平面几何基础知识

平面几何基础知识（基本定理、基本性质）
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
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⎪⎨⎧⎩⎨
⎧⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧⇔⇔⎪⎩⎪⎨⎧余弦定理正弦定理三角定理外接圆线的交点外心：三角形的三条中内接圆线的交点内心：三角形的角平分
线的交点垂心：三角形的三条高
线的交点重心：三角形的三条中四心角平分线定理垂线定理中线定理
三线定理三角形 1.中线定理：设△ABC 的边BC 的中点为P,则有 ：
()BP AP AC AB 2
2
2
2
2+++，中线长：
2
222
22a
c b -+
2.垂线定理：AB ⊥CD ⇔
BD BC AD AC
2
2
2
2
-=-,
高线长：C b B c A a
bc
sin sin sin ==
3.角平分线定理：三角形的一个角的平分线对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

4.重心性质：设G 为△ABC 的重心，
（1）连结AG ，并延长交BC 于D,则AG:GB=2：1
（2）ABC ACG
S S S S △△BCG 31
△ABG === （3）GC AB GB CA GB BC 3332
22222+=+=+
()CA
BC AB
GC GB GA
2
22
2
22
3
1++=
++
PG GC GB GA PC PB PA 32
2
2
2
2
2
2
+++=++（P 为△ABC 内任意一点）
（4）三角形内到三顶点距离的平方和最小的点是重心，即
GC
GB GA
2
22
++最小
（5）三角形内到三边距离之积最大的点是重心。

5.垂心性质：
（1）三角形任一顶点的距离等于外心到对边距离的两倍 （2）垂心关于△ABC 的三边的对称点均在△ABC 的外接圆上。

（3）△ABC 的垂心为H,则△ABC,△ABH,△BCH,△ACH 的外接圆是等圆。

6.内心的性质：设I 为△ABC 的内心，则： （1）I 到△ABC 三边的距离相等
（2）∠BIC=90°+2
1
∠A,∠AIC=90°+2
1∠B,∠AIB=90°+2
1∠C （3）∠A 平分线交BC 于D,交△ABC 外接圆于点K,则
a
c
b KD IK KI AK ID AI +=== 7.外心性质：
（1）外心到三角形各顶点距离相等
（2）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外切圆半径之和。

8.梅涅劳斯定理
定理：一条直线与∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，则有
1AD BE CF
DB EC FA ⨯⨯=． 梅涅劳斯定理的逆定理
定理：在∆ABC 的边AB 、BC 上各有一点D 、E ，在边AC 的延长线
上有一点F ，若
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=， 那么，D 、E 、F 三点共线．
9.塞瓦定理
定理：在∆ABC 内一点P ，该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，则有
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=．
塞瓦定理的逆定理
定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、
F 均不是∆ABC 的顶点，若
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=，那么直线CD 、AE 、BF A
B
C
D F
P
= AC ×BD ，那么A 、B 、C 、D 四点共圆． 托勒密定理的推广
定理：如果凸四边形ABCD 的四个顶点不在同一个圆上，那么就有
AB ×CD + BC ×AD > AC ×BD
11.西姆松定理
定理：从∆ABC 外接圆上任意一点P 向BC 、CA 、AB 或其延长线引垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线． 12.欧拉定理
定理：设ΔABC 的重心、外心、垂心分别用字母G 、O 、H 表示．则有G 、O 、H 三点共线（欧拉线），且满足3OH
OG =．
.
13.蝴蝶定理
定理：如图，过圆中弦AB 的中点M 任引两弦CD 和EF ，连接CF 和ED ，分别交AB 于P 、Q ，则PM = MQ ．
解题方法：作辅助线、辅助圆、线段、角度间的转化、面积法、三
角法、解析法、向量法等。

A B
C
D E
F
P Q M C /
F
/ Q /。