《高等数学》(北大第二版)第10章习题课

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《高等数学》第十章习题课

2 x2 y2 a2
4
2d 2a2
x2 y2 a2
原式 a4 2 a2.
4
4
例 2 计算 I x ln( y 1 y2 )dxdy，其中，D由 y 4 x2，
D
y 3x，x 1所围成(如图所示).
y
y 4 x2
解：令 f (x, y) x ln( y 1 y2 )，
e z dv 2 ezdv
上
1
2 [
dxdy]e z dz
0
D(z)
2 1 (1 z2 )e zdz 2. 0
18
解 x2 y2 d
D
a(1cos )
2 2 d
0
a
r rdr
2
2 a3[(1 cos )3 1]d
30
a3 ( 22 ).
92
17
例：计算 e z dv，：x2 y2 z2 1.
解被积函数仅为z 的函数，截面 D(z) 为圆域 x2 y2 1 z2，故采用＂先二后一＂法．
D
x2d
y2
2
dx
1
xx 2
1 x
y2
dy
D
2
(
1
x2 y
)
x 1 x
dx
2
(
x3
x)dx
9
.
1
4
13
例计算 y x2 d，其中，D：1 x 1，0 y 1.
D
解先去掉绝对值符号，如图
y x2 d
D
D1
( x2 y)d ( y x2 )d
D1 D2
D3
1
x2
1
1
dx ( x2 y)dy dx ( y x2 )dy

大一下册高数习题册答案第10章

重积分§ 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值dxdy y x I D⎰⎰+=22 其中D 为：422≤+y x( dxdy y x I D⎰⎰+=22=πππ3162.4..312.4.=-) 2、设D 为圆域,0,222>≤+a a y x 若积分dxdy y x a D⎰⎰--222=12π，求a 的值。

解：dxdy y x a D⎰⎰--222=3.34.21a π 81=a3、设D 由圆,2)1()2(22围成=-+-y x 求⎰⎰Ddxdy 3解：由于D 的面积为π2, 故⎰⎰Ddxdy 3=π64、设D ：}10,53|),{(≤≤≤≤y x y x ，⎰⎰⎰⎰+=+=DDdxdy y x I dxdy y x I 221)][ln(,)ln(，比较1I , 与2I 的大小关系解：在D 上，)ln(y x +≤ 2)][ln(y x +,故1I ≤2I5、设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 ,122=+y x 和曲面2)]([xy f z =所围的立体的体积，可用二重积分表示为⎰⎰≤+=1:222)]([y x D dxdy xy f V6、根据二重积分的性质估计下列积分的值⎰⎰Dydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0,0:(≤0⎰⎰Dydxdy x 22sin sin 2π≤)7、设f(x,y)为有界闭区域D ：222a y x ≤+上的连续函数，求 ⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π解：利用积分中值定理及连续性有)0,0(),(lim ),(1lim820f f dxdy y x f a a D a ==→→⎰⎰ηξπ§ 2 二重积分的计算法1、设⎰⎰+=Ddxdy y xI 1，其中D 是由抛物线12+=x y 与直线y=2x ，x=0所围成的区域，则I=（）A ： 212ln 3ln 87+-- B ： 212ln 3ln 89-+C ： 212ln 3ln 89-- D ： 412ln 3ln 89--2、设D 是由不等式1≤+y x 所确定的有界区域，则二重积分⎰⎰+Ddxdy y x )(为（）A ：0B ： 31C ：32D ： 13、设D 是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分 ⎰⎰Dxy dxdy ye 为（）A ：e e e 212124-- B ：21242121e e e e -+-C ：e e 21214+ D ：2421e e -4、设f(x,y)是连续函数，则二次积分dy y x f dx x x ⎰⎰++-2111),(为（）A dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰----+112111102),(),( B dx y x f dy y ⎰⎰--1110),(C dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰-----+112111102),(),( D dx y x f dy y ⎰⎰---11202),(5、设有界闭域D 1、D 2关于oy 轴对称，f 是域D=D 1+D 2上的连续函数，则二重积分⎰⎰Ddxdy y x f )(2为（）A ⎰⎰1),(22D dxdy y x f B ⎰⎰22),(4D dxdy y x fC ⎰⎰1),(42D dxdy y x f D⎰⎰22),(21D dxdy y x f 6、设D 1是由ox 轴、oy 轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f 是域D:|x|+|y|≤1上的连续函数，则二重积分⎰⎰Ddxdy y x f )(22为（）A ⎰⎰1),(222D dxdy y x f B ⎰⎰1),(422D dxdy y x fC ⎰⎰1),(822D dxdy y x f D⎰⎰1),(2122D dxdy y x f7、.设f(x,y)为连续函数，则⎰⎰a xdy y x f dx 0),(为( )A ⎰⎰a a ydx y x f dy 0),( B ⎰⎰a yadx y x f dy 0),(C ⎰⎰a y dx y x f dy 0),( D ⎰⎰a xdx y x f dy 0),(8、求 ⎰⎰=Ddxdy yx I 22 ，其中 :D 由x=2,y=x,xy=1所围成. (49)9、设I=⎰⎰31ln 0),(xdy y x f dx ,交换积分次序后I 为：I=⎰⎰31ln 0),(xdy y x f dx =⎰⎰3ln 03),(y edx y x f dy10、改变二次积分的次序： ⎰⎰⎰⎰-+4240200),(),(xx dy y x f dx dy y x f dx = ⎰⎰21221xxdx ydx x11、设 D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} ,求⎰⎰+Dy x dxdy e 的值解：⎰⎰+Dyx dxdy e=⎰⎰⎰⎰-==+121101)1())((e dy e dx e dy edx y xl yx12设 I=⎰⎰--Ddxdy y x R 222,其中D 是由x 2+y 2=Rx 所围城的区域，求I (331R π)13、计算二重积分⎰⎰-+Ddxdy y x |4|22，其中D 是圆域922≤+y x解：⎰⎰-+Ddxdy y x |4|22==-+-⎰⎰⎰⎰rdr r d rdr r d ππθθ2032220202)4()4(241π 14、计算二重积分⎰⎰Dy xdxdy e },m ax{22，其中D={(x,y)| 0≤x ≤1,0≤y ≤1}解： ⎰⎰Dy xdxdy e }22,max{=1101022-=+⎰⎰⎰⎰e dx e d dy e dx yy xx y15、计算二重积分⎰⎰++Ddxdy yx yx 22，D ：.1,122≥+≤+y x y x 解：⎰⎰++D dxdy yx y x 22=24)sin (cos 201sin cos 12πθθθπθθ-=+⎰⎰+rdr r r d§ 3 三重积分1、设Ω是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则⎰⎰⎰Ωxdxdydz 为( )A ⎰⎰⎰--12101y x y xdz d dx B ⎰⎰⎰---2102101y yx xdy dz dxC ⎰⎰⎰---2102101x yx xdz dy dx D ⎰⎰⎰10110xdz dy dx2、设Ω是由曲面x 2+y 2=2z,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(表示为累次积分，I=（）A ⎰⎰⎰120202ρπθρθρρθz)dz ,sin ,cos f(d d B ⎰⎰⎰220202ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d dC ⎰⎰⎰2022202ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d d D ⎰⎰⎰20220dz z),sin ,cos f(d d ρθρθρρθπ3、设Ω是由1222≤++z y x 所确定的有界闭域，求三重积分⎰⎰⎰Ωdv e z ||解：⎰⎰⎰Ωdv e z ||=⎰⎰⎰--≤+111||222)(z y x z dz dxdy e =2⎰=-122)1(ππdz z e z 4、设Ω是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32(1/364)5、设Ω是球域：1222≤++z y x ，求⎰⎰⎰Ω++++++dxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222 (0) 6、计算⎰⎰⎰+Qdxdydz y x )(22 其中Ω为：平面z=2与曲面2222z y x =+所围成的区域 (π564) 7、计算⎰⎰⎰Qzdxdydz x 2其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x 2所围成的闭区域(2/27))8、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求dxdydz z y x f t tz y x t )(1lim 222222240⎰⎰⎰≤++→++π解：dxdydz z y x f tt z y x t ⎰⎰⎰≤++→++222222240(1lim π =)0(')(4limsin )(1lim 42022040f t drr f r dr r r f d d ttt tt ==⎰⎰⎰⎰→→ϕϕθπππ§4 重积分的应用1、(1)、由面积22y x +=2x, 22y x +=4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（）A )2(41+πB )2(21+πC )2(43+π D 2+π(2) 、位于两圆θρsin 2=与θρsin 4=之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( )A (0,35)B (0,36)C (0,37) D (0,38)(3)、由抛物面x y z 422=+和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是（）A (0,0,34)B (0,0,35) C (0,0,45) D (0,0,47)(4)、质量分布均匀(密度为μ)的立方体所占有空间区域:}10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ,该立方体到oz 轴的转动惯量I Z =( )A 31μB 32μC μD 34μ2、求均匀上半球体(半径为R)的质心解：显然质心在z 轴上，故x=y=0,z=⎰⎰⎰Ω=831R zdv V 故质心为(0,0,R 38)4、曲面2213y x z --=将球面25222=++z y x 分割成三部分，由上至下依次记这三部分曲面的面积为 s 1, s 2, s 3, 求s 1:s 2:s 3解：π102559222=--=⎰⎰≤+dxdy y x y x 1S π2025516222=--=⎰⎰≤+dxdy y x y x 3Sπ70=2S5、求曲面xy Rz =包含在圆柱222R y x =+内部的那部分面积解：3)122(2222222R dxdy R y x R R y x π-=++=⎰⎰≤+S6、求圆柱体Rx y x 222≤+包含在抛物面Rz y x 222=+和xoy 平面之间那部分立体的体积解：43)(2132222R dxdy y x R Rx y x π=+=⎰⎰≤+V 第九章自测题一、选择题: （40分） 1、⎰⎰-x dy y x f dx 1010),(=( )A ⎰⎰-1010),(dx y x f dy x B ⎰⎰-xdx y x f dy 1010),( C ⎰⎰11),(dx y x f dy D ⎰⎰-ydx y x f dy 101),(.2、设D 为222a y x ≤+,当=a ( )时,π=--⎰⎰Ddxdy y x a 222. A 1 B 323 C 343 D 321 3、设⎰⎰+=Ddxdy y x I )(22,其中D 由222a y x =+所围成,则I =( B ).A 40220a rdr a d aπθπ=⎰⎰ B 4022021a rdr r d aπθπ=⋅⎰⎰;C 3022032a dr r d a πθπ=⎰⎰ D 402202a adr a d a πθπ=⋅⎰⎰.4、设Ω是由三个坐标面与平面z y x -+2=1所围成的空间区域,则⎰⎰⎰Ωxdxdydz =( ).A481 B 481- C 241 D 241- .5 、设Ω是锥面,0(222222>+=a by a x c z )0,0>>c b 与平面c z y x ===,0,0所围成的空间区域在第一卦限的部分,则⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy=( ). A c b a 22361 B b b a 22361 C a c b 22361D ab c 361.6、计算⎰⎰⎰Ω=zdv I ,1,222=+=Ωz y x z 为围成的立体,则正确的为( )和（）A ⎰⎰⎰=101020zdz rdr d I πθ B ⎰⎰⎰=11020rzdz rdr d I πθC ⎰⎰⎰=11020rrdr dz d I πθ D ⎰⎰⎰=zzrdr d dz I 02010πθ.7、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积=s ( )A π3B π2C π5D π22.8、由直线2,2,2===+y x y x 所围成的质量分布均匀(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量x I =( ).A μ3B μ5C μ4D μ6二、计算下列二重积分:（20分）1、⎰⎰-Dd y x σ)(22,其中D 是闭区域:.0,sin 0π≤≤≤≤x x y (9402-π)2、⎰⎰Dd xyσarctan ,其中D 是由直线0=y 及圆周1,42222=+=+y x y x ,x y =所围成的在第一象限内的闭区域 . (2643π) 3、⎰⎰+-+Dd y x y σ)963(2,其中D 是闭区域:222R y x ≤+ (2494R R ππ+)4、⎰⎰-+Dd y x σ222,其中D :322≤+y x . (.25π) 三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）1、⎰⎰⎰⎰-+yydx y x f dy dx y x f dy 30312010),(),( (⎰⎰-xxdy y x f dx 3220),()2、⎰⎰-+21110),(x xdy y x f dx (⎰⎰⎰⎰-+2220211),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy )3、⎰⎰θθθθ0)sin ,cos (rdr r r f d a (⎰⎰θθθθ0)sin ,cos (rdr r r f d a)四、计算下列三重积分:（15分）1、Ω+⎰⎰⎰Ω,)cos(dxdydz z x y :抛物柱面x y =2,,π=+==z x o z o y 及平面所围成的区域 (21162-π) 2、,)(22⎰⎰⎰Ω+dv z y 其中Ω是由xoy 平面上曲线x y 22=绕x 轴旋转而成的曲面与平面5=x 所围 (π3250) 五、（5分）求平面1=++czb y a x 被三坐标面所割出的有限部分的面积 .(22222221a c c b b a ++)六、（5分）设)(x f 在]1,0[上连续,试证:310101])([61)()()(⎰⎰⎰⎰=dx x f dxdydz z f y f x f x y x 0)0(,)()()()(,)()(1==='=⎰⎰F dx x f t F x f x F dt t f x F x且则=⎰⎰⎰101)()()(x yx dxdydz z f y f x f =-⎰⎰dy x F y F y f dx x f x11)]()()[()(dx x F F x F x F F x f )}()1()()]()1((21){[(2122⎰+--=)1(21)1(61)1(21333F F F -+=)1(613F。

北大版高等数学教材答案

北大版高等数学教材答案第一章极限和连续1.1 从数列的极限到函数的极限1.1.1 数列极限的定义1.1.2 数列极限的性质1.1.3 函数极限的定义1.1.4 函数极限的性质1.1.5 无穷小与无穷大1.2 一元函数的连续性1.2.1 函数连续的定义1.2.2 连续函数的性质1.2.3 闭区间上连续函数的性质1.3 极限存在准则1.3.1 两个重要极限存在准则1.3.2 极限存在准则的应用1.4 函数的间断点1.4.1 第一类间断点1.4.2 第二类间断点1.4.3 间断点的分类1.4.4 间断点与连续性的关系第二章导数与微分2.1 导数的概念与几何意义2.1.1 导数的定义2.1.2 几何意义2.1.3 导数的性质2.2 导数的计算2.2.1 利用导数定义计算2.2.2 导数的四则运算2.2.3 高阶导数2.3 函数的微分与高阶导数2.3.1 函数的微分2.3.2 高阶导数的计算2.4 切线与法线2.4.1 切线的定义2.4.2 切线与导数的关系2.4.3 法线的定义2.4.4 法线与导数的关系2.5 隐函数与参数方程的导数2.5.1 隐函数的导数2.5.2 参数方程的导数2.6 可导与连续函数第三章微分中值定理与导数应用3.1 Rolle定理与Lagrange中值定理3.1.1 Rolle定理的条件与结论3.1.2 Lagrange中值定理的条件与结论3.1.3 多次应用Lagrange中值定理3.2 函数的单调性与极值3.2.1 函数的单调性与单调区间3.2.2 极值的必要条件与充分条件3.2.3 极值的判定和求解3.3 函数图形的描绘3.3.1 函数的对称性3.3.2 函数的周期性3.3.3 函数的凹凸性与拐点3.4 洛必达法则与泰勒展开3.4.1 洛必达法则3.4.2 泰勒展开3.5 导数在自然科学中的应用3.5.1 导数在物理学中的应用3.5.2 导数在生物学中的应用3.5.3 导数在经济学中的应用第四章不定积分4.1 基本积分公式4.1.1 基本积分公式的推导4.1.2 基本积分公式的应用4.2 第一换元法4.2.1 第一换元法的步骤4.2.2 第一换元法的应用4.3 分部积分法4.3.1 分部积分法的推导4.3.2 分部积分法的应用4.4 第二换元法4.4.1 第二换元法的步骤4.4.2 第二换元法的应用4.5 有理函数的积分4.5.1 有理函数的积分的一般步骤4.5.2 有理函数分解的方法4.6 函数的定义积分4.6.1 定义积分的概念4.6.2 定义积分的性质4.7 牛顿—莱布尼茨公式与定积分的应用4.7.1 牛顿—莱布尼茨公式4.7.2 定积分在曲线长度计算中的应用4.7.3 定积分在平面图形的面积计算中的应用第五章定积分5.1 定积分的定义与性质5.1.1 定积分的定义5.1.2 定积分的性质5.2 定积分的计算5.2.1 分割求和法5.2.2 定积分的换元法5.2.3 定积分的分部积分法5.3 定积分的应用5.3.1 定积分在物理学中的应用5.3.2 定积分在几何学中的应用5.3.3 定积分在经济学中的应用5.4 不定积分与定积分之间的关系5.4.1 不定积分与定积分的定义5.4.2 不定积分与定积分的性质5.4.3 不定积分与定积分的计算方式...（以此类推，继续描述后续章节内容）这是根据北大版高等数学教材的章节划分及内容概要，提供了一个大纲结构。

（完整版）高等数学II练习册-第10章答案

（完整版）⾼等数学II练习册-第10章答案习题10-1 ⼆重积分的概念与性质1.根据⼆重积分的性质，⽐较下列积分的⼤⼩：（1）2()D x y d σ+??与3()Dx y d σ+??，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（2）ln()Dx y d σ+??与2[ln()]Dx y d σ+??，其中D 是三⾓形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；2.利⽤⼆重积分的性质估计下列积分的值：（1）22sin sin DI x yd σ=，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；（2）22(49)DI x y d σ=++??，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤.（3）.DI =，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤解 (),f x y =Q 2，在D 上(),f x y 的最⼤值()14M x y ===，最⼩值()11,25m x y ====故0.40.5I ≤≤习题10-2 ⼆重积分的计算法1.计算下列⼆重积分：（1）22()Dx y d σ+??，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；（2）cos()Dx x y d σ+??，其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三⾓形闭区域。

2.画出积分区域，并计算下列⼆重积分：（1）x y De d σ+??，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤（2）22()Dxy x d σ+-??，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。

3.化⼆重积分(,)DI f x y d σ=为⼆次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个⼆次积分），其中积分区域D 是：（1）由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；（2）由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域。

高等数学第十章答案

高等数学第十章答案【篇一：高等数学2第十章答案_62010】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值1m?11?x?y?0?，最小值m???x?1,y?2? 45故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）22(x?y)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；??d（2）??xcos(x?y)d?，其中d是顶点分别为(0,0)，(?,0)和(?,?)的三角形闭区域。

d2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）x?ye??d?，其中d?{(x,y)||x|?y?1}d2（2）??(xd2?y2?x)d?，其中d是由直线y?2，y?x及y?2x所围成的闭区域。

3.化二重积分i???f(x,y)d?为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次d积分），其中积分区域d是：2（1）由直线y?x及抛物线y?4x所围成的闭区域；（2）由直线y?x，x?2及双曲线y?1(x?0)所围成的闭区域。

x34.求由曲面z?x2?2y2及z?6?2x2?y2所围成的立体的体积。

5.画出积分区域，把积分22其中积分区域d是： ??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分， d（1）{(x,y)|x?y?2x}；4（2）{(x,y)|0?y?1?x,0?x?1}6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）?2dxxfdy；5【篇二：高等数学课后习题答案第十章】重积分性质，比较??dln(x?y)d?与??d[ln(x?y)]d?2的大小，其中：（1）d表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）d表示矩形区域{(x,y)|3?x?5,0?y?2}.解：（1）区域d如图10-1所示，由于区域d夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-11?x?y?2从而0?lnx(?y?)12故有ln(x?y)?[lnx(?y )]d所以 ??ln(x?y)?d???[lxn?(y2?)]d时，有（2）区域d如图10-2所示.显然，当(x,y)?dx?y?3.图10-2 从而 ln(x+y)1 故有ln(x?y)?[lnx(?y )]d2??所以（1）（2）（3）ln(x?y)?d???d[lxn?(y2?)]d2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： i?i?i???????d?,d?{(x,y)|0?x?2,0?y?2}22;;d(x,y)?d0?y?2时，有0?x?2,2222.解：（1）因为当因而0?xy?4.从而2??2d??故??即而d??d????d?2??d??d??d??d?d??dd???得8???d2??2(2) 因为0?sinx?1,0?siny?1，从而 220?sinxsiny?1故即??d0d????dsinxsinyd??222??d1d?0???dsinxsinyd????dd???2所以0???d22222（3）因为当2(x,y)?d20?x?y?4所以时，229?x?4y?9?4(x?y)?9?25故 ??即d9d??2??d(x?4y?9)d??222??d25d?9????d(x?4y?9)d??25?2所以??d223. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：??（1）（2）d(a??,d?{(x,y)|x?y?a};d?{(x,y)|x?y?a}.222222??d?,(a?解：（1）??d?,在几何上表示以d为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以d(a???133??（2）d?在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故??d??233lim4. 设f(x，y)为连续函数，求2r?0??df(x,y)d?,d?{(x,y)|(x?x0)?(y?y0)?r}222.解：因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，?(?,?)?d,使得??d2(?,?)?(x0,y0),又由于d是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当r?0时，lim2r?0??df(x,y)d??lim2r?0r?02于是：5. 画出积分区域，把（1）(?,?)?(x0,y0)limf(?,?)?f(x0,y0)??df(x,y)d?化为累次积分：;d?{(x,y)|x?y?1,y?x?1,y?0}2(2)d?{(x,y)|y?x?2,x?y}2xd?{(x,y)|y?(3),y?2x,x?2}解：（1）区域d如图10-3所示，d亦可表示为y?1?x?1?y,0?y?1.??所以2df(x,y)d???10dy?1?yy?1f(x,y)dx(2) 区域d如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域d可表示为y?x?y?2,?1?y?2图10-3 图10-4??所以df(x,y)d???2?1dy?y?2y2f(x,y)dxy?（3）区域d如图10-5所示，直线y=2x与曲线 2x的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线 y?2x与2x=2的交点为（2，1），区域d可表示为x ?y?2x,1?x?2.图10-5??所以df(x,y)d???21dx?2f(x,y)dyx2x.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序： ?（1）?(3)1020dy?2yyf(x,y)dx; (2) ?edx?lnx0f(x,y)dy;dy3?2yf(x,y)dx; (4)33?y0?dx?sinx?sinx2f(x,y)dy;(5) ?1dy?2y0f(x,y)dy??1dy?f(x,y)dx.0?y?2,解：（1）相应二重保健的积分区域为d：y?x?2y.如图10-6所示.2图10-60?x?4,d亦可表示为：202yy2x24所以?dy?f(x,y)dx??dxxf(x,y)dy.2(2) 相应二重积分的积分区域d： 1?x?e,0?y?lnx.如图10-7所示.图10-70?y?1,d亦可表示为：e?x?e, 10y所以?e1dx?lnx0f(x,y)dy??dy?eeyf(x,y)dx(3) 相应二重积分的积分区域d 为：0?y?1,?x?3?2y,如图10-8所示.图10-8d亦可看成d1与d2的和，其中 0?x?1,d1：1?x?3,d2：103?2y0?y?x, 0?y?12(3?x).10x022?所以dyf(x,y)dx??dx?f(x,y)dy??311dx?x220(3?x)f(x,y)dy.(4) 相应二重积分的积分区域d为：?sin?y?sinx.如图10-9所示.图10-9d亦可看成由d1与d2两部分之和，其中 d1：d2：?1?y?0,0?y?1,【篇三：高等数学第十章测试练习】基础练习题一、选择题（共5题，每题4分，共20分）1.下列方程中，是一阶齐次微分方程的为（ b ） a．xy?ylny b. y? yydy(1?ln) c．y?2y d．?10x?y xxdx2.一阶线性微分方程y?p(x)y?q(x)的积分因子为（ a ） a．e?p(x)dxb.??p(x)dxp(x)dx c． d．??p(x)dx e?3.微分方程y?6y?9y?0的通解为（ b ） a．(c2?c1x)e b.(c2?c1x)e?3xc．(c2?x)e1 d．(c2?c1x)ecx3x4.下列方程中，线性微分方程有（ c ） a．y?yy(1?ln)b.yy?(y)2 xxc．y?8y?25y?0 d．(1?y2)dx?(arctany?x)dy5.设y1,y2是ay?by?cy?f(x)的两个特解，则下列说法正确的是（ c ） a．y1?y2仍为该方程的特解b.y1?y2仍为该方程的特解c．y?y1?y2?y1为该方程的特解d． y?c1y1?c2y2为该方程的通解二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 1.设曲线上任意点p(x,y)处的切线的斜率为x，且曲线经过点(?2,1)，则该曲线的方程为 yy2?x2?3?0 。

(整理)高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答

第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧；解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。

解故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。

证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分：（1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。

解 :45Lxydx =⎰。

（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。

（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。

高数第10章答案

高等数学（化地生类专业）（下册）姜作廉主编《习题解答》习题102222221.0x 0(3)arcsin ||||0(4)cot ()(n )14(6))x y y yz xy x x z x y x y n x y u r R y z r x y π+>->=≤≠=++≠≤+≤<<++=+2求定义域（1）z=lnxyxy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0且且为正整数（5）定义域为介于x 和2222(,)(,)(,),0.()110,(,)(,),,(1,)(,)(,)(1,),(1,)(),f (,)k k k k k z R z f x y f tx ty t f x y t yF xy t f tx ty t f x y t f f x y x x xy y y f x y x f f F x y x x x x +===≠∀≠======k 之间的空间部分以及球面若函数满足关系式则称该函数为k 次齐次函数。

试证k 次齐次函数z=f(x,y)可以表示为z=x 的形式证：对均有不妨令则即令则222222222()3(,),(,)(,)()(72)4(,,),(,,)(,,)()()5(,)tan ,(,)(,)()()tan(tan vx y w u v xy x yF x f u v u f xy x y f xy x y xy P f u v w u w f x y x y xy f x y x y xy x y xy xf x y x y xy f tx ty yxf tx ty tx ty t xy yxt x y xy y ++=++==++-+-=++=+-=+-=+-得证已知求解：已知求解：已知求解：0000002)61)2cos (2)lim123cos 123lim cos cos lim 1123lim(123)sin (3)limx y x x y y x x y x x xy x o y x y x y e y x y y x y e ye y x y x y xy →→→→→→→→→→→→→→→→==++++==++++x 求下列极限（1）解：解：由e 与在（0,0）连续则原式=00222200sin lim1lim 2ln(1)(4)lim x x y y x y x xyy y xy x y x y →→→→→→===+++解：2222222200000000y 00ln(1)lim lim 17lim )0(0,0)1ii (0,0).2x x y y x y x x y x y x y x y x y x y i y →→→→→→→→→→+++===++=+==解：试问解：沿趋于原极限=0x ）沿y=趋于原极限，由于沿不同的路径趋于x-1（0,0）极限值不等，故原极限不存在。

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习题课重积分的计算及应用
一、重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用
1
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例1 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
解: 利用极坐标
D
:
0
2
r
R
2
cos
原式
y r R cos
o D Rx
2 R3
2 (1 sin3 ) d
y
r
sin
,
dv rdrddz,
z z.
f (x, y, z)dv f (r cos, r sin , z)rdrddz.
14
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xoy平面上曲线
其中是由
计算三重积分
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
所围成的闭区域 .
提示:
xx
利用柱坐标
y r cos
z r sin
例. 计算三重积分
c z Dz z
解: :
c zc
Dz
:
x2 a2
y2 b2
1
z2 c2
a
by
x
用“先二后一 ”
z2 d x d y d z 2 c z2 d z d x d y
0
Dz
20c
z
2
ab(1
z c
2 2
)dz
4
15
abc3
20
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例 2 计算三重积分 zdxdydz ，其中为三个
4
dy
6
12 y
y2 (x y)d x
2
dy
4

(整理)北大版高等数学课后习题答案_完整版.

习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p pp q p q pq qp p k p k p k k p k kp p k k q q k q p qpa aa b p a pbb b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证2.证1.2222222,, .,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p aa pk p k pb pk b p b a bx x xx x x x xx x xx x x xX===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x xa b a b a b a b a ba ab b a b b a b b a b a ba b a b b a b b⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+ =++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a lx x x x Xl X a l a l l x a l Xaa nna b a++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n nnn nnn nn n nb b na b a bn b amA A m A a b ABC B A x x bC A x x a B m m Cb a m m--+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合=若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10nn nna b a bmn b a A m<-=∈Z,此与的选取矛盾.设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题. 8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,(2)0x ax a x a x a x ax aa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当时从而求下列极限证3.:20022222000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nnnx y y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-10110010010100101lim 0.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0, , .(14)lim x m m m mnn n x n n m m m n nx nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a ab n m b xb x b m n→∞--→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩=1.=033233030312(1212)5lim(112)55lim.3(112)(16)0,l x x x xx x x x x xx x x x x x x a →→→→-+=++-+-=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+⎛⎫=⎛⎫=+00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin(1)lim lim lim cos .tansin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fax xe eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin3322.(4)lim arctan arctan lim arctan1.114xxx xex xπ→∞→∞====++()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解33332233222 00002.,:(1);(2)0;(3)sin5.()(1)lim(33)lim lim(33)3.(2)lim limlimxx xxxxy ax y p y xa x x axyxx x x x x x xa a x x x x axxyx∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'==∆=根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cos sinsin5()sin522(3)lim lim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim5lim cos lim5522xxx xx x xx x xx x xyx xx x x xx xx→→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2xx=00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln2,(0)ln2,1ln2(-0),(ln2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)xxy f x M x f xy M y x By y y x y xy x y y xy px p M x y x y===+''==-==+ ''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2pF x⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x + 00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:sin sin111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'===+=>⎛⎫'==+==≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=+++++ '=⎡⎤'=+'=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'==+==-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin 811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ=+'=-+'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos)2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。

北大版高等数学课后习题答案_完整版

习题 1.12222222222222222223.33,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p p a a p a b p a pb b b====+=+=++=++======证明为无理数若不是无理数,则为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数证明是无理数设为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||5,(1,5)(5,1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃--+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11n nn n x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a a n n a a b a a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><-<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若显然解(1)证5.:6.120000(1)(1)(1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n n n a b b n a a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m ---+++>-<-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.{2|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=+∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.1(1,)(1)(1)111(1).112113.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).y x x x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x xy y x =+-+∞+-++=+-==<>+++++++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数在内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题 1.4221.-(1)lim(0);(2)lim ;(3)lim ;(4)lim cos cos .|-||-||-|1)0,||,,||,||.,||,||,lim.(2)0x a x ax ax ax ax ax a a x a e e x a x a x a x a x a x a x a ax a x a a a x a x a x a aεδεεεεδεδεε→→→→→=>===∀>-=<<-+-<-<=-<-<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使由于只需取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.m in{,1},||,1|2|1|2|||,lim (3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x a ax a x a x a x a x a x a a a a x a x a x a a a x a x a x a e e e e e eεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln 1,m in{,1},0,||,1|2|lim lim lim 0,|cos cos |2sinsin 2sin sin ||,2222,|,|cos cos x a ax a a x a x a x a x a x a x ae e x a x a e e e a e e e e e e x a x a x a x ax a x a x a x a εεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-< ⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时. ..(4)20|,lim cos cos .2.lim (),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)limlim 2x ax ax x x a f x l a a a a a u f x x a f x l f x f x l l f x l l l M x x εδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当时从而求下列极限证 3.:2002222200002212202lim (1) 1.222sin sin 1cos 11122(2)lim lim lim 1.22221(3)limlim(0).()222(4)lim.22332(5)lim 22x x x x x x x x x x xx x x x x x x x a axa xx x a a ax x x x x x x x →→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪==== ⎪⎪⎝⎭+-==>++---=------- 2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2112(7)limlim 1.(11)13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==++--==++--+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3123(123)(2)(123)(9)limlim 2(2)(2)(123)(28)(2)244lim.63(4)(123)(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x n n nx y y x x x x x x x x x x x x x x x x n n ny y y x y n x y yx →-→→→→→→→∞--==--++-+-+++=--+++-+===-++-+++-+-===- ()22221011001001010*******11lim 0.11(12)lim (0)./,(13)lim (0)0, , .818(14)lim lim 1x m m m mnn n x nn mm m n n x n x x x x x a x a x a a b b x b x b b a b m n a x a x a a b n mb x b x b m n x x →∞--→--→∞→∞→∞+--==++-+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩++=+ 42/ 1.11/x x =+332022333333222333322333322033331312(15)lim(1312)(13131212)lim()(13131212)5lim(1)(13131212)55lim .3(1)(13131212)(16)0,l x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x a →→→→+--++--+++-+-=++++-+-=++++-+-==++++-+-> 22220001im lim ()()1lim ()x a x a x a x a x ax a x a x a x a x a x a x a x a x a x a →+→+→+⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪+-++⎝⎭00()1lim ()11lim .()2x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a a →+→+⎛⎫-=+ ⎪+-++⎝⎭⎛⎫-=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)lim lim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=- 利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2.1cos 2sin2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x x xxx x a x a x a a x a x ak k k e x x x y →+→+→→----→∞→∞→∞→=-===-+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.52222222222221.(1)10(2)sin 5.(1)0,|110|.,1111,||,,|||110|,10555()(2)(1)0,|sin 5sin 5|2|cos ||sin |.22x x x x a x x x x x x x x x x x x x a x a x a εδεεεεδεδεεε-+==∀>+-+=<≤++++<<=<+-+<+=+-∀>-=<试用说法证明在连续在任意一点连续要使由于只需取则当时有故在连续.要使由于证000000555()2|cos ||sin |5||,5||,||,225,|||sin 5sin 5|,sin 55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x a x a x a x a x a x a x x a y f x x f x x x f x f x x f x x x f x εεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000)()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f x f x a b f x a b x a b f x x x f x f x f x f x f x f x f x εδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-< 于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证 220001,,(),()|11,ln(1), 1,1,0,(1)()(2)()arccos , 1. 0;lim ()lim 11(0),lim ()(0)x x x x f x f x x a x x x x f x f x a x x a x x f x x f f x f π→-→-→+⎧=≡⎨-⎩⎧+≥⎧⎪+<==⎨⎨<+≥⎩⎪⎩=+====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)0111122sin 2limsin301.(2)lim ()lim ln(1)ln 2(1),lim ()lim arccos (1)ln 2,ln 2.5.3:11(1)lim coscos lim cos 0 1.(2)lim 2.(3)lim x x x x x x x xx x xx a f x x f f x a x a f a x x x xx x xeeπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-+-+-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin 22sin334422.88(4)lim arctan arctan lim arctan1.114xx x x e x x x x π→∞→∞=++===++22222222()()(ln ())()(5)lim (12)||lim (12)||3||33lim lim .21211/12/6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x x x x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x x x x x x x x x x x x f x a g x b f x a f x e →∞→∞→∞→∞→→→→→⎡⎤+--=+--⎣⎦⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥++-++-⎣⎦⎣⎦=>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.11.21. 212,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩+<+≥-+<++<++>≥-≠+++++=-+==++ 求出满足不等式的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===-- 即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++- 等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求00223,(2);2(2)()0?(3)()2?391(1)(0)[14]14,1467.(2)[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).lim ()12,lim ()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+→+→-⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在处是否连续连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b a n a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝ 类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+ 作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.§2,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭ 定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++== 证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<= 设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证2220011/1112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1(4)lim()lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x x y n n x x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→-→→+=====++++=+==+∞≤≤≥=== 设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++== 故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解333032233222000002.,:(1);(2)2,0;(3)sin 5.()(1)lim(33)lim lim (33)3.2()2(2)lim 2lim(2lim x x x x x x y ax y px p y x a x x ax y xx x x x x x x a a x x x x ax xp x x px x x xy p x xx p ∆→∆→∆→∆→∆→∆→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆+∆-+∆-'==∆∆+∆=根据定义求下列函数的导函数解0000000)()2lim()()212lim.25(2)52cossin sin 5()sin 522(3)limlim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim 5lim cos lim 5522x x x x x x x x x x x x xp x x x x x x x x p p x x x xx x xx x xy x xx x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→-+∆+∆=∆+∆+∆+∆+==+∆++∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆ 5cos5.2x x =00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln 2,(0)ln 2,1ln 2(-0),(ln 2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)x x y f x M x f x y M y x B y y y x y x y x y y x y px p M x y x y ===+''==-==+''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2p F x ⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴200022222222,,().22(),.,2222,.222,.p p py px y M PMN Y y X x yy px p y x N X y X x X x x y p p p p FN x FM x y x pxp p p x px x x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++=+=+=∠=∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解 323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GM g R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+= in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解y =x 21/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()lim xx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f 习题2.2()()()()()()2222222222222221.,:sin (1)(cos )sin ,.(cos )sin .2111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)112,.111121121xx x x x x xx x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x '''=-=-=-'''-=-=-=---'''⎡⎤+=+=⎣⎦+'''⎡⎤+=+++=++⎣⎦+=++下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错332222222()2223.111(4)ln |2sin |(14sin )cos ,.2sin 1ln |2sin |(14sin cos ).2sin 2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin );(2)(),(sin );(3)u g x x x xxx x x x x x x x x x x x f g x f u f x x f x f f x f x d d f x f x dx dx=+=++'⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin )2sin .(2)()()224.(sin )(sin )(sin )2sin cos sin 2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g x f x x f f x x f x x df x f x x x x x dxdf x f x x x x x dxf g x f g x f g x f g x g x ''''''====''===''==='''''= 与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec ,(cos )(cos )(cos )(cos )(sin )tan sec .(3)sin 3cos5,3cos35sin 5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin 33sin x x y y x x x y x y x x x x x x x y x x y x x y x x y x x x x x ---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-= 求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin 3)3sin cos 4.x x x x x x x -=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==524222422222in cos (sin cos ).(8)cos 1,5cos 1(sin 1)15cos 1sin 1.111(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx xy x y x x x x x x xx x y y x x x x ππππππ+=+'=+=+-++++=-+⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-2222222222222224.:111(1)arcsin (0),.111111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos .11111(4)arctan ,.111(5)ar 22xy a y aa a x x a x y a y a a a a a x x a x y x x x y x x xy y x x x xx a y a x '=>==-⎛⎫- ⎪⎝⎭'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=---'===-++=-+ 求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222222222222222222222222222222222222121122211.2(6)ln (0)221112221.2222(7)arcsin ,1x x a y a x a a x x a x a a x a x a x a x x a x x a y x a a a x x a xy x a x a x x a x a x a x a x a x a x a xy x x -'=-++-⎛⎫- ⎪⎝⎭=--+=---++=++>⎛⎫'=++++ ⎪++++⎝⎭=+++=+++=≠±+222222222222222222221.12(1)22112sgn(1)2.(1)11141(1)2(8)arctan tan (0).2211sec 221tan 211sec 2()tan ()cos ()s 22x x x x x y x x x x xx a b x y a b a b a b a b x y a b x a ba b a b x x x a b a b a b a b +---'===+++--+⎛⎫-=>≥ ⎪ ⎪+-⎝⎭-⎛⎫'=⎪-+⎝⎭-++==++-++- 2222222in 21.cos (9)(1)(12)(13),ln ln(1)ln(12)ln(13)123/,2(1)2(12)22(13)3123.2(1)2(12)22(13)314(10)12,.212(11),.(12)x a b x y x x x y x x x y y x x x x x x y y x x x x x x xy x x y x x xy x a y x a =+=+++=+++++'=+++++⎡⎤'=++⎢⎥+++⎣⎦+'=++=++'=+=+2222,.xy a x y a x-'=-=-222222222311(13)ln(),1.21(14)(1)(31)(2).ln ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e x y x x a y x x a x a x ay x x x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'=++=+= ⎪++++⎝⎭=-+-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+ 11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+ 2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?2220()2cos8364sin 8,8sin 8cos8(8)()16sin 8,2364sin 811()8,,,()16.2161616m/s.x t t t t t x t t tt t t x πππππππππαπππ=+--'=-+-'====- 活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1sin (2)(22)sin ,222(3)(1cos )2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x x xy x x x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++=+-=++=-=→=====→=→ 当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.11(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.44422(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫''===+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)5551222113333332220.0010.0011,.2.00127.32.16.1.1632.1621.16/322(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-=+=+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-= 试计算的近似值求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数解0,.x ay y b-'=--。

北大版高等数学课后习题答案_完整版

习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,|,(2)0x ax a x a x a x ax aa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nnnx y y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-1011001001010010120.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0, , .(14)lim lim 1x m m m mnn n x n n m m m n nx nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a ab n m b xb x b m n x --→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩=+21.11/x =+033233223220312(1212)5lim(112)55lim .3(112)(16)0,l x x x xx x x x x x xx x x x x x a →→→→-+=+-+-=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+⎛⎫=⎛⎫=00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)limlim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fae eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin33.(4)lim arctan arctan1.4xxx xeπ→∞→∞====()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解33332233222 00002.,:(1);(2)0;(3)sin5.()(1)lim(33)lim lim(33)3. (2)lim limlimxx xx xxy ax y p y xa x x axyxx x x x x x xa a x x x x axxyx∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'==∆=根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cos sinsin5()sin522(3)lim lim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim5lim cos lim5522xxx xx x xx x xx x xyx xx x x xx xx→→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2xx=00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln2,(0)ln2,1ln2(-0),(ln2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)xxy f x M x f xy M y x By y y x y xy x y y xy px p M x y x y===+''==-==+ ''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2pF x⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=++===≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=++++ '=+⎡⎤'='=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'==+==-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ='=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos)2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。

(完整版)高等代数(北大版)第10章习题参考答案.doc

第十章双线性函数与辛空间1、设 V 是数域 P 上的一个三维线性空间，1，2 ，3 是它的一组基， f 是 V 上的一个线性函数，已知f ( 1+3 )=1,f ( 2 -23 )=-1,f (1+2 )=-3求 f (X 1 1+X 2 2 +X3 3 ).解因为 f 是 V 上线性函数，所以有f ( 1)＋ f ( 3 )=1f ( 2 )-2 f ( 3 )=-1f (1)+f (2 )=-3解此方程组可得f (1)＝ 4， f (2 )＝－ 7， f (3 )＝－ 3于是f (X 11+X2 2+X33 ).＝ X 1 f ( 1)＋ X 2 f (2 )＋X3 f (3 )＝4 X 1 － 7 X 2 － 3 X 32、设 V 及1，2，3 同上题，试找出一个线性函数f ,使f ( 1+ 3 )＝ f ( 2 -2 3 )=0, f (1+2 )=1解设 f 为所求 V 上的线性函数，则由题设有f ( 1)＋ f ( 3 )=0f ( 2 )-2 f ( 3 )=0f (1)+f (2 )=1解此方程组可得f (1) ＝－ 1， f ( 2 )＝ 2， f ( 3 )＝ 1于是a V,当 a 在 V 的给定基 1，2，3 下的坐标表示为a= X 11+X 22+X33 时，就有f (a)=f (X 11+X 22 +X 33 )= X 1 f ( 1) ＋ X 2 f (2 )＋ X3 f (3)=-X 1 +2 X 2 + X 33、1，2，3 是性空 V 的一基， f1,f2,f3是它的偶基，令1＝ 1－3 ， 2＝1＋2－3 ， 3＝2＋3： 1，2，3 是 V 的一基，并求它的偶基。

：（1，2， 3）＝（1，2，3 ）A由已知，得11 0 A ＝ 01 11 1 1因 A ≠0，所以 1， 2， 3 是 V 的一基。

g1,g2,g3 是 1，2，3 得偶基，（ g1,g2,g3）＝（ f1,f2,f3 ）（ A ） 11 1 ＝（ f1,f2,f3 ） 11 2 111因此g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f34. V 是一个性空， f1,f2 , ⋯ fs 是 V * 中非零向量，：∈ V ，使fi() ≠ 0 (i=1,2 ⋯ ,s) ： s 采用数学法。

第十章无穷级数

第十章无穷级数讲授内容：§10-1 常数项级数的概念与性质教学目的与要求：1．数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念. 2．掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.教学重难点：重点——级数收敛与发散概念，尤其是级数收敛的必要条件.难点——用级数收敛性及基本性质判别一些级数收敛性问题.教学方法: 讲授法.教学建议：通过实际的例子（学生原有的知识背景），抽象内容和具体例子的结合，比较自然地引入级数的基本概念；学时：2 教学过程:一．常数项级数的概念1. 定义:设有数列u 1,u 2,…,u n …，称∑∞=1n u n = u 1+u 2+…+u n +…为常数项级数.其中 u n 称为级数的通项(或一般项或第n 项);S n = u 1+u 2+…+u n 称为级数的部分和(或前n 项和); {S n }称为级数的部分和数列. 由部分和数列{S n }的敛散性有: 2. 定义:若∞→n lim S n =s 存在,称级数∑∞=1n u n 收敛,s 称为此级数的和,记为: u 1+u 2+…+u n +…=∑∞=1n u n = s ；否则称此级数发散(或此级数不存在和).当级数收敛于和s 时,称 r n = s －S n =u n+1+u n+2+… 为级数的余项.称|r n |为用S n 代替s 所产生的误差.例1. 讨论等比级数(几何级数)∑∞=0n aq n =a+aq+aq 2+…+aq n+…(a ≠0)的敛散性.解: 当q ≠1时,S n = a+aq+aq 2+…+aq n -1=qaq a n--1 当|q |<1时, ∞→n lim s n =q a -1,所以级数收敛,其和为s=qa -1; 当|q |>1时,级数发散;当q =1时, S n =n a , 级数发散; 当q =－1时,由于S 2n =0,S 2n +1=a (≠0),所以级数发散.综合得:∑∞=0n aq n=⎪⎩⎪⎨⎧≥<-1|| ,1|| ,1q q q a发散例2. 判别级数∑∞=1n )1(1+n n =211∙+321∙+…+)1(1+n n +…的敛散性.解: 由于u n =)1(1+n n =n 1-11+n ,所以,S n =1－11+n →1 于是级数收敛于和1.例3. 讨论调和级数∑∞=11n n 的敛散性.解:假设级数收敛于和s,则有,S n →s,S 2n →s, (n →∞),从而: S n －S 2n →0,(n →∞) 又:S n －S 2n =11+n +21+n +…+n 21≥n 21+n 21+…+n 21=21所以 S n －S 2n 0(n →∞)于是级数发散. 二．收敛级数的性质性质1. 设Σun =s,则Σkun=ks(k为常数)证明:设Σun 和Σkun的部分和分别为Sn和σn,则σn=kSn.由Sn →s,得σn=kSn→ks(n→∞)又当k≠0时,若{Sn }不存在极限,则{Sn}也不存在极限.由此得到:级数的每一项同乘以一个不为零的常数后,它的敛散性不变.性质2. 若Σun =s,Σvn=σ,则Σ(un±vn)=s±σ.证明:设Σun 、Σvn和Σ(un± vn)的部分和分别为Sn、σn和τn,则τn =Sn±σn→s±σ(n→∞).从而得到:两个收敛的级数可以逐项相加和逐项相减.发散的级数不满足此条性质,例如当a≠0时,级数Σa和Σ(－a)都发散,但Σ[a+(－a)]=0.性质3. 在级数中去掉、加上、或改变有限项,级数的敛散性不变.证明:只需证明“在级数的前面部分去掉或加上有限项,不会改变级数的敛散性”,其它情形(即在级数中任意去掉、加上或改变有限项的情形)都可以看成在级数的前面部分先去掉有限项,然后再加上有限项的结果.将级数u1+u2+…+uk+ uk+1+uk+2+…+uk+n+…的前k项去掉,得新级数:uk+1+uk+2+…+uk+n+…设Σun 的部分和为Sn,则新级数的部分和为σn=u k+1+u k+2+…+u k+n=S n+k－S k由于Sk 为常数,所以{σn}和{Sn+k}同时收敛或同时发散.同样可以证明在级数的前面加上有限项,也不会改变级数的敛散性.性质4. (级数收敛的必要条件)若级数Σun收敛,则有un→0(n→∞)证明:设Σu n 的部分和为S n ,且S n →s(n →∞),则u n =S n －S n －1→s －s=0(n →∞)由此可知,若u n 0(n →∞),则级数Σu n 必定发散. 例4、∑∞=+1n 12n 1-n发散，∵ 02112n 1n lim a lim n n n ≠=+-=∞→∞→ 例5、∑∞=-1n n n3n 3 发散，∵ 013n 3lim n nn ≠-=-∞→注意: 当u n →0(n →∞),级数Σu n 也不一定收敛.例如01lim =∞→n n ,但∑∞=11n n是发散的.作业: 高等数学C 类练习册习题56 教学后记:1.常数项级数的基本概念2.基本审敛法(1)由定义,若S n →s 则级数收敛; (2)当u n 0,则级数发散;(3)按基本性质.教学参考书:《高等数学》，第四版，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社《高等数学习题课教程》，张小柔等编，科学出版社《新编高等数学导学》，蔡子华等编，科学出版社《高等数学习题课讲义》，梅顺治等编，科学出版社思考题:设∑∞=1n nb与∑∞=1n nc都收敛，且n n n c a b ≤≤),2,1( =n ，能否推出∑∞=1n na收敛？讲授内容：§10-2 常数项级数的审敛法教学目的与要求：掌握数项级数收敛性的判别方法.教学重难点：重点——正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，数的莱布尼兹判别法，绝对收敛与条件收敛的概念.难点——任意项级数收敛性的判别方法.教学方法:讲授法教学建议：与学生互动，让学生真正理解几种收敛法学时：2教学过程:一．正项级数及其审敛法1.定义:若级数Σun 满足un≥0,则称此级数为正项级数.2.定理1.正项级数收敛的充分必要条件为其部分和数列{Sn}有界.证明:设Σun (un≥0)的部分和数列为{Sn},则显然{Sn}单调上升即有:S1≤S2≤…≤Sn≤….若{Sn}有界,则由单调有界数列必有极限可知,{Sn }必定有极限,从而Σun收敛;若Σun 收敛,则{Sn}必定有极限,由收敛数列必有界可知,数列{Sn}有界.注:若正项级数Σun 发散,则必定有:Sn→∞,（n→∞）定理2.（比较审敛法）设Σun 和Σvn都是正项级数,且un≤vn（n=1,2,…）.1) 若级数Σvn 收敛,则级数Σun也收敛;2) 若级数Σun 发散,则级数Σvn也发散.证明:设Σun 和Σvn的部分和分别为Sn和σn.由un≤vn（n=1,2,…）可知:Sn=u1+u2+…+un≤σn=v1+v2+…+vn,1) 若级数Σvn 收敛,则{σn}有界,从而{Sn}有界,所以级数Σun收敛;2)若级数Σun 发散,则级数Σvn也发散.因为若级数Σvn 收敛,则级数Σun也收敛;与假设矛盾.推论1. 设Σu n 和Σv n 都是正项级数:1)若级数Σv n 收敛,且存在自然数N,使当n ≥N 时有u n ≤kv n (k>0)成立,则级数Σu n 收敛;2)若级数Σv n 发散,且当n ≥N 时有u n ≥kv n (k>0)成立,则级数Σu n 发散. 例1.讨论p —级数∑∞=11n pn的敛散性,其中常数p >0. 解: 当p ≤1时,由于1/n p≥1/n ,而∑∞=11n n 发散,所以∑∞=11n p n 发散; 当p >1时,因为当n －1≤x ≤n 时,有p p x n 11≤,所以p n 1=⎰-n n pdx n 11≤⎰-nn p dx x 11=11-p ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----111)1(1p p n n (n =2,3,…) 但正项级数∑∞=2n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----111)1(1p p n n 的部分和为:S n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--1211p +⎥⎦⎤⎢⎣⎡---113121p p +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡----111)1(1p p n n =1-1)1(1-+p n →1(n →∞)所以∑∞=11n p n 收敛. 即当p ≤1时, ∑∞=11n p n发散; 当p >1时,∑∞=11n pn收敛.由此得到与p —级数相比较的: 推论2. 设Σu n 是正项级数:1) 若有p>1,使u n ≤1/n p (n=1,2,…)则Σu n 收敛; 2) 若u n ≥1/n p (n=1,2,…) 则Σu n 发散. 例2.判别下列级数的敛散性:1)∑∞=+-+12121)1(n n n n n解:由于2121)1(+-+n n n n < 11+-n n n n =21n ,而∑∞=121n n收敛,所以原级数收敛.2)∑⎰∞=+1121n n dx xx解:由于dx x x n ⎰+1021<dx x n⎰10<⎰n dx n 101=231n ,而∑∞=12/31n n收敛, 所以原级数收敛. 3)∑∞=++1211n n n 解:由于:112++n n >n n n ++21=n 1(n ≥2)而∑∞=11n n发散,所以原级数发散.定理3.（比较审敛法的极限形式）设Σu n 和Σv n 都是正项级数,若∞→n limnnv u =l （0<l <+∞）则级数Σu n 和级数Σv n 同时收敛或同时发散. 证明:设ε= l/2,由∞→n limnnv u =l 可知:存在自然数N,当n ＞N 时有: l-2l <n nv u <l+2l , ⇒ 2l v n <u n <23l 由比较法的推论1可知:级数Σu n 和级数Σv n 同时收敛或同时发散. 注:（特殊情形）1) 当l =0时,若级数Σv n 收敛,则级数Σu n 收敛; 2) 当l =+∞时,若级数Σv n 发散,则级数Σu n 发散; 例3.判别下列级数的敛散性1）n nn pπsin 11∑∞= 解: 因为1sin 1lim+∞→p p n n nn ππ=nnn ππsinlim ∞→=1所以n nn p πsin 11∑∞=与∑∞=+11n p n π具有相同的敛散性.又∑∞=+11n p nπ当p >0时收敛, 当p ≤0是发散,所以nnn pπsin11∑∞= 当p >0时收敛, 当p ≤0是发散.2）∑∞=++-+112ln)1(n n n n n 解: 因为∞→n lim 2/3112ln)1(n n n n n ++-+=nn n n n n ++++∞→112lnlim 2/3 =111)111ln(1111lim++++++∞→n n n n nn 所以原级数收敛. 3）∑∞=11n nnn解:因为11lim 11lim==∞→∞→n n n n nn n n ,所以原级数收敛.或n n =n n n1111个-∙∙∙<n n n 1)1(∙-+=nn 12-<2.所以n nn 1>n21 定理4.(比值判别法)若正项级数Σu n 的后项与前项之比值的极限等于ρ, 即:∞→n limnn u u 1+=ρ, 则1) 当ρ＜1时,级数收敛;2) 当ρ＞1(或ρ=+∞)时,级数发散; 3) 当ρ=1时,级数可能收敛也可能发散.证明:1) 当ρ＜1时,取正数ε,使ρ+ε=r ＜1,由∞→n limnn u u 1+=ρ知: 存在正数N,当n ≥N 时,有 nn u u 1+＜ρ+ε=r , 即u n +1＜ru n ,从而:u N+1＜ru N ,u N+2＜ru N+1＜r 2u N ,…,u n ＜r n -N u N ,…由于等比级数:ru N +r 2u N +…+r n -N u N +…收敛 (|r|<1) 所以由比较法可知级数u N+1+u N+2+…+u n +…收敛.从而Σu n 收敛.2）当ρ>1时,取正数ε,使ρ-ε=l >1,由∞→n limnn u u 1+=ρ知: 存在正数N,当n ≥N 时,有 nn u u 1+>ρ-ε=l , 即u n +1>lu n >u n从而当n ≥N 时{u n }单调增加. 所以u n0,(n →∞)[事实上u n →∞,当n →∞]于是级数Σu n 发散.3）当ρ=1时,Σu n 可能收敛,也可能发散.例如:p —级数:∑∞=11n p n对于∀p,有:nn n u u 1lim +∞→11)1(1lim=+=∞→pp n n n , 但当p>1时级数收敛,当p ≤1时级数发散.注: 当用比值判别法判断级数发散时,由定理的证明中可以看出,级数通项u n →∞,n →∞.例4.判别下列级数的收敛性:1）∑∞=+123tan)1(n nn π解: ∵nn n u u 1lim+∞→=n n n n n 3tan )1(3tan )2(lim 212ππ+++∞→=31<1, ∴ 级数收敛.2）∑∞=1!22n nn解:∵nn n u u 1lim +∞→=!2)!1(2lim22)1(n n nn n ++∞→=142lim +∙∞→n n n =+∞, ∴级数发散. 3）∑∞=++++++1)1()12)(1()1()12)(1(n nb b b na a a (a ＞0,b ＞0) 解:∵nn n u u 1lim+∞→=1)1(1)1(lim ++++∞→b n a n n =b a∴ 当a ＜b 时,级数收敛;当a ＞b 时,级数发散; 当a =b 时,有u n =1,级数发散. 4）∑∞=∙-12)12(1n nn 解:由于nn n u u 1lim+∞→=1,所以不能用比值法判断.∵212)12(1nn n <∙-∴级数收敛.二.交错级数及其审敛法1. 定义: 称∑∞=--11)1(n n n u =u 1-u 2+u 3-u 4+…+(-1)n -1u n +…(u n ＞0)或∑∞=-1)1(n nnu =-u 1+u 2-u 3+u 4-…+(-1)n u n +… (u n ＞0)为交错级数.2．定理5.(莱布尼茨(Leibniz)定理) 如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足条件:1) u n ≥u n +1(n =1,2,…); 2) n n u ∞→lim =0则级数收敛,且其和s ≤u 1,其余项的绝对值满足:|r n |≤u n +1. 证明:设级数的部分和为S n ,则S 2n =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)+…+(u 2n －1-u 2n ) （1） S 2n = u 1-(u 2-u 3)-…-(u 2n －2-u 2n －1)-u 2n（2）由条件1）可知:（1）、（2）两式中括号内两数的差都是非负的,于是由（1）知: {S 2n }单调上升,且S 2n ≥0;由（2）知: S 2n ≤u 1;根据单调有界数列必有极限可知数列{S 2n }存在极限,记为s. 且显然s ≤u 1.又由于S 2n +1= S 2n + u 2n +1, 而u 2n +1→0,(n →∞) 所以:S 2n +1= S 2n + u 2n +1→s ,(n →∞). 由于:S 2n +1→s , S 2n →s ,(n →∞),所以:S n →s (n →∞).即交错级数收敛,且其和s ≤u 1.又由于此时余项: r n =±(u n +1-u n+2+u n+3-u n+4+…)所以:|r n |=u n +1-u n+2+u n+3-u n+4+…也是一个交错级数,且满足交错级数的条件,从而且和应小于级数的第一项,即有: |r n |≤u n +1. 例5.判断级数∑∞=--111)1(n n n的敛散性. 解:由于u n =1/n ＞1/(n +1)= u n +1,且u n →0,(n →∞),所以级数收敛. 且知其和s ＜1,以s n =1-21+31-…+n n 1)1(1--代替s 产生的误差r n 满足|r n |≤1/(n +1).例6.判断级数∑∞=--11ln )1(n n nn 的敛散性.解: 级数为交错级数,由于x x x ln lim+∞→=xx 1lim +∞→=0, 所以n x u +∞→lim =nnx ln lim+∞→=0;设 f (x )=xxln , 则有 2ln 1)(x xx f -=', 故当x ≥3时,有)(x f '≥0,从而当x ≥3时,f (x )单调上升,于是当n ≥3时,有 u n =ln n /n ＞ln(n +1)/(n +1)= u n +1.所以该级数收敛.三．绝对收敛与条件收敛1．定义:对于一般项级数Σu n ,若:1) Σ|u n |收敛,则称级数Σu n 绝对收敛; 2) Σu n 收敛,但Σ|u n |发散,则称Σu n 条件收敛.例如:211)1(n n n ∑∞=-是绝对收敛 ; n n n 1)1(1∑∞=-是条件收敛2．定理6 若Σu n 绝对收敛,则Σu n 必定收敛.证明:设Σu n 绝对收敛,即Σ|u n |收敛.记:W n =21(|u n |+u n ), V n =21(|u n |-u n ). 显然:0≤W n ,V n ≤|u n |,由于Σ|u n | 收敛,所以正项级数 ΣW n 和ΣV n 收敛.因为: u n = W n -V n ,由级数的性质可知:级数 Σu n 收敛.注: 1）上述定理的逆不成立;例如:n n n1)1(1∑∞=-收敛,但∑∞=11n n发散.2）对Σu n 敛散性的判断,可以转化为对正项级数Σ|u n |的敛散性的判断; 3）当Σ|u n |发散时,不能断定Σu n 发散,但当用比值法或根值法得到正项级数Σ|u n |发散时,则可断定级数Σu n 发散.(此时有|u n |0,n →∞),从而un0,(n →∞)例7.判断下列级数的敛散性,并指明是绝对收敛还是条件收敛1）∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 解: 因为∞→n limnn u ||=n n n)11(21lim +∞→=e/2＞1,所以|u n |0,n →∞,从而 un 0,n →∞,因此原级数发散.2）∑∞=-+-11212)1(n n n n解: ∵ ∞→n lim ||||1nn u u +=1222)1(2lim 1+∙++∞→n n n n n =1/2＜1, ∴ Σ|u n |收敛,从而原级数绝对收敛. 3）nn n n n 112)1(11++-∑∞=-解:因为nn n n 1112>++, 而级数∑∞=11n n发散, 所以∑∞=1||n n u =∑∞=++1112n n n n 发散. 由于∞→n limnn n 112++=0,且u n =nn 1)111(++>11)211(+++n n =u n +1, 所以此交错级数满足收敛条件,从而原级数为条件收敛.4）∑∞=1sin1n nn θ解: 由于∞→n lim ||||1nn u u +=∞→n lim nn n n |sin ||sin |11θθ++=|sin θ|所以当|sin θ|＜1,即θ≠2k π±π/2时,级数绝对收敛;当sin θ=1, 即θ=2k π+π/2时,级数发散; 当sin θ=-1, 即θ=2k π-π/2时,级数收敛.5) ∑∞=+-11!2)1(2n nn n解: 由于|un |=!22nn=!)2(nnn>!])11[(nnn+>!)1(nn n+>!nn n>1所以,|un |0,从而,un0.即原级数发散.作业:高等数学C类练习册习题57;高等数学C类练习册习题58 教学后记:1．三个重要的级数：(1) -p级数：∑∞=11npn1≤p（发散）1>p（收敛）(2) 几何级数：∑∞=-11nnaq1≥q（发散）1<q（收敛）(3) ∑∞=--111)1(n nn收敛2．正项级数的审敛法是：比较法，比较法的极限形式，比值法3．交错级数的判定法及绝对收敛，条件收敛教学参考书:《高等数学》，第四版，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社《高等数学习题课教程》，张小柔等编，科学出版社《新编高等数学导学》，蔡子华等编，科学出版社《高等数学习题课讲义》，梅顺治等编，科学出版社思考题:设正项级数∑∞=1nnu收敛, 能否推得∑∞=12nnu收敛?反之是否成立?由正项级数∑∞=1nnu收敛，可以推得∑∞=12nnu收敛：nnn uu2lim∞→nnu∞→=lim＝0由比较审敛法知∑∞=12nnu收敛.反之不成立.讲授内容：§ 10-3幂级数教学目的与要求：1．了解幂级数的收敛域的构造及求法.2．掌握利用幂级数的性质求和函数，以及利用和函数求某些数项级数的和教学重难点：重点——幂级数收敛域的求法，求和函数难点——求幂级数的和函数教学方法:讲授法教学建议：利用多媒体教学的直观性，使抽象的内容直观形象学时：2教学过程:一、函数项数的概念1.定义:如果给定一个定义在区间I上的函数列u1(x),u2(x),u3(x)…,un(x),…则由这函数列构成的表达式:u 1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+ (1)称为定义在区间I上的(函数项)级数.对于每一个确定的值xI,函数项级数(1)成为常数项级数u 1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+ (2)这个级数(2)可能收敛也可能发散.如果(2)收敛,称点x是函数项级数(1)的收敛点;函数项级数(1)的所有收敛点的全体称为它的收敛域.如果(2)发散,称点x是函数项数项级数(1)的发散点.函数项级数(1)的所有发散点全体称为它的发散域.对于收敛域内的任意一个数x,函数项级数成为一收敛的常数项级数,因而有一确定的和s.这样,在收敛域上,函数项数项级数的和是x的函数s(x),通常称s(x)为函数项级数的和函数,函数s(x)的定义域就是级数(1)的收敛域,并写成s(x)= u 1(x)+u 2(x)+u 3(x)+…+u n (x)+….称s n (x)= u 1(x)+u 2(x)+u 3(x)+…+u n (x)为函数项级数(1)的前n 项的部分和, 在收敛域上有:∞→n lim s n (x)=s(x)称 r n (x)=s(x)-s n (x)为函数项级数的余项(只有x 在收敛点处r n (x)才有意义),于是有:∞→n lim r n (x)=0.二、幂级数及其收敛性1. 幂级数的定义:称形如 a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…⋯⋯(3) 或 a 0+a 1(x-x 0)+a 2(x-x 0)2+…+a n (x-x 0)n+…⋯⋯(4)的级数为幂级数.其中常数a 0,a 1,a 2,…a n ,…叫做幂级数的系数.级数(4)作代换t=x-x 0可变为级数(3)的形式,因此只讨论级数(3).例如:1+x+x 2+…+…x n +…, 1+x+!21x 2+…+!1n x n +…都是幂级数. 2. 幂级数的收敛域与发散域x 取数轴上哪些点时幂级数收敛,取哪些点是幂级数发散?这就是幂级数的收敛性问题.例1.考察幂级数1+x+x 2+…+x n +… 解: 当|x|<1时,这级数收敛于和x-11; 当|x|≥1时,这级数发散.因此,这幂级数的收敛区域是开区间(-1,1),发散域是(-∞,-1)及[1,+∞].如果x 在区间(-1,1)内取值,则x-11=1+x+x 2+…x n+… 在这个例中这个幂级数的收敛域是一个区间, 事实上,对于一般的幂级数如下定理: 定理1(阿贝尔定理):如果级数∑∞=0n a n x n 当x=x 0(x 0≠0)时收敛,则适合不等式|x|<|x 0|的一切x,这幂级数绝对收敛,反之.如果级数∑∞=0n a n x n当x=x 0时发散,则适合不等式|x|>|x 0|的一切x 这幂级数发散. 证明:设x 0是幂级数(3)的收敛点,即级数a 0+a 1x 0+a 2x 02+…+a n x 0n +…收敛. 根据级数收敛的必要条件,有 ∞→n lim a n x 0n =0,于是存在一个常数M,使得|a n x 0n|≤M (n=0,1,2,…).这样级数(3)的一般项的绝对值|a n x n|=|a n x 0n•n n x x 0|= |a n x 0n |•|0x x |n ≤M|0x x |n因为当|x|<|x 0|时,等比级数∑∞=0n M|x x |n收敛 (公比|x x|<1), 所以级数∑∞=0n |a n x n|收敛, 即级数∑∞=0n a n x n绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明：倘若幂级(3)当x=x 0时发散,而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛, 则级数当x=x 0时应收敛,这与假设矛盾,定理得证. 由定理1可知:如幂级数在x=x 0处收敛,则对开区间(-|x 0|,|x 0|)内的任何x,幂级数都收敛; 如幂级数在x=x 0处发散,则对区间[-|x 0|,|x 0|]外的任何x,幂级数都发散. 设已给幂级数在数轴上既有收敛点(不仅是原点)也有发散点.现在从原点沿数轴向右方走,最初只遇到收敛点,然后就只遇到发散点,这两部分的界点可能是收敛点也可能是发散点,从原点沿数轴向左方走也是如此,两个界点p 与p ′在原点的两侧,由定理1可知它们到原点的距离相等. 从上面的几何说明,我们就得到重要的推论: 推论:如果幂级数∑∞=0n a n x n 不是仅在x=0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数R 存在,使得:当|x|<R 是时,幂级数绝对收敛; 当|x|>R 时,幂级数发散;当x=R 与x=-R 时,幂级数可能收敛也可能发散.正数R 通常叫做幂级数(3)的收敛半径.由幂级数在x=±R 处的收敛性可以决定它在区间(-R,R),[-R,R),(-R,R]或[-R,R]上收敛,这区间叫做幂级数(3)的收敛区间.如果幂级数(3)只在x=0处收敛,这时收敛域只有一点x=0,规定收敛半径R=0,并说收敛区间只有一点x=0;如果幂级数(3)对一切x 收敛 ,则规定收敛半径R=+∞,收敛区间是(-∞,+∞). 3. 幂级数的收敛半径求法定理2:如果∞→n lim |n n αα1+|=ρ,其中a n ,a n+1是幂级数∑∞=0n a n x n 的相邻两项的系数,则幂级数的收敛半径:R=⎪⎩⎪⎨⎧+∞==∞+≠ρρρρ ,00 ,,0 ,/1 证明:考察幂级数(3)的各项取绝对值所成的级数|a 0|+|a 1x|+|a 2x 2|+…+|a n x n|+ (5)这级数相邻两项之比为:||||11nn n n x x αα++=|nn αα1+|•|x|. 1) 如果∞→n lim |nn αα1+|=ρ(ρ≠0)存在,根据比值审敛法,则:当ρ|x|<1即|x|<ρ1时,级数(4)收敛,从而级数(3)绝对收敛;当ρ|x|>1即|x|>ρ1时,级数(4)发散,并且从某一个n 开始|a n+1x n+1|>|a n x n|,因此一般项|a n x n|0所以 a n xn从而级数(3)发散,于是收敛半径R=ρ1.2) 如果ρ=0,则对任何x ≠0,有||||11nn n n x x αα++→0(n →∞),所以级数(5)收敛,从而级数绝对收敛,于是R=+∞.3) 如果ρ=+∞,则对于除x=0外的一切x 值,级数(3)必发散,否则由定理1知道将有点x ≠0使级数(5)收敛,于是R=0. 定理3. 如果∞→n limnn a ||=ρ, 则幂级数的收敛半径:R=⎪⎩⎪⎨⎧+∞==∞+≠ρρρρ ,00 ,,0 ,/1证明:对于幂级数∑∞=0n |a n x n |,由于∞→n limnn n x a ||=ρ|x|.因此由根值法可知:当ρ|x|<1即|x|<ρ1时,级数(4)收敛,从而级数(3)绝对收敛;当ρ|x|>1即|x|>ρ1时,级数(4)发散,并且|a n x n |→+∞,因此一般项|a n x n |所以a n x n0,从而级数(3)发散,于是收敛半径R=ρ1.当ρ=0时,对任意的x,级数收敛,且R=+∞.例2.求幂级数x-22x +33x -…+(-1)n-1nx n+…的收敛半径与收敛区间. 解: 因为ρ=∞→n lim |nn αα1+|=∞→n lim 1+n n =1, 所以收敛半径R=ρ1=1.对于端点x=1,级数成为交错级数 1-21+31-…+(-1)n-1n1+…,收敛;对于端点x=-1,级数成为-1-21-31-…-n1-…,发散; 因此,收敛区间是 (-1,1).例3.求幂级数1+x+!21x 2+…+!1n x n+…,的收敛区间. 解:因为 ρ=∞→n lim |nn αα1+|=∞→n lim 11+n =0, 所以收敛半径R=∞,,从而收敛区间是(-∞,+∞). 例4.求幂级数∑∞=0!n n x n的收敛半径(记号0!=1).解: 因为P=∞→n lim |nn αα1+|=∞→n lim !)!1(n n +=+∞, 所以收敛半径R=0,即级数仅在x=0处收敛. 例5.求幂级数∑∞=02)!()!2(n n n x 2n 的收敛半径.解: 级数缺奇次幂的项,定理2不能直接应用,根据比值审敛法来求收敛半径:∞→n limn n x n n x n n 22)1(22)!()!2(:])!1[()]!1(2[+++=4|x|2. 当4|x|2<1即|x|<21时级数收敛; 当4|x|2>1即|x|>21时级数发散,所以收敛半径R=21. 例6.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛区间. 解: 令t=x-1,则级数变为 ∑∞=12n n nnt .因为 ρ=∞→n lim |n n αα1+|=∞→n lim )1(221++n nn n =21,所以收敛半径R=2.当t=2时,级数∑∞=11n n 这级数发散; 当t=-2时,级数∑∞=-1)1(n n n ,这级数收敛,因此收敛区间为:-2≤t<2, 即-2≤x-1<2, 或-1≤x<3,所以原级数的收敛区间为 [-1,3). 例7.求幂级数∑∞=1n 2)11(n n+x n 的收敛区间.解: 由于∞→n lim[nn n2)11(+]=e,因此R=1/e.当|x|=1/e 时,由于∞→n lim 2)11(n n+ne 1=∞→n lim n nen ])11([+=e -1/2因此级数的收敛区间为(-1/e,1/e).三、幂级数的运算1. 设幂级数:a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +… 及b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…分别在区间(-R,R) 及 (-R ′,R ′) 内收敛,对于这两个幂级数,可以进行下列四则运算:加法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…)+(b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n +…)=(a 0+b 0)+(a 1+b 1)x+(a 2+b 2)x 2+…+(a n +b n )x n +….减法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…)- (b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n +…)=(a 0-b 0)+(a 1-b 1)x+(a 2-b 2)x 2+…+(a n -b n )x n+….根据收敛级数的基本性质,上面两式在(-R,R)与(-R ′,R ′)中较小的区间内成立.乘法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n+…)(b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…)=a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x+(a 0b 2+a 0b 2+a 2b 0)x 2+…+(a 0b n +a 1b n-1+…+ a n-1b 1+a n b 0)x n+…这是两个幂级数的柯西乘积,可以证明上式在(-R,R)与(-R ′,R ′)中较小的区间内成立.除法:++++++++++nn n n x b x b x b b x x x 22102210αααα=c 0+c 1x+c 2x 2+…+c n x n+…,假设b 0≠0.为了决定系数c 0,c 1,c 2,…,c n …,可以将级数∑∞=0n nn xb 与∑∞=0n nn xc 相乘,并令乘积中各项系数分别等于级数∑∞=0n n nx α中同次幂的系数,即得:a 0=b 0c 0,a 1=b 1c 0+b 0c 1, a 2=b 2c 0+b 1c 1+b 0c 2, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由这些方程就可以顺序地求出c 0,c 1,c 2,…c n ,…. 相除后所得幂级数∑∞=0n nn xc 的收敛区间可能比原来两级数收敛区间小.2. 幂级数的和函数性质: 性质1:设幂级数∑∞=0n n nx α的收敛半径为R(R>0),则其和函数s(x)在区间(-R,R)内连续,如果幂级数在x=R(或x=-R)也收敛,则和函数s(x)在(-R,R)(或[-R,R]连续.性质2:设幂级数∑∞=0n n nx α的收敛半径为R(R>0),则其和函数s(x)在区间(-R,R)内是可导的,且有逐项求导公式:s ′(x)=(∑∞=0n nnx α)′=)(0'∑∞=n nn x α=∑∞=-11n n n x n α其中|x|<R,逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3:设幂级数∑∞=0n n nx α的收敛半径为R(R>0),则其和函数s(x)在区间(-R,R)内是可积的,且有逐项积分公式:⎰xs(x)dx=⎰x[∑∞=0n nn xα]dx=∑∞=0n ⎰xa n x ndx=∑∞=0n 1+n a nx n+1.其中|x|<R,逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例8.求级数∑∞=0n 1+n x n的和函数. 解:此级数的收敛区间为(-1,1).设和函数为s(x)=∑∞=0n 1+n x n, 则有s(0)=1 ,从而: xs(x)=∑∞=0n 11++n x n 于是 [xs(x)]′=∑∞=0n (11++n x n )′=∑∞=0n x n =x -11 -1<x<1.所以: xs(x)=⎰xx-11dx=-ln(1-x) 从而:s(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=<<--0,11||0),1ln(1x x x x例9.求级数∑∞=1n nn3的和. 解:设幂级数∑∞=1n nnx 3的和函数为s(x).由于∞→n lim |nn αα1+|=1/3,所以此级数的收敛半径为:R=3. 当|x|=3时,级数发散,因此级数的收敛区间为(-3,3). 于是s(x)=∑∞=1n n x)3(=x x -3 (|x|<3)从而[s(x)]′=(x x -3)′=2)3(3x -=∑∞=1n n n nx 31-. 令x=1,得:∑∞=1n n n x 3=43. 作业: 高等数学C 类练习册习题59 教学后记:1、函数项级数的概念:2、幂级数的收敛性: 收敛半径R3、幂级数的运算: 分析运算性质教学参考书:《高等数学》，第四版，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社《高等数学习题课教程》，张小柔等编，科学出版社《新编高等数学导学》，蔡子华等编，科学出版社《高等数学习题课讲义》，梅顺治等编，科学出版社思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？不一定,)(12∑∞==n n n x x f ,)(11∑∞=-='n n n x x f ,)1()(22∑∞=--=''n n n x n x f它们的收敛半径都是1, 但它们的收敛域各是)1,1(),1,1[],1,1[---讲授内容：§ 10-4函数展开成幂级数§ 10-5幂级数在近似计算中的应用教学目的与要求：1. 解函数展开成幂级数的充要条件.2. 掌握如何将函数展开成幂级数.3. 了解幂级数在近似计算中的应用.教学重难点：重点——5个基本初等函数的展开式，将函数展开成幂级数难点——函数展开成幂级数的间接方法教学方法: 讲授法教学建议: 应根据学生的实际情况，对教材中的例题进行增讲、补充. 学时：2 教学过程:一.泰勒级数上节例子中)11()1ln()1(11≤<-+=-∑∞=-x x nx n nn n n nx x ax f )()(00-=∑∞=，是否存在幂级数在收敛域内以)(x f 为和函数？问题：（1）如果能展开，n a 是什么？（2）展开式是否唯一？（3）在什么条件下可以展开？1. 泰勒级数定义:给定函数f(x),若存在一个幂级数,在某区间内收敛,且收敛的和函数为f(x),则称函数f(x)在该区间内能展开成幂级数.如果函数)(x f 在)(0x U δ内具有任意阶导数, 且在)(0x U δ内能展开成)(0x x -的幂级数, 即 n n n x x a x f )()(00-=∑∞=则其系数 ),2,1,0()(!10)( ==n x f n a n n且展开式是唯一的. f(x)=f(x 0)+f ′(x 0)(x-x 0)+!2)(0x f ''(x-x 0)2+…+ !)(0)(n x f n (x-x 0)+ ⋯ (1) 证明：因为即内收敛于在),()()(0x f x u x x a nn n-∑∞=+-++-+=n n x x a x x a a x f )()()(0010 逐项求导任意次,得+-++-+='-10021)()(2)(n n x x na x x a a x f +-⋅++=+)(23)1(!)(01)(x x a n n a n x f n n n即得令,0x x = ),2,1,0()(!10)( ==n x f n a n n泰勒系数是唯一的,所以.)(的展开式是唯一的x f2.麦克劳林级数定义在(1)式中取x 0=0,得:f(0)+f ′(0)x+!2)0(f ''x 2+…+!)0()(n f n x n +…,称此级数为函数f(x)的麦克劳林级数.二.函数展开成幂级数1. 直接法将函数f(x)展开成x 的幂级数的方法为:1) 求出f(x)的各阶导数:如果在x=0处的某阶导数不存在,则停止.表明此函数不能展成x 的幂级数;2) 计算: f ′(0),f ′′(0),⋯,f (n)(0),⋯ 3) 写出幂级数,求出收敛半径R. 4) 对端点x=±R 要另外讨论. 例1.将函数f(x)=e x 展成x 的幂级数. 解: 所给函数的各阶导数为: f (n)(x)=e x(n=1,2,…),f (n)(0)=1(n=0,1,2,…),这里记号f (0)(0)=f(0).于是得级数: 1+x+!22x +…+!n x n+…,它的收敛半径R=+∞.e x=1+x+!22x +!33x …+!n x n+…(-∞<x<+∞).例2.将函数f(x)=sin x 展开成x 的幂级数. 解: 给函数的各阶导数为f (n)(x)=sin(x+n ∙2π) (n=1,2,⋯).f (n)(0)顺序循环地取0,1,0,-1,…(n=0,1,2,3,…),于是得级数x-!33x +!55x -…+(-1)n-1)!12(12--n x n +…, 收敛半径R=+∞. 因此得展开式sin x= x-!33x +!55x -…+(-1)n-1)!12(12--n x n +… (-∞<x<+∞). 例3.将函数f(x)=(1+x)m展开成x 的幂级数.其中m 为任意常数.解:f(x)的各阶导数为:f ′(x)=m(1+x)m-1, f ′′(x)=m(m-1)(1+x)m-2,…………………,f (n)(x)=m(m-1)(m-2)…(m -n+1)(1+x)m-n ,………………… f(0)=1, f ′(0)=m,f ′′(0)=m(m-1),…,f (n)(0)=m(m-1)…(m -n+1), … 于是得级数: 1+mx+!2)1(-m m x 2+…+!)1()1(n n m m m +-- x n+….由于:11+-=+n nm n n αα→1(n →∞), 因此,对于任意常数m 这级数在开区间(-1,1),内收敛. 因此在区间(-1,1)内,我们有展开式f(x)=(1+x)m=1+mx+!2)1(-m m x 2+…+!)1()1(n n m m m +-- x n+…. 在区间的端点,展开式是否成立要看m 的数值而定.此公式叫做二项展开式,特殊地,当m 为正整数时,即为二项式定理. 对应于m=21,-21的二项展开式分别为 x +1=1+21x-421∙x 2+64231∙∙∙x 3-8642531∙∙∙∙∙x 4+… (-1≤x ≤1),x+11=1-21x+4231∙∙x 2-642531∙∙∙∙x 3+86427531∙∙∙∙∙∙x 4-… (-1<x≤1).关于x-11,e x ,sin x ,cosx, ln(1+x)和(1+x)m 幂级数展开式可以直接引用.2.间接法:根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 例4.将函数cosx 展开成x 的幂级数.解:逐项求导:cos x=[sinx]′=1-!22x +!44x -…+(-1)n )!2(2n x n+… (-∞<x<+∞). 例5.将函数211x+展开成x 的幂级数. 解:因为x+11=1-x+x 2-…+(-1)n x n+…(-1<x<1), 把x 换成x 2,得211x+=1-x 2+x 4-…+(-1)n x 2n+…(-1<x<1) 必须指出,假定函数f(x)在开区间(-R,R)内的展开式f(x)=∑∞=0n αn x n (-R<x<R)已经得到,如果上式的幂级数在该区间的端点x=R(或x=-R)仍收敛,而函数f(x)在x=R(或x=-R)处有定义且连续,那末根据幂级数的和函数的连续性,该展开式对x=R(或x=-R)也成立.例6.将函数f(x)=ln(1+x)展开成x 的幂级数. 解:f ′(x)=x+11=1-x+x 2-x 3+…+(-1)n x n +… (-1<x<1),所以将上式从0到x 逐项积分,得:ln(1+x)=x-22x +33x -44x +…+(-1)n 11++n x n +…(-1<x<1). 由于右端的幂级数当x=1时收敛,而ln(1+x)在x=1处有定义且连续.因此展开式对x=1也成立,即有:ln(1+x)=x-22x +33x -44x +…+(-1)n 11++n x n +…(-1<x ≤1). 例7.将函数sin x 展开成(x-4π)的幂级数. 解:因为sin x=sin[4π+(x-4π)] =sin4πcos(x-4π)+cos 4πsin(x-4π)=21[cos(x-4π)+sin(x-4π)], cos(x-4π)=1-!2)4(2π-x +!4)4(4π-x -… (-∞<x<+∞), sin(x-4π)=(x-4π)-!3)4(3π-x +!5)4(5π-x -… (-∞<x<+∞),sin x=21 [1+(x-4π)-!2)4(2π-x -!3)4(3π-x +…] (-∞<x<+∞). 例8.将函数f(x)=3412++x x 展开成(x-1)的幂级数. 解:因为f(x)=3412++x x =)3)(1(1++x x=)1(21x +-)3(21x +=)211(41-+x -)411(81-+x ,)211(41-+x =41[1-21-x +222)1(-x -…(-1)n nnx 2)1(-+…] (-1<x<3),)411(81-+x =81[1-41-x +224)1(-x -…+(-1)n nnx 4)1(-+…] (-3<x<5), 所以: f(x)=3412++x x =∑∞=0n (-1)n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++3222121n n (x-1)n (-1<x<3).例9.将f(x)=arctanxx-+11展为x 的幂级数. 解: f ′(x)= (arctan xx-+11)′=211x +=∑∞=0n (-1)n x 2nx ∈(-1,1):f(x)=⎰xf ′(t)dt+f(0)=∑∞=0n ⎰x(-1)nx 2ndx+4π=4π+∑∞=0n 12)1(+-n n x 2n+1.当x=±1时,级数为交错级数,且满足收敛条件,从而级数收敛, 即收敛区间为[-1,1]. 从而:arctan x x -+11=4π+∑∞=0n 12)1(+-n n x 2n+1. x ∈[-1,1].三．幂级数在近似计算中的应用例. 计算5240的近似值,误差不超过0.0001.解: 5240=53243-=3(1-431)1/5. 利用二项式展式: 其中m=1/5, x=-1/34. 5240=3(1-43151∙-8231!2541∙∙∙-12331!35941∙∙∙∙-⋯ 取前两项的和作为近似值,则有|r n |=3(8231!2541∙∙∙+12331!35941∙∙∙∙+⋯) <3∙8231!2541∙∙∙[1+811+2811+⋯] =4027251∙∙<200001 因此 5240≈3(1-43151∙)≈2.9926. 作业: 高等数学C 类练习册60教学后记:如何求函数的泰勒级数;泰勒级数收敛于函数的条件;函数展开成泰勒级数的方法.教学参考书《高等数学》，第四版，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社《高等数学习题课教程》，张小柔等编，科学出版社《新编高等数学导学》，蔡子华等编，科学出版社《高等数学习题课讲义》，梅顺治等编，科学出版社思考题什么叫幂级数的间接展开法？讲授内容：第十章习题课教学目的与要求：通过习题讲解，让学生巩固本章的内容，提高解题能力教学重难点：重点——正项级数，交错级数的收敛性判断；绝对收敛，件收敛；收敛半径，收敛域；幂级数的展开，求和函数难点——绝对收敛，条件收敛，求和函数，函数间接展开幂级数教学方法: 讲授法教学建议：分散难点，逐个讲解；多与学生互动，让整个习题课更加生动. 学时：2教学过程:1. 根据定义，判别级数∑∞=+-1)23)(13(1n n n 的敛散性．分析：由于级数的一般项n u =)23)(13(1+-n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--23113131n n ．根据定义，我们只需判别部分和n S =∑=n k ku1是否有极限即可．解：部分和 n S =∑=n k k u 1=∑=+-nk k k 1)23)(13(1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-231131311118131815131512131n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2312131n 故612312131lim lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∞−→−∞−→−n S n n n ,根据级数的收敛定义知此级数收敛．2. 判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111n n n 的敛散性分析：首先判别级数的一般项n u 是否趋于零．由级数收敛的必要条件知当n u 不趋于零时，级数∑∞=1n n u发散．若有0lim =∞→n n u ，则再用其它的审敛法判断级数是否收敛．解：由于=∞→n n u lim n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→111lim =01≠e根据上述分析，由级数收敛的必要条件知级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111n n n 发散．3. 判别级数∑∞=+122)1(sin n n n 的敛散性．分析：一般项n u =22)1(sin nn +显然趋于零，又知分子sin 2(n+1)当n ∞→时无极限，但有01)1(sin 2≤+≤n ，故可用比较审敛法，选择合适的参照级数∑=121n n 做比较．解：由于2221)1(sin n n n ≤+，而由P-级数的结论知级数∑∞=121n n收敛．根据正项级数的比较审敛法知级数∑∞=+122)1(sin n n n 收敛． 4. 判别级数∑∞=++1312n n n n 的敛散性分析：显然有0123lim lim =++=∞→∞→nn n u n n n ，考虑到该级数的一般项为n 的有理分式函数，分子的次数为1．分母的次数为3．故取P-级数作为参考级数，取P=3-1=2,即采用∑∞=121n n 为参考级数．解：取级数∑∑∞=∞==1121n n n n v 作为参考级数，由于212lim 3=++∞→n n v n n n ，且P-级数∑∞=121n n 收敛．根据比较判别法的极限形式知级数∑∞=++1312n n n n 级数∑∞=121n n 同样收敛．5. 判别级数∑∞=1!4n n nn n 的敛散性．分析:此级数的n U 中含有因式乘积和阶乘!n 项,首先应考虑采用比值审敛法．解：1lim n n nU U ρ+→∞= =)!1(4)1(lim 11++++∞→n n n nn !4n n n n =nn n n n 4)1(lim +∞→=n n n )11(41lim +∞→=14<e 根据交错级数的莱布尼兹审敛法，知此级数收敛．且由于非绝对收敛，故此级数为条件收敛．。

大学高等数学课后习题第十章第二次作业答案

第十章第二次作业1．设L 为曲线x ysin =上从)0,0(O 到)0,(πA 的一段弧，则曲线积分⎰-L ydx xdy =解填4- ()4sin cos 0-=-=-⎰⎰πdx x x x ydx xdy L 2. 平面力场j xy i y x F 2232+=将一质点沿着圆周222ay x =+从点),0(a 移动到点)0,(a 时所做的功=W 解填416a π-⎰+=Ldy xy ydx x W 2232，L :{t a y t a x sin cos ==⎰+-=02224224]sin cos 3sin cos 2[πdt t t a t t a W⎰-=20224cos sin πtdt t a416a π-=3．设L 是抛物线x y =2上从点)1,1(-A 到点)1,1(B 的弧段，),(y x P 是二元连续函数，则曲线积分⎰Ldx y x P ),(化成定积分为（）A ．⎰⎰+-1010),(),(dx x x P dx x x P B ．⎰10),(2dx x x P C ．⎰⎰+-1001),(),(dx x x P dx x x PD ．⎰-01),(2dx x x P解：选C⎰⎰⎰+=OB AOL dx y x P dx y x P dx y x P ),(),(),( ⎰⎰+-=1001),(),(dx x x P dx x x P 4．设Γ是螺旋线bt z t a yt a x ===,sin ,cos 上从0=t 到π2=t 的弧段，则⎰Γ++ydz xdy zdx 之值为（）.A ．)2(b a a +πB ．)2(b a a +πC ．)2(b a b +πD ．)2(b a b +π解:选A⎰Γ++ydz xdy zdx ⎰++-=π202]sin )cos ()sin ([dt t ab t a t a bt ⎰⎰+-=ππ202220cos sin tdta tdt t ab )2(22b a a a ab +=+=πππ 5．计算曲线积分()⎰-+L xdy dx y x 22，其中L 为曲线22x a y -=上从点()0,a A -到点()0,a C 的一段弧.解令 (),0 t sin ,cos π∈==t a y t a x ()⎰-+Lxdy dx y x 22 ⎰--=0223]cos sin [πdt t a t a 2322a a π+= 6．计算曲线积分dy y x dx y x L )()(2222-++⎰，其中L 是曲线x y --=11与x 轴所围平面图形的整个边界，按逆时针方向.解由于L 可用方程⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤=21,210,20,0x x x x x y 表示，故有， ⎰-++Ldy y x dx y x )()(2222 ⎰=202dx x⎰---+-++122222]})2()[1()2({dx x x x x ⎰+0122dx x 0132)2(202332123x dx x x ---=⎰ 32123)2(2383--+=x 34= 7．计算曲线积分⎰Γ+--++++zy x z y x zdz ydy xdx 222222，其中Γ是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的直线段.解 Γ的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tz t y tx 31211，)10(≤≤t所以⎰Γ+--++++zy x z y x zdz ydy xdx 222222 ⎰+++=10214121146dt tt t 13301141212-=++=t t。

《高等数学》(北大第二版 )第10章习题课

L
⋅
D
L-
∂Q ∂P ∫ = ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = 2∫∫ dxdy = 8 D L− + 0 B D ∂Q ∂P − )dxdy − ∫ ) ∴ ∫ = -( ∫ − ∫ ) = -(∫∫ ( ∂x ∂y D 0B L 0B L +0 B
B(4,0)
⋅
x
= −8 + 0 = −8
B0
比较以上几种解法，方法5最简便，方法6次之.
例 4 计算 ∫ x 2 + y 2 dx + y[ xy + ln( x + x 2 + y 2 )]dy
其中L为曲线y=sinx (0 ≤ 解应用格林公式
L
x ≤ π ) 按x增大方向 .
y
∂Q ∂P y 2 =y + , = 2 2 ∂y ∂x x +y
L
解1 I = ∫ (2 x ⋅ x 2 − x 2 )dx + [ x + ( x 2 ) 2 ]2 xdx
0
0 1
+ ∫ [2 y 2 ⋅ y − ( y 2 ) 2 ]2 ydy + ( y 2 + y 2 )dy
Y=x2
7 17 1 0 x = − = . 6 15 30 y = ϕ ( x) (0 ≤ x ≤ 1). ∂Q ∂P 解2 I = ∫∫ ( − )dxdy x = ψ ( y ) (1 ≥ y ≥ 0). ∂x ∂y D 1 x 1 = ∫∫ (1 - 2x) dxdy = ∫ dx ∫ 2 (1 − 2 x)dy = . 0 x 30 D
Γ为球面上的三角形x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ( x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)围线的正向.

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第十章曲线积分与曲面积分
（习题课）一、曲线积分的计算法
曲线积分计算的关键是必须明确被积函数f(x,y)为定义在积分曲
线L上的连续函数，x、y之间符合L的方程，故可化为定积分计算，
切不可与二重积分混淆。并第一型曲线积分与L的方向无关，第二
型曲线积分与L的方向有关。
10.1 第一型曲线积分的计算
x (t) 1. L : y (t)
由格林公式，前一积分
I1
Q
D
(
x
P )d
y
1 d
D
2
,
2
I2
(2x)dx 4,
0
I
I1
I2
2
4.
例 6 计算曲线积分 ( y 2 z 2 )dx (z 2 x2 )dy (x2 y 2 )dz
为球面上的三角形x2 y2 z2 a2 (x 0, y 0, z 0)围线的正向. 解 L1 L2 L3 L1 : x2 z2 a2 (x 0, y 0) z 0.起点 : x a,终点x 0, L2 : y2 z2 a2 ( y 0, z 0) x 0.起点 : y a,终点y 0, L3 : x2 z2 a2 (x 0, z 0) y 0.起点 : z a,终点z 0,
( t ),(t), (t) 在[, ]上有连续导数
f(x, y)ds
f[(t), (t)]
2 (t) 2 (t)dt( )
L
2.如果L的方程为y (x), (a x b); x ( y), (c y d)
或者L为极坐标方程 r r( ), ( )也有相应的计算公式 .
y=1-x ; y=1+x; y=-1-x;
y=x-1.
原式
AB
BC
CD
DA
0 1 (1) dx 1 11 dx
1 x (1 x) 0 x (1 x)
0 11
1 11
dx
dx
1 x (1 x)
0 x (x 1)
1
1
0 20 dx 0 20 dx 2 2 0.
2 y 2 2axy 2ax2 2xy 2bx
a 1,b 0.
这里原点(0,0)是P、Q的不连续点（奇异点），求u(x,y)时须选取
(x0,y0) (0,0),不妨取为(0,1),并选择折线作为积分路径，代入a、b之
值，算得
y
u(x, y)
(x,y) x y dx x y dy
y 2 dy
[1 2
x2 ]0
1
2
2
4. 9
例 5
计算曲线积分
L
y x2 y2
dx
x2
x
y2
dy,
其中L是由y2=2(x+2)及x=2所围成的区域D的边界，L的方向为逆时
针方向.
y
解 [当x=y=0时，
无意义；且
P y
Q x
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
在原点不成立，该点又
L
L1
0
x
在题设圆内，所以不能直接利用格林公式计算，但以
y
x
Q P
dx
dy ( )dxdy 0,
LL1 x2 y2
x2 y2
D1 x y
- ydx xdy - ydx xdy
L x2 y2
L1 x 2 y2
2 0
2
sin2 2
2
cos2
d
2 .
7.求I [ex sin y 2(x y)]dx (ex cos y x)dy, L
1 x 2时取正号类似解法1，计算仍然麻繁.
解3
圆的参数方程为:
x y
1 cost, sint.
t 从变到0
0
ydx xdy [sint(sin t) (1 cost) cost]dt
L
0
(cos
t
cos
2t
)dt
sin
t
|0
sin 2t 2
|0
0
解4 因为 P Q 1,所以积分与路径无关 ,凑全微分 y x
原点为中心，可作一半径为的小圆包含该奇点，即挖去此不连
续点，在形成的复连通区域上再应用格林公式计算.]
如图，在L包围的区域D内作顺时针方向的小圆周L1：
x cos , y sin (0 2 ).
在L与L1包围的区域上，由
P x2 y2 Q ,和格林公式， y (x2 y2 )2 x
(0B : y 0, (0 x 4))
解 2 0A : y x (0 x 2); AB : x 4 - y (2 y 0).
I 2 (x 3ex 2x 3x2ex 2)dx 0
0 ( y3e4y 2 y)dy 0 (3y2e4y 2)dy 8
2
2
dx dy
解1 补线段0B,使0B和积分路径L围成区域
A(2,2)
L
L-
D，且0B+L-成为D的边界曲线的正向，由格林公式 o
D
x
B(4,0)
Q P
L 0 B
D
( x
)dxdy y
2
D
dxdy 8
-( ) -( (Q P )dxdy )
L
L- 0B 0B
D x y
0B
8 0 8
Байду номын сангаас解应用格林公式
y
Q y2 y , P y .
x
x2 y2 y x2 y2
L L-
D
x
0
A
补线段0A，使之成为和L-所围成区域D的边界曲线正向.
0A: y=0 dy=0.dx (0 x )
所以
(
)
y2dxdy
xdx
L
L
L 0 A 0 A
D
0
0
dx
sin x 0
例9
试确定a、b之值，使xa2x
y y2
dx
ax y b x2 y2
dy是某函数
u(x,y)的全微分，并求出这样的一个原函数.
解由题设之式是du,有Py=Qx,即
(x2
y2 ) (ax (x2 y2)2
y) 2 y
a (x2
y2 ) (ax y (x2 y2)2
b) 2x
利用被积函数及积分路径的对称性
Z
I 3 y2dx x2dy
L1 L2 L3
L1
L3
3a2 2 (sin3 t cos3 t)dt 4a3. 0
X
L2
0
Y
L1
例 7 计算曲线积分 ( y3ex 2y)dx (3y2ex 2)dy,
L
y
其中L是从原点到A（2，2）再到B（4，0）的折线.
ln
y
1 2
ln( x2
y2 ) |0x
arctan
x y
|0x
1 ln( x2 y2 ) arctan x .
2
y
二、曲面积分的计算法
曲面积分计算的关键是要明确被积函数f(x,y,z)为定义在积分曲
面上的连续函数，x,y,z之间符合的方程，故可化为二重积分计算，
切不可与三重积分混淆。且第一型曲面积分与的方向无关，第二
L为从点A（2,0)沿曲线 y 2x - x2 到点o(0,0) 的的弧.
解添加从点o(0,0)沿y=0到点A（2,0)的有向直线段L1，
I (ex sin y 2(x y)dx (ex cos y x)dy L L1
(ex sin y 2(x y)dx (ex cos y x)dy. L1
(0,1) x2 y 2
x2 y2
B(0,y) A(0,1)
C(x,y)
(0, y) (x, y)
(0,1) (0, y)
yy
x x y
1
y2 dy 0 x2 y2 dx
x
d( )
ln
y
x xdx 0 x2 y2
xy 0 ( x )2 1
y
0
x
AB : x 0
BC : y 常数
(a2
ab b2 )
解 2 L : x acost,y bsint, 0 t ,
2
xyds 2 abcost sin t a2 sin2 t b2 cos2 tdt
L
0
ab 2 sin t (a2 b2 )sin 2 t b2 d sin t 0
ab (a2 ab b2 ). 3(a b)
10.2 第二型曲线积分的计算
1. 直接计算法
2. 利用格林公式化为二重积分计算
格林公式：P(x,y)、Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，L+ 则
L
Pdx
Qdy
D
(
Q x
P y
)dxdy
3.利用积分与路径无关的条件，选择便于积分的路径 D：单连域， P、Q在D 上具有一阶连续偏导数,且 Q P (在D上)
例1
求
L
xyds,
L
:
椭圆
x a
2 2
y2 b2
1在第一象限部分 .
解 1 椭圆在第一象限的方程为: y b a2 x2 (0 x a)
a
ds 1 y2 dx 1
a4 (a2 b2 )x2 dx
a
a2 x2
L
xyds
b a2
a
x
0
a4
(a2
b2 )x2 dx
ab 3(a b)
x y
10 积分 Pdx Qdy与路径无关; 20
Pdx Qdy 0;

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