山西省朔州市应县一中2019-2020学年高二月考(六)数学(理)试题+扫描版含答案

高二月考六理数答案2020.5

一．选择题

1．C 2．D 3. B 4．C 5．B 6．C 7．A 8．A 9．B 10．B 11．C 12．A

二、填空题.

13．6 2 14．14 15．丁 16．420

三、解答题

17．解：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：

(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400(种)结果．

(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果．

因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800(种)．

18．证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c

， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是c a ＋b ＋a b ＋c

＝1， 只需证c(b ＋c)＋a(a ＋b)＝(a ＋b)(b ＋c)，

需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，

又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°，

由余弦定理，得

b 2＝

c 2＋a 2－2accos 60°，

即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．

于是原等式成立．

19．解析： (1)第一步：选3名男运动员，有C 36种选法．

第二步：选2名女运动员，有C 24种选法．

共有C 36C 24＝120种选法．

(2)方法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．

由分类加法计数原理可得总选法数为

C 14C 46＋C 24C 36＋C 34C 26＋C 44C 16＝246种．

方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解．

从10人中任选5人有C 510种选法，其中全是男运动员的选法有C 56种．

所以“至少有1名女运动员”的选法为：

C 510－C 56＝246种．

(3)方法一(直接法)：

“只有男队长”的选法为C 48种；

“只有女队长”的选法为C 48种；

“男、女队长都入选”的选法为C 38种；

所以共有2C 48＋C 38＝196种选法．

方法二(间接法)：

从10人中任选5人有C 510种选法．

其中不选队长的方法有C 58种，所以“至少有1名队长”的选法为C 510－C 58＝196种．

20．解：(1)因为f(x)＝e x cos x －x ，所以f ′(x)＝e x (cos x －sin x)－1，f ′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝1.

(2)设h(x)＝e x (cos x －sin x)－1，

则h ′(x)＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x)＝－2e x sin x.

当x ∈⎝⎛⎭

⎫0，π2时，h ′(x)<0， 所以h(x)在区间⎣⎡⎦

⎤0，π2上单调递减．

所以对任意x ∈⎝⎛⎦

⎤0，π2有h(x)

所以函数f(x)在区间⎣

⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f(x)在区间⎣⎡⎦

⎤0，π2上的最大值为f(0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭

⎫π2＝－π2. 21．解：(1)f ′(x)＝e x －2，x ∈R.

令f ′

故f(x)极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a)．

(2)设g(x)＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g ′(x)的最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x)>0，所以g(x)在R 上单调递增，于是当a>ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)，而g(0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g(x)>0，即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.

22．(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f ′(x)＝－1x 2－1＋a x ＝－x 2－ax ＋1x

2. ①若a ≤2，则f ′(x)≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x)＝0，

所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．

②若a>2，令f ′(x)＝0，得

x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42

. 当x ∈(0，a －a 2－42)∪(a ＋a 2

－42

，＋∞)时，f ′(x)<0； 当x ∈(a －a 2－42，a ＋a 2－42

)时，f ′(x)>0. 所以f(x)在(0，a －a 2－42)，(a ＋a 2－42，＋∞)上单调递减，在(a －a 2－42，a ＋a 2－42

)上单调递增． (2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.

由于f(x)的两个极值点x 1，x 2满足x 2－ax ＋1＝0，

所以x 1x 2＝1，不妨设0＜x 11.

由于f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝－1x 1x 2－1＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a －2ln x 21x 2

－x 2， 所以f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2

－x 2＋2ln x 2<0. 设函数g(x)＝1x

－x ＋2ln x ，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减． 又g(1)＝0，从而当x ∈(1，＋∞)时，g(x)<0.

所以1x 2－x 2＋2ln x 2<0，故f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2