正项级数的比值审敛法
一、正项级数及其审敛法
如果 lim nun l 0 (或lim nun ), 则级数
u
n 1
n 发散;
如果有 p 1 , 使得lim n un 存在,
p n
则级数
u
n 1
n 收敛.
例 3 判定下列级数的敛散性:
1 (1) sin ; n n 1
1 (2) n ; n 1 3 n
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx o 1 1 p n1 p x x
y
1 ( p 1) xp
1
2
3
4
x
1 1
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
1 例 级数 发散, n 1 n
级数
n 1
n
( 1) 1 收敛 , 2
2.条件是充分的,而非必要.
2 ( 1) 3 例 un n vn , n 2 2
n
2 ( 1)n 级数 un 收敛, n 2 n 1 n 1
un1 2 ( 1)n1 但 an , n un 2( 2 ( 1) )
则(1) 当 0 l 时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当 l 0 时，若
v n 收敛, 则 un 收敛; n 1
n 1
(3) 当 l 时, 若
v n 发散,则 un 发散;
n 1 n 1
常数项级数的审敛法
23
证明
假设级数
1
收敛，
n1 n
且
lim
n
Sn
S
1 n
则
lim
n
S2n
S
于是
lnim(S2n Sn ) S S 0
例1 证明调和级数 1 1 1 1 1
是发散的。
n1 n
23
n
另一方面
S2n
Sn
1 n 1
n
1
2
111 2n 2n 2n
1 1 2n 2
故
lnim(S2n Sn ) 0
一、正项级数的审敛法
如果级数
un u1 u2 un
n1
的每一项都是非负数，即un ≥0(n=1, 2, …) ，则称此级数为 正项级数。
1.比较审敛法
设级数
un
n1
和
n1
vn
都是正项级数，且un
≤vn
(n=1,
2,
…)。
（1）若级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
（2）若级数
例5 级数 (1)n sin 1 收敛吗？若收敛，是条件收敛还是绝
对收敛？ n1
n
再考虑每项取绝对值，得级数 sin 1
n1 n
由比较审敛法的极限形式，可知级数 sin 1 发散。
n1 n
所以级数 sin 1 是条件收敛。
n1 n
高等数学
1
2n 2n
1
1 2
1
由比较审敛法知，该级数收敛。
例3 判断下列级数的敛散性：
2n 1
(1)
n1
2n
(2) nxn1
n1
(x 0)
第二节正项级数及其收敛法
(2) S(x) 在(--R,R)内可导,且
S(x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1
n0
n0
n0
即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数
收敛半径不变.
可推广到任意阶导数
(3) S(x)在(--R,R)内可积,且
x
S(x)dx
0
x
[
0
an xn ]dx
幂级数 各项都是幂函数的函数项级数
一般形式:
a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n (1)
特例
a0 a1x a2 x2 an xn 系数 (2)
主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2)
1.幂级数的收敛域
x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间.
收敛,x0 收敛点
发散, x0发散点
函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域
3.和函数： 在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，
因此其和是x的函数，称为和函数
S(x) un(x)
4.余项:
n1
rn (x) S(x) Sn (x)
前n项的部分和
在收敛域内才有意义,且
lim
n
rn
(
x)
0
二. 幂级数及其收敛性
注：用比值或根值审敛法判定的非绝对收敛级 数一定发散。
三、小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
敛 3. 按基本性质;
4. 充要条件
法 5. 比较法
6. 比值法 7. 根值法
4. 绝对收敛 5. 交错级数 (莱布尼茨定理)
11-2正项级数及其审敛法
un
3n
1 2n
的等价无穷小.
3n 起主 要 作用
解 即
un由 ~ 31于 nu,n故 3取 n1 v1n2n313n1n,则 1
1 (2)n 3
~31nn,
lim u n n vn
lim
n
3n 2n 1 3n
nl im 11(32)n 1.
而
n1
1 3n
收敛由 ， 定1理 1.3知n ， 13n
收敛，
limlnn0 n n
由定1理 1.3知， n 1lnn3n收敛.
三、比值审敛法和根值审敛法
1. 比值审敛法 定理11.4 (达朗贝尔审敛法)
设正项级数
un满足 :
n1
limun1 ρ n un
(0ρ ),
则 (1) 当 ρ 1时, 级数收敛 ;
(2) 当 ρ 1 或 时, 级数发散 .
p
-级数：
n
1
1 np
收敛， p1 发散. p 1
注 常用的比较级数: 等比级数, 调和级数 与 p-级数.
欲证un发散，
n1
判unn1p？(某p1)
欲证un收敛，
n1
判unn1p (某p1)？
例4 判断正项 级 1 数的敛.散性
n1 n(n1)2
解 un nn 112n1 32vn
而
vn
1
3
收敛 ,
n1 n1n2
n1
1 n(n1)2
收敛 .
定理11.3 (极限形式的比较审敛法)
设正项级数 u n , v n 满足
n1
n1
则有
lim un l (0l), n vn
(1) 当 0 < l <+∞ 时, 两级数同敛散 ;
正项级数比值审敛法
正项级数比值审敛法正项级数比值审敛法是数学分析中常用的一种判定级数收敛性的方法。
它利用级数的比值来判断级数的收敛性或发散性。
本文将详细介绍正项级数比值审敛法的原理、应用例子以及一些注意事项，希望能对读者们有所指导和帮助。
首先，我们来探讨正项级数比值审敛法的原理。
对于一个正项级数∑an ，其中an≥0 ，我们可以求出级数相邻两项之比的极限值L=lim（n→∞）（an+1/an）。
当 L<1 时，级数∑an 收敛；当 L>1 时，级数∑an 发散；当 L=1 时，比值试验不能确定级数的收敛性，需采用其他方法进行判定。
接下来，让我们通过一个具体的例子来解释正项级数比值审敛法的应用。
考虑级数∑1/n! ，我们可以计算相邻两项之比的极限值L=lim（n→∞）（（n+1)!/n!） = lim（n→∞）（n+1）=∞。
由于L>1 ，根据比值审敛法的原理，我们知道该级数发散，也就是说级数∑1/n! 是发散的。
在应用正项级数比值审敛法时，需要注意以下几点。
首先，要确保级数的各项都是正数，否则无法使用比值审敛法。
其次，比值试验只适用于正项级数，对于含有负项的级数是不适用的。
此外，当极限值 L=1 时，比值试验无法确定级数的收敛性，此时需要借助其他判定方法。
最后，正项级数比值审敛法是一种快速判断级数收敛性的方法，但并不是万能的，对于一些特殊级数可能会失效，需要采用其他方法进行判断。
总结起来，正项级数比值审敛法是一种简单有效的判定级数收敛性的方法。
通过计算级数相邻项的比值的极限值，我们可以快速判断级数的收敛性或发散性。
然而，在使用比值审敛法时需要注意级数的正性、不适用于负项级数以及极限值为1时的特殊情况。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用正项级数比值审敛法，从而在数学分析中取得更好的成绩。
正项级数及其审敛法
n
n
∴ 原级数发散.
(2)
lni mn2
n2 1 n1
∴ 原级数收敛.
3、比较审敛法3 (比阶审敛法)
设an和bn均为正项 , 级数
n1
n1
通 项 an和bn均 为 n时 的 无. 穷 小
(1) 当an 为bn 的同阶或高阶无穷, 小时
由bn 收敛可推出an 收敛.
n1
n1
(2) 当an 为bn 的同阶或低阶无穷 , 小时
n 1
1,
而 1发散,
n1n
∴ 原级数发散.
n
1
(2)
lim
n
n2
n 1
1
ln im n2
n2 n1
1,
n2
而
1
n1n2
收敛,
∴ 原级数收敛.
1
(3)
lim
n
4n
1
3n
4n
lim
n
1
1
3 4
n
1,
而
1
n14n
收
敛,
∴原级数收敛.
推论(比较审敛法 2)：
设 级 数
n 1
an为 正 项 级 数 ，(1)若
n1
若极 ln i m na 限 n有确,定 则意 有义
(1) 当 0 1 时, 级数收敛 ；
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
当一般nn项 ,an等 ln 中 i m nan 含 易有 求 级的 数 常用根. 值审敛法
例:1)判
定
级 1数 的 n1nn
n1
思 路 ： 构 造 一 个 单 调 递 减 函 数 f(x)， 使 得 f(n)an
正项项级数的审敛法
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
1
1
(1)
解
sin ; (2) n1 n
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n
n 1
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim 1
n
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
(1)若对一切n > N0,成立不等式
13.2 正项级数及其审敛法
时，lim n
un
0.
3.
若出现
ρ=1 或
lim
n
n
un
不存在,
则改用其它方法.
4. 条件是充分的, 并非必要.
由
un(, un 0)
收敛
lim n
n
un
1；
n1
由 un(, un 0)
发散
lim n
n
un
1.
n1
均可能出现 1，或不存在.
例14 判定正项级数的敛散性.
解
(1)
lim n
1
但 p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项级数，且
lim n
n
un
,
则
(1) 当 1 时,级数收敛; (2) 当 1 时, 级数发散 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
当 x=1时,
级数是调和级数
1 ,
发散.
例12 判定正项级数
解
因为
0
n 2n
cos2
nn1
3
n 2n
cos
n 2n
2
n3n1的n敛散性.
(n 1,2,)
且
lim
n
n1 2n1
2n n
n1 lim
n 2n
1 2
1
,所以
n1
n 2n
收敛,
再由比较判别法知, 原级数也收敛.
例13 利用级数敛散性, 证明
部分和数列 有上界 .
级数的审敛法
级数的审敛法
级数的审敛法是一种判定级数是否收敛或发散的方法。
下面介绍几种常用的审敛法：
1. 正项级数判别法：如果级数的各项都是非负数，并且级数的通项递减，则该级数收敛。
这是因为正项级数的部分和一定是递增有界的。
2. 比较判别法：设有两个级数∑a_n和∑b_n，如果在有限项后
总有a_n ≤ b_n，则如果∑b_n收敛，∑a_n也收敛；如果∑a_n
发散，∑b_n也发散。
这个方法常用于比较一个级数与已知的
收敛或发散的级数。
3. 比值判别法：对于一个级数∑a_n，如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≤ r < 1，则级数绝对收敛；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ 1，则级数发散；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ r > 1，则级数发散或者条件收敛。
4. 积分判别法：对于一个非负递减的函数f(x)，如果∫f(x)dx从
1到无穷收敛，则级数∑f(n)也收敛；如果∫f(x)dx从1到无穷发散，则级数∑f(n)也发散。
这个方法利用了级数与函数的关系。
以上只是一些常用的审敛法，对于特定的级数，可能需要使用其他方法进行判断。
高等数学第二节 正项级数审敛法1
1
）;
n 1
n
1
(6)n2 (ln n)2 .
解
(1)因为
sin
n2
1 a2
1 n2
,
级数
n 1
1 n2
收敛，因此该级数收敛；
(2 )因为 n 1 1 , n2 1 n
级数
1发散，因此该级数发散；
n=1 n
1
(3) 因为
lim 3n n 1, n 1
~
k np
(k
0)，那么当p>1时级数
un 是收敛的，当p≤1时级数
n 1
un是发散的．
n 1
例 4 设 an 为正项级数，下列正确的是( )． n1
（A）若
lim
n
nan
0
，则级数
n1
an
收敛
（B）若存在非零常数
，使得
lim
n
nan
，则级数
n1
则则当当rr<<11时时级级数数收收敛敛；；当当rr>>11((或或lnnilnmimnnnuunnn ))时时级级数数发发散散；；当当rr11
k 1
n 1
若ρ>1,则…………
例６ 判别下列级数的敛散性：
(1)
ann!(a 0),并在a e时求极限 lim ann!;
(2) 4 4 7 4 7 10
nn
n1
n n n
2 2 6 2 610
(3)
n 1
n 3n
sin2
几种常用的正项级数审敛法的比较
几种常用的正项级数审敛法的比较作者：石会萍来源：《中国科技纵横》2015年第22期【摘要】无穷级数是高等数学的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，判别正项级数的敛散性更是数项级数的核心内容。
正项级数的判敛方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧。
本文归纳总结了几种常用的正项级数判敛法，比较了这些方法的不同点，总结了几种方法各自的特点与适用范围，便于学习者节约时间，提高效率。
【关键词】正项级数收敛发散无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。
而数项级数又是无穷级数的一个重要组成部分，正项级数又是其中很重要的一类。
因为许多数项级数都是通过将其化成正项级数而知其敛散性的，因此，正项级数的审敛就显得尤为重要。
正项级数有几种审敛法，但一些学生学习中却有些茫然，看到一个级数不知选择哪种方法审敛，针对这种情况，现将几种常用的正项级数的审敛法比较如下：方法一：收敛的必要条件：若级数收敛，则。
判断级数敛散性时常用的是它的逆否命题，即：若，则必发散。
所以当需判断数项级数的收敛性时，可先看一般项的极限是否为零，如为零不一定收敛，但如不为零，一定发散。
如，因，故此级数发散。
方法二：收敛准则：正项级数收敛它的部分和数列有上界。
此方法适用于前项和可求出的正项级数，但多数级数的前项和不易求，所以此方法不是很实用，不过利用此收敛准则却可得到下面比较实用的方法。
方法三：比较审敛法：设和都是正项级数，且存在正整数，当时有成立，则当收敛时，收敛；当发散时，也发散。
用八个字简单的记就是“大收小收，小发大发”。
用这个方法判断级数的敛散性时，需对该级数有个直观地敛散性的认识，当直观判断它可能收敛（或发散）时，需要将该级数的各项适当地放大（或缩小），使放大（或缩小）后的级数是已知的收敛（或发散）的级数，从而验证我们的判断是正确的。
须注意放大（或缩小）的“度”要把握好，不然得不到想要的结论。
7.2 正项级数及其审法敛
收敛。
2)
n.
n1 2 n5
因为
0
n
2 n5
n n5
1 n2
n 1,2,,
1
而级数
n2
n 1
是收敛的 p 级数 p 2 1,
由比较审敛法知级数
n
收敛。
n1 2 n5
例2 判断下列级数的敛散性:
1） sin 1；
n 1
n
2）
2n 1 .
n1 n5 2
解： 1） sin 1；
所以由比较审敛法知正项级数
n n
n1 2n 1
也收敛。
课堂练习：
判断级数 n! 的敛散性，并说明理由。 nn n 1
小结: 1.正项级数的比较审敛法； 2.正项级数的比值审敛法；
作业: P150. 1（2）；2（2）；3（2）.
因为单调有界数列必有极限所以收敛二正项级数的比较审敛法定理比较审敛法一是两个正项级数且若级数收敛则级数若级数发散则级数上述定理可以简单地这样记忆
§7.2 正项级数及其审敛法
对于一个无穷级数，通常需要考虑解决两个问题： 1. 如何判别级数是否收敛？ 2. 如果收敛，怎样求和？
第二个问题通常比第一个问题要难得多，本节将介绍 如何判别正项级数是否收敛的方法，即审敛法。
大收小收，小发大发
定义. 形如
1 1 1 1 1
np
n 1
2p 3p
np
1
的级数称为 p 级数． p=1 时 n1 n 称为调和级数。
p 级数的敛散性有如下定理：
定理 当
p
1时，p
级数
n 1
1 np
收敛；
当
p 1
正项级数及其审敛法
判别法与极限审敛法
判别法是根据正项级数的通项性质来判断其收敛性的方法。通过对通项的分析，可以找到一些关键的 量，如相邻项的比值、绝对值的增长速度等，来判断级数的收敛性。
极限审敛法是通过分析级数部分和的极限行为来判断其收敛性的方法。它基于极限的性质，通过分析部 分和的极限是否存在或趋于无穷大，来判断级数的收敛性。
正项级数在数值分析中用于求解 微积分问题，例如数值积分、数 值微分等。
在物理中的应用
热力学
正项级数在热力学中用于描述热传导、热辐射 等过程，例如求解热传导方程。
波动理论
正项级数在波动理论中用于描述波动现象，例 如求解波动方程。
原子结构
正项级数在原子结构中用于描述电子的能级分布，例如求解薛定谔方程。
几何审敛法的优点
直观易懂，易于操作。
调和审敛法
调和审敛法
通过观察级数的调和级数部分（即分母）的增长情况来判断级 数的收敛性。如果调和级数部分增长速度较慢，则级数收敛；
反之，则发散。
调和审敛法的适用范围
适用于分母为连续正整数或分母为等差数列的正项级数。
调和审敛法的优点
适用于某些特殊类型的级数，计算简便。
详细描述
自然数幂级数的通项公式为$a_n = n^m$，其中$m$是一个常数。自然数幂级数的和可以通过公式$S_n = frac{n^{m+1}}{m+1}$计算。当$m = 1$时，自然数幂级数退化为等差级数。
几何级数
总结词
几何级数是每一项都与前一项成固定比例的级数。
详细描述
几何级数的通项公式为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比。几何级数的和可 以通过公式$S_n = frac{a_1 times (r^n - 1)}{r - 1}$计算，其中$S_n$表示前$n$项的和。当$r = 1$时， 几何级数退化为等差级数。
正项级数审敛法的应用探析
正项级数审敛法的应用探析正项级数是数学中的一个重要概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
审敛法是研究正项级数收敛性的一种方法，通过审敛法，我们可以判断正项级数的收敛和发散，进而应用于实际问题中。
本文将探索正项级数审敛法的应用，并通过实例分析其在实际问题中的作用。
我们来看一下正项级数的定义。
正项级数指的是级数的每一项都是非负数的级数，即a_n\geq0，级数的通项为a_1,a_2,a_3,...,a_n。
正项级数的收敛性与实际问题中的应用有着密切的联系，对于一个正项级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n，如果它收敛，那么我们可以得出\lim_{n \to \infty}a_n=0的结论，这对于实际问题中的分析是非常有用的。
接下来，我们来介绍一下正项级数审敛法的概念。
正项级数审敛法是通过比较或判别正项级数的通项a_n与已知的收敛或发散的级数进行判断的一种方法。
常用的审敛法有比较审敛法、比值审敛法、根式审敛法等。
这些审敛法都是在判断正项级数的收敛性时非常有用的工具。
比较审敛法是判断正项级数的收敛性的一种方法，它的基本思想是通过将待判断的正项级数与一个已知的收敛或发散的级数进行比较，从而得出待判断级数的收敛性。
比较审敛法常用的形式有两个，一个是比较审敛法，另一个是极限比较审敛法。
比较审敛法的核心是找到一个与待判断级数有着相同数量级的级数进行比较，从而得出结论。
比值审敛法也是判断正项级数收敛性的重要方法，它的思想是通过计算级数的相邻项的比值来判断级数的收敛性。
比值审敛法适用于通过计算\lim_{n \to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}来判断级数的收敛性，如果极限存在且小于1，则级数收敛；如果极限大于1，则级数发散；如果极限等于1，则无法判断。
以上介绍了一些常用的正项级数审敛法，这些方法在判断正项级数的收敛性时非常有用。
接下来，我们将通过实际问题来探讨正项级数审敛法的应用。
在实际问题中，正项级数的应用非常广泛，比如在金融数学中，我们常常会遇到复利计算的问题。
绝对收敛与条件收敛
散。
存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=⎪⎩⎪⎨⎧=><=⎪⎩⎪⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ。
的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛１时发散ｐ 级数： 收敛； 级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。
收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p nn n n幂级数：010)3(lim)3(1111111221032=+∞=+∞===≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n nn n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。
，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散时，收敛于ρρρρρ函数展开成幂级数：+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++nn n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ 一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-++=+--x n xx x x x x x n n m m m x m m mx x n n nm 欧拉公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ixix ixix ixe e x e e x x i x e 或 三角级数：。
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例一—-设，a则-an2〈+（奇T=如），"础 一 3 例•设an -
8
8
n
从而级数£ an = £ n=1 n=1 2
但 5 = 2 + (T)n+1
收敛.
1
一 a” 2(2 + (-1)n ) 〃‘ 且lim c2n =z，
lim
c2n+1
=
3，・.・
lim
-n±L
=
lim
ns 6 cn 不存
10n+1 n! 10
故级数£刍发散. n=110
1 .比值审敛法不必找参考级数，通过相邻两项比值的极限 来确定级数的敛散性.
2.当级数的一般性含有n!时,采用比值审敛法
一、比值审敛法（达朗贝尔判别法）
8
"
定理1 :设£an是正项级皿数,若极限lim-^ = p,则
8 n=1
E an
⑴p < 1时,£ an收敛；
n=1 8
(2) 1 < p V+8 时，£ an 发
散;
n=1
证明：⑴当Q vl时,取0 V £ V 1 - 〃，记r = p + £
< 1,
a
则于是H NaN,+当1 < nra>N ,Na时N+2,有< a-nr^aN<+1p< +r a£N，= 一r, , 8
ns
当p = +8时,取M > 1,则存在N，当 n > N时,
芒>M.同上，级数发散
比值审敛法的优点：不必找参考级数.
8
注1 P = 1时,£ an可能收敛，也可能发
散。
n=1
如:收敛,£1发散。
注2：n=条1n 件是充n=分1n 的，而非必要.即
8a
£ 正项级数 an=n1收敛*n—l8iman-n±1 = p < 1.
在
n—8 2 n—8 a n—8
二、典型例题
例1判别下列级数的敛散性.
8
⑴£n ；
n=1
8 n‘ (2)京
板书
1
解:(1)・.・！ = (n + 1)! =1 — 0 (n — 8),
an L n +1 n!
8
£ 故级数 *收敛. n=1n・
⑵. • %+1 = (n + 1)! 10* = n + 1 an 一8 (n — 8),
£ aN+m < rmaN,而级数 ^^UN收
m=1
8
8
£ 二"+m = an收故原级数收敛・
m=1 n=N+1
板书
(2) 当p > 1时，取0 V £V p-1,记 r = p-£> 1,
a
则 3N, 当n > N时,有~n±k > p-£= r, an
于是"+m
>
rmaN,
lim匕=+皿级数发散・