln x (x ＞1)的单调递增区间； （3）如果存在a ∈[3，9]，使函数h (x )＝f (x )＋f '(x )(x ∈[－3，b ])在x ＝－3处取得最大值，试求b 的最大值．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足1111n n n n a a n a a +++-=-+（n ∈N*），且a 2=6．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设n n ab n c=+（n ∈N*，c 为非零常数），若数列{b n }是等差数列，记c n ＝b n 2n ，S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求S n ．数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1．求⊙O 的半径．B ．选修4—2：矩阵与变换已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A (0, 2)，B (1，1)，C (1，3)．若△ABC 在一个切变变换T 作用下变为△A 1B 1C 1，其中B (1，1) 在变换T 作用下变为点B 1(1，－1)． （1）求切变变换T 所对应的矩阵M ；（2）将△A 1B 1C 1绕原点O 按顺时针方向旋转30 后得到△A 2B 2C 2．求△A 2B 2C 2的面积．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 是以点C (2，－π6)为圆心、2为半径的圆．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）求圆C 被直线l ：θ＝－5π12 所截得的弦长．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 都是正实数，且a ＋b ＝2，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1.A【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．某校组织一次篮球投篮测试，已知甲同学每次投篮的命中率均为12．（1）若规定每投进1球得2分，求甲同学投篮4次得分X 的概率分布和数学期望；（2）假设某同学连续3次投篮未中或累计7次投篮未中，则停止投篮测试，问：甲同学恰好投篮10次后，被停止投篮测试的概率是多少？23．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n．（1）求S 2，S 4的值；（2）若T n ＝7n ＋1112，试比较2n S 与T n 的大小，并给出证明．参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．(0，1] 2．3 3．8 4．72% 5．136．－32 7．2e 8．－13 9．(－2，0)∪(1＋3，＋∞) 10．2411．充分但不必要条件 12．7 13．4 14．5－12二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）解：（1）方法一：由a cos C ＋c cos A ＝2b cos B 及余弦定理，得a ³a 2＋b 2－c 22ab ＋c ³b 2＋c 2－a 22bc ＝2b ³a 2＋c 2－b 22ac． ……………… 2分化简，得a 2＋c 2－b 2＝ac ．所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12． ………………………………………………………… 5分因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3． ………………………………………………………… 7分方法二：由a cos C ＋c cos A ＝2b cos B 及正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ． ……………………………………… 2分即sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ≠0，所以cos B ＝12． ………………………………………………………… 5分因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3． ………………………………………………………… 7分（2）sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(2π3－A )＝32sin A ＋32cos A＝3sin(A ＋π6)． ……………………………………………… 11分因为0＜A ＜2π3，所以π6＜A ＋π6＜5π6，所以12＜sin(A ＋π6)≤1，所以sin A ＋sin C 的范围是(32，3]． ……………………………………………… 14分 16．（本题满分14分）证明：（1）取线段AC 的中点M ，连结MF 、MB ． 因为F 为AD 的中点，所以MF ∥CD ，且MF ＝12CD ．…………………… 2分在折叠前，四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以BE ∥CD ，且BE ＝12CD ．所以MF ∥BE ，且MF ＝BE ． …………………… 4分 所以四边形BEFM 为平行四边形，故EF ∥BM ． 又EF ⊄平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ……………………………………………… 6分 （2）在折叠前，四边形ABCD 为矩形，AD ＝2，AB ＝4，E 为AB 的中点， 所以△ADE 、△CBE 都是等腰直角三角形，且AD ＝AE ＝EB ＝BC ＝2．所以∠DEA ＝∠CEB ＝45°，且DE ＝EC ＝22． 又∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝180°， 所以∠DEC ＝90°．又平面ADE ⊥平面BCDE ，平面ADE ∩平面BCDE ＝DE ，CE ⊂平面BCDE ，所以CE ⊥平面ADE ，即CE 为三棱锥C －EFD 的高．………………………… 10分 因为F 为AD 的中点，所以S △EFD ＝12³12³AD ²AE ＝14³2³2＝1．所以四面体FDCE 的体积V ＝13³S △EFD ²CE ＝13³1³22＝223． …………… 14分17.（本小题满分14分）解：设∠AOC ＝θ，设渔网的长度为f (θ)．由CD ∥OA ，∠AOB ＝π3，∠AOC ＝θ，得∠OCD ＝θ，∠ODC ＝2π3，∠COD ＝π3－θ．在ΔOCD 中，由正弦定理，得CD ＝23sin(π3－θ)，θ∈(0，π3) ……………………6分所以，f (θ)＝θ＋1＋23sin(π3－θ)．……………………………… 8分∵ f ′ (θ)＝1－23cos(π3－θ)，因为θ∈(0，π3)，所以π3－θ∈(0，π3)，令f ′ (θ)＝0，得cos(π－θ)＝3，所以π－θ＝π，所以θ＝π6．答：所需渔网长度的取值范围是(2，π＋6＋236]．………………………………………14分18．（本题满分16分）解：（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 1(－x 1，－y 1)．所以，AB k ＝y 2－y 1x 2－x 1，1A B k ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，于是AB k ²1A B k ＝y 22－y 12x 22－x 12，由⎩⎨⎧x 12a 2＋ y 12b 2＝1，x 22a 2＋ y 22b 2＝1，得x 22－x 12a 2＋ y 12－y 12b 2＝0，所以AB k ²1A B k ＝－b 2a 2． …………………………5分所以，b 2a 2＝1625，所以b a ＝45．设b ＝4k ，a ＝5k ，其中k ＞0．由c ＝3，得25k 2－16k 2＝9，所以k ＝1所以，椭圆C ：x 225＋ y 216＝1． ………………………………………………………………………7分（2）①若l 存在斜率k 时，设l ：y ＝k (x ＋3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋3)，x 225＋ y 216＝1消去y ，得(16＋25k 2)x 2＋150k 2x ＋225 k 2－400＝0． 所以222212121212222150225400256,(3)(3)162516251625k k k x x x x y y k x x k k k -+=-=⇒=++=-+++．………10分设342525(,),(,)33M y N y --，由M 、A 、D 共线，得131(325)3()m y y m x +=-，同理242(325)3()m y y m x +=-． …………………………………………………………………………12分又131411111616(,),(,),033F M y F N y F M F N F M F N 由已知得=-=-⊥⇒∙=，得212343412325)256,99()()m y y y y y y m x m x （而，即+=-=--222561625k k -+²212325)9()()m m x m x （+--＝－2569，整理得 22(1)(16400)0k m +-=，所以m ＝±5，因为m ＞－3，所以m ＝5．……………………16分19．（本题满分16分） 解：（1）设切点为T (x 0，x 03＋x 02)，由f '(x )＝3x 2＋2x 及题意得3 x 02＋2 x 0＝1． …………………… 2分解得x 0＝－1，或x 0＝13．所以T (－1，0)或T (13，427)．所以切线方程为x －y ＋1＝0或27x －27y －5＝0． …………………… 4分（2）因为g (x )＝x 2＋x －a －a ln x (x ＞1)，所以由g '(x )＝2x ＋1－a x＞0，得2x 2＋x －a ＞0． ……………………………… 6分令φ(x )＝2x 2＋x －a (x ＞1)，因为φ(x )在(1，＋∞)递增，所以φ(x )＞φ(1)＝3－a ． 当3－a ≥0即a ≤3时，g (x )的增区间为(1，＋∞)； ……………………… 8分 当3－a ＜0即a ＞3时，因为φ(1)＝3－a ＜0，所以φ(x )的一个零点小于1、另一个零点大于1．由φ(x )＝0得零点x 1＝－1－1＋8a 4＜1，x 2＝－1＋1＋8a4＞1，从而φ(x )＞0(x ＞1)的解集为(－1＋1＋8a 4，＋∞)，即g (x )的增区间为(－1＋1＋8a4，＋∞)． …………………………………… 10分（3）方法一：h (x )＝x 3＋4x 2＋(2－a )x －a ，h′(x )＝3x 2＋8x ＋(2－a )．因为存在a ∈[3，9]，令h′(x )＝0，得x 1＝－4－3a ＋103，x 2＝－4＋3a ＋103．当x ＜x 1或x ＞x 2时，h′(x )＞0；当x 1＜x ＜x 2时，h′(x )＜0．必有⎩⎨⎧x 1≤－3，x 2＞－3，解得a ≥5，即a ∈[5，9]． ………………………………………… 13分所以存在a ∈[5，9] 使h (x )(x ∈[－3，b ])在x ＝－3处取得最大值的充要条件为h (－3)≥h (b )，即存在a ∈[5，9] 使(b ＋3)a －(b 3＋4b 2＋2b －3)≥0成立．因为b ＋3＞0，所以9(b ＋3)－(b 3＋4b 2＋2b －3)≥0，即(b ＋3)( b 2＋b －10)≤0.解得－1－412≤b ≤－1＋412，所以b 的最大值为－1＋412． …………………… 16分方法二：h (x )＝x 3＋4x 2＋(2－a )x －a ，据题意知，h (x )≤h (－3)在区间[－3，b ]上恒成立．即(x 3＋27)＋4(x 2－9)＋(2－a )(x ＋3)≤0，(x ＋3)(x 2＋x －1－a )≤0 ①． 若x ＝－3时，不等式①成立；若－3＜x ≤b 时，不等式①可化为x 2＋x －1－a ≤0，即x 2＋x ≤1＋a ②．……… 13分令ψ(x )＝x 2＋x ．当－3＜b ≤2时，ψ(x )在区间[－3，b ]上的最大值为ψ(－3)＝6， 不等式②恒成立等价于6≤1＋a ，a ≥5，符合题意；当b ≥2时，ψ(x )的最大值为ψ(b )＝b 2＋b ，不等式②恒成立等价于b 2＋b ≤1＋a ． 由题意知这个关于a 的不等式在区间[3，9]上有解．故b 2＋b ≤(1＋a )max ，即b 2＋b ≤10，b 2＋b －10≤0，解得2＜b ≤－1＋412．综上所述，b 的最大值为－1＋412，此时唯有a ＝9符合题意．…………………… 16分20．（本题满分16分）解：（1）由1111n n n n a a n a a +++-=-+，得(n －1)a n ＋1－(n ＋1)a n ＝－(n ＋1)，当n ≥2时，有a n ＋1 n ＋1－a n n －1＝－1 n －1， ………………………………………………………… 3分 所以，a n ＋1 n (n ＋1)－a n (n －1)n ＝－1 n (n －1)＝－(1 n －1－1n)， ……………………………… 6分由叠加法，得 当n ≥3时，a n ＝n (2n －1)． ……………………………… 8分把n ＝1，a 2＝6代入1111n n n n a a n a a +++-=-+，得a 1＝1，经验证：a 1＝1，a 2＝6均满足a n ＝n (2n －1)． 综上，a n ＝n (2n －1)，n ∈N*． ………………………………………………………… 10分（2）由（1）可知：b n ＝n (2n －1)n ＋c ，于是b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c， 由数列{b n }是等差数列，得b 1＋b 3＝2 b 2，即11＋c ＋153＋c ＝122＋c ，解得c ＝－12（c ＝0舍去）．此时，b n ＝2n ，所以，数列{b n }是等差数列．所以c ＝－12满足题意．……………………… 13分所以，c n ＝n2n －1．所以S n ＝1＋221＋322＋……＋n 2n －1，由错位相减法，得S n ＝4－n ＋22n －1．……………………… 16分21．A ．选修4—1：几何证明选讲又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC ． 所以3θ ＝ 90︒．所以θ ＝ 30︒． 又设圆的半径为r ，在Rt△POC 中，r ＝ CP ²t A n30︒ ＝ 1³33 ＝ 33． ………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）由题意知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1． ………………………………………………… 4分（2）因为△ABC 在变换T 作用下变为△A 1B 1C 1，三个顶点的坐标分别是(0, 2)，(1，－1)和(1，1)，其面积为1．而旋转变换不改变图形的形状，所以其面积不变，依然为1．所以，△A 2B 2C 2的面积为1． ………………………………………………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）圆C 是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos(θ＋π6) ． ………………………………5分（2）将θ＝－5π12代入圆C 的极坐标方程ρ＝4cos(θ＋π6)，得ρ＝22，所以，圆C 被直线l ：θ＝－5π12 所截得的弦长为22． ………………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：方法一：左边－右边＝a 2a ＋1＋b 2b ＋1－1＝a 2(b ＋1)＋b 2(a ＋1)－(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1)＝a 2b ＋ab 2＋a 2＋b 2－ab －a －b －1(a ＋1)(b ＋1)． …………………………… 4分因边a ＋b ＝2，所以左边－右边＝1－ab(a ＋1)(b ＋1)． …………………………… 6分因为a ，b 都是正实数，所以ab ≤(a ＋b )24＝1． ………………………… 8分所以，左边－右边≥0，即a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. …………………………… 10分方法二：由柯西不等式，得 (a 2a ＋1＋b 2b ＋1)[(a ＋1)2＋(b ＋1)2]≥(a ＋b )2． ……………………………… 6分 因为a ＋b ＝2，所以上式即为(a 2a ＋1＋b 2b ＋1)³4≥4．即a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. ……………………………………………………… 10分22．解：（1）X 的概率分布列为11 ……………………………………………… 2分 E (X )＝0³116＋2³14＋4³38＋6³14＋8³116＝4．（或E (X )＝8³12＝4．） …………… 4分（2）①连续3次投篮未中，不同投法为：1＋C 16＋C 26＋(C 36－4)＋(C 13＋C 13)＝44（种）； ②累计7次投篮未中，不同投法为：C 13＋1＝4（种）．所以，该同学恰好投篮10次停止投篮测试的概率为P ＝481024＝364．…………………… 10分23．解：（1）S 2＝1＋12＝32，S 4＝1＋12＋13＋14＝2512． ……………………………… 2分（2）当n ＝1，2时，T 1＝7＋1112＝32，T 2＝7³2＋1112＝2512，所以，2n S ＝T n ．当n ＝3时，T 3＝7³3＋1112＝83，S 8＝1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＝761280＞83＝T 3．于是，猜想，当n ≥3时，2n S ＞T n ． ……………………………… 4分下面用数学归纳法证明：①当n ≥3，显然成立；②假设n ＝k (k ≥3)时，2k S ＞T k ；那么，当n ＝k ＋1时，12k S ＝2k S ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1＞7k ＋1112＋（12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k －1）＋（12k ＋2k －1＋1＋12k ＋2k －1＋2＋…＋12k ＋1） ＞7k ＋1112＋12k ＋2k －1³2k －1＋12k ＋1³2k －1＝7k ＋1112＋13＋14＝7(k +1)＋1112，这就是说，当n ＝k ＋1时，2n S ＞T n ．根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n ，都有2n S ＞T n ．综上，当n ＝1，2时，2n S ＞T n ；当n ≥3时，2n S ＞T n ． ……………………………… 10分。
【解析版】江苏省南京市建邺区2013年高考数学模拟试卷
江苏省南京市建邺区2013年高考数学模拟试卷一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．（5分）（2013•建邺区模拟）已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则：f：x→y=x2﹣2x+2若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞1考点：映射．专题：计算题．分析：设x2﹣2x+2=k，据题意知此方程应无实根，用判别式表示方程无实根，即判别式小于0，解出k的值．解答：解：设x2﹣2x+2=k，据题意知此方程应无实根∴△=（﹣2）2﹣4•（2﹣k）＜0，1﹣2+k＜0∴k＜1，故选B点评：本题考查映射的意义，本题解题的关键是利用一元二次方程的解的判别式表示出符合题意的不等式．2．（5分）（2013•建邺区模拟）（1﹣x）5•（1+x）3的展开式中x3的系数为（）A．﹣6 B．6C．﹣9 D．9考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：先把（1﹣x）5•（1+x）3等价转化为（1﹣x）2•[（1﹣x）（1+x）]3，进一步等价转化为（x2﹣2x+1）•（1﹣3x2+3x4﹣x6），由此可求出展开式中x3的系数．解答：解：（1﹣x）5•（1+x）3=（1﹣x）2•[（1﹣x）（1+x）]3=（x2﹣2x+1）•（1﹣3x2+3x4﹣x6）∴展开式中x3的系数为（﹣2）•（﹣3）=6．故选B．点评：本题考查二项式系数的性质，解题时要认真审题，根据多项式的运算法则合理地进行等价转化．3．（5分）（2013•建邺区模拟）等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9﹣的值是（）A．14 B．15 C．16 D．17考点：等差数列的性质．分析：先由等差数列的性质a4+a6+a8+a10+a12=120得a8，再用性质求解．解答：解：依题意，由a4+a6+a8+a10+a12=120，得a8=24，所以a9﹣=（3a9﹣a11）=（a9+a7+a11﹣a11）=（a9+a7）==16故选C点评：本题主要考查等差数列的性质．4．（5分）（2013•建邺区模拟）已知，则sin2x的值为（）A．B．C．D．考点：二倍角的正弦．专题：计算题．分析：解法1：利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，然后将化简后的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2x的值；解法2：令，求出x，原式变形为sinα的值为，把x的值代入所求式子中，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，将sinα的值代入即可求出值．解答：解：法1：由已知得，两边平方得，求得；法2：令，则，所以．故选D点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5．（5分）（2013•建邺区模拟）设地球半径为R，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于南纬度75°东经120°，则甲、乙两地球面距离为（）A．R B．R C．RD．R考点：球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：甲、乙两地都在东经120°，就是都在同一个大圆上，求出纬度差，即可求出球面距离．解答：解：由于甲、乙两地都在东经120°，就是都在同一个大圆上，它们的纬度差是：120°，就是大圆周的则甲、乙两地球面距离为：故选D．点评：本题考查球面距离，好在两点在同一个经度上，简化了计算，是基础题．6．（5分）（2013•建邺区模拟）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．专题：压轴题．分析：要判断“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”什么条件，我们要先假设“a＞0且b2﹣4ac＜0”成立，然后判断“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”是否成立，然后再假设“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”成立，再判断“a＞0且b2﹣4ac＜0”是否成立，然后根据结论，结合充要充要条件的定义，即可得到结论．解答：解：若a＞0且b2﹣4ac＜0，则对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0，反之，则不一定成立．如a=0，b=0且c＞0时，也有对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0．故“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的充分不必要条件故选A点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．7．（5分）（2013•建邺区模拟）双曲线x2﹣y2=2012的左、右顶点分别为A1、A2，P为其右支上一点，且∠A1PA2=4∠PA1A2，则∠PA1A2等于（）A．无法确定B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x，y），y＞0，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，则可得，利用∠A1PA2=4∠PA1A2，即可求∠PA1A2的值．解答：解：设P（x，y），y＞0，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，则，（其中a2=2012）∴∴，。
2013年江苏省高考数学试卷答案与解析
2013年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π．2x+T=||=||=2．（5分）（2013•江苏）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为5．=53．（5分）（2013•江苏）双曲线的两条渐近线方程为．的而双曲线的渐近线方程为±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：4．（5分）（2013•江苏）集合{﹣1，0，1}共有8个子集．5．（5分）（2013•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是3．6．（5分）（2013•江苏）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为2．7．（5分）（2013•江苏）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．都取到奇数的概率为故答案为8．（5分）（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2= 1：24．9．（5分）（2013•江苏）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是[﹣2，]．所以当直线）时，故答案为10．（5分）（2013•江苏）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．=，=12，===1+2，，，所以故答案为：11．（5分）（2013•江苏）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．12．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d 2，若d2=，则椭圆C的离心率为．=的关系，可求得x==，则，整理得a，得（）﹣，解得=．故答案为：13．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为﹣1或．，利用两点间的距离公式可得=，∴，解得．14．（5分）（2013•江苏）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n的值为12．由题意可得，解之可得：===，=＞，，即，即最大为二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于由向量坐标的加法运算求出+，+列式整理得到）由==．即）由得：，得：．所以16．（14分）（2013•江苏）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．17．（14分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x ﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．）联立得：，=1﹣x+3=2，≤．18．（16分）（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？cosA=cosC=，所以sinA=，，=sinAcosC+cosAsinC=由正弦定理=×=200），即t=min）由正弦定理BC=≤解得[19．（16分）（2013•江苏）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是其前n项和．记b n=，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0．代入中整理得到的形式，说明，成等比数列时，则，得：，，即，而20．（16分）（2013•江苏）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．）上是单调减函数，转化为﹣﹣，．结合上述两种情况，有=﹣≤﹣．当时，时，x=（时，＜＜（＜（[）在（＜=）上时单调增函数，所）上只有一个零点．）在（（（＜，即）（[，）在（，＞﹣）在（，，时，时，评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）（2013•江苏）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．求证：AC=2AD．，可得B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）（2013•江苏）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．1=，即，C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．的参数方程为，解得，，D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．（2013•江苏）已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•江苏）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．}}=＞=所成角的余弦值为的法向量为的法向量为|=|，=．所成二面角的正弦值为26．（10分）（2013•江苏）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k∈N*）时，．记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）．对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数．21。
【解析版】江苏省盐城市2013届高三第二次模拟(3月)考试数学试题
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1
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解题过程，请把答案写在答题纸的指定
位置上． 1．（5分）（2013•盐城二模）若集合A={1，m ﹣2}，且A ∩B={2}，则实数m 的值为 4 ．
2．（5分）（2013•盐城二模）若复数z 满足（1﹣i ）z=2（i 为虚数单位），则|z|= ．
故答案为．3．（5分）（2013•盐城二模）现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为
．
有另一件不合格的抽法有
P=故答案为．4．（5分）（2013•盐城二模）已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积是 ．
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2 ××故棱锥的高为=4
V=
=
故答案为：5．（5分）（2013•盐城二模）若，
是两个单位向量，
，
，且⊥，则
，
的夹角为
．
＜
，﹣，）﹣，
＞﹣，
＞．再由＜，
，可得＜，
，．6．（5分）（2013•盐城二模）如图，该程序运行后输出的结果为 16 ．
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3
7．（5分）（2013•盐城二模）函数
，x ∈[﹣π，0]的单调递增区间为 ．
∈，﹣
，﹣﹣﹣
，﹣
，则，﹣
﹣，﹣
∴由﹣≤≤得：≤）在﹣
，8．（5分）（2013•盐城二模）若等比数列{a n }满足a m ﹣3=4且
（m ∈N *
且m ＞4），则a 1a 5的值
为 16 ．。
2013年江苏省高考数学模拟卷二
2013年江苏省高考数学模拟卷二1. 已知i 是虚数单位，若3ii(,)ia b a b =∈++R ，则ab 的值为 ． 2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1， 则这组数据的方差为 ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则AB = ．5. 方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ ．6．在ABC △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ．7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ．8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为 ．9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为26，则三棱锥P ABC -的体积为 ．10．已知O 为ABC △的外心，若51213OA OB OC +-=0，则C ∠等于 ． 11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ．12. 若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ． 13．已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是 ．14. 已知曲线C ：()(0)af x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则OMN △的面积为 ．结束开始1i ← 11S S ←+ 1i i ←+3i > 输出S Y N（第3题图） 12S ←15. 如图，AB ，CD 均为圆O 的直径，CE ⊥圆O 所在的平面，BFCE .求证：⑴平面BCEF ⊥平面ACE ； ⑵直线DF 平面ACE ．16．已知ABC △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S =． ⑴求cos A 的值；⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．ABC DOEF（第15题图）17．已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，12OC r =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC 为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率32e =，12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ．⑴求直线OP 的方程； ⑵求1PQQA 的值；⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线， 分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC △和OMN △的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最大值．A 1 A 2 OP Q MNB C x y （第18题图） AB OC D（第17题甲图） A B O CD（第17题乙图）E19．已知数列{}n a 满足：12(0)a a a =+≥，12n n a aa +=+，*n ∈N ． ⑴若0a =，求数列{}n a 的通项公式；⑵设1n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：1n S a <．20．已知函数2()ln f x x ax x =--，a ∈R ．⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数，求a 的取值范围；⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c （点P 除外），该函数图象在点P 处的切线为l ，且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧，试求所有满足条件的a 的值．2013年江苏省高考数学模拟卷二参考答案一、填空题1.3-；2. 0.032；3.58； 4. {1,1}-； 5.(1,5)-； 6.112； 7.1； 8.55； 9.9； 10.3π4； 11. 38； 12. 2312+； 13.5[,3)4； 14. 4二、解答题15.⑴因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面，所以CE BC ⊥，………………………………………………………………………………2分 因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC BC ⊥， ……………………………3分 因为AC CE C =，,AC CE ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，………………………………………………………………………5分 因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE ．…………………………………7分 ⑵由⑴AC BC ⊥，又因为CD 为圆O 的直径， 所以BD BC ⊥，因为,,AC BC BD 在同一平面内，所以AC BD ，…………………………………………9分 因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，所以BD 平面ACE ．……………………11分 因为BF CE ，同理可证BF 平面ACE ， 因为BD BF B =，,BD BF ⊂平面BDF ， 所以平面BDF 平面ACE ，因为DF ⊂平面BDF ，所以DF 平面ACE ．……………………………………………14分16.⑴由32AB AC S =，得31cos sin 22bc A bc A =⨯，即4sin cos 3A A =．……………2分代入22sin cos 1A A =+，化简整理得，29cos 25A =．……………………………………4分由4sin cos 3A A =，知cos 0A >，所以3cos 5A =．………………………………………6分⑵由2b a c =+及正弦定理，得2sin sin sin B A C =+，即2sin()sin sin A C A C =++，………………………………………………………………8分 所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++．①由3cos 5A =及4sin cos 3A A =，得4sin 5A =，……………………………………………10分代入①，整理得4sin cos 8CC -=．代入22sin cos 1C C =+，整理得265sin 8sin 480C C --=，……………………………12分解得12sin 13C =或4sin 5C =-．因为(0,)C ∈π，所以12sin 13C =．…………………………………………………………14分17．如图甲，设DBC α∠=，则3cos 2r BD α=，3sin 2rDC α=， ………………………………………………2分所以29sin 216BDC S r α=△……………………………………………………………4分2916r ≤，当且仅当π4α=时取等号， ………………………………6分此时点D 到BC 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r ． …………………………………………………7分如图乙，设EOD θ∠=，则cos OE r θ=，sin DE r θ=， 所以21(1cos )sin 2BDE S r θθ=+△，ππ[,]32θ∈ ． …………………………………10分 设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+，则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-，当ππ[,]32θ∈时，()0f θ'≤，所以π3θ=时，即点E 与点C 重合时，BDE △的面积最大值为2338r ． ………………………………………………………13分 因为22339816r r >，所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为2338r ．…………14分18．⑴连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =，又122A A a =，所以1260A A P ∠=.所以260POA ∠=，所以直线OP 的方程为3y x =.……………………………………3分 ⑵由⑴知，直线2A P 的方程为3()y x a =--，1A P 的方程为3()3y x a =+， 联立解得2P ax =. ………………………………………………………………………5分 因为32e =，即32c a =，所以2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由22223(),341,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，…………………………………………………………7分 所以1()3274()7a a PQ a QA a --==---． ………………………………………………………………8分 ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得22(,)1414a ak B k k ++， AB OCD （第17题甲图） AB OCD （第17题乙图） E所以22114k OB a k +=+；……………………………………………………………………10分用1k-代替上面的k ，得2214k OC a k +=+． 同理可得，221a OM k =+，221akON k =+．…………………………………………13分所以4122214(14)(4)kS S OB OC OM ON a k k ⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅++．………………………14分因为22221115(14)(4)4()17k k k k k=++++≤，当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值为45a ．………………………………16分19．⑴若0a =时，12a =，12n n a a +=，所以212n n a a +=，且0n a >．两边取对数，得1lg 22lg lg n n a a +=+，……………………………………………………2分化为11lg lg 2(lg lg 2)2n n a a +=++，因为1lg lg22lg2a =+，所以数列{lg lg2}n a +是以2lg2为首项，12为公比的等比数列．……………………4分 所以11lg lg22()lg22n n a -=+，所以2212n n a --=．………………………………………6分⑵由12n n a a a +=+，得212n n a a a +=+，① 当2n ≥时，212n n a a a -=+，②①-②，得1112()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+，…………………………………………8分 由已知0n a >，所以1n n a a +-与1n n a a --同号．…………………………………………10分因为21a a =+，且0a >，所以222212(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立， 所以210a a -<，所以10n n a a +-<．………………………………………………………12分 因为1n n n b a a +=-，所以1()n n n b a a +=--， 所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----+++11111()n n a a a a a ++=--=-<．…………………………………………………………16分20．⑴2121()21(0)ax x f x ax x x x-'=--=->+，………………………………………2分只需要2210ax x +-≤，即22111112()24a x x x -=--≤，所以18a -≤．…………………………………………………………………………………4分⑵因为1()21f x ax x'=--．所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦，则(2)0g =．212(4)1112()242ax a x g x ax a x x---'=-+-=-．………………………………………6分 若0a =，则2()2xg x x-'=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<，所以()(2)0g x g =≥，12,c c 在直线l 同侧，不合题意；…………………………………8分若0a ≠，12(2)()4()a x x a g x x -+'=-， 若18a =-，2(1)2()0xg x x -'=≥，()g x 是单调增函数， 当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，符合题意；…10分若18a <-，当1(,2)4x a ∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g >=，当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(2)0g x g >=，不合题意； …………………………12分若108a -<<，当1(2,)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=，不合题意； ……………………………14分 若0a >，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=， 当(2.)x ∈+∞时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，不合题意．故只有18a =-符合题意． ………………………………………………………………16分。
2013年江苏省高考数学试卷学生版(2)
2013 年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计 70 分．请把答案填写在答题卡相印地点上．1．（5 分）（2013?江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为．2．（ 5 分）（ 2013?江苏）设z=（2﹣i）2（i 为虚数单位），则复数z 的模为．3．（5 分）（2013?江苏）双曲线的两条渐近线方程为4．（5 分）（2013?江苏）会合 { ﹣1，0，1} 共有个子集．5．（ 5 分）（ 2013?江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值为．．6．（ 5 分）（ 2013?江苏）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5 次训练成绩（单位：环），结果以下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳固（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．7．（5分）（江苏）此刻某类病毒记作m n ，此中正整数m，n（m≤7，n 2013?X Y≤9）能够随意选用，则 m，n 都取到奇数的概率为．．（分）（2013?江苏）如图，在三棱柱1 1 1 ﹣ABC中，D，E，F分别是AB，8 5 A B C，AA1的中点，设三棱锥F﹣ ADE的体积为 V ，三棱柱 A1B1C1﹣ABC的体积AC1V2， V1：V2．=9．（ 5 分）（2013?江）抛物 y=x2在 x=1 的切与两坐成三角形地区D（包含三角形内部和界）．若点 P（x， y）是地区 D 内的随意一点，x+2y 的取范是．10．（ 5 分）（2013?江） D，E 分是△ ABC的 AB， BC上的点， AD= AB，BE= BC，若1+λ2（λ1，λ2数），λ1+λ2的．=λ11．（5 分）（2013?江）已知 f（x）是定在 R 上的奇函数．当 x＞ 0 ，f（ x）=x2 4x，不等式 f （x）＞ x 的解集用区表示．12．（ 5 分）（ 2013?江）在平面直角坐系xOy 中， C 的准方程（ a＞ b＞ 0），右焦点 F，右准 l，短的一个端点 B，原点到直 BF 的距离 d1， F 到 l 的距离 d2，若 d2=， C 的离心率．13．（ 5 分）（2013?江）在平面直角坐系xOy 中，定点 A（a，a），P 是函数 y= （x＞0）象上一点，若点 P，A 之的最短距离 2，足条件的数 a 的全部．14．（5分）（江）在正等比数列n } 中，， a6+a7，足2013?{ a=3 +a2+⋯+a n＞a1 2⋯a n的最大正整数 n 的．a1a二、解答：本大共6 小，共 90 分．在答卡指定地区内作答，解答写出文字明、明程或演算步．15．（ 14 分）（2013?江）已知=（cos α，sin α）， =（ cos β，sin β），0＜β＜α＜π．（1）若 | ﹣| =，求证：⊥ ；（ 2）设（，），若+=，求α，β的值．= 0116．（14 分）（2013?江苏）如图，在三棱锥 S﹣ ABC中，平面 SAB⊥平面 SBC，AB ⊥BC，AS=AB，过 A 作 AF⊥SB，垂足为 F，点 E，G 分别是棱 SA，SC的中点．求证：（1）平面 EFG∥平面 ABC；（2） BC⊥SA．17．（14 分）（2013?江苏）在平面直角坐标系xOy 中，点 A（0，3），直线 l：y=2x﹣4，设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上．（1）若圆心 C 也在直线 y=x﹣ 3 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线方程；（2）若圆 C 上存在点 M，使 | MA| =2| MO| ，求圆心 C 的横坐标的取值范围．18．（16 分）（2013?江苏）如图，旅客从某旅行景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径．一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C．现有甲、乙两位旅客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50m/min ．在甲出发 2min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处逗留 1min 后，再从B 匀速步行到C．假定缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC长为 1260m，经丈量， cosA= ，cosC=（1）求索道 AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位旅客在 C 处相互等候的时间不超出 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？．（16分）（江苏）设n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n192013?{ a是其前 n 项和．记 b n=，n∈N*，此中 c 为实数．（1）若 c=0，且 b1，b2，b4成等比数列，证明： S nk=n2S k（ k，n∈ N*）；（2）若 { b n } 是等差数列，证明： c=0．20．（ 16 分）（ 2013?江苏）设函数 f （x） =lnx﹣ax， g（ x） =e x﹣ ax，此中 a 为实数．（ 1）若 f （x）在（ 1，+∞）上是单一减函数，且g（ x）在（ 1，+∞）上有最小值，求 a 的取值范围；（2）若 g（x）在（﹣ 1，+∞）上是单一增函数，试求 f（x）的零点个数，并证明你的结论．[ 选做题 ] 此题包含A、B、C、D四小题，请选定此中两题，并在相应的答题地区内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． [ 选修4-1：几何证明选讲 ] （本小题满分10分）21．（ 10 分）（2013?江苏）如图， AB 和 BC分别与圆 O 相切于点 D、C，AC经过圆心 O，且 BC=2OC．求证： AC=2AD．B．[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）22．（ 10 分）（ 2013?江苏）已知矩阵 A=， B=﹣1 B．，求矩阵 AC ．[ 修4-4：坐 系与参数方程] （本小 分0 分）23．（2013?江 ）在平面直角坐 系xOy 中，直 l 的参数方程（参数），曲 C 的参数方程（t 参数）． 求直l 和曲C 的普通方程，并求出它 的公共点的坐 ．D ．[ 修 4-5：不等式 ] （本小 分 0 分）24．（ 2013?江 ）已知 a ≥ b ＞ 0，求 ： 2a 3b 3 ≥2ab 2 a 2b ．第 25 、第 26 ，每 10 分，共 20 分． 在答 卡指定地区内作答，解答 写出文字 明、 明 程或演算步 ．25．（10 分）（ 2013?江 ）如 ，在直三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 中，AB ⊥AC ，AB=AC=2，AA 1=4，点 D 是 BC 的中点．（ 1）求异面直 A 1B 与 C 1D 所成角的余弦 ；（ 2）求平面 ADC 1 与 ABA 1 所成二面角的正弦 ．26．（ 10 分）（2013?江 ） 数列 { a n } ：1， 2， 2，3，3，3， 4， 4，个︷＜n ≤（ k ∈， ，⋯， ， ，， ⋯，即当44N *） ，． n =a 1+a 2+⋯+a n （ n ∈ N ?）． 于 l ∈N ?，定 会合SP l ={ n| S n a n 的整数倍， n ∈N ?，且 1≤n ≤ l}（ 1）求 P 11 中元素个数；（ 2）求会合 P 2000 中元素个数．。
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2013年江苏高考数学模拟试卷（二）
第1卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 集合
}
,30{R x x x A ∈≤<=，
}
,21{R x x x B ∈≤≤-=，则=B A ．
2. 已知z C ∈，且(z+2)(1+i)=2i,则=z .
3. 在等差数列}{n a 中，2365-==a a ，，则=+++843a a a .
4. 已知2
,
3==b a
. 若3-=⋅b a ，则a 与b 夹角的大小为 . 5. 为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小
6. 右面伪代码的输出结果为 .
7.
cos103sin10
+=
.
8. 已知函数
2()f x x x
=-，若 2(1)(2)f m f --<，则实数m 的取值范围
是 .
9. 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径
Rcm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm ，则R =
cm .
10．若方程ln +2-10=0x x 的解为0x ，则不小于0x 的最小整数是 .
11. 若动直线1=+by ax 过点),(a b A ，以坐标原点O 为圆心，OA 为半径作圆，则其中最小
圆的面积为 .
0．0．S← 1
For I from 1 to 9 step 20 S←S + I End for
Print S
12．已知函数
4)(x ax x f -=，
]
1,2
1[∈x ，B A ,是其图象上不同的两点.若直线AB 的斜率k 总满足421
≤≤k ，则实数a 的值是 . 13. 在平行四边形ABCD 中，
3
π=
∠A ，边AB 、AD 的长分别为2, 1，若M 、N 分别是
边BC 、CD 上的点，
且满足|
||
|CD BC =
，则⋅的取值范围是 .
14．椭圆2
221(5
x y a a +=为定值，且a >的左焦点为F ，
直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ∆的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15. （本小题满分14分）已知函数
()sin()cos sin cos()
2
f x x x x x π
π=+--，
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）在ABC ∆中，已知A 为锐角，()1f A =,2,3
BC B π==
,求AC 边的长.
16. （本小题满分14分）如图，在三棱柱
111ABC A B C -中，1AA ⊥面ABC ，AC BC =，
,,,M N P Q 分别是1111,,,AA BB AB B C 的中点．
（1）求证:平面1PCC ⊥平面MNQ ；
（2）求证:1
//PC 平 面MNQ .
A 1
C
M
N
Q
B 1
C 1
17.（本题满分14分）如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD ，其长为32米，
宽为18米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a 米与b 米均不小于2米，且要求“转角处”（图中矩形AEFG ）的面积为8平方米 (1)试用a 表示草坪的面积()a S ，并指出a 的取值范围;
(2)如何设计人行道的宽度a 、b ，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积.
32
323a
a
b
G
F
E
D
C
B
A 教学楼人 行 道
草 坪
18
18． (本小题满分16分) 已知椭圆2
2
22
1(0)x
y a b a b +=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为
1
2,F F ，且圆C ：
22360x y y ++--=过2,A F 两点．
（1）求椭圆标准的方程；
（2）设直线2PF 的倾斜角为α，直线1
PF 的倾斜角为β，当β－α＝2π
3时，证明：点P 在
一
定圆上；
（3）设椭圆的上顶点为Q ，在满足条件（2）的情形下证明：PQ 1PF =+2
PF ．
19.（本小题满分16分）已知数列
{}n a 和{}n b 满足：
1a λ=,
124,(1)(321),
3
n
n n n n a a n b a n +=+-=--+ 其中λ为实数，n 为正整数． （1）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；
（2）对于给定的实数λ，试求数列{}n
b 的前n 项和n
S ；
（3）设0a b <<，是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有n
a S
b <<成立? 若
存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分16分）已知函数函数()()
2ln 0,1x f x a x x a a a =+->≠.
（1）当1a >时，求证：()
f x 在
()0,+∞上单调递增；
（2）若函数()1
y f x t =--有三个零点，求的值；
（3）若存在[]
12,1,1x x ∈-，使得
()()121
f x f x e -≥-，试求a 的取值范围.
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，
ACB ∠的平分线分别交AE 、AB 于点F 、D .
（1）求ADF ∠的度数； （2）若AB AC =，求AC BC
的值.
B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵M 有特征值3λ=及对应的一个特征向量11e ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，并且矩阵M 对应的变换将点（-1,2）变换成（9,15）求矩阵M . C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在曲线1
C ：
1cos (sin x y θθθ
=+⎧⎨
=⎩为参数）,在曲线1
C 求一
点，使它到直线2
C
：
12
(112
x t t y t
⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩为参数）的距离最小，并求出该点
O
A B
C
D
E
F
D ．（选修４－５：不等式选讲）若+∈R c b a ,,，求证 ：c
a
b b
c a a b c c a b c a b ++≥++222
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，1
2AA =，,E F 分别是棱
,AB BC 上的点，且1EB FB ==．
（1）求异面直线1EC 与1
FD 所成角的余弦值；
（2）试在面ABCD 上确定一点G ，使G 到平面EF D 1
距离为
1111
．
23. 某市公租房的房源位于,,A B C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，
且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中： （1）恰有2人申请A 片区房源的概率；
（2）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．。