复合函数的偏导数和全微分--非常重要89611
多元函数的全微分与偏导数
多元函数的全微分与偏导数多元函数是数学分析中非常重要的一个概念，它描述了多个自变量对应的函数值的变化规律。
全微分和偏导数则是研究多元函数性质的重要工具。
在本文中，我们将探讨多元函数的全微分与偏导数的定义、性质和应用。
一、全微分的概念与性质1.1 全微分的定义设函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在点$(x_{1_0},x_{2_0},\cdots,x_{n_0})$ 具有一阶连续偏导数，则在该点的全微分为：$$\mathrm{d} f=f_{x_1}\mathrm{d} x_1+f_{x_2}\mathrm{d}x_2+\cdots+f_{x_n}\mathrm{d} x_n$$其中 $f_{x_i}$ 表示 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数，$\mathrm{d}x_i$ 表示 $x_i$ 的微小增量。
1.2 全微分的性质全微分具有以下性质：（1）全微分的值与路径无关。
即，从点 $A$ 到点 $B$ 的全微分值相等。
（2）全微分对各变量的求导顺序不影响结果。
（3）全微分的二阶导数与求导顺序无关。
二、偏导数的定义与求解方法2.1 偏导数的定义函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 对自变量 $x_i$ 的偏导数定义为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{\Delta x_i\rightarrow0}\frac{f(x_1,x_2,\cdots,x_{i-1},x_i+\Delta x_i,x_{i+1},\cdots,x_n)-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\Delta x_i}$$偏导数表示 $f$ 在某一自变量上的变化率。
2.2 偏导数的求解方法对于多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，求偏导数的方法如下：（1）保持其他自变量不变，对于某个自变量求导数。
（2）对于每个自变量都求一遍偏导数。
多元函数的偏导数与全微分的概念及应用
多元函数的偏导数与全微分的概念及应用多元函数是指存在于多元空间中的函数，其自变量个数大于等于2个。
对于多元函数，我们需要引入偏导数和全微分的概念来描述其变化情况和应用。
概念：偏导数是多元函数在某一点沿着坐标轴方向的变化率，可以理解为函数对于某一个自变量的变化的敏感程度。
对于二元函数f(x, y)，偏导数可以用∂f/∂x和∂f/∂y表示。
其中，∂f/∂x表示函数f对x的偏导数，y视为常数；∂f/∂y表示函数f对y的偏导数，x视为常数。
全微分是描述多元函数在某个点附近的变化的线性逼近。
对于二元函数f(x, y)，全微分可以用df表示。
全微分df包含两部分：一部分是偏导数对自变量的改变的斜率；另一部分是自变量的微小变化引起的函数的增量。
全微分df可以表示为df= (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy。
应用：1. 最值判定：偏导数可以帮助我们找到多元函数取得最值（极大值或极小值）的点。
根据拉格朗日乘子法、极值判定条件等方法，通过计算偏导数和求解方程组可以找到函数取得最值的点。
2. 曲面方程：通过求偏导数，我们可以得到曲面在某个点的切线方程和法向量。
这对于研究曲面的性质和描述其形态十分重要。
3. 实际问题的建模：多元函数的偏导数和全微分在数理物理、经济学、工程学等学科中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以通过求函数关于某个变量的偏导数，得到该变量对函数的影响程度，从而分析经济关系和做出合理决策。
4. 方向导数与梯度：偏导数和全微分还可以帮助我们研究函数在某个点上沿着某个方向的变化情况。
方向导数可以通过偏导数和方向向量的内积来求取。
梯度则是一个向量，包含了函数在某个点上沿着变化最快的方向和变化率。
梯度的方向是函数值增长最快的方向，大小则表示了函数值增长的速度。
总结：多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数的重要工具，可以帮助我们理解函数的变化规律、寻找最值、建立模型和分析实际问题。
在实际应用中，熟练掌握多元函数的偏导数和全微分的计算方法和性质，对于解决实际问题具有重要的意义。
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法一、多元函数的偏导数与全微分的定义和关系在多元函数中，每个自变量都可以对应一个偏导数。
偏导数表示在其他自变量保持不变的情况下，函数对某个自变量的变化的敏感程度。
而全微分则是函数在一个点附近的近似变化。
1. 偏导数的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$关于$x_i$的偏导数，表示在$x_i$方向上的变化率，记作$\frac{\partial f}{\partial x_i}$。
其中，$\frac{\partial}{\partial x_i}$表示对$x_i$求偏导数的运算符。
2. 全微分的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$在点$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$处的全微分，表示函数在此点的一个近似变化，记作$df$。
全微分可以通过各个偏导数的线性组合表示，即$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$。
3. 偏导数与全微分的关系根据全微分的定义可以得到以下关系：$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 +\cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$这说明全微分$df$可以看作各个偏导数乘以相应自变量的微小变化量的累加。
二、多元函数的偏导数与全微分的计算方法计算多元函数的偏导数和全微分需要运用一些特定的计算方法，下面将介绍一些常用的方法。
1. 隐函数求导当多元函数以隐函数的形式给出时，可以通过隐函数求导的方法来计算偏导数。
偏导数与全导数-偏微分与全微分的关联
1。
偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线这里在补充点。
就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。
2。
微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y)偏微分：在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分detaz=fx（x,y）detax+o(detax)右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系dz=Adx+Bdy 其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。
概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。
3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。
u=a(t),v=b(t)z=f[a(t),b(t)]dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。
dz/dt=(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt)建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。
1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。
2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。
对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数如果z=f(x^2,2^x) 只有这种情况下dz/dx才是全导数！偏导数就是在一个范围里导数，如在（x0,y0)处导数。
复合函数的偏导数
由于函数z f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z tz u源自u tz v
v t
1
u t
2
v t
当t 0时， u 0，v 0
证: 把 u (x2 y2 )看作是由函数
u (z)及 z x2 y2
复合而成，分别对 x 与 y求导得
u (z) 2x, u (z) 2y,
x
y
从而 x u y u 2xy(z) 2xy(z) 0.
y x
例8 设z f (u, x, y), 其中 f 具有对各变量的连续的 二阶偏导数，且 u xey , 求 2 z . yx
ux
zv
z z u z v z w y u y v y w y
wy
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
v 1, w 0,
x
x
其中 fij表示 f 先对第i个变量求导，再对第j个求二阶偏导.
三、小结
1、链式法则 （特别要注意课中所讲的特殊情况）
2、全微分形式不变性 （理解其实质）
思考题
设z f (u,v, x)，而u ( x) ，v ( x)，
则 dz f du f dv f ， dx u dx v dx x
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
微积分第2周讲课提纲(偏导数、全微分、复合函数微分法)
f (a) dy lim f (a h) f (a) ，
dx xa h0
h
其几何意义是曲线 y f (x) 在点 (a, f (a)) 处切线的斜率，切向量为 T (1, f (a)) / /(dx, df (a)) ．
1．偏导数的定义
定义：设函数 f (x, y) 在点 (a,b) 及其附近有定义，考虑函数 z f (x,b) 在点 x a 的导数，
xy
yx
例
2： u
sin(x
y
z)
，求
2u yx
，
2u xy
，
3u x2z
．
解： 2u sin(x y z) ； 2u sin(x y z) ； 3u cos(x y z) ．
yx
xy
x2z
Note：是否存在函数 f (x, y) 及其定义域中的点 (a,b) ，使得 2 f (a,b) 2 f (a,b) ？
量为
T
(0,1,
f
(a, b)
)
．
y
微积分 B(2)
第 2 周讲课提纲（By Huzm）（大约需要 5 学时）(By Huzm)
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二、高阶偏导数
1. 高阶偏导数的概念
偏导函数： f (x, y) , f (x, y) ；
x
y
二阶偏导数：
2
f (x, x2
y)
x
f
(x, x
xy
yx
例如：对于函数
x2 y2
f
(x,
y)
xy
x2
y2
,
0,
x2 y2 0, 因为
x2 y2 0,
微积分 B(2)
全微分与偏导数的关系
全微分与偏导数的关系
全微分与偏导数是微积分中的两个重要概念，它们之间存在着密切的联系。
全微分可以理解为一个函数在某一点处的变化量，而偏导数则是一个函数在某一方向上的变化量。
在一元函数中，全微分等于函数的导数乘以自变量的微小增量。
例如，对于函数f(x)，全微分df在点x处的值等于f'(x)dx。
在多元函数中，全微分可以表示为函数在各个自变量上的偏导数乘以各自的微小增量的和。
例如对于函数f(x,y)，在点(x0,y0)处的全微分df为df=fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)dy。
同时，对于一个函数f(x,y)，其在x方向的偏导数可以表示为
偏微分df/dx，y方向的偏导数可以表示为偏微分df/dy。
因此，全微分与偏导数之间的关系可以表示为：如果一个函数在区域内的偏导数存在且连续，则该函数在该区域内是全微分的。
也即，如果一个函数存在全微分，则其在各个自变量上的偏导数存在且连续。
- 1 -。
复合函数偏导数
复合函数偏导数
复合函数是由两个或多个函数经过组合而成的新函数，在求复合函数的偏导数时，需要使用链式法则。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为f(g(x))。
在求f(g(x))的偏导数时，需要使用链式法则，即：
∂(f(g(x)))/∂x = (∂f/∂g) * (∂g/∂x)
其中，∂f/∂g表示f关于g的偏导数，∂g/∂x表示g关于x的偏导数。
例如，假设f(x,y) = x^2+y，g(x,y) = y^2+x，则它们的复合函数可以表示为：
现在需要求h(x,y)对x和y的偏导数。
对x的偏导数：
∂h/∂y = (∂f/∂g) * (∂g/∂y) + ∂f/∂y = 2(y^2+x) * 2y + 1 = 4y(y^2+x) + 1
因此，h(x,y)对x的偏导数为2(y^2+x)，对y的偏导数为4y(y^2+x) + 1。
在实际应用中，复合函数的偏导数计算可以通过计算机程序自动化求解。
偏导数与全微分的关系
偏导数与全微分的关系
偏导数与全微分的关系
偏导数及全微分是高等数学中重要的概念，用来描述一元函数、多元函数曲线特性及变化趋势。
而两者又有着密不可分的关系。
首先，偏导数是全微分的一部分，是全微分的基础。
它代表函数曲线在某一点的斜率，又叫函数的切线斜率，是函数曲线在某一点的变化率。
而全微分定义为函数在某一点的函数值及其方向对点中的变化率，所以它的意义是偏导数的概括，反映了函数曲线在某一点的斜率及方向的变化率，其值比偏导数更能体现函数曲线在该点的变化趋势。
其次，计算偏导数和全微分是有联系的。
若给定一个多元函数，要求偏导数则需要使用偏微分概念，因为偏微分是多元函数的偏导数。
而要计算全微分，首先要确定函数的偏导数，然后再求出全微分的求值。
最后，偏导数与全微分是相互联系的，彼此之间又有着千丝万缕的联系。
一般来说，计算多元函数的极值是依赖于偏导数的，而全微分是为了更全面地反映函数曲线的变化趋势。
所以，偏导数与全微分虽然各有不同的定义，但它们之间仍有密不可分的关系。
- 1 -。
《偏导数和全微分》课件
光学：描述光场、折射率场等物理量
量子力学：描述波函数、概率密度等物理量
相对论：描述时空弯曲、引力场等物理量
全微分在几何中的应用
计算曲面的切平面
计算曲面的法线
计算曲面的曲率
计算曲面的旋转曲面
全微分在物理中的应用
力学：计算力、力矩、能量等物理量
热力学：计算温度、压力、体积等物理量
电磁学：计算电场、磁场、电磁波等物理量
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全微分的几何意义
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全微分描述了函数在某点处的变化趋势
全微分是函数在某点处的线性近似
全微分是函数在某点处的切线斜率
全微分是函数在某点处的切线方程
全微分的物理意义
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全微分表示函数在某点处的变化率
全微分是函数在某点处所有偏导数的线性组合
全微分可以用来计算函数在某点处的变化量
全微分是微积分中的重要概念，用于解决实际问题
偏导数和全微分的应用
偏导数在几何中的应用
求曲线的切线斜率
求曲面的切平面参数方程
求曲面的切平面法线
求曲面的切平面方程
偏导数在物理中的应用
力学：描述力场、速度场、加速度场等物理量
热力学：描述温度场、压力场等物理量电磁学：描述电场、磁来自等物理量偏导数的物理意义
偏导数可以用于求解多元函数的极值和条件极值
偏导数是函数在某一点处沿某一方向的变化率
偏导数可以描述函数在某一点处的局部性质
偏导数可以用于求解多元函数的梯度和方向导数
全微分的概念
全微分的定义
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复合函数求偏导解读
公式(1)给出z对x的偏导数是
z z u z v x u x v x
(*)
z 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公 x 式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即
(1)公式(*)的项数，等于结构图中自变量x到达z 路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条. 第一条是 x u z，第二条是 x v z ，所以公
z z u z v z w . y u y v y w y
(3)
2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而
u ( x, y, z ),
v ( x, y, z ) 都有偏导数，求复合函数
w f [ ( x, y, z ), ( x, y, z )]
2 v 2 2
解 可得
z f f v x x v x
(sin v 4 x) ( x cos v e v ) 2 x
[sin( x y ) 4 x] [ x cos( x y ) e
2 2 2 2
x2 y2
] 2 x.
z f 在该例中，我们清楚看出 与 含意是不同的. x x f sin v 4 x sin( x 2 y 2 ) 4 x. x z 显然不等于 . x
2t 2t (ln t 1).
z z 例6 设z=f(x,xcosy)，其中f(u,v)为可微函数，求 , . x y
解 令v=xcosy，得
z f f v f f cos y . x x v x x v
z f v f x sin y . y v y v
由于x，y，z在函数中的地位是相同的，所以同样有
偏导数与全导数偏微分与全微分的关系
偏导数与全导数偏微分与全微分的关系Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】1。
偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线这里在补充点。
就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。
2。
微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。
概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。
3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。
u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。
d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t)建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。
1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。
偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系
偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系1 偏导数
偏导数是多元函数中某些元素对解式的变化量，可以用来表达对
对应变量的变化率，可以直观地表达在某些元素变化情况下，其他元
素有多大的变化程度，由此可以用偏导数来进行多元函数的零点确定。
可以说偏导数是多元函数的重要方法，在多元函数求最值时，需要充
分利用偏导数的性质。
2 全微分
全微分是多元函数中某些变量的变化量对函数的总变化量的商，
也可以理解为函数值对每个变量的变化率。
对于求多元函数极值确定点，全微分相当重要。
通过全微分，可以直观地分析变量所处的极值
状态，表示极值点的存在性和它们的特性。
3 方向导数
方向导数是多元函数的某一个小区域内，按照某一方向（导数方向）的变化和函数值变化的比值。
也可以理解为函数值在方向上的变
化率。
方向导数与全微分有着重要的关系，全微分是方向导数的平均值，其实就是平均在各个方向上的变化率，而方向导数就是在某一方
向上函数值的变化率。
偏导数、全微分和方向导数三者之间的关系是：偏导数用来表达
函数某一变量对另外一个变量的变化率，全微分是将偏导数进行整合，
描述函数每一个变量的变化率的平均值；而方向导数就是在某一个方向，某一点处函数梯度的一阶微分（斜率）。
它们之间有本质的联系，在多元函数求最值时可以采用不同方法来使用求解，可以相互配合，
起到加强作用。
为系统地分析函数空间的性质作出了重要的贡献。
多元函数的偏导数与全微分论述与应用
多元函数的偏导数与全微分论述与应用一、多元函数的偏导数与全微分的定义多元函数是指具有多个自变量的函数。
对于一个具有n个自变量的函数f(x1,x2, ..., xn)，其中xi表示第i个自变量，其偏导数指的是在每个自变量上分别求导，而将其他自变量视为常数。
偏导数表示函数在某个特定自变量上的变化率。
以二元函数f(x, y)为例，分别对x和y求偏导数，可以得到偏导数表示为∂f/∂x和∂f/∂y。
这表示当y是常数时，函数f关于x的变化率；当x是常数时，函数f关于y的变化率。
全微分是对于多元函数在某一点的线性近似表示。
对于一个二元函数f(x, y)，全微分表示为df=f_x dx + f_y dy，其中f_x和f_y表示分别关于x和y的偏导数。
全微分可以用来描述函数在某一点处的微小变化量。
具体而言，对于自变量的微小变化dx和dy，函数f在该点产生的微小变化df可以通过全微分来表示。
二、多元函数偏导数的计算方法多元函数的偏导数的计算方法与一元函数的导数的计算方法类似，可以使用基本的微分法则进行计算。
对于一个具有n个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，分别对每个自变量求偏导数，可以按照以下步骤进行计算：1. 将所有与求导无关的自变量视为常数。
2. 对于每个自变量，分别对其求偏导数。
对于每个自变量x_i，偏导数表示为∂f/∂x_i。
3. 求得的偏导数可以用来计算函数在不同自变量上的变化率。
三、多元函数偏导数与全微分的应用1. 最优化问题：多元函数的偏导数可以用于最优化问题的求解。
通过对各个自变量求偏导数，可以找到函数的最大值或最小值。
这在经济学、工程学和物理学等领域有广泛的应用。
2. 偏导数与曲面切平面：偏导数可以用来表示曲面在某一点处的斜率，从而可以求出曲面在该点处的切平面。
这对于三维几何和图形绘制具有重要意义。
3. 方向导数：偏导数可以用来计算函数在给定方向上的变化率。
通过对每个自变量求偏导数，然后将其与给定方向的单位矢量相乘，可以得到函数在该方向上的方向导数。
2多元函数的偏导数和全微分
解 fx( x, y) y(1 xy)y1 y y2 (1 xy) y1
f x(1,1) 1
f
y( x,
y)
eln(1 xy) y y
(1 xy) y[ xy ln(1 xy)] 1 xy
f y(1,1) 1 2 ln 2
练： 求 u x yz的偏导数. u y z x yz 1 x u x yz (ln x)zy z1 y u x yz (ln x) y z ln y z
相截, 得到截线 1 . 1 上点 M0(x0, y0 , z0)处 切 线
对 x 轴的斜率. f 'y (x0, y0)就是以就是以平面 x = x0与曲面 z
= f (x, y) 相截, 得到截线 2 . 2 上点 M0(x0, y0 , z0)
处切线对 y 轴的斜率.
z
M0
1 : z = f (x, y0)
例1 求z x2 3 xy y2在(1, 2)处的偏导数.
解
z 2x 3 y x
z 2 6 8 x x1
y2
z 3x 2 y y
z 3 4 7 y x1
y2
或 f (x, 2) = x2 + 6x + 4, f 'x(x, 2) = 2x + 6
故 f 'x(1, 2) = 2+ 6 = 8.
的某邻域 U(X0)内有定义. 固定 y = y0, 在
x0 给 x 以增量 x . 相应函数增量记作
x z f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
称为 z 在点 X0 处关于 x 的偏增量.
如果极限 lim x z lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 ) 存在.
[理学]第13章 偏导数与全微分
![[理学]第13章 偏导数与全微分](https://img.taocdn.com/s3/m/e8450b31ff00bed5b9f31dcc.png)
453第十三章 偏导数与全微分引言：从本章开始引入多元函数的微分理论。
即将一元函数 的导数和微分的概念推广到多元函数，形成多元函数的偏导数和微分，并进一步研究多元函数的微分性质及其在几何上的应用。
§1 偏导数和全微分的基本概念1、 偏导数一元函数导数引入背景和意义：切线、速度――－函数的变 化率。
以二元函数为例引入多元函数的相关概念。
在区域D 上给定 二元函数f(x,y)，任取点p(x,y),考察在此点自变量的改变所引起的函数的变化。
先考虑一种最简单的情形：单个变量的变化所引起的函数的改变。
不妨仅考虑只在x 方向上发生改变，设改变量为x ∆，即变量由点p(x,y)变到点q(,x x y +∆),，则引起的函数的改变量为),(),(y x f y x x f u x -∆+=∆，由于这一改变量是仅由一个变量x 而不是所有变量的变化所引起的，因而称为偏增量或关于x 的偏增量。
类似，可以定义关于y 的偏增量),(),(y x f y y x f u y -∆+=∆。
现在，考虑这些偏增量关于相应变量的变化率，类似一元函数的导数的概念，给出如下定义。
定义1.1 若 x u x x ∆∆→∆0lim ＝0(,)(,)lim x u x x y u x y x∆→+∆-∆存在，称此极限为),(y x f 在点p(x,y)关于x 的偏导数， 记为x u ∂∂|p 或 x f ∂∂|p。
454注： 由定义可知，注意到极限的唯一性，),(y x f 在点p(x,y)关于x 的偏导数是点p(x,y)的函数，因此，也记为 x u (p)=(,)x u x y 或x f (p)=(,)x f x y .简写为x u 、x f 。
类似可以定义关于y 的偏导数y u ，y f 。
注：偏导数的含义：仅考虑一个变量的改变对函数增量的变化率。
如对三元函数u=f(x,y,z),可以定义三个偏导数，即0(,,)(,,)(,,)lim x x u x x y z u x y z u x y z x∆→+∆-=∆ 0(,,)(,,)(,,)limy x u x y y z u x y z u x y z y ∆→+∆-=∆ 0(,,)(,,)(,,)lim z x u x y z z u x y z u x y z z∆→+∆-=∆ 类似，可以推广至任意n 元函数。
全微分与偏导数的关系
全微分与偏导数的关系
全微分和偏导数都是微积分的基本概念，它们有着密切的关系。
全微分指的是一个函数在某个点附近的微小变化量，可以看做是各个自变量的微小变化所造成的函数值的变化量的和，而偏导数则是指在函数中只对一个自变量求导，其他自变量视为常数的导数。
在某些情况下，全微分可以表示成各个偏导数的线性组合，即全微分等于各个偏导数乘以对应的自变量的微小变化量的和。
这个关系在微积分的应用中经常被用到，可以帮助我们更好地理解函数的微小变化和求导的概念。
- 1 -。
复合函数求偏导解读课件
在二维空间中，偏导数表示函数图像在某一点处切线的斜率。
偏导数的定义
对于一个多变量函数，如果一个变量变化，而其他变量保持不变，则该函数对变化变量的导数称为偏导数。
1
2
3
对于复合函数，如果 u 是内层函数，v 是外层函数，则 (uv)' = u'v + uv'。
链式法则
对于一个由方程 F(x, y, z) = 0 定义的隐函数 z = f(x, y)，求偏导数时需要用到全微分。
线性方程组的求解
在求解线性方程组时，经常会遇到求解系数矩阵的逆或行列式的问题。通过求偏导可以将这些问题转化为求解偏导数等于零的点，从而找到方程组的解。
矩阵的导数
在微分方程中，求解初值问题是常见的数学问题。通过求偏导可以将初值问题转化为求解偏导数等于零的点，从而找到方程的解。
在研究微分方程的解的性质时，例如解的存在性、唯一性和稳定性等，需要用到求偏导的方法。通过求偏导可以得到解的导数或二阶导数，进一步研究解的性质和行为。
详细描述
商式法则是说，如果两个函数的商的偏导数存在，则等于被除函数对x的偏导数除以除函数对x的偏导数减去被除函数对y的偏导数除以除函数对y的偏导数。即：(u/v)'x = (u'x * v - u * v'x) / (v^2)。
复合函数的偏导数求解
CATALOGUE
03
偏导数的符号表示
用符号 "∂" 表示偏导数，例如 f'x(x0, y0) 表示函数 f 在点 (x0, y0) 处对 x 的偏导数。
求解初值问题
研究解的性质
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复合函数求偏导的应用
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函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点( x, y)
两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z
z
u
z
v
z
w
.
z
y u y v y w y
u v w
x
y
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
dz z dx z dy x y
z u
u x
z v
v x
dx
z u
u y
z v
v y
dy
z u dx u dy u x y
z v dx v dy v x y
z du z dv. u v
例 4 已知exy 2z e z 0，求z 和z . x y
解 d(exy 2z ez ) 0,
二、全微分形式不变性
设函数z f (u,v)具有连续偏导数，则有全微分
dz z du z dv ;当u ( x, y)、v ( x, y)
u v 时，有dz z dx z dy .
x y
全微分形式不变形的实质：
无论 z是自变量u、v的函数或中间变量u、v
的函数，它的全微分形式是一样的.
上定理还可推广到中间变量不是一元函数
而是多元函数的情况：z f [( x, y), ( x, y)].
如果u ( x, y)及v ( x, y) 都在点( x, y)
具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v) 在对应
点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y) 的两个偏
u du , t dt
v dv , t dt
dz lim z z du z dv . dt t0 t u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数
dz dt
称为全导数.
例 1 设z eu sin v ，而u xy ，v x y ， 求 z 和z . x y
解 z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cosv 1 eu( ysinv cosv),
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cosv 1 eu( xsinv cosv).
v 1, w 0,
x
x
z f u f , x u x x
两者的区别
v 0, w 1.
y
y
区
z f u f . y u y y
别 类 似
把 z f (u, x, y)
把 复 合函 数 z f [ ( x, y), x, y] 中的u 及 y 看作不
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t);
由于函数z f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
z u
u t
z v
v t
1
u t
2
v t
当t 0时， u 0，v 0
写出来为
dz dx
x
f u
(u,v ,x )
du dx
2w xz
z
(
f1
yzf2)
f1 z
yf2
yz f2; z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
f2 z
f2 u f2 v u z v z
f21 xyf22;
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
exyd( xy) 2dz ezdz 0,
(ez 2)dz exy ( xdy ydx)
dz
ye xy (ez 2)
dx
xe xy (ez 2)
dy
z ye xy
x
ez
, 2
z y
xe xy
ez
. 2
三、小结
1、链式法则（分三种情况）
（特别要注意课中所讲的特殊情况）
2、全微分形式不变性
第五节
复合函数的偏导数和全微分
一、链式法则
定理 如果函数u (t) 及v (t ) 都在t点 可
导，函数 z f (u,v) 在对应点(u,v) 具有连续偏
导数，则复合函数z f [ (t ), (t )]在对应t点 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
（理解其实质）
思考题
设z f (u,v, x)，而u ( x) ，v ( x)，
则 dz f du f dv f ， dx u dx v dx x
试问dz 与f 是否相同？为什么？ dx x
思考题解答
不相同.
等式左端的z 是作为一个自变量x 的函数，
而等式右端最后一项f 是作为u, v, x 的三元函数，
例 2 设z uv sin t ，而u et ，v cos t ， 求全导数dz . dt
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t vet usin t cos t et cos t et sin t cos t
et (cost sin t) cost.
导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
，
x u x v x
z y
z u
u y
z v
v y
.
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
类似地再推广，设u ( x, y) 、v ( x, y) 、
w w( x, y)都在点( x, y) 具有对x 和y 的偏导数，复合
例 3 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶 连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz;
记
f1
f
(u,v) , u
f12
2 f (v) , uv
同理有 f2, f11, f22 .
w f u f v
x
u x v x
f1 yzf2;