习题课—函数极限

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15极限概念习题课

第五讲极限概念习题课
极限概念习题课
一、内容小结二、题型练习
极限概念习题课
一、内容小结二、题型练习
一、内容小结
（一）极限的概念（二）极限的性质（三）主要研究问题
一、内容小结
（一）极限的概念（二）极限的性质（三）主要研究问题
（一）极限的概念
1．概念纵览 2．不同变化过程的联系 3．不同概念的联系 4．不同概念的定义
(1) 0 (0 1), 正整数 N , 当n N 时,
恒有：xn a .
(2) 0 , 正整数 N , 当n N 时, 恒有：
xn a k (k 0).
（一）概念辨析
➢对N的理解数列极限的定义是否可叙述为：
0 , 使不等式 xn a 成立的正整数n
（三）主要研究问题
1．存在性 2．唯一性 3．性质 4．求法
➢证明极限存在利用定义利用不同过程之间的关系利用极限与无穷小的关系利用无穷小的性质
➢证明极限不存在利用定义的反面说法利用极限的性质：无界→极限不存在利用不同过程之间的关系
（三）主要研究问题
1．存在性 2．唯一性 3．性质 4．求法
x x0
➢定理2 lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x
x
x
➢定理3
lim
n
xn
A
lim
k
xnk
A
({xnk } {xn})
函数的变化趋势
有趋势
无趋势
趋势为常数A
趋势为无穷大
无界有界振荡
n
A≠0 有极限
A=0 无穷小 ∞ ＋∞ －∞
自 x
变量

第一章函数与极限习题

第一章函数与极限【内容提要】1. 函数的定义与性质（1）常量与变量、区间与邻域常量就是在某变化过程中不变的量；而变量则是在某变化过程中变化的量。

（2）函数的概念设有两个变量x 和y ，D 为一非空数集，如果对于D 内每一个数x ，变量y 按一定的法则f 总有唯一确定的值与之对应，则称y 是x 的函数。

记作y=f (x )。

数集D 称为函数的定义域。

（3）函数的表示法解析法、列表法、图象法。

（4）函数的性质有界性、奇偶性、单调性、周期性。

2. 函数的极限（1）自变量趋于无穷大时函数的极限对于给定的任意小的正数ε，总存在一个正数X ，当|x |>X 时，不等式ε<-|)(|A x f （A 是一个确定的常数）恒成立，则称常数A 为函数∞→x x f 当)(时的极限，记作lim ()()()x f x A f x A x →∞=→→∞或。

（2）自变量趋于有限值时函数的极限设函数f (x )在点0x 的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在一个正数δ，当δ<-<||00x x 时，不等式ε<-|)(|A x f （A 是一个确定的常数）恒成立，则称常数A 为函数0)(x x x f →当时的极限，记作0l i m ()()()x f x Af x A x x →∞=→→或。

（3）极限存在定理函数f (x )在点0x 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限存在并且相等，即lim ()x f x A →∞=⇔00lim ()lim ()x x x x f x f x A +-→→== （4）函数极限的性质定理1（唯一性）若lim ()x f x →∞（或0lim ()x x f x →）存在，则它的极限是唯一的。

定理2（局部有界性）若0lim ()x x f x →存在，则在点0x 的某一邻域内函数f (x )有界。

定理3（局部保号性）若0lim ()x x f x →=A ，且A>0(或A<0)，则存在点0x 的某一去心邻域，使得在该邻域内的任意x 都有f (x )>0(或f (x )<0)。

高数第一次课随堂练习函数与极限

随堂练习一第一章函数与极限一、填空题1、432lim23=-+-→x kx x x ，则k= 。

2、函数xxy sin =有间断点，其中为其可去间断点。

3、若当0≠x 时，xxx f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。

4、=++++∞→352352)23)(1(limx x x x x x 。

5、3)21(lim -∞→=+e nknn ，则k= 。

6、函数23122+--=x x x y 的间断点是。

7、当+∞→x 时，x1是比3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是无穷小。

9、函数xe y 1=在x=0处是第类间断点。

10、设113--=x x y ，则x=1为y 的间断点。

11、已知33=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则当a 为时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

12、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在，则a= 。

13、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续，则常数a= 。

二、计算题1、计算下列极限（1）)2141211(lim n n ++++∞→ ；（2）2)1(321lim nn n -++++∞→ ；（3）35lim 22-+→x x x ；（4）112lim 221-+-→x x x x（5）)12)(11(lim 2xx x -+∞→ ；（6）x x x 1sin lim 20→ ；（7）xx x x +---→131lim21；（8）)1(lim 2x x x x -++∞→ ；2、计算下列极限（1）x wx x sin lim0→ ；（2）xxx 5sin 2sin lim 0→ ；（3）x x x cot lim 0→ ；（4）x x x x )1(lim +∞→ ；（5）1)11(lim -∞→-+x x x x ；（6）x x x 1)1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶（1）32220x x x x x --→与，时；（2）)1(21112x x x --→与，时； (3)当0→x 时， 232-+xx与x 。

同济高等数学第一章习题课

f (x) b k = lim [ − ] x→+∞ x x ∴ f (x) k = lim x→+∞ x
(或x →−∞)
f (x) b lim x[ −k − ] = 0 x→+∞ x x f (x) b lim [ −k − ] = 0 x→+∞ x x
b = lim [ f (x) − kx]
1
lim(cos x )
x →0
x2
ln cos x ln(1 + cos x − 1) lim = lim 2 x→ 0 x →0 → x x2 cos x − 1 = lim x→ x →0 x2 x2 − 1 = lim 2 = − x →0 x 2 1 2 − 所以，所以，原式 = e 2
二、无穷小的比较
例11 当下列函数分别是x的几阶无穷小时，下列函数分别是的几阶无穷小
~ ~
x2 2
x
1 2
2x = 1+ x + 1− x
~
x
练习：练习： P74，3（1），（）
求分段函数的极限，三、求分段函数的极限，判断分段函数的连续性，连续性，间断点的类型
例12
解：
1 x>0 x sin x , f ( x) = , 求 lim f ( x ). x x→ 0 → 1 − cos x − x sin 2 , x<0 x2 x 1 − cos x − x sin 2 lim− f ( x ) = lim− x x →0 x →0 x2 x sin 1 − cos x 1 1 2 = lim− − lim− = − =0 x →0 x →0 x2 x2 2 2 1 lim+ f ( x ) = lim+ x sin = 0 x →0 x →0 x lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = 0

极限章节习题课

? ?
x
(含 x n)
x
x
… xN … x N
lim f ( n)
n
?Байду номын сангаас
lim f ( x )
?
2. 极限的性质（1）极限的唯一性. （2）极限的局部保号性.
δ 0, 当 0 | x - x0 | 时,
有 f ( x) 0
1 ( 1)n 2 0 分析： n n 1 ( 1) n 0, 要使 0 , n 2 即 n
2 只需要， n
2 总 N , 证明： 0 ， 1 ( 1) n 0 当 n N 时，就有 n

1 ( 1) n lim 0 n n
（1）利用函数连续性求极限——代入法. （2）用恒等变形消去零因子法求极限.
（3）用同除一个函数的方法求型极限.
（4）利用两个重要极限求极限. （5）利用无穷小性质求极限.
（6）利用等价无穷小代换求极限.
（7）利用极限存在的两个准则求极限. （8）从左、右极限求分段函数在分界点处的极限. （9） * 用洛必达法则求未定式的极限.
(× )
.
(13) (14) (15) (16) (17) (18)
n
lim| a n | 0 lim a n 0
n n
(√ ) ( ×) (× ) (× ) ( √) ( ×)
lim| a n | 1 lim a n 1
n
1 1 lim xsin lim x limsin 0 x 0 x x 0 x 0 x x tanx x x lim lim 3 0 3 x 0 x 0 x x 1 cosx 1 cosx 1 lim lim 2 x 0 xsin x 0 x 2 x x sinxcosx x sin x lim lim 3 x 0 x 0 x x3

高等数学课后习题答案--第一章函数与极限

第一章函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤ []ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由 ][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a ax a ax a a x a x3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()xe x g =，求()[]x gf 和()[]x fg ，并做出这两个函数的图形。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}nx 有界, 又,0lim =∞→nn y证明:.0lim =∞→n n n y x{}结论成立。

从而时，有，当自然数即又有对有界，∴=<=-<>∃>∀=≤∀>∃∴∞→ ..0)(,0,0lim ,,0εεεεMM y x y x My N n N y Mx n M x n n n n n n n n n 5. 根据函数的定义证明: ⑴()813lim 3=-→x x8)13(lim 813303,033,33813,03=-<--<-<>∀<-<-=-->∀→x x x x x x x 所以成立时，恒有，当＝取故即可。

清华大学微积分习题课(Stolz定理、数列极限、函数极限)

（）求极限． 4
lim
x→0
2 1
+ +
1
ex
4
ex
+
sin x
x
Page 1 of 3
2/3
3．求下列极限
（）求．1
1
lim(1 + sin x)2x
x→0
（）． x2 −1x2
3
lim
x→∞
x2
+
1
4．求下列极限
（）求 2
lim(sin 1 + cos 1 )x .
x→∞
f (x) g(x)
τ = Tf ∈Q
f (x) g(x)
x→∞
Tg
什么关系？
．证明：若，且 ≤ ，则 11
f (x) = a1 sin x + a2 sin 2x + ⋯ + an sin nx
| f (x) | | sin x |
≤ ． a1 + 2a2 + ⋯ + nan 1
Page 2 of 3
．已知，求证：． 1
lim
n→∞
an
=
+∞
lim a1 + a2 + ⋯ + an = +∞
n→∞
n
．已知数列单调，且，证明：． 2
{an }
lim a1 + a2 + ⋯ + an = A
n→∞
n
lim
n→∞
an
=
A
3．证明：数列
{an
}
没有收敛子列等价于
lim
n→∞

函数,极限,连续-习题课

取Nmax{9,[

]},则 0n N, 有
即
n2 n 1 lim 2 . n 2n n 9 2
例5
证
证明
lim
x 2
x 2. x 1
x x2 | 2 || | x 1 x 1 1 不妨取 | x 2 | 2 ,即 3 5 1 3 1 x | x 1 | 2. 2 2 2 2 | x 1| x2 | 2 | x 2 | | x 2 | . 则 | x 1 2 1 取 min{ , },则x:0<|x-2|<，有 2 2 x | 2 | . 证毕. x 1
f (x ) x 2 2 x 2
例3 判断下列函数的奇偶性
a x 1 ① yx x a 1
② y ln x x 2 1
(
)
1 1 ax 1 x x x x a 1 1 a a a ( x ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x x x x 解 ① 1 a x 1 1 ax 1 ax 1 x x a a x x a 1 a 1 为偶函数。 x x f ( x) ∴函数 y x x a 1 a 1
1
x ln (1 2 x ) ～ 12 x
e
x 0
x 2x lim ( cos sin x 1 x )
1 x
e
2
复习: 若 lim u ( x) 0 , lim v( x) , 则有 x x0 x x0
x x0
lim 1 u ( x)
v( x)
lim
1 (1 x 3 ) 2 x 3 1 x 3 x 2
x 3

文科高等数学

文科高等数学习题课第一章函数、极限与连续一、判断是非题1．y =y x =相同 ( )2．()(22ln x x y x -=+是奇函数 ( )3．凡是分段函数表示的函数都不是初等函数 ( ) 4．2(0)y x x =>是偶函数 ( )5．复合函数(())y f x ϕ=的定义域就是()x ϕ的定义域 ( )6．若数列{}n n a b 极限存在，则数列{}n a 的极限存在。

( )7．数列{}n x 和{}n y 都发散，则数列{}n n x y +也发散。

( )8．若l i m 0n n n x y →∞= ，则l i m 0n n x →∞=或lim 0n n y →∞=.。

( ) 9．若0lim ()x x f x A →=，则0()f x A =。

( ) 10．已知0()f x 不存在，但0lim ()x x f x →有可能存在。

( ) 11．lim arctan 2x x π→∞=。

( ) 12．1lim 1x x e →+∞=。

( ) 13．非常小的数是无穷小量。

( )14．零是无穷小量。

( )15．无限变小的变量是无穷小量。

16．无限个无穷小量的和还是无穷小量。

( )17．在某极限过程中，若()f x 的极限存在，()g x 无极限，则()()f x g x +无极限。

( )18．在某极限过程中，若(),()f x g x 均无极限，则()()f x g x +无极限。

( )19．22221212limlim lim lim 0n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞+++=++= 。

( ) 20．00011lim sin lim limsin 0x x x x x x x →→→== 。

( ) 21．22lim(3)lim lim3x x x x x x x →∞→∞→∞-=-=∞-∞。

( )22． 1lim(1)x x e x→∞-= ( ) 23．若(),()f x g x 在点0x 处均不连续，则()()f x g x +在0x 处亦不连续； ( )24．若()f x 在点0x 处连续，()g x 在点0x 处不连续,则()()f x g x 在0x 处必不连续； ( )25．设()y f x =在区间(,)a b 内连续，则()f x 在(,)a b 内必有界。

考研数学习题课--1极限与连续总结

考研数学习题课--1极限与连续总结考研数学习题课讲义第⼀讲函数、极限与连续2016年⼤纲解读考试内容函数的概念及表⽰法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数, 基本初等函数的性质及其图形, 初等函数函数关系的建⽴; 数列极限与函数极限的定义及其性质, 函数的左极限与右极限; ⽆穷⼩量和⽆穷⼤量的概念及其关系, ⽆穷⼩量的性质及⽆穷⼩量的⽐较; 极限的四则运算, 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：ll ll llxx→00ssll ss xx xx=11, ll ll ll nn→∞11+11nn nn =ll ll ll xx→∞11+11xx xx=ee .函数连续的概念, 函数间断点的类型, 初等函数的连续性, 闭区间上连续函数的性质.考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表⽰法，并会建⽴应⽤问题的函数关系。

2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。

6. 掌握极限的性质及四则运算法则。

7. 掌握极限存在的两个准则，并会利⽤它们求极限，掌握利⽤两个重要极限求极限的⽅法。

8. 理解⽆穷⼩量、⽆穷⼤量的概念，掌握⽆穷⼩量的⽐较⽅法，会⽤等价⽆穷⼩量求极限。

9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最⼤值和最⼩值定理、介值定理），并会应⽤这些性质。

知识细节：1. 确定函数的⼏种⽅式:(1) 显函数 (2) 隐函数 (3) 参数⽅程(4) 幂指函数(对数恒等式) yy =ff (xx )gg (xx )=ee gg (xx )ll ss ff (xx ) (5) 变限积分函数 yy =∫ff (tt )ddtt xxaa 或 yy =∫ff (tt )ddtt φφ(xx )aa(6) 由极限确定的函数: yy =ll ll ll nn→∞ff (xx ,nn ) 或 yy =ll ll ll tt→xx(1) 设 f (x ) 在区间[?l , l ]上有定义, 则 f (x ) + f (?x )为偶函数, f (x ) ? f (?x ) 为奇函数.(2) 设 f (x ) 为可导的偶函数(或奇函数), 则 f ′(x ) 为奇函数(或偶函数); 若 f (x ) 为可导的周期函数, 则 f ′(x ) 为同周期的周期函数.(3) 设 f (x ) 连续, FF (xx )=∫ff (tt )ddtt xx00+CC (C 为任意常数), 则 f (x ) 为奇函数 ? F (x ) 为偶函数; 若 f (x ) 为偶函数, 则只有∫ff (tt )ddtt xx00 是奇函数.[说明: 周期函数的原函数不⼀定是周期函数, 如 f (x ) = cos x + 1 的周期为 2π, 但 F (x ) = sin x + x 不是周期函数.](4) 单调函数的导数和原函数不⼀定是单调函数. 3. 关于极限的运算法则的说明(1) 极限的四则运算法则的前提(和差积商可拆)是各部分的极限存在(处理的依然是类似于数的运算法则----有限可算, 拆开时部分式不能有∞, 分母不能出现0);(2) 凡是极限中出现有悖于数的运算法则的, 均要按极限的⽅式处理(未定式极限);(3) 若 lim f (x ) 与 lim g (x ) ⼀个存在⼀个不存在, 则 lim[ f (x ) ± g (x )]⼀定不存在; 若 lim f (x ) 与 lim[ f (x ) ± g (x )] 都存在, 则 limg (x )⼀定存在; 若 lim f (x ) 与 lim g (x ) ⼀个存在⼀个不存在, 则 lim f (x )g (x ) 可能存在也可能不存在, 若存在时⼀般为0(有界量与⽆穷⼩的乘积还是⽆穷⼩)[两个都不存在时lim f (x )g (x )可能存在也可能不存在].(4) 幂指函数极限运算常⽤公式: ll ll ll ff (xx )gg (xx )=AA BB (ll ll ll ff (xx )=AA >00,ll ll ll gg (xx )=BB ); ll ll ll uu (xx )→00vv (xx )→∞(11+uu (xx ))vv (xx )=eell ll ll uu (xx )vv (xx ).(1∞)4. ⼏个常⽤结论(1)>∞<==++++++??∞→mn m n m n b a bx a x b a x a x a m m m n n n x ,,0,lim 01010010100(2) ⼏个常见易出错的不存在极限: ;arctan lim ;lim x e x x x ∞→∞→xe x xx 1arctanlim ;lim 010→→及它们的变形 (3) 常⽤的数列极限: ll ll ll nn→∞=11.(4) ⽆穷⼩的和差运算规则: 和差取⼤(低阶)常考题型及其解法与技巧题型⼀求函数表达式注意: 在利⽤给定条件求复合函数的表达式时, 注意换元与迭代的思想.例1 设,1||,01||,1)(>≤=x x x f 则 f {f [ f (x )]}等于 ( ). (A) 0 (B) 1 (C) ,1||,01||,1>≤x x (D) ,1||,11||,0>≤x x 例2 设 gg (xx )=?22?xx ,xx ≤00xx +22,xx >00,ff (xx )=?xx 22,xx <00xx ,xx ≥00, 则g [f (x )] = _______.练习设 ff (xx )=?xx , xx ≤00xx +xx 22,xx >00, 则 f [ f (x )] = _____________________.题型⼆对函数性质的理解例2 当 x → 0 时, ff (xx )=11xx 22ssll ss 11xx 是 ( ).(A) ⽆穷⼩量 (B) ⽆穷⼤量(C) 有界但⾮⽆穷⼩量 (D) ⽆界但⾮⽆穷⼤量例3 设 f (x ) 是连续函数, F (x ) 是 f (x ) 的⼀个原函数, 则 ( ). (A) 当 f (x ) 是奇函数时, F (x ) 必是偶函数 (B) 当 f (x ) 是偶函数时, F (x ) 必是奇函数(C) 当 f (x ) 是周期函数时, F (x ) 必是周期函数(D) 当 f (x ) 是单调增加函数时, F (x ) 必是单调增加函数练习(1) 设 f (x ) 是奇函数, 除 x = 0 外处处连续, x = 0 为其第⼀类间断点, 则∫xt t f 02)()(d ∫xt t f B 02)()(d∫??x t t f t f t C 0)]()([)(d ∫?+xt t f t f t D 0)]()([)(d题型三数列的极限⼀、对概念、性质的理解注意: 此类问题主要考查对极限定义与性质的理解, ⼀般借助于极限存在的⼏何意义处理更有效；另外要注意⼏个基本的结论：⼦列原理、单调有界原理. 例4 数列{x n } 收敛于实数 a 等价于 ( )(A) 对任给ε > 0, 在 (a ? ε, a + ε) 内有数列的⽆穷多项 (B) 对任给ε > 0, 在 (a ? ε, a + ε) 内有数列的有穷多项 (C) 对任给ε > 0,在 (a ? ε, a + ε) 外有数列的⽆穷多项 (D) 对任给ε > 0, 在 (a ? ε, a + ε) 外有数列的有穷多项例 5 设函数 f (x ) 在 (?∞, +∞) 内单调有界, {x n } 为数列, 下列命题正确的是 ( ).(A) 若 {x n } 收敛, 则 {f (x n )} 收敛 (B) 若{x n } 单调, 则 {f (x n )} 收敛 (C) 若{f (x n )} 收敛, 则 {x n } 收敛 (D) 若{f (x n )} 单调, 则 {x n } 收敛练习(1) “存在正数ε0, 使满⾜ |xx nn ?AA |≥εε00的 x n 有⽆穷多项”是数列{x n }不收敛于 A 的 ( ).(A) 充分必要条件 (B) 必要但⾮充分条件 (C) 充分但⾮必要条件 (D) 既⾮充分⼜⾮必要条件(2) 设数列{x n }是数列, 下列命题不正确的是( ).(2015年数学三) (A) 若 ll ll ll nn→∞xx nn =aa , 则ll ll ll nn→∞xx 22nn =ll ll ll nn→∞xx 22nn+11=aa ;(B) 若ll ll ll nn→∞xx 22nn =ll ll ll nn→∞xx 22nn+11=aa , 则ll ll ll nn→∞xx nn =aa .(C) 若 ll ll ll nn→∞xx nn =aa , 则ll ll ll nn→∞xx 33nn =ll ll ll nn→∞xx 33nn+11=aa ; (D) 若ll ll ll nn→∞xx 33nn =ll ll ll nn→∞xx 33nn+11=aa , 则ll ll ll nn→∞(1) 求出和的通项(相对简单:拆项相消、等⽐数列等); (2) 定积分定义(注意转换) ∑ff (ξξii )ΔΔxx ii nn ii =11→∫ff (xx )ddxx bb aa ; (3) 夹逼准则.例 6 求下列数列的极限:(1) ll ll ll nn→∞?11nn +11+11nn +22+?+11nn +nn(2) ll ll ll nn→∞11nn ?11?nn +11+nn+22nn +22+nn+?+nnnn +nn+nn练习(1) 求 ll ll ll nn→∞11nn 22+11+22nn 22+22+?+nnnn 22+nn ? ;(2) 求 ll ll ll nn→∞ssll ssππnnnn+11+nn nn+11+?+ssll ss ππnn+11?三、通项是 n 项乘积的数列的极限设 xx nn =∏aa ii nn ii=11, 求 ll ll ll nn→∞xx nn .⼀般解法: (1) 求出积的通项; (2) 利⽤对数化为和的形式; (3) 夹逼准则. 例7 求下列数列极限(1) ll ll ll nn→∞11nn ?nn (nn +11)(nn +22)…(22nn ?11)nn(2) ll ll llnn→∞11?33?55?… ?(22nn?11)22?44?66?… ?(22nn )四、通项由递推公式给出的数列的极限设 xx nn+11=ff (xx nn ), 求ll ll ll nn→∞xx nn . (注意: 通项也可能是其他形式).⼀般解法: 先利⽤单调有界原理证明极限存在, 再令ll ll ll nn→∞xx nn =aa , 通过递推公式解⽅程求出极限.例8 (2006年数学⼀) 数列 {x n } 满⾜ 0 < x 1 < π, x n +1 = sin x n (n = 1, 2, …). (1) 证明 n n x ∞→lim 存在, 并求其极限;(2) 计算 .lim 211nx n n n x x+∞→练习(1) 设 x 1 > 0, x n +1 = 11?ee ?xx nn , n = 1, 2, ….(i) 证明 n n x ∞→lim 存在, 并求其极限;(ii) 计算ll ll ll nn→∞xx nn xxnn+11xx nnxx(2) 设 a > 0, x 1 > 0, 且定义 xx nn+11=1144?33xx nn +aaxx nn33?(nn =11,22,…), 证明当 n →∞时,数列 {x n } 的极限存在并求出该极限值.五、利⽤函数的极限求数列极限注意: ⼀般是含有 n 的未定式极限, 应该按数列极限处理, 若⽤到罗⽐达法则, 最好先求出 x →+∞ 时的极限, 再利⽤函数极限与数列的极限关系(结论也可以⽤来说明极限不存在)得出结果.例9 .arctan 2lim nn n∞→π练习求 ll ll ll nn→∞nn ?ee ?11+11nn ??nn11.题型四函数的极限⼀、分段函数的极限求分段函数在分段点处的极限, 要利⽤:.)(lim )(lim )(lim 0A x f x f A x f x x x x x x ==?=?+→→→例11 (2000年数学⼀) 求.||sin 11lim /4/10+++→x x x x x e e例12 当 x → 1 时, 函数xx 22?11xx?11ee11xx?11的极限为 ( ).(A) 2 (B) 0 (C) ∞ (D) 不存在⼆、未定式极限未定式的类型: “0000,∞∞; ∞?∞,00?∞; 11∞,0000,∞00”. 注意各部分均为极限、罗⽐达法则不是万能的(先确定极限的类型，再考虑⽅法，⼀定要与数的运算分开).1.0000,∞∞型未定式3x xx x ?→例14 求.ln ln lim 2xt dt x xx ∫+∞→例15 求.sin 114lim 22xx x x x x +++?+?∞→例16 求.)1ln()cos 1(1sin)cos 1(sin 3limx x x x x x ++?+→练习：求下列极限 (1) 213lim21++→x x xx x(2) .13cos 21lim 3+→x x x x(2004年数学⼆) (3) 30sin arctan lim x x x x ?→(2007年数学⼆) (4) ll ll llxx→?∞33xx 22+xx11+xx11xx +ccccss xx 2. ∞?∞,00?∞型未定式⽅法: 转化为 0000,∞∞ 型(通分、构造分母等)例18 求.2arctan 2lim 22x x x ?∞→π练习: 求下列极限(1) .cos sin 1lim 2220→x x x x (2) .lim++∞→x x x x x3. 11∞,0000,∞00型未定式⽅法: ⾮1∞类型常使⽤对数恒等式(或取对数后化为00?∞型未定式).uu (xx )vv (xx )=ee vv (xx )ll ss uu (xx ).; 1∞类型: ll ll ll uu (xx )→00vv (xx )→∞(11+uu (xx ))vv (xx )=eell ll ll uu (xx )vv (xx ).例19 求.arcsin lim 210x x x x→例20 求.lim ln 10xkx x+→+例21 求ll ll ll xx→+∞(ll ss xx )11xx?11练习: 求下列极限(1) )1ln(12)(cos lim x x x +→(2003年数学⼀)(2) .sin 1tan 1lim 310x x x x++→三、极限的综合题说明: 这类题⽬涉及⾯稍微⼴泛, ⽐如导数的定义、已知⼀个极限求另⼀个极限等。

高等数学习题课(1)函数极限与连续性

连续,
证明 f (x) 对一切 x 都连续 .
提示:
lim f (x x) lim [ f (x) f (x)]
x0
x0
f (x) f (0)
f (x 0) f (x)
P73 题5. 证明: 若 f (x) 在 (, )内连续, lim f (x)
x
存在, 则 f (x) 必在 (, )内有界.
III.课堂训练题 1. 求数列极限
1 lim[ n n n n ] n
2 lim 1 a1 a2 1 a2n ，( a 1) n
2. 求下列极限
1 lim x0
1 tan x 1 sin x sin3 x
2 lim sin x 1 sin x x
公式：sin A sin B 2cos A B sin A B
xx0
f (x)
f
(x0 )
6. 连续函数的性质
1) 有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为零），仍为连续函数；
2) 单值单调连续函数的反函数在对应区间上也为单值单调的连续函数；
3) 连续函数的复合函数也是连续函数； 4) 一切初等函数在其定义区间内都是连续函数。
7. 闭区间上连续函数的性质
有 y f (x0 x) f (x0 )
如果 lim y 0
①
x0
或
lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
②
或
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
③
则称函数y f (x) 在点 x0 处连续。
命题：lim xx0
f
(x)
f

高等数学第一章函数极限练习题

(1 x ) 1 lim x 0 x
- 17 -
习题课（一）
例7
第一章函数极限连续
解
x2 1 ax b] 0. 求常数 a, b, 使得 lim[ x x 1 x2 1 0 lim[ ax b] x x 1 (1 a ) x 2 (b a ) x 1 b lim x x 1 1 a 0, a b 0
第一章函数极限连续
x
3 2 1 ) e 3 原式 lim [(1 x 1 x x 1 lim [sin x 1 sin x 1]
x 1 3 x 3 ) ] (
sin x 1 sin x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 cos sin 2 2 x 1 x 1 | cos | 1 2 1 x 1 x 1 lim sin 0 lim sin x x x 1 x 1 2 所以原式 0
f A f f f
-6-
2
函数的趋向过程
习题课（一）
定义的四个主要部分
(1) 对任意给定的 , (2) 总存在 ,
第一章函数极限连续
(3) 使当时,
(4) 恒有不等式成立,
(1),(4)用来刻划函数的趋向过程 (2),(3)用来刻划自变量的趋向过程 (3)起着控制(4)的作用例5 叙述下列极限的定义 (1) lim xn
1 lim f ( x ) x 0 2
- 20 -
(3)
设 f ( x)
x 1
x 1 e x
习题课（一）
, 考察 lim f ( x ), lim f ( x )

习题课2—函数极限2009

第二次习题课（函数极限、无穷小比较）一、内容提要1.函数极限定义，验证21lim 3=+→x x . 2.极限性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式）.3.极限四则运算.求xe e xx x 230lim -→-. 4.收敛准则（迫敛准则、柯西收敛准则、归结原则）.5.无穷小与无穷大（无穷小比较、等价无穷小替换定理、渐近线的求法）.6.重要极限与常用等价无穷小.二、客观题1.当0→x 时，下列四个无穷小中，（）是比其它三个更高阶的无穷小.为什么？（A ）2x ； (B)x cos 1-； (C)112--x ； (D)x x sin tan -2.已知5)(cos sin lim 0=--→b x ae x x x ，则), (=a ) (=b . 3.的是时，当 sin 02x x x x -→（）.)(A 低阶无穷小；)(B 高阶无穷小；)(C 等价无穷小；)(D 同阶无穷小但非等价无穷小.4.设f x nx nxn ()lim =-→∞31,则它的连续区间是（）. 5.当x →0时下列变量中与x 是等价无穷小量的有 [ ]. )(A x 21sin ； )(B )1ln(x +； )(C 2x ； )(D x x -22.7.设xx x f 11)(2-+=，则0=x 是)(x f 的间断点，其类型是．____________ 三、解答题1利用重要极限求下列函数极限（1）17lim 1x x x x -→∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭（二重），（2）设n n n n n a x !=，求极限n n n x x 1lim +∞→，（3）求极限()210cos lim x x x →，解：()()1cos 1cos 1010)1(cos 1lim cos lim x x x x x x x x -⋅-→→-+=211cos lim 30--==→e e x x x 2.利用等价无穷小的性质求下列极限：（1）()x x x sin 31ln lim 0-→；（2）bx x ax x tan sin lim 20+→，0≠b ；（3）11sin 1lim 20--+→x x e x x . 3.利用连续函数求下列极限：(1)()x ax x +→1ln lim 0；(2)x e x x 1lim 0-→(提示：令1-=x e t )；（3）()x x x 2cot 20tan 31lim +→.4.利用函数极限的归结原则求数列极限（1）n n x 2sin lim ∞→，（2）nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→2211lim . 5.设()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0][0sin x x x x x ax x f ，应怎样选取数a ，才能()x f 使处处连续？6.已知 1)11(l i m 23=--++∞→b ax x x x ，求常数,a 和b 。

数列和函数极限部分习题课

n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
例： lim (
n→ ∞
12 + 2 1 n +n
2
+L+ ≤ 1
1 n2 + n ≤ 1
) 1 n2 +1 ≤
注意到对任意的 k ，
n +k
2
，因此
n n +n
2
≤
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+L+
n n +1
2
n +n
2
而 lim
n→ ∞
n n2 +1
1
（5）使用两个基本极限 lim
例： lim
x→0
sin 2 x 2 sin x cos x sin x = lim = 2 lim lim cos x = 2 ⋅1⋅1 = 2 x → 0 x → 0 x x x x→0
也可以这样做：
sin 2 x sin 2 x sin u = 2 lim = 2 lim = 2 ⋅1 = 2(其中令u = 2 x) x→0 x→ 0 u →0 x 2x u arctan x 例： lim ，令 u = arctan x ，即 x = tan u ， x → 0 变为 u → 0 。 x→0 x arctan x u u lim = lim = lim cos u = 1 。 x→0 u → 0 tan u u → 0 sin u x lim
（3）分子有理化和分母有理化
例：
lim 3
x→1
x −1 ( x − 1)( x + 1)(3 x 2 + 3 x + 1) ( x − 1)(3 x 2 + 3 x + 1) = lim = lim x − 1 x→1 (3 x − 1)(3 x 2 + 3 x + 1)( x + 1) x→1 ( x − 1)( x + 1)

同济高数第一章习题课

0 2.做变量替换转化为型 0
3.其他方法。罗比达法则。
4.“0·∞”型未定式转化为
0 型或型 0
5.“∞- ∞”型未定式通过通分、分子有理化或倒数替换将其转化
0 为型或型 0
5.幂指数函数极限的求法幂指函数: 形如 u(x)v(x) (u(x)>0, u(x)1)的函数（1）利用两个重要极限的第二个。（2）若 lim u( x ) a 0, lim v( x ) b, 则
lim u( x )
v( x )
a .
b
6.n项求和及乘积的极限求和时
1.分子和分母同乘一个因子，然后拆项求和。
2.夹逼准则。
乘积时
1.夹逼准则例求极限 lim n 1n 2n 3n .
n
lim 3 x 9 x 例求极限 x
1 x
例. 求 lim (1 2
证明数列{xn}的极限存在, 并求其极限.
7.确定极限中的参数
0 由于极限为常数，故常为型或型，利用消去零因子来求出常数。 0
2 n 1
例设 f ( x ) lim
x
n
ax b 为连续函数, 求a, b. 2n x 1
例. 确定常数 a , b , 使解: 原式 lim x ( 3 13 1 a b ) 0 x
x
x
3x ) x .
x x x 3 )
1
1
解: 令 f ( x) (1 2
3
1 x
(1) x 3
( 2) x 3
1
1 x
3 f (x) 3 3 利用夹逼准则可知 lim f ( x) 3 .

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第二次习题课（函数极限、无穷小比较）
一、内容提要
1.函数极限定义，验证21lim 3
=+→x x . 2.极限性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式）.
3.极限四则运算.求x
e e x
x x 230lim -→-. 4.收敛准则（迫敛准则、柯西收敛准则、归结原则）.
5.无穷小与无穷大（无穷小比较、等价无穷小替换定理、渐近线的求法）.
6.重要极限与常用等价无穷小.
二、客观题
1.当0→x 时，下列四个无穷小中，（）是比其它三个更高阶的无穷小.为什么？
（A ）2x ； (B)x cos 1-； (C)112--x ； (D)x x sin tan -
2.已知5)(cos sin lim 0=--→b x a
e x x x ，则), (=a ) (=b . 3.的是时，当 sin 02x x x x -→（）.
)(A 低阶无穷小；)(B 高阶无穷小；)(C 等价无穷小；)(D 同阶无穷小但非等价无穷小.
4.
则它的连续区间是（）. 5.当x →0时下列变量中与x 是等价无穷小量的有 [ ].
)(A x 2
1
sin ； )(B )1ln(x +； )(C 2x ； )(D x x -22. 7.设x
x x f 11)(2-+=，则0=x 是)(x f 的间断点，其类型是．____________ 三、解答题
1利用重要极限求下列函数极限
（1）17lim 1x x x x -→∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
（二重），（2）设n n n n n a x !=，求极限n n n x x 1lim +∞→，（3）求极限()210cos lim x x x →，解：()()321cos 1cos 1010)1(cos 1lim cos lim x x x x x x x x -⋅-→→-+=211
cos lim 30--==→e e x x x
2.利用等价无穷小的性质求下列极限：
（1）()x x x sin 31ln lim 0-→；（2）bx x ax x tan sin lim 20+→，0≠b ；（3）1
1sin 1lim 20--+→x x e x x . 3.利用连续函数求下列极限：
(1)()x ax x +→1ln lim 0；(2)x e x x 1lim 0-→(提示：令1-=x e t )；（3）()x x x 2cot 20tan 31lim +→.
4.利用函数极限的归结原则求数列极限
（1）n n x 2sin lim ∞→，（2）n
n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→2211lim . 5.设()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0][0sin x x x x x ax x f ，应怎样选取数a ，才能()x f 使处处连续？
6.已知 1)1
1(l i m 23=--++∞→b ax x x x ，求常数,a 和b 。

（极限分析）四、证明题
1.若)(x f 为周期函数，且0)(lim =∞
→x f x ，试证明) ,( ,0)(∞+-∞∈≡x x f . 2. 利用函数极限的归结原则证明x x cos lim ∞
→不存在. 3.设),)((~)(0x x x g x f →证明：))(()()(x f o x g x f =-.
4.设函数f 在),0(∞+上满足方程)()2(x f x f =，且A x f x =+∞
→)(lim ，证明：A x f ≡)(，),0(∞+∈x .
5．设函数f 在),0(∞+上满足方程)()(2x f x f =，且)1()(lim )(lim 0f x f x f x x ==+∞
→→+，证明：)1()(f x f ≡，),0(∞+∈x .。