北师大版数学必修一《实际问题的函数刻画》参考课件
高中数学4.2实际问题的函数建模课件北师大必修1
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第四章
函数应用
第四章
§2 实际问题的函数建模
1课前自主预习3易错疑难辨析2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
某商场销售一批名牌衬衫，平均 每天可售出 20 件，每件盈利 40 元， 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少 库存，商场决定采取适当降价措 施．经调查发现，如果每件衬衫每降 价 1 元，商场平均每天多售出 2 件．于是商场经理决定每件衬 衫降阶 15 元．那么经理的决定正确吗？ 这需要把实际问题转化为数学问题用函数模型来解决.
(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？ [思路分析] 利用待定系数法求y1，y2与x的函数关系，然 后比较y1与y2的大小，确定答案．
[规范解答]
(1)由图像可设 y1＝k1x＋29，y2＝k2x，
把点 B(30,35)，C(30,15)分别代入 y1，y2 得 1 1 k1＝ ，k2＝ . 5 2 1 1 ∴y1＝ x＋29，y2＝ x. 5 2
1 1 2 (2)令 y1＝y2，即 x＋29＝ x，则 x＝96 . 5 2 3 2 当 x＝96 时，y1＝y2，两种卡收费一致； 3 2 当 x<96 时，y1>y2，即“便民卡”便宜； 3 2 当 x>96 时，y1<y2，即“如意卡”便宜． 3
[规律总结] 1.一次函数模型层次性不高，求解也较为容 易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法 来处理．
1 [答案] 2
x [解析] 由题意知面积 S＝(3＋x)(2－ ) 2 x2 x ＝－ ＋ ＋6， 2 2 1 当 x＝－ ＝ 时，面积 S 最大． 1 2 2×－ 2 1 2
北师大版高中数学必修第一册 第二章 2-1《函数概念》课件PPT
1
=4,求x.
(())
(3)若
1
1
解:(1)f(2)=1+2 = 3,g(2)=22+2=6.
1
1
19
1
1+()
(2)g(f(2))=g 3 = 3 2+2= 9 , f(g(x))=
(3)
1
=x2+3=4,即x2=1,得x=±1.
(())
1
求复合函数或抽象函数的定义域应明确以下几点:
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合.
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
(3) f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的范围相同.
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的取值范围为A,求出x的取值范围.
都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).
变式训练
求函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
+ 的定义域.
2 + 3 ≥ 0,
3
解:要使函数有意义,需ቐ 2− > 0, 解得-2≤x<2,且x≠0,
≠ 0,
所以函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
3
+ 的定义域为 ቚ− 2 ≤ < 2,且 ≠ 0 .
+ 2 ≠ 0,
≠ −2,
即ቊ
解得x<0,且x≠-2.
||− ≠ 0,
|| ≠ ,
高中数学北师大版(2019)选择性必修1-第一章章末知识梳理课件
典例1
2．直线方程的六种形式及应用 直线方程的六种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在 选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进 行讨论．求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直 线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围．
典例2
3．两条直线的位置关系及应用
3．直线关于直线的对称 (1)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A ＋B≠0)， 求直线l1关于直线l2的对称直线的方程． 如果l1∥l2，则设所求直线方程为A1x＋B1y＋m＝0(m≠C1)，然后在l1 上找一点P，求出点P关于直线l2的对称点P′(x′，y′)，再代入A1x＋B1y＋m ＝0即可解出m. 如果l1不平行于l2，则先找出l1与l2的交点P，然后在l1上确定一点(不 同于交点)，找出这一点关于l2的对称点P′，由直线的两点式方程确定所 求直线方程．
(2)常见的直线的对称有以下几种情况： 对于直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 关于x轴的对称直线为Ax＋B(－y)＋C＝0； 关于y轴的对称直线为A(－x)＋By＋C＝0； 关于直线y＝x的对称直线为Bx＋Ay＋C＝0； 关于直线y＝－x的对称直线为A(－y)＋B(－x)＋C＝0.
典例4 自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射 光线所在的直线与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在的直线 方程．
要点二
对称问题
2．点关于直线的对称 (1)如图所示，已知点P(x，y)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 若直线l的斜率存在，求点P关于直线l的对称点P′(x′，y′)可以分两步来进 行．
(2)常见的点与其关于直线对称的点的坐标之间的关系总结如下： ①点A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)； ②点B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)； ③点C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)； ④点D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)； ⑤点P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)； ⑥点Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a,2n－b)．
高一数学函数的图像与作图北师大版知识精讲
高一数学函数的图像与作图北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：函数的图像与作图二、学习目标1、了解函数图像是描述函数关系的重要形式；2、掌握描点作图、平移变换作图、伸缩变换作图及对称变换作图等常用的作图方法；3、会结合函数的图像研究函数的性质；4、会借助函数的图像、利用数形结合的方法解决一些简单的问题三、知识要点（一）函数的图像函数的图像是函数的一种直观表示形式，它从“形”的方面刻画了函数变量之间的对应关系；通过观察函数的图像，可以形象而直观地了解到函数的有关性质和变化规律；借助函数的图像，既有助于记忆函数的有关性质和变化规律，又有助于研究函数的性质，以及利用数形结合的方法去解决某些问题；高考中有关函数的图像主要考查基本初等函数及简单的三次函数的图像。
（二）函数的作图1、描点作图：对一般函数的作图常采用描点作图，一般步骤是：①确定函数的定义域；②列表；③描点；④连线成图。
2、特征值作图：对基本初等函数的作图常采用特征值描点作图，常常采用的特征值有：最值，零点，对称轴等。
3、对称变换作图：对对称函数的作图，可以先作出部分图像，然后利用对称性作出对称部分的图像。
基本处理思路是将函数图像的对称性转化为点的对称性来处理。
设函数y=f（x），则有：①关于点（a，b）对称的函数为：2b－y=f（2a－x）即y=2b－f（2a－x）；特别地，关于原点对称的函数为y=－f（－x）；②关于直线x=a对称的函数为：y=f（2a－x）；特别地，关于y轴对称的函数为y=f（－x）；③关于直线y=b对称的函数为：2b－y=f（x）即y=2b－f（x）；特别地，关于x轴对称的函数为y=－f（x）；4、平移变换作图：对由基本初等函数平移得到的函数的作图，可以先作出基本初等函数的图像，然后再经水平或竖直方向上的平移得到所求函数的图像。
平移的规律：向坐标轴的正向平移m（>0）时，将对应的坐标减去m；向坐标轴的负向平移n（>0）时，将对应的坐标加上n。
北师大版高一数学必修第一册函数的概念及其表示课件
第一课时
整体概览
问题1 请同学们阅读课本第60页，回答下列问题：
（1）本章将要研究哪类问题？ 本章将要研究函数的概念、性质及其应用．
（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？ 函数是高中数学的核心内容，也是学习其他学科的重要基础．
（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？ 起点是函数的概念，目标是通过研究函数的性质把握客观世 界中各种各样的运动变化规律．
新知探究
追问 值域和集合B相等吗？它们的关系是什么？
值域与集合B不一定相等， 值域是集合B的子集， 具体例子见问题6．
新知探究
问题8 你能用新的定义描述一次函数y＝ax＋b（a≠0）、二次 函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和反比例函数y＝ k（k≠0）吗？从哪
x 几个角度描述？
函数 对应关系
一次函数 y ax b(a 0)
其中，d的变化范围是数集A ＝{1，2，3，4，5，6}， 集合A，B与对应关系f如图所示：
2 例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数y＝kx（k≠0）
可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．
新知探究
问题4 阅读材料，回答问题： 某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如 果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资． （1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单 位：元）是他工作天数d的函数吗？ 解答：（1）w＝350d，w是工作天数d的函数．
新知探究
表1 我国某居民恩格尔系数变化情况
北师大版数学必修一《实际问题的函数建模》参考课件
例2:西安市的一家报刊推主从报社买来《西安晚报》的价
格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报
纸还可以以每份0.08元的价格退回报社，在一个月（按30 天计算）内，有20天里每天可以卖出400份，在其余的10 天里每天只能卖出250份，如果他每天从报社买进的份数 是相同的.那么他应该每天从报社买进多少份，才能使每 月获得的利润最大？并计算出他一个月最多可赚多少钱？
每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方
法，增加利润.已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减 少10件，问应该将售价定为多少元，才能使所赚利润最 大，并求最大利润.
例6:小王是某房产开发公司的一名工程师，该房地产公司
要在如图所示的矩形拆迁地ABCD上规划出一块矩形地面
PQRC建造住宅小区，但市文物局规定，在三角形AEF地区
§2.2：用函数模型解决实际问题
概述：函数模型是应用最广泛的数学模型之一， 它在实际生活中的应用非常地广泛，不同的函数 模型能刻画出现实生活中不同的变化规律.如果实 际问题中的变量与变量之间的关系一旦被认定为 是函数关系就可以将实际问题转化为数学问题， 建立一个函数模型，通过研究函数的性质，从而 更好地去把握问题，分析问题上，使实际问题得 以解决.
例3:某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12 台与6台，现在要销售给A地10台，B地8台.又已知从 甲地调运一台到A地、B地的运费分别为400元与800
元；从乙地调运一台到A地、B地的运费分别为300元
与500元.
（1）设从乙地调运x台到A地，求总运费y元关于x的函
数关系式；
（2）若总运费不超过9000元，问一共有几种调运方案？
一.常见的函数模型有：
2018学年高中数学北师大版必修一课件：第二章 函数-第1.2节-2.2 精品
【提示】 当 a≤0 时，f(a)＝－a. ∵f(a)＝4，∴－a＝4，∴a＝－4. 当 a＞0 时，f(a)＝a2. ∵f(a)＝4，∴a2＝4，∴a＝2，或 a＝－2(舍去)． 综上 a＝－4 或 2.
探究 3 国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如表．
信函质量 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80 80＜m≤100
则 t≠1.把 x＝t－1 1代入 f1＋x x＝1＋x2x2＋1x，得 f(t)＝1＋ 1t－112 2＋
1 1
＝(t－1)2
t－1 t－1
＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.
∴所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
法二：(配凑法)∵f1＋x x＝1＋x2＋x22x－2x＋1x＝1＋x x2－1＋xx－x＝1＋x x2－ 1＋x x＋1，
【精彩点拨】 (1)可设 f(x)＝kx＋b(k≠0)，再根据题设列方程组，求待定系 数 k，b.
(2)在“x＋2 x”中凑出“ x＋1”或将“ x＋1”整体换元来求解． (3)将 f1x，f(x)看成未知数，通过解方程求 f(x)．
【尝试解答】 (1)设 f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则 f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. ∴kk2b＝＋9b，＝4， 解得 k＝3，b＝1 或 k＝－3，b＝－2. ∴f(x)＝3x＋1 或 f(x)＝－3x－2.
如图 2-2-2 所示，从边长为 2a 的正方形铁片的四个角各裁一个边 长为 x 的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度 x 与底面 正方形边长的比不超过正常数 t.试把铁盒的容积 V 表示为 x 的函数，并求出其定 义域．
北师大版高中数学必修一全册课件
按照项数是否有限，数列可分为有穷数列和无穷数列；按照项数是否递增，数列 可分为递增数列、递减数列和常数列。
等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和公式
$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$是首项 ，$d$是公差。
$S_n = frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$。
对数函数具有对称性，即对于任意实数 $x > 0$，有$log_a x = -log_a frac{1}{x}$。
对数函数总是经过点$(1,0)$；
对数函数的性质 对数函数是递增的；
指数函数与对数函数的应用
在金融中的应用
在实际生活中的应用
指数函数和对数函数在金融领域中有 着广泛的应用，如复利计算、股票价 格分析等。
三角函数的定义与性质
三角函数的性质
奇偶性：正弦函数和余弦函数是 奇函数和偶函数，正切函数是奇 函数。
三角函数的定义：三角函数是圆 的角度与其边长的比值或积的比 值，通常用希腊字母$sin$、 $cos$、$tan$等表示。
周期性：三角函数具有周期性， 最小正周期为$2pi$。
单调性：在每个周期内，正弦函 数、余弦函数和正切函数都有单 调区间。
指数函数和对数函数在实际生活中也 有着广泛的应用，如计算复利、求解 方程等。
在科学计算中的应用
指数函数和对数函数在科学计算中也 有着重要的应用，如求解方程、计算 复利等。
04
幂函数、三角函数与反三角函 数
Chapter
幂函数的定义与性质
幂函数的性质
奇偶性：当$n$为奇数时，幂函 数为奇函数；当$n$为偶数时， 幂函数为偶函数。
新教材高中数学第五章函数应用 实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题素养作业北师大版必修第一册
第五章 §2 2.1A 组·素养自测一、选择题1．某商场售出两台取暖器,第一台提价20%以后按960卖出,第二台降价20%以后按960卖出,这两台取暖器卖出后,该商场( C )A ．不赚不亏B ．赚了80元C ．亏了80元D ．赚了160元[解析] 设第1台原价x 1,第2台原价x 2,则x 1·(1＋20%)＝960得x 1＝800,x 2·(1－20%)＝960,得x 2＝1200,960×2－(800＋1200)＝－80. ∴选C ．2．用长度为24m 的材料围成一矩形场地,如果在中间加两道隔墙,要使矩形面积最大,则隔墙的长度应为( A )A ．3mB ．4mC ．6mD ．12m[解析] 设矩形的长为x ,则宽为14(24－2x ),则矩形的面积为S ＝14(24－2x )x ＝－12(x2－12x )＝－12(x －6)2＋18,所以当x ＝6时,矩形的面积最大,此时隔墙的长度应为3m.3．某生产厂家的生产总成本y (万元)与产量x (件)之间的关系式为y ＝x 2－80x ,若每件产品的售价为25万元,则该厂获得最大利润时,生产的产品件数为( D )A ．52B ．52.5C ．53D ．52或53[解析] 因为利润＝收入－成本,当产量为x 件时(x ∈N ),利润f (x )＝25x －(x 2－80x ),所以f (x )＝105x －x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －10522＋10524,所以x ＝52或x ＝53时,f (x )有最大值．4．某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x （1≤x <10，x ∈N ＋），2x ＋10（10≤x <100，x ∈N ＋），1.5x （x ≥100，x ∈N ＋），其中x 代表拟录用人数,y 代表面试人数．若面试人数为60,则该公司拟录用人数为( C )A ．15B ．40C ．25D ．130[解析] 令y ＝60,若4x ＝60,则x ＝15>10,不合题意；若2x ＋10＝60,则x ＝25,满足题意；若1.5x ＝60,则x ＝40<100,不合题意．故拟录用25人．5．如图1,动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发,沿B →C →D →A 的顺序运动,得到以点P 运动的路程x 为自变量,△ABP 的面积y 为因变量的函数的图象,如图2,则梯形ABCD 的面积是( B )A ．96B ．104C ．108D ．112[解析] 从图2可看出,BC ＝8,CD ＝10,DA ＝10,在图1中,过点D 作AB 的垂线,垂足为E ,可推得AE ＝6,AB ＝16,所以梯形的面积为12(DC ＋AB )·BC ＝12(10＋16)×8＝104,故选B ．6．(福建高考题)要制作一个容积为4m 3,高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( C )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元[解析] 设该容器的总造价为y 元,长方体的底面矩形的长为x m,因为无盖长方体的容积为4m 3,高为1m,所以长方体的底面矩形的宽为4xm,依题意,得y ＝20×4＋10⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥160,当且仅当x ＝4x,即x ＝2时,等号成立,y 取得最小值,即y min ＝160.所以该容器的最低总造价为160元．故选C ．二、填空题7．某商人购货,进价已按原价a 扣去25%,他希望对货物订一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利,则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是__y ＝a4x (x ∈N ＋)__．[解析] 依题意,设新价为b ,则有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%.化简,得b ＝54a . ∴y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ,即y ＝a4x (x ∈N ＋)．8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,并且生产量每增加一单位产品,成本就增加1万元,又知总收入R 是单位产量Q 的函数：R (Q )＝4Q －1200Q 2,那么总利润L (Q )的最大值是__250__万元,这时产品的产量为__300__．(总利润＝总收入－成本)[解析] L (Q )＝4Q －1200Q 2－(200＋Q )＝－1200(Q －300)2＋250,则当Q ＝300时,总利润L (Q )取最大值250万元．9．某人计划购买一辆A 型轿车,售价为14.4万元,购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率约为10%,试问,大约使用__4__年后,用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．[解析] 设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元,依题意可得14.4(1－0.9x)＋2.4x ＝14.4化简得x －6×0.9x＝0,令f (x )＝x －6×0.9x易得f (x )为递增函数,又f (3)＝－1.374<0,f (4)＝0.0634>0,∴f (x )在(3,4)上有一个零点,故大约使用4年后,用在该车上费用达到14.4万元．三、解答题10．(10分)有l 米长的钢材,要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆,下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形,则小矩形的长与宽之比为多少时,窗户所透过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．[解析] 设小矩形的长为x ,宽为y ,窗户的面积为S , 则由题图可得9x ＋πx ＋6y ＝l ,所以6y ＝l －(9＋π)·x , 所以S ＝π2x 2＋4xy ＝π2x 2＋23x ·[l －(9＋π)·x ]＝－36＋π6x 2＋23lx ＝－36＋π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2l 36＋π2＋2l23（36＋π）. 要使窗户所透过的光线最多,只需窗户的面积S 最大． 由6y ＞0,得0＜x ＜l9＋π.因为0＜2l 36＋π＜l9＋π,所以当x ＝2l 36＋π,y ＝l －（9＋π）x 6＝l （18－π）6（36＋π）,即x y ＝1218－π时,窗户的面积S 有最大值,且S max ＝2l23（36＋π）.11．(10分)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人,则给予优惠：每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．(1)写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； (2)旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润？解：(1)当0＜x ≤30时,y ＝900；当30＜x ≤75,y ＝900－10(x －30)＝1200－10x .即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社所获利润为S 元, 则当0＜x ≤30时,S ＝900x －15000；当30＜x ≤75时,S ＝x (1200－10x )－15000＝－10x 2＋1200x －15000.即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15000，0＜x ≤30，－10x 2＋1200x －15000，30＜x ≤75. 因为当0＜x ≤30时,S ＝900x －15000为增函数, 所以x ＝30时,S max ＝12000；当30＜x ≤75时,S ＝－10x 2＋1200x －15000＝－10(x －60)2＋21000, 即x ＝60时,S max ＝21000＞12000.所以当旅行团人数为60时,旅行社可获得最大利润．B 组·素养提升一、选择题1．如图所示,从某幢建筑物10m 高的窗口A 处用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)．如果抛物线的最高点M 离墙1m,离地面403m,则水流落地点B离墙的距离OB 是( B )A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m[解析] 以OB 所在直线为x 轴,OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,设抛物线方程是y ＝a (x －1)2＋403,由条件(0,10)在抛物线上,可得10＝a ＋403,a ＝－103,所以y ＝－103(x －1)2＋403,设B (x ,0)(x ＞1),代入方程得：(x －1)2＝4,所以x ＝3.2．某建材商场国庆期间搞促销活动,规定：顾客购物总金额不超过800元,不享受任何折扣；若顾客购物总金额超过800元,则超过800元部分享受一定的折扣优惠,并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元,则此人购物实际所付金额为( A ) A ．1500元 B ．1550元 C ．1750元D ．1800元[解析] 设该顾客在此商场的购物总金额为x 元,可以获得的折扣金额为y 元． 由题可知,y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤800，0.05（x －800），800＜x ≤1300，0.1（x －1300）＋25，x ＞1300.∵y ＝50＞25,∴x ＞1300,∴0.1(x －1300)＋25＝50,解得x ＝1550.1550－50＝1500(元)．故此人购物实际所付金额为1500元．3．(多选)在某种金属材料的耐高温试验中,温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．给出下列说法,其中正确的是( BD )A ．前5min 温度增加的速度越来越快B ．前5min 温度增加的速度越来越慢C ．5min 以后温度保持匀速增加D ．5min 以后温度保持不变E ．温度随时间的变化情况无法判断[解析] 温度y 关于时间t 的图象是先凸后平,即5min 前每当t 增加一个单位增量Δt ,则y 相应的增量Δy 越来越小,而5min 后y 关于t 的增量保持为0,则BD 正确．4．某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用y 1(千元)、乙厂的总费用y 2(千元)与印制证书数量x (千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则( ABC )A ．甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元B ．甲厂的费用y 1与证书数量x 之间的函数关系式为y 1＝0.5x ＋1C ．当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元D ．若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用[解析] 由题图知甲厂制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元,甲厂的费用y 1与证书数量x 满足的函数关系为y 1＝0.5x ＋1,故A 、B 正确；当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5元,故C 正确；当x ＝8时,y 1＝0.5×8＋1＝5,y 2＝14×8＋52＝92,因为y 1＞y 2,所以当印制8千个证书时,选择乙厂更节省费用,故D 不正确． 二、填空题5．某零售商购买某种商品的进价P (单位：元/千克)与数量x (单位：千克)之间的函数关系的图象如图所示．现此零售商仅有现金2700元,他最多可购买这种商品__90__千克．[解析] 由题意得,购买这种商品所需费用y (单位：元)与数量x (单位：千克)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧37x ，0＜x ≤10，32x ，10＜x ≤50，30x ，50＜x ≤100，27x ，100＜x ≤150，25x ，x ＞150，从而易得30×50＜2700＜30×100,即该零售商购买这种商品的数量应在50千克与100千克之间,故最多可购买这种商品270030＝90(千克)．6．甲工厂八年来某种产品的年产量y 与年份代号x 的函数关系如图所示．现有下列四种说法：①前三年该产品的年产量增长速度越来越快； ②前三年该产品的年产量增长速度越来越慢； ③第三年后该产品停止生产； ④第三年后该产品的年产量保持不变． 其中说法正确的是__②④__．[解析] 设年产量y 与年份代号x 的关系为f (x ),由图,可知前三年该产品的年产量的增长速度越来越慢,故①错误,②正确；由图,可知从第四年开始该产品的年产量不发生变化,且f (4)≠0,故③错误,④正确．7．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为__800__副．[解析]由5x＋4000≤10x,解得x≥800,即日产手套至少为800副时才不亏本．三、解答题8．某种商品进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促销,采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品的价格为1元时,销售量增加10%,且在一定范围内,礼品价格为(n＋1)元时比礼品价格为n(n∈N＋ )元时的销售量增加10%.设未赠送礼品时的销售量为m件．(1)写出礼品价格为n元时,利润y n(单位：元)与n(单位：元)的函数关系式；(2)请你设计礼品的价格,以使商店获得最大利润．[解析](1)当礼品价格为n元时,销售量为m(1＋10%)n件,故利润y n＝(100－80－n)·m(1＋10%)n＝m(20－n)·1.1n(0<n<20,n∈N＋)．(2)令y n＋1－y n≥0,即m(19－n) ·1.1n＋1－m(20－n)·1.1n≥0,解得n≤9.所以y1<y2<y3<…<y9＝y10.令y n＋1－y n＋2≥0,即m(19－n)·1.1n＋1－m(18－n)·1.1n＋2≥0,解得n≥8.所以y9＝y10>y11>y12>y13>…>y19.所以礼品价格为9元或10元时,商店获得最大利润．9．某创业团队拟生产A,B两种产品,根据市场预测,A产品的利润与投资额成正比(如图1),B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2)．(注：利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将A,B两种产品的利润f(x),g(x)表示为投资额x的函数；(2)该团队已筹到10万元资金,并打算全部投入A,B两种产品的生产,问：当B产品的投资额为多少万元时,生产A,B两种产品能获得最大利润,最大利润为多少？解析：(1)由题意可设f(x)＝k1x,g(x)＝k2x,则f(1)＝k1＝0.25,g(4)＝2k2＝2.5,k2＝1.25.所以f(x)＝0.25x(x≥0),g (x )＝1.25x (x ≥0)．(2)设B 产品的投资额为x 万元,则A 产品的投资额为(10－x )万元．y ＝f (10－x )＋g (x )＝0.25(10－x )＋1.25x (0≤x ≤10),令t ＝x ,则y ＝－0.25t 2＋1.25t ＋2.5,所以当t ＝2.5,即x ＝6.25时,收益最大,y max ＝6516万元．答：投资B 产品6.25万元,A 产品3.75万元时,能获得最大利润,最大利润为6516万元．。
北师版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第5章 实际问题的函数刻画 用函数模型解决实际问题
合模型选图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋
势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答
案.
变式训练1已知正方形ABCD的边长为4,动点P从点B开始沿折线BCDA向
点A运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是
(100-)(1 + 2%) ≥ 100,
0 < < 100,∈N+,
故
∴0<x≤50,x∈N+.
2
-50 ≤ 0,
因此当0<x≤50,x∈N+时,能保证第二产业的产值不减少.
(2)设该市第二、三产业的总产值每年增加f(x)(0<x≤50,x∈N+)万元,则
a
f(x)=(100-x)(1+2x%)a+1.2ax-100a=50
(1)某种商品进价为每件360元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若
按九折出售,则每件还能获利.( × )
(2)某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,则每天可售出
20件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为
y=-4x+200.( × )
(3)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.( √ )
2.对于本题通过作差探讨出函数的单调情况是解题的关键所在.
变式训练3大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m,游回产地产卵.研究鲑鱼
1
的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 y=2log3100 ,单位是m/s,其中x
【高中课件】北师大版高中数学必修1第四章实际问题的函数刻画参考课件ppt.ppt
4 10 20 30 38 60 44 40 40.5 54
•
根据图象，可以看出下列性质：
• （1）代谢率曲线在小于20oC的范围是下降 的，
• 在大约30oC的范围内是上升的；
• （2）环境温度在20oC ～30oC时，代谢率较 底，
• 并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；
（3）环境温度太底或太高时，它对代谢率有较大影 响。
所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温要 保持在20oC ～30oC之间，这样可以使环境温度影响最 小。
在这个问题中，通过对实验数据的分析，可
以确由{4，10，20，30，38}到{60，44，40.5， 54}的一个函数，通过描点，并且用折线将它们 连接起来，使人们得到了一个新函数，定义域 扩大到区间[4，38]。对于实际的环境温度与人 体代谢关系来说，就是一个近似函数关系，它
•
解 总成本C与产量x的关系
•
C=200000+300x；
00000 /x；
• 销售收入R与产量x的关系
•
R=500x ；
• 利润L与产的量x关系
•
L=R-C=200x-200000。
以上各式建立的是函数关系。
（1）从利润关系式可见，希望有 较大利润应增加产量。若x<1000,则要 亏损；若x=1000 ，则利润为零； 若x>1000 ，则可赢利.
的函数图象，可以帮助我们更好地把握环境温 度与人体代谢关系。
问题2 某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新 专用设备和制作模具花去200000元，生产每件工艺品的 直接成本为300元，每件工艺品售价为500元，产量x对 总成本C，单位成本P，销售收入R及利润L之间存在什么 样的函数关系？表示了什么实际含义？
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《实际问题的函数刻画》典型例题剖析
《实际问题的函数刻画》典型例题剖析题型1 用函数刻画实际问题例1 ,A B 两城相距100km ，在两地之间距A 城km x 处D 地建一核电站给,A B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km ，已知每个城的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数0.25λ=.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月.（1）把,A B 两城月供电总费用y （万元）表示成x （km ）的函数，并求定义域；（2）核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用最小？解析：（1）分别写出A B 、两城月供电费用，进而可求出两地的月供电总费用.（2）建立二次函数模型，利用二次函数求最值的方法求解.答案：（1）由题意设A 城的月供电费用为1y ，则2120y x λ=⨯，设B 城的月供电费用为2y ，则2210(100),y x A B λ=⨯∴⨯-、两城月供电总费用222010(10.0)y x x λλ=⨯+⨯⨯-2250.25,5(100)(1090)2y x x x λ=∴=+-≤≤.（2）由（1）知2222515151005(100)500250002223y x x x x x ⎛⎫=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭500003，则当1003x =时，y 最小. 故当核电站建在距A 城1003km 时，才能使供电总费用最小. 规律总结 用二次函数刻画实际问题，是高考考查的重点题型.特别是在解决实际问题中的最大、最小值问题时，可用配方法、函数的单调性等方法.变式训练1 某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与日销售量的关系如下表：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？答案：设每桶水在原来的基础上上涨x 元，利润为y 元，由表格中的数据可以得到，价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x 元后，日销售的桶数为48040(1)520400x x --=->，所以013x <<，则利润(52040)y x x =--2213200405202004014902x x x ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭，其中013x <<. 所以当 6.5x =时，利润最大，即当每桶水的价格为11.5元时，利润最大值为1490元.点拨 解答本题可先分析表格，从中找到单价每增加1元，则日销量就减少40桶的规律，然后设出有关未知量，建立函数模型，进而解决问题.题型2 拟合函数解决实际问题例2 某个体经营者把开始六个月试销售,A B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入,A B 两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润.解析：先画出散点图，然后结合散点图选择恰当的函数进行拟合.答案：以投资额x 为横坐标，纯利润y 为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图（1）（2）所示.观察散点图可以看出，A 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图（1）所示取()4,2为最高点，则2(4)2(0)y a x a =-+≠，再把点()1,0.65代入，得20.65(14)2a =-+，解得0.15a =-，所以20.15(4)2y x =--+.B 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图（2）所示.设(0)y kx b k =+≠，取点()1,0.25和()4,1代入，得0.25,14,k b k b =+⎧⎨=+⎩解得0.25,0,k b =⎧⎨=⎩所以0.25y x =. 即前六个月所获纯利润y 关于月投资A 种商品的金额x 的函数关系式是20.15(4)2y x =--+；前六个月所获纯利润y 关于月投资B 种商品的金额x 的函数关系式是0.25y x =.设下月投入,A B 两种商品的资金分别为,A B x x （万元），总纯利润为W （万元），那么()212,0.15420.2,5A B A B A B x x W y y x x +=⎧⎪⎨=+=--++⎪⎩所以2190.156A W x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2190.15 2.66⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭. 当19 3.26A x =≈时，W 取最大值，约为4.1，此时8.8B x ≈. 即该经营者下月用3.2万元投资A 种商品，8.8万元投资B 种商品，可获得最大纯利润约为4.1万元.规律总结 拟合函数解决实际问题的步骤：（1）画散点图；（2）画拟合直线或拟合曲线；（3）求拟合函数；（4）进行预测和检验.变式训练2 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP 在0.5千美元~8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况的调查中发现：人均GDP 处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减.（1）下列几个模拟函数中：2,,log ,x a y ax bx y kx b y x y a b =+=+==+（x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示A 饮料的年人均销量，单位：升），用哪个模拟函数来描述A 饮料的年人均销量与地区的人均GDP 关系更合适？说明理由；（2）若人均GDP 为1千美元时，A 饮料的年人均销量为2升；若人均GDP 为4千美元时，A 饮料的年人均销量为5升，把（1）中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，A 饮料的年人均销量最多是多少？答案：（1）用函数2y ax bx =+来描述A 饮料的年人均销量与地区的人均GDP 的关系更合适.因为函数,log ,x a y kx b y x y a b =+==+在其定义域内都是单调函数，不具备先递增后递减的特征.（2）依题意知函数图象过点()1,2和()4,5，则有2,1645,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,4a =-94b =，所以219(0.58)44y x x x =-+≤≤. 因为221919818144421616y x x x ⎛⎫=-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以在各地区中，当92x =时，A 饮料的年人均销量最多，最多是8116升. 规律方法总结1.用函数刻画实际问题，关键是理清题目中的数量关系，选择恰当的函数模型.2.数据拟合是解决实际问题的一种重要方法，通过研究离散的数量关系，求出近似函数关系，对变量进行预测或控制.核心素养园地例 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：（1）根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重kg y 与身高cm x 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg 的在校男生的体重是否正常？解析：根据表中的数据画出散点图，观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些点的分布情况，可以考虑用x y a b =⋅这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y 与身高x 的函数关系.答案：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，如图（1）所示.根据点的分布特征，可考虑以x y a b =⋅作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型，如图（2）所示.不妨取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25)，代入x y a b =⋅，得：701607.947.2,,5a b a b ⎧=⋅⎨=⋅⎩用计算器算得2, 1.02a b ≈≈.这样，我们就得到一个函数模型：2 1.02x y =⨯.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.（2）将175x =代人2 1.02x y =⨯，得1752 1.02y =⨯，由计算器算得63.98y ≈. 由于7863.98 1.22 1.2÷≈>，所以，这个男生偏胖.讲评 在实际问题中很多问题需要通过数据拟合，建立函数模型解决.如果能根据表中给出的数据，画出散点图，选择恰当的函数类型进行拟合，那么可以认为达到直观想象、数学建模核心素养水平一的要求；如果能正确求出函数模型，并能利用函数模型解决问题，那么可以认为达到数学运算、数据分析核心素养水平二的要求.。
北师大版高中数学必修1：-2.1 实际问题的函数刻画 课件(共22张PPT)
水文监测站
D C B
A
E F
把变直的河道当作数轴,A,B,C,D,E,F的 坐标就可以用0,b,c,d,e,f表示
情报中心位置的数值用x 表示
A
B
C
0b
c
d
xD e
f
E
F
所需电缆总长度 f(x)=|x|+|x-b|+|x-c|+|x-d|+|x-e|+|x-f|
总结提升
解决实际问题的一般思路
实际问题
这组数据能说明什么？
环境温度与代谢率为函数关系
代谢率4185J/(h ·m 2 )
60 50 40 30
定义域扩大到区间[4,38]
10 20 30 40
①小于20℃的范围内是下降 ②大于30℃的范围内是上升 ③20℃～30℃较稳定 ④环境温度太低或太高,有较大影响
温度/(℃ )
问题2 某厂生产一种畅销的新型工艺品,为 此更新专用设备和制作模具花去了200 000 元,生产每件工艺品的直接成本为300元,每
抽象概括
实际问题的解
还原说明
数学问题
推 理 演 算
数学问题的解
注意点：
1.设出有关符号，字母，由题目中给出的等量关 系或生产生活中的等量关系，建立函数关系。 2.写函数定义域时要符合实际。 3.所得结果要符合实际。
课堂练习
1.商店的一种商品每个进价80元,零售价100元.为了 促进销售,开展购一件商品赠送一个小礼品的活动,在 一定的范围内,礼品价格每增加1元,销售量增加10%.
画出R与C的图像
R(C) 500 000 200 000
R=500x
R C
C=200000+300x
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问题2 某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新 专用设备和制作模具花去200000元，生产每件工艺品的 直接成本为300元，每件工艺品售价为500元，产量x对 总成本C，单位成本P，销售收入R及利润L之间存在什么 样的函数关系？表示了什么实际含义？
解 总成本C与产量x的关系 C=200000+300x； 单位成本P与产量x的关系 P=300+200000 /x； 销售收入R与产量x的关系 R=500x ； 利润L与产的量x关系 L=R-C=200x-200000。
4.2.1 实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系， 许多联系可以用函数刻画。用函数的观点看实际 问题，是学习函数的重要内容。 问题1 当人的生活环境温度改变时，人体代 谢率也有相应的变化，表4-2给出了实验的一组数 据，这些数据说明了什么？
环境温度/（oC）
4
10 20 30
以上各式建立的是函数关系。 （1）从利润关系式可见，希望有 较大利润应增加产量。若x<1000,则要 亏损；若x=1000 ，则利润为零； 若x>1000 ，则可赢利. (2)单位成本P与产量x的关系 P=300+200000 /x可见，为了降低成本， 应增加产量，以形成规模效应。
问题3 小资料
代谢率/[4185J/（hm2）]
60 44 40 40.5 54
解 在这个实际问题中出现了两个变量：一个 是环境温度；一个是人体的代谢率。不难看出，对 于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应， 这就决定了一个函数关系。实验数据已经给出了几 个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系 更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系 中表示出来。在医学研究中，为了方便，常用折线 把它们连接起来。（如图4-5）
在这个问题中，通过对实验数据的分析，可以确 由{4，10，20，30，38}到{60，44，40.5，54}的一个 函数，通过描点，并且用折线将它们连接起来，使人们 得到了一个新函数，定义域扩大到区间[4，38]。对于 实际的环境温度与人体代谢关系来说，就是一个近似函 数关系，它的函数图象，可以帮助我们更好地把握环境 温度与人体代谢关系。
根据图象，可以看出下列性质： （1）代谢率曲线在小于20oC的范围是下降的， 在大约30oC的范围内是上升的； （2）环境温度在20oC ～30oC时，代谢率较底， 并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；
（3）环境温度太底或太高时，它对代谢率有较大影 响。
所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温要 保持在20oC ～30oC之间，这样可以使环境温度影响最 小。
练习p122
1,2
作业p130 A组 2