初等数论 教学大纲doc文档
《初等数论》教学大纲
引言概述：初等数论是数学的一个重要分支，它研究整数的性质和关系，是一门基础性的课程。
本文旨在为《初等数论》课程的教学制定一份详细的大纲，以帮助教师合理安排教学内容，提高教学效果。
正文内容：一、素数与合数1.素数的定义与性质素数的定义：只能被1和自身整除的正整数。
2.合数的定义与性质合数的定义：不是素数的正整数。
二、因数与倍数1.因数的概念因数的定义：能整除一个数的整数。
因子的分类：负因数、正因数、真因数。
2.最大公因数与最小公倍数最大公因数的定义与性质：两个数公共因子中最大的一个。
最小公倍数的定义与性质：两个数公共倍数中最小的一个。
三、整数的整除性与除法算法1.整除的概念与性质整除的定义：一个数能够被另一个数整除。
整除的性质：整数除法原则、整数的对称性。
2.整数的除法算法除法算法的步骤与原理：用减法、用乘法、整数除法算法的应用。
四、余数与模运算1.余数的概念与性质余数的定义：做除法时除不尽的部分。
余数的性质：余数的范围、余数的基本性质。
2.模运算的概念与性质模运算的定义：对于整数a和正整数n，a与n的商所得的余数。
模运算的性质：模运算的加法、减法和乘法规则。
五、同余与模运算应用1.同余的定义与性质同余的定义：对于整数a、b和正整数n，当a与b对n取余相等时，称a与b模n同余。
同余的性质：同余的传递性、同余的运算性质。
2.模运算的应用模运算在代数方程中的应用：线性同余方程、模运算的性质在方程求解中的应用。
总结：本文从素数与合数、因数与倍数、整除性与除法算法、余数与模运算以及同余与模运算应用等五个大点进行阐述。
通过这些内容的学习，学生将能够了解整数的性质和关系，理解数论的基本原理，为后续数学学习打下坚实的基础。
教师在教学过程中，应注重拓展学生的数学思维、培养其解决问题的能力，并结合实际生活和其他数学知识进行应用。
通过系统的教学大纲指导，教师能够更好地组织教学内容，提高学生的学习效果。
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、课程简介初等数论是数学中的重要分支之一，研究的是自然数的性质与关系。
本课程旨在培养学生的数论思维能力和逻辑思维能力，提高他们的问题解决能力和数学推理能力。
二、教学目标1. 掌握初等数论的基本概念，如素数、合数、互质等。
2. 熟悉常见数论问题的解决方法，如质因数分解、最大公因数与最小公倍数的求法等。
3. 理解和运用模运算的概念和性质，解决相关数论问题。
4. 掌握费马小定理和欧拉定理的应用，解决与其相关的数论问题。
5. 培养学生的数论证明能力，培养其逻辑思维和数学推理能力。
三、教学内容1. 自然数的性质与关系- 质数与合数- 整除性与约数- 互质关系与最大公因数2. 质因数与分解定理- 质因数分解- 最大公因数与最小公倍数 - 公因数与公倍数3. 模运算- 同余等价关系- 同余方程- 中国剩余定理4. 费马小定理与欧拉定理- 费马小定理的证明与应用 - 欧拉函数的定义与性质- 欧拉定理的证明与应用5. 整数的奇妙性质- 数字根与数位- 数字平方舞蹈- 数字阶梯问题- 尼科彻斯定理四、教学方法1. 讲述法：结合实例，详细解释数论概念和原理，引导学生理解与掌握。
2. 分组讨论：将学生分成小组，互相讨论和解决数论问题，促进合作学习和思维碰撞。
3. 课堂练习：布置一些基础练习题和拓展题，提高学生的问题解决能力和应用能力。
4. 数论证明：鼓励学生进行数论定理的证明，培养其逻辑思维和数学推理能力。
五、评估方式1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况等。
2. 期中考试：针对课程的基础知识进行测试。
3. 期末考试：综合考察学生对数论概念、原理和问题解决方法的理解与应用能力。
六、教材与参考书主教材：《初等数论》辅助教材：《数论引论》、《数论简史》七、教学进度安排根据教学计划，完成课程内容的讲解和练习，及时反馈学生学习情况，根据实际情况进行调整。
八、教学辅助手段使用黑板、白板等教学工具进行讲解和演示，辅助教学工具包括投影仪、计算器等。
初等数论教学大纲(本科)
初等数论教学大纲（本科）哈尔滨师范大学数学系初等数论(本科) 教学大纲说明《初等数论》是师范本科学校数学与应用数学专业的一门重要专业课，数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。
是在学生进入四年级后开设的一门课程。
通过对《初等数论》的教学，使学生掌握初等数论的最基本的内容，使学生在掌握其基本理论的同时为从事中学数学竞赛工作提供宏观理论的积累，初等数论是研究整数最基本的性质，是一门重要的数学基础课。
初等数论开设的目的：通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指标及不定方程的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。
1、国际奥林匹克数学竞赛中所占初等数论内容很多，学好初等数论对于培养学生进行奥林匹克数竞赛的培训工作提供理论的知识储备。
2、培养学生初步的科研能力，因为初等数论是数学中理论与实践结合得最完美的基础课程，近代数学中的很多数学思想、概念、方法与技巧都是从整数的性质的深入研究而不断丰富和发展起来的。
确定《初等数论》的教学内容应依据初高中教学实际，立足于培养学生的数学思想、方法和技巧，掌握竞赛数学中初等数论的主要理论和进一步提高和学习的基本理论，因而整个课程分为整除、同余、同余式、不定方程和原根指标几部分。
这样处理有助于形成学生完善的数学知识结构，进而从根本上提高学生的素质。
根据教学计划规定，本课程教学时数为48学时，其中讲授课和习题课共48学时，本课程安排在第七学期，周学时4，具体分配如下：1．整除12学时；2．同余8学时；3．同余方程18学时；4．不定方程4学时；5．原根和指标5学时。
大纲内容一、整除（一）教学目的通过本章的教学，使学生掌握整除的性质、带余数除法、辗转相除法，掌握最大公因数和最小公倍数的基本理论，熟练掌握算术基本定理，除数和函数和完全数的概念，掌握函数［x］、｛x｝基本理论。
(完整word版)《初等数论》
第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。
进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。
在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的1m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。
在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。
但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。
特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且01 m a 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。
典例分析例1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式。
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、引言A. 数论的定义和背景B. 数论在数学中的重要性和应用领域C. 本教学大纲的目的和结构概述二、基础知识A. 自然数、整数、有理数和实数的定义和性质回顾B. 互质数和最大公因数的概念和计算方法C. 数学归纳法的原理和应用三、质数与素数A. 质数和素数的概念区别B. 质数的性质和判断方法C. 素数分解和唯一分解定理D. 质数在现代密码学中的应用四、同余与模运算A. 同余关系的定义和性质B. 模运算的基本运算法则C. 同余方程的解法和应用D. 中国剩余定理的概念和应用五、数字分割和循环小数A. 数字分割的定义和基本性质B. 循环小数的概念和判定方法C. 分数与循环小数之间的转换D. 无理数的性质和证明方法六、公约数与公倍数A. 公约数和公倍数的定义和性质B. 欧几里得算法的原理和应用C. 互质数的判定方法和应用D. 最小公倍数和最大公约数的计算方法七、数论函数与数论恒等式A. 欧拉函数和莫比乌斯函数的定义和性质B. 数论函数的计算方法和应用C. 数论恒等式的证明方法和应用八、素数分布定理和算术函数A. 素数分布的基本规律和研究方法B. 算术函数的定义和性质C. 算术函数在数论中的应用九、数论应用举例A. 数论在密码学中的应用举例B. 数论在编码和解码中的应用举例C. 数论在数学竞赛中的应用举例D. 数论在实际问题中的应用举例十、总结与展望A. 数论教学内容的回顾和总结B. 数论研究领域的发展趋势和前景展望C. 数论在其他数学学科中的重要性和应用前景D. 对学生的建议和学习方法分享十一、参考文献以上是初等数论教学大纲的框架，旨在帮助学生全面理解数论的基本概念和应用，培养解决数论问题的能力。
教学过程中，可适当结合具体例题和实际问题进行讲解和讨论，提高学生的数学思维和分析问题的能力。
同时，鼓励学生参与数论领域的研究和应用，拓宽数学的视野和应用领域。
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、课程简介初等数论是数学的一门重要分支，主要研究整数的性质和结构。
通过对初等数论的学习，学生可以更深入地理解整数及其关系，培养数学逻辑思维和问题解决能力。
本教学大纲旨在提供一份全面的教学计划，帮助学生掌握初等数论的基本概念和方法。
二、教学目标1、理解整数的概念、性质和运算；2、掌握因数分解和质数判断的方法；3、理解最大公约数和最小公倍数的概念及其计算方法；4、掌握分数及其性质，了解分数分解的方法；5、理解代数方程及其解法，掌握二次方程的解法；6、培养学生对数学的兴趣和解决问题的能力。
三、教学内容1、整数的概念和性质a.整数的定义和分类b.整数的运算规则c.数的表示方法2、因数分解和质数判断a.因数分解的方法b.质数判断的方法3、最大公约数和最小公倍数a.最大公约数的定义和计算方法b.最小公倍数的定义和计算方法4、分数及其性质a.分数的定义和分类b.分数的运算规则c.分数的约分和通分5、二次方程及其解法a.二次方程的定义和分类b.二次方程的解法6、其他代数方程的解法介绍a.一元一次方程的解法b.一元二次方程的解法c.高次方程的解法简介7、数论在密码学中的应用介绍a. RSA算法简介b.其他密码学应用简介8、数论在其他领域的应用介绍a.数论在计算机科学中的应用b.数论在物理学中的应用等9、数论的历史和发展简介a.数论的起源和发展历程b.数论在现代数学中的应用及发展前景10、初等数论与中学数学的与区别分析。
在数学的学习中，数论是一个非常重要的分支，它研究的是数的性质和规律。
在大学数学中，初等数论是数论的基础课程，它主要包括了以下几个方面的内容：整除性理论：整除性理论是数论的基础，它主要研究的是整数之间的除法性质。
通过研究素数和分解定理，我们可以更好地理解整数的内部结构和性质。
同余理论：同余理论是数论的核心内容之一，它主要研究的是整数之间的同余关系。
通过研究同余方程和模逆元，我们可以解决许多与整数相关的问题。
初等数论大纲新新
《初等数论》教学大纲课程名称：初等数论课程编号： 0641011课程类别：专业必修课适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科）总学时数： 54学分： 3一、课程性质和教学目标1．课程性质：“初等数论”课程是数学与应用数学专业必修的学科专业课课程，是近世代数等后续课程的基础，也为将来从事数论，代数学，组合数学及信息安全等方面研究的同学打下必要的数论基础。
它是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。
2．教学目标：通过本课程的学习使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。
通过本课程的学习，还能使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。
二、教学要求和教学内容第一章基础知识 12学时[教学要求]熟练掌握整除的性质及带余除法，熟练地计算最大公约数，最小公倍数，掌握素数的性质及唯一分解定理；熟练掌握一次不定方程的性质及其解法，掌握方程的解法，初步掌握一些不定方程的特殊解法；掌握连分数与有理数、无理数之间的关系，会求连分数的渐近分数，熟悉连分数的简单应用；理解抽屉原理与容斥原理，能用来解决某些简单问题。
[教学内容]● 讲授内容1．整数的整除性2．简单的不定方程3．简单连分数4．抽屉原理和容斥原理第二章同余 12课时[教学要求]熟练掌握同余的概念及其基本性质，熟悉同余的简单应用，掌握完全剩余系与缩系的性质；掌握欧拉定理、费马定理与威尔逊定理，并能熟练地运用；熟练掌握一元一次同余式、二元一次同余式和一元一次同余式组有解的充要条件及其解法、熟练掌握孙子定理；了解高次同余式解数的有关性质，掌握素数模与合数模的高次同余式的解法。
《初等数论》教学大纲
《初等数论》教学大纲课程编号：10180126英文名称：Elementary Number Theory学分：2.5学时：总学时40学时，其中理论40学时先修课程：数学分析、高等代数课程类别：专业课程（选修1）授课对象：数学与应用数学(师范)专业学生教学单位：数理信息学院修读学期：第3学期一、课程描述和预期目标初等数论是数学专业的重要课程，是研究整数基本性质的数学学科；其基本理论被广泛应用于数学其他学科以及计算机等相关专业中，部分内容还出现在中小学数学竞赛中。
本课程的学习既对数学专业其他课程的学习有促进作用，也对中小学数学教学有指导意义。
本课程总学时共40学时，其中理论课40学时，教与学的教学活动中，本课程坚持理念“以学生发展为中心，学生学习结果（课程教学目标）为导向，并持续改进(教学反思)学生的学习效果”。
本课程的主要内容是整数性质的基础知识和基本方法，包括整数的整除理论和同余理论，某些特定的不定方程和同余方程的求解等几个部分。
本课程教学活动结束，预期学生将达到以下学习结果：【学生学习结果1】：了解初等数论的基本内容和发展历史，熟悉整数的整除性理论、同余理论，掌握一次不定方程和二次不定方程的基本解法，了解Fermat大定理的内容，熟悉同余方程的基本概念，会解一元一次同余方程，熟悉孙子定理并掌握求解一元一次同余方程组的基本方法，知道一元同余方程的一般解法。
【学生学习结果2】：通过了解数论的发展历史，特别是中国数学家在数论研究方面的卓越贡献，学生的学习热情和民族自豪感得到提高，能积极的思考并逐渐形成主动学习的习惯。
【学生学习结果3】：通过学习各类方程的具体解法，数学运算能力得到增强；通过探究理解理论体系中概念之间的内在逻辑联系，逻辑推理能力得到提升；通过理解主要方法和重要定理的来源背景和适用范围，特别是变化形式的应用情况，抽象思维能力和发散思维能力得到提高，最终适应中学数学教育的学科综合素养得到提高。
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附录1：教学大纲的格式
为便于各院系编辑印制课程教学大纲，建议理论课程、实验课程、专业实习课程分别采用以下格式：
1、理论课程教学大纲建议格式：（小括号内为说明文字）：
初等数论
Elementary Number Theory
【课程编号】（必备项1）【课程类别】专业主干课
【学分数】2 【适用专业】数学与应用数学
【学时数】36 【编写日期】2006.9
一、教学目标让学生了解经常出现在生活中的自然数和整数的一些性质，了解初等数论与算数的关系，同时，让学生知道，数论在我国的古代就已有极其光辉的成就，如勾股数、孙子定理等，通过较为系统的学习，对这门学科的基本数学思想和方法有一个初步的了解，认识到研究整数的性质和方程的整数解是很有意义的事情。
二、教学内容和学时分配
第一章整数的可除性（6学时）
1.整除的概念带余数除法
2.最大公因数与辗转相除法
3.整除的进一步性质及最小公倍数
4.质数算数基本定理
5.函数[x],{x}及其在数论中的一个应用
第二章不定方程（4学时）
1.二元一次不定方程
2.多元一次不定方程
3.勾股数
4.费马问题的介绍
第三章同余（6学时）
1.同余的概念及其基本性质
2.剩余类及完全剩余系
3.简化剩余系与欧拉函数
4.欧拉定理费马定理及其对循环小数的应用
5.公开密钥—RSA体制
6.三角和的概念
第四章同余式（6学时）
1.基本概念及一次同余式
2.孙子定理
3.高次同余式的解数及解法
4.质数模的同余式
第五章二次同余式与平方剩余（8学时）
1.一般二次同余式
2.单质数的平方剩余与平方非剩余
3.勒让德符号
4.前节定理的证明
5.雅可比符号
6.和数模的情形
7.把单质数表成二数平方和
8.把正整数表成平方和
第六章原根与指标（6学时）
1.指数及其基本性质
2.原根存在的条件
3.指标及n次剩余
4.模2a及合数模的指标组
5.特征函数
（一）总论让学生了解经常出现在生活中的自然数和整数的一些性质，了解初等数论与算数的关系，同时，让学生知道，数论在我国的古代就已有极其光辉的成就，如勾股数、孙子定理等，通过较为系统的学习，对这门学科的基本数学思想和方法有一个初步的了解，认识到研究整数的性质和方程的整数解是很有意义的事情。
学时（课堂讲授学时+课程实验学时）36
主要内容：整数的可除性、不定方程、同余、同余式、二次同余式与平方剩余、原根与指标
教学要求：有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。
重点、难点（可选项2）
其它教学环节（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）：
（二）第一章整数的可除性学时（课堂讲授学时+课程实验学时）6
主要内容：
1.整除的概念带余数除法
2.最大公因数与辗转相除法
3.整除的进一步性质及最小公倍数
4.质数算数基本定理
5.函数[x],{x}及其在数论中的一个应用
教学要求：1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。
2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。
3、了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。
4、了解抽屉原理的简单与一般形式、会用抽屉原理构造一些具有特殊性质整数。
重点、难点：（可选项）整除的概念带余数除法、最大公因数与辗转相除法、整除的进一步性质及最小公倍数、质数算数基本定理、函数[x],{x}及其在数论中的一个应用
其它教学环节：（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）：1学时习题课
（三）第二章不定方程学时（课堂讲授学时+课程实验学时）4 主要内容：
1.二元一次不定方程
2.多元一次不定方程
3.勾股数
三、教材与学习资源（必备项）
1.闵嗣鹤，严氏健.初等数论（第三版）.北京：高等教育出版社，2003
2.陈景润.初等数论。
北京：科学出版社，1991
3.潘承洞，潘承彪.简明数论.北京：高等教育出版社
四、先修课要求（必备项）及教学策略与方法建议（可选项）
五、考核方式（必备项）
闭卷考试成绩为主，学生习题讨论、文献报告为辅。