正项级数的比值审敛法

£ aN+m < rmaN,而级数 ^^UN收
m=1
8
8
£ 二"+m = an收故原级数收敛・
m=1 n=N+1
板书
(2) 当p > 1时，取0 V £V p-1,记 r = p-£> 1,
a
则 3N, 当n > N时,有~n±k > p-£= r, an
于是"+m
>
rmaN,
lim匕=+皿级数发散・
ns
当p = +8时,取M > 1,则存在N，当 n > N时,
芒>M.同上，级数发散
比值审敛法的优点：不必找参考级数.
8
注1 P = 1时,£ an可能收敛，也可能发
散。
n=1
如:收敛,£1发散。
注2：n=条1n 件是充n=分1n 的，而非必要.即
8a
£ 正项级数 an=n1收敛*n—l8iman-n±1 = p < 1.
10n+1 n! 10
故级数£刍发散. n=110
1 .比值审敛法不必找参考级数，通过相邻两项比值的极限 来确定级数的敛散性.
2.当级数的一般性含有n!时,采用比值审敛法
例一—-设，a则-an2〈+（奇T=如），"础 一 3 例•设an -
8
8
n
从而级数£ an = £ n=1 n=1 2
但 5 = 2 + (T)n+1
收敛.
1
一 a” 2(2 + (-1)n ) 〃‘ 且lim c2n =z，
lim
c2n+1
=
3，・.・
lim
-n±L
=
lim
ns 6 cn 不存
一、比值审敛法（达朗贝尔判别法）
8
"
定理1 :设£an是正项级皿数,若极限lim-^ = p,则
8 n=1
E an
⑴p < 1时,£ an收敛；
n=1 8
(2) 1 < p V+8 时，£ an 发
散;
n=1
证明：⑴当Q vl时,取0 V £ V 1 - 〃，记r = p + £
< 1,
a
则于是H NaN,+当1 < nra>N ,Na时N+2,有< a-nr^aN<+1p< +r a£N，= 一r, , 8
在
n—8 2 n—8 a n—8
二、典型例题
例1判来自百度文库下列级数的敛散性.
8
⑴£n ；
n=1
8 n‘ (2)京
板书
1
解:(1)・.・如！ = (n + 1)! =1 — 0 (n — 8),
an L n +1 n!
8
£ 故级数 *收敛. n=1n・
⑵. • %+1 = (n + 1)! 10* = n + 1 an 一8 (n — 8),