九年级下册数学阅读与思考 黄金分割数
九年级黄金分割知识点课程
九年级黄金分割知识点课程黄金分割是数学中的一个重要概念，也是美学中常见的一种比例关系。
在九年级的数学课程中，学生将接触到这一知识点，并深入了解其应用。
本文将围绕九年级黄金分割知识点课程展开讲述，包括黄金分割的定义、性质、推导方法以及一些实际应用。
一、黄金分割的定义黄金分割是指一条线段分成两部分，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值。
用数学符号表示为a/b=(a+b)/a=Φ （phi），其中Φ为黄金分割常数，约等于1.618。
二、黄金分割的性质1. 黄金分割点对称性：在一条线段上，黄金分割点将这条线段分成两部分，这两部分的比值等于整体线段与较大部分的比值。
2. 黄金分割点的延伸：无论是将整体线段延伸至左侧还是右侧的与原线段等比例的线段，其分割点仍然是黄金分割点。
3. 黄金矩形性质：将一个正方形的一边延伸至黄金分割点，形成的长方形即为黄金矩形。
黄金矩形具有自相似性和美学上的和谐感。
三、黄金分割的推导方法黄金分割的推导方法主要有几何法和代数法两种。
1. 几何法：通过将线段分割，得到与之相似的子线段，并运用相似三角形的性质，可以推导出黄金分割比例。
2. 代数法：假设整体线段为a，较小部分的长度为b，根据黄金分割的定义可得到a/b = (a+b)/a，解方程可得黄金分割比例。
四、黄金分割的实际应用黄金分割不仅在数学中有重要意义，也在自然界和人类创作中有广泛应用。
1. 建筑设计：许多古代和现代的建筑作品都运用了黄金分割比例，如古代希腊建筑中的帕特农神庙和现代的肯尼迪图书馆。
2. 绘画和摄影：黄金分割比例用于画面的构图和角度的选择，可以使画面更加美观和和谐。
3. 音乐和舞蹈：黄金分割比例用于音乐中的乐谱结构和舞蹈中的动作设计，可以营造出一种流畅而和谐的感觉。
4. 金融市场：黄金分割被应用于金融领域的技术分析中，用于预测价格波动和市场趋势。
总结：九年级的黄金分割知识点课程涵盖了黄金分割的定义、性质、推导方法和实际应用。
九年级数学黄金分割知识点
黄金分割（Golden Ratio）是指一个数与其倒数之和等于1的比例关系，即a与1/a的比值等于1、黄金分割在数学、艺术和自然科学中都有广泛应用。
下面是关于黄金分割的九年级数学知识点的详细介绍。
1.黄金分割的定义：黄金分割是指一个数与其倒数之和等于1的比例关系。
用数学符号表示为a+1/a=1、解这个方程可以得到黄金分割的值，约为1.6182.黄金分割的性质：-黄金分割具有对称性：即a+1/a=1，所以a的倒数也是它的黄金分割点。
-黄金分割点的平方等于黄金分割点加1，即a²=a+1-黄金分割点与1的比值等于黄金分割点减1与1的比值，即a/1=(a-1)/a。
-黄金分割点与1的差与黄金分割点的比值等于1与黄金分割点的比值，即a-1/a=1/a。
3.黄金分割的几何应用：-黄金矩形：在一个长宽比例为黄金分割的矩形中，可以将矩形不断分割为一个正方形和一个长宽比例仍为黄金分割的矩形。
这种分割方式可以无限进行下去。
-黄金三角形：在一个等腰三角形中，底边与等腰边的比例为黄金分割。
黄金三角形有一些独特的几何性质，如旋转、平移和缩放等操作都能保持黄金三角形的形状。
4.黄金分割的代数应用：-黄金分割的计算：利用黄金分割的定义，可以解出黄金分割的值。
这可以通过求解二次方程a²-a-1=0来实现。
-黄金比例的性质：黄金分割可以满足一些特殊的性质，如将一条线段分割为黄金分割点后，两个线段的比值等于原线段与较短线段的比值，也等于较长线段与原线段的比值。
这个比例具有稳定性，无论线段的长度如何变化，比值都保持不变。
-黄金分割的近似值：黄金分割可以用连分数或迭代法来逼近其值。
连分数是一种无限循环小数的表示方法，可以得到黄金分割的连分数表示为1+1/(1+1/(1+1/(1+...)))。
5.黄金分割的艺术应用：-黄金比例在绘画和建筑艺术中被广泛应用。
很多伟大的艺术家和建筑师使用黄金分割来构图和设计。
黄金分割可以使作品更加和谐、对称和美观。
数学人教版九年级下册黄金分割
单位
公主岭市范家屯镇第二中学校
学科
数学
课题
黄金分割
课型
新授课
课时
一课时
教学方法
归纳、观察、探究相结合
教学手段
多媒体
教 者
刘雅卓
教学目标
知识技能：掌握黄金分割的定义及黄金分割点的作法；
数学思考：会进行黄金分割的有关计算。
问题解决：经历黄金分割的引入及黄金分割点作法的探究过程，掌握数形结合法在数学解题中的运用。
展示黄金矩形的“迷人面容”----蒙娜丽莎的微笑。让学生找一找画中有几个黄金矩形？
联想交流
动手实验
联想交流
分析讨论
分析解答
观察思考
观察联想
分析讨论
思考比较
交流思考
体现从生活走向数学
培养学生动手能力和学以致用能力
培养学生利用所学知识解决实际问题的能力
学以致用感受科学的真实性
培养学生分析归纳能力
培养学生归纳概括能力
情感与价值观：在现实情境中体会黄金分割的文化价值，培养同学们主动参与、积极思考、合作交流的学习品质。增强学生的实践意识和自信心.
教学重点
黄金分割的定义，做一条线段黄金分割点的方法；
教学难点
探究线段黄金分割点的作法。
教学过程
流程
教学动
学生活动
设计意图
导入新课
通过播放芭蕾舞演员的图片引入美，并设置问题导入情境。
一、证黄金分割点即证：
二、如果已知线段AB，求做它的黄金分割点；
三、手工折纸折出黄金矩形；
板书展示
展示学习的重点清晰明了
后记
在课堂教学设计中，尽量为学生提供“做中学”的时空，不放过任何一个发展学生智力的契机，让学生在“做”的过程中，借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大认知结构，发展能力，完善人格，从而使课堂教学真正落实到学生的发展上。
人教版初中九年级数学《阅读与思考_黄金分割数》教学课件
从比值上理解：黄金比 即较长线段 = 5 1 原线段 2
0.618原线段
二、操作运用，巩固概念
用尺规作图找出黄金分割点
如图,已知线段AB,
求作其黄金分割点.
作法:
1、经过点B作BD⊥AB,使 B D=
1 2
AB
.
2、连接AD, 在DA上截取DE=DB
3、在AB上截取 AC=AE. 点C即为线段AB的黄金分割点.
想一想
根据上述作图回答下列问题:
(1)若AB=2, 那么BD、AD、AC、BC分别等于多少？
(2)计算：AC:AB=
,BC:AC=
.
(3)点C是线段AB的黄金分割点吗？
答：(1)BD = 1, AD = 5
AC = 5 1, BC = 3 5
(2)点C是AB的黄金分割点。 因为通过计算可以发现：
A 1C
D
CD = 5-1 BC 2
四：感悟生活中的美
找一找 你身边有黄金分割的实例吗？
植物与黄金分割
植物界也采用黄金分割，很多叶子的主叶脉与整个叶 子长度之比约为0.618。
动物与黄金分割
形体优美的动物形体，鹦鹉螺等动物的螺旋形外壳从内到外 的直径之比也接近0.618,
人体与黄金分割
人的肚脐位于身长的0.618处 咽喉位于肚脐与头顶长度的0.618处 膝关节位于肚脐与足底长度的0.618 肘关节位于肩关节与指头长度的 0.618处
黄金分割
A
C
B
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
AC = BC , 那么称线段AB被点C黄金分割， AB AC
点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比称
为黄金比. 黄金比： AC : AB = 5 1 :1 0.618
九年级数学黄金分割知识点
九年级数学黄金分割知识点黄金分割是一种美学原则，也是一种数学概念。
它源自古希腊艺术与建筑，被广泛应用于文化和设计领域。
黄金分割是一种比例关系，其比值约为1:1.618。
在九年级数学中，黄金分割也是一个重要的知识点，它与数列、图形等内容密切相关。
一、黄金分割比例黄金分割比例是指一个线段一分为二时，较长部分与整体的比值等于整体与较短部分的比值。
即如果将一个线段分成两部分，较长部分与整体的比值约等于1.618，而较短部分与整体的比值约等于0.618。
这个比例是无限不循环小数，被简化为1.618。
二、黄金分割的应用黄金分割在几何学和自然科学中有广泛的应用。
在几何学中，一些特殊的图形，如黄金矩形和黄金三角形，具有黄金分割的性质。
黄金矩形是指长和宽之比为黄金分割比例的矩形。
黄金三角形是一个直角三角形，其两条腰的比例接近黄金分割。
这些图形在建筑和设计中被广泛使用，给人一种美感和和谐感。
黄金分割还与数列和斐波那契数列有密切关系。
斐波那契数列是一个无限序列，每个数字是前两个数字之和。
斐波那契数列的前两个数字是1，1，然后依次为2，3，5，8等等。
当我们计算斐波那契数列中相邻数字的比值时，会发现它们逐渐接近黄金分割比例。
例如，5/3≈1.667，8/5≈1.6，13/8≈1.625。
这种关系在数学中被广泛探讨，可以通过递归公式定义斐波那契数列。
三、黄金分割与美学黄金分割被认为是一种美学原则，用于艺术和设计中。
在绘画、摄影、雕塑等艺术形式中，黄金分割被用来划分画面，使得画面更加平衡和美观。
例如，在绘画中，艺术家可以将水平和垂直线分为黄金分割比例的两部分，以创建一种独特的视觉效果。
黄金分割也被应用于肖像摄影和建筑设计中，以达到更好的组合和比例感。
四、黄金分割的历史黄金分割作为一个数学概念，最早由古希腊数学家欧几里得提出。
在欧几里得的《几何原本》中，他给出了一种构造黄金分割比例的方法。
随后，黄金分割在文艺复兴时期再次受到重视，成为艺术和建筑中的一个重要原则。
初三数学黄金分割笔记
初三数学黄金分割笔记
黄金分割是初三数学中的一个重要概念，它在几何、代数、三角函数等方面都有广泛的应用。
以下是初三数学黄金分割的笔记：- 黄金分割的定义：如果一个线段被分割成两段，使得较长线段与全长的比值等于较短线段与较长线段的比值，那么这个分割点就叫做黄金分割点，这个比值就叫做黄金分割数。
- 黄金分割数的计算公式：黄金分割数通常用希腊字母表示，它的计算公式为：
- 黄金分割在几何中的应用：在矩形中，如果长和宽的比等于黄金分割数，那么这个矩形就叫做黄金矩形。
黄金矩形具有很多美学性质，如宽与长的比是黄金分割数，对角线与长的比也是黄金分割数等。
- 黄金分割在代数中的应用：在一元二次方程中，如果二次项系数和一次项系数的比等于黄金分割数，那么这个方程的根就是黄金分割数。
- 黄金分割在三角函数中的应用：在正五边形中，如果边长与对角线的比等于黄金分割数，那么这个正五边形的内角和就等于540 度。
黄金分割在数学中有很多应用，它不仅具有美学价值，还在实际生活中有很多应用，如建筑设计、艺术创作、金融投资等。
人教版九年级数学上册第21章阅读与思考：黄金分割数优秀教学案例
3.学生完成作业后，教师进行批改和反馈，指导学生改进学习方法，提高学习效果。
五、案例亮点
1.跨学科融合，提升学生综合素质
本案例将数学与艺术、建筑等学科相融合，让学生在学习黄金分割数的同时，感受到数学在多个领域的应用。这种跨学科的教学方式有助于拓宽学生的知识视野，提高他们的综合素质。
3.教师引导学生运用黄金分割比解释生活中的现象，如人体比例、建筑风格等，加深学生对黄金分割数的理解。
（三）学生小组讨论
1.教师提出讨论主题，如：“黄金分割数在艺术、建筑中的应用”、“如何用数学方法证明黄金分割比”等。
2.学生分组进行讨论，共同探讨问题，分享观点，互相学习。
3.各小组汇报讨论成果，教师组织评价，引导学生深入思考，提高认识。
（四）总结归纳
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结黄金分割数的性质、应用和计算方法。
2.强调黄金分割数在数学、艺术、建筑等领域的重要性，提升学生的审美情趣。
3.鼓励学生将黄金分割数应用到实际生活中，发挥数学的实用价值。
（五）作业小结
1.布置课后作业，如：黄金分割比的计算题、证明题和应用题，巩固所学知识。
4.培养学生正确的价值观，使他们认识到数学知识在实际生活中的重要性，激发他们为国家和民族的繁荣而努力学习。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解黄金分割数，教师需创设具有趣味性、启发性的教学情景。可以通过以下方式实现：
1.利用多媒体展示黄金分割在自然界、艺术作品、建筑等领域的实例，让学生在视觉享受中感受黄金分割的美。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解黄金分割数的定义，掌握黄金分割点的概念，能够运用黄金分割比进行实际问题的计算。
2021年九年级中考数学几何教学重难点专题：黄金分割比例(三)
2021年九年级中考数学几何教学重难点专题：黄金分割比例（三）1．阅读理解：如图1，点C将线段AB分成两部分，若＝，则点C为线段AB的黄金分割点．某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果＝，那么称直线l为该图形的黄金分割线．问题解决：如图2，在△ABC中，若点D是AB的黄金分割点．（1）研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组探究发现：过点C作直线交AB于E，过D作DF∥CE，交AC于F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．2．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE 的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）3．若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．4．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1＝A1C1，∠A1＝108°，且A1B1＝AB，请直接写出的值．5．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．6．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF 和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．7．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果，那么点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；（2）请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线．8．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．9．“黄金分割”在人类历史上有着重要的作用和影响，世界上许多著名的建筑和艺术品中都蕴涵着“黄金分割”．下面我们就用黄金分割来设计一把富有美感的纸扇：假设纸扇张开到最大时，扇形的面积与扇形所在圆的剩余部分的比值等于黄金比，请你来求一求纸扇张开的角度．（黄金比取0.6）10．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长．参考答案1．解：（1）直线CD 是△ABC 的黄金分割线．理由如下： ∵点D 是AB 的黄金分割点，∴＝，∵＝，＝，∴＝，∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线；（2）∵三角形的中线把AB 分成相等的两条线段，即AD ＝BD ， ∴＝，＝＝1，∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线；（3）∵DF ∥CE ，∴S △FDE ＝S △FDC ，S △DEC ＝S △FEC ，∴S △AEF ＝S △ADC ，S 四边形BEFC ＝S △BDC ，∵＝，∴＝，∴直线EF 是△ABC 的黄金分割线．2．证明：如图，连接GF ，设正方形ABCD 的边长为1，则DF ＝． 在Rt △BCF 中，BF ＝＝，则A ′F ＝BF ﹣BA ′＝﹣1． 设AG ＝A ′G ＝x ，则GD ＝1﹣x ，在Rt △A ′GF 和Rt △DGF 中，有A 'F 2+A 'G 2＝DF 2+DG 2， 即，解得x＝，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．3．解：（1）如图：以A为圆心，在AB上截取AE＝AD，以D为圆心，在DC上截取DF＝DA，连接EF，所以四边形AEFD为所求作的正方形；（2）答：四边形EBCF是黄金矩形．证明：∵四边形AEFD是正方形，∴∠AEF＝90°，∴∠BEF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°∴∠BEF＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形EBCF是矩形．设CD＝a，AD＝b，则有，∴，∴矩形EBCF是黄金矩形．4．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A．∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴∠ABD＝∠DBC＝36°．又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC＝x，AC＝y，由（2）知，AD＝BD＝BC＝x．∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2＝0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE＝AC，连接AE．∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝72°，∴∠ACE＝180°﹣72°＝108°，∴∠ACE＝∠B1A1C1．∵A1B1＝AB，∴AC＝CE＝A1B1＝A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE＝B1C1．由（3）知，∴，，∴．5．证明：在AB上截取AE＝BC，DF＝BC，连接EF．∵AE＝BC，DF＝BC，∴AE＝DF＝BC＝AD，又∵∠ADF＝90°，∴四边形AEFD是正方形．BE＝，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．6．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝DC＝AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．7．解：∵，，又∵D是AB的黄金分割点，∴，，∴CD是△ABC的黄金分割线；（2）不是．∵CD是△ABC的中线，∴AD＝DB，∴＝，而＝1，∴≠，∴中线不是黄金分割线．8．解：（1）（3分）（2）CM＝AB（4分）9．解：设扇形的半径为R，圆心角为n，则剩余扇形的圆心角为（360°﹣n），由题意得，：＝0.6，即n：（360°﹣n）＝0.6，解得：n＝135，答：纸扇张开的角度为135°．10．解：（1）设∠B＝x，∵BD＝DC，∴∠DCB＝∠B＝x，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2x，∵AC＝DC，∴∠A＝∠ADC＝2x，∵∠ACE＝∠B+∠A，∴x+2x＝108°，解得x＝36°，即∠B的度数为36°；（2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形．理由如下：∵DB＝DC，∠B＝36°，∴△DBC为黄金三角形；∵∠BCA＝180°﹣∠ACE＝72°，而∠A＝2×36°＝72°，∴∠A＝∠ACB，而∠B＝36°，∴△ABC为黄金三角形；∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝72°﹣36°＝36°，而CA＝CD，∴△CAD为黄金三角形；②∵△BAC为黄金三角形，∴＝，而BC＝2，∴AC＝﹣1，∴CD＝CA＝﹣1，∴BD＝CD＝﹣1，∴AD＝AB﹣BD＝2﹣（﹣1）＝3﹣．。
九年级数学黄金分割
3、在AB上截取 AC=AE.
点C即为线段AB的黄金分割点.
想一想
1如果设AB=1,那么
1
BD=
2
AC= √5 – 1
2
AD= √5 3-2√5
BC= 2
2点C是线段AB的黄金分割点吗
维纳斯的标准体型
芭蕾演员虽然 身材修长,但其 腰长与身高之比 平均约为0．58, 只有在翩翩起舞 时、踮起脚尖, 方能展现 0．618的魅力.
CB
●
●●
●
A
DC
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段
AC 和 BC ,
如果
AC AB
=
BC AC
(长
全
短)
长
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割golden
section,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割
点, AC 与 AB 的比叫做黄金比.
A:C A B521:10.61:18
黄金分割的计算
如何在线段上确定一点C,使 AC BC?
AB AC
C
A CB
A
C
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果 AC = BC
AB AC
AC = AB
BC
AC
∙ AC2=AB BC
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割golden section,
点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,
黄金分割
查阅 & 欣赏
探索身边的 黄金分割
为什么翩翩起舞的 芭蕾舞演员要掂起脚 为什么身材苗条的时装 模特还要穿高跟鞋 为 什么她们会给人和谐、 平衡、舒适与美的感觉
黄金身材比例
苏教版九年级数学下册6.2黄金分割
6.2 黄金分割
1．知识与技能目标：
（1）了解黄金分割的概念，求作任意线段的黄金分割点；
（2）进一步理解线段的比，增强知识的综合运用能力．
2．过程与方法目标：
（1）通过现实情境与素材加强对线段的比的认识，了解黄金分割的文化价值；
（2）培养学生的实践意识、动手能力和自主学习的能力．
3．情感与态度目标：
（1）从学生乐于接受的现实背景中学习黄金分割，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具；
（2）通过对黄金分割的理解和掌握，明确黄金分割的作图方法，体会数形结合的思想；
（3）通过分组讨论学习，体会在解决实际问题的过程中与他人合作的重要性，从而培养学生的团结协作精神．了解黄金分割的意义，并能作出线段的黄金分割点．
会用线段的黄金分割来解决一些实际问题．
例说明黄金分割在生活中的应用吗？。
阅读与思考：黄金分割数
若点C在线段AB上,
且满足 AC CB ,
C
CB AB
则点C为线段AB黄金分割点.
B
一些美术家认为，如果人的上、下身长之比接近黄金分割数，那么可以增加美感. 据说，一些名画和雕塑中的人体都符合这个比例.
女神维纳斯的雕像
AC 0.618 CB
线段黄金分割点的作图
思考：每一条线段都存在黄金分割点吗？ 我们如何通过作图确定这个点的位置？
阅读与思考：黄金分割数
年 级：九年级
学 科：数学（人教版）
观察下列图片，它们都给人一种美与和谐的感受，你知道其中的奥秘吗？
问题引入
在本章引言中有一个关于人体雕塑的问题.要使雕像的 上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与 全部（全身）的高度比，这个高度比应是多少？
A
C
AC
B
B
问题转化
AC
B
整理得x2 ax a2 0.
解得x 1 5 a. 2
问题转化
已知：如图，点C在线段AB上，满足 AC :CB CB : AB . 求 CB : AB 的值.
∵x 0,
∴x 5 1 a. 2
ax x
∴CB : AB 5 1 a : a 2
AC
B
= 5 1 0.618. 2
问题解决
AC
B
点C为线段AB的黄金分割点
CB 5 1. AB 2 若AB a , 则CB 5 1 a.
2
分析：
5 1a 2
AC
B
a
线段黄金分割点的作图
CB 5 1 a 5 a 1 a.
2
22
5
5
2
5 2a
5a 2
初中数学九年级《阅读与思考：黄金分割》公开课教学设计
人教版九年级上册第二十一章阅读与思考黄金分割教学设计一、教学目标1.教学知识点知道黄金分割的定义及其中的文化价值，会进行黄金分割的有关计算。
2.能力训练要求通过找一条线段的黄金分割点去理解黄金分割的意义，培养学生的理解与动手操作能力。
3.情感与价值观要求在现实情境中体会黄金分割的文化价值，提高学生对黄金分割价值的审美能力，二、教学重点了解黄金分割的定义。
三、教学难点理解黄金分割的意义及应用。
四、教学过程（一）创境、激趣情境1:给出2张厦门大学的照片，哪张构图最美？C 情境2:在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感。
同学们,你们想知道什么原因吗？设计意图：激发学生的探究欲望，引导学生将实际问题转化成了数学问题，这种以实际问题为切入点引入新课，不仅自然，而且反映了数学来源于实际生活。
另外，情境2是21章一元二次方程引言中的问题，这样的设计又让学生回到的课堂，感受数学是从人的需要中产生这一认识的基本观点。
（二）观察、发现本章引言中人体雕像问题，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，这个高度比应是多少？问题一般化：如图,点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,使得AC BC AB AC =. 分析：设线段AB 的长度为1个单位，AC 的长度为x 个单位，则CB 为)1(x -个单位， 根据题意列出方程：x x x -=11 解得：251±-=x 根据问题实际意义，618.0215≈-=x （三）归纳、提炼黄金分割定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中215-＝AB AC ≈0.618. 举例：如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，如果AB =2，求线段AC 的长度． 解： ∵点C 是线段AB 的黄金分割点，设计意图：培养学生自己动手操作的能力，突出本课重点——黄金分割的定义.（四）应用、展示黄金分割比引起了人们极大的注意，被广泛应用在科学实验、建筑、美术、音乐、摄影、艺术和日常生活中，你知道分别有哪些方面的应用吗？请例举你所知道应用例子。
中学数学：《黄金分割》赏析与评论分享
中学数学：《黄金分割》赏析与评论分享第一篇：中学数学：《黄金分割》赏析与评论分享中学数学：《黄金分割》赏析与评论分享这堂课的教学设计，除了讲授黄金分割的定义及其作图方法之外，同时联系日常生活中黄金分割的例子，促进对知识的理解，体会黄金分割的文化价值以及在人类历史上的作用和影响。
一、借鉴之处：（1）注重学生综合能力的培养；（2）情境创设，可以引发学生对问题进行深层次的思考，激发学生学习的兴趣。
（3）信息技术与数学课程整合的非常好，资源准备充分。
整堂课在网络教室里进行，充分体现了信息技术运用于课堂教学中的思想。
这个教学设计很不错，每一个教学环节环环相扣，整个过程很流畅，环节中的每一个教师行为与学生行为具体可操作。
教学目标恰当准确，三维目标清晰，紧紧围绕教学目标的。
对媒体资源的运用表述得很清楚。
二、不足之处：教学反馈不够。
课堂上应该设计一些检测环节，既能调动学习积极性，又检验了课堂效果。
第二篇：《黄金分割》教学设计方案赏析与评论2013年教育技术能力中级培训《黄金分割》教学设计方案赏析与评论在认真学习《黄金分割》教学设计方案之后，我认为本教学设计的最大特点是：概述详细、具体，对学习内容和本节课的价值及重要性介绍的清晰明了；教学媒体的选择、学习活动的设计都体现了学生的主体性，学生自主操作、发现、探究，有利于创新精神和实践能力的培养，体现了信息技术与课程教学的有效整合；在整个教学活动中，努力突出教师的主导作用，引导学生从生活中发现黄金分割的美和应用，经历发现和验证黄金比的过程，探究黄金分割的奥秘，让学生体验到数学知识来源于生活又应用于生活，体会黄金分割的文化内涵，丰富了学生对数学发展的整体认识。
我认为本节课教学设计的可借鉴之处：1、贯彻新课程理念，注重学习方式的多元化整节课的教学设计，以问题为线索，从问题出发组织教学。
教师从头到尾都用一步步递进的问题启发学生的思维，注重知识的探究过程。
通过各种方式（包括教师演示、学生查找资料等），让学生体会到数学思考的乐趣，探索成功的喜悦，更尝受到了探究问题的艰辛。
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请你为她设计 一双适合她的 高跟鞋。
身高158cm， 下半身长95cm.
人体肚脐不但是黄金点美
化身型，有时还是医疗效果黄
金点，许多民间名医在肚脐上
贴药治好了某些疾病。人体最 人与黄金分割
感舒适的温度是23℃(体温)，
也是正常人体温（37℃）的黄
金 点 （ 23=37×0.618 ） 。 这 说
黄金矩形的“迷人面容”——《蒙娜丽莎的微笑》
这幅《蒙娜丽莎的微笑》给了数以万亿计的人们 美的艺术享受，备受推崇.意大利著名画家达•芬奇在 创作中大量运用了黄金矩形来构图.整个画面使人觉 得和谐自然，优雅安宁.
• 各国的国旗都为长方形，都是近似的黄金矩形.
• 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人 看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管 其大小，如对开、8开、16开、32开等，都是近 似的黄金矩形 .
黄金建筑设计
黄 金 分 割 的 魅 力
京剧演员经常选择舞台宽度的一个黄金分割 点作为出场亮相的位置．
黄 在用相机拍摄照片时，往往把主要景色放在黄金分割点上。 金 分 割 在 摄 影 上 的 应 用
叶子中的黄金分割
图中主叶脉 与叶柄和主 叶脉的长度 之和比约为 0.618
美丽的蝴蝶
0.618随处 可见!
活动二：建立数学模型
B
A
B
C
C
想一想 观察表格，寻找数据之间的特殊关系：
= AC BC
AB AC
A
构图美的图片
踮脚尖的演员
B
A
C
B
C
A
C
B
A
这两个问题可以抽象出同一个数学问题：在线段AB上， 有一个点C把线段AB分成两条线段AC和BC，当点C的位置
比较 美时，AC 与 BC 的值是固定的，且都近似约等于0.6. AB AC
４ ．
雕塑－－维纳斯
黄
金
人的俊美,体现在头
分
部及躯干是否符合黄金
割
分割.
的 魅 力
美神维纳斯，她身 体的各个部位都暗藏比 例0.618，虽然雕像残
缺，却能仍让人叹服她
不可言喻的美．
东方明珠塔，塔高 462.85米。设计师将 在295米处设计了一 个上球体，使平直 单调的塔身变得丰 富多彩，非常协调 、美观。
黄金分割数
八年级
活动一：
（1）以下3张图片，哪张构图最美？这是为什么呢？
（2）芭蕾舞演 员做相同的动 作，踮脚尖和 不踮脚尖，哪 个更美？这又 是为什么呢？
（３）脸型相同，五官基本相同的3张脸，哪个更美？为 什么呢？
事物之间的和谐关系可以表现为某 种恰当的比例关系。
以上这些都与我们今天 要学习的神奇的数学知识 有关，它是什么呢？
个单1位 ，x 根据题意列出方程：
1 x x x1
由比例的基本性质得： 1 x x2 A
即：
x2 x 1 0
； 解这个方程求得：AC= 5 1 ；
2
所以求出黄金分割比：
AC AB
5 1 2
x个单位，则CB为
C
B
已知线段AB，如何作出它的 黄金分割点？
作法:1、经过点B作BD⊥AB,使BD=12 AB 2、连接AD, 在DA上截取 DE=DB 3、在AB上截取 AC=AE.
这就是说，买每斤44元左右的茶叶比较合适。
课外阅读，体验积累
打开地图，你就会发现那 些好茶产地大多位于北纬 30度左右。特别是红茶中 的极品“祁红”，产地在 安徽的祁门，也恰好在此 纬度上。这不免让人联想 起许多与北纬30度有关的 地方。奇石异峰，名川秀 水的黄山，庐山，九寨沟 等等。衔远山，吞长江的 中国三大淡水湖也恰好在 这黄金分割的纬度上。
• …… z````x``xk
课外阅读，体验积累 “黄金分割”中的妙用 “黄金分割”的实质就是0．618这个神奇的数字 。只要留心，就会发现在生活的方方 面面发现其“魅影”，如果我们灵活地加以运用，将大大提高我们的生活质量。 1、养生：养生学家通过多年观察发现，动和静是一个0．618比例关系，大致四分动六 分静才是较佳养生之法。
5、购物：近年来，人们又将0．618用到购物上，对于同一种商品有多种品种、多种价 格的情况下， 买最贵的花费太大，经济上承受不了； 买最低的又怕质量太差，不能满足 要求。下面公式，可以帮助你得到最适宜的价格： (最高价-最低价)X0．618十最低价。
例如， 买茶叶，最贵的每斤67元，最贱的每斤8元， 代入上式得(67-8)X 0．618+8=59X 0．618+8=44．5(元)。
什么是黄金分割？
A
C
B
点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果 AC = BC
AB AC
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden section),
点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 , BC 与 AC 的比叫做黄金比.
黄金比是多少呢？
探究黄金分割比
分析：设线段AB的长度为1个单位，AC的长度为
根据上述作图点C是线段AB的黄金分割点吗？
黄金分割比引起了人们极大的注意，被广泛 应用在科学实验、美术、音乐、摄影、艺术和日 常生活中，你知道分别有哪些方面的应用吗？
请例举你所知道应用例子。
古巴
越南
土耳其
智利
苏里南
你能发现这些国旗中有国什么共性呢？
度量C到点A、B的距离,
AC 与 相等吗？
小实验：下列矩形中，哪个看起来更美？
1
2
3
D
神奇的矩形
A
B
C
宽与长的比是 5 1
2
约为0.618的矩形叫做 黄金矩形.
黄金矩形的美感
黄金矩形给我们以协调、均匀的美感.世界 各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效 果，都采用了黄金矩形的设计.黄金矩形在 艺术上和生活中也被广泛应用。
雅典帕德农神庙是古希腊最著名的建筑，因为其 建于古希腊数学繁荣的古典时期. 所以整个神庙的造 型是建立在严格的比例关系上的，体现了以追求和 谐为目的的形式美.
明医学与0.618有千丝万缕联系
,尚待开拓研究。人体还有几个
黄金点：肚脐上部分的黄金点
在咽喉，肚脐以下部分的黄金
点在膝盖，上肢的黄金点在肘
关节。上肢与下肢长度之比均
近似0.618.
动手量一量，算一算。
文明古国埃及的 金字塔，形似方锥， 大小各异。但这些金 字塔底面的边长与高 的比都接近于0.618.
AB
AC
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
４
近年来，在研究黄金分割与人体关系时，
． 发现了人体结构中有14个“黄金点”.
黄
金
在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，
分 看起来就越美．
割
的
B
魅
力
C
A
为什么翩翩起舞的芭蕾 舞演员要掂起脚尖? 为 什么身材苗条的时装模 特还要穿高跟鞋?为什 么她们会给人感到和谐 、平衡、舒适，美的感 觉?
事实印证着一句格言：生活中不是缺少美(0．618)，而是缺少发现。 很奇妙吧！别忘了让其他同学也知道呀！
课堂小结
1、这节课你有哪些收获？ 2、你会找一条线段的黄金分割点吗？
3、你认为数学就是一种美的科 学吗？
2、饮食：医学专家分析后发现，饭吃六七成饱的人几乎不生胃病；摄入的饮食以六分 粗粮、四分精食为适宜。
3、环境：人为什么在环境温度为22℃—24℃时感觉最舒适?因为人的正常体温37℃和0 ．618的乘积为22．8℃，在这一环境温度中，机体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均 处于最佳状态。
4、医疗：肚脐是人体上的一个神秘点.1976年，我国唐山大地震，不少被损伤了下肢的 病员尿路不通，小腹胀满，苦不堪言。医生用少许大蒜加几个中药栀子，捣碎后敷在病员 的肚脐(人体中的黄金分割点)上， 小便自通，效果极好。 1986年，四川省有所学校组织 学生外出游览，途中有几个人晕车，呕吐不止。校医发给他们每人一张膏药，贴在肚脐上 ，呕吐即止。