一元二次方程奥数题正式培训大全

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非学科数学学培训一元二次方程的含参问题(资料附答案)

自学资料一、一元二次方程的解【知识探索】1．使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（root）．【错题精练】例1．若关于x的一元二次方程(m−2)x2+3x+m2−4=0有一个根是0，则m=．【答案】－2．例2．关于x的方程a(x+m)2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的解是x1=3和x2=7，则方程a(3x+m−1)2+b=0的解是．【答案】第1页共9页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 1B.C. 1或D. 1或-第2页共9页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【知识探索】1．一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“△”表示它，即．2．当△＞0时，方程（）有两个不等的实数根；当△＝0时，方程（）有两个相等的实数根；当△＜0时，方程（）无实数根．【错题精练】例1．如果关于x的一元二次方程kx2−√2k+1x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是．【答案】−12≤k<12且k≠0例2．已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+a−c=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．下列关于这个方程的解和△ABC形状判断的结论错误的是（）A. 如果x=−1是方程的根，则△ABC是等腰三角形B. 如果方程有两个相等的实数根，则△ABC是直角三角形C. 如果△ABC是等边三角形，方程的解是x=0或x=−1D. 如果方程无实数解，则△ABC是锐角三角形【答案】D例3．已知m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，且（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）=10，则a的值为（）A. 7；B. ﹣7；C. 3；D. ﹣3．【解答】由于m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，代入方程可以分别得到m2﹣3m﹣1=0，n2﹣3n﹣1=0，然后把2m2﹣6m+a和3n2﹣9n﹣5变形利用前面的等式整体代入即可解决问题．解：∵m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，∴代入方程可以分别得到m2﹣3m﹣1=0，n2﹣3n﹣1=0，∴m2﹣3m=1，n2﹣3n=1，∴2m2﹣6m=2，3n2﹣9n=3，而（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）=10，∴（2+a）（3﹣5）=10，第3页共9页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训∴a=﹣7．故选：B．【答案】B例4．若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A. -1B. 1C. -2或2D. -3或1【解答】【答案】A例5．已知关于x的方程（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，求满足条件m的整数的值.【解答】第4页共9页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】例6．已知关于x的一元二次方程kx2−(4k+1)x+4k+2=0（k是正整数）．（1）当k=1时，求方程的两根和；（2）求证：方程有两个不相等的实数根；（3）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1<x2），设y=1x2−2+x1+2，请求出y关于k的函数，并求出y的取值范围．【解答】（1）解：当k=1时，原方程为x2−5x+2=0由韦达定理可得：x1+x2=−ba=5（2）解：由根的判别式△=b2−ac=(4k+1)2−4k(4k+1)=1>0故原方程有两个不相等的实数根；（3）解：原方程kx2−(4k+1)x+4k+2=0可化为：(x−2)(kx−2k−1)=0，解得x1=2，x2=2k+1k =2+1k（k是正整数），∴y=k+4（y为正整数，且y≥5）；【答案】（1）5；（2）两个不相等的实数根；（3）y=k+4（y为正整数，且y≥5）．【举一反三】1．若关于x的方程kx2−x+4=0有实数根，则k的取值范围是（）A. k≤16；第5页共9页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第6页共9页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第7页共9页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=2，a=1，﹣1．1．已知关于x的方程(m+1)x m2+1+2x−3=0是一元二次方程，则m的值为（）A. 1；B. －1；C. ±1；D. 不能确定．【答案】A2．已知关于x的方程x2+m2x−2=0的一个根是1，则m的值是（）A. 1；B. 2；C. ±1；D. ±2．【答案】C3．使得关于x的一元二次方程2x(kx−4)−x2+6=0无实数根的最小整数k为（）A. －1；B. 2；C. 3；D. 4．【答案】B4．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有c成立；④若x0是方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax2+b)2．其中正确的（）A. 只有①②；B. 只有①②④；C. ①②③④；D. 只有①②③④．【答案】B5．关于x的方程x2−2x+k−1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k−1是方程x2−2x+k−1=0的一个解，求k的值．第8页共9页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】（1）解：由题意，知：(−2)2−4(k−1)>0，解得：k<2，即k的取值范围为k<2；（2）解：由题意，得：(k−1)2−2(k−1)+k−1=0，即k2−3k+2=0，解得：k1=1，k2=2（舍去），∴k的值为1．【答案】（1）k<2；（2）1．第9页共9页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训。

一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义

1、认识一元二次方程2、掌握一元二次方程常见解法；3、经历一元二次方程解法的发现过程，体验归纳、类比的思想方法。

第一课时一元二次方程的四种解法知识梳理1．已知x=1是一元二次方程2210mx x -+=的一个解，则m 的值是多少？2．已知关于x 的一元二次方程222320()x m mx ++-=-的一个根是0，求m 的值。

3.已知x=1是方程210x mx -+=的根，化简226912m m m m -+--+；4.已知实数a 满足2280a a+-=，求)3)(1(12)1)(1(31a 12+++-⨯+-+-+a a a a a a a 的值。

新课标第一网5.已知m ，n 是有理数，方程20x mx n ++=有一个根是52-，求m+n 的值。

课前检测一、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解）形式：2()x a b +=举例：解方程：29(1)25x +=解：方程两边除以9，得：225(1)9x += 1251352581,13333x x x ∴+=±∴=-==--=-二、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±，将原方程配成2()x a b +=的形式，再用直接开方法求解.）举例：解方程：24830x x -+= 配方法解一元二次方程20ax bx c ++= (0a ≠)的步骤：解： 23204x x -+= ①、二次项系数化为1. (两边都除以二次项系数.)2324x x -=- ②、移项.(把常数项移到=号右边.) 22232114x x -+=-+ ③、配方.(两边都加上一次项系数绝对值一半的 21(1)4x -= 平方，把原方程化成2()x a b +=的形式) ∴112x -=± ④、求解.(用直接开方法求出方程的解.) 113111,212222x x ∴=+==-+=三、公式法：（求根公式：242b b ac x a-±-=）举例：解方程：2273x x -= 公式法解一元二次方程的步骤：解： 22730x x --= ①、把一元二次方程化为一般形式：20ax bx c ++=(0a ≠)2,7,3a b c ∴==-=- ②、确定,,a b c 的值.知识梳理60x ∴-=或10x +=216,1x x ∴==-【4】其它常见类型举例：①、解方程：(1)(3)8x x ++= ②、解方程：222x +x-1=x +x（换元法）解：原方程可变形为：解：令2x +x y =，原方程可化为：21y y-=，即：220y y --= 2450x x +-= ∴(2)(1)0y y -+= ∴20y -=或10y +=(5)(1)0x x +-= ∴122,1y y ==-50x ∴+=或10x -= ∴22x x +=，即220x x +-=215,1x x ∴=-= (2)(1)0x x +-=，212,1x x ∴=-=或21x x +=-，即210x x ++=1,1,1a b c ∴=== 224141130b ac ∴-=-⨯⨯=-<∴方程210x x ++=无解。

一元二次方程专题能力培优（含答案）

⼀元⼆次⽅程专题能⼒培优（含答案）第2章⼀元⼆次⽅程 2.1 ⼀元⼆次⽅程专题⼀利⽤⼀元⼆次⽅程的定义确定字母的取值1.已知2(3)1m x -+=是关于x 的⼀元⼆次⽅程，则m 的取值范围是（）A.m ≠3B.m ≥3C.m ≥-2D. m ≥-2且m ≠32. 已知关于x 的⽅程21(1)(2)10mm x m x +++--=，问：（1）m 取何值时，它是⼀元⼆次⽅程并写出这个⽅程；（2）m 取何值时，它是⼀元⼀次⽅程？专题⼆利⽤⼀元⼆次⽅程的项的概念求字母的取值3.关于x 的⼀元⼆次⽅程（m-1）x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，求m 的值．4.若⼀元⼆次⽅程2(24)(36)80a x a x a -+++-=没有⼀次项，则a 的值为 .专题三利⽤⼀元⼆次⽅程的解的概念求字母、代数式5.已知关于x 的⽅程x 2+bx+a=0的⼀个根是-a （a≠0），则a-b 值为（） A.－1 B.0 C.1 D.26.若⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0中，a －b+c=0，则此⽅程必有⼀个根为 .7.已知实数a 是⼀元⼆次⽅程x 2－2013x+1=0的解，求代数式22120122013a a a +--的值.知识要点：1.只含有⼀个未知数（⼀元），并且未知数的最⾼次数是2（⼆次），等号两边都是整式的⽅程，叫做⼀元⼆次⽅程.2.⼀元⼆次⽅程的⼀般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2温馨提⽰：1.⼀元⼆次⽅程概念中⼀定要注意⼆次项系数不为0的条件.2.⼀元⼆次⽅程的根是两个⽽不再是⼀个.⽅法技巧：1.ax k+bx+c=0是⼀元⼀次⽅程的情况有两种，需要分类讨论.2.利⽤⼀元⼆次⽅程的解求字母或者代数式的值时常常⽤到整体思想，需要同学们认真领会. 答案：1. D 解析：3020mm-≠+≥，解得m≥-2且m≠32.解：（1）当212,10mm+=+≠时，它是⼀元⼆次⽅程.解得：m=1．当m=1时，原⽅程可化为2x2-x-1=0；（2）当20,10m+=或者当m+1+（m-2）≠0且m2+1=1时，它是⼀元⼀次⽅程.解得：m=-1，m=0.故当m=-1或0时，为⼀元⼀次⽅程．3.解：由题意，得：210,10.mm-=-≠解得：m=－1．4.a=-2 解析：由题意得360,240.aa+=-≠解得a=－2.5. A 解析：∵关于x的⽅程x2+bx+a=0的⼀个根是-a（a≠0），∴a2－ab+a=0.∴a（a－b+1）=0.∵a≠0，∴1-b+a=0.∴a-b=-1．6.x=－1 解析：⽐较两个式⼦会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后⼀项相同；（3）第⼀个式⼦x2对应了第⼆个式⼦中的1，第⼀个式⼦中的x对应了第⼆个式⼦中的-1.故==-.解得x=－1.7.解：∵实数a是⼀元⼆次⽅程x2－2013x+1=0的解，∴a2－2013a+1=0. ∴a2+1=2013a，a2－2013a=－1.∴2.2 ⼀元⼆次⽅程的解法专题⼀利⽤配⽅法求字母的取值或者求代数式的极值1.若⽅程25x2-（k-1）x+1=0的左边可以写成⼀个完全平⽅式；则k的值为（）A．-9或11 B．-7或8 C．-8或9 C．-8或92.如果代数式x2+6x+m2是⼀个完全平⽅式，则m= .3.⽤配⽅法证明：⽆论x为何实数，代数式－2x2+4x－5的值恒⼩于零．专题⼆利⽤△判定⼀元⼆次⽅程根的情况或者判定字母的取值范围4.已知a，b，c分别是三⾓形的三边，则⽅程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A.没有实数根B.可能有且只有⼀个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根5.关于x的⽅程kx2+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（）6.定义：如果⼀元⼆次⽅程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满⾜a＋b＋c＝0，那么我们称这个⽅程为“凤凰”⽅程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”⽅程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c专题三解绝对值⽅程和⾼次⽅程7.若⽅程（x2+y2-5）2=64，则x2+y2= .8.阅读题例，解答下题：例：解⽅程x2－|x－1|－1=0.解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.（2）当x－1＜0，即x＜1时，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2.综上所述，原⽅程的解是x=1或x=－2.10.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：代数第三册在解⽅程3x （x+2）=5（x+2）时，先将⽅程变形为3x （x+2）-5（x+2）=0，这个⽅程左边可以分解成两个⼀次因式的积，所以⽅程变形为（x+2）（3x-5）=0．我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中⾄少有⼀个等于0；反过来，如果两个因式有⼀个等于0，它们的积等于0．因此，解⽅程（x+2）（3x-5）=0，就相当于解⽅程 x+2=0或3x-5=0，得到原⽅程的解为x 1=-2，x 2=53．根据上⾯解⼀元⼆次⽅程的过程，王⼒推测：a ﹒b ＞0，则有 0,0a b >??>?或者0,0.a b请判断王⼒的推测是否正确？若正确，请你求出不等式51023x x ->-的解集，如果不正确，请说明理由．专题五利⽤根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值11. 设x 1、x 2是⼀元⼆次⽅程x 2+4x －3=0的两个根，2x 1（x 22+5x 2﹣3）+a =2，则a = ． 12.（2012·怀化）已知x 1、x 2是⼀元⼆次⽅程()0262=++-a ax x a 的两个实数根，⑴是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2=4＋x 2成⽴？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；⑵求使（x 1＋1）（x 2＋1）为负整数的实数a 的整数值．13.(1)教材中我们学习了：若关于x 的⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2,x 1+x 2=－b a ,x 1·x 2=ca .根据这⼀性质，我们可以求出已知⽅程关于x 1、x 2的代数式的值．例如：已知x 1、x 2为⽅程x 2-2x-1=0的两根，则：（1）x 1+x 2=____，x 1·x 2=____，那么x 12+x 22=( x 1+x 2)2-2 x 1·x 2=__ __．请你完成以上的填空．．．．．．．．．．（2）阅读材料：已知2210,10m m n n --=+-=，且1mn ≠．求1mn n+的值．解：由210n n +-=可知0n ≠．∴21110n n +-=．∴211是⽅程210x x --=的两根．∴11m n +=．∴1mn n+=1．（3）根据阅读材料所提供的的⽅法及（1）的⽅法完成下题的解答．已知222310,320m m n n --=+-=，且1mn ≠．求221m n+的值．知识要点：1.解⼀元⼆次⽅程的基本思想——降次，解⼀元⼆次⽅程的常⽤⽅法：直接开平⽅法、配⽅法、公式法、因式分解法.2.⼀元⼆次⽅程的根的判别式△=b-4ac 与⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的关系：当△>0时，⼀元⼆次⽅程有两个不相等的实数解；当△=0时，⼀元⼆次⽅程有两个相等的实数解；△<0时，⼀元⼆次⽅程没有实数解.3.⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2与系数a 、b 、c 之间存在着如下关系： x 1+x 2=﹣，x 1?x 2=.温馨提⽰： 1.x 2+6x+m 2是⼀个完全平⽅式，易误以为m=3.2.若⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2有双层含义：（1）ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0；（2）x 1+x 2=﹣，x 1?x 2=.⽅法技巧：1.求⼆次三项式ax 2+bx+c 极值的基本步骤：（1）将ax 2+bx+c 化为a （x+h ）2+k ；（2）当a>0，k>0时，a （x+h ）2+k ≥k ；当a<0，k<0时，a （x+h ）2+k ≤k.2.若⼀元⼆次⽅程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则ax 2+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．3.解绝对值⽅程的基本思路是将绝对值符号去掉，所以要讨论绝对值符号内的式⼦与0的⼤⼩关系.4.解⾼次⽅程的基本思想是将⾼次⽅程将次转化为关于某个式⼦的⼀元⼆次⽅程求解.5.利⽤根与系数求解时，常常⽤到整体思想.答案： 1.A 解析：根据题意知，-（k-1）=±2×5×1，∴k-1=±10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9．2. ±3 解析：据题意得，m 2=9，∴m=±3．3.证明：－2x 2+4x －5=－2（x 2－2x ）－5=－2（x 2－2x+1）－5+2=－2（x －1）2∴⽆论x 为何实数，代数式－2x 2+4x-5的值恒⼩于零．4.A 解析：△=（2c ）2﹣4（a +b ）（a +b ）=4（a +b +c ）（c ﹣a ﹣b ）.根据三⾓形三边关系，得c ﹣a ﹣b ＜0，a +b +c ＞0．∴△＜0．∴该⽅程没有实数根．5.A 解析：当kx 2+3x+1=0为⼀元⼀次⽅程⽅程时，必有实数根，此时k=0；当kx 2+3x+1=0为⼀元⼆次⽅程且有实数根时，如果有实数根，则203420k k ≠?-??≥?.解得98k ≤且k ≠0.综上所述98k ≤.6.A 解析：∵⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根，∴△＝b 2－4ac＝0，⼜a ＋b ＋c ＝0，即b ＝－a －c ，代⼊b 2－4ac ＝0得（－a －c ）2－4ac ＝0，化简得（a－c ）2＝0，所以a ＝c ．7.13 解析：由题意得x 2+y 2-5=±8.解得x 2+y 2=13或者x 2+y 2=－3（舍去）.8.解：①当x+2≥0，即x≥－2时，x 2+2（x+2）－4=0，∴x 2+2x=0.解得x 1=0，x 2=－2；②当x+2＜0，即x ＜-2时，x 2－2（x+2）－4=0，∴x 2－2x －8=0. 解得x 1=4（不合题设，舍去），x 2=－2（不合题设，舍去）．综上所述，原⽅程的解是x=0或x=－2． 9.4 1-，﹣3；41，3．发现的⼀般结论为：若⼀元⼆次⽅程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则ax 2+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．11.8 解析：∵x 1x 2＝－3，x 22+4x 2－3=0，∴2x 1(x 22+5x 2－3)+a =2转化为2x 1(x 22+4x 2－3+ x 2)+a =2. ∴2x 1x 2+a =2.∴2×(－3)+a ＝2.解得a ＝8.12.解：（1）根据题意，得△=（2a ）2－4×a （a －6）=24a ≥0．∴a ≥0．⼜∵a －6≠0，∴a ≠6．由根与系数关系得：x 1＋x 2=－62-a a ，x 1x 2=6-a a. 由－x 1＋x 1x 2=4＋x 2 得x 1＋x 2 ＋4=x 1x 2.∴－62-a a ＋4 =6-a a，解得a =24．经检验a =24是⽅程－62-a a ＋4 =6-a a的解．（2）原式=x 1＋x 2 ＋x 1x 2 ＋1=－62-a a ＋6-a a ＋1=a-66为负整数，∴6－a 为－1或－2，－3，－6.解得a =7或8，9，12．13.解：（1）2，－1， 6．（3）由n 2+3n-2=0可知n ≠0,∴1+3n －2n 2=0.∴2n 2－ 3n －1=0.⼜2m 2-3m-1=0,且mn ≠1，即m ≠1n ．∴m 、1n是⽅程2x 2-3x-1=0的两根．∴m+1n = 32,m ·1n =－12,∴m 2+ 1n 2=(m+ 1n )2-2m ·1n =( 32)2-2·(－12)= 134.2.3 ⼀元⼆次⽅程的应⽤专题⼀、利⽤⼀元⼆次⽅程解决⾯积问题 1.在⾼度为2.8m 的⼀⾯墙上，准备开凿⼀个矩形窗户．现⽤9.5m 长的铝合⾦条制成如图所⽰的窗框．问：窗户的宽和⾼各是多少时，其透光⾯积为3m 2（铝合⾦条的宽度忽略不计）．条所占⾯积为原矩形图案⾯积的三分之⼀，应如何设计每个彩条的宽度？3. 数学的学习贵在举⼀反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下⾯的问题：（1）在长为a m，宽为b m的⼀块草坪上修了⼀条1m宽的笔直⼩路（如图（1）），则余下草m；坪的⾯积可表⽰为2（2）现为了增加美感，设计师把这条⼩路改为宽恒为1m的弯曲⼩路（如图（2）），则此时m；余下草坪的⾯积为2（3）聪明的鲁鲁结合上⾯的问题编写了⼀道应⽤题，你能解决吗？相信⾃⼰哦！（如图（3）），在长为50m，宽为30m的⼀块草坪上修了⼀条宽为xm的笔直⼩路和⼀条长恒m．求⼩路的宽x.为xm的弯曲⼩路（如图3），此时余下草坪的⾯积为14212专题⼆、利⽤⼀元⼆次⽅程解决变化率问题4.据报道，我省农作物秸杆的资源巨⼤，但合理利⽤量⼗分有限，2012年的利⽤率只有30%，⼤部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利⽤量的增长率相同，要使2014年的利⽤率提⾼到60%，求每年的增长率．（取2≈1.41）5.某种电脑病毒传播⾮常快，如果⼀台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你⽤学过的知识分析，每轮感染中平均⼀台电脑会感染⼏台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？6.（2012·⼴元）某中⼼城市有⼀楼盘，开发商准备以每平⽅⽶7000元的价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平⽅⽶5670 元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引⼒．请问房产销售经理的⽅案对购房者是否更优惠？为什么？专题三、利⽤⼀元⼆次⽅程解决市场经济问题7.（2012·济宁）⼀学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了⼀批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司⽀付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？8.（2012·南京）某汽车销售公司6⽉份销售某⼚家的汽车，在⼀定范围内，每部汽车的售价与销售量有如下关系：若当⽉仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元,每多售出1 部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；⽉底⼚家根据销售量⼀次性返利给销售公司，销售10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元.(1)若该公司当⽉售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元.(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当⽉盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）专题四、利⽤⼀元⼆次⽅程解决⽣活中的其他问题9. (1)经过凸n边形(n＞3)其中⼀个顶点．．．．．．的对⾓线有条.(2)⼀个凸多边形共有14条对⾓线,它是⼏边形？10.如图每个正⽅形是由边长为1的⼩正⽅形组成．（1）观察图形，请填与下列表格：正⽅形边长 1 3 5 7 … n （奇数）红⾊⼩正⽅形个数 … 正⽅形边长 2 4 6 8 … n （偶数）红⾊⼩正⽅形个数…（2）在边长为n （n≥1）的正⽅形中，设红⾊⼩正⽅形的个数为P 1，⽩⾊⼩正⽅形的个数为P 2，问是否存在偶数n ，使P 2=5P 1？若存在，请写出n 的值；若不存在，请说明理由．知识要点：列⽅程解决实际问题的常见类型：⾯积问题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、⽣活中的其他问题. 温馨提⽰：1.若设每次的平均增长(或降低)率为x ，增长(或降低)前的数量为a ，则第⼀次增长(或降低)后的数量为a(1±x)，第⼆次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2．2.⾯积(体积)问题属于⼏何图形的应⽤题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据⾯积(体积)公式列出⼀元⼆次⽅程．3.列⽅程解决实际问题时，⽅程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性. ⽅法技巧：1. 变化率问题中常⽤a （1±x ）n=b ，其中a 是起始量，b 是终⽌量，n 是变出次数，x 是变化率.变化率问题⽤直接开平⽅法求解简单.2.解决⾯积问题常常⽤到平移的⽅法，利⽤平移前后图形⾯积不变建⽴等量关系.答案：1.解：设⾼为x ⽶，则宽为9.50.523x --⽶.由题意，得9.50.5233xx --?=. 解得121.5,3x x == (舍去,⾼度为2.8m 的⼀⾯墙上). 当x=1.5时，宽9.50.529.50.53233x ----==.答：⾼为1.5⽶,宽为2⽶.2.解：设横、竖彩条的宽度分别为2xcm 、3xcm ，由题意，得（20－6x ）（30－4x ）=（1－13）×20×30.整理，得6x 2－65x ＋50＝0.。

第二章一元二次方程培优奥赛讲义

九上第二章一元二次方程培优讲义一．填空题（共15小题）1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为．2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为．3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是．4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是．5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为．6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=．7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=．10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是．11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是．13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为．14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染．15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为．二．解答题（共18小题）16．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2=0．（1）已知x=2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC=时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．17．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为多少？18．完成下列问题：（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx﹣2n=0的根，求m+n的值；（2）已知x，y为实数，且y=2+3﹣2．求2x﹣3y的值．19．若方程x2﹣6x﹣k﹣1=0与x2﹣kx﹣7=0仅有一个公共的实数根，试求k的值和相同的根．20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．21．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值．22．关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）=0（k≠0）．（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）要使得方程的两个实数根都是整数，求k可能取值．23．阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程．例：解方程：x2﹣|x|﹣2=0解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0．解得：x1=2，x2=﹣1∵x≥0，故x=﹣1舍去，∴x=2是原方程的解；当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0．解得：x1=﹣2，x2=1∵x＜0，故x=1舍去，∴x=﹣2是原方程的解；综上所述，原方程的解为x1=2，x1=﹣2．解方程x2+2|x+2|﹣4=0．24．阅读材料并解决下列问题：因为x2+5x+6=x2+（3+2）x+3×2，所以x2+5x+6=（x+3）（x+2），所以方程x2+5x+6=0用因式分解法解得：x1=﹣2，x2=﹣3．又如x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），所以方程x2﹣5x+6=0用因式分解法解得x1=2，x2=3．一般地，因为x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b），所以x2+（a+b）x+ab=0，即（x+a）（x+b）=0的解为x1=﹣a，x2=﹣b．请依照上述方法，用因式分解法解下列方程：（1）x2+8x+7=0（2）x2﹣11x+28=0．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值26．某旅游景点的年游客量y（万人）是门票价格x（元）的一次函数，其函数图象如图．（1）求y关于x的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？27．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；（2）这种水果进价为每千克40元，若在销售等各个过程中每千克损耗或开支2.5元，经一次降价销售后商场不亏本，求一次下降的百分率的最大值．28．如图，城市规划部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建乙面积为1500m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60m，宽为40m．（1）求通道的宽度；（2）某公司承揽了修建停车场的工程（不考虑修通道），为了尽量减少施工对城市交通的影响，实施施工时，每天的工作效率比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务，求该公司原计划每天修建多少m2？29．阳谷县2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1500万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1440万元．（1）从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2018年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户含第1000户每户每天奖励9元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？30．列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为x元．（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为个（用含有x的代数式表示）（2）当x为多少元时，厂家每天可获利润20000元？31．利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？32．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？33．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．（1）如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2；（2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，并且点P到B点后又继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上前进，则经过几秒钟后，△PCQ的面积等于12.6cm2．34.如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B 的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头．小岛F位于BC中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）参考答案一．填空题（共15小题）1．2012；2．﹣1；3．；4．1；5．12；6．219；7．0或16；8．1＜m＜5；9．﹣；10．；11．﹣；12．8；13．11；14．8；729；15．10x+（x2+3）=3（x+x2+3）；。

一元二次方程奥数题正式培训大全

一元二次方程奥数题正式培训大全一元二次方程奥数题21．已知αβ、是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是2．设a 、b 是方程x 2+x-2011=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为3．若2=-n m ，则124222-+-n mn m 的值为．4．方程112(1)(2)(2)(3)3x x x x +=++++的解是．5．已知α、β是方程2210x x +-=的两根，则3510αβ++的值为6．已知关于ｘ的方程（ａ－1）ｘ2＋2ｘ－ａ－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数ａ有____个．7．试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程rx 2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。

8．已知：a ，b ，c 三数满足方程组=+-=+482882c c ab b a ，试求方程bx 2+cx-a=0的根。

9．方程x 2+ax+1=0和x 2－x －a=0有一个公共根，则a 的值是10、已知0200052=--x x，则()()211223-+---x x x 的值是 .11.已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++-a a a .12.若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=ba 。

13、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a .14.已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a .15.已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m .16.已知α是方程0412=-+x x 的一个根，则ααα--331的值为 .17、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα18、若关于x 的方程xax x x x x a 1122++-=-只有一解，求a 的值。

一元二次方程的概念及其解法培训资料

一元二次方程的概念及其解法一元二次方程的概念及解法和讲义知识点一：一元二次方程的概念 (1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a ≠0）例1：下列方程①x 2+1=0；②2y(3y-5)=6y 2+4；③ax 2+bx+c=0 ；④0351=--x x，其中是一元二次方程的有。

变式:方程：①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次程的是。

例2：一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。

变式1：一元二次方程3（x —2）2＝5x －1的一般形式是，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。

变式2：有一个一元二次方程，未知数为y ，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

例3：在关于x 的方程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式1：已知关于x 的方程(m+1)x 2－mx+1=0，它是（） A ．一元二次方程 B ．一元一次方程 C ．一元一次方程或一元二次方程 D ．以上答案都不对变式2：当m 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m是一元二次方程知识点二：一元二次方程的解（1）概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

专题01 一元二次方程的解法重难点题型专训(解析版)

专题01一元二次方程的解法重难点题型专训【题型目录】题型一用直接开方法解一元二次方程题型二用配方法解一元二次方程题型三用公式法解一元二次方程题型四用因式分解法解一元二次方程题型五用换元法解一元二次方程题型六根据判别式判断一元二次方程根的情况题型七根据一元二次方程根的情况求参数题型八配方法的应用【经典例题一用直接开方法解一元二次方程】【解题技巧】开平方法：对于形如n x 2或)0()(2 a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如n x 2的方程的解法：当0 n 时，n x ;当0 n 时，021 x x ;当0 n 时，方程无实数根。

【例1】（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）若一元二次方程 20ax b ab 的两根分别是1m 和23m ，则ba的值为（）A ．16B ．259C ．25D ．259或25【答案】B【分析】直接开平方得到：bx a，得到方程的两个根互为相反数，所以1230m m ，解得23m ，则方程的两个根分别是153x ，253x ，则有53b a ，然后两边平方即可得出答案．【详解】解：∵一元二次方程2ax b 的两个根分别是1m 与213m ，且bx a，∴1230m m ，解得：23m ，即方程的根是：153x ，253x ，∴2259b b a a，故选：B ．【点睛】题目主要考查了解一元二次方程及一元一次方程，灵活运用一元二次方程2(0)ax b ab ＝的两根互为相反数是解题关键．【变式训练】1．（2022春·八年级单元测试）下列哪个是一元二次方程22(1)3x 的解（）A ．12x ，23x B ．132x ，232x C ．1612x，612x D ．1612x，2612x 【答案】C【分析】两边同时除以2，再两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解： 2213x ，2312x，612x，解得，1612x ，2612x ，故选：C【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，类型有： 20x a a ；2ax b （a b，同号且0a ）； 20x a b b ； 2( a x b c a c ，同号且0)a ．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．2．（2023·安徽·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x b 分别与x 的正半轴、y 的负半轴相交于A B ，两点，已知AOB 的面积等于16，则b 的值为______．【答案】8【分析】依据题目求出1,02A b， 0,B b ，再根据AOB 的面积等于16，即可得出答案．【详解】当0y 时，02x b∴12x b ，∴1,02A b，当0x 时，y b ∴ 0,B b ，∵直线2y x b 分别与x 的正半轴、y 的负半轴相交于A B ，两点，∴12OA b ，OB b∵AOB 的面积等于16，∴ 111622b b，解得：8b ，8b （不合题意，舍去）．故答案为：8 ．【点睛】此题考查了一次函数与x 轴、y 轴的交点问题，以及三角形面积问题，一元二次方程的解，掌握一次函数与x 轴、y 轴的交点的求法是解题的关键．3．（2023·上海·八年级假期作业）解关于x 的方程： 2222x a a ab b ．【答案】12x a b ，2x b ．【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可．【详解】解： 22x a a b ，∴ x a a b ，∴x a a b 或 x a a b ，解得：12x a b ，2x b ．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用直接开平方法解一元二次方程．【经典例题二用配方法解一元二次方程】【解题技巧】配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x 2)(的方程，再运用开平方法求解。

【数学】培优一元二次方程辅导专题训练附答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围；（2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0．【答案】(1)12313313,22x x +-== ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0∴． ∴12313313,22x x +-==．（2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--3．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=4．解下列方程：(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；(2)(x＋1)2＝6x＋6.【答案】(1)x1＝1＋62x2＝1－621＝－1，x2＝5.【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝12，∴x2－2x＋1＝32.∴(x－1)2＝32.∴x－1＝32±6 2.∴x1＝1＋62，x2＝1－62.(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0.∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.∴x1＝－1，x2＝5.5．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x-+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。

一元二次方程(竞赛培训资料)

一元二次方程含有字母系数的方程１．解关于x 的方程：()02122=+++-m x m mx练习：解关于x 的方程：()()02=-+-+-a c x c b x b a 含绝对值的方程２．解方程：0232=+-x x练习：求方程629332+=-+++x x x x的实数根。

方程的根３．方程()012006200420052=-⨯-x x 较大根为r ，020*******=-+x x 的较小的根为s ，求s r -。

练习1：已知二次方程02=++c bx ax的两根和为1S ，两根的平方和为2S ，两根的立方和为3S ，试求123cS bS aS ++的值。

练习2：已知a 是方程0120032=+-x x 的一个根，求12003200222++-a a a 的值。

练习3：已知a 是方程0199762=--x x 的一个正根，求代数式a19976199761997619978++++的值。

公共根４．已知关于x 的方程()0212=-+-x k x 和方程()0122=+--k k x x 只有一个相同的根，求k 的值和此公共根。

练习：已知关于x 的方程()0312=-++x m x和方程042=--m x x 有一个公共根，求两个非公共根的和。

巧解方程（组）５．解方程（组）：（１）()0178322=-+-x x （可变为()()05324322=--+-x x ）（２）011223334251=++++-+-+++xx x x x x（３）421131132=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-x x x x x x （４）()3322222-+=-+++-x x x x x x （５）()()821344=+++x x （６）()()2229152132x x x x x =+++- （７）解关于x 的方程：()()()0=+++++++abc b a x a c x c b x（８）解关于x 的方程：()()0212223=-+--+t t tx x t x（９）解方程：x x x x x 31132232552-=++++ （１０）解方程：()()221112++-=-+x x x x （１１）解方程：()()10625625=-++x x （１２）解方程：2937322=-+-++x x x x （１３）解方程：397397373373----+-=--+-++x x x x x x x x （１４）解方程：⎩⎨⎧=+=+8428322y xy xy x （１５）解方程组：⎩⎨⎧=++=++1712222y y x x y xy x （１６）解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+++812331y y x y x y x （１７）解方程组：()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=+043511211xz z x zy yz xy y x（１８）解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++251x z zx z y yz y x xy根与系数的关系：１．()a c x x a b x x a c bx ax=-=+−−→−≠=++≥∆212102,00 ２．()2122122212x x x x x x -+=+，()()21221221214x x x x x x x x -+=-=- ()()212132132313x x x x x x x x +-+=+，21212111x x x x x x +=+ 例１、已知方程()0134222=-+-m mx x ，求当m 为何值时，方程（1）有两个正根；（2）两根异号；（3）有一根为0。

901.一元二次方程的解法-奥数精讲与测试

知识点、重点、难点例题精讲例1：解方程2(21)32120.x x ---+=例2：解方程22140.x x ---=例3：解关于x 的方程2()2()0.a b c x ax a b c -++++-=例4：已知首项系数不相等的两个关于x 的二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= 222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=及（,a b 是正整数）有一个公共根，求2bb aa b a b--++的值。

例5：若二次方程2220x px q ++=有实根，其中p 、q 为奇数。

证明：此方程的根是无理数。

例6：解关于x 的方程：2222(1)2()0.x t x tx t t +--+-=习题 A 卷一、填空题1. 设方程22(1)(1)30m x m x --++=，当m 时，是一元一次方程；当m 时，是一元二次方程。

2. 方程33(1)(1)2x x +--=，用方法较简捷，其根是。

3. 用公式法解23412x x =-，其根是。

4. 将方程22730x x ++=化成()()0a x m x n ++=的形式，可得。

5. 若1x =是方程20ax bx c ++=的一个根，则a b c ++= 。

6. 若方程22(1)230m x x m m -+++-=有一个根为0，则m = 。

7. 关于x 的方程222440c x bx b -+-=，则x = 。

8. 若a 是方程20x bx a ++=的根，则a b += 。

9.已知473x -=，则2421x x x ++的值是。

10.如果对于任意两个实数a 、b ，定义*2a b a b =+，解方程： 2*(2)2*10x x +=，可得x = 。

二、解答题11.用公式法解2(1)2(2)0.m x m x m --++=12.若方程210x bx ++=与方程20x x b --=至少有一个相同的实数根，求实数b 的值。

奥数第一讲-一元二次方程及其应用

第一讲一元二次方程及其应用班级：姓名：日期：【课前热身】1．若关于x 的方程（x －2）（x 2－4x ＋m ）=0有三个整数根，且这三个整数根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的值是___________，此时这个三角形是三角形。

2．若2221.013aa a a +=++求的值为。

3．y =29722a a ++的最小值为；y =29722a a -++的最大值为。

4．225101x x x x x -+==-+已知，那么．5．如果多项式200842222++++=b a b a p ，则p 的最小值是（） A 、2005 B 、2006 C 、2007 D 、20086．设2321022010m m m m +-=++=，则7．如果对于任意两个实数a 、b ，“*”为一种运算，定义为b a b a 2+=*，则函数42)2(2*+*=x x y （－3≤x ≤3）的最大值与最小值的和为．8. 设x 1，x 2关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则()()122122x x x x --的最大值为。

【知识点链接】1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个实数根，即=2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有相等的实数根，即==21x x .（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.2．一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .3.二次三项式2(0)ax bx c a ++≠的最值问题讨论如下：2222224()()()2424b b b b ac b ax bx c a x x c a x c a x a a a a a-++=++=++-=++①当0a时，二次三项式2ax bx c ++在2ba a=-时有最大值244ac b a - ②当0a时，二次三项式2ax bx c ++在2ba a=-时有最小值244ac b a - 【典例精析】例1 设实数a ，b 满足：2231085100a ab b a b -++-=，求u =29722a b ++的最小值.解：例2 设ｍ是不小于－1的实数，使得关于ｘ的方程ｘ2＋2（ｍ－2）ｘ＋ｍ2－3ｍ＋3＝0有两个不相等的实数根ｘ1，ｘ2．（1）若ｘ12＋ｘ22＝6，求ｍ的值；（2）求的最大值．解：例3 边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程2(2)40x k x k -++=的两根，求k 的值并确定直角三角形三边之长．解：【巩固练习】1．如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（）（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）52．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么若21x =-,则x i =±，从而x i =±是方程21x =-的两个根。

一元二次方程奥数题正式培训大全2资料

一元二次方程奥数题正式培训大全2一元二次方程奥数题21．已知αβ、是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是2．设a 、b 是方程x 2+x-2011=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为3．若2=-n m ，则124222-+-n mn m 的值为．4．方程112(1)(2)(2)(3)3x x x x +=++++的解是．5．已知α、β是方程2210x x +-=的两根，则3510αβ++的值为6．已知关于ｘ的方程（ａ－1）ｘ2＋2ｘ－ａ－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数ａ有____个．7．试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程rx 2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。

8．已知：a ，b ，c 三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+482882c c ab b a ，试求方程bx 2+cx-a=0的根。

9．方程x 2+ax+1=0和x 2－x －a=0有一个公共根，则a 的值是10、已知0200052=--x x ，则()()211223-+---x x x 的值是 .11.已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++-a a a . 12.若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a 。

第一讲培优竞赛一元二次方程的解法辅导

第⼀讲培优竞赛⼀元⼆次⽅程的解法辅导第⼀讲⼀元⼆次⽅程的定义及解法培优竞赛辅导【基础知识回顾】知识点⼀、⼀元⼆次⽅程的定义：1、⼀元⼆次⽅程：含有个未知数，并且未知数最⾼次数是2的⽅程2、⼀元⼆次⽅程的⼀般形式：,其中⼆次项是,⼀次项是，是常数项。

3 、⼀元⼀次⽅程的解:常⽤的两个结论是：①a ＋b ＋c=0,则⽅程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有⼀根为1；②a －b ＋c=0,则⽅程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有⼀根为－1;若c=0呢?题型⼀：⼀元⼆次⽅程的概念例1.下列⽅程中是关于x 的⼀元⼆次⽅程的是（）A 02=++c bx axB 02112=-+x xC 1222+=+x x xD ()()12132+=+x x 变:（1)当k 时，关于x 的⽅程3222+=+x x kx 是⼀元⼆次⽅程。

(2)⽅程()0132=+++mx x m m 是关于x 的⼀元⼆次⽅程，则m 的值为。

题型⼆：⼀元⼆次⽅程的解例2.关于x 的⼀元⼆次⽅程()04222=-++-a x x a 的⼀个根为0，则a 的值为变:（1）已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为(2)若n ﹙n ≠0﹚是关于x 的⽅程x 2＋mx ＋2n ＝0的根，则m ＋n 的值。

(3)设设a 是⽅程x 2－2005x ＋1＝0的⼀个根，则a 2－2004a ＋＝ (4)已知关于x 的⼀元⼆次⽅程()002≠=++a c bx ax 的系数满⾜b c a =+，则此⽅程必有⼀根为。

知识点⼆、⼀元⼆次⽅程的常⽤解法：1、直接开平⽅法：如果2ax b =( )，则2x = ，1x = ，2x = 。

2、因式分解法：⼀元⼆次⽅程化为⼀般形式后，如果左边能分解因式，即产⽣0A B = 的形式，则可将原⽅程化为两个⽅程，即、从⽽得⽅程的两根.3、配⽅法：解法步骤：①化⼆次项系数为即⽅程两边都⼆次项系数；②移项：把项移到⽅程的边；③配⽅：⽅程两边都加上把左边配成完全平⽅的形式；④解⽅程：若⽅程右边是⾮负数，则可⽤直接开平⽅法解⽅程。

一元二次方程培训

九年级培训试卷一元二次方程的基本概念一、判断题1、任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理都可以化为02=++c bx ax的形式（） 2、02=++c bx ax 是一元二次方程的一般形式（）3、方程02=++c bx ax 中，a 一定不能等于零（）4、当K 为任何实数时，方程0)1(422=+++k x x k 是一个一元二次方程（）5、方程0322=+x x 的常数项等于零（）二、填空题1、方程0432=-+x x 的二次项为，一次项为，常数项为。

2、方程194)74(2=+-x x 中，二次项系数为，一次项系数为，常数项为。

3、一元二次方程的一般形式是，其中叫做二次项系数，叫做一次项系数，叫做常数项。

4、如果方程的两边都是关于的整式，这种方程叫做整式方程。

5、关于x 的方程b a x =-2)(的二次项，一次项系数和常数项分别为，，。

6、一元二次方程4)3)(1(2=--x x 的一般形式是。

7、x x )12(232+=-化为一元二次方程的一般形式（二次项系数为正）是。

8、一个一元二次方程的二次项系数为-3，一次项系数为-17，常数项是二次项系数的2倍的相反数，这个一元二次方程的一般形式是。

9、若一元二次方程02=++c bx ax 有一个根为1，则c b a ..之和为。

10、若方程0242=-+-m mx x 有一根是0，那么=m 。

11、把方程)0(22≠+-=++-n m p q nx mx nx mx 化为一般形式为。

一元二次方程的解法——直接开平方法一、填空题1、在方程8)13(2=-x 中，13-x 是8的。

所以=-13x 或 =-13x 。

2、方程 142=x 的根是=1x，=2x 。

3、方程100)1(2=+x 的根是=1x ，=2x 。

4、方程81)1(2=-y 的根是=1y ，=2y 。

5、方程01)1(42=-+x 的解是。

一元二次方程提升专题培训(含问题详解)

第三讲：一元二次方程的综合应用（10 月 5 日）1．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则 b=（）A． B ． C ． D ．2．如图是某月的日历表，在这日历表上能够用一个矩形圈出3×3 个地址相邻的 9 个数（如 6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的 9 个数中，最大数与最小数的积为 192，则这 9 个数的和为（）A．32 B ．126 C ．135 D ．1443．如图，矩形 ABCD的周长是 20cm，以 AB，AD为边向外作正方形 ABEF和正方形 ADGH，若正方形 ABEF2）和 ADGH的面积之和 68cm，那么矩形 ABCD的面积是（2222A．21cm B．16cm C．24cm D．9cm2﹣ 2（ m﹣ 1） x+m=0只有一个实数根，那么方程24．若是关于 x 的方程（ m﹣2）x mx﹣（ m+2）x+（ 4﹣m） =0 的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根5．若 a，b，c 为三角形三边，则关于x 的二次方程 x2+（a﹣b）x+c2=0 的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定6．已知α，β是关于 x 的一元二次方程 x2+（ 2m+3）x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则 m的值是（）A．3 B ．1C ．3或﹣1 D ．﹣3或17．若△ ABC的一边 a 为 4，另两边 b、c 分别满足 b2﹣ 5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ ABC的周长为（）A．9 B ．10 C ．9或 10 D ．8或9或 10A．2B．﹣2C．﹣1D．09．若 a? b≠1，且有 2a2+5a+1=0， b2 +5b+2=0，则 2 +的值为（）A． B ．C． D ．10．设 a， b 是方程 x2+x﹣ 2009=0 的两个实数根，则 a2 +2a+b的值为（）A．2006 B ． 2007C． 2008 D ．200911．设α，β是方程 x2+9x+1=0 的两根，则（α2 +2009α +1）（β2+2009β +1）的值是（）A．0 B ．1C．2000D．4 000 00012．若 x1、x2是关于 x 的方程 x2 +bx﹣3b=0 的两个根，且 x12+x22=7．那么 b 的值是（）A．1 B ．﹣7 C ．1或﹣7 D ．7 或﹣113．若是关于 x 的方程 x2﹣2（1﹣k）x+k2 =0 有实数根α、β，则 a+β的取值范围是（）A．α +β≥ 1B．α +β≤ 1C．α +β≥D．α +β≤二．解答题（共 3 小题）14．等腰△ ABC的直角边 AB=BC=10cm，点 P、Q 分别从 A、 C 两点同时出发，均以 1cm/秒的相同速度作直线运动，已知 P 沿射线 AB运动， Q沿边 BC的延长线运动， PQ与直线 AC订交于点 D．设 P 点运动时间为 t ，△ PCQ的面积为 S．（1）求出 S 关于 t 的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S=S？△ PCQ△ABC（3）作 PE⊥AC于点 E，当点 P、 Q运动时，线段 DE的长度可否改变？证明你的结论．文案大全15．某批发商以每件50 元的价格购进800 件 T 恤，第一个月以单价80 元销售，售出了200 件；第二个月若是单价不变，预计仍可售出200 件，批发商为增加销售量，决定降价销售，依照市场检查，单价每降低 1 元，可多售出 10 件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的 T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40 元，设第二个月单价降低x 元．（1）填表：（不需化简）时间第一个月第二个月清仓时单价（元）8040销售量（件）200（2）若是批发商希望经过销售这批T 恤盈利 9000 元，那么第二个月的单价应是多少元？16．已知 x1，x2是一元二次方程4kx2﹣ 4kx+k+2=0 的两个实数根．（1）可否存在实数k，使（ 2x1﹣ x2）（ x1﹣2x2） =﹣成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明原由．（2）求使+﹣2的值为整数的实数k 的整数值．17．已知关于 x 的方程 x2﹣（ 2k+1） x+4（ k﹣）=0．（1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）可否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k 的值；若不能够，请说明原由．（3）当等腰三角形ABC的边长 a=4，另两边的长 b、 c 恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．18．阅读资料：已知 p2﹣ p﹣ 1=0，1﹣q﹣q2=0，且 pq≠1，求的值．解：由 p2﹣p﹣1=0 及 1﹣q﹣q2=0，可知 p≠ 0， q≠0．又∵ pq≠1，∴2可变形为的特色．所以p 与2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数∴1﹣ q﹣ q =0是方程 x 根．则，∴依照阅读资料所供应的方法，完成下面的解答．2，且 m≠ n．求：的值．已知： 2m﹣5m﹣1=0，参照答案与试题解析1．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则 b=（）A．B．C．D．【解析】依照左图能够知道图形是一个正方形，边长为（a+b），右图是一个长方形，长宽分别为（b+a+b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a+b）2 =b（b+a+b），而a=1，代入即可得到关于 b 的方程，解方程即可求出b．【解答】解：依题意得（a+b）2 =b（b+a+b），而 a=1，∴b2﹣ b﹣1=0，∴b=，而b不能够为负，∴b=．应选 B．【议论】此题是一个信息题目，第一正确理解题目的意思，尔后会依照题目隐含条件找到数量关系，尔后利用数量关系列出方程解决问题．2．如图是某月的日历表，在这日历表上能够用一个矩形圈出3×3 个地址相邻的 9 个数（如 6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的 9 个数中，最大数与最小数的积为192，则这 9 个数的和为（）文案大全合用文档【解析】依照日历上数字规律得出，圈出的9 个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为 192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．【解答】解：依照图象能够得出，圈出的9 个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为： x，则最大数为 x+16，依照题意得出：x（x+16）=192，解得： x1=8，x2=﹣24，（不合题意舍去），故最小的三个数为： 8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为： 15，16，17，第 3 行三个数，比上一行三个数分别大7，即为： 22， 23， 24，故这 9 个数的和为： 8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．应选： D．【议论】此题主要观察了数字变化规律以及一元二次方程的解法，依照已知得出最大数与最小数的差为 16 是解题要点．3．如图，矩形 ABCD的周长是 20cm，以 AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形 ADGH，若正方形ABEF2和 ADGH的面积之和 68cm，那么矩形 ABCD的面积是（）2222A．21cm B．16cm C．24cm D．9cm22【解析】此题可设AB=xcm， AD=（ 10﹣x）cm，则正方形 ABEF的面积为 x cm，正方形 ADGH的面积为22（10﹣x） cm，进而结合题意，可列出方程，求得答案．【解答】解：设 AB=xcm，AD=（ 10﹣x）cm，则正方形 ABEF的面积为 x2cm2，正方形 ADGH的面积为（102 2﹣x） cm，依照题意得 x2+（ 10﹣x）2=68整理得 x2﹣10x+16=0解之得 x1=2，x 2=8所以 AB=2cm， AD=8cm或 AB=8cm，AD=2cm，2综上可求矩形 ABCD的面积是 16cm．文案大全合用文档【议论】此题主要观察一元二次方程的应用，在利用一元二次方程解决实责问题时，要依照实责问题对解进行弃取．2﹣ 2（ m﹣ 1） x+m=0只有一个实数根，那么方程24．若是关于 x 的方程（ m﹣2）x mx﹣（ m+2）x+（ 4﹣m） =0 的根的情况是（）A．没有实数根 B ．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根【解析】由关于x 的方程（ m﹣2）x2﹣ 2（ m﹣ 1） x+m=0只有一个实数根，则它为一元一次方程，所以 m﹣2=0，即 m=2；把 m=2代入方程 mx2﹣（ m+2）x+（ 4﹣ m） =0 得 2x2﹣4x+2=0，并且可计算出△=0，由此可判断根的情况．【解答】解：∵关于x 的方程（ m﹣2）x2﹣2（m﹣1）x+m=0只有一个实数根，∴m﹣ 2=0，即 m=2，2变为： 2x 2﹣ 4x+2=0，则方程 mx﹣（ m+2）x+（4﹣m）=0△=42﹣ 4× 2× 2=0，所以方程有两个相等的实数根．应选 C．【议论】此题观察了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）根的鉴识式．当△＞ 0，方程有两个不相等的实数根；当△ =0，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0，方程没有实数根．也观察了一元一次方程和一元二次方程的定义．5．若 a，b，c 为三角形三边，则关于x 的二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0 的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【解析】先求出△ =b2﹣4ac，再结合 a， b，c 为三角形的三边，即可判断根的情况．【解答】解：∵ x2 +（ a﹣ b） x+c2=0，∴△ =b2﹣4ac==（ a﹣ b）2﹣c2=（a﹣b﹣c）（a﹣ b+c）∵a， b， c 为三角形三边，∴b+c＞a，a+c＞b∴a﹣ b﹣ c＜ 0， a﹣ b+c＞0即二次方程x2+（ a﹣b）x+c2=0 无实数根．应选 C．【议论】此题观察了一元二次方程根的鉴识式的应用及三角形三边的关系．226．（非课改）已知α，β是关于 x 的一元二次方程 x+（ 2m+3） x+m=0的两个不相等的实数根，且满足 +=﹣1，则 m的值是（）A．3 B．1 C．3 或﹣1 D．﹣ 3 或 1【解析】由于方程有两个不相等的实数根可得△＞0，由此能够求出 m的取值范围，再利用根与系数的关系和+ =﹣1，能够求出 m的值，最后求出吻合题意的m值．【解答】解：依照条件知：α+β=﹣（ 2m+3），αβ =m2，∴=﹣1，2即 m﹣2m﹣3=0，所以，得，解得 m=3．应选 A．【议论】 1、观察一元二次方程根与系数关系与根的鉴识式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况与鉴识式△的关系：（1）△＞ 0? 方程有两个不相等的实数根；（2）△ =0? 方程有两个相等的实数根；（3）△＜ 0? 方程没有实数根．2、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1? x2=．7．若△ ABC的一边 a 为 4，另两边 b、c 分别满足 b2﹣ 5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ ABC的周长为（）A．9B．10 C．9 或 10D．8 或 9 或 10【解析】由于两边b、c 分别满足 b2﹣5b+6=0，c2﹣ 5c+6=0，可求出 b，c 的值，而△ ABC的一边 a 为4，由此即可求出△ ABC的一边 a 为 4 周长．【解答】解：∵两边b、 c 分别满足 b2﹣ 5b+6=0，c2﹣ 5c+6=0，△ABC的一边 a 为 4，①若 b=c，则 b=c=3 或 b=c=2，但 2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ ABC的周长为 4+3+3=10②若 b≠c，∴△ ABC的周长为 4+5=9．应选 C．【议论】此题主要观察了一元二次方程的解法和三角形的周长结合起来，利用三角形三边关系得出是解题要点．8．已知α2+α﹣ 1=0，β2+β﹣ 1=0，且α≠β，则αβ +α+β的值为（）A．2B．﹣2 C．﹣ 1 D．0【解析】由于α2+α﹣ 1=0，β2 +β﹣ 1=0，且α≠β，所以α，β是方程 x2 +x﹣1=0 的两个根，则α+β=﹣ 1，αβ =﹣ 1，代入αβ +α+β即可求出其值．22【解答】解：∵α+α﹣ 1=0，β +β﹣ 1=0，且α≠β，2∴α，β是方程 x +x﹣1=0 的两个根，则α+β=﹣ 1，αβ =﹣ 1，代入αβ +α+β=﹣ 1﹣1=﹣ 2．应选 B．【议论】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．9．若 a? b≠1，且有 2a2+5a+1=0， b2 +5b+2=0，则 2+的值为（）A．B．C．D．【解析】依照已知条件“若a? b≠ 1，且有 2a2+5a+1=0，b2 +5b+2=0”知，、b能够看作是关于x 的一元二次方程 x2+5x+2=0 的两根；尔后依照韦达定理求得x1? x2 =2，即? b=2，∴a=；再将其代入所求的代数式求值即可．【解答】解：∵ 2a2+5a+1=0，∴+5× +2=0；又∵ b2+5b+2=0，∴、b能够看作是关于x 的一元二次方程x2+5x+2=0 的两根；x1? x2=2，即? b=2，∴a=；∴2 + =2 + =．应选 A．【议论】此题主要观察了根与系数的关系、二次根式的化简求值．解答此题时，不要忽视了条件 a? b ≠1．若在方程 2a2+5a+1=0 的两边同时乘以 2 时，那么 2a、b 能够看作是关于 x 的一元二次方程x2+5x+2=0 的两根，则 a? b=1．10．设 a， b 是方程 x2+x﹣ 2009=0 的两个实数根，则a2 +2a+b的值为（）A．2006B．2007C．2008D．2009【解析】由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故依照方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系获取（ a+b）的值，即可求解．【解答】解：∵ a 是方程 x2+x﹣ 2009=0的根，∴a2+a=2009；由根与系数的关系得：a+b=﹣ 1，∴a2+2a+b=（a2+a） +（ a+b）=2009﹣ 1=2008．应选： C．【议论】此题综合观察了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答此题还要能对代数式进行恒等变形．11．设α，β是方程 x2+9x+1=0 的两根，则（α2 +2009α +1）（β2+2009β +1）的值是（）A．0B．1C． 2000D． 4 000 000【解析】欲求（α2+2009α +1）（β2+2009β +1）的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式（α2+2009α +1）（β2+2009β +1）=（α2+9α +1+2000α）（β2+9β +1+2000β），再利用根与系数的关系代入数值计算即可．【解答】解：∵α，β是方程x2+9x+1=0的两个实数根，∴α +β=﹣ 9，α ? β=1．（α2+2009α +1）（β2+2009β +1）=（α2+9α +1+2000α）（β2+9β +1+2000β）又∵α，β 是方程 x2+9x+1=0 的两个实数根，∴α2+9α +1=0，β2 +9β +1=0．=2000α? 2000β=2000×2000αβ，而 α? β=1，∴（α 2 +9α +1+2000α）（β 2+9β +1+2000β） =4 000 000 ．应选 D ．【议论】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．12．若 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2 +bx ﹣3b=0 的两个根，且 x 12+x 22=7．那么 b 的值是（）A ．1B ．﹣7C ．1 或﹣7D ．7 或﹣1【解析】依照一元二次方程根与系数的关系和代数式变形列出方程求则可．设 x 1 ，x 2 是关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的两个实数根，则 x 1+x 2=，x 1 x 2= ．依照 x 1 2+x 22=（x 1+x 2） 2﹣2x 1x 2 代入数值列出方程解即可．【解答】解： x 1、 x 2 是关于 x 的方程 x 2+bx ﹣ 3b=0 的两个根，得 x 1+x 2 =﹣ b ， x 1 x 2=﹣ 3b ．又 x 2222+x=7，则（ x +x ） ﹣2x1 x =b +6b=7，解得 b=﹣ 7 或 1，121 22当 b=﹣ 7 时，△ =49﹣84＜ 0，方程无实数根，应舍去，取 b=1．应选 A ．【议论】此题观察了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是经常使用的一种解题方法．13．若是关于 x 的方程 x 2﹣2（1﹣k ）x+k 2 =0 有实数根 α、β，则 a+β 的取值范围是（）A ．α +β≥ 1B ．α +β≤ 1C ．α +β≥D ．α +β≤【解析】由于关于 x 的方程 x 2﹣2（1﹣k ）x+k 2=0 有实数根 α、β，则鉴识式△≥ 0，由此能够确定k 的取值范围，尔后利用根与系数的关系确定a+β 的取值范围．【解答】解：∵ a=1，b=﹣ 2（ 1﹣ k ），c=k 2，222∴△ =b ﹣4ac=[ ﹣ 2（ 1﹣ k ） ] ﹣4×1×k ≥0，∵a+β=2（ 1﹣k ）=2﹣ 2k ，而 k ≤ ， ∴α +β≥ 1．应选 A．【议论】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．14．等腰△ ABC的直角边 AB=BC=10cm，点 P、Q 分别从 A、 C 两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线 AB运动， Q沿边 BC的延长线运动， PQ与直线 AC订交于点 D．设 P 点运动时间为 t ，△ PCQ的面积为 S．（1）求出 S 关于 t 的函数关系式；（2）当点 P 运动几秒时， S△PCQ=S△ABC？（3）作 PE⊥AC于点 E，当点 P、 Q运动时，线段 DE的长度可否改变？证明你的结论．【解析】由题能够看出 P 沿 AB向右运动， Q沿 BC向上运动，且速度都为 1cm/s，S= QC×PB，所以求出 QC、PB与 t 的关系式即可得出 S 与 t 的关系，别的应注意 P 点的运动轨迹，它不但在 B 点左侧运动，达到一准时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．【解答】解：（1）当 t ＜ 10 秒时， P 在线段 AB上，此时 CQ=t， PB=10﹣t∴当 t ＞ 10 秒时， P 在线段 AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10∴（4分）（2）∵ S =（5 分）△ABC∴当 t ＜10 秒时， S△PCQ=整理得 t 2﹣10t+100=0 无解（ 6 分）当 t ＞ 10 秒时， S△PCQ=文案大全（3）当点 P、 Q运动时，线段 DE的长度不会改变．证明：过 Q作 QM⊥AC，交直线 AC于点 M易证△ APE≌△ QCM，∴AE=PE=CM=QM=t ，∴四边形 PEQM是平行四边形，且DE是对角线 EM的一半．又∵ EM=AC=10 ∴DE=5∴当点 P、 Q运动时，线段 DE的长度不会改变．同理，当点 P 在点 B 右侧时， DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段 DE的长度不会改变．【议论】做此类题应第一找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，好多问题就会瓜熟蒂落．15．某批发商以每件50 元的价格购进800 件 T 恤，第一个月以单价80 元销售，售出了200 件；第二个月若是单价不变，预计仍可售出200 件，批发商为增加销售量，决定降价销售，依照市场检查，单价每降低 1 元，可多售出 10 件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的 T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40 元，设第二个月单价降低x 元．（1）填表：（不需化简）时间第一个月第二个月清仓时单价（元）8040销售量（件）200（2）若是批发商希望经过销售这批 T 恤盈利 9000 元，那么第二个月的单价应是多少元？【解析】（1）依照题意直接用含 x 的代数式表示即可；（2）利用“盈利 9000 元”，即销售额﹣进价 =利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实责问题中检验可否吻合题意，进行值的弃取．【解答】解：（1） 80﹣ x， 200+10x， 800﹣200﹣（ 200+10x）时间第一个月第二个月清仓时单价（元）8080 ﹣x40销售量（件）200800 ﹣ 200﹣（ 200+10x）200+10x（2）依照题意，得200×（ 80﹣ 50）+（200+10x）×（ 80﹣ x﹣ 50）+（400﹣10x）（40﹣50） =9000整理得 10x2﹣200x+1000=0，即 x2﹣20x+100=0，解得 x1=x2=10当 x=10 时， 80﹣x=70＞50答：第二个月的单价应是70 元．【议论】解题要点是要读懂题目的意思，依照题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润 =售价﹣进价．16．【解析】（1）依照已知方程有两个实数根，那么△≥0，可得 k 的范围，由于方程有两个实数根，那么依照根与系数的关系可得x1+x2 =1，x1x2=，尔后把 x1+x2、x 1x2代入（ 2x1﹣x2）（x1﹣ 2x2）=﹣中，进而可求 k 的值；（2）由 x1，x2是一元二次方程4kx2﹣ 4kx+k+2=0 的两个实数根，利用根与系数的关系表示出x1 +x2与 x1x2，将+ ﹣ 2 通分并利用同分母分式的加法法规计算，利用完好平方公式变形后，把表示出x +x与 x x2代入，整理后依照此式子的值为整数，即可求出实数k 的整数值．121【解答】解：（1）∵ x1、 x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0 的两个实数根，∴△ =16k2﹣4×4k（k+2）=﹣32k≥ 0，且 4k≠0，解得 k ＜0；∵x1、 x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0 的两个实数根，∴x1+x2=1， x1x2=，22∴（ 2x1﹣x2）（ x1﹣2x2）=2x1﹣4x1x2﹣ x1x2+2x2=2（x1+x2）2﹣ 9x1x2=2× 12﹣9?=，若 =﹣成立，解上述方程得， k= ，∵k＜ 0，则 k= 不成立，∴不存在这样 k 的值．（2）∵ x1，x2是一元二次方程4kx2﹣ 4kx+k+2=0 的两个实数根，∴x1+x2=1， x1x2=，且16k2﹣16k（k+2）≥ 0，即k＜0，∴+﹣2=﹣2=﹣2=﹣2=，由此式子的值为整数，获取k=﹣5，﹣ 3，﹣ 2， 0， 1， 3．∵k＜ 0，∴k=﹣5，﹣ 3，﹣ 2．【议论】此题观察了根的鉴识式、根与系数的关系，解题的要点是注意数值的正负不等号的变化关系、以及完好平方公式的使用．17．已知关于 x 的方程 x2﹣（ 2k+1） x+4（ k﹣）=0．（1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）可否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k 的值；若不能够，请说明原由．（3）当等腰三角形ABC的边长 a=4，另两边的长 b、 c 恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．【解析】（1）整理根的鉴识式，获取它是非负数即可．（3）分 b=c， b=a 两种情况做．22【解答】证明：（1）∵△ =（2k+1）﹣ 16（k﹣）=（2k﹣3）≥ 0，解：（ 2）∵两实数根互为相反数，∴x1+x2=2k+1=0，解得 k=﹣0.5 ；（3）①当 b=c 时，则△ =0，2即（ 2k﹣ 3） =0，∴k= ，方程可化为 x2﹣ 4x+4=0，∴x1=x2=2，而 b=c=2，∴b+c=4=a 不合适题意舍去；②当 b=a=4，则 42﹣4（2k+1）+4（ k﹣）=0，∴k= ，2方程化为 x ﹣6x+8=0，∴c=2，C△ABC=10，当 c=a=4 时，同理得 b=2，∴C△ABC=10，综上所述，△ ABC的周长为 10．【议论】一元二次方程总有实数根应依照鉴识式来做，两根互为相反数应依照根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的弃取．18．阅读资料：已知 p2﹣ p﹣ 1=0，1﹣q﹣q2=0，且 pq≠1，求的值．解：由 p2﹣p﹣1=0 及 1﹣q﹣q2=0，可知 p≠ 0， q≠0．一元二次方程提高专题培训(含问题详解) 21 / 21 合用文档∴1﹣ q ﹣ q 2 =0 可变形为的特色．所以 p 与是方程 x 2﹣x ﹣1=0 的两个不相等的实数根．则，∴依照阅读资料所供应的方法，完成下面的解答．2，且 m ≠ n ．求：的值．已知： 2m ﹣5m ﹣1=0，【解析】由题意可知：能够将方程 2 的形式，尔后依照根与系数的关 2m ﹣ 5m ﹣ 1=0 化简为系可解得：的值；也可将方程化简为 2n 2 ﹣5n ﹣ 1=0 的形式，再依照根与系数的关系可解得：的值．2 【解答】解：解法一：由 2m ﹣5m ﹣1=0 知 m ≠0，∵m ≠ n ，∴，得，依照与的特色 2 ∴是方程 x +5x ﹣2=0 的两个不相等的实数根，∴；解法二：由得 2n 2﹣5n ﹣1=0， 22 依照 2m ﹣5m ﹣ 1=0 与 2n ﹣5n ﹣ 1=0 的特色，且 m ≠ n ，∴m 与 n 是方程 2x 2﹣ 5x ﹣1=0 的两个不相等的实数根（ 6 分）∴∴．【议论】此题观察是依照题目供应的信息以及根与系数的关系来解答，进而解决问题．文案大全。

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