随机信号分析第3章-平稳性与功率谱密度

FXY (x1, x2 ,, xn; y1, y2 ,, ym;t1, t2 ,, tn ; s1, s2 ,, sm ) FXY (x1, x2 ,, xn ; y1, y2 ,, ym; t1 t,t2 t,,tn t; s1 t, s2 t,, sm t)
成立，则称X(t)与Y(t)具有联合严格平稳性。
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严格平稳随机信号的性质 （1）一维概率分布函数与时间t无关；
F(x;t) F(x;t t) F(x)
如果其概率密度函数与均值存在，它们也与时 间t无关。
f (x;t) f (x;t t) f (x)
m(t) E X (t)
xf (x;t)dx
xf (x)dx m
E X 2 (t)
R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) 自相关函数平稳
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一般只讨论参量值t变化的平稳性。 意义：若随机信号某统计特性具有平稳性时，
测试可以选择任意时刻，不受观察时刻的影响。
平稳性广 严义 格平 平稳 稳性 性
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一、严格平稳性
定义：随机信号 X (t), t T ，如果其任意n维
RXY (t1, t2 ) RXY ( )
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试证明：若一阶严格平稳随机信号在任意时刻 组的各个随机变量彼此统计独立，那么，它必 定是严格平稳的。 独立随机信号X(t)，n维概率密度函数为n个一 维概率密度函数的乘积。
f (x1, x2 ,, xn;t1, t2 ,, tn ) f (x1;t1). f (x2;t2 ).. f (xn;tn )
时刻t，X (t) 具有相同的统计特性。
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a) 一般在实际应用中，只要产生随机信号 的主要物理条件，在时间进程中不发生变化。 则此信号就可以认为是平稳的。例如：在电子 管中由器件的“颗粒效应”引起的散弹噪声， 由于产生此噪声的主要物理条件不变，所以此 噪声可以认为是平稳的。
b)另一方面，对于有些非平稳随机信号， 可以根据需要，如果它在观测时间段内是平稳 的，就可以在该时间段内把信号视作平稳的随 机信号来处理。
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联合广义平稳
定义：随机信号X (t),t T与Y(t),t T，如果
单个是广义平稳的，且其互相关函数存在，并
与两时刻 t1,t2 的绝对值无关，只与相对差
t1 t2有关，即 RXY (t1, t2 ) RXY (t , t) RXY ( )
则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性。
关函数存在，并且满足:（1）均值为常数； （2）相关函数与两时刻 (t1,t2 ) 的绝对值数无 关，只与相对差 t1 t2 有关，即
E X (t) m Const
R(t1,t2 ) R( )
则称X(t)具有广义平稳性。
严格平稳与广义平稳的关系：严格平稳随机 信号的均方值有界，则该随机信号是广义平 稳的；广义平稳随机信号不一定是严格平稳 的。对于正态过程，两者等价。
（5）若自相关函数 R( ) 关于 在原点连续， 则它是关于 处处连续。
看书上图3.3，P71
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例 如图所示，随机信号X(t)与A(t)相加。 X(t) 与A(t)相互独立，且其中之一均值为零。试求 它们之和Y(t)的自相关函数与X(t)，A(t)的自相 关函数之间的关系。
解：Y (t) X (t) A(t)
R( 1) R( ) 证明：利用柯西－许瓦兹不等式
E ZW
2
E
Z
2
E
W
2
令Z X (t 1) X (t )
W X (t)
E X (t 1) X (t ) X (t) 2
E
X
(t
1)
X
(t
)2
E
X
2
(t)
20
而
E X (t 1)X (t) X (t )X (t) R( 1) R( )
RY (t ,t) 。已知正弦分量的幅度、角频率和
初相，有A,0 为确定的常数；是在 0,2π 上均
匀分布的随机变量。
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解：Y (t) X (t) Acos(0t )
令Z (t) Acos(0t )
EZ(t) EAcos(0t )
1 2π
2π
0 Acos(0t )d 0
R(0) 2R( ) R(0) 0
R(0) R( )
同理 C(0) C( )
注意：这不排除在 0 时，R( )还可能出现最大 值。如 R( ) cos，在 2n 均出现最大值
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（3）若 R(1) R(0) ，1 0 ，则 R( ) 是周期为1 的周期函数，即对任意的 ，有
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若X(t)与Y(t)的二维联合概率密度函数和联合 特征函数存在，也可以改用它们来表示。
性质：二维联合概率分布函数和密度函数与 时间无关；互相关函数与两时刻的绝对值无 关，只与相对差有关。
FXY (x, y;t1,t2 ) FXY (x, y;t1 t,t2 t) FXY (x, y; ) f XY (x, y;t1,t2 ) f XY (x, y;t1 t,t2 t) f XY (x, y; )
f (x;t) f (x)
f (xi ;ti ) f (xi ) f (x1, x2,, xn;t1,t2,,tn ) f (x1) f (x2 ).. f (xn )
f (x1, x2 ,, xn;t1 t,t2 t,,tn t) 所以，X(t)严格平稳。
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三、广义平稳性
定义：随机信号X (t), t T，如果其均值和相
x1
m x2
m
f
( x1 ,
x2 ; t
, t )dx1dx2
且 C( ) R( ) m2
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自相关函数性质 1、共轭对称性
R( ) R( )
R( ) EX (t )X (t) E(X (t)X (t ))
(EX (t)X (t )) R( )
2、若X(t)是实广义平稳随机信号，则有 （1）相关函数是偶函数
E X 2 (t 1) X 2 (t ) 2X (t 1) X (t ) 2R(0) 2R(1) E X 2 (t) R(0)
R( 1) R( )2 2R(0) R(1) R(0)
当R(1) R(0)
则 R( 1) R( )2 0
即R( 1) R( )
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（4）若 R(1) R( 2 ) R(0),1 0, 2 0，且1,2 不公约，则 R( ) 是常数。
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例 广义平稳随机信号X(t)通过如图所示的乘
法调制器得到随机信号Y(t)，图中 是确定量，
是在 均π匀, π分 布的随机相位， 与X(t)是
统计独立的。试讨论随机信号Y(t)的平稳性。
X (t)
Y (t)
解：
cos(t )
Y (t) X (t) cos(t )
EY(t) EX (t)cos(t )
X (t)与A(t)其中之一均值为零
RY (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) RA (t1, t2 )
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例 当上例中随机信号A(t)是均值为零的随机 漂移C时，试求其对相关函数的影响。
解：
RA
(t1,
t2
)
E
CC
E
C
2
2 C
RY
(t1, t2 )
RX
(t1, t2 )
2 C
例 若随机信号X(t)受到加性独立随机正弦分 量的干扰。求受扰后，信号的相关函数
R( ) R( ) （2）相关函数在原点处大于零，并达到最大
值。 R( ) R(0)
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证明：任何正函数的统计平均为非负数，构造 一个随机信号
E
X
(t
)
X
(t
)2
0
E X 2(t) 2X (t)X (t ) X 2(t ) 0
E X 2(t) 2E X (t)X (t ) E X 2(t ) 0
X (t)
Y (t)
RY (t1,t2) EY(t1)Y (t2)
A(t)
RY (t1,t2 ) E X (t1) A(t1) X (t2) A(t2)
E X (t1)X (t2) X (t1)A(t2) A(t1)X (t2) A(t1)A(t2)
RX (t1,t2) E X (t1)EA(t2) EA(t1)EX (t2) RA(t1,t2)
第3章 平稳性与功率谱密度
1
主要内容： 严格平稳性 广义平稳性 平稳信号的自相关函数
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§3.1 平稳性与联合平稳性
一、平稳性的概念 定义：随机信号的某些统计特性对于参量值
“稳 定不变”的性质，称为平稳性。 比如：
f (x;t) f (x;t t) f (x) 一阶概率密度函数平稳 m(t) m(t t) Const 均值函数平稳
cos(2t
2)
1 2
RX
(
)
cos(
)
所以，Y(t)广义平稳。
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§3.3 广义平稳随机信号的相关函数
一、自相关函数与协方差函数
R( ) E X (t )X (t)
x1x2 f (x1, x2;t , t)dx1dx2
C( ) E X (t ) m X (t) m
利用例6.2的结论
RY (t ,t) RX (t ,t) RZ (t ,t)
RZ (t ,t) E Acos(0t 0 )Acos(0t )
E
1 2
A2
cos(20t
0
2)
cos(0
)
A2 2
cos(0 )
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所以
RY
(t
,t)
RX
(t
,t)
C)一般在工程上，通常只在相关理论的范 围内讨论平稳性。即，只讨论与随机信号的一、 二阶矩有关的问题。也就是广义平稳性。
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定义：随机信号 X (t), t T 和 Y (t), t T 如果
其任意 n m 维联合概率分布函数具有下述的 移动不变性：任取 t1,t2,,tn T与 x1, x2 ,, xn Rn 以及s1, s2 ,, sm T 与 y1, y2,, ym Rm 对于满足 t1 t, t2 t,, tn t T 与 s1 t, s2 t,, sm t T 的任意 t 值，始终 有
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（3）严格平稳的判定 根据严格平稳的定义，判断一个随机信号
是否严格平稳，就需要知道其n维概率密度函 数，但求其n维概率密度函数是比较困难的。 不过，如果有一个反例，就可以判断一个随 机信号不是一个平稳的。具体方法有两个：
（1）若X(t)为严格平稳的，则EX k (t)与
时间t无关，k为任意正整数。 （2）若X(t)为严格平稳的，则对于任意
概率分布函数具有下述移动不变性：任取 t1,t2,,tn T 与 x1, x2 ,, xn Rn，对于满足 t1 t,t2 t, ,tn t T 的任意 t 值，始终有
F (x1, x2 ,, xn;t1, t2 ,,tn ) F (x1, x2 ,, xn;t1 t,t2 t,,tn t)
成立。则称 X (t) 具有严格平稳性。 如果 X (t) 的概率密度函数存在，上式等同于
f (x1, x2 ,, xn;t1,t2 ,, tn ) f (x1, x2 ,, xn;t1 t, t2 t,, tn t)
如果其特征函数存在，上式等同于
(1,2 ,,n;t1,t2 ,, tn ) (1,2 ,,n;t1 t, t2 t,,tn t)
x2 f (x;t)dx x2 f (x)dx Const
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（2）二维概率密度函数与两时刻的绝对值无 关，只与相对差有关。
F (x1, x2;t1,t2 ) F (x1, x2; )
F(x1, x2;t1,t2 ) F (x1, x2;t1 t,t2 t)
令t t2
F (x1, x2;t1 t2 ,0)
F(x1, x2; )
f (x1, x2;t1,t2 ) f (x1, x2; )
R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) R( )
R(t1, t2 ) x1x2 f (x1, x2; )dx1dx2 R( )
C(t1, t2 ) R(t1,t2 ) m(t1)m(t2 ) R( ) m2 C( )
EX (t)Ecos(t ) 15
E
X
(t
)
π
π
cos(t
)
1
2
d
1 2π
EX
(t)sin(t
)
π π
0
自相关函数
EY(t )Y(t) EX (t )cos(t )X (t)cos(t )
E X (t )X (t)Ecos(t )cos(t )
RX
(
)
1 2
E
cos(
)