理想玻色气体内能和比热的计算

/
dε −1
⁄
2π (2m) (kT) I h
2
(0)
(2.1)
其中x = ε/kT ，I ⁄ (0) = ∫ I U= I 定容热容为： ∂U C = ∂T 查阅积分表可得：I
⁄ ⁄ ⁄
/
。将(1.5)式代入上式得：
/
(0) T NkT (0) T
(2.2)
5I = 2I
√
⁄ ⁄
(0) T Nk (0) T
3
/
I1⁄2 (α)
(3.1.5)
U=
2π (2mkT) h
/
kTI3⁄2 (α)
(3.1.6)
将(1.4)与(3.1.5)联立，由于粒子总数 N 不变，可以解得：
I I
⁄ ⁄
(α) Tc = (0) T
3/2
(3.1.7)
将(3.1.5)和(3.1.6)两式相除，可以得到： U=
I3⁄2(α) NkT I1⁄2 (α)
1 玻色—爱因斯坦凝聚与临界温度：[1] 理想玻色气体不同于普通的理想气体， 它遵循的是玻色一爱因斯 坦统计律。 由于微观粒子全同性带来的量子统计关联对系统宏观性质 的影响， 在非简并条件下理想玻色气体的内能和比热随温度变化的关 系与经典的理想气体有很大区别。当理想玻色气体的nλ 等于或大于 2.616 的临界值时将出现独特的玻色—爱因斯坦凝聚现象。这是爱因 斯坦与 1925 年在理论上首先预言的。 考虑 N 个全同、 近独立的自旋为零的玻色子组成的系统， 温度为 T、体积为 V。可以得出其量子态密度为： D(ε)dε = 2π (2m) h
/
ε e ε e
/
/
dε −1 dε −1
(3.1.1) (3.1.2)
/
/
令x = ε/kT ，α = −μ/kT ，并且设置函数：
I I
由μ < 0可知，α > 0.
⁄
(α) = (α) =
⁄
x e x e
/
dx −1 dx −1
(3.1.3) (3.1.4)
将(3.1.3)和(3.1.4)代入(3.1.1)和(3.1.2)得： N= 2π (2mkT) h
‘
⁄
. e (−1 + e ) e . (−1 + e )
(3.2.6) (3.2.7)
由于
=0是函数
.
的 1.5 阶 极 点 ， 可 以 证 明
∫ 而 ∫
(
)
是发散的。
=(
e 1.5 −1+e )2
=0是函数
.
的 0.5 阶 极 点 ， 可 以 证 明
(
)
是收敛的。这一点也可以通过画函数图像得到：
2
(3.1.9) (3.1.10)
⁄
(3.3.6)
⁄
(0)
(3.3.7) (3.4.1)
C = Nk
借助 Mathematica 我们将上述结果用图像表示出来：
− 关系图
U NkT
U-T 关系 一级近似(3.3.6) 零级近似(3.4.1)
T T
9
Cv − 关系图
2.0
Cv Nk
1.5
1.0
Cv-T 关系 一级近似(3.3.7)
8
⎧ U I3⁄2 (α) I1⁄2 (0) 3 = ⎪ NkT I1⁄2 (α) I1⁄2 (α) ⎪ ⎪ ‘ C 5 I3⁄2(α) 3 I3⁄2 (α) = − ⎨ Nk 2 I1⁄2 (α) 2 I‘1⁄2 (α) ⎪ ⎪T I1⁄2 (0) 2/3 ⎪ = I1⁄2 (α) ⎩T 当T > T 时,取一级近似得： 3 2 . U = NkT 1 − I 2 √π 3 2 . C = Nk 1 + I 2 √π 当T ≫ T 时： U = NkT (0) T T T T
5
I ‘ ⁄ (α) − 图
0.2
2 4
I ‘ ⁄ (α) − 图
0.8 1.0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0.4
0.6
1.0 1.5 2.0
I ‘ ⁄ (α)
6 8 10
2.5 3.0
I ‘ ⁄ (α)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
所以我们得到： I ‘ ⁄ (0) → ∞ I ‘ ⁄ (0) < ∞ (3.2.8)
3.3 当 T 远大于T 时系统内能和比热容：[2] 当 T 远大于T 时，e 小，即令： 1 e −1 =e (1 + e ) (3.3.1) ≪ 1,此时我们保留到e 的一阶无穷
将上式代入(3.1.3)和(3.1.4)中得：
6
I I
⁄
(α) = (α) =
√π e 2 3√π e 4
(1 + 2 (1 + 2
→ →
I3⁄2 (0) NkT I1⁄2 (0)
(3.2.2)
令(3.1.10)中α = 0,可以得到T = T 时系统比热容为：
‘ C 5 I3⁄2(0) 3 I3⁄2 (0) lim = − 2 I1⁄2 (0) 2 I‘ ⁄ (0) → Nk 1 2
(3.2.3)
其中：
I ‘ ⁄ (α) =
∂ ∂α
0.5
零级近似(3.4.1)
T T
0.5 1.0 1.5 2.0
参考文献
[1]汪志诚.热力学与统计物理[M].北京:高等教育出版社,2008： 230-233 [2]汪志诚.热力学与统计物理[M].北京:高等教育出版社,2008： 228-229
10
(3.1.8)
(3.1.7)和(3.1.8)两式联立，消去温度 T，我们可以得到内能随温度变化 的参数表达式： ⎧ U I3⁄2(α) I1⁄2 (0) 3 = ⎪ ⎪NkT I1⁄2 (α) I1⁄2 (α) ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ (α > 0) T I1⁄2 (0) = T I1⁄2(α)
2/3 2
(3.1.9)
/
ε
/
dε
(1.1)
1
根据玻色统计，系统总分子数 N 满足： 2π (2m) h
/
ε e
/
dε −1
=N
(1.2)
由式子的实际意义知， ε − μ > 0恒成立。设最低的能级为ε = 0， 则 一定有μ < 0。 由上式注意到当温度越低时，化学势μ值越高。当温度达到临界温度 T 时，μ将趋于-0。此时(1.2)式化为： 2π (2m) h 令x = ε/kT , I ⁄ (0) = ∫
/
/
ε e
/
dε −1
=N
(1.3)
可得：
/
2π (2mkT ) h 从而解得: T =
I
⁄
(0) = N
(1.4)
1 Nh ( ) 2mk 2πVI ⁄ (0)
/
(1.5)
此为理想玻色气体发生玻色—爱因斯坦凝聚的临界温度。 查阅积分表 可得：I
⁄
(0) = √ × 2.612
2 温度低于 时系统的内能和比热：[1] 当T < T 时， 处在能级ℰ = 0的粒子数将是很大的数值， 不能忽略。 而计算内能时，只需计算ℰ > 0的粒子能量，于是： 2π (2m) U= h = ε e
4 总结 通过前文的讨论， 我们得到了不同温度下理想玻色气体的内能和 比热的关系，总结如下： 令：
I I
当T < T 时：
⁄
(α) = (α) =
⁄
x e x e
/
/
dx −1 dx −1
/
(3.1.3) (3.1.4)
I U= I ∂U C = ∂T 当T = T 时：
⁄ ⁄
(0) T NkT (0) T 5I = 2I
理想玻色气体内能和比热的计算
摘要： 本文主要探讨了理想玻色气体在不同温度下内能和比热的变化 情况，给出了内能和比热随温度变化的精确和近似的表达式，并证明 了玻色—爱因斯坦凝聚属于三级相变。
引言 玻色—爱因斯坦凝聚是教材中玻色统计应用的一个例子，但是 书中并没有详细给出理想玻色气体内能和比热随温度变化的规律， 也 没有给出玻色—爱因斯坦凝聚属于三级相变的证明。 本文旨在对教材 中的相关内容进行梳理和适当的延伸，加深自己对玻色统计的理解。
(3.1.11)
之后将详细讨论在不同温度下该参数解的变化情况。 3.2 当 T 略大于T 时系统内能和比热容： 令(3.1.8)中α = 0,可以得到T = T 时系统内能为 lim U =
→
I3⁄2 (0) NkT I1⁄2 (0)
4
(3.2.1)
将(3.2.1)与(2.2)式对比，可以知道： lim U = lim U =
(3.3.7)
3.4 当 T 趋于无穷时系统内能和比热容： 当 T 趋于无穷时，(3.3.6)与(3.3.7)式只保留括号中第一项，于是 有：
7
U=
3 NkT 2
C =
3 Nk 2
(3.4.1)
这与理想气体的内能和热容的表达式一致，说明当温度足够高时，量 子统计关联效应对系统的影响很小， 粒子近似可以看做遵循玻尔兹曼 统计。
由参数方程的求导法则，我们可以得到比热容的参数表达式 U ∂ C NkT = Nk ∂α 其中: ∂ T ‘ 5 I3⁄2 (α) 3 I3⁄2(α) T = − ∂α 2 I1⁄2(α) 2 I‘ ⁄ (α) 1 2
(3.1.10)
I ‘ ⁄ (α) =
∂I ⁄ (α) ∂α
I‘ ⁄ (α) =
∂I ⁄ (α) ∂α
/
(2.3)
(0) =
/
× 1.341,所以：
/
T U = 0.770NkT T
T C = 1.925Nk T
T<T时
(2.4)
3 温度高于 时系统的内能和比热: 3.1 系统的内能和比热的一般表达式: 当温度高于 时，根据玻色统计我们可以得到：[1] 2π N= (2m) h 2π U= (2m) h
将(3.2.8)的结果代入(3.2.3)中得到： lim
→
C 5I = Nk 2 I
⁄ ⁄
(0) (0)
(3.2.9)
将(3.2.9)与(2.3)比较，得到： lim C = lim C =
→ →
5I ⁄ 2I ⁄
(0) Nk (0)
(3.2.10)
由(3.2.2)和(3.2.10)可知，玻色—爱因斯坦凝聚应属于三级相变。
.
e
.
) e )
(3.3.2) (3.3.3)
⁄
将(3.3.2)和(3.3.3)代入(3.1.8),保留到e U= 为计算(3.3.4)中的e 中得到： e = 2 √π I
⁄
的一阶无穷小量得：
.
3 NkT(1 − 2 2
e
)
(3.3.4)
， 我们将(3.3.2)式保留括号中第一项， 代入(3.1.7)
T (0) T
/
(3.3.5)
将(3.3.5)代入(3.3.4)中得到： 3 2 . U = NkT 1 − I 2 √π (0) T T
⁄
≈ 此时比热容为：
3 T NkT 1 − 0.462 2 T
(3.3.6)
∂U C = ∂T
3 2 . = Nk 1 + I 2 √π
⁄
(0)
T T
≈
3 T Nk 1 + 0.231 2 T
⁄ ⁄
(2.2)
/
(0) T Nk (0) T
(2.3)
lim U = lim U =
→ →
I3⁄2(0) NkT I1⁄2 (0)
5 I ⁄ (0) Nk 2 I ⁄ (0)
(3.2.2) (3.2.10)
lim C = lim C =
→ →
当T > T 时，内能和比热由参数方程描述：(参数 α > 0)
x dx e −1 e x (−1 + e ∂ ∂α
.
= dx = dx
∂ x dx ∂α e −1
(3.2.4)
=− I ‘ ⁄ (α) =
)
x dx e −1 e x (−1 + e
.
∂ x dx ∂α e −1
(3.2.5)
=−
所以
‘ ⁄
)
(0) = − (0) = −
=(
e 0.5 −1+e )2