微分方程数值解--大纲

偏微分方程数值解

（Numerical Methods for Partial Differential Equations）

课程代码：10210801

学位课程/非学位课程：非学位课程

学时/学分：46/3

课程简介：

《偏微分方程数值解》是数学类专业必修的一门专业课。主要内容包括：变分形式和Galerkin有限元法、椭圆型方程的差分方法、抛物型方程的差分方法、双曲型方程的差分方法、离散方程的解法。通过本课程的学习，使学生掌握求解偏微分方程数值解的基本方法，能够根据具体的微分方程使用合适的计算方法。

一、教学目标

1、知识水平教学目标

偏微分方程数值解课程的教学，要使学生掌握椭圆型微分方程、抛物型微分方程、双曲型微分方程等典型方程的差分方法，了解与之相关的理论问题，理解变分原理、有限元方法以及离散方程的解法，理解各种计算方法的收敛条件和收敛速度。

2、能力培养目标

通过偏微分方程数值解课程教学,应注意培养学生以下能力：

（1）连续问题离散化能力——掌握科学的思维方法，能够使用差分方法和有限元方法的各种格式对三类典型方程进行离散化处理。

（2）算法分析与设计能力——结合各类偏微分方程的特点，设计各种计算方法，对计算方法的收敛条件和收敛速度等进行分析，具体设计易于上机实现的算法。（3）离散方程组的快速求解能力——理解离散方程组的特点，使用数学软件编程，具体上机实现，进行数值模拟的动手能力。

3、素质培养目标

通过数学物理方程课程教学,应注重培养学生以下素质：

（1）具体问题有限化——善于对现实世界中得到的偏微分方程进行有限差分、有限元分析的有限化思想素养。

（2）数值解法定性化——通过学习，引导学生树立偏微分方程数值求解的基本原则，培养学生对数值方法中的稳定性、收敛性和误差等进行定性分析的素质。（3）算法实现程序化——培养学生的创造性和具体实现程序化的思维，使学生学会用数学中算法的观点思考实际问题，用程序和计算机解决数学问题。

二、教学重点与难点

1、教学重点：椭圆型、抛物型、双曲型等微分方程的差分方法，有限元方法。

2、教学难点：各种计算方法的稳定性、收敛性和误差分析，变分形式。

三、教学方法与手段

以教师讲授为主，安排上机实验，辅以习题课、课堂讨论、小论文，注重理论联系实际。

四、教学内容与目标

教学内容教学目标课时分配

（46学时）

1. 边值问题的变分形式 6

二次函数的极值掌握

两点边值问题掌握

二阶椭圆边值问题理解

Ritz-Galerkin方法理解

2. 椭圆型方程的有限元法 12

两点边值问题的有限元法掌握

线性有限元法的误差估计掌握

一维高次元理解

二维矩形元理解

三角形元理解

二阶椭圆方程的有限元法理解

有限元法上机实验掌握

3. 椭圆型方程的有限差分法 8

差分逼近的基本概念掌握

两点边值问题的差分格式掌握

二维椭圆边值问题的差分格式理解

极值定理敛速估计了解

椭圆型方程有限差分法上机实验掌握

4. 抛物型方程的有限差分法 8

最简差分格式掌握

稳定性与收敛性理解

Fourier方法了解

判别差分格式稳定性的代数准则了解

抛物型方程有限差分法上机实验掌握

5. 双曲型方程的有限差分法 6

波动方程的差分逼近掌握

一阶双曲型方程组了解

双曲方程差分格式的构造理解

6. 离散化方程的解法 6

基本迭代法掌握

交替方向迭代法理解

预处理共轭梯度法了解

多重网格法了解

综合上机实验掌握

五、考试范围与题型

1、考核方式：考查（笔试、小论文、上机实验结合）

2、考查范围：

（1）边值问题的变分形式

（2）椭圆型方程的有限元法

（3）椭圆型方程的有限差分法

（4）抛物型方程的有限差分法

（5）双曲型方程的有限差分法

（6）离散化方程的解法

六、教材与参考资料

1、教材：李荣华.2005. 偏微分方程数值解法.高等教育出版社.

2、参考资料：

李立康等著，微分方程数值解法，复旦大学出版社，1999年1月. 林群编著，微分方程数值解法基础教程，科学出版社，2001年3月.

李荣华、冯果忱，微分方程数值解法，高等教育出版社，1996.

胡建伟、汤怀民著，微分方程数值解法，科学出版社，2002年1月.