二元关系的矩阵和图表示
二元关系
1二元关系1. 有序对与笛卡尔积定义1.1 两个对象x , y 组成的满足如下性质的二元组(x , y )：(x , y )=(u,v ) 当且仅当x=u , y=v其中x 称为第一元素，y 称为第二元素。
定义1.2 集合A 和B 的笛卡尔积定义为{(,)|,}A B x y x A y B ⨯=∈∈特别地，若A 或者B 是空集，则A ×B 是空集。
例：注意：笛卡尔积不满足结合律和交换律。
2. 二元关系定义2.1 若A 和B 是集合， 则A ×B 的任何子集R 称为从A 到B 的二元关系，简称关系。
若(,)x y R ∈，则称有序对(x , y )满足关系R ，一般记为xRy .定义域dom(R )=值域ran(R )=集合C 在R 下的像：R [C]=例2.2 设集合R ={(a,1),(a,2), (b,2),(b,3)}，则该集合可视为从{a,b}到{1,2,3}的二元关系，其定义域和值域为dom(R )={a,b}ran(R )={1,2,3}定义2.3（关系矩阵）M R 是由真值组成的0-1矩阵。
例2.4关系图：G R 是一个二部图（bipartite ）。
定义2.4 若R 是从集合A 到A 的二元关系，即R A A ⊆⨯，则称R 是A 上的二元关系。
定义2.5 集合A 上的三种特殊关系：（1） 空关系：∅ 其矩阵是0方阵。
（2） 全关系：E A =A ×A 其矩阵是全1方阵。
（3） 恒等关系：{(,)|}A I x x x A =∈，其矩阵是单位矩阵。
23. 二元关系的几种运算我们考虑对于二元关系的如下运算，即并、逆、复合、方幂和限制。
定理3.1 设R ，Q 是从A 到B 的二元关系，则R Q R Q M M M =+U注意：其中的加法是真值加法，即逻辑或，即0+0=0, 1+1=1，1+0=1，0+1=1证明： 证毕定义3.2（二元关系的逆）设R 是从A 到B 的二元关系。
二元关系
第四章 二元关系学习指导4.1 二元关系一、有序对有序对 设为任意两个集合，元素和b 分别取自和,A B a A B 。
和b 依一定次序组成一对，称为有序对，记为，其中称为它的第一元素，b 称为它的第二元素。
a (,)ab a 两有序对相等 (,当且仅当a )(,)a bcd =c =且b d =。
有序元组 有序元组是一个有序对，它的第一元素为有序元组，第二元素为，记为(3n n .))n (3n n .1n −121(,,,)n a a a − n a 12121(,,,)((,,,),)n n a a a a a a a −= 。
笛卡尔积 设A 和B 为任意的两个集合。
称所有由中元素作为第一元素，A B 中元素作为第二元素的有序对组成的集合为和A B 的笛卡尔积，记作A B ×，即{}(,)A B a b a A b B ×=∈∧∈二、二元关系和元关系n二元关系 设和A B 是任意的两个集合，A B ×的子集R 称为到A B 的一个二元关系。
当时，则称A B =R 为上的二元关系。
二元关系简称为关系。
对于某个关系A R ，如果，那么称和b 有关系(,)a b R ∈a R ，记为；如果aRb (,)a b R ∈，那么称a 与没有关系b R ，记为aRb 。
/空关系 如果，那么称R =∅R 为空关系； 全关系 如果R A B =×，那么称R 为全关系。
恒等关系 {}I (,)A a a a A =∀∈;整数集合上的模ｎ同余关系 设（整数集合），对于给定的正整数ｎ，Ａ上的模ｎ同余关系Ｒ为A ⊆Z {}(,)(,)a bR a b a b a b n n 为整数是的整数倍⎧−⎫==−⎨⎬⎩⎭{}(,)(mod )a b a b n =≡。
定义域和值域 设Ｒ是集合Ａ到Ｂ的二元关系，分别定义Ｒ的定义域dom R 和值域ran R 为：{}{}dom ()((,);ran ()((,))R a b b B a b R R ba a A ab R =∃∈∧∈=∃∈∧∈。
关系表达式关系矩阵关系图关系的运算定义域值域
使 x, y R 的所有y组成的集合ranR称做R 的值域，即 ranR { y (x)使 x, y R)}
R的定义域和值域一起称做R的域，记做FLDR，
即 FLDR domR ranR
例1：设X {1,2,3,4}, 求X上的关 系 及dom , ran 。
第七章 二元关系
主要内容 有序对与笛卡儿积的定义与性质 二元关系、从A到B的关系、A上的关系 关系的表示法：关系表达式、关系矩阵、关系图 关系的运算：定义域、值域、域、逆、合成、限制、像、
幂 关系运算的性质 A上关系的自反、反自反、对称、反对称、传递的性质 A上关系的自反、对称、传递闭包 A上的等价关系、等价类、商集与A的划分 A上的偏序关系与偏序集
利用矩阵求合成
因为关系可用矩阵表示，故复合关系亦可用矩阵表示。
已知从集合 X {x1, x2 ,, xn } 到集合
Y {y1 , y2 ,, yn } 有关系R, 则 MR [uij ]
表示R的关系矩阵，
其中
1 uij 0
当 xi , yj R 当 xi , yj R
(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
笛卡儿积的性质 （1）不适合交换律 AB BA (AB, A, B) （2）不适合结合律
(AB)C A(BC) (A, B, C) （3）对于并或交运算满足分配律 A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) （4）若A或B中有一个为空集，则AB就是空集. A = B = （5）若 |A| = m, |B| = n, 则 |AB| = mn
一、二元关系的定义 1．定义：如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如果<x,y>∈R, 可记作xRy；如果<x,y>R, 则记作x y 2．例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a,b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写1R2, aRb, a c等.
第3篇二元关系ch8二元关系ch9特殊关系
1 rij =
当< xi, yj >∈R ∈
0 当< xi, yj >∉R ∉ (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) (i=1,2, ,m; j=1,2, ,n)
有限集合上的二元关系的图形表示： 有限集合上的二元关系的图形表示：
设给定两个有限集合X=｛ 设给定两个有限集合 ｛x1, x2 ，… , xm｝, Y =｛y1, ｛ y2 ，… , yn｝ 。R为从 到Y的一个二元关系。分别用 个 为从X到 的一个二元关系。分别用m个 的一个二元关系 为从 结点表示x 个结点表示y 结点表示 1, x2 ，… , xm ，用n个结点表示 1, y2 ，… , yn 。 个结点表示 做一有向弧， ∈ 如果< xi, yj >∈R，则自结点xi向结点yj做一有向弧， 箭头指向yj ；如果 之间不做有向弧。 之间不做有向弧。 x1 ● x2 ● x3 ● x4 ● x5 ●
定理8-2.1 定理
两个关 若Z和S是从集合X到集合Y的两个关
系，则Z、S的并、交、补、差仍是从集合X到集合Y 的关系。
证明思路：根据“关系是直积的子集”立即可得。 证明思路：根据“关系是直积的子集”立即可得。
有限集合上的二元关系的矩阵表示： 有限集合上的二元关系的矩阵表示：
设给定两个有限集合X=｛ 设给定两个有限集合 ｛x1, x2 ，… , xm｝, Y =｛y1, ｛ y2 ，… , yn｝ 。R为从 到Y的一个二元关系。则对应于关 为从X到 的一个二元关系。 的一个二元关系 为从 系R有一个矩阵MR=[rij]m×n,其中 有一个矩阵
｛z1 ,…, zp｝,R⊆X×Y，S⊆Y×Z，MR=[uij]m×n ⊆ × ， ⊆ × ， × 的关系矩阵， 的关系矩阵。 为R的关系矩阵，MS＝[vij]n×p 为S的关系矩阵。那么， 的关系矩阵 那么， × 合成关系R ° S的关系矩阵MR°S＝[wij]为一m×p矩阵， × 矩阵 ° 其各分量wij可如下求取
二元关系
当（xi, yj）∈R 其他 (i=1, 2,…m; j=1, 2,…n)
称MR为R的关系矩阵。
内容
n n n n
4.1 二元关系及其表示 4.2 关系的性质 4.3 关系的运算 4.4 关系的闭包
5
离散数学讲义稿
4.2 关系性质
5种性质： 设R是集合A上的二元关系，则
离散数学讲义稿
第二部分
集合与关系
第4章
二元关系
林 兰
2011.3
内容
n n n n
4.1 二元关系及其表示 4.2 关系的性质 4.3 关系的运算 4.4 关系的闭包
1
离散数学讲义稿
4.1 二元关系及其表示
1. 二元关系
例1：集合A={ 2, 3, 5, 9 }上建立小于关系R，则可表达为： R={ (2,3), (2,5), (2,9), (3,5), (3,9), (5,9) } 例2：男队A={ a, b, c, d }，女队B={ e, f, g }。如果A和B的元素间 有混双配对关系：a和g，d和e。可表达为： R={ (a, g), (d, e) } 表示所有可能的混双配对有序对集合： A×B={ (a, e), (a, f), (a, g), (b, e), (b, f), (b, g), (c, e), (c, f), (c, g), (d, e), (d, f), (d, g) } 有 R ⊆ A× B
∴ (R ◦S) -1 = S-1◦R-1
R-1的性质： 设R是A上的二元关系，R-1与R有相同的性质。 （自反，反自反，对称，反对称，传递）
4.4 关系的闭包
1. 定义 设R是集合A上的二元关系。如果另有A上关系R’满足：
第3章二元关系
第3章 二元关系
有些关系既不是对称的,又不是反对称的,例如图3.1―9 所示的关系.
图 3.1―9 有些关系既是对称的，又是反对称的，例如空关系.
pf pf pf pf pf pf pf pf pf pf pf pf pf pf
第3章 二元关系
(5)如果对每一x,y,z∈A, xRy,yRz蕴含着xRz, 那么 R是传递的.即A上的关系R是传递的
pf pf pf pf pf pf pf pf pf pf pf pf pf pf
第3章 二元关系
例3 平面上的几何图形是平面R2的子集,也是一种关 系.设
R1={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2∧x2+y2≤9} R2={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2∧(1≤x≤3) ∧(0≤y≤3)} R3={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2∧x2+y2≥4} 则 R1∪R2={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2∧
图 3.1―6
pf pf pf pf pf pf pf pf pf pf pf pf pf pf
第3章 二元关系
(3)如果对每一x,y∈A, xRy蕴含着yRx, 那么R是对 称的.即A上的关系R是对称的
x y (x∈A∧y∈A∧xRy→yRx)
例如, A={1,2,3}, R4={〈1,2〉,〈2,1〉,〈1,3〉, 〈3,1〉,〈1,1〉}是对称的.其关系图和关系矩阵的特 点如图3.1―7所示.
图 3.1―3
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第3章 二元关系
3.1.4 关系的特性 定义3.1―5 设R是A上的二元关系, (1) 如果对A中每一x, xRx, 那么R是自反的.即
A上的关系R是自反的 x(x∈A→xRx)
《离散数学》课件-第四章 二元关系
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
二元关系
第二章
二元关系
例：（1）A={a，b}，B={c，d}，求A×B。 （2）A={a，b}，B={c，d}，求B×A。 （3）A={a，b}，B={1，2}，C={c}，求（A×B）×C和A×（B×C）。 解 ： （1）A×B={a，b}×{c，d}={<a，c>，<a，d>，<b，c>，<b，d>}。 （2）B×A={c，d}×{a，b}={<c，a>，<c，b>，<d，a>，<d，b>}。 （3）（A×B）={a，b}×{1，2}={<a，1>，<a，2>，<b，1>，<b，2>}。 （A×B）×C ={<<a，1>，c>，<<a，2>，c>，<<b，1>，c>，<<b，2>，c>} B×C={1，2}×{c}={<1，c>，<2，c>}。 A×（B×C）={<a，<1，c>>，<a，<2，c>>，<b，<1，c>>， <b，<2，c>>}。
第二章
二元关系
例2： A={武汉，长沙，成都} B={黄石，常德，岳阳，遵义} 考虑A到B的同省关系： 则同省关系可以表示为： {武汉, 黄石， 长沙, 常德， 长沙, 岳阳}
例3： 设 A = {1, 2, 3, 4}.定义A 上的 关系.则该关系可以表示为 ： {1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 3, 4, 4, 4}.
离散数学课件第四章 关系
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
离散数学第七章二元关系
19
证明
(2) 任取<x,y>, <x,y>∈(FG)1 <y,x>∈FG t (<y,t>∈F∧<t,x>∈G) t (<x,t>∈G1∧<t,y>∈F1) <x,y>∈G1 F1 所以 (F G)1 = G1 F1
20
关系运算的性质
定理7.3 设R为A上的关系, 则 RIA= IAR=R <x,y> <x,y>∈RIA t (<x,t>∈R∧<t,y>∈IA) t (<x,t>∈R∧t=y∧y∈A) <x,y>∈R
例如 A = P(B) = {,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是 R = {<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 类似的还可以定义： 大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等.
注意： 关系矩阵适合表示从A到B的关系或A上的关系（A,B为有 穷集） 关系图适合表示有穷集A上的关系
11
实例
例4 A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 1 0 0 0 0 1 1 MR 0 0 0 0 0 1 0 0
10
关系的表示
二元矩阵
二元关系的矩阵和图表示两个事物之间的关系称之为二元关系。
在数学上，二元关系指的是这样的一个集合S，它的所有元素都为二元有序对。
它反映的是有序对中第一个元素组成的集合与第二个元素组成的集合之间的关系。
举个例子，集合S={<天秤座,libra>,<狮子座,leo>} 就表示了中文集合{天秤座,狮子座}与英文集合{libra,leo}之间的对应关系。
二元关系可以用集合表示，就像我们上面提到的。
而除此之外，还可以用其他数学工具来描述它——矩阵和图。
矩阵的基本元素是数字及其所处的位置。
直觉上，我们很自然的想到用它的下标来体现两个集合中的元素，用数字体现它们是否具有关系。
这便得出了以下定义：【定义】设集合A={x1,x2,…,xm},B={y1,y2,…,yn}，R为A,B之间的二元关系。
称矩阵M(R)=(rij )m×n为R的关系矩阵，其中这样我们定义了一个映射，把集合R映射为一个矩阵M。
如此定义，首先保证了R的集合表达式和R的关系矩阵是一一对应的。
其次，这样的定义会带来很多好的性质。
我们可以应用矩阵的语言把整个二元关系的理论重新叙述一遍：(1)关系R的逆，记作R-1，表示的是集合{<x,y>|<y,x>εR}，我们有M(R-1)=(M(R))T这样，我们求关系的逆就转化为了求一个矩阵的转置矩阵。
(2)两个关系的合成(复合)，记作R2•R1,表示的是集合为了用矩阵表示关系的合成，我们可以定义{0,1}中元素的加法为逻辑加法(0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1)，于是便有M(R2•R1)=M(R1)•M(R2)这样，关系的合成这一运算就转化为了矩阵的相乘。
(3)同理，R在D上的限制就等价于找M(R)中相应行中为1的元素；D在R下的象就等价于M(R)中相应行为1的元素的列坐标。
(4)关系R是单根的，指的是对任意的yεranB,存在唯一的xεdomR，使得<x,y>εR。
11 第七章 二元关系
例 给出 A＝{1,2,3}上所有的等价关系 解 如下图, 先做出 A 的所有划分, 从左到右分别记作 π1,π2 ,π3 ,π4 ,π5.
1
2
3
1 2 3
4
图7
5
这些划分与 A 上的等价关系之间的一一对应是： π4 对应于全域关系 EA, π5 对应于恒等关系 IA, π1,π2 和 π3 分别对应于等价关系 R1, R2 和 R3. 其中 R1={<2,3>,<3,2>}∪IA R2={<1,3>,<3,1>}∪IA R3={<1,2>,<2,1>}∪IA
设关系 R, r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为 G, Gr, Gs, Gt, 则 Gr, Gs, Gt 的顶点集与 G 的顶点集相等. 除了 G 的边以 外, 以下述方法添加新的边. 考察 G 的每个顶点, 如果没有环就加上一个环. 最终 得到的是 Gr. 考察 G 的每一条边, 如果有一条 xi 到 xj 的单向边, i≠j, 则在 G 中加一条 xj 到 xi 的反方向边. 最终得到 Gs. 考察 G 的每个顶点 xi, 找从 xi 出发的所有 2 步, 3 步, …, n 步长的路径（n 为 G 中的顶点数）.设路径的终点为 xj1,xj2,…,xjk, 如果没有从 xi 到 xjl (l=1,2,…,k)的边, 就加 上这条边. 当检查完所有的顶点后就得到图 Gt.
定理 7.13 设 R 是非空集合 A 上的关系 （1）若 R 是自反的, 则 s(R)与 t(R)也是自反的. （2）若 R 是对称的, 则 r(R)与 t(R)也是对称的. （3）若 R 是传递的, 则 r(R)是传递的.
（2）R 是 A 上的对称关系,所以 R=R-1,同时 IA=IA-1 (R∪IA) -1= R-1∪IA-1 r(R) -1=(R∪R0) -1=(R∪IA) -1= R-1∪IA-1= R∪IA= r(R) 假设 Rn 是对称的: <x,y>∈Rn+1=Rn°R ⇒ ∃t(<x,t>∈Rn∧<t,y>∈R) ⇒ ∃t(<t, x>∈Rn∧< y, t >∈R) ⇒ ∃t(< y, t >∈R∧<t, x>∈Rn) ⇒ <y, x>∈R ° Rn ⇒ <y, x>∈Rn+1 Rn+1 是对称的
二元关系的定义及表示
4. 1关系的概念
二元关系：仅含有序对的集合或此意义下的空集。
-2. 4.1前束范式的定
义
亀|二元关系在日常生活中普遍存在，例如，人与人之间有“同学”关系、“师生”关系， 两个
数之间有“大于”关系、“等于”关系，程序之间有“调用”关系。无论是在数学上 或是
在计算机科学中关系都有着重要的地位。
•二元关系知识逻辑概图:n
4.4等价关系与划分 \___ 丿
t
4.5相容关系与覆盖
\____________________________) A
4.6偏序关系 V___)
具有特殊性质的关系
r 4.3关系的运算r
C 4.2关系的性质
集合运算 特有运算
自反 反自反 对称 反对称 传递
•=关系在计算机科学技术中的应用
则、R3是二元关系，而&2不是关系，除非将a和b定义为有序对。 例如，若 A={1,2,3, 4}, B={0,1,2},
则 R± ={<2, 2>, <3, 1>, <4, 0>}, = A x B, R3= 0 等都是从A到B的关系，而&4={<3, 4>}是A上的关系，不是从A到B的关系。
4.1.1关系的定义
,<{b}, {b}〉，<{b}, C>, <C, C>}
-=4. 1. 3关系的表示
由二元关系的定义可以看出，二元关系是集合，所以集合的各种表示方法也适用于关系。
1. 列举法
可以用表示集合的列举法表示二元关系。例4.1中的A到B的全域关系E=AxB={<a, 1>, <a, 2>, <b, 1>, <b, 2>}, A上的恒等关系丄二{<a, a>, <b, b>}等都是用列举法表示的。
离散数学第4章-二元关系
4.6 等价关系与划分
• 三 性质 • 定理4.13 设R是A上的等价关系，则 （1）对任一a∈A，有a∈[a]； （2）对a, b∈A，如果aRb，则[a]=[b]; （3）对a, b∈A，如果(a, b)∉R，则[a]∩[b]=∅; （4）∪a∈A[a]=A。
4.6 等价关系与划分
• 定理4.14 集合A上的任一划分可以确定A上 的一个等价关系R。 • 定理4.15 设R1和R2是A上的等价关系， R1=R2⇔ A/R1=A/R2 。 • 定理4.16 设R1和R2是A上的等价关系，则 R1∩R2是A上的等价关系。
4 .3 关系的运算
• 一 逆运算 • 定义4.7（逆关系） 设R是从A到B的二元关系， 则从B到A的二元关系记为R-1，定义为R-1 ={(b,a)|(a,b)∈R}，称为R的逆关系。 • 定理2.1 （1）(R-1)-1=R; （2）(R1∪R2)-1= R1-1∪ R2-1; （3）(R1∩R2)-1= R1-1 ∩R2-1; （4） (A×B)-1= B×A；
4 .5 关系的闭包
•
• (1) (2) (3) • (1) (2) (3)
二 基本性质
定理4.5 设R是A上的二元关系，则 R是自反的 ⇔ r( R )=R； R是对称的 ⇔ s( R )=R； R是传递的 ⇔ t( R )=R； 定理4.6 设R1和R2是A上的二元关系，若R1⊆R2则 r(R1)⊆ r(R2)； s(R1)⊆ s(R2)； t(R1)⊆ t(R2)。
第四章 关系
4.1 二元关系 4.2 关系的性质 4 .3 关系的运算 4 .5 关系的闭包 4.6 等价关系与划分
4.1 二元关系
• 一 定义4.1（二元关系）
设A和B是任意两个集合，A×B的子集R称为从A到 B的二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关系。若 (a, b)∈R，则称a与b有关系R，记为aRb。 (a, b)∉R：a与b没有关系R R=∅：空关系 R=A×B：全关系
二元关系
2
2
则Ｒ1·Ｒ2是由Ａ到Ｃ的二元关系，称为Ｒ1，Ｒ2
Ｒ ＝｛（ａ，ｃ）｜（ａ，ｂ）∈Ｒ ａｎｄ （ｂ，ｃ）∈
3
1
Ｒ｝ 2
记Ｒ3＝Ｒ1·Ｒ2
二元关系的运算
Relation 关系
３．把逆关系也看成是一种运算，那么与其他一些运算的组合可以有一些 结论。设Ｒ，Ｓ是Ａ到Ｂ的二元关系，Ｔ是Ｂ到Ｃ的二元关系，Ｐ是Ｃ到
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
注意，相关性，与指定的规则有关。如：
扑克牌中的方块ｋ与梅花ｋ，以同花关系来说是不相关的，而以 同点关系来说是相关的。
父子二人，以同辈关系来说是不相关的，以父子关系来说是相关 的。
以上例子都是二个对象相关的关系，称为二元关系，多个对
象之间的关系，称多元关系，我们常常把多元关系也化成二
1）（Ｒ∪Ｓ）c＝Ｒc∪Ｓc 2）（Ｒ∩Ｓ）c＝Ｒc∩Ｓc 3 4）（Ｒ－Ｓ）C＝ＲC－ＳC 5）（Ａ×Ｂ）C＝Ｂ×
6） ＝（Ａ× 7）（Ｓ·Ｔ）C＝ＴC·ＳC 8）（Ｒ·Ｔ）·Ｐ＝Ｒ·（Ｔ· 9）（Ｒ∪Ｓ）·Ｔ＝Ｒ·Ｔ∪Ｓ· 但：Ｓ·Ｔ≠Ｔ·
二元关系的运算
Relation 关系
二元关系的运算
Relation 关系
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
对不同的Ａ与Ｂ，在不少情况下，可以把Ａ∪Ｂ看成某
一有意义的集合，若Ｃ＝Ａ∪Ｂ，那么Ａ到Ｂ的二元关系可
以看成是Ｃ上的二元关系。
如：Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ／ｂ，ａ，ｂ∈Ｎ｝是自然数集Ｎ上
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
若（ａ，ｂ），（ｂ，ｃ）∈Ｒ，则（a，ｃ）∈Ｒ，称这样 的Ｒ为传递的二元关系(Transitive relation)。 此Ｒ的相关矩阵满足（）∨＝１
二元关系ppt
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6 2023/9/6
第四节 关系的性质
本节我们讨论关系的一些常见性质，主要内 容是:
1.给出了关系的自反性、对称性、反对称性、 传递性的定义;
2.给出了关系的自反性、对称性、反对称性、 传递性等在关系矩阵及关系图上的反应，其 中用关系矩阵及关系图来判断传递性较为困 难;
3.讨论了关系的各种运算对上述特性的影响.
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7 2023/9/6
第五节 关系的闭包(1)
我们希望某个关系具有比较好的性质，比如我 们希望它具有自反性，对称性，传递性.但如 果该关系又不具有上述性质，那么我们就要对 该关系进行适当的改造，即在该关系中适当添 加一些元素得到一个新的关系，使这个新关系 具有我们需要的性质，同时新关系与原来的关 系不要相差得太多，这样就要求我们添加的元 素既要使新关系满足要求又要尽可能地少添加 元素.通过适当添加元素来扩充原关系,使得到 的具有我们需要的性质的新关系称为原关系的 闭包，我们通常考虑关系的三种闭包，即自反 闭包，对称闭包，传递闭包.
第七节 偏序关系
数的大小，集合中元素的排列次序，计算机程 序的执行顺序等都牵涉到次序关系，这些在数 学上都表现为序关系的研究,本节主要内容有:
1.具有自反性、反对称性、传递性的关系称为偏 序关系;
2.偏序关系的简化关系图—哈斯图,哈斯图与原 图的关系是一种压缩与解压缩的关系;
3.由两个偏序关系构造新的偏序关系方法(如书 中定理2.7.1);
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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5 2023/9/6
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
7.2二元关系_关系运算
R1＝R0 R＝IA R＝R
给定A上的关系R和自然数n，怎样计算Rn呢？
若n是0或1，结果是很简单的。下面考虑n≥2的情况。
◦ 如果R是用集合表达式给出的，可以通过n-1次右复合计算得 到Rn。
◦ 如果R是用关系矩阵M给出的，则Rn的关系矩阵是Mn，即n个 矩阵M之积。与普通矩阵乘法不同的是，其中的相加是逻辑 加，即
解答
0 1 0 0
M 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0
M0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 1 0 00 1 0 0 1 0 1 0
M2 1 0 1 01 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0
(2)任取<x,y>，
证明
<x,y>∈(FG)-1
<y,x>∈FG
t(<y,t>∈F∧<t,x>∈G)
t(<t,y>∈F-1∧<x,t>∈G-1)
<x,y>∈G-1 F-1
定理7.3 设R为A上的关系，则 R IA＝IA R＝R
证明 (1)任取<x,y>， <x,y>∈ R IA
<x,y>∈R
1+1＝1，1+0＝0+1＝1，0+0＝0
◦ 如果R是用关系图G给出的，可以直接由图G得到Rn的关系图 G从到‘。xxij出的G’发边的经。顶过当点n把集步所与长有G的相这路同样径。的到考边达察都顶G找的点到每x以j，个后则顶，在点就Gx得‘i，中到如加图果一G在条'。G从中xi
二元关系的矩阵表示法
既然二元关系,R A B R ∈⨯就是直积()A B ⨯的一个子集。
当A 和B 是离散论域上的集合时，直积A B ⨯可用矩阵表示，它的元素就是由A 的元素和B 的元素无条件“搭配组合”而成的所有序对。
而二元关系R 的元素，则是直积A B ⨯中满足某种设定限制或约束条件的元素对。
凡满足约束条件的元素对，取值为1，否则为0。
根据这一分析，借助“矩阵论”理论，可分三步构建出表示二元关系R 的矩阵。
第一步，先对代表集合的矩阵A 进行“按行拉直”运算，记作A 。
设()ij m nA a ⨯=，则称下述m n ⨯维列向量为矩阵A 的按行拉直：()1112121,,,,,,,,,Tn n m mn A a a a a a a =即先将A 逐行连接成一个行矩阵（行向量)，再转置成为列矩阵（列向量)。
例如：设123456A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则()1,2,3,4,5,6T A =；设789B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（列阵），则789B B ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦；设()135C =（行阵），则135T C C ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
可见，任何一个矩阵“按行拉直”后，就都成为一个列矩阵（列向量）。
第二步，对A 和B 进行无约束条件的“ 搭配组合”运算A B ⊕，构成直积A B ⨯。
A B ⊕的运算跟普通矩阵乘法过程一样，只是将元素间的“乘”改为“搭配组合”，从而构成序对。
例如，已知：{}12,,,m A a a a =，{}12,,,n B b b b =，则：[]()()()()()()()()()1111212212221212,,,,,,,,,n n n m m m m n a a b a b a b a a b a b a b A B A B b b b a a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯=⊕=⊕=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦第三步，求出满足约束条件的二元关系R 矩阵。
若某个二元关系R A B ∈⨯，则可由直积A B ⨯中满足某种条件的元素构成R 矩阵。
离散数学之3—二元关系
R10={(1,1)}
既对称, 也反对称。 R9={(1,2), (2,1), (1,4)} 既不是对称, 也不是反对称。
5。如果(x, y) R (y, z) R (x, z) R, 就说 R是A上的一个传递关系。 例：设A={a, b, c}， S1 ={ (a, c), (a, b), (b, b), (c, b), (c, c) }, S2 ={ (a, a), (b, a), (b, c), (c, b), (c, c) }, S3 ={ (a, c), (a, b) }, 则 S1, S3 都是传递的, 而 S2 不是传递的。
(a, c) (R T) (S T)。
⑵ (a, c) (R S) T
( b)[ bA (a, b) R S (b, c) T ] ( b)[ bA ( (a, b) R (a, b)S ) (b, c)T ] ( b)[ bA (a, b) R ( b, c)T ) ] ( b)[ bA
R = { (a, a), (a, c), (b, a), (b, b), (c, b), (c, c) }, S = { (a, a), (a, c), (b, a), (b, c), (c, b), (c, c) }, 则 R S ={ (a, a), (a, c), (b, a), (b, c), (b, b), (c, b), (c, c) },
那么，详细写出即是 R={(2, 4), (5, 25), (2, 1), (5, 4)}。
例 2：设A={2，3，4，5，6，8}，定义A到自身的一 个
二元关系为 MOD3={(a, b)a, bA (a b(mod 3))}，
那么，MOD3={(2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (8, 8),
02-第4讲：二元关系
表示方法
1 集合表示法 （前已使用） 2 关系矩阵法（从有穷集A到有穷集B的关系） 3 关系图（有穷集A上的关系）源自基本概念定义4.4
设两个有穷集A={x1, x2, …, xm}，
B={y1, y2, …, yn}，R A×B。
则对应于二元关系R有一个关系矩阵:
MR=(rij)m×n，其中
rij
离散数 学罗 元 勋 博 士
厦门大学数学科学学院
第4讲 二元关系
基本概念
定义4.1
二元关系 如果一个集合为空集或者它的每个元素都是有 序对，则称这个集合是一个二元关系，一般记 作R。二元关系也可简称关系。
对于二元关系R， 如果<x,y>∈R，则记作xRy；
如果<x,y>R，则记作xRy。
基本概念
基本概念
定义4.3
对任何集合A： EA＝{<x,y>｜x∈A∧y∈A}＝A×A， IA＝{<x,x>｜x∈A}。
例子
例4.1 设A＝{a,b}，请写出P(A)上的包含关系R 。 解：P(A)＝{,{a},{b},A}。 R ＝{<,>,<,{a}>,<,{b}>, <,A>,<{a},{a}>,<{a},A>, <{b},{b}>,<{b},A>,<A,A>}。
定义4.2
设A,B为集合，A×B的任何子集所定义的 二元关系称作从A到B的二元关系。特别 当A＝B时，则叫做A上的二元关系。
基本性质
思考
有穷集A上有多少个不同的二元关系?
若|A|=n
则|A×A|=n2 |P(A×A)|=2n2
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二元关系的矩阵和图表示
两个事物之间的关系称之为二元关系。
在数学上，二元关系指的是这样的一个集合S，它的所有元素都为二元有序对。
它反映的是有序对中第一个元素组成的集合与第二个元素组成的集合之间的关系。
举个例子，集合S={<天秤座,libra>,<狮子座,leo>}就表示了中文集合{天秤座,狮子座}与英文集合{libra,leo}之间的对应关系。
二元关系可以用集合表示，就像我们上面提到的。
而除此之外，还可以用其他数学工具来描述它——矩阵和图。
矩阵的基本元素是数字及其所处的位置。
直觉上，我们很自然的想到用它的下标来体现两个集合中的元素，用数字体现它们是否具有关系。
这便得出了以下定义：【定义】设集合A={x1,x2,…,x m},B={y1,y2,…,y n}，R为A,B之间的二元关系。
称矩阵M(R)=(r ij)m×n为R的关系矩阵，其中
这样我们定义了一个映射，把集合R映射为一个矩阵M。
如此定义，首先保证了R的集合表达式和R的关系矩阵是一一对应的。
其次，这样的定义会带来很多好的性质。
我们可以应用矩阵的语言把整个二元关系的理论重新叙述一遍：(1)关系R的逆，记作R-1，表示的是集合{<x,y>|<y,x>εR}，我们有
M(R-1)=(M(R))T
这样，我们求关系的逆就转化为了求一个矩阵的转置矩阵。
(2)两个关系的合成(复合)，记作R2•R1,表示的是集合
为了用矩阵表示关系的合成，我们可以定义{0,1}中元素的加法为逻辑加法
(0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1)，于是便有
M(R2•R1)=M(R1)•M(R2)
这样，关系的合成这一运算就转化为了矩阵的相乘。
(3)同理，R在D上的限制就等价于找M(R)中相应行中为1的元素；D在R下的
象就等价于M(R)中相应行为1的元素的列坐标。
(4)关系R是单根的，指的是对任意的yεranB,存在唯一的xεdomR，使得<x,y>εR。
这意味着M(R)的每一列有且仅有一个1
(5)关系R是单值的，指的是对任意的xεdomR,存在唯一的yεranB，使得<x,y>εR。
这意味着M(R)的每一行有且仅有一个1
特殊的，集合A上的二元关系R指的是A×A={<x,y>|xεA,yεA}。
这样像前面第二条性质就有M(R2)=(M(R))2
(1)自反的二元关系R相应的关系矩阵主对角线元素都为1
(2)反自反的二元关系R相应的关系矩阵主对角线元素都为0
(3)对称的二元关系R相应的关系矩阵也是对称的
(4)反对称的二元关系R相应的关系矩阵也是反对称的(这里定义1的反为0)
(5)对传递的二元关系R，相应的关系矩阵R中若r ij=1,r jk=1，则r ik=1
(以上黑体字的定义有不熟悉的请查阅wiki)
等价关系R(同时具有自反，对称，传递性质的二元关系)可以确定集合A上的一个划分，那么如何从关系矩阵中找出相应的等价类？(如下图)
如何用图来表示等价关系呢？由于关系中的元素是有序对，直觉上，我们很自然的想到用有向图。
于是定义如下：
【定义】设集合A={x1,x2,…,x m},B={y1,y2,…,y n}，R为A,B之间的二元关系。
以A,B中的元素为顶点，若<x i,y j>εR，则从顶点x i向y j引有向边，称所画出的图
G(R)为R的关系图。
这样，我们就可以用图论的语言把整个二元关系的理论重新叙述一遍：
(1)R的逆：只需把图中的箭头反向
(2)两个关系的合成：通过过渡集合把两个图拼接为一个图，然后把长为2的有
向通路变为起点指向终点的长为1的有向通路
(3)R在D上的限制就等价于找G(R)中起点包含在集合D中的部分；D在R下的象就等价于G(R)中包含在集合D中的起点所指向的终点
(4)关系R是单根的，指B中顶点的入度均为1
(5)关系R是单值的，指A中顶点的出度均为1
特殊的，集合A上的二元关系R对应的关系图将为多重图(有重边和环的出现)。
(1)自反的二元关系R相应的关系图每个顶点处都有环
(2)反自反的二元关系R相应的关系图每个顶点处都无环
(3)对称的二元关系R相应的关系图中两个顶点间如果存在有向边，必有两条反向的有向边
(4)反对称的二元关系R相应的关系图中两个顶点间的有向边必是单重的
(5)对传递的二元关系R，相应的关系图中长度为2的有向通路的起点和终点间必存在由起点指向终点的有向线段
如何从关系图中找出一个等价关系所确定的划分？
对于二元关系中的其他一些理论(如闭包和序关系)，用关系矩阵和关系图描述一下试试。
我们经常把一件事物抽象为数学模型来表达。
有时换一种数学工具可能在处理某些运算时给我们带来方便。
用不同的工具思考，能更深刻的理解数学各个分支之间的联系。
参考资料：《集合论与图论》耿素云。