上海市初中数学方程与不等式之二元二次方程组综合练习

上海市初中数学方程与不等式之二元二次方程组综合练习

一、选择题

1．解方程组：222449{0

x xy y x xy ++=+=. 【答案】0{

1.5x y ==，3{3x y =-=，0{ 1.5x y ==-，3{3

x y ==-. 【解析】

【分析】

先把原方程组的每个方程化简，这样原方程组转化成四个方程组，求出每个方程组的解即可．

【详解】 2224490x xy y x xy ⎧++=⎨+=⎩①②

由①得：（x+2y ）2＝9，

x +2y ＝±3，

由②得：x （x+y ）＝0，

x ＝0，x +y ＝0，

即原方程组化为：230x y x +=⎧⎨=⎩，230x y x y +=⎧⎨+=⎩，230x y x +=-⎧⎨=⎩，230x y x y +=-⎧⎨+=⎩

， 解得：01.5x y =⎧⎨=⎩，33x y =-⎧⎨=⎩，01.5x y =⎧⎨=-⎩，33x y =⎧⎨=-⎩

， 所以原方程组的解为：01.5x y =⎧⎨=⎩，33x y =-⎧⎨=⎩，01.5x y =⎧⎨=-⎩，33x y =⎧⎨=-⎩

． 【点睛】

本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．

2．解方程组：22x 2xy 3y 3x y 1⎧--=⎨+=⎩

【答案】x 1.5y 0.5=⎧⎨

=-⎩ 【解析】

【分析】

把方程组的第一个方程分解因式求出x 3y 3-=，再解方程组解x y 1x 3y 3

+=⎧⎨

-=⎩即可． 【详解】

由22x 2xy 3y 3--=得：()()x y x 3y 3+-=，

x y 1+=，

x 3y 3∴-=，

解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩得：x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩

． 【点睛】

本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键．

3．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+1经过A （﹣1，0），B （1，1）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝k 1x+b 1（k 1，b 1为常数，且k 1≠0），直线l 2：y ＝k 2x+b 2（k 2，b 2为常数，且k 2≠0），若l 1⊥l 2，则k 1•k 2＝﹣1．

解决问题：

①若直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，则m 的值是____；

②抛物线上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）M 是抛物线上一动点，且在直线AB 的上方（不与A ，B 重合），求点M 到直线AB 的距离的最大值．

【答案】（1）y ＝﹣

12x 2+12x+1；（2）①-12

；②点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（35. 【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据垂线间的关系，可得PA ，PB 的解析式，根据解方程组，可得P 点坐标；

（3）根据垂直于x 的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值

【详解】

解：（1）将A ，B 点坐标代入，得

10(1)

11(2)a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得1

2

12

a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，

抛物线的解析式为y ＝21

1

x x 122-++；

（2）①由直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，得

2m ＝﹣1，

即m ＝﹣1

2； 故答案为﹣1

2；

②AB 的解析式为1

1

22y x =+

当PA ⊥AB 时，PA 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2，

联立PA 与抛物线，得21112222

y x x y x ⎧

=++⎪⎨⎪=--⎩，

解得1

0x y =-⎧⎨=⎩（舍），6

14x y =⎧⎨=-⎩，

即P （6，﹣14）；

当PB ⊥AB 时，PB 的解析式为y ＝﹣2x+3，

联立PB 与抛物线，得21112223

y x x y x ⎧

=++⎪⎨⎪=-+⎩，

解得11x y =⎧⎨=⎩（舍）4

5x y =⎧

⎨=-⎩，

即P （4，﹣5），

综上所述：△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，点P 的坐标（6，﹣

14）（4，﹣5）；

（3）如图：

，

∵M （t ，﹣

12t 2+12t+1），Q （t ，12 t+12）， ∴MQ ＝﹣

12t 2+12 S △MAB ＝12

MQ|x B ﹣x A | ＝12（﹣12t 2+12

）×2 ＝﹣12t 2+12

， 当t ＝0时，S 取最大值

12，即M （0，1）． 由勾股定理，得

AB 2221+5

设M 到AB 的距离为h ，由三角形的面积，得

h 55． 点M 到直线AB 5． 【点睛】

本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键

4．解方程组：2226691x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩

． 【答案】14

11x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

． 【解析】

【分析】