31、积分不等式葵花宝典(第3.0版本)-46页 文字版

2 R 有 [f (x) + g(x)]2
Zb 0，则 [f (x) + g(x)]2dx
a
0，即对
学 竞 赛 ; : 八 一 Z b
Zb
Zb
Zb
研 公 众 [f (x) + g(x)]2dx = 2 g2(x)dx + 2 f (x)g(x)g(x)g(x)g(x)dx + f 2(x)dx 0
数 学 竞 赛 号 : a
; 公 八 一 考 研 Z b
!2 Z b
Zb
学 竞 赛 众 号 : f (x) g (x) dx Ä f 2 (x)dx g2 (x)dx
a
a
a
数 学 竞 赛; 公 众 号 : 八 一 考 等号成立的充分必要条件是存在常数 k 使得 f (x) = kg(x) 或 g(x) = kf (x).
数 学 竞 赛; 公 众 号 : 八 一 考 证明 法 1：利用判别式. 对任意的 研 数 ; 公 众 号 八 一 任意的 2R 有
; 公 众 号 八 一 考 研 数 学 等式、三角形求解、方程求解和最值计算等，可以很好地将这些问题完美地解决。 赛 : 回过头我们再想在考研数学中如何搞定柯西—施瓦茨不等式，那八一就给大家介绍一下常用的四种
; 公 众 八 一 考 研 数 证明思想，并给出相关推论 (其中相关推论留给读者自行思考)，然后利用柯西—施瓦茨不等式来证明某 竞 赛 号 : 些例子。
a
a
a
考考研研数数学学竞竞赛;赛; 公公众众号号: 八: 八 因此上述关于
的一元二次方程的判别式 ∆ Ä 0，故
Zb
!2
∆ = 2 f (x) g (x) dx
a
Zb
Zb
4 f 2 (x) dx g2 (x) dx Ä 0
a
a
一 考 研 数 学 竞 赛; ; 公 众 号 也就有
Zb
!2 Z b
Zb
f (x) g (x) dx Ä f 2 (x)dx g2 (x)dx
竞 赛; ; 公公众 号 : 八八一一考考研研数 目录
学 竞 赛 ; 公众 号 : 八 一 考 研 1 积分不等式
2
学 竞 赛 众 号 : 1.1 Cauchy-Schwarz 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
; 公 众 八 一 考 研 数 由于柯西-施瓦茨不等式在实数域、微积分、n 维欧氏空间、概率空间有着重要意义，且有不同形式 竞 赛 号 : 的推广和应用，这里我重点讲解它在微积分中的推广及其应用。
学 竞 赛; 公 众 号 : 八 一 考 研 定理 1.1 设 f (x)，g(x) 在 [a;b] 上可积，则有
公众众号号: 八: 八一一考考研研数数学学竞竞 1
公众号众号:号: 八八一一考考研研数数学学竞竞赛 1 积分不等式
公 众 号: 八 一 考 研 数 学 1.1 Cauchy-Schwarz 不等式
: 竞 柯西—施瓦茨不等式在学习数学中被广泛应用，并在高等数学、微积分、概率论和线性代数等方面 ; 公 众 号 八 一 考 研 数 学 都有涉及，其所体现的形式也不同，能在欧式空间两向量的内积运算得到统一，与均值不等式有一定差 赛 : 异，是一个十分重要的不等式。灵活运用柯西—施瓦茨不等式能够解决很多数学上的难题，例如证明不
; 八 一 考 1.2 Jensen 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
数 学 竞 赛 公 众 号 : 1.3 斯蒂文森不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Байду номын сангаас . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
; 1.14 Hadamard 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
一 考 研 数 公 众 号 1.15 KaHTopoBHy 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
赛 : aZ 1 ; 公 八 一 考 研 =
baZ
b
f 2 (x) g2 (y)
八 一 考 不等式、斯蒂文森不等式、积分中值定理法、微分中值定理法、函数单调法、二重积分、定积分性质、留 号 : 研 数 学 竞 赛 数法、Favard 不等式、Chebyshev 不等式、Minkowski 不等式、Wirtinger 不等式、Hadamard 不等式、
八 KaHTopoBHy 不等式、opial 不等式、Carleman 不等式、Carlson 不等式、摄动中点不等式、lyengar 众 号 : 一 考 研 数 学 竞 赛 不等式与 Gronwall 不等式，并对相关赛事在往年考研与竞赛的例题做出相关解答.
; 八 一 1.8 定积分性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
研 数 学 竞 赛 公 众 号 : 1.9 留数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
学 竞 赛 ; 1.16 opial 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
一 考 研 数 公 众 号 1.17 Hardy 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
八 一 考 研 数 公 众 Z x
a
a
a
: 学 竞 赛 ; = f 2 (x) g2 (t) 2f (x) g (x) f (t) g (t) + g2 (x) f 2 (t) dt
八 一 考 公 Zax : 研 数 学 竞 赛 ; = [f (x)g (t) g (x)f (t)]2dt 0
a
号 : 八 一 考 研 数 学 竞 赛 公 故 F (x) 在 x a 上单增，因此 F (x) F (a) = 0，于是 F (b) F (a) = 0，即证.
公众公号众号众:号:号八: 八: 一八一考一考研考研数研数学数学竞学竞赛竞 积分不等式葵花宝典 ; 公 众 号 八 一 考 研 数 学 第 3 版 赛 ; 公 众 号: 八 一 考 研 数 学 作者：Hoganbin 赛 ; 公 : 八 一 考 研 微信公众号：八一考研数学竞赛 竞 赛 众 号 : 数 2019 年 10 月 20 日
; 八 1.10 Favard 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
考 研 数 学 竞 赛 公 众 号 : 1.11 Chebyshev 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
a
a
a
一 考 研 数 学 公 众 号 Z x
Zx
ÄZ x
2
竞 赛 ; 法 2: 构造函数. 令 F (x) = f 2(t)dt g2(t)dt
f (t )g(t)dt ，显然 F (a) = 0.
八 一 考 研 公 众 a
a
a
数 学 竞 赛 Z x
Zx
Zx
; F 0 (x) = f 2 (x) g2 (t) dt + g2 (x) f 2 (t) dt 2f (x) g (x) f (t) g (t) dt
: 数 学 竞 赛 ; 1.22 Gronwall 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
: 八 一 考 研 数 学 竞 赛 ; 公 2 习题练习
37
八 一 考 公 摘要 号 : 研 数 学 竞 赛 ; 本文主要对数学考研与竞赛中常用到的积分不等式作个小总结，主要有柯西-施瓦茨不等式、琴声
a
a
a
: Z b
Zb
Zb
Zb
; 公 众 号 八 一 考 研 数 学 = f 2(x)dx g2(y)dy
f (x) g (x) dx f (y) g (y) dy
赛 : Zab Z b
a
a
a
; 公 众 号 八 一 考 研 数 学 =
f 2 (x) g2 (y) f (x) g (x) f (y) g (y) dxdy
学 竞 赛 ; 1.18 Carleman 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
八 一 考 研 公 众 1.19 Carlson 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
数 学 竞 赛 ; 1.20 摄动中点不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
八 一 考 研 公 众 1.21 lyengar 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
; 八 1.12 Minkowski 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
考 研 数 学 竞 赛 公 众 号 : 1.13 Wirtinger 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
众公号众号众:号八:号八: 一八: 一八考一考一研考研考数研数研学数学数竞学竞学赛竞;赛竞 2
公众号众号:号: 八八一一考考研研数数学学竞竞赛 法 3: 二重积分. 由轮换性可知
:Z b
Zb
"Z b
#2
公 众 号 八 一 考 研 数 学 竞 f 2(x)dx g2(x)dx
f (x) g (x) dx
; 八 一 1.6 函数单调性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
研 数 学 竞 赛 公 众 号 : 1.7 二重积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
; 八 一 考 1.4 积分中值定理法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
数 学 竞 赛 公 众 号 : 1.5 微分中值定理法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13