离散数学课件15欧拉图与哈密顿图

哈密顿
1805年8月4日生于爱尔兰都柏林；1865年9月2日卒于都柏 林．力学、数学、光学．哈密顿的父亲阿其巴德(Archibald Rowan Hamilton)为都柏林市的一个初级律师．哈密顿自幼 聪明，被称为神童．他三岁能读英语，会算术；五岁能译拉 丁语、希腊语和希伯来语，并能背诵荷马史诗；九岁便熟悉 了波斯语，阿拉伯语和印地语．14岁时，因在都柏林欢迎波 斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头．
2020/7/23
匈牙利数学家厄多斯
保罗‧厄多斯(1913-2019)是一位匈牙利的数学 家。
其父母都是匈牙利的高中数学教师。 1983年以色列政府颁给十万美元“沃尔夫奖金
”（WolfPrize）就是由他和华裔美籍的陈省 身教授平分。 厄多斯是当代发表最多数学论文的数学家，也 是全世界和各种各样不同国籍的数学家合作 发表论文最多的人。他发表了近1000多篇的 论文，平均一年要写和回答1500多封有关于 数20学20/7/2问3 题的信。他可以和任何大学的数学家
说明 欧拉通路是图中经过所有边的简单的生成 通路(经过所有顶点的通路称为生成通路)。 欧拉回路是经过所有边的简单的生成回路。
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举例
欧拉图
半欧拉图
无欧拉通路
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欧拉图
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无欧拉通路
无欧拉通路
无向欧拉图的判定定理
定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图 ，且G中没有奇度顶点。
证明 若G是平凡图，结论显然成立。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
对m作归纳法。 (1)m＝1时，由G的连通性及无奇度顶点可知，
G只能是一个环，因而G为欧拉图。 (2)设m≤k(k≥1)时结论成立，要证明m＝k+1时，结
论也成立。
由G的连通性及无奇度顶点可知，δ(G)≥2。 无论G是否为简单图，都可以用扩大路径法证 明G中必含圈。
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定理15.1的证明
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有向欧拉图的判定定理
定理15.3 有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶点的 入度都等于出度。
定理15.4 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的，且D中 恰有两个奇度顶点，其中一个的入度比出度大1，另一个的出 度比入度大1，而其余顶点的入度都等于出度。(举例)
设C为G中一个圈，删除C上的全部边，得G的 生成子图G ，
设G 有s个连通分支G 1,G 2,…,G s， 每个连通分支至多有k条边，且无奇度顶点，
并且设G i与C的公共顶点为v*ji，i＝1,2,…,s，
由归纳假设可知，G ，
1,G
2,…,G
s都是欧拉图
因而都存在欧拉回路C i，i＝1,2,…,s。 最后将C还原（即将删除的边重新加上），
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数学家欧拉
欧拉，瑞士数学家，欧拉是科学 史上最多产的一位杰出的数学家，他从 19岁开始发表论文，直到76岁，他一生 共写下了886本书籍和论文，其中在世 时发表了700多篇论文。彼得堡科学院 为了整理他的著作，整整用了47年。在 他双目失明后的17年间，也没有停止对 数学的研究，口述了好几本书和400余 篇的论文。
本章内容
15.1 欧拉图 15.2 哈密顿图 15.3 带权图与货郎担问题
基本要求 作业
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15.1 欧拉图
• 历史背景－－哥尼斯堡七桥问题
欧拉图是一笔画出的边不重复的回路。
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欧拉图
定义15.1 通过图（无向图或有向图）中所有边 一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为 欧拉通路，通过图中所有边一次并且仅一次 行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。具有欧 拉回路的图称为欧拉图，具有欧拉通路而无 欧拉回路的图称为半欧拉图。
哈密顿工作勤奋，思想活跃．发表的论文一般都很简洁，别人不易读懂， 但手稿却很详细，因而很多成果都由后人整理而得．仅在三一学院图书馆中 的哈密顿手稿，就有250本笔记及大量学术通信和未发表论文．爱尔兰国家图 书馆还有一部分手稿．
他的研究工作涉及不少领域，成果最大的是光学、力学和四元数．他研究的 光学是几何光学，具有数学性质；力学则是列出动力学方程及求解；因此哈 密顿主要是数学家．但在科学史中影响最大的却是他对力学的贡献．哈密顿 量是现代物理最重要的量，当我们得到哈密顿量，就意味着得到了全部。
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。