高考数学专题：函数的单调性

高考数学函数的单调性复习教案
考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。

函数单调性可以从三个方面理解
（1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。

（2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。

（3）定量刻画，即定义。

上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径
判断增函数、减函数的方法：
①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。

与之相等价的定义：⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02
121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。

其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。

⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。

②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`<x f 那么就说()f x 在这个区间上是减函数；
如果函数()x f y =在某个区间上是增函数（或减函数），就说()f x 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间。

如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。

导数法是一个通法，而且不要过多的技巧，但要注意本法只对于给定区间上的可导函数而言才可以用，一般含有绝对值的函数应采用其他方法。

③复合函数单调性的根据：设()()[][]n m u b a x x g u u f y ,,,,,∈∈==都是单调函数，则()[]x g f y =在[]b a ,上也是单调函数。

（ⅰ）()u f y =是[]n m ,上的增函数，则()[]x g f y =与()x g u =的增减性相同；
（ⅱ若()u f y =是[]n m ,上的减函数，则()[]x g f y =的增减性与()x g u =的增减性相反。

④几个与函数单调性相关的结论：
（ⅰ）增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；
（ⅱ）增函数－减函数=增函数；减函数－增函数=减函数。

⑤函数奇偶性与单调性质的重要关系：
奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。

⑥如果()x f y =在某个区间D 上是增函数（或减函数），那么()x f y =在区间D 的任意一个子区间上也是增函数（或减函数）。

⑦互为反函数的两个函数具有相同的单调性。

【试题举例】
（年高考上海卷）若函数()2+-=b x a x f 在［0，+ ∞ ）上为增函数，则实数 a 、b 的取值范围是.
【解析】本题考查函数的单调性及分类讨论思想 ()()()⎩⎨
⎧<+-≥+-=b x ax ab b x ab ax x f 2
2
要使 ()x f 在［0，+ x ）上为增函数，必须使 0>a 且0≤b 。

（年广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. R x x y ∈-=,3
B. R x x y ∈=,sin
C. R x x y ∈=,
D. R x x y ∈=,)2
1(
【考点分析】本题考查基础函数的奇偶性和单调性质，基础题。

解析：由题选择A 。

sin ,y x x R =∈非定义域上的单调函数，故排除B ； ,y x x R =∈是增函数；x 1() ,2y x R =∈是非奇非偶函数。

()()()()⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,413x x x a x a x f a
是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是C
（A ）(0,1) （B ）1
(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1
[,1)7
（类同北京文4） 【考点分析】本题考查分段函数、函数的单调性质，基础题。

解析：要使()x f 为()+∞∞-,上的增函数，必须满足两个段的函数都是减函数且第一支的最小值必须大于第二支的最大值，即
()317171103104131031413log 10013<≤⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥<<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-≤<<<-a a a a a a a a a x a x a a a ，故选择C 。

【窥管之见】本题比较北京文科题而言，层次要高些，学生不会如文科一样错做对得。

年北京文）已知(3)4,1()log ,1a a x a x f x x x --⎧=⎨
≥⎩＜，是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是
（A ）(1，+∞) （B ）(-∞,3) (C)[53，3) (D)(1,3)
【考点分析】本题考查分段函数、函数的单调性质，基础题。

解析：依题意，有()3104313log 431
03<<⇒⎪⎩
⎪⎨⎧≤--><⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-->>-a a a a a x a
x a a a a 故选D ， 【窥管之见】本题比较北京理科题而言，层次要低些，由于最后一个不等式可能会被忽略，但从结果来看，最后一个不等式没有，也不会影响结果，因此本题不是一个完美的题。

1997全国，13）定义在区间()+∞∞-,的奇函数()x f 为增函数，偶函数()x g 在区间[)+∞,0的图象与()x f 的图象重合，设0>>b a ，给出下列不等式，其中成立的是（ C ）
①()()()()b g a g a f b f -->-- ②()()()()b g a g a f b f --<--
③()()()()a g b g b f a f -->-- ④()()()()a g b g b f a f --<--
A.①与④
B.②与③
C.①与③
D.②与④
【考点分析】本题考查函数的奇偶性与单调性质结合，基础题。

解析：解法一：取适合条件的特殊函数()()x x g x x f ==,，并令a =2，b =1，则给出的4个不等式分别是①3＞1；②3＜1；③3＞－1；④3＜－1.由②不成立，排除B 、D ，又④不成立，排除A ，得C 。

特殊值法是解答填空题、选择题的一个重要方法，甚至对于一些抽象的定值问题的解答题的分析也不失为一个重要的手段。

解法二：由题设知，4个不等式分别等价于①()0>b f ；②()0<b f ；③()0>a f ；④()0<a f .由于()x f 是奇函数，且定义在()+∞∞-,上，所以()00=f ；于是，由()x f 是增函数与0>>b a 得不等式①与③成立，故答案为C 。

本解法只简单的直
观的运用了奇偶性对不等式进行化简，使结论直观。

解法三：如图2—17，显然()()()()b g a g a f b f -->--，
()()()()a g b g b f a f -->--，所以选C 。

【窥管之见】本题综合考查函数性质（奇偶性、单调性），试题比
较长，兼考阅读、理解能力；题设上给出的两个函数都没有具体的解析
式，借以加强概念的考查，要求对奇偶性、单调性有透彻的理解。

会简
化问题，对综合灵活地应用数学知识解决问题的能力要求较高。