高中数学抛物线的几何性质总结.

因为 x 轴垂直于 AB ，且 AOx 300 ， 所以 y1 tan 300
3
.
x1
3
又因为
x1
y12 2p
，所以
y1
2
3 p ，因 此 | AB | 2 y1 4
3 p.
变式1：已知抛物线y2＝2px(p>0)，一条长为4p的弦，其两个端点在抛物线上 滑动，求此弦中点到y轴的最小距离． 解：如图所示，设动弦两个端点为A、B，中点为C，作AA′， BB′，CC′垂直于准线，垂足分别为A′，B′，C′，连结AF、 BF，由抛物线定义可知，|AF|=|AA′|，|BF|=|BB′|.
抛物线几何性质1
习主席的三句话
你的责任就是你的方向，
你的经历就是你的资本，
你的性格就是你的命运。
• 复杂的事情简单做，你就是专家； 简单的事情重复做，你就是行家； 重复的事情用心做，你就是赢家。
•
美好是属于自信者的，
机会是属于开拓者的，
奇迹是属于执著者的！
你若不想做，总会找到借口；
你若想做，总会找到方法。
即 p2－10p＋9＝0∴p＝1 或 p＝9 ∴所求抛物线方程为 y2＝±2x 或 y2＝±18x．
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，
抛物线上的点 M（-3， m ）
到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值.
解：抛物线对称轴为 x 轴，且过点 M（-3，m ）， 所以可设抛物线标准方程为 y2 2 px ，
，∴直线
y=-2
与抛物线只有一个公共点.
当 k≠0 时，二次方程的△=4(k2-2k-2)2-4k2(k-2)2=-16(k2-2k-1)
当△>0 得 k2-2k-1<0，1 2 k 1 2 ，∴当1 2 k 0 ，或0 k 1 2 时，直线
与抛物线有两个公共点
由△=0 得 k=1 2 ，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点 由△<0 得 k 1 2 ，或 k 1 2 ，此时直线与抛物线无公共点
问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的 几何性质有什么特点？
（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以 无限延伸，但没有渐近线；
（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 抛物线又叫做无心圆锥曲线。
（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；
（4）抛物线的离心率是确定的，为1．
引例.
又因为 M（-3， m ）到焦点的距离等于 5， 所以 M（-3， m ）到准线的距离等于 5，
即 p 3 5, p 4 2
故所求抛物线的方程为 y 2 8x ， m 2 6 .
3. （2010 全国）已知抛物线 C : y2 2 px( p＞0) 的准线为 l ，过 M (1, 0)
别为 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) 则 y12 2 px1 , y22 2 px2 . 又 | OA || OB |, 所以 x12 y12 x22 y22 ， 即 x12 x22 2 px1 2 px2 0.( x12 x22 ) 2 p( x1 x2 ) 0 ， 因此 ( x1 x2 )( x1 x2 2 p) 0 . 因为 x1 0, x2 0, 2 p 0 ,所以 x1 x2 . 由此 | y1 || y2 | ，即线段 AB 关于 x 轴 对称.
（6）证明:以CD为直径的圆过焦点F.
？
结论: 则
2; p
（6）以CD为直径的圆与弦AB相切于焦点F.
例 1.抛物线 y 1 x2 (m 0) 的焦点坐标是（ ） m
A.（0， m ）或（0， m ）
4
4
C.（0， 1 ）或（0， 1 ）
4m
4m
B.（0， m ） 4
D.（0， 1 ） 4m
y
....
A
. .
.
.
OF
x
B
想 一 想 ？
y
....
A
..
.
.
OF
x
B
y
....
A
. .
.
.
OF
x
B
| AB | 2 p(m2 1).
则 tan 1 , m 1 ,
m
tan
|
AB |
1
2 p( tan2
1)
cos 2 2 p( sin2
1)
2p
sin2
.
想
一
想
4. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，
若 A，B 在准线上的射影是 A2，B2，
则∠A2FB2 等于
.
5．（习题 2.4B 组第 2 题）已知等边三角形的一个顶点位于原点，
另外两个顶点在抛物线 y2 2 px( p 0) 上，求这个等边三角形的边长.
【解析】设这个等边三角形 OAB 的 顶点 A, B 在抛物线上，且坐标分
抛物线的几何性质
图形
方程 范围 对称性 顶点 离心率
y2 2 px x 0
p 0
x 轴 (0 , 0) e 1
y2 2 px x 0
p 0
x2 2 py
p 0
y0
x 轴 (0 , 0) e 1 y 轴 (0 , 0) e 1
x2 2 py y 0
p 0
y 轴 (0 , 0) e 1
【解析】选B.
2y2 5x 0
y2 a x 0a 0
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9.焦点在直线3x 4y 12 0 上的抛物线的标准方程是____________．
答案： y2 16x 或 x2 12y .
变式 2 若 A 是定直线l 外的一定点，则过 A 与l 相切圆
的圆心轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线一支 D．抛物线 答案：D
当 k 为何值时，直线 y=kx+k-2 与抛物线 y2=4x 有两个公共点？ 仅有一个公共点？无公共点？
解：由
y y
2
kx 4x
k
2
得：k2x2+2(k2-2k-2)x+(k-
2)2=0
当 k=0 时，方程退化为一次方程，-4x+4=0，该方程只有一解 x=1，原方程组只有一组解
x y
1 2
抛物线的焦点 F 在 x 轴上，A(m，－3)在抛物线上， 且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
解：设抛物线方程为 y2＝2px 或 y2＝－2px，(p＞0) ， ∵A 点在抛物线上
∴(－3)2＝2pm 或(－3)2＝－2pm，∴m＝± 9 ① 2p
又|AF|＝ p ＋|m|＝5 ② 2
把①代入②可得 p 9 ＝5 2 2p
且斜率为 3 的直线与 l 相交于点 A ，与 C 的一个交点为 B ．
若 AM MB ，则 p
．
【解析】过 B 作 BE 垂直于准线 l 于 E，∵ AM MB ，∴M 为中点，
∴ BM 1 AB ，又斜率为 3 ， BAE 300 ，∴ BE 1 AB ，
2
2
∴ BM BE ，∴M 为抛物线的焦点，∴ p 2.