中考数学新定义型专题

第一部分 讲解部分

（一）专题诠释

所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力

（二）解题策略和解法精讲

“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；

2的差倒数是

1112=--，－1的差倒数是111(1)2

=--．已知a 1＝－13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2009＝ ．

【分析】：理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可．

【解】：解：根据差倒数定义可得：21113

114

13

a a =

==-+， 3211

43

114

a a =

==-- 43111

1143

a a =

==---． 显然每三个循环一次，又2009÷3＝669余2，故a 2009和a 2的值相等．

【评注】：此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律．

考点二：运算题型中的新定义

例2.（2011毕节地区，18，3分）对于两个不相等的实数a 、b ，

定义一种新的运算如下，

*0

a b a b a b =

+（＞）﹣，如：3*2== 那么6*（5*4）= ．

【分析】：本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果． 【解】：∵

*0a b a b a b

=

+（＞）﹣， ∴=3， ∴6*（5*4）=6*3，

=63 63

+

﹣

，

=1．

故答案为：1．

【评注】：本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．

例3.（2010重庆江津区，15，4分）我们定义ab

ad bc

cd

=-，例如

23

45

=2×5﹣3×4=10﹣12=

﹣2，若x，y均为整数，且满足1＜1

4

x

y

＜3，则x+y的值是．

【分析】：先根据题意列出不等式，根据x的取值范围及x为整数求出x的值，再把x的值代入求出y的值即可．

【解】：由题意得，1＜1×4﹣xy＜3，即1＜4﹣xy＜3，

∴

3

1 xy

xy

<

⎧

⎨

>

⎩

，

∵x、y均为整数，∴xy为整数，

∴xy=2，

∴x=±1时，y=±2；

x=±2时，y=±1；

∴x+y=2+1=3或x+y=﹣2﹣1=﹣3．

【评注】：此题比较简单，解答此题的关键是根据题意列出不等式，根据x，y均为整数求出x、y的值即可．

考点三：探索题型中的新定义

例4.(2009 台州，23，分）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．

（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD的准内点．

（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）

（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．

①任意凸四边形一定存在准内点．（）

②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）

③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（）

【分析】：（1）过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD，由角平分线的性质可知PJ=PH，PG=PI；

（2）平行四边形对角线的交点，即为平行四边形的准内点；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点，即为梯形的准内点；

（3）①当凸四边形为平行四边形时，易知其对角线交点即为其准内点；②当凸四边形不为平行四边形时，可以将四边形的两边延长，构造三角形，其对角线交点即为准内点．【解】：（1）如图2，过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD

∵EP平分∠DEC

∴PJ=PH．（3分）

同理PG=PI．（1分）

∴P是四边形ABCD的准内点．（1分）

（2）

（4分）

平行四边形对角线AC，BD的交点P1就是准内点，如图3（1）．

或者取平行四边形两对边中点连线的交点P1就是准内点，如图3（2）；

梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P2就是准内点．如图4．

（3）真；真；假．

【评注】：此题是一道新定义探索性题目，考查了对新信息的理解与应用能力，同时考查了三角形及四边形的性质．

考点四：开放题型中的新定义

例5.（2011浙江台州，15，5分）如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为和谐点．请写出一个和谐点的坐标：．

【分析】：由题意点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，解答x+y=xy，即可得出答案．

【解】：∵点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，∴x，y符号相同，代入数字进行验证，符合条件的点的坐标有（0，0），（2，2）等．故答案为：（0，0）

【评注】：本题考查了和谐点的性质及等式求解，比较简单．

考点五：阅读材料题型中的新定义

（2010广东佛山，25，8分）阅读材料

我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；

比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形；