--直线的倾斜角和斜率

y l2
解: l1的斜率k1 tan1
l1
1
2
tan 300 3
o
x
3
l2的倾斜角 2 900 1 900 300 120 0
l2的斜率k2 tan2 tan120 0 3.
例2 求经过点A(2,0), B(5,3)两点的直线的
斜率和倾斜角.
解: k 3 0 1, 5 (2)
a 150 k tan150 tan(180 150)
tan 30 3 3
a 0 k tan0 0
3、探究：由两点确定的直线的斜率
k tan
锐角
能不能构造
y
y2
y1
P2 (x2, y2 )
Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
如一图个，直当角α三为锐角时，
角形去求？
P2P1Q,
情景一
问题1：看图1，对于平面直角坐标
系内的一直线 l，你认为它的位置
由哪些条件确定？
问题2：看图2，任何一条直线与 轴都有一个相对倾斜度，可以用一
个什么几何量来反映一条直线与 x
轴的相对倾斜程度呢？
x
y l
0
x
图1
y
px
0
倾斜图角2
概念定义
一、 直线的倾斜角
在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直 线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到 直线重合时所旋转的最小正角记为 ，
倾斜角相同能确
y l2 l1
定一条直线吗？
相同倾斜角可作无 数互相平行的直线
ox
l3
4、如何才能确定直线位置？
x
l
y
a 过一点且倾斜角为 a
o
能不能确定一条直线？
能
一点+倾斜角 确定一条直线
（两者缺一不可）
例1 如图, 直线l1的倾斜角 1 300 , 直线l2 l1,
求l1 , l2的斜率.
思考？
1、当直线平行于y9轴0，, t或an与90y轴(不重存合时在，)
上述公式还适k用不吗存？在为什么？
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
o
x
k y2 y1 x2 x1
答：不成立， 因为分母为0。
4、直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )的直线的斜率公式：
楼梯的另一个“故事”
比萨斜塔“新篇 ”
y kxb
y
l k tan
o
x
练习 1.用描点法作函数 y 2x 1的图象.
解 x 01
y 13
yl
3
讨论: 1.点P(1,3)是否在
2 1
o1 2 3 x
直线l : y 2x 1上?
2.点P(2,3)是否在直线 l : y 2x 1上?
一3.一次次函函数数的图y 象k是x直b的线图，象 直是 线什 不么 一图 定形 是一? 次函数的图象 . 如x a是直线但不是函数.
且x1 x2, y1 y2
o x1
x2 x
在RtP2P1Q中
0 k
tan
tan P2P1Q
QP2 P1Q
y2 x2
y1 x1
钝角
如图，当α为钝角是，
180 ,
y
且x1 x2, y1 y2
tan tan(180 )
y2
P2 (x2, y2 )
Fra Baidu bibliotekan
y1
P1(x1, y1)
sin 1 a2
25 a2 ,
25
5
k tan sin
25 a2 .
cos
a
所以,当a 0时所求直线的斜率不存 在;
当a 0时所求直线的斜率为 25 a2 . a
练习 求经过两点 P1(2,1)和P2 (m,2)(m R)的
直线l的斜率,并求出l的倾斜角 及其取值范围.
解: (1)当m 2时, x1 x2 2.
o
x
(3)
y P1(x1, y1)
Q( x2 ,
y1)
P2 (x2,
y2 )
o
x
(4)
请同学们课后推导！
思考？
0
2、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，
上述公式还适用k吗？ta为n 0什 么0？
y
P1(x1, y1)
P2 (x2, y2 )
x1 o x2 x
k y2 y1 x2 x1
答：成立，因为 分子为0，分母不 为0，K=0
条直线的斜率。
k tan a 用小写字母 k 表示，即：
例如： a 30 k tan 30
3
3
a 45 k tan 45 1
a 60 k tan 60 3
a 120 k tan120 tan(180 120) ata1n356ta0n当(18αk0是 锐t3an角) 13时5t，antan(180 135) tan 45 1
直线的倾斜角
y
l
0
x
2、直线倾斜角的范围： 播放
当直线 l 与x 轴平行或重合时，我
们规定它的倾斜角为 0 ，因此，直线
的倾斜角的取值范围为：0 a 180
按倾斜角去分类，直线可分几类？
y
y
y
a
y
a
o
o
o
o
x
x
x
x
零度角
锐角
直角
钝角
1、直线斜率的定义：
a 我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这
(2) 在图中的直线l1,l2,l3的斜率k1 , k2, k3的大小
关系为
l2
l3
l
1
情景二
问题3：滑滑梯怎样更刺激？安全考虑，滑滑梯如 何设计更合理呢？
滑滑梯的坡 度缓冲
A
3、直线倾斜角的意义
体现了直线对轴正方向的倾斜程度
在平面直角坐标系中，每一条直线都
有一个确定的倾斜角。
倾斜程度 倾斜角
Q(x2, y1)
o x1 x2 x
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
0 k tan y2 y1 y2 y1 x1 x2 x2 x1
思考？
1、当 p1 p2 的位置对调时，k 值又如何呢？
y
P1(x1, y1)
Q(x2 , y1)
P2(x2, y2 )
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
P2 P1
P1 P2
练习：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y
y
a
o
oa
x x
A
B
y
y
a
o
ao
x
x
C
D
练习
(1) 若直线ax by c 0在第一,二,三象限,则( ) A.ab 0, bc 0 B.ab 0, bc 0 C.ab 0, bc 0 D.ab 0, bc 0
tan 1, 00 180 0 , 1350.
因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是135°
练习 已知直线的倾斜角满足cos a , (| a | 5),
求该直线的斜率.
5
解: (1)当a 0时, cos 0, 900, k不存在;
(2)当a 0时,| a | 5, [0, ),