联立方程模型
计量经济学之联立方程模型
计量经济学之联立方程模型引言联立方程模型（Simultaneous Equation Model，简称SEM）是计量经济学中的一个重要分析工具，用于研究多个经济变量之间的相互关系。
通过建立一组方程，可以理解变量之间的联动效应，并进行预测和政策分析。
本文将介绍联立方程模型的基本概念、建模步骤和常见的估计方法等内容。
基本概念联立方程模型的定义联立方程模型是指由多个方程组成的一种数学模型，用于描述多个经济变量之间的关系。
每个方程都包含一个因变量和若干个解释变量，以及一个误差项。
联立方程模型的核心思想是通过解方程组，得到各个变量的估计值，进而分析它们之间的关系。
基本假设在建立联立方程模型时，需要对变量之间的关系进行假设。
常见的基本假设有：1.线性关系假设：方程中的变量之间的关系是线性的。
2.独立性假设：各个方程中的误差项是独立的，即它们之间不存在相关性。
3.零条件均值假设：解释变量的条件均值为零，即解释变量的期望与误差项无关。
4.同方差假设：各个方程中的误差项方差相等。
建模步骤建立联立方程模型的步骤如下：步骤一：确定变量根据研究主题和数据可获得的变量，确定需要建立模型的变量集合。
步骤二：构建方程根据经济理论和实际问题，构建联立方程模型的方程形式。
每个方程包含一个因变量和若干个解释变量。
步骤三：参数估计通过收集数据，对联立方程模型进行参数估计。
常用的估计方法有最小二乘估计（Ordinary Least Squares，简称OLS）和广义矩估计（Generalized Method of Moments，简称GMM）等。
步骤四：模型诊断对估计得到的模型进行诊断，检验模型的拟合优度、参数显著性和误差项的假设等。
常见的诊断方法有虚拟变量检验、异方差性检验和序列相关性检验等。
步骤五：模型解释与政策分析根据估计得到的模型结果，解释各个变量之间的关系，并进行政策分析。
可以利用模型进行预测和模拟，评估不同政策对经济变量的影响。
第六讲 联立方程模型
• 一般情况下，内生变量与随机项相关，即 一般情况下，内生变量与随机项相关，
Cov (Yi , µi ) = E ((Yi − E (Yi ))( µi − E ( µi ))) = E ((Yi − E (Yi )) µ i ) = E (Yi µ i ) − E (Yi ) E ( µ i ) = E (Yi µ i )
例题3 ⒊例题3
Ct = α 0 + α1Yt + α 2 Ct −1 + µ1t I t = β0 + β1Yt + β2 Yt −1 + µ2 t Yt = Ct + I t
根据不可识别的定义来理解) ⒉识别的定义(根据不可识别的定义来理解 识别的定义 根据不可识别的定义来理解
“如果联立方程模型中某个结构方程不具有确定的统 如果联立方程模型中某个结构方程不具有确定的统 如果联立方程模型中某个结构方程 计形式，则称该方程为不可识别。 计形式，则称该方程为不可识别。” “ 如果联立方程模型中某些方程的线性组合可以构 成与某一个方程相同的统计形式， 成与某一个方程相同的统计形式 ， 则称该方程为 不可识别。 不可识别。” 根据参数关系体系， 在已知简化式参数估计值时， “ 根据参数关系体系 ， 在已知简化式参数估计值时 ， 如果不能得到联立方程模型中某个结构方程的确 定的结构参数估计值， 则称该方程为不可识别。 定的结构参数估计值 ， 则称该方程为不可识别 。 ”
⒊注意
• 上述识别的定义是针对结构方程而言的。 上述识别的定义是针对结构方程而言的。 • 模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识 别问题。 别问题。 • 如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的， 如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的， 则认为该联立方程模型系统是可以识别的。 则认为该联立方程模型系统是可以识别的。反过 来，如果一个模型系统中存在一个不可识别的随 机方程， 机方程，则认为该联立方程模型系统是不可以识 别的。 别的。 • 恒等方程由于不存在参数估计问题，所以也不存 恒等方程由于不存在参数估计问题， 在识别问题。但是， 在识别问题。但是，在判断随机方程的识别性问 题时，应该将恒等方程考虑在内。 题时，应该将恒等方程考虑在内。
联立方程模型(蓝色)
• 联立方程模型概述 • 联立方程模型的建立 • 联立方程模型的求解方法 • 联立方程模型的应用案例 • 联立方程模型的优缺点 • 联立方程模型的发展趋势与展望
01
联立方程模型概述
定义与特点
01
02
定义：联立方程模型是 特点 一种数学模型，用于描 述一组变量之间的相互 关系。它由多个方程组 成，每个方程描述一个 变量与其他变量的关系。
模型的可解释性和透明度
随着对模型复杂度增加的关注，未来联立方程模 型将更加注重可解释性和透明度。这有助于提高 模型的可靠性和可信度，促进模型在实际决策中 的应用。
人工智能技术的应用
人工智能技术，如深度学习、神经网络等，将在 联立方程模型中发挥越来越重要的作用。这些技 术可以帮助模型更好地处理非线性关系、高维数 据和复杂动态系统。
环境影响评估
联立方程模型可以用于评估各种人类活动对生态环境的影响，为环境决策提供科学依据。
05
联立方程模型的优缺点
优点
01
全面性
联立方程模型能够同时考虑多个经济变量之间的相互影响，从而更全面
地描述经济系统的内在机制。
02
准确性
联立方程模型通过建立多个方程来描述经济现象，可以更准确地估计参
数，提高预测的准确性。
政策效果评估
通过联立方程模型，可 以评估政策变动对经济 的影响，分析政策效果， 为政策制定提供参考。
交通规划
交通流量预测
联立方程模型可以用于预测交通流量，帮助交通管理部门 制定合理的交通规划，优化交通网络布局。
交通需求管理
通过联立方程模型分析交通需求与各种因素之间的关系， 制定有效的交通需求管理策略，缓解城市交通拥堵。
联立方程模型simultaneous
联立方程模型（simultaneous-equations model ）13.1 联立方程模型的概念有时由于两个变量之间存在双向因果关系，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系。
有时为全面描述一项经济活动只用单一方程模型是不够的。
这时应该用多个方程的组合来描述整个经济活动。
从而引出联立方程模型的概念。
联立方程模型：对于实际经济问题，描述变量间联立依存性的方程体系。
联立方程模型的最大问题是E(X 'u ) ≠ 0，当用OLS 法估计模型中的方程参数时会产生联立方程偏倚，即所得参数的OLS 估计量βˆ是有偏的、不一致的。
给出三个定义：内生变量（endogenous variable ）：由模型内变量所决定的变量。
外生变量（exogenous variable ）：由模型外变量所决定的变量。
前定变量（predetermined variable ）：包括外生变量、外生滞后变量、内生滞后变量。
例如：y t = α0 + α1 y t -1 + β0 x t + β1 x t -1 + u ty t 为内生变量；x t 为外生变量；y t -1, x t , x t -1为前定变量。
联立方程模型必须是完整的。
所谓完整即“方程个数 ≥ 内生变量个数”。
否则联立方程模型是无法估计的。
13.2 联立方程模型的分类（结构模型，简化型模型，递归模型） ⑴结构模型（structural model ）：把内生变量表述为其他内生变量、前定变量与随机误差项的方程体系。
例：如下凯恩斯模型（为简化问题，对数据进行中心化处理，从而不出现截距项） c t = α1 y t + u t 1 消费函数， 行为方程（behavior equation ） I t = β1 y t + β2 y t-1 + u t 2 投资函数， 行为方程 y t = c t + I t + G t国民收入等式，定义方程（definitional equation ） (1)其中，c t 消费；y t 国民收入；I t 投资；G t 政府支出。
第七章联立方程模型
2.内生变量（endogenous variable） 内生变量是其值在模型内确定的变量。内生变 量既由模型使用（如可以作解释变量），又由模 型决定。
由于在求解模型时，通常是需要联立地解出所 有内生变量的值，因而称为联立方程模型。
单方程模型中，内生变量就是因变量，外生变 量是解释变量（滞后内生变量除外）。
这里供给函数与线性组合方程具有不同的统计形式 （包含变量不一样） ， 因而供给函数具有唯一的统计形式，所以是能够识别的，但需求函数与 线性组合方程有相同的统计形式，因而是不能识别的。
例 3. 在例 2 的模型中，供给函数中加上一个外生变量 R（降雨量） ， 则模型变为： Q t = 0 1Pt 2 Yt u 1t
二、不可识别、恰好识别和过度识别
1. 可识别和不可识别方程 定义：如果对于一个方程，我们无法通过取它所 在模型中各方程的线性组合的方法，得到另一个与 该方程统计形式完全相同的方程，则该方程是可识 别的。
例1 ．考虑某农产品供求模型： 0 P u = Q 1 1 t 1 t t 0
Q P t v t
这里的问题是很难找到一种观测需求量和供给 量的有效方法，通常能够观测到的只是市场运行的 结果。因此一般的作法是假设供给量和需求量相等 ，即市场是结清的。这相当于在模型中增加一个方 程:
QS QD
如果只用可观测变量来建立模型，我们可令Q 代表市场结清量，从而有 Qt = α+ βPt + ut Qt = + Pt + vt
（ 1 ）恒等式不包含未知参数，而行为方程含 有未知参数。 （ 2 ）恒等式中没有不确定性，而行为方程包 含不确定性，因而在计量经济分析中需要加进 随机扰动因子。
计量第12章联立方程模型
VS
假设条件
为了使模型具有可解性和可估计性，需要 设定一些假设条件。这些条件可能包括变 量的线性关系、误差项的独立性、同方差 性等。这些假设条件的选择应根据实际问 题和数据的特征来确定。
参数估计方法
最小二乘法（OLS）
最小二乘法是联立方程模型中最常用的参数估计方法之一。它通过最小化残差平方和来估 计模型的参数。这种方法简单易行，但在存在异方差性、自相关等问题时，可能导致估计 结果不准确。
联立方程模型的估计需要使用复 杂的计算方法和软件，对研究者 的计量经济学知识要求较高。
改进方向探讨
模型识别方法的改进
01
通过引入新的识别方法或改进现有数据收集和处理技术的提升
02 利用现代数据收集和处理技术，提高数据的质量和可
获得性，从而扩大联立方程模型的应用范围。
递归模型
模型中某些变量可以由其他变量唯一确定。
非递归模型
模型中所有变量相互依赖，无法由其他变量 唯一确定。
建模目的与意义
分析经济政策变化对经济系统的 影响。
描述经济系统中多个变量之间的 相互关系。
目的
01
03 02
建模目的与意义
• 预测经济变量的未来走势。
建模目的与意义
01
意义
02
提供了一种全面、系统的分析方法，有助于深入了解经济系统的运行 规律。
计量第12章联立方程模型
目录
• 联立方程模型概述 • 联立方程模型的构建 • 联立方程模型的识别与估计 • 联立方程模型的应用举例 • 联立方程模型与其他模型的关系 • 联立方程模型的优缺点及改进方向
01
联立方程模型概述
定义与特点
定义
联立方程模型（Simultaneous Equation Models）是一组 相互依赖的线性方程，用于描述经济系统中多个变量之间的 相互关系。
联立方程模型 make system
联立方程模型是一种数学方法，通过联立多个方程来描述和解决复杂的问题。
这种模型在经济学、物理学、工程学等领域中得到了广泛的应用，能够帮助研究人员理解和预测各种变量之间的关系。
本文将介绍联立方程模型的基本概念和应用，以及如何构建和求解联立方程模型。
一、联立方程模型的基本概念联立方程模型是一种描述多个变量之间关系的数学模型。
我们可以用一组方程组来表示这些变量之间的相互影响。
一般来说，联立方程模型可以写成如下形式：1. 假设我们有n个变量和m个方程，我们可以用矩阵和向量的形式来表示联立方程模型：其中，Y是一个n维向量，代表因变量；X是一个n×k维矩阵，代表自变量；β是一个k维向量，代表自变量的系数；ε是一个n维向量，代表误差项。
2. 联立方程模型的基本假设包括：（1）线性关系假设：假设因变量和自变量之间的关系是线性的；（2）随机抽样：样本必须是随机抽样的，以保证估计结果的一致性；（3）独立同分布假设：误差项之间是相互独立的，并且服从相同的分布；（4）方差齐性假设：误差项的方差是相同的。
二、构建联立方程模型构建联立方程模型的基本步骤包括：1. 确定研究的目标和问题：首先需要明确研究的目的，确定需要研究的变量和它们之间的关系。
2. 收集数据：根据研究目标，需要收集相关的数据样本。
3. 设定模型：选择合适的自变量和因变量，并设计出联立方程模型的形式。
4. 估计参数：通过最小二乘法或其他方法，估计模型的参数。
5. 检验模型：对模型的拟合度和估计结果进行检验，检验模型是否符合现实情况。
6. 修正模型：根据检验结果对模型进行修正，直至得到较为合理的模型。
三、求解联立方程模型求解联立方程模型的常用方法有：1. 最小二乘法：通过最小化因变量的观测值和模型估计值之间的差异来估计参数。
2. 极大似然估计：通过最大化样本数据出现的概率来估计参数。
3. 广义最小二乘法：当误差项不满足方差齐性和独立同分布假设时，可以使用广义最小二乘法进行参数估计。
第九章 联立方程模型(计量经济学,南开大学)
D a0 a1P a2Y u1 S a0 a1P a2W u2 DS Q
这里讨论的局部均衡模型，需要多个单一方程和在一起的联立方程组 来描述。这个方程组就是描述这以经济系统的联立方程模型。 二、联立方程模型中的变量分类 联立方程模型中的变量，可分为内生变量、外生变量和预定变量。
0 1 1 It u 1 1 1 1 1 1
t
E (Yt )
0 1 ut I Yt E (Yt ) 1 1 1 1 1 1
u2 t
2 cov(Yt , u D ) E{[Yt E (Yt )][ut E (ut )]} E ( ) 1 1 1 1
(截距项视为观测值为1的预定变量) Y X U
Ct 0 1Yt u 1t
2、简化式模型 根据结构式模型推导得到，把内生变量表示为预定变量和随机项的函数 形式的方程组，这种模型称为简化式模型，其中的每个方程称为简化式方程： Y X U Y B1X B1U X V
1、内生变量
指由模型系统内决定的变量，取值在系统内决定，如D、S、P。 2、外生变量 指不由模型系统范围内决定的变量。如Y、W。政策变量属于外生变量。 3、预定变量 指变量的滞后值。内生变量的滞后值称预定内生变量，外生变量的滞 后值称预定外内生变量。 三、联立方程模型中方程式的分类 1、行为方程式 描述经济系统中个体经济行为的方程。如消费需求方程。 2、技术方程式 指基于生产技术关系而建立的函数关系。如生产函数。 3、制度方程式 与法律、制度有直接关系的经济数量关系式，如税收方程。 4、衡等式 有两种。一种是定义方程式，有经济变量的定义所构成的方程；另一种 是平衡方程，表示经济变量之间的平衡关系。
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（一）变量
联立方程模型
内生变量、外生变量、前定变量 内生变量的滞后值变量，外生变量统称为前定变量。
（二）结构式与简约式 结构式方程：直接陈述经济行为的行为方程，直接陈述核算关系 或均衡条件的定义方程都称为结构式方程。 联立方程模型的结构式： 全部当期内生变量与全部前定变量相
分离的形式称为联立方程模型的结构式。
§８.1
结构式
联立方程模型
BY X U
X1 X X k
Y1 Y Yg
U1 U U g
B (bij ) g g ( ij ) gk
（ａ）方程的个数等于内生变量的个数； （ｂ）设置恒取值１的外生变量 X ； 1
§8.2
（二）识别概念 向量组：
识别概念与判别条件
i (bi1 , , big , i1 , , ik )
向量组生成集： 生成集元素： 生成方程 ：
L{c11cg g | c1,,cgR}
L, c11cg g
e
( cibi1)Y1 ( cibig )Yg ( ci i1) X1 ( ci ik ) X k ciU i
21
0 22
§8.2
定理3
识别概念与判别条件
r(S ) g 1
。
第 1 个方程可识别的充分必要条件是 r(S ) g 1 。
第 1 个方程不可识别的充分必要条件是
r ( S ) g 1 ，对联立方程模型中除去第一个方程之 外的其它方程进行线性运算，运算所产生的任何一个线性 组合方程将至少含有一个变量为第一个方程所没有。因此 对于第一个方程所含的变量而言，在模型的全部方程中只 有第一个方程对它们所服从的规律有所描述，而其余方程 或甚至于其余方程间的线性运算都不可能再存在或再产生 其它的描述。第一个方程具有这一意义下的唯一性。
§8.2
识别概念与判别条件
生成方程中的变量： 内生变量脚标：
I ( ){ j | c1b1 j cgbgj 0 }
II ( ){l | c1 1l cg gl 0 }
外生变量脚标：
生成集上的等价关系：
， L
:
I ( ) I ( ) , II ( ) II ( )
L( )
所在的等价类：
§8.2
定义：如果第 则称第
识别概念与判别条件
i 个方程式满足： r(L(i ))1
i
个方程可以识别；如果模型中的每一个方程都可以
识别，则称模型可以识别。
——对于一个可识别方程，如果方程组中存在、或者方程组的线性运 算可以产生与它具有相同变量的其它方程式，那么变量在这些方程中
数惟一确定。
e 中所出现的全部内生变量与前定变量也都
e
中。 ，则第个
定理1 若有 i j ， i j 情形：
i 方程不可识别。
I ( i ) I ( j )
I ( i ) I ( j )
i
j
bim bij 0b jj
—— 包含更多变量的方程不可识别
§8.3
识别程度与判别条件
(一）结构式方程的参数方程组
参数方程组系统 方程1的参数方程组
B
11 12 b 0 21 22 0
b12 0 b11
11 b Ik 1
11 H hij ( g1 k1 )(k1 k2 ) I k1
个结构式参数，
12 0 0 0
b
H 0 0
12 0
方程组有
k1 g1
k1k2 个方程。
§8.3
识别程度与判别条件
（二）可识别性与参数方程组
定理4 一个方程可识别的充分必要条件是，该方程的结构式参数 可以按照方程的参数方程组，在不计常数因子的意义下，由简约式参
B 的对角元为１，个别情形下方程按照习惯形 式给出，对角元不是１，但一定不为零。 B 可逆。
（ｃ）一般情形下
§８.1
联立方程模型的简约式:
联立方程模型
Y X V
V B 1U
ij
B
简约式方程:1Yi来自j: ij 0
X j Vi
特征：由模型的前定变量表出每一个内生变量
S
矩阵：所有不包含在第
i
个方程中的变量在其余方程中的结
构式参数所形成的矩阵。
第1个方程：
b11Y1b1g1Yg1 11X1 1k1 X k1 U1
b (b11 , , b1g1 )
( 11 , , 1k1 )
0 B 22
B
S B22 22
b B 21
§8.2
（一）识别问题
识别概念与判别条件
需求方程
供给方程
均衡条件
引例：
Qd 0 1 P U d
Qs 0 1 P U s
Qd Q s
Q 0 1 P U d Q 0 1 P U s
需求方程 供给方程
根据一组变量的一个样本，无法研究关于这些变量的具有相同函 数形式、但有不同参数的两个或多个关系式。
的系数向量必须与在所考虑方程的参数向量成比例。
——对于一个不可识别的方程，方程组中应该存在，或者方程组的线 性运算应该可以生成一个方程，变量在这些方程中的系数向量与在所 考虑方程中的参数向量线性无关。
§8.2
（三）识别条件
识别概念与判别条件
。
定义（包含关系） 若 I ( )I ( ) ,II ( )II ( ) 则称 方程 出现于方程
§8.2
定理２
识别概念与判别条件
第 1个方程不可识别 e 2 ,, e g 可以生成方程 e * ，
* 0
， i * 。
一个方程不可识别的充分必要条件是，通过其余 方程的线性运算，可以产生一个与该方程相比至少缺 省同样变量的方程式。
§8.2
秩条件
识别概念与判别条件