天津市滨海新区塘沽一中2020届高三复课模拟考试数学试卷(解析)
2020届天津市高三高考全真模拟(一)数学试题(解析版)
根据函数的性质排除选项是解题关键.
7．设 a 0.30.6 ， b 0.60.3 ， c 0.30.3 ，则 a，b，c 的大小关系为（
）
A． b a c
【答案】B
B． a c b
C． b c a
D． c b a
【解析】根据指数函数的单调性得出 0.30.6 0.30.3 ，而根据幂函数的单调性得出
A． AE
B． AC
C． DC
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D． BC
【答案】A
【解析】利用 AB, DC 是相等向量及 E 为中点可得正确的选项．
【详解】
因为 1 AB AD AD DE AE ，故选 A． 2
【点睛】 本题考查向量的加法及向量的线性运算，属于容易题． 4．下列命题中错误的是（ ）
2020 届天津市高三高考全真模拟（一）数学试题
一、单选题
1．已知全集U R ，集合 A {x | 2 x 3} , B {y | y 2x1, x 0} ，则 A U B
（）
A．{x | 2 x 0} C．{x | 0 x 1}
2
【答案】B
B．{x | 2 x 1} 2
点睛：抓住两个边界：当直线 1 与 OP 垂直时，弦长|AB|最小；当直线 1 过圆心 O 时，
弦长|AB|最大，从而定出了弦长的变化范围，又弦长为整数，故中间只有一种情况，结
合圆的对称性，不难发现此时有两种情况.
9．已知函数 f (x) 1 m cos 2x (m 2)sin x ，其中1 m 2 ，若函数 f x 的最大值
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定理和化简整理能力，属于中档题．
13． (x 1)7 (x 1)3 的展开式中 x 的系数是__________． 【答案】 4
天津市滨海新区2020届高三高考二模数学试题 Word版含解析
2020年高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合UA B 是( )A. {1,3,5,6}B. {1,3,5}C. {1,3}D. {1,5}【答案】D 【解析】 【分析】利用补集和交集的定义可求出集合UA B .【详解】集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则{}1,5,6UB =，因此，{}1,5UA B =.故选：D.【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2.设x ∈R ，则“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】分别求解|2|1x ->和2430x x -+>，观察解集的关系即可得出结果. 【详解】解：|2|1x ->等价于2121x x ->-<-或，即31x x ><或；2430x x -+>的解为31x x ><或，解集相等，所以“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，涉及绝对值不等式和一元二次不等式求解集，属于基础题.3.某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为（ ）A. 18B. 36C. 54D. 72【答案】B 【解析】 【分析】由频率分布直方图求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数． 【详解】由频率分布直方图得：每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率为：1﹣（0.03+0.06+0.18+0.14）×2＝0.18， ∴每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为：200×0.18＝36． 故选：B ．【点睛】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.函数()()311x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除A 、C,再由x →+∞时,()f x 的趋向性判断选项即可 【详解】由题,()f x 的定义域为{}|0x x ≠,因为()()()()331111x x xx e e f x f x x e x e --++-===---,所以()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除A 、C ； 又因()()()33311211x x x e f x x x e x e +==+--,则当x →+∞时,3x →+∞,1x e -→+∞,所以()0f x →,故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象5.已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于（ ） A. 8π B. 9πC. 10πD. 11π【答案】A 【解析】 【分析】由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°可得三角形ABC 的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积． 【详解】由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，由余弦定理可得：BC == ∴222AC BC AB +=，∠ACB ＝90°，∴底面外接圆的圆心在斜边AB 的中点， 设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，则r 2AB==1，又11122ABC S BC AC ∆=⋅=⨯=所以V 柱＝S △ABC •AA 13=，所以可得AA 1＝2， 因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点， 设外接球的半径为R ，则R 2＝r 2+（12AA ）2＝12+12＝2， 所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×2＝8π，故选：A ．【点睛】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，以及球的表面积公式，属于中档题．6.已知函数f （x ）＝2|x |﹣log 12|x |，且a ＝f （ln32），b ＝f （log 213），c ＝f （2﹣1），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c ＜a ＜b B. b ＜c ＜a C. a ＜c ＜b D. b ＜a ＜c【答案】C 【解析】 【分析】由定义判断函数为偶函数且在（0，+∞）上为增函数，再由ln 32＜2﹣1＜log 23及函数单调性得结论．【详解】由f （﹣x ）＝2|﹣x |﹣log 12|﹣x |＝2|x |﹣log 12|x |＝f （x ），可知f （x ）为偶函数，又当x ＞0时，f （x ）＝2x ﹣log 12x ＝2x +log 2x 为增函数，且0＜ln 32＜ln 1212e =，b ＝f （log 213）＝f （﹣log 213）＝f （log 23），log 23＞log 22＝1．∴ln 32＜2﹣1＜log 23．则a ＜c ＜b ． 故选：C ．【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题． 7.已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数()12f x π+是偶函数．下列判断正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为2πB. 函数()f x 的图象关于点7(,0)12π对称 C. 函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称D. 函数()f x 在3[,]4ππ上单调递增 【答案】D 【解析】试题分析：由题图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则；,2T πω==, 又函数()12f x π+是偶函数，可知；()sin(2())sin(2),,()sin(2)12633f x x x f x x ππππϕϕϕ=++=++==+则得；A 错误，B ，图像对称点横坐标为；2,,362k x k x k Z ππππ+==-+∈错误； C ，图像的对称直线方程为；2,,32122k x k x k Z πππππ+=+=+∈，错误； D ，函数的增区间为；5222,,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+-+≤≤+∈ 71,,1212k x πππ=≤≤+3[,]4ππ为它的子集．正确．考点：三角函数的性质的综合运用．8.已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），抛物线y 2＝4cx 的准线与双曲线的一个交点为P ，点M 为线段PF 的中点，且△OFM 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.+1C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线y 2＝4cx 的准线为x ＝﹣c ，不妨设点P 的坐标为（﹣c ，y ），y ＞0，将其代入双曲线方程可求得y ，当确定点P 的坐标后就能得到点M 的坐标，由于△OFM 为等腰直角三角形，可根据|MF |＝|OF |建立a 、b 、c 的关系式，再结合b 2＝c 2﹣a 2和1ce a=＞即可得解． 【详解】抛物线y 2＝4cx 的准线为x ＝﹣c ，不妨设点P 的坐标为（﹣c ，y ），y ＞0，代入双曲线方程有22221c y a b -=，解得2b y a=，∴点P 的坐标为2b c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∵点M 为线段PF 的中点，且F （﹣c ，0），∴M （﹣c ，22b a），∵△OFM 为等腰直角三角形，∴22b c a=即2ac ＝b 2＝c 2﹣a 2，∴2()210c c aa -⋅-=，解得1c a =（舍负），∴1c a=+ 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线与抛物线的几何性质，涉及抛物线的准线方程、双曲线的焦点、离心率等，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题．9.已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()()g x f x x m =-+恰有三个零点，则实数m的取值范围是（ ） A ()1,2,04⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦B. ()12,0,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. [)12,0,4⎛⎤--+∞⎥⎝⎦D. [)1,20,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】()()g x f x x m =-+恰有三个零点则()f x x m =-的函数图像有三个交点,再画图分析求解即可.【详解】根据()22,01,0x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩的图像,取绝对值可知()f x x m =-如图.当()f x x m =-的函数图像有三个交点时分两种情况①当直线y x m =-与抛物线部分相交于三个点时,临界条件分别为y x m =-过原点时,此时0m =,以及与抛物线相切,此时2220x x x m x x m -=-⇒--=判别式11404m m ∆=+=⇒=-,故1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦②当直线y x m =-与抛物线部分相交于1个点,与1y x=-相交于两点,此时临界条件为直线y x m =-与1y x =-相切,此时2110x m x mx x-=-⇒-+=判别式2402m m ∆=-=⇒=±,由图得y x m =-中0m <,故2m =-为临界条件. 故此时(),2m ∈-∞-综上所述, ()1,2,04m ⎛⎤∈-∞-- ⎥⎝⎦. 故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点的问题,需要画出对应的图像分析直线与曲线相切等的临界条件,属于中等题型.二.填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.复数212ii+-的共轭复数是 ___________ 【答案】i -. 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i +++===--+ ，故该复数的共轭复数为i - .11.）6的展开式中常数项是_____． 【答案】-160 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求得第r +1项，令x 的指数为0得常数项．【详解】展开式的通项为T r +1＝362r r rC x --（）令3﹣r ＝0得r ＝3所以展开式的常数项为3362C -（）＝﹣160 故答案为：﹣160．【点睛】二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．12.已知圆心为C 的圆经过点A （﹣1，﹣1）和B （﹣2，2），且圆心C 在直线l ：x ﹣y ﹣1＝0上，则圆心为C 的圆的标准方程是_____． 【答案】（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25 【解析】 【分析】由已知求出AB 的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆的方程可求．【详解】由A （﹣1，﹣1），B （﹣2，2），得AB 的中点为（32-，12），又12312AB k --==--+，∴AB 的垂直平分线方程为113232y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即x ﹣3y +3＝0．联立33010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩．∴圆心坐标为C （3，2），半径为|CA |＝5．∴圆心为C 的圆的标准方程是（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25． 故答案：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25．【点睛】本题圆的标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题．13.已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是_____；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E （ξ）为_____． 【答案】 (1). 950 (2). 35【解析】 【分析】基本事件总数n ＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m ＝103﹣（23+33+53222222333283755C C C +⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯）＝180，由此能求出3个小颜色互不相同的概率；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n ，210），由此能求出ξ的数学期望E （ξ）．【详解】箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球， 现从该箱中有放回地依次取出3个小球， 基本事件总数n ＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数：m ＝103﹣（23+33+53222222333283755C C C +⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯）＝180，则3个小球颜色互不相同的概率是P 1809100050m n ===； 若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n ，210），∴ξ的数学期望E （ξ）＝323105⨯=． 故答案为：950，35．【点睛】本题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是中档题．14.已知正数x ，y 满足23x y xy+=，则当x ______时，x y +的最小值是______． 【答案】 (1). 12(2). 1 【解析】 【分析】将x y +化简成只关于y 的解析式,再换元利用基本不等式求解即可.【详解】正数x ,y 满足23x y xy +=, 2031y x y ∴=>-,可得13y >,2243131y y yx y y y y -∴+=+=--, 令31t y =-则13ty +=且0t >, 22114451111334551999t t t t x y t t t t ++⎛⎫- ⎪++⎝⎭+===++≥+=（）（, 当且仅当14t t =即12t =,此时12x y ==取最小值1,故答案：1(1)2(2)1 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要换元后再利用基本不等式,属于中等题型. 15.在平面凸四边形ABCD 中，2AB =，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且32MN =，若()32MN AD BC ⋅-=，则AB CD ⋅=______. 【答案】2- 【解析】 【分析】取BD 的中点O ，连接OM ，ON ，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值.【详解】解：取BD 的中点O ，连接OM ，ON ，可得1()2MN MO ON AB DC =+=+， 平方可得()()2222119242444MN AB DC AB DC DC AB DC =++⋅=++⋅=， 即有25122AB DC DC ⋅=-，3()2MN AD BC ⋅-=，即有1()()2AB DC AB BD BC +⋅+-()()2221113()()42222AB DC AB CD AB CD CD =+⋅+=-=-=， 解得21CD =，所以2151522222AB CD DC ⋅=-=-=-，故答案为：−2.【点睛】本题考查向量数量积的性质和向量的中点表示，化简整理的运算能力，属于中档题.三.解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且113b c cosA ABC -==，，的面积为22（Ⅰ）求a 及sinC 的值； （Ⅱ）求π26cos A -（）的值． 【答案】（Ⅰ）3a = ，42sinC =（Ⅱ4273-）【解析】 【分析】(1)根据余弦定理与面积公式化简求解即可.(2)先利用二倍角公式求解2sin A 与2cos A ,再根据余弦的差角公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且21221,,133b c cosA sinA cos A -==∴=-=, ABC的面积为122222,6,3,22233bc bc sinA bc bc b c ⋅=⋅==∴=∴==, 22129423233a b c bc cosA ∴=+-⋅=+-⋅⋅⋅=． 再根据正弦定理可得a c sinA sinC=,即242,922sinC sinC =∴=． （Ⅱ22142222,339sin A sinAcosA ∴==⨯⨯=） 272219cos A cos A =-=-,故734214273222666929218cos A cos Acossin Asinπππ--=+=-⋅+⋅=（）． 【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式的运用,同时也考查了二倍角公式与和差角公式的运用,属于中等题型.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △为等边三角形，边长为2，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ︒∠=，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)证明：AC ⊥平面P AD ；(2)求平面P AD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)棱PD 上是否存在一点E ，使得//AE 平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）30；（3）棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，且13PE PD =. 【解析】 【分析】（1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，得PO ⊥平面ABCD ，以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角求二面角；（3）假设棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，设PE PD λ=，由AE 与平面PBC 的法向量垂直求得λ，如果求不出，说明不存在.【详解】（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，平面PAD 平面ABCD AD =，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面PAD ；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，由于PAD ∆是等边三角形，所以PO AD ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ，3PO =，以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)D ，(0,1,0)C ，11(,,0)22B -，(1,0,3)P ，(1,1,3)PC =-，11(,,0)22BC =，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则011022n PC x y n BC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =-，则1y =，z =(n =-，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，cos ,1mn m n m n⋅<>===⨯，∴平面P AD 与平面PBC ；（3）假设棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，设PE PD λ=(01)λ≤≤，由（2）(1,0,PD =，AP =，10AE AP PE AP PD λλ=+=+=+(，又平面PBC的一个法向量是(n =-， ∴1)0AE n λ⋅=--+=，解得13λ=，∴13PE PD =. ∴棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，且13PE PD =. 【点睛】本题考查由面面垂直证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，研究线面平行．解题是建立空间直角坐标系．18.已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3+a 4+a 5＝28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{（b n +1﹣b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的通项公式．【答案】（Ⅰ）12n n a -=；（Ⅱ）()211543()2n n b n -=-+⋅．【解析】 【分析】（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）设c n ＝（b n +1﹣b n ）a n ，数列{c n }前n 项和为S n ．由数列的递推式求得c n ，再由数列的恒等式可得b n ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求通项公式．【详解】（1）由题知a 3+a 4+a 5＝28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项， 所以a 3+a 5＝2a 4+4，解得a 4＝8，a 3+a 5＝20， 即a 1q 3＝8，a 1q 2+a 1q 4＝20， 解得a 1＝1，q ＝2， 所以12n na ；（2）设c n ＝（b n +1﹣b n ）a n ，数列{c n }前n 项和为S n ．由11,1,2n n n S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩，S n ＝2n 2+n ，S n ﹣1＝2（n ﹣1）2+n ﹣1．解得c n ＝4n ﹣1． 由（1）可知12n na ，所以()11141()2b b n -+-=-⋅n n n ，故()21145()22n n b b ---=-⋅≥，n n n ，b n ﹣b 1＝（b n ﹣b n ﹣1）+（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+（b 3﹣b 2）+（b 2﹣b 1）()()2310111145()49()7()3()2222n n --=-⋅+-⋅++⋅+⋅n n ，设()()013211113()7()49()45()22222T n n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅≥，n n n ， 所以()()2211111137()49()45()22222n T n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅n n n ， 相减可得()22111111344()4()45()22222T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅n n n =3+4•211122112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭--（4n ﹣5）•（12）n ﹣1， 化简可得()211443()22T n n -=-+⋅≥，n n ，又b 1＝1，所以()211543()2n n b n -=-+⋅．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的恒等式和数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.已知点A ，B 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左顶点和上顶点，F 为其右焦点，1BA BF ⋅=，且该椭圆的离心率为12； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P 为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M 为直线AP 与y 轴的交点，线段AP 的中垂线与x 轴交于点N ，若直线OP 斜率为OP k ，直线MN 的斜率为MN k ，且28OP MNb k k a⋅=-（O 为坐标原点），求直线AP 的方程. 【答案】（1）22:143x y C +=（2）3260x y ±+=【解析】 【分析】（1）依题意表示出BA ，BF ，根据1BA BF ⋅=，和离心率为12，求出,a b 的值，即可求出椭圆方程.（2）设直线AP 的斜率为k ，直线AP 方程为(2)y k x =+，设(),p p P x y ，AP 中点为(),H H H x y ，(),0N N x 联立直线方程与椭圆方程，消去y 即可用含k 的式子表示P 、H 的坐标，即可表示出AP 中垂线方程，求出N 的坐标，最后根据28OP MN b k k a⋅=-求出参数k 即可得解.【详解】解：（1）依题意知：(,0)A a -，(0,)B b ，(c,0)F ，(,)BA a b =--，(,)BF c b =-，则21BA BF ac b ⋅=-+=，又12c e a ==，2a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22:143x y C +=.（2）由题意()2,0A -，设直线AP 的斜率为k ，直线AP 方程为(2)y k x =+ 所以(0,2)M k ，设(),p p P x y ，AP 中点为(),H H H x y ，(),0N N x由22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2222341616120k x k x k +++-=221612(2)34P k x k-∴-⋅=+ 2226812,3434k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ 22286,3434k k H k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭AP ∴中垂线方程为：2226183434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭令0y =得22234N k x k-=+. 222,034k N k ⎛⎫-∴ ⎪+⎝⎭2634P OP P y k k x k∴==-，222234234MNk k k k kk +==+ 22263481234OP MNk k b k k k k a ⎛⎫+⎛⎫⋅=⋅=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭解得294k =. 32k ∴=±∴直线AP 的方程为3(2)2y x =±+，即3260x y ±+=【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合问题，属于中档题. 20.已知2()46ln f x x x x =--，（1）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性；（2）对(1,)x ∀∈+∞，有21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭恒成立，求k 的最大整数解； （3）令()()4(6)ln g x f x x a x =+--，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x ()12x x <且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>.【答案】（1）切线方程为85y x =-+；单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞（2）k 的最大整数解为3（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，求出(1)f '，(1)f 即可得到切线方程，解()0f x '>得到单调递增区间，解()0f x '<得到单调递减区间，需注意在定义域范围内； （2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x x k h x x +<=-，求导分析()h x 的单调性，即可求出k 的最大整数解；（3）由2()ln g x x a x =-，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明； 【详解】解：（1）2()46ln f x x x x =--所以定义域为0,6()24f x x x'∴=--；(1)8f '=-；(1)3f =-所以切线方程为85y x =-+；2()(1)(3)f x x x x'=+-，令()0f x '>解得3x > 令()0f x '<解得03x <<所以()f x 的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞.（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x x k h x x +<=-； 22ln ()(1)x xh x x --'∴=-，记()2ln m x x x =--，1()10m x x'=->，所以()m x 为(1,)+∞上的递增函数， 且(3)1ln30m =-<，(4)2ln 40m =->，所以0(3,4)x ∃∈，使得()00m x = 即002ln 0x x --=，所以()h x 在()01,x 上递减，在()0,x +∞上递增， 且()000min 000ln ()(3,4)1x x x h x h x x x +===∈-；所以k 的最大整数解为3.（3）2()ln g x x a x =-，()20a g x x x '=-==得0x =当x ⎛∈ ⎝，()0g x '<，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0g x '>； 所以()g x在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 而要使()g x 有两个零点，要满足()00g x <，即2ln 02g a a e =-<⇒>；因为10x <<2x >21x t x =(1)t >， 由()()12f x f x =，221122ln ln x a x x a x ∴-=-， 即：2221111ln ln x a x t x a tx -=-，212ln 1a tx t ∴=- 而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>，即证：221(31)8t x a +>即：22ln (31)81a t t a t +>-由0a >，1t >只需证：22(31)ln 880t t t +-+>， 令22()(31)ln 88h t t t t =+-+，则1()(186)ln 76h t t t t t'=+-++令1()(186)ln 76n t t t t t =+-++，则261()18ln 110t n t t t-'=++>(1)t >故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=； 故()h t 在(1,)+∞上递增，()(1)0h t h >=；12034x x x ∴+>.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，最值以及函数的单调性，综合性比较强，属于难题.。
天津市滨海新区塘沽第一中学2020届高三毕业班第二次模拟数学试题及答案
姓名
座号
2020 年塘沽一中高三毕业班第二次模拟考试
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。
温馨提示：疫情期间，受时间和地域限制，此次考试采用线上测试方式，答卷时，考生务必 将答案选出上传，拍照上传部分的试题按要求，拍照清楚，在规定时间内完成上传。特殊时期， 请各位考生珍惜实战演练机会，独立作答！
数学
第Ⅱ卷
二．填空题(每小题 5 分，共 30 分，将每道小题的结果标清题号按顺序分别拍图片上传）
10．函数 f (x) log0.5(4x 3)的定义域是 ____________．
11.已知二项式
x2
2 x
n
的展开式中各项的二项式系数和为 512 ，其展开式中第四项的系数
____________．
4 月 23 日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外 阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一 个读书小组）学生抽取 12 名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：
小组
甲
乙
人数
12
9
丙
丁
6
9
（1）从参加问卷调查的 12 名学生中随机抽取 2 人，求这 2 人来自同一个小组的概率；
12．已知 F 是抛物线 C : y2 2x 的焦点， 是 C 上一点，F 的延长线交 y 轴于点 ．若 为
F 的中点，则 F ____________．
13．已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，
2020届天津市滨海新区塘沽一中高三二模考试数学试卷及答案
}
的前
n
项和为 Tn
；若对 n
N*
均满足 Tn
m 2020
，求整数
m
的最大值;
n
（3）是否存在数列 cn ,满足等式 (ai 1)cn1i 2n1 n2成立，若存在,求出数列 cn 的通项 i1
公式；若不存在，请说明理由.
20. (本题满分 16 分)已知 f ( x) a sin(1 x) ln x ，其中 a R .
243
）
70
B．
243
80
C．
243
38
D．
243
第2页共5页
9．已知函数
f
x
xlnx2x,x x2 2x,x 0
0
的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 y 1的对称
点在 y kx 1的图像上，则实数 k 的取值范围是（ ）
A．
1 2
,1
B．(0,1)
C．
1 2
,0
D．(-1,0)
2020 年塘沽一中高三毕业班第二次模拟考试
数学
第Ⅱ卷
二．填空题(每小题 5 分，共 30 分，将每道小题的结果标清题号按顺序分别拍图片上传）
10．函数 f (x) log0.5(4x 3)的定义域是 ____________．
11.已知二项式
x2
2 x
n
的展开式中各项的二项式系数和为 512 ，其展开式中第四项的系数
____________．
AB 4
(m2 9)2 (m2 12)2
,
MF
m2 9
MF
MF 1 AB 4
m2
9
9 m2
9
2020年天津市滨海新区高考数学模拟试卷(4月份)(含答案解析)
2020年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={0,1，2，3，4，5}，B={x|x2−x−2≤0}，则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1，2}C. {−1,0，1}D. {0,1}2.设变量x，y满足约束条件{x+2y≤4x−2y≤0x+2≥0，则目标函数z=3x−y的最小值为()A. −9B. 5C. 1D. −53.设x∈R，则“1<x<2”是“|x−2|<1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.运行如图所示的程序框图，若输出的结果为511，则判断框内可以填()A. k>8?B. k≥9?C. k≥10?D. k>11?5.已知定义在R上的函数f(x)=(13)|x−m|(m为实数)为偶函数，记a=f(log0.23)，b=f(log56)，c=f(m)，则a,b,c的大小关系为()A. a<b<cB. a<c<bC. b<a<cD. c<b<a6.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB(O为坐标原点)的面积为bc，则双曲线的离心率为()A. √2B. 2C. √3D. 37.若函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)，(x∈R,ω>0,|ϕ|<π2)的最小正周期为π，且f(0)=√3，则()A. ω=12,ϕ=π6B. ω=12,ϕ=π3C. ω=2,ϕ=π6D. ω=2,ϕ=π38.已知函数f(x)={1x+1−2,x∈(−1,0]x,x∈(0,1],g(x)=f(x)−mx−m在(−1,1]内有且只有两个零点，则实数m的取值范围是()A. (−94,−2]∪(0,12] B. (−114,−2]⋃(0,12]C. (−94,−2]⋃(0,23]D. (−114,−2]⋃(0,23]二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 已知i 为虚数单位，则复数2i1+i =______________．10. 已知函数f(x)=ax 3−x +2的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,6)，则a =____.11. 已知直线2x +my −8=0与圆C:(x −m)2+y 2=4相交于A,B 两点，且ΔABC 为等腰直角三角形，则m =________．12. 棱长均为1的正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球表面积为______ ． 13. 已知实数x ，y 满足y =2 2−log 2x ，则2x +1y 的最小值为______．14. 在平行四边形ABCD 中，AB =4，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 某社区有居民500人，为了迎接第十一个“全民健身日”的到来，居委会从中随机抽取了50名居民，统计了他们本月参加户外运动时间(单位：小时)的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]，得到如图所示的频率分布直方图． (Ⅰ)试估计该社区所有居民中，本月户外运动时间不小于16小时的人数；(Ⅱ)已知这50名居民中恰有2名女性的户外运动时间在[18,20]，现从户外运动时间在[18,20]的样本对应的居民中随机抽取2人，求至少抽到1名女性的概率．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC −ccos(A +C)=3acosB ，求cos B ．17.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是矩形，M是AB的中点，AC与DM交于点O，SO⊥平面ABCD，AB=2√6，AD=2√3，SO=2．(1)求证：平面SAC⊥平面SDM．(2)求直线SB与平面SAD所成角的正弦值．18.已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=11，b1=1，a2+b2=11，a3+b3=11．(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{|a n−b n|}的前12项的和S12．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若点P是椭圆C上异于A，B的一点，直线AP和BP分别与y轴交于M，N两点，求△AOM与△BON面积之和的最小值．20.已知函数f(x)=xe x+x2−x．(1)求f(x)在x=1处的切线方程；(2)若对任意x∈(0,+∞)都有f(x)≥ln x+x2+(a−2)x+1恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|−1≤x≤2}；∴A∩B={0,1，2}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查交集的运算，属于基础题．2.答案：A解析：【分析】本题考查线性规划，由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合的得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：∵变量x,y满足约束条件{x+2y⩽4 x−2y⩽0 x+2⩾0,所对可行域如图∴则目标函数z=3x−y在(−2,3)处有最小值是−9，故选A．3.答案：A解析：【分析】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．求解：|x−2|<1，得出“1<x<2”，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵|x −2|<1， ∴1<x <3， ∵“1<x <2”∴根据充分必要条件的定义可得出：“1<x <2”是“|x −2|<1”的充分不必要条件． 故选A ．4.答案：C解析： 【分析】本题考查程序框图，属于基础题.由图可知该程序表示计算1k(k+2)=12(1k −1k+2)各项的和，然后利用裂项相消法即可解答． 解析： 解：由题意得，模拟执行程序框图，可知该程序表示计算1k(k+2)=12(1k −1k+2)各项的和， 即S =12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(1k −1k+2)]=12(1−1k+2)=k+12(k+2)， 要使得输出结果为511，则判断框内可以填k ≥10?， 故选C ．5.答案：C解析：∵f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x)，即(13)|−x−m|=(13)|x−m|，∴|−x −m|=|x −m|，解得m =0.∴f(x)=(13)|x|在[0,+∞)上单调递减.∵a =f(log 0.23)=f(log 53)，b =f(log 56)，c =f(0)，0<log 53<log 56，∴b <a <c ．6.答案：B解析：解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(c,0)，设OA 的方程为bx −ay =0，OB 的方程为bx +ay =0，过F 平行于OA 的直线FB 的方程为y =ba (x −c)，平行于OB 的直线FA 的方程为y =−ba (x −c)，可得平行线OA 和BF 的距离为√b 2+a 2=b ，由{bx −ay =0bx +ay −bc =0可得x =12c ，y =bc 2a ，即A(12c,bc 2a )， 则平行四边形OAFB 的面积为S =b √14c 2+b2c 24a 2=bc ，化为b 2=3a 2， 则e =ca=√1+b 2a =√1+3=2． 故选：B ．设出双曲线的右焦点F ，直线OA ，OB 的方程，过F 平行于渐近线的方程，求得平行线的距离，和A 的坐标，运用平行四边形的面积公式，化简可得a ，b 的关系，进而得到所求离心率．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查平行四边形的性质和面积求法，化简运算能力，属于中档题．7.答案：D解析：由题意，得T =2πω=π，则ω=2；又因为f (0)=√3，则2sinϕ=√3,sinϕ=√32，则ϕ=π3.8.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．由g(x)=f(x)−mx −m =0，即f(x)=m(x +1)，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：由g(x)=f(x)−mx −m =0，即f(x)=m(x +1)， 分别作出函数f(x)和y =ℎ(x)=m(x +1)的图象如图：由图象可知f(1)=1，ℎ(x)表示过定点A(−1,0)的直线，当ℎ(x)过(1,1)时，m =12此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m 的取值范围是0<m ≤12， 当ℎ(x)过(0,−2)时，ℎ(0)=−2，解得m =−2，此时两个函数有两个交点， 当ℎ(x)与f(x)相切时，两个函数只有一个交点， 此时1x+1−3=m(x +1)， 即m(x +1)2+3(x +1)−1=0， 当m =0时，x =−23，只有1解，当m ≠0，由△=9+4m =0得m =−94，此时直线和f(x)相切， ∴要使函数有两个零点， 则−94<m ≤−2或0<m ≤12， 故选A ．9.答案：1+i解析： 【分析】本题考查复数的概念及四则运算，首项根据复数的运算法则计算化简复数，即可求解，属于基础题． 【解答】解：2i1+i =2i (1−i )(1+i )(1−i )=2+2i 2=1+i ，故答案为1+i ．10.答案：32解析： 【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．【解答】解：函数f(x)=ax3−x+2的导数为：f′(x)=3ax2−1，K=f′(1)=3a−1，切线方程为：y−(a+1)=(3a−1)(x−1)，因为切线方程经过(2,6)，所以6−(a+1)=(3a−1)(2−1)，解得a=3．2．故答案为3211.答案：2或14解析：【分析】由三角形ABC为等腰直角三角形，得到圆心C到直线的距离d=rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a的值．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，等腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．【解答】解：∵由题意得到△ABC为等腰直角三角形，=√2，∴圆心C(m,0)到直线2x+my−8=0的距离d=rsin45°，即√4+m2解得：m=2或14，故答案为2或14．12.答案：7π3解析：解：由正三棱柱的底面边长为1，，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=√33，又由正三棱柱的侧棱长为1，则球心到圆O的球心距d=12根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2=r2+d2=7，12∴外接球的表面积S =4πR 2=7π3．故答案为7π3．根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积．本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，考查数形结合思想、化归与转化思想，其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键．13.答案：√2解析： 【分析】本题考查对数运算性质及利用基本不等式求最值，属于基础题． 由题意得xy =4，则2x+1y⩾2√2x·1y=2√24=√2．【解答】 实数x ，y 满足，，即xy =4．则2x +1y ⩾2√2x ·1y =2√24=√2，当且仅当x =2y =2√2 时取等号， 故答案为：√2．14.答案：11解析： 【分析】本题考查了平面向量加减法及数量积运算，属于中档题．用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1解出答案． 【解答】解：∵在平行四边形ABCD 中，AB =4，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12=−1， AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =11． 故答案为：11．15.答案：(本小题满分13分)解：(I)由频率分布直方图可知户外运动不小于16小时人数的频率为：(0.1+0.06)×2=0.32，∵0.32×500=160人，∴本月户外运动时间不小于16小时的人数为160人．……(3分) (II)[18,20]的样本内共有居民50×0.06×2=6人，2名女性，4名男性，设四名男性分别表示为A，B，C，D，两名女性分别表示为E，F………………(4分)则从6名居民中随机抽取2名的所有可能结果为：{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,E}，{A,F}{B,C}，{B,D}，{B,E}，{B,F}{C,D}，{C,E}，{C,F}{D,E}，{D,F}{E,F}共15种．………………(9分)(ii)设事件M为“抽取的2名居民至少有一名女性”，则M中所含的结果为：{A,E}，{A,F}，{B,E}，{B,F}，{C,E}，{C,F}，{D,E}，{D,F}，{E,F}共9种……………(12分)∴事件M发生的概率为P(M)=915=35.………………(13分)解析：(I)由频率分布直方图可知户外运动不小于16小时人数的频率，由此能求出本月户外运动时间不小于16小时的人数．(II)[18,20]的样本内共有居民6人，2名女性，4名男性，设四名男性分别表示为A，B，C，D，两名女性分别表示为E，F，利用列举法能求出事件M发生的概率．本题考查考查频率数和概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.答案：解：在△ABC中，由bcosC−ccos(A+C)=3acosB，得：bcosC+ccosB=3acosB，利用正弦定理代换得出sinBbcosC+sinCcosB=3sinAcosB，整理sin(B+C)=3sinAcosB，即sinA=3sinAcosB，所以cosB=13(sinA≠0)．解析：由于bcosC−ccos(A+C)=3acosB即bcosC+ccosB=3acosB，利用正弦定理代换得出sinBbcosC+sinCcosB=3sinAcosB，整理sin(B+C)=3sinAcosB，易求cos B．此题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用．考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：(1)证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A(2√3,0，0)，C(0,2√6,0)，D(0,0，0)，M(2√3,√6,0)，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,2√6,0)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,√6,0)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AC ⊥DM ， ∵SO ⊥平面ABCD ，DM ⊂平面ABC ，∴SO ⊥DM ，∵AC ∩SO =O ，AC ⊂面SAC ，SO ⊂面SAC ，∴DM ⊥面SAC ，∵DM ⊂平面SDM ，∴平面SAC ⊥平面SDM ．(2)解：以O 为原点，OC ，OD ，OS 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵AC ⊥DM ，∴DO =2OM =2√2，OC =2OA =4，O(0,0，0)，S(0,0，2)，A(−2,0，0)，M(0,−√2,0)，D(0,2√2,0)，SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0−2)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−√2,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√2,0)，AS⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)， ∴SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2√2,−2)．设平面SAD 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2√2y =0n⃗ ⋅AS ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0，取x =√2，得n ⃗ =(√2,−1,−√2)， 设直线SB 与平面SAD 所成角为θ，则sinθ=|cos <n ⃗ ,SB ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅SB⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|SB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√1010． ∴直线SB 与平面SAD 所成角的正弦值为3√1010．解析：本题考查面面垂直的判定，考查线面角的正弦值的求法，是中档题．(1)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面SAC ⊥平面SDM ；(2)以O 为原点，OC ，OD ，OS 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线SB 与平面SAD 所成角的正弦值．18.答案：解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则{11+d +q =1111+2d +q 2=11，解得{d =−2q =2， ∴a n =−2n +13，b n =2n−1；(Ⅱ)由(Ⅰ)得：|a n −b n |=|13−2n −2n−1|；(i)当0<n ≤3时，a n >b n ，a n −b n =13−2n −2n−1；(ii)n ≥4时，a n <b n ，|a n −b n |=b n −a n =2n−1−(13−2n)．∴|a n −b n |={13−2n −2n−1,n ≤32n−1+2n −13,n ≥4， ∴S 12=(11−1)+(9−2)+(7−4)−(5−8)−⋯−(−11−211)=20+(8+16+⋯+211)−[5+3+⋯+(−11)]=4135．解析：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得，解之即可求得数列{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)得：|a n −b n |=|13−2n −2n−1|；通过对0<n ≤3与n ≥4的讨论，去掉绝对值符号后分利用分组求和的方法即可求得数列{|a n −b n |}的前12项的和S 12．本题考查等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查方程思想与分类讨论思想、等价转化思想的综合应用，属于难题．19.答案：解：(Ⅰ)由题意得{a =2c a =√32a 2=b 2+c 2.解得b =1． 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)设点P(x 0,y 0)，则k AP =y 0x 0+2， 所以直线AP 的方程为 y =y0x 0+2(x +2)． 令x =0，可得y =2y 0x 0+2．同理可解得直线BP 与y 轴的交点N 的纵坐标y N =−2y 0x0−2． 因为P(x 0,y 0)在椭圆上，所以x 024+y 02=1，即4y 024−x 02=1，所以S △AOM +S △BON =12|AO|⋅|OM|+12|BO|⋅|ON| =|OM|+|ON|≥2√|OM|⋅|ON|=2√|y M ⋅y N |=2√2y 0x 0+2×−2y 0x 0−2=2√4y 024−x 02=2， 当且仅当x 0=0时等号成立．所以，当且仅当点P 在短轴端点时，△AOM 与△BOM 面积之和的最小值为2．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． (Ⅰ)利用已知条件列出方程组，求出短轴长，然后求解椭圆C 的方程．(Ⅱ)设点P(x 0,y 0)，求出直线AP 的方程为 y =y0x 0+2(x +2).求解M ，N 的坐标，表示出三角形的面积，利用基本不等式求解面积的最小值即可．20.答案：解：(1)因为f′(x)=(x +1)e x +2x −1，则有f′(1)=2e +1，又f(l)=e ，所以f(x)在x =1处的切线方程为：y −e =(2e +1)(x −1)，即(2e +1)x −y −e −1=0；(2)由题意，对任意x ∈(0,+oo)都有xe x −lnx +x −1⩾ax 恒成立，即(x >0)， 设，所以， 设，所以g′(x)=(x 2+2x)e x +1x >0，所以g(x)在(0,+oo)上是增函数． 由于g(13)=√e 39−ln3<0，g(1)=e >0，所以存在x 0∈(13,1)，使得g(x 0)=0，所以F′(x 0)=0，即， 又当0<x <x 0时，F′(x)<0，所以F(x)在(0,x 0)上是减函数；当x >x 0时，F′(x)>0，所以F(x)在(x 0,+∞)上是增函数；所以当x >0时，F(x)min =F(x 0).由，得，两边同时取自然对数，得2lnx 0+x 0=ln(−lnx 0)，所以lnx 0+x 0=ln(−lnx 0)−lnx 0，设ℎ(x)=x +lnx(x >0)，则有ℎ(x 0)=ℎ(−lnx 0)，由于ℎ(x)在(0,+∞)上是增函数，所以x 0=−lnx 0，即e x 0=1x 0， 将其代入得F(x)min =F(x 0)=e x 0−−1x 0+1=1x 0+1−1x 0+1=2，则a⩽ 2，所以实数a的取值范围是(−∞,2]．解析：本题考查导数的几何意义，恒成立问题，利用导数研究函数单调性、最值考查计算能力，属于难题．(1)根据导数的几何意义，求得切线的斜率，利用点斜式方程，即可求得切线方程；(2)对任意x∈(0,+∞)都有f(x)≥ln x+x 2+(a−2)x+1恒成立，即恒成立，设，利用导数求得F(x)的最小值为2，则a⩽ 2．。
2020年天津市滨海新区高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(有答案解析)
2020年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（理科）（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A{-1，0，1，2}，B{x|2x＞1}，则A∩B=（）A. {0，1，2}B. {1，2}C. {-1，0}D. {-1}2.若满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A. B. 1 C. D.3.设x∈R，则“0＜x＜3”是“|x-1|＜2的”（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.阅读程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A. 2018B.C. 2019D.5.已知函数f（x）=x2+|x|，且，则a，b，c的大小关系为（）A. a＜c＜bB. b＜c＜aC. c＜a＜bD. b＜a＜c6.过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点且与对称轴垂直的直线与双曲线交于A，B两点，△OAB的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.7.已知函数f（x）=sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，-π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为4π，且当时，f（x）取最大值，是（）A. f（x）在区间[-2π，-π]上是减函数B. f（x）在区间[-π，0]上是增函数C. f（x）在区间[0，π]上是减函数D. f（x）在区间[0，2π]上是增函数8.已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）-kx=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知复数z在复平面内对应点是（1，-2），i为虚数单位，则=______．10.的展开式中，含x-2的项的系数为______．（用数字填写答案）．11.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱与底面边长均为2，则该三棱柱的外接球的表面积为______.12.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程，（θ为参数）．则曲线C上的点到直线l的距离的最小值为______．13.已知x，y为正实数，则的最小值为______．14.如图，在梯形ABCD，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，，（λ∈（0，1）），且，则λ的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，求sin（2B-C）的值．16.某高中志愿者男志愿者5人，女志愿者3人，这些人要参加社区服务工作．从这些人中随机抽取4人负责文明宣传工作，另外4人负责卫生服务工作．（Ⅰ）设M为事件；“负责文明宣传工作的志愿者中包含女志愿者甲但不包含男志愿者乙”，求事件M发生的概率；（Ⅱ）设X表示参加文明宣传工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列与数学期望．17.如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面MPC；（Ⅱ）求二面角Q-PM-C的正弦值；（Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为，求线段QN的长．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，，设b n=a n-2．（Ⅰ）证明：{b n}是等比数列；（Ⅱ）设，求{c n}的前n项和T n，若对于任意n∈N*，λ≥T n恒成立，求λ的取值范围．19.已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为2，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，A，B分别为椭圆的左，右顶点，设点P在第一象限，且PB⊥x轴，连接PA交椭圆于点C，直线PA的斜率为k．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，求k的值；（Ⅲ）设点N为AC的中点，射线NO（O为原点）与椭圆交于点M，满足，求k的值．20.已知函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当时，证明：函数f（x）有两个零点；（Ⅲ）若函数f（x）=xf（x）-ax2-x有两个不同的极值点，记作x1，x2，且x1＜x2，证明（e为自然对数的底数）．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|x＞0}；∴A∩B={1，2}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数z=x-3y的几何意义求最小值．【解答】解：x，y满足约束条件，画出可行域如图：目标函数z=x-3y，点A（2，3），z在点A处有最小值：z=1×2-3×3=-7，故选：C．3.答案：A解析：解：设x∈R，若“0＜x＜3”所以有：“-1＜x-1＜2”，“|x-1|＜2”；故：设x∈R，则“0＜x＜3”能推出“|x-1|＜2”；设x∈R，若“|x-1|＜2”则“-2＜x-1＜2”，“-1＜x＜3”，推不出“0＜x＜3”；由充要条件定义可知：设x∈R，则“0＜x＜3”是“|x-1|＜2”的充分而不必要条件；故选：A．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．4.答案：D解析：解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2019+cos+cosπ+cos+cos的值，由于：S=2019+cos+cosπ+cos+cos=2019++0+（-）+=．故选：D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2019+cos+cosπ+cos+cos的值，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，模拟执行程序框图，得到程序的功能是解题的关键，属于基础题．5.答案：A解析：解：f（x）为偶函数；x≥0时，f（x）=x2+x；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增；∵，，log23＞log22=1；∴；∴；∴a＜c＜b．故选：A．可看出f（x）为偶函数，并且可判断f（x）在[0，+∞）上单调递增，并可得出，b=f（log23），log23＞1，从而得出，这样即可得出a＜c＜b．考查偶函数的定义，二次函数的单调性，对数的运算，对数函数的单调性，以及增函数的定义．6.答案：D解析：解：右焦点设为F，其坐标为（c，0），令x=c，代入双曲线方程可得y=±b=±，△OAB的面积为•c•=bc，即为=，可得e====．故选：D．令x=c，代入双曲线方程可得y=±，由三角形的面积公式，可得a，b的关系，由离心率公式计算可得所求值．本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．7.答案：B解析：解：由f（x）的最小正周期为4π，得ω=，又当时，f（x）取最大值，∴．∴φ=，∵-π＜φ≤π，∴φ=，∴f（x）=．由选项可知B正确．故选：B．根据条件得到f（x）的解析式，然后根据选项判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，属基础题．8.答案：A解析：解：作出函数f（x）的图象，要使关于x的方程f（x）-kx=0有两个不相等的实数根，则两函数的图象有两个交点，当k＞0，由图可知，，即；当k＜0时，由图可知，，即k＞-6；由可知，，解之得，所以，故选：A．先作出函数f（x）的图象，结合图象进行分析求解．本题考查分段函数的应用，以及函数与方程的关系，属于中档题目．9.答案：解析：解：由题意，z=1-2i，则=．故答案为：．由已知求得z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．10.答案：70解析：解：由的展开式的通项为T r+1=（）8-r（-）r=（-1）r x，令，解得r=4，所以含x-2的项的系数为（-1）4=70，故答案为：70．由二项式定理及展开式通项公式得：T r+1=（）8-r（-）r=（-1）r x，令，解得r=4，所以含x-2的项的系数为（-1）4=70，得解．本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属简单题．11.答案：解析：【分析】本题考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力，是中档题．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为2的正三棱柱，设上下底面中心连线EF的中点O，则O就是球心，其外接球的半径为OA1，又设D为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，EA1=．在直角三角形OEA1中，OE=1，由勾股定理得OA1=．∴球的表面积为S=4π×=．故答案为．12.答案：解析：解：由ρcos（）=4，得，即x+y-8=0，由曲线C的参数方程，（θ为参数），消去参数θ，可得．则切线C是以（1，2）为圆心，以为半径的圆．圆心到直线的距离d=，∴曲线C上的点到直线l的距离的最小值为．故答案为：2．化直线的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线的参数方程为普通方程，求出圆心到直线的距离，减去半径得答案．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．13.答案：解析：解：∵x，y为正实数，∴===≥=，当且仅当时取等号．∴的最小值为：．故答案为：．==，然后用基本不等式计算即可．本题考查了基本不等式及其应用，考查了运算能力，属中档题．14.答案：解析：解：∵=+=+，=-=λ-，∴•=（+）•（λ-）=λ2+（λ-1）•-2=9λ+λ--8=-，∴λ-=-3，解得λ=．故答案为：λ=．取，为基向量，将和用基向量表示后代入•=-3可解得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．15.答案：解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，∴，∴，∵0＜C＜π，∴．（Ⅱ）因为，，由余弦定理得：，∴，由，因为：B为锐角，所以：，，，．解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式可得，求得cos C的值，结合范围0＜C＜π，可求C的值．（Ⅱ）由余弦定理可求c的值，利用正弦定理可求sin B的值，进而可求sin B的值，利用二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，根据两角差的正弦函数公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，二倍角公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.答案：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从8人中随机抽取4人负责文明宣传的基本事件的总数为，事件M包含基本事件的个数为，则．（Ⅱ）由题意知X可取的值为：0，1，2，3．则，，因此X的分布列为X0123PX的数学期望是．解析：（Ⅰ）从8人中随机抽取4人负责文明宣传的基本事件的总数，事件M包含基本事件的个数，然后求解概率．（Ⅱ）由题意知X可取的值为：0，1，2，3．求出概率得到分布列，然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的期望与分布列的求法，考查转化思想以及计算能力．17.答案：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接EM，因为AB∥CD，PQ∥CD，所以AB∥PQ，又因为AB=PQ，所以PABQ为平行四边形．由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM∥AB且EM=AB，因为AB∥CD，CD=2AB，F为CD的中点，所以CF∥AB且CF=AB，可得EM∥CF且EM=CF，即四边形EFCM为平行四边形，所以EF∥MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，所以EF∥平面MPC．（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．依题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），Q（0，1，2），M（1，1，1）.设为平面PMQ的法向量，则，即，不妨设z=1，可得设为平面MPC的法向量，则，即，不妨设z=1，可得.，于是．所以，二面角Q-PM-C的正弦值为．（Ⅲ）设，即，则N（0，λ+1，2-2λ）．从而．由（Ⅱ）知平面PMQ的法向量为，由题意，，即，整理得3λ2-10λ+3=0，解得或λ=3因为0≤λ≤1所以．所以，．解析：（Ⅰ）连接EM，证明PABQ是平行四边形．证明EF∥MC，即可证明EF∥平面MPC．（Ⅱ）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．求出平面PMQ的法向量，平面MPC的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角Q-PM-C的正弦值．（Ⅲ）设，即，求出平面PMQ的法向量，利用空间向量的数量积求解λ，推出结果．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．18.答案：（Ⅰ）证明：，当n=1时，a1=S1=a2-6，a2=14，当n≥2，n∈N*时，S n=a n+1+2n-8，S n-1=a n+2n-10，相减可得a n+1=2a n-2，即a n+1-2=2（a n-2），即，又，可得{b n}是首项b1=6，公比为2的等比数列；（Ⅱ）解：由（1）知，即，所以=，，∴，当n为偶数时，是递减的，此时当n=2时，T n取最大值，则．当n为奇数时，是递增的，此时，则．综上，λ的取值范围是．解析：（Ⅰ）运用数列的递推式，结合等比数列的定义，即可得证；（Ⅱ）运用等比数列的通项公式，以及数列的并项求和，对n讨论奇数或偶数，以及恒成立思想，可得所求范围．本题考查等比数列的定义和通项公式和求和公式的运用，考查数列的并项求和，以及化简运算能力，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）由已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为2，得，，所以a=2，∴椭圆方程为：，（Ⅱ）设AB直线方程程为y=k（x+2）；联立，∴（4k2+1）x2+16k2x+16k2-4=0∴∴∴令x=2∴P（2，4k）∴∴∵S△PBC=S△AOC∴（Ⅲ）设PO所在直线方程为，则，∴∴，M到直线l的距离：，，∴即，解得，∵k＞0，∴．解析：（Ⅰ）利用已知条件求出a，b，得到椭圆方程．（Ⅱ）设AB直线方程程为，求出C的坐标，然后求解三角形的面积，求出直线的斜率．（Ⅲ）设PO所在直线方程为，则，求出M到直线l的距离，|AC|的距离，求解三角形的面积，转化求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法以及简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．20.答案：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），由，可得．当a≤0时，，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞a，∴函数f（x）在（a，+∞）上单调递增；由f′（x）＜0，得0＜x＜a，∴函数f（x）在（0，a）上单调递减．综上，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：当时，由（Ⅰ）知函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，∴．取x=a2，f（a2）=2ln a+，记g（x）=2ln x+，0＜x＜，g′（x）=＜0，∴在上单调递减，．∴当x=a2，f（a2）=2ln a+时，f（a2）•f（a）＜0，得函数f（x）在（a2，a）上存在一个零点．当x=1时，f（1）=ln1+a＞0，f（a）•f（1）＜0，∴函数f（x）在（a，1）上存在一个零点．∴当时，函数f（x）有两个零点；（Ⅲ）证明：依题意得，g（x）=x lnx+a-ax2-x，则g′（x）=ln x-2ax．∵g（x）有两个极值点x1，x2，∴ln x1=2ax1，ln x2=2ax2．欲证，等价于证，即ln x1+2ln x2＞3，∴．∵0＜x1＜x2，∴原不等式等价于①．由ln x1=2ax1，ln x2=2ax2可得，则②．由①②可知，原不等式等价于，即．设，则上式等价于t＞1时，．令，则．∵t＞1，∴u′（t）＞0，可得u（t）在区间（1，+∞）上单调递增，∴当t＞1时，u（t）＞u（1）=0，即，∴原不等式成立，即．解析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，可知当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段，可得原函数的单调性；（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，可得f（x）min＜0．取x=a2，f（a2）=2ln a+，利用导数证得f（a2）•f（a）＜0，得函数f（x）在（a2，a）上存在一个零点．当x=1时，f（1）＞0，f（a）•f（1）＜0，得函数f（x）在（a，1）上存在一个零点．可得当时，函数f（x）有两个零点；（Ⅲ）依题意得，g（x）=x lnx+a-ax2-x，则g′（x）=ln x-2ax．由g（x）有两个极值点x1，x2，得ln x1=2ax1，ln x2=2ax2．把问题转化为，即．设，则上式等价于t＞1时，．进一步利用导数证明即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法属难题．。
2020年天津市塘沽一中高考数学模拟试卷(3月份)
2020年天津市塘沽一中高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（将每道小题的答案选项直接上传） 1．（5分）已知集合{|21x A y y ==+，}x R ∈，1{|0}2x B x x +=-…，则()(R A B =⋂ð ) A ．[2，)+∞B ．[1，2]C ．(1，2]D ．(-∞，1]2．（5分）函数2cos ()x xx xf x e e --=+的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．3．（5分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“1532S S S +<”是“0d <”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=相切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足11()2OE OP OF =+u u u r u u u r u u u r，||3OE =u u u r ( )A ．221612x y -=B ．22169x y -=C ．22136x y -=D ．221312x y -=5．（5分）定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当[0x ∈，1]时，()21x f x =-，设1a lnπ=，25lnb e-=，0.11()3c -=，则( )A ．f （a ）f <（b ）f <（c ）B ．f （b ）f <（c ）f <（a ）C ．f （b ）f <（a ）f <（c ）D ．f （c ）f <（b ）f <（a ）6．（5分）已知()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++，0ω>，||2πϕ<，()f x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则( )A ．()f x 在3(,)88ππ上单调递减B ．()f x 在(0,)4π上单调递减C ．()f x 在(0,)4π上单调递增D ．()f x 在3(,)88ππ上单调递增7．（5分）袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则E ξ等于( ) A ．4B ．4.5C ．4.75D ．58．（5分）已知M 是边长为1的正ABC ∆的边AC 上的动点，N 为AB 的中点，则BM MNu u u u r u u u u r g 的取值范围是( )A ．3[4-，23]64-B ．3[4-，1]2-C ．2[5-，1]5-D ．3[5-，1]2-9．（5分）已知函数32()32f x x x =-+，函数22(3)1,0()1()1,02x x g x x x ⎧-++<⎪=⎨-+⎪⎩…，则关于x 的方程[()]0(0)g f x a a -=>的实根个数取得最大值时，实数a 的取值范围是( )A ．(1，5]4B ．5(1,)4C ．[1，5]4D ．[0，5]4二、填空题（每小题5分，共30分，将前三道题的结果直接上传，后三道结果标清题号按顺序分别拍图片上传） 10．（5分）i 是虚数单位，则(34)(1)||1i i i+-=+ ．11．（5分）已知9(a x 的展开式中，3x 的系数为94，则常数a 的值为 ．12．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线5:2l x =-，点M 在抛物线C 上点A 在准线l 上，若MA l ⊥，直线AF 的倾斜角为3π，则||MF = ． 13．（5分）一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个球的半径是 ，三棱柱的体积是 ．14．（5分）已知正实数x ，y 满足22412x y xy +=+，则当x = 时，121x y xy ++的最小值是 ．15．（5分）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f e x f e x +=-，且(0)0f =，当(0x ∈，]e 时，()f x lnx =．已知方程1()sin()22f x x e π=在区间[e -，3]e 上所有的实数根之和为3ea ．将函数2()3sin ()14g x x π=+的图象向右平移a 个单位长度，得到函数()h x 的图象，则a = ，h （8）=．三、解答题（共5个大题，共75分，将每道大题的解题过程按规定顺序拍图片分别上传）16．（14分）已知函数2()(4cos2)sin2cos4f x x x x=-+，x R∈．（1）求函数()f x的单调区间，并求当[0x∈，]4π时，函数()f x的最大值和最小值：（2）设A，B，C为ABC∆的三个内角，若22cos B=，()12Af=-，且角A为钝角，求cos C的值．17．（15分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD CD⊥，//AB CD，112AB AD CD===，点M在线段EC上．（Ⅰ）若点M为EC的中点，求证：//BM平面ADEF；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）当平面BDM与平面ABF所成二面角的余弦值为6时，求AM的长．18．（15分）已知nS是数列{}na的前n项和，12a=，且14n n nS a a+=g，数列{}nb中，114b=，且1(1)nnnnbbn b+=+-，*n N∈．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设*1233()2nnnban N+=∈ð，求{}nð的前n项和nT．19．（15分）已知函数2()(1)xf x x a e=-+．（1）当2a=时，求曲线()y f x=在点(1，f（1）)处的切线方程；（2）讨论函数()f x的单调的单调性；（3）已知1x，2x是()f x的两个不同的极值点，12x x<，且1212||||1x x x x+-…，若12111()()(2)xg x f x x e=+-，证明：126()g xe„．20．（16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C 、D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP u u u u r u u u rg 为定值． （3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2020年天津市塘沽一中高考数学模拟试卷(3月份) (含答案解析)
2020年天津市塘沽一中高考数学模拟试卷(3月份)一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.若集合A={x|x2−5x−6>0}，B={x|2x>1}，则(∁R A)∩B=A. {x|−1≤x<0}B. {x|0<x≤6}C. {x|−2≤x<0}D. {x|0<x≤3}2.函数f(x)=ln(x2+4)−e x−1的图象大致是()A. B. C. D.3.设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，已知S20192019−S1919=500，则d的值为()A. 4B. 2C. 12D. 144.从双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线l，切点为T，且l交双曲线的右支于点P，若点M是线段FP的中点，O为坐标原点，则|OM|−|TM|=()A. b−a2B. b−a C. a+b2D. a+b25.已知函数y=f(x+1)关于直线x=−1对称，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，a=f(−log315)，b=f(−2−0.3)，c=f(2log32)，则a，b，c的大小关系是()．A. a<b<cB. b<a<cC. c<a<bD. b<c<a6.已知函数f(x)=3sin(ωx−π4)(ω>0)，函数相邻两个零点之差的绝对值为π2，则函数f(x)图象的对称轴方程可以是()A. x=π8B. x=−π8C. x=5π8D. x=−π47.袋中有10个大小相同的小球，其中记上0号的有4个，记上n号的有n个(n=1,2，3).现从袋中任取一球．X表示所取到球的标号．则E(X)=()A. 2B. 32C. 45D. 758. 在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，点M 是线段DC 上的动点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知函数f(x)={log 5(1−x)(x <1)−(x −2)2+2(x ≥1)，则关于x 的方程f(x +1x −2)=a ，当1<a <2时实根个数为( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 10. i 是虚数单位，复数Z =1+2i 2−i，则|Z|= ______ ．11. 设抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，点A 为抛物线C 上一点，若|FA|=3，则直线FA 的倾斜角为______．12. 要将一个圆锥形橡皮泥，揉捏成一个球．若这个圆锥的底面半径为2，高为1，则球的半径为__________．13. 已知二次函数f(x)=cx 2−4x +a +1的值域是[1,+∞)，则1a +9c 的最小值是______ ． 14. 若函数f (x )=(x −1)3−1x−1与g (x )=−x +m 的图象交点的横坐标之和为2，则m 的值为________．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 已知二项式(x 2+2√x )n (n ∈N ∗)展开式中，前三项的二项系数的和是56，求：(Ⅰ)n 的值；(Ⅱ)展开式中的常数项．16. 已知函数f(x)=2cos 2x −2√3sinxcosx −1．(1)求f(π4)的值；(2)求f(x)在[0,π2]上的单调区间．17.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD.底面ABCD为梯形，AB//DC，AB⊥BC.PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PE=2EB．(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面PCB；(Ⅱ)求证：PD//平面EAC；(Ⅲ)求二面角A−EC−P的大小．18.已知数列{a n}满足：a n>0，a1=1，a n=a n+1(2a n+1)(n∈N∗).(1)求证：{1a n}为等差数列，并求出a n；(2)设b n=1a n+1(n2+n)2(n∈N∗)，数列{b n}的前n项和为S n，若不等式S n≥9991000成立，求正整数n的最小值．19.已知f(x)=a(x−ln x)+2x−1x．(1)若函数f(x)在x=2处取得极值，求a的值，并求此时曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(3,1)，其左、右焦点分别为F1，F2，且F1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F2P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6．(1)求椭圆E的方程；(2)若M，N是直线x=5上的两个动点，且F1M⊥F2N，则以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查了集合的化简与运算，化简∁R A={x|x2−5x−6≤0}={x|−1≤x≤6}，B={x|x>0}，从而解得．解：∁R A={x|x2−5x−6≤0}={x|−1≤x≤6}，B={x|2x>1}={x|x>0}，则(∁R A)∩B={x|0<x≤6}，故选B．2.答案：A解析：解：函数的定义域为(−∞,+∞)，排除B，f(0)=ln4−1e>0.排除C，当x→+∞，f(x)→0，排除D，故选：A．结合函数的定义域，f(0)的符号以及极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的定义域，特殊值的符号以及极限思想，利用排除法是解决本题的关键．3.答案：C解析：本题考查等差数列的求和，属于基础题．利用等差数列的求和公式，结合等差数列的性质求解．解：在等差数列{a n}中，S nn =a1+n−12d=d2n+(a1−d2)，所以{S nn }是公差为d2的等差数列，所以由条件可得S20192019−S1919=2000×d2=500，解得d=12，故选C．4.答案：B解析：解：∵FT与⊙O相切于点T，∴OT⊥FT．∴|FT|=√|OF|2−|OT|2=√c2−a2=b．∵点M是线段FP的中点，∴|OM|=12|PF1|，|TM|=12|PF|−|FT|．又|PF|−|PF1|=2a，∴|OM|−|TM|=12(|PF1|−|PF|)+|FT|=12×(−2a)+b=b−a．故选：B．利用圆的切线的性质可得|FT|=√|OF|2−|OT|2=√c2−a2=b.再利用三角形的中位线定理、双曲线的定义可得：|OM|=12|PF1|，|TM|=12|PF|−|FT|，|PF|−|PF1|=2a，即可得出．本题考查了圆的切线的性质、三角形的中位线定理、双曲线的定义、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.答案：D解析：本题考查了函数的对称性及单调性的综合应用，对数、指数比较大小及其应用，综合性较强，属于中档题．根据题意，可得f(x)关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递增，因而在(−∞,0)上单调递减，根据对数与指数函数的性质并结合f(x)的性质即可判断a、b、c的大小关系．解：因为y=f(x+1)关于直线x=−1对称，所以f (x )关于y 轴对称， 因为f (x )在(0,+∞)上单调递增， 所以f (x )在(−∞,0)上单调递减，a =f (−log 315)=f (log 35)，b =f (−2−0.3)=f [−(12)0.3]，c =f (log 34)，因为log 35>log 34>1，−1<−(12)0.3<0，根据函数对称性及单调性可知b <c <a ， 故选D ．6.答案：B解析：本题考查了正弦函数的图象与性质，熟练掌握三角函数的性质是解题关键，属于基础题． 根据函数图象的性质求出f(x)的周期得出f(x)的解析式，根据对称轴公式解出f(x)的对称轴． 解：∵函数相邻两个零点之差的绝对值为π2， ∴f(x)的周期T =π，∴ω=2πT=2．∴f(x)=3sin(2x −π4).令2x −π4=π2+kπ，k ∈Z ，解得x =3π8+kπ2，k ∈Z ，∴当k =−1时，f(x)的对称轴为x =−π8． 故选：B ．7.答案：D解析：由题意知X =0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E(X)． 本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题．解：由题意知X =0，1，2，3， P(X =0)=410=0.4，P(X =1)=110=0.1， P(X =2)=210=0.2，P(X =3)=310=0.3，∴E(X)=0×0.4+1×0.1+2×0.2+3×0.3=1.4=75． 故选：D ．8.答案：C解析：解：如图，过D 作AB 的垂线，垂足为O ，以O 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则由题意得：A(−12,0),B(32,0)，设OD =d ，M(x,d)，0≤x ≤1；∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +12,d)；∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +1； ∵0≤x ≤1；∴x =1时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值3． 故选：C ．可过D 作AB 的垂线，垂足为O ，从而便可以O 为坐标原点，AB 为x 轴建立平面直角坐标系，根据条件即可求出A ，B 点的坐标，并设OD =d ，从而可设M(x,d)，且0≤x ≤1，从而可以求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +1，由x 的范围即可求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值．考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，以及向量数量积的坐标坐标运算，一次函数的单调性．9.答案：B解析：解：令x+1x−2=t，则f(t)=a，做出y=f(x)的函数图象如图所示：由图象可知：当1<a<2时，关于t的方程f(t)=a有3解．不妨设3个解分别为t1，t2，t3，且t1<t2<t3，则−24<t1<−4，1<t2<2，2<t3<3，当x+1x−2=t1，即x2−(2+t1)x+1=0，∵−24<t1<−4，∴△=(2+t1)2−4>0，∴方程x+1x−2=t1有2解，同理：方程x+1x −2=t2有2解，x+1x−2=t3有2解，∴当1<a<2时，关于x的方程f(x+1x−2)=a有6解．故选B．令x+1x−2=t，则f(t)=a，结合f(x)的函数图象可知关于t的方程f(t)=a的解的个数和解的范围，利用t的范围得出关于x的方程x+1x−2=t的解的个数即可得出答案．本题考查了函数的零点的个数判断与函数图象的关系，属于中档题．10.答案：1解析：解：复数Z=1+2i2−i，则|Z|=|1+2i2−i |=|1+2i||2−i|=√5√5=1．故答案为：1．直接利用分式求模的运算法则化简求解即可．本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．11.答案：π3或2π3解析：解：设该A坐标为(x,y)，抛物线C：y2=3x的焦点为F(34,0)，根据抛物线定义可知x+34=3，解得x=94，代入抛物线方程求得y=±3√32，故A坐标为：(94,±3√32)，AF的斜率为：±3√3294−34=±√3，则直线FA的倾斜角为：π3或2π3．故答案为：π3或2π3．先设出A的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y.然后求解直线的斜率，得到直线FA的倾斜角．本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．12.答案：1解析：本题考查了圆锥与球的体积公式，是基础的计算题．由圆锥与球的体积相等，结合圆锥与球的体积公式，可得球的半径．解：设球的半径为R，由题意得，，解得R=1，则球的半径为1．故答案为1．13.答案：3解析：本题主要考查了二次函数的性质的应用，基本不等式求解函数的最值等知识的综合应用，属于基础题．判断抛物线的开口方向，利用二次函数的最小值，推出a，c的关系式，然后利用基本不等式即可求解最值．解：∵二次函数f(x)=cx2−4x+a+1的值域是[1,+∞)，故其开口向上，∴c>0且4c(a+1)−164c=1，即ac=4．∴a>0∴1a +9c≥2√1a⋅9c=3，当且仅当1a=9c且ac=4，即c=6，a=23时取等号．∴1a +9c的最小值为3．故答案为：3．14.答案：1解析：本题考查了函数与方程的应用，属于中档题．根据函数的对称性得出直线过曲线的对称中心，从而得出m的值．解：∵f(x)=(x−1)3−1x−1的图象关于点(1,1)对称，函数f(x)=(x−1)3−1x−1与g(x)=−x+m的图象交点的横坐标之和为2，∴直线y=−x+m经过点(1.1)，∴m=1．故答案为1．15.答案：解：(Ⅰ)C n0+C n1+C n2=56⇒1+n+n(n−1)2=56⇒n2+n−110=0⇒n=10，n=−11(舍去)．故n=10(Ⅱ)(x22√x )10展开式的第r+1项是C10r(x2)10−r(2√x)r=C10r(12)r x20−5r2令20−5r2=0⇒r=8，故展开式中的常数项是C 108(12)8=45256．解析：(Ⅰ)据二项式系数是二项展开式中的组合数列方程求解(Ⅱ)据二项展开式的通项公式得第r +1项，令x 的指数为0得展开式的常数项．本题考查二项展开式的通项公式和展开式的二项式系数．注意二项式系数与项系数的区别．16.答案：解：f(x)=2cos 2x −2√3sinxcosx −1=cos2x −√3sin2x =2cos(2x +π3)．(1)f(π4)=2cos(2×π4+π3)=−2sin π3=−√3； (2)由0≤x ≤π2，得2x +π3∈[π3,4π3].由2x +π3=π，可得x =π3，∴当x ∈[0,π3]时，f(x)为减函数，当x ∈[π3,π2]时，f(x)为增函数． 即f(x)的减区间为[0,π3]；增区间为[π3,π2].解析：利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积． (1)直接利用三角函数的诱导公式求f(π4)的值； (2)由复合函数的单调性求f(x)在[0,π2]上的单调区间．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y =Acos(ωx +φ)型函数的图象和性质，是中档题．17.答案：证明：(Ⅰ)∵PA ⊥底面ABCD ， ∴PA ⊥BC ．又AB ⊥BC ，PA ∩AB =A ， ∴BC ⊥平面PAB.(2分) 又BC ⊂平面PCB ， ∴平面PAB ⊥平面PCB.(4分) (Ⅱ)∵PA ⊥底面ABCD ，∴AC为PC在平面ABCD内的射影．又∵PC⊥AD，∴AC⊥AD.(5分)在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=π4，∴∠DCA=∠BAC=π4．又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．∴DC=√2AC=√2(√2AB)=2AB．连接BD，交AC于点M，则DMMB =DCAB=2.(7分)在△BPD中，PEEB =DMMB=2，∴PD//EM又PD⊄平面EAC，EM⊂平面EAC，∴PD//平面EAC.(9分)(Ⅲ)在等腰直角△PAB中，取PB中点N，连接AN，则AN⊥PB．∵平面PAB⊥平面PCB，且平面PAB∩平面PCB=PB，∴AN⊥平面PBC．在平面PBC内，过N作NH⊥直线CE于H，连接AH，由于NH是AH在平面CEB内的射影，故AH⊥CE．∴∠AHN就是二面角A−CE−P的平面角．(12分)在Rt △PBC 中，设CB =a ，则PB =√PA 2+AB 2=√2a ，BE =13PB =√23a ，NE =16PB =√26a ，CE =√CB 2+BE 2=√113a ， 由NH ⊥CE ，EB ⊥CB 可知：△NEH∽△CEB ， ∴NH NE=CB CE．代入解得：NH =√22．在Rt △AHN 中，AN =√22a ，∴tanAHN =ANNH =√11(13分)即二面角A −CE −P 的大小为arctan √11.(14分) 解法二：(Ⅱ)以A 为原点，AB ，AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系．设PA =AB =BC =a ，则A(0,0，0)，B(0,a ，0)，C(a,a ，0)，P(0,0，a)，E(0,2a 3,a 3).(5分)设D(a,y ，0)，则CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−a,a),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,y,0)，∵CP ⊥AD ， ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a 2−ay =0，解得：y =−a.∴DC =2AB ． 连接BD ，交AC 于点M ， 则DMMB =DCAB =2.(7分) 在△BPD 中，PEEB =DMMB =2， ∴PD//EM ．又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ， ∴PD//平面EAC.(9分)(Ⅲ)设n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y ，1)为平面EAC 的一个法向量，则n 1⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1⃗⃗⃗⃗ ⊥AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴{ax +ay =02ay3+a3=0.解得：x =12,y =−12，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(12,−12,1).(11分)设n 2⃗⃗⃗⃗ =(x′,y′,1)为平面EBC 的一个法向量，则n 2⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ ⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−a 3,a3)，∴{ax′=0−ay′3+a 3=0解得：x′=0，y′=1，∴n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1).(12分)cos〈n 1⃗⃗⃗⃗ , n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ n 2⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ || n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√36(13分) ∴二面角A −CE −P 的大小为arccos √36.(14分)解析：法一：(Ⅰ)证明平面PAB ⊥平面PCB ，只需证明平面PCB 内的直线BC ，垂直平面PAB 内的两条相交直线PA ，AB ，即可证明BC ⊥平面PAB ，就证明了平面PAB ⊥平面PCB ； (Ⅱ)证明平面EAC 外的直线PD ，平行平面EAC 内的直线EM ，即可证明PD//平面EAC ； (Ⅲ)在等腰直角△PAB 中，取PB 中点N ，连接AN ，在平面PBC 内，过N 作NH ⊥直线CE 于H ，连接AH ，.说明∠AHN 就是二面角A −CE −P 的平面角，解Rt △AHN ，求二面角A −EC −P 的大小． 法二：(Ⅱ)以A 为原点，AB ，AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系，通过向量计算，说明PE EB =DMMB ，从而证明PD//EM.PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ，PD//平面EAC ．(Ⅲ)求出平面EAC 的一个法向量n 1⃗⃗⃗⃗ ，平面EBC 的一个法向量n 2⃗⃗⃗⃗ ，利用cos〈n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√36，求二面角A −EC −P 的大小．本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．18.答案：解：(1)∵a n =a n +1(2a n +1)，∴a n −a n+1=2a n a n+1，a n >0，等式两边同时除以a n a n+1，得1an+1−1a n=2，∴数列{1a n}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴1a n=1+2(n −1)=2n −1，∴a n =12n −1(n ∈N ∗). (2)∵b n =1an+1(n 2+n )2=2n+1n 2(n+1)2=1n 2−1(n+1)2，∴S n =(112−122)+(122−132)+⋯+[1n 2−1(n+1)2]=1−1(n+1)2，令1−1(n+1)2≥9991000，∴1(n+1)2≤11000， 即(n +1)2≥1000，当n =30时，312=961<1000;当n =31时，322=1024>1000， ∴n ≥31．故使不等式S n ⩾9991000成立的正整数n 的最小值为31．解析：本题主要考查了等差数列的证明方法，以及利用裂项相消法求数列的和，属于中档题． (1)将已知递推式整理后左右两边同时除以a n a n+1即可得证； (2)将b n 整理裂项，用裂项相消法求出S n ，再解不等式S n ⩾9991000即可．19.答案：解：(1)f(x)=a(x −lnx)+2x−1x，x >0，∴f′(x)=a(1−1x )+1x 2， ∵函数f(x)在x =2处取得极值， ∴f′(2)=a(1−12)+14=0， 解得a =−12，经检验，当x =2时函数取得极值， ∴f(x)=−12(x −lnx)+2x−1x，f′(x)=−12(1−1x )+1x 2，∴f(1)=−12+1=12，f′(1)=1，∴曲线y =f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y =x −12． (2)∵f′(x)=a(1−1x )+1x 2=ax 2−ax+1x 2，x >0，令y =ax 2−ax +1，①当a =0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增， ②△=a 2−4a >0时，即a <0或a >4时，令f′(x)=0，解得x =a±√a 2−4a2a，(i)当a <0时，a+√a2−4a2a<0，(舍去)，a−√a 2−4a2a >0，∴当0<x <a−√a 2−4a 2a 时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x >a−√a2−4a2a时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，(ii)当a >4时，a+√a 2−4a2a>0，a−√a 2−4a2a>0，当a−√a2−4a2a<x <a+√a 2−4a2a时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当0<x <a−√a2−4a2a，和x >a+√a2−4a2a时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，③△=a 2−4a ≤0时，即0<a ≤4时，函数f′(x)>0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增， 综上所述：当0≤a ≤4时，则f(x)在(0,+∞)上单调递增， 当a <0时，f(x)在(0,a−√a2−4a2a)上单调递增，在(a−√a2−4a2a,+∞)上单调递减，当a >4时，f(x)在(0,a−√a2−4a2a )，(a+√a 2−4a2a,+∞)上单调递增，当(a−√a 2−4a 2a,a+√a 2−4a2a)上单调递减．解析：本题考查了导数和函数的极值和单调性的关系，以及导数的几何意义，考查了分类讨论的能力，属于中档题;(1)根据导数的和函数极值的关系即可求出a 的值再根据导数的几何意义即可求出切线方程， (2)先求导，再分类讨论，即可求出函数的单调性区间．20.答案：解：(1)设点F 1，F 2的坐标分别为(−c,0)，(c,0)(c >0)，则F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3+c,1),F 2P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−c,1)， 故F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3+c)(3−c)+1=10−c 2=−6， 解得c =4，所以2a =|PF 1|+|PF 2|=√(3+4)2+12+√(3−4)2+12=6√2， 所以a =3√2,b 2=a 2−c 2=18−16=2， 所以椭圆E 的方程为x 218+y 22=1．(2)设M ，N 的坐标分别为(5,m)，(5,n)，则F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(9,m),F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,n)， 因为F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =9+mn =0，即mn =−9， 又因为圆C 的圆心为(5,m+n 2)，半径为|m−n|2，所以圆C 的方程为(x −5)2+(y −m+n 2)2=(|m−n|2)2， 即(x −5)2+y 2−(m +n)y +mn =0，即(x −5)2+y 2−(m +n)y −9=0， 令y =0，可得x =8或2，所以圆C 必过定点(8,0)和(2,0)．解析：(1)根据题意分别写出F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3+c)(3−c)+1=10−c 2=−6，解得c =4，再结合椭圆的定义可得a 得数值，进而得到椭圆E 的方程．(2)设M ，N 的坐标分别为(5,m)，(5,n)，则得到F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =9+mn =0，即mn =−9，并且得到圆C 的方程为(x −5)2+(y −m+n 2)2=(|m−n|2)2，化简可得(x −5)2+y 2−(m +n)y −9=0，令y =0，可得x =8或2，即可得到答案．此题是个中档题．考查椭圆的定义和标准方程的求法，以及圆与椭圆的综合等知识，同时考查了学生分析问题与解决问题的能力．。
2020届天津市滨海新区塘沽一中高三毕业班5月复课模拟检测化学试题
天津市滨海新区塘沽一中2020届高三毕业班5月复课模拟检测第Ⅰ卷本卷共12题，每题3分，共36分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
可能用到的相对原子质量：N14 C12 O16 Al27 Cl35.5 Mn55 Fe56 Cu64 I127 1．下列说法不正确的是（）A．煤的气化是物理变化，是高效、清洁地利用煤的重要途径B．我国研制的重组新冠疫苗无需冷藏C．将牛油和烧碱溶液混合加热，充分反应加入热的饱和食盐水，上层析出甘油D．华为继麒麟980 之后自主研发的7m芯片问世，芯片的主要成分是硅2．2Na2S+Na2CO3+4SO2=3Na2S2O3+CO2可用于工业上制备Na2S2O3。
下列正确的是（）20SA．中子数为20的硫原子：16B．Na+的结构示意图：C．Na2S的电子式：D．Na2CO3溶液显碱性的离子方程式：CO32-+2H2O=H2CO3+2OH-3．下列说法正确的是（）A．固态二氧化碳属于共价晶体B．CH4分子中含有极性共价键，所以是极性分子C．所有的金属元素都分布在d区和ds区D．离子键、氢键、范德华力本质上都是静电作用4．科学家提出由WO3催化乙烯和2-丁烯合成丙烯的反应历程如图（所有碳原子满足最外层八电子结构）。
下列说法不正确的是（）A．乙烯、丙烯和2-丁烯互为同系物B．乙烯、丙烯和2-丁烯的沸点依次升高C．Ⅲ→Ⅳ中加入的2-丁烯具有反式结构D．碳、钨（W）原子间的化学键在Ⅲ→Ⅳ→Ⅰ的过程中未发生断裂5．下列离子方程式不能正确表示体系颜色变化的是（）A．向AgCl悬浊液中加入Na2S溶液，有黑色难溶物生成：2AgCl(s)+S2-(aq)Ag 2S(s)+2Cl-(aq)B．向酸性KMnO4溶液中加入NaHSO3固体，溶液紫色褪去：2MnO4-+5SO32-+6H+=2Mn2++5SO42-+3H2OC．向橙色K2Cr2O7溶液中加入NaOH溶液，溶液变黄色：Cr2O72-+2OH-=2CrO42-+H2O D．向稀硝酸中加入铜粉，溶液变蓝色：3Cu+8H++2NO3-=3Cu2++2NO↑+4H2O6．某温度下，某反应平衡常数。
2020年天津市塘沽一中高考数学二模试卷
2020年天津市塘沽一中高考数学二模试卷一、选择题1．（5分）设复数z 满足(1)21(z i i i +=+g 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）已知集合{|0}3xA x Z x =∈+„，则集合A 真子集的个数为( ) A ．3B ．4C ．7D ．83．（5分）已知m 为实数，直线1:10l mx y +-=，2:(32)20l m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知圆224210x y x y +-++=关于双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为( )A B ．5 C D ．54 5．（5分）已知数列{}n a 的通项公式是221sin()2n n a n π+=，则12312(a a a a +++⋯+= )A ．0B ．55C ．66D ．786．（5分）设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件(1)y f x =+是偶函数，且当1x …时，1()()12x f x =-，则3(log 2)a f =，(b f =-，c f =（3）的大小关系是( ) A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．c b a >>7．（5分）已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0ω>，(0,)2πθ∈，其图象关于直线6x π=对称，对满足12|()()|2f x f x -=的1x ，2x ，有12||2min x x π-=，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是( ) A ．[6k ππ-，]()2k k Z ππ+∈ B ．[k π，]()2k k Z ππ+∈C ．[3k ππ+，5]()6k k Z ππ+∈ D ．[12k ππ+，7]()12k k Z ππ+∈ 8．（5分）袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是( ) A ．40243B ．70243C ．80243D ．382439．（5分）已知函数22,0()2,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩…的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象．上，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(,1)2B ．(0,1)C ．1(,0)2-D ．(1,0)-二.填空题（每小题5分，共30分）10．（5分）设函数()f x =的定义域是 ．11．（5分）已知二项式22()n x x-的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中第四项的系数 ．12．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN = ．13．（5分）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，PA PC ⊥，则球O 的体积为 ．14．（5分）若ABC ∆的面积为2221()4a c b +-，且C ∠为钝角，则B ∠= ；c a的取值范围是 ．15．（5分）已知0a >，0b >，2c >，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为 ． 三.解答题（共5个大题，共75分）16．（14分）4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如表：（1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率； （2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用X 表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（15分）如图，已知四边形ABCD 的直角梯形，//AD BC ，AD DC ⊥，4AD =，2DC BC ==，G 为线段AD 的中点，PG ⊥平面ABCD ，2PG =，M 为线段AP 上一点(M不与端点重合）． （1）若AM MP =， ()i 求证：//PC 平面BMG ；()ii 求平面PAD 与平面BMD 所成的锐二面角的余弦值；（2）否存在实数λ满足AM AP λ=u u u u r u u u r，使得直线PB 与平面BMG 所成的角的正弦值为10，若存在，确定λ的值，若不存在，请说明理由．18．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，且过点(2,0)P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为C 的左焦点，点M 为直线4x =-上任意一点，过点F 作MF 的垂线交C 于两点A ，B ．()i 证明：OM 平分线段AB （其中O 为坐标原点）； ()ii 当||||MF AB 取最小值时，求点M 的坐标． 19．（15分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，21a -，3a ，7a ，恰为等比数列{}n b 的前3项（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列1{}n n n nb a a +的前n 项和n T ；若对*n N ∀∈均满足2020n mT >，求整数m 的最大值； （3）是否存在数列{}n c ，满足等式111(1)22n n i n i i a c n ++-=-=--∑成立，若存在，求出数列{}n c 的通项公式；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知()sin(1)f x a x lnx =-+，其中a R ∈． （1）当0a =时，设函数2()()g x f x x =-，求函数()g x 的极值． （2）若函数()f x 在区间(0,1)上递增，求a 的取值范围； （3）证明：211sin32(2)nk ln ln k =<-+∑．。
天津市塘沽区2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷含解析
天津市塘沽区2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则A B =I （ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x x 禳镲镲<-睚镲镲铪C ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-【答案】C 【解析】 【分析】由题意和交集的运算直接求出A B I . 【详解】∵ 集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<∴A B =I 1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭. 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆. 2．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A．1 B ．12C．1 D．1 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值. 【详解】由于()221cos 21cos 22cos sin 422x x f x x x ππ⎛⎫-+ ⎪+⎛⎫⎝⎭=++=+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2122x x=++ 21sin 224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 故其最小值为：212-. 故选：C. 【点睛】本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题. 3．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A ．15B ．120C ．112D ．340【答案】C 【解析】 【分析】先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率. 【详解】所有的情况数有：310120C =种，3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：()()()()()()()()()()1,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8,9,1,4,7,3,6,9,1,3,5,3,5,7,5,7,9,1,5,9，共10种，所以目标事件的概率10112012P ==. 故选：C. 【点睛】本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.4．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，若三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为（）A．12πB．21π2C．41π4D．10π【答案】C【解析】【分析】取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC 有相同的外接球，求出等腰三角形QBC的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径【详解】如图，取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，QBC∆的外接圆直径为52sin2QBrQCB==∠，球O的半径R满足22241()216ABR r=+=，所以球O的表面积S=4πR2=41π4，故选：C.【点睛】此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.5．设i为虚数单位，z为复数，若ziz+为实数m，则m=（）A．1-B．0C．1D．2【答案】B【解析】【分析】可设(,)z a bi a b R=+∈，将ziz+化简，(2222a ab b ia b+++由复数为实数，220a b b+=，解方程即可求解【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则)22a b i za bi i i i z a b+-+=+=+=+.00b a =⇒=，所以0m =. 故选：B 【点睛】本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题6．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5ˆ8yx =+，则表中数据m 的值为（ ）A ．0.9B ．0.85C ．0.75D ．0.5【答案】A 【解析】 【分析】计算,x y ，代入回归方程可得． 【详解】 由题意01231.54x +++==，3 5.5715.544m m y ++++==，∴15.52.1 1.50.854m +=⨯+，解得0.9m =． 故选：A. 【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点(,)x y ．7．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C 【解析】 【分析】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据1tan 2PAF ∠=得到2120e e --=，解得答案.【详解】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，21tan 2b aPAF a c ∠==+，即2220a ac c --=， 即2120e e --=，解得12e =，1e =-（舍去）.故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力. 8．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0-【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题. 9．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a = ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【答案】D 【解析】 【分析】由题意{|2020}A x N x =∈==∅，分析即得解【详解】由题意{|2020}A x N x =∈==∅，故a A ∉，{}A a ⊆故选：D 【点睛】本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =B ．33y x =±C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的对称性可得'ABF AFF S S ∆∆=即8bc =，又222b MN c==，从而可得C 的渐近线方程.【详解】设双曲线的另一个焦点为'F ，由双曲线的对称性，四边形'AFBF 是矩形，所以'ABF AFF S S ∆∆=，即8bc =，由22222221x y c x yab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得：2b yc =±，所以222b MN c ==，所以2b c =，所以2b =，4c =，所以a =C的渐近线方程为3y x =±. 故选B 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题. 11．过直线0x y +=上一点P 作圆()()22152x y ++-=的两条切线1l ，2l ，A ，B 为切点，当直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称时，APB ∠=（ ）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C 【解析】 【分析】判断圆心与直线0x y +=的关系，确定直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称的充要条件是PC 与直线0x y +=垂直，从而PC 等于C 到直线0x y +=的距离，由切线性质求出sin APC ∠，得APC ∠，从而得APB ∠． 【详解】如图，设圆22(1)(5)2x y ++-=的圆心为(1,5)C -，点C 不在直线0x y +=上，要满足直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称，则PC 必垂直于直线0x y +=，∴PC ==，设APC θ∠=，则2APB θ∠=，1sin 2AC PCθ===，∴30θ=︒,260APB θ∠==︒．故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线0x y +=对称，得出PC 与直线0x y +=垂直，从而得PC 就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角．12．已知向量a r ，b r满足4a =r ，b r 在a r 上投影为2-，则3a b -r r 的最小值为( )A ．12B ．10C 10D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据b r 在a r 上投影为2-，以及[)cos ,1,0a b <>∈-rr ，可得min 2b =r ；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入minbr即可求得min3a b -r r.【详解】b r 在a r 上投影为2-，即cos ,2b a b <>=-r rr 0b >r Q cos ,0a b∴<><r r又[)cos ,1,0a b <>∈-rr min 2b ∴=r2222223696cos ,9964a b a a b b a a b a b b b -=-⋅+=-<>+=+r r r r rr r r r r r r rmin3946410a b∴-=⨯+=r r本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到br的最小值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届天津市滨海新区高三数学模拟试卷(word版含答案)
2020年天津市滨海新区高三居家专题讲座学习反馈检测试题（数学学科A 卷）一.选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合U =ðA B I (A) {}1,3,5,6 (B) {}1,3,5(C) {}1,3 (D) {}1,5（2）设x R ∈，则“21x ->”是“2430x x -+>”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件（3）某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示.据图估计，每周锻炼时间在[10,12]小时内的人数为( A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 72（4）函数31()(1)x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为(A) (B) (C) (D)（5）已知三棱柱111ABC A B C -32AB =，1AC =，60BAC ∠=o ，则此球的表面积等于(A) 8π (B)9π (C) 10π (D) 11π（6）已知函数12()2log xf x x =-，且1231(ln ),log ,(2),23a f b f c f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭则,,a b c 的大小关系为 （A ）c a b<<（B ）b c a<<（C ）a c b<<（D ）b a c<<（7）已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数()12f x π+是偶函数，下列判断正确的是(A) 函数()f x 的最小正周期为2π (B) 函数()f x 的图象关于点7012π（，）对称(C) 函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称 (D) 函数()f x 在34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增 （8）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的左焦点为(,0)F c -,抛物线24y cx =的准线与双曲线的一个交点为P ,点M 为线段PF 的中点，且OFM ∆为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为(A)(B) 1(C)(D) （9）已知函数22,0()=1,0x x x f x x x⎧-≥⎪⎨<⎪⎩，若函数()()g x f x x m =-+恰有三个零点，则实数m 的取值范围是(A) ()1--2,04⎛⎤∞- ⎥⎝⎦U ， (B) ()12+04⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭U ，，(C) [)1-2-0+4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦U ，， (D) [)120+4⎛⎫∞ ⎪⎝⎭U ，，二.填空题:本大题共6个小题，每小题5分，共30分. （10）复数2+12i i-的共轭复数是 ___________.（11）62x）的展开式中的常数项为___________.（用数字作答） (12) 已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A --和(2,2)B -，且圆心C 在直线:10l x y --=上，则圆心为C 的圆的标准方程是___________.（13）已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球.则3个小球颜色互不相同的概率是______；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望()E ξ为___________.（14）已知正数,x y 满足23x yxy+=，则当=x ______时，x y +的最小值是___________. （15）在平面凸四边形ABCD 中，2AB =，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，且32MN =，若3()2MN AD BC ⋅-=u u u u r u u u r u u u r ，则AB CD ⋅=u u u r u u u r___________.三. 解答题:本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）（14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且11,cos ,3b c A ABC -==∆的面积为22．（Ⅰ）求a 及sin C 的值；（Ⅱ）求cos(2)6A π-的值．（17）(15分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆为等边三角形，边长为2，ABC ∆为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ∠=o ，平面PAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：AC ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的正弦值；（III ）棱PD 上是否存在一点E ，使得//AE 平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由.（18）(15分)已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是35,a a 的等差中项．数列{}n b 满足11b =，数列{}1()n n n b b a +-的前n 项和为22n n +．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式．（19）（15分）已知点,A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点和上顶点，F 为其右焦点，1BA BF ⋅=u u u r u u u r ，且该椭圆的离心率为12；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点P 为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M 为直线AP 与y 轴的交点，线段AP 的中垂线与x 轴交于点N ，若直线OP 斜率为1k ，直线MN 的斜率为2k ，且2128b k k a⋅=-（O 为坐标原点），求直线AP 的方程.（20）（16分）已知2()46ln f x x x x =--，（Ⅰ）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性； （Ⅱ）对(1,)x ∀∈+∞，有21()()6(1)12xf x f x x k x'->+--恒成立，求k 的最大整数解； （III ）令()()4(6)ln g x f x x a x =+--，若()g x 有两个零点分别为1212,()x x x x <，且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>.2020年滨海新区高三居家专题讲座学习反馈检测（数学学科A 卷）参考答案及评分标准一.选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分.）二.填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)(试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分)三.解答题(本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)． （16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别是a,b ,c ,且11,,33b c cosA sinA -==∴==,……………2分 ABC ∆Q的面积为16,3,222bc bc sinA bc b c ⋅===∴=∴==, 3a ∴===．……………5分 再根据正弦定理可得a csinA sinC=,2,sinC sinC =∴=．……………7分（Ⅱ12223sin A sinAcosA ∴===）……………9分 272219cos A cos A =-=-,……………11分 故71222666929218cos A cos Acossin Asinπππ-=+=-⋅+=（）． ……………14分（17）（本小题满分15分）（Ⅰ）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，平面PAD I 平面ABCD AD =，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面PAD ; ……………4分（II ）取AD 的中点O ，连接PO ，由于PAD ∆是等边三角形，所以PO AD ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ，3PO =……………6分以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，(2,0,0)D ，(0,1,0)C ，11(,,0)22B -，(1,0,3)P ，……………7分(1,1,3)PC =-u u u r ，11(,,0)22BC =u u u r ，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则301122n PC x y z n BC x y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1x =-，则1y =，23z =，23(n =-r ，……………9分平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =u r，22230cos ,10231(1)1()3m n m n m n⋅<>===⨯-++u r ru r r u r r ，从而70sin ,10m n <>=u r r，……………10分 ∴平面P AD 与平面PBC 70；……………11分 （III ）假设棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，设PE PD λ=u u u r u u u r(01)λ≤≤，由（II）(1,0,PD =u u u r，AP =u u u r，10AE AP PE AP PD λλ=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r(，……………13分又平面PBC的一个法向量是(1,1,3n =-r ，∴103)AE n λ⋅=--+=u u u r r ，解得13λ=，∴13PE PD =. ∴棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，且13PE PD =. ……………15分 （18）（本小题满分15分）解：（1）由题知34528a a a ++=，42a +是35,a a 的等差中项， 所以a a a 35424+=+,解得，a q 482==，所以n n a 12-=.……………4分（2）设n n n n c b b a 1()+=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由n n n S n c S S n 11,1,, 2.-=⎧=⎨-≥⎩解得n c n 41=-.……………7分由（1）可知n n a 12-=，所以（）（）n n n b b n 111412-+-=-⋅，故（）（）n n n b b n n 21145,22---=-⋅≥………9分n n n n n b b b b b b b b b b 11123221()()()()----=-+-+⋅⋅⋅+-+-（）（）n n n n 2310111145(49)()7()3()2222--=-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅……………11分（）（）n n n T n n n 013211113()7()(49)()45,22222--=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅≥， 所以n T =12n n n n 221111137()(49)()(45)()2222--⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ 所以n n n T n 22111111344()4()(45)()22222--=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅，……………13分 n n T n n 2114(43)(),2,2-=-+⋅≥又b 11=，所以n n b n 2115(43)()2-=-+⋅.……………15分（19）（本小题满分15分）解：（I ）依题意知：(,0)A a -，0(,)B b ，0(c,)F ，(,)BA a b =--u u u r ，(,)BF c b =-u u u r，则21BA BF ac b ⋅=-+=u u u r u u u r ，又12c e a ==，2a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22143:x y C +=.……………5分（II ）由题意()20,A -，设直线AP 的斜率为k ，直线AP 方程为2()y k x =+ 所以02(,)M k ，设(),p p P x y ，AP 中点为(),H H H x y ，()0,N N x由222143()y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2222341616120k x k x k +++-=……………5分221612234()P k x k-∴-⋅=+ 22268123434,k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭222863434,k k H k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭……………9分AP ∴中垂线方程为：2226183434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭令0y =得22234N k x k-=+. 222,034k N k ⎛⎫-∴ ⎪+⎝⎭……………11分 26341P P y k k x k∴==-，2222342342k k k k k k +==+……………13分 2226348123412k k b k k k k a ⎛⎫+⎛⎫⋅=⋅=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭……………14分解得294k =. 32k ∴=±∴直线AP 的方程为322()y x =±+， 即3260x y ±+=……………15分（20）（本小题满分16分） 解：（I ）2()46ln f x x x x =--Q 所以定义域为()0,+∞6()24f x x x'∴=--； (1)8f '=-；(1)3f =-所以切线方程为85y x =-+；……………3分213()()()f x x x x'=+-， 令0()f x '>解得3x > 令0()f x '<解得03x <<所以()f x 的单调递减区间为()03,，单调递增区间为3(,)+∞.……………5分 （II ）216112()()xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于1min ln ()x x x k h x x +<=-； 221ln ()()x xh x x --'∴=-，……………7分记2()ln m x x x =--，110()m x x'=->，所以()m x 为1(,)+∞上的递增函数， 且3130()ln m =-<，(4)2ln40m =->，所以034(,)x ∃∈，使得()00m x =即0020ln x x --=，……………9分所以()h x 在()01,x 上递减，在()0,x +∞上递增， 且()000000341min ln ()(,)x x x h x h x x x +===∈-；所以k 的最大整数解为3.……………10分 （III ）2()ln g x x a x =-，20()a g x x x '=-==得0x =当0x ⎛∈ ⎝，0()g x '<，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0g x '>；所以()g x在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，……………11分 而要使()g x 有两个零点，要满足()00g x <，即202g a a e =-<⇒>；因为10x <<，2x >21x t x =1()t >， 由()()12f x f x =，221122ln ln x a x x a x ∴-=-，……………12分 即：2221111ln ln x a x t x a tx -=-，2121ln a tx t ∴=- ……………13分 而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>即证：221318()t x a +>即：22ln (31)81a tt a t +>-由0a >，1t >只需证：2231880()ln t t t +-+>，……14分 令22()(31)ln 88h t t t t =+-+，则1()(186)ln 76h t t t t t'=+-++高三数学检测A 卷第11页（共6页）令1()(186)ln 76n t t t t t =+-++，则261()18ln 110t n t t t-'=++>(1)t >……15分 故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=；故()h t 在1(,)+∞上递增，()(1)0h t h >=；12034x x x ∴+>.…………16分。
2020年天津市塘沽一中高考数学二模试卷 含解析
2020年高考数学二模试卷一、选择题（共9小题）1．设复数z满足z•（1+i）＝2i+1（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合，则集合A真子集的个数为（）A．3B．4C．7D．83．已知m为实数，直线l1：mx+y﹣1＝0，l2：（3m﹣2）x+my﹣2＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0关于双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率为（）A．B．5C．D．5．已知数列{a n}的通项公式是，则a1+a2+a3+…+a12＝（）A．0B．55C．66D．786．设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，f（x）＝（）x﹣1，则a＝f（log32），b＝f（﹣log），c＝f（3）的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a7．已知函数f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），其图象关于直线x＝对称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）A．[k，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）8．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（）A．B．C．D．9．已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象．上，则实数k的取值范围是（）A．B．（0，1）C．D．（﹣1，0）二.填空题10．设函数的定义域是．11．已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中第四项的系数．12．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝．13．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，则球O的体积为．14．若△ABC的面积为，且∠C为钝角，则∠B＝；的取值范围是．15．已知a＞0，b＞0，c＞2，且a+b＝2，则的最小值为．三.解答题（共5个大题）16．4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如表：小组甲乙丙丁人数12969（1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，已知四边形ABCD的直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，AD＝4，DC＝BC＝2，G 为线段AD的中点，PG⊥平面ABCD，PG＝2，M为线段AP上一点（M不与端点重合）．（1）若AM＝MP，（i）求证：PC∥平面BMG；（ii）求平面PAD与平面BMD所成的锐二面角的余弦值；（2）否存在实数λ满足，使得直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为，若存在，确定λ的值，若不存在，请说明理由．18．已知椭圆C b＞0）的焦距为2，且过点P（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设F为C的左焦点，点M为直线x＝﹣4上任意一点，过点F作MF的垂线交C 于两点A，B．（i）证明：OM平分线段AB（其中O为坐标原点）；（ii）当取最小值时，求点M的坐标．19．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足，a2﹣1，a3，a7，恰为等比数列{b n}的前3项（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n；若对∀n∈N*均满足，求整数m的最大值；（3）是否存在数列{c n}，满足等式成立，若存在，求出数列{c n}的通项公式；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知f（x）＝a sin（1﹣x）+lnx，其中a∈R．（1）当a＝0时，设函数g（x）＝f（x）﹣x2，求函数g（x）的极值．（2）若函数f（x）在区间（0，1）上递增，求a的取值范围；（3）证明：．参考答案一、选择题1．设复数z满足z•（1+i）＝2i+1（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．解：由z•（1+i）＝2i+1，得z＝，∴，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．2．已知集合，则集合A真子集的个数为（）A．3B．4C．7D．8【分析】解出集合A，再由含有n个元素的集合，其真子集个数为2n﹣1个可得答案．解：已知集合，解得：＝{x∈Z|﹣3＜x≤0}＝{﹣2，﹣1，0}，则集合A真子集的个数为23﹣1＝7个，故选：C．3．已知m为实数，直线l1：mx+y﹣1＝0，l2：（3m﹣2）x+my﹣2＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当m＝1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1＝0，l2：x+y﹣2＝0满足l1∥l2，即充分性成立，当m＝0时，两直线方程分别为y﹣1＝0，和﹣2x﹣2＝0，不满足条件．当m≠0时，则l1∥l2⇒＝≠，由＝得m2﹣3m+2＝0得m＝1或m＝2，由≠得m≠2，则m＝1，即“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件，故选：A．4．已知圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0关于双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率为（）A．B．5C．D．【分析】由圆的方程可得圆心坐标，由双曲线的方程可得渐近线的方程，因为圆关于直线对称是直线过圆心，将圆心代入渐近线的方程可得a，b的故选，进而求出离心率．解：圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0的圆心坐标为：（2，1），有题意圆关于渐近线的对称，可得圆心在直线上，而由双曲线的方程可得，渐近线的方程为：y＝x，所以1＝•2，即＝，所以离心率e＝＝＝，故选：A．5．已知数列{a n}的通项公式是，则a1+a2+a3+…+a12＝（）A．0B．55C．66D．78【分析】本题先分n为奇数和偶数两种情况计算出sin（π）的值，可进一步得到数列{a n}的通项公式，然后代入a1+a2+a3+…+a12＝转化计算，再根据等差数列求和公式可计算出结果．解：由题意，可知当n为奇数时，sin（π）＝sin（nπ+）＝sin（π+）＝sin＝﹣1；当n为偶数时，sin（π）＝sin（nπ+）＝sin＝1．∴a n＝．故a1+a2+a3+…+a12＝﹣12+22﹣32+42﹣…﹣112+122＝22﹣12+42﹣32+…+122﹣112＝（2+1）（2﹣1）+（4+3）（4﹣3）+…+（12+11）（12﹣11）＝1+2+3+4+…+11+12＝＝78，故选：D．6．设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，f（x）＝（）x﹣1，则a＝f（log32），b＝f（﹣log），c＝f（3）的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a【分析】根据函数y＝f（x+1）是偶函数得到函数关于x＝1对称，然后利用函数单调性和对称之间的关系，进行比较即可得到结论．解：∵y＝f（x+1）是偶函数，∴f（﹣x+1）＝f（x+1），即函数f（x）关于x＝1对称．∵当x≥1时，f（x）＝（）x﹣1为减函数，∵f（log32）＝f（2﹣log32）＝f（log3），且﹣＝2＝log34，log34＜log3＜3，∴b＞a＞c，故选：C．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），其图象关于直线x＝对称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）A．[k，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【分析】由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，可得f（x）的解析式；再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）得解析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数g（x）的单调递减区间．解：已知函数f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），其图象关于直线x＝对称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝＝•，∴ω＝2．再根据其图象关于直线x＝对称，可得2×+φ＝kπ+，k∈Z．∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（2x++）＝cos2x 的图象．令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，则函数g（x）的单调递减区间是[kπ，kπ+]，k∈Z，故选：B．8．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（）A．B．C．D．【分析】获奖的概率P1＝＝，由此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率．解：∵袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，基本事件总数为，获奖包含的基本事件有：（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），获奖的概率P1＝＝，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是：P＝＝．故选：C．9．已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象．上，则实数k的取值范围是（）A．B．（0，1）C．D．（﹣1，0）【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y＝﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可．解：∵已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象上，而函数y＝kx﹣1关于直线y＝﹣1的对称图象为y＝﹣kx﹣1，∴已知函数的图象与y＝﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，作函数f（x）的图象与y＝﹣kx﹣1的图象如下，易知直线y＝﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），设直线AC与y＝xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x），y′＝lnx﹣1，故lnx﹣1＝，解得，x＝1；故k AC＝﹣1；设直线AB与y＝x2+2ax相切于点B（x，x2+2x），y′＝2x+2，故2x+2＝，解得，x＝﹣1；故k AB＝﹣2+2＝0，故﹣1＜﹣k＜0，故0＜k＜1，故选：B．二.填空题10．设函数的定义域是（，1]．【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．解：要使函数有意义，则，解得＜x≤1，则函数的定义域是：（，1]．故答案为：（，1]．11．已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中第四项的系数﹣672．【分析】令x＝1可得，其展开式各项系数的和，又由题意，可得2n＝512，解可得n＝9，进而可得其展开式的通项，即可得答案．解：在中，令x＝1可得，其展开式各项系数的和是2n，又由题意，可得2n＝512，解可得n＝9，则二项式的展开式的通项为T r+1＝C9r（x2）9﹣r（﹣）r＝（﹣2）r•C9r x18﹣3r，r＝0，1， (9)令r＝3，则其展开式中的第4项的系数为：（﹣2）3•＝﹣672，故答案为：﹣672．12．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝6．【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．解：抛物线C：y2＝8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|＝2|FM|＝2＝6．故答案为：6．13．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，则球O的体积为8π．【分析】可得三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是棱长为2的正方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积．解：∵PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可得∠APC＝∠APB＝∠BPC，∵PA⊥PC，故三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是棱长为2长方体的外接球，长方体的对角线的长为：2∴半径为．所以球的体积V＝πR3＝8π．故答案为：8π．14．若△ABC的面积为，且∠C为钝角，则∠B＝；的取值范围是（）．【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求B，然后结合正弦定理及和差角公式进行化简后，结合正切函数的性质可求．解：因为S＝，由题意可得＝ac cos B═，所以sin B＝cos B即B＝，因为C＝，所以，所以0＜tan A＜1由正弦定理可得，＝＝＝．故答案为：，（）15．已知a＞0，b＞0，c＞2，且a+b＝2，则的最小值为+．【分析】由2＝，先将+﹣变形为，运用基本不等式可得最小值，再求c+＝[（c﹣2）++1]的最小值，运用基本不等式即可得到所求值．解：a＞0，b＞0，c＞2，且a+b＝2，则＝c（+﹣）+＝+，由2＝，可得＝＝≥＝，当且仅当b＝a时，取得等号．则原式≥c+＝[（c﹣2）++1]≥[2+1]＝+．当且仅当c＝2+时，取得等号．则所求最小值为+．故答案为：+．三.解答题（共5个大题，共75分）16．4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如表：小组甲乙丙丁人数12969（1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（1）采用分层抽样的方法甲组抽取4人，乙组抽取3人，丙组抽取2人，丁组抽取3人，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，基本基本事件总数n＝＝66，这2人来自同一个小组包含的基本事件个数m＝＝13，由此能求出这2人来自同一个小组的概率．（2）已抽取的甲、丙两个小组的学生分别有4人和2人，从中随机抽取2人，用X表示抽得甲组学生的人数，则X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．解：（1）采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学生参加问卷调查，甲组抽取：12×＝4人，乙组抽取：12×＝3人，丙组抽取：12×＝2人，丁组抽取：12×＝3人，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，基本基本事件总数n＝＝66，这2人来自同一个小组包含的基本事件个数m＝＝13，∴这2人来自同一个小组的概率p＝．（2）已抽取的甲、丙两个小组的学生分别有4人和2人，从中随机抽取2人，用X表示抽得甲组学生的人数，则X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴随机变量X的分布列为：X012P数学期望EX＝＝．17．如图，已知四边形ABCD的直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，AD＝4，DC＝BC＝2，G 为线段AD的中点，PG⊥平面ABCD，PG＝2，M为线段AP上一点（M不与端点重合）．（1）若AM＝MP，（i）求证：PC∥平面BMG；（ii）求平面PAD与平面BMD所成的锐二面角的余弦值；（2）否存在实数λ满足，使得直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为，若存在，确定λ的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）（i）连结AC，交BG于点O，连结OM，CG，由题意得四边形ABCG 是平行四边形，推导出AO＝OC，MO∥PC，由此能证明PC∥平面BMG．（ii）推导出BG⊥GD，以G为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出平面PAD与平面BMD所成的锐二面角的余弦值．（2）设＝＝（0，2λ，2λ），λ∈（0，1），求出平面BMG的法向量，利用向量法能求出存在实数λ＝满足，使得直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为．解：（1）（i）证明：连结AC，交BG于点O，连结OM，CG，由题意得四边形ABCG是平行四边形，∴AO＝OC，∵PM＝MA，∴MO∥PC，∵MO⊂平面BMG，PC⊄平面BMG，∴PC∥平面BMG．（ii）解：如图，在平行四边形BCDG中，∵BG∥CD，CD⊥GD，∴BG⊥GD，以G为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，则G（0，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（2，2，0），M（0，﹣1，1），∴＝（2，0，﹣2），＝（2，0，0），＝（0，﹣1，1），＝（﹣2，2，0），＝（﹣2，﹣1，1），平面PAD的法向量＝（1，0，0），设平面BMD的法向量＝（x，y，z），则，即，取x＝1，得＝（1，1，3），设平面PAD与平面BMD所成的锐二面角为θ，则平面PAD与平面BMD所成的锐二面角的余弦值cosθ＝＝＝．（2）设＝＝（0，2λ，2λ），λ∈（0，1），∴M（0，2λ﹣2，2λ），＝（﹣2，2λ﹣2，2λ），＝（﹣2，0，0），设平面BMG的法向量＝（a，b，c），则，取b＝λ，得＝（0，λ，1﹣λ），∵直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为，∴＝＝，解得．∴存在实数λ＝满足，使得直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为．18．已知椭圆C b＞0）的焦距为2，且过点P（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设F为C的左焦点，点M为直线x＝﹣4上任意一点，过点F作MF的垂线交C 于两点A，B．（i）证明：OM平分线段AB（其中O为坐标原点）；（ii）当取最小值时，求点M的坐标．【分析】（1）由题意可得c＝1，a＝2，由a，b，c的关系求得b，即可求椭圆C的标准方程；（2）（i）设M（﹣4，3m），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为N（x0，y0），k MF＝﹣m，设直线PQ的方程为x＝my﹣1，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证；（ii）利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由换元法和对勾函数的单调性，可得取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点M的坐标．解：（1）由焦距为2，且过点P（2，0），可得c＝1，a＝2，b＝＝，则椭圆方程为+＝1；（2）设M（﹣4，3m），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为N（x0，y0），k MF＝﹣m，（i）证明：由F（﹣1，0），可设直线PQ的方程为x＝my﹣1，代入椭圆方程3x2+4y2＝12，可得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝﹣，于是N（﹣，），则直线ON的斜率k ON＝﹣，又k OM＝﹣，∴k OM＝k ON，∴O，N，M三点共线，即有OM平分线段AB；（ii）由两点间距离公式得|MF|＝＝3，由弦长公式得|AB|＝•|y1﹣y2|＝•＝•＝，∴＝，令t＝（t≥1），则＝＝（3t+），由g（t）＝3t+在[1，+∞）递增，可得t＝1，即m ＝0时，g（t）取得最小值4，所以当取最小值时，点M的坐标为（﹣4，0）．19．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足，a2﹣1，a3，a7，恰为等比数列{b n}的前3项（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n；若对∀n∈N*均满足，求整数m的最大值；（3）是否存在数列{c n}，满足等式成立，若存在，求出数列{c n}的通项公式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由a n+12＝2S n+n+4，（n∈N*）①，可得a n与S n﹣1之间的关系，a n2＝2S n+（n﹣1）+4，（n≥2，n∈N*）②，把这两个等式相减，化简得，a n+1＝a n+1，公差为﹣11，因为a2﹣1，a3，a7，恰为等比数列{b n}的前3项，得a32＝（a2﹣1）a7，化简计算得a1＝2，进而得数列{a n}的通项公式，再计算出a2﹣1＝2，a3＝4，a7＝8，进而可得等比数列{b n}的首项，公比，写出通项公式．（2）令c n＝＝，（n∈N*），化简计算得c n+1﹣c n＞0，所以数列{c n}即{}是递增的，若对∀n∈N*均满足，只要T n最小值大于即可，T n最小值为T1＝c1＝，所以m＜≈673.3，进而得出答案．（3）有题意可得（a1﹣1）c n+（a2﹣1）c n﹣1+（a3﹣1）c n﹣2+…+（a n﹣1）c1＝2n+1﹣n﹣2，即c n+2c n﹣1+3c n﹣2+…+nc1＝2n+1﹣n﹣2，（n∈N*）③，c n﹣1+2c n﹣2+3c n﹣3+…+（n﹣1）c1＝2n﹣（n﹣1）﹣2，（n≥2，n∈N*）④，再③﹣④得，c n+c n﹣1+c n﹣2+…+c1＝2n﹣1，（n∈N*）⑤，进而可得c n﹣1+c n﹣2+c n﹣3+…+c1＝2n﹣1﹣1，（n≥2，n∈N*）⑥，⑤﹣⑥得，c n＝2n﹣1（n∈N*）．进而得出答案．解：（1）a n+12＝2S n+n+4，（n∈N*）①a n2＝2S n﹣1+（n﹣1）+4，（n≥2，n∈N*）②①﹣②得，a n+12﹣a n2＝2a n+1，a n+12＝a n2+2a n+1＝（a n+1）2，因为a n＞0，所以a n+1＝a n+1，所以数列{a n}是等差数列，公差d＝1，因为a2﹣1，a3，a7，恰为等比数列{b n}的前3项，所以a32＝（a2﹣1）a7，即（a1+2d）2＝（a1+d﹣1）（a1+6d），把d＝1代入得，a1＝2，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝n+1，此时a2﹣1＝2，a3＝4，a7＝8，所以数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以b n＝2×2n﹣1＝2n，（2）令c n＝＝，（n∈N*）c n+1﹣c n＝﹣＝（）＝•＝•＞0，所以数列{c n}即{}是递增的，若对∀n∈N*均满足，只要T n最小值大于即可，T n最小值为T1＝c1＝，所以m＜≈673.3，所以整数m的最大值为673．（3）（a i﹣1）c n+1﹣i＝2n+1﹣n﹣2，（a1﹣1）c n+（a2﹣1）c n﹣1+（a3﹣1）c n﹣2+…+（a n﹣1）c1＝2n+1﹣n﹣2，c n+2c n﹣1+3c n﹣2+…+nc1＝2n+1﹣n﹣2，（n∈N*）③c n﹣1+2c n﹣2+3c n﹣3+…+（n﹣1）c1＝2n﹣（n﹣1）﹣2，（n≥2，n∈N*）④③﹣④得，c n+c n﹣1+c n﹣2+…+c1＝2n﹣1，（n∈N*）⑤c n﹣1+c n﹣2+c n﹣3+…+c1＝2n﹣1﹣1，（n≥2，n∈N*）⑥⑤﹣⑥得，c n＝2n﹣1（n∈N*）．所以存在这样的数列{c n}，c n＝2n﹣1（n∈N*）．20．（16分）已知f（x）＝a sin（1﹣x）+lnx，其中a∈R．（1）当a＝0时，设函数g（x）＝f（x）﹣x2，求函数g（x）的极值．（2）若函数f（x）在区间（0，1）上递增，求a的取值范围；（3）证明：．【分析】（1）先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出；（2）先求导，再函数f（x）在区间（0，1）上递增，分离参数，构造函数，求出函数的最值，问题得以解决；（3）取a＝﹣1得到sin（1﹣x）＜ln，取1﹣x＝，可得sin＜ln，累加和根据对数的运算性质和放缩法即可证明．解：（1）当a＝0时，设函数g（x）＝f（x）﹣x2＝lnx﹣x2，x＞0，∴g′（x）＝﹣2x＝＝，令g′（x）＝0，解得x＝，当0＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴当x＝时，函数取的极大值，即极大值为g（）＝﹣ln2﹣，无极小值；（2）∵f（x）＝a sin（1﹣x）+lnx，∴f′（x）＝﹣a cos（1﹣x）+，∵函数f（x）在区间（0，1）上递增，∴f′（x）＝﹣a cos（1﹣x）+≥0在（0，1）上恒成立，∴a≤在（0，1）上恒成立，当a≤0时，a≤在（0，1）上恒成立，当a＞0时，≥x cos（1﹣x），设h（x）＝x cos（1﹣x），x∈（0，1），∴h′（x）＝cos（1﹣x）﹣x sin（1﹣x）＞0在（0，1）上恒成立∴h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）＝1，∴≥1，即a≤1，综上所述a≤1；（3）∵f（x）在x∈（0，1）上单调递增，取a＝﹣1，∴f（x）＝﹣sin（1﹣x）+lnx＜f（1）＝0，∴﹣sin（1﹣x）＞lnx，∴sin（1﹣x）＜ln取1﹣x＝，∴sin＜ln，∴sin+sin+…+sinsin＜ln[××…×ln]＝ln（）＜ln＝ln3﹣ln2，∴．。
天津市塘沽一中2020届高三毕业班第二次模拟考试及答案解析：数学
2020 年塘沽一中高三毕业班第二次模拟考试数学第 I 卷注意事项:本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
一、选择题1. 设复数 z 满足z ·(1+i)=2i+1 (i 为虚数单位),则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 已知集合 A ={x ∈ Z |xx + 3≤ 0}, 则集合A 真子集的个数为( ) A.3 B.4C.7D.83.已知 m 为实数,直线l 1 : mx + y -1 = 0,l 2 : (3m - 2)x + my - 2 = 0, 则“m=1”是“ l 1 / /l 2 ”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件22y 2 x 2 4. 已知圆 x + y - 4x + 2y +1 = 0 关于双曲线 C ： - a 2 b2 = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线对称,则双曲线 C 的离心率为()A .B.5C.52D.5 45. 已知数列{a }的通项公式是a = n 2 sin(2n +1π ), 则a + a + a + + a = ()nn21 2 3 12A.0B.55C.66D.786. 设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,满足条件 y= f(x+1)是偶函数,且当 x≥1 时, f (x ) = ( 1)x -1, 则 2a = f (log 2),b = f (-log 1), c=f(3)的大小关系是( )3 3 2A. a>b>cB. b>c> aC. b>a>cD. c>b>a7. 已 知 函 数 f(x)=sin(ωx+θ), 其中 0>0, θ ∈ π (0, ), 2其 图 象 关 于 直 线x = π 6对 称 ， 对 满 足| f (x ) - f (x ) |= 2 的 x , x , 有| x - x | = π , 将函数 f(x)的图象向左平移 π个单位长度得到函数 g(x)的1 2 1 21 2 min 2 6图象，则函数 g(x)的单调递减区间是()5⎨x 2+ 2x , x ≤ 0 A . [k π - π , k π + π](k ∈ Z )6 2 B . [k π , k π + π](k ∈ Z )2 C . [k π + π , k π + 5π](k ∈ Z )D . [k π + π , k π + 7π| (k ∈ Z )3 612 128. 袋中装有标号为 1, 2, 3, 4, 5, 6 且大小相同的 6 个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是 3 的倍数，则获奖，若有 5 人参与摸球，则恰好 2 人获奖的概率是()A. 40243B. 243C. 243D.243 9. 已知函数 f (x ) = ⎧x ln x - 2x , x > 0的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 y=-1 的对称点在 y= ⎩kx-1 的图像.上，则实数 k 的取值范围是( )1 A . ( ,1)2B. (0,1)C . (- 1, 0) 2D. (-1,0)第 II 卷二.填空题(每小题 5 分,共 30 分)10. 函数 f (x ) =log 0.5 (4x - 3) 的定义域是11. 已知二项式(x 2 -2)n 的展开式中各项的二项式系数和为 512，其展开式中第四项的系数 x12. 已知 F 是抛物线C : y 2 = 2x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点,则|FN|=13. 已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上, PA=PB=PC,△ABC 是边长为 2 的正三角形,PA ⊥PC,则球O 的体积为14. 若△ABC 的面积为1 (a2 + c 2 - b 2 ) ,且∠C 为钝角,则∠B= 4 ; c的取值范围是 .a15.已知 a>0,b>0,c≥4,且 a+b=2,则 ac + c - c +的最小值为b ab 三.解答题(共 5 个大题，共 75 分) 16. (本题满分 14 分)2 c - 24 月 23 日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动.学校为了解高三学生课外阅读情况， 采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生抽取12 名学生参加问卷调查.各组人数统计如下:5(1)从参加问卷调查的12 名学生中随机抽取2 人，求这2 人来自同一个小组的概率;(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2 人，用X 表示抽得甲组学生的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.17.(本题满分15 分)如图，已知四边形ABCD 的直角梯形, AD// BC, AD⊥DC，AD=4,DC= BC=2, G 为线段AD 的中点, PG ⊥平面ABCD, PG=2, M 为线段AP 上一点(M 不与端点重合).(1)若AM=MP,(i)求证:PC//平面BMG ;(ii)求平面PAD 与平面BMD 所成的锐二面角的余弦值;(2)否存在实数λ 满足AM =λAP, 使得直线PB 与平面BMG 所成的角的正弦值为10, 若存在，确定λ 的值，若不存在，请说明理由. 5nk =1x 2 y 218. (本题满分 15 分)已知椭圆 C : a 2 + b2 (1) 求椭圆 C 的方程;= 1 (a > b>0)的焦距为 2,且过点 P(2,0) .(2) 设 F 为 C 的左焦点，点M 为直线 x=-4 上任意一点,过点 F 作 MF 的垂线交C 于两点 A, B(i)证明: OM 平分线段AB (其中O 为坐标原点); (ii) 当| MF |取最小值时,求点 M 的坐标.| AB |19. ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 {a n }的前 n 项 和 为 S n , 满足a 2 = 2S + n + 4, a -1, a , a , 恰为等比数列{b }的前 3 项n +1n237n(1) 求数列{a n }, {b n }的通项公式;(2) 求数列{nb n }的前 n 项和T ;若对∀n ∈ N * 均满足T > m , 求整数 m 的最大值; a n a n +1n2020 (3) 是否存在数列{c }，满足等式∑a -1)c= 2n +1 - n - 2 成立，若存在,求出数列{c }的通项公式;n若不存在，请说明理由.i =1i n +1-in20. (本题满分 16 分)已知 f(x)= asin(1-x)+lnx,其中 a ∈R. (1)当 a= 0 时，设函数 g (x ) = f (x ) - x 2, 求函数 g(x)的极值. (2)若函数 f(x)在区间(0,1)上递增，求 a 的取值范围;n1(3)证明:∑sin (2 + k )2< ln 3 - ln 2 .n122020 届塘沽一中高三毕业班线上二模考试试题一．选择题：（每小题 5 分，共计 45 分） DCAAD ,CBCB二．填空：（每小题 5 分，共计 30 分）3数 学参考答案310.( ,1] 4；11. -672 ；12.213.6π 14. 45ο( 2, +∞)15.三．解答题16.（1）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为 4,3,2,3（人），从参加问卷调查的 12 名学生中随机抽取两名的取法2= 66共有（种），抽取的两名学生来自同一小组的取法共c 2 + 2 c 2+ c 2 = 13有（种），43所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为2P =1366（2）由（1）知，在参加问卷调查的 12 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为 4 人、2 人， 所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数 X 的可能取值为 0,1,2所求 X 的期望为4317.（Ⅰ）（i ）证明：连接 AC 交 BG 于点O ，连接OM ， CG ，依题意易证四边形 ABCG 为平行四边形. ∴ AO = OC 又∵ PM = MA ，∴ MO ∏ PC 又∵ MO ⊂ 平面 BMG ， PC ⊄平面 BMG ， ∴ PC ∏ 平面 BMG .5 5 2c X 01 2 P 1/158/156/15（ii）解：如图，在平行四边形BCDG 中∵ BG ∏CD ，CD ⊥GD ，∴BG ⊥GD以G 为原点建立空间直角坐标系O -xyz则G (0, 0, 0), P (0, 0, 2), D (0, 2, 0)，A(0, -2, 0), B (2, 0, 0), C (2, 2, 0), M (0, -1,1)∴PB =(2, 0, -2),GB =(2, 0, 0),GM =(0, -1,1 )平面 PAD 的法向量为（1,0,0）平面 BMD 的法向量为锐二面角的余弦值为11 （1,1,3）11（Ⅱ）设AM =λAP =λ(0, 2, 2)=(0, 2λ, 2λ),λ∈(0,1) ∴ M (0, 2λ- 2, 2λ)平面BMG 的法向量为(0,λ,1-λ)（过程略）解得18.（1）x2+y2=λ=134 3（2）(i)设点 M 的坐标为(-4,m）当m = 0 时，AB 与x 轴垂直，F 为 AB 的中点,OM 平分 AB 显然成立当m ≠ 0 由已知可得：KMF3=-m,∴K =33 AB m则直线 AB 的方程为：y =(x +1)m联立消去y 得：(m2+12)x2+ 24x - 4m2+12 = 0 ，由韦达定理得AB 中点P 的坐标为(-12,m2+123m)m2+12又因为直线y =-mx4OM：所以 P 在直线 OM 上.综上 OM 平分线段 AB. 12 1 4m 2 + 9 + 9m 2+ 9 + 6 n n +1 n n nn n n c n 1 (ii )当 m = 0= 2时， 当m ≠ 0 时，由(i) 可知 AB= 4 , MF == > 1又<12∴m=0 时， 最小，点 M 的坐标为(-4,0)19.(1) 由题,当 n = 1 时, a2= 2S+ 5 ,即 a 2 = 2a + 5当 n ≥ 2 时,2n +1 2= 2S n 12+ n + 4 …① 1a 2= 2Sn -1+ n + 3 …②①-②得a 2 - a 2 = 2a +1,整理得 a2 n +1 +1)2,又因为各项均为正数的数列{a }.故 a n +1 = a n + 1 ,{a n }是从第二项的等差数列,公差为 1. 又 a 2 -1 , a 3 , a 7 恰为等比数列{b n }的前 3 项,故 a 2 = (a -1) a ⇒ (a +1)2= (a -1)(a + 5) ,解得a = 3 .又 a 2= 2a + 5 , 32722222 1故 a 1 = 2 ,因为 a 2 - a 1 = 1也成立.故{a n }是以 a 1 = 2 为首项,1 为公差的等差数列.故 a n = 2 + n -1 = n +1 .即 2, 4,8 恰为等比数列{b }的前 3 项,故{b }是以b = 2 为首项,公比为 4= 2 的等比数列.nn12故b = 2n .综上 a = n +1, b = 2n(2）nb n= a n a n +1 2n +1 -n + 2 2nn +1前 n 项和为2n +1， {T }单增，所以T 的最小值为 1/3 T n = n + 2 -1所以m <2020 ，所以 m 的最大整数是 673. 3（3） 过程略n ≥ 3, c 所以c = 2n -1= 2n -1 ，又 = 1, c = 2 符合 MFAB (m 2 + 9)2 (m 2 +12)2m 2+ 9 MFABMFAB a = (a n n nn220. （1）极大值 ln2 - 1无极小值； 2 2(2)即 a ≤1x c os (1- x )在区间(0,1) 上恒成立.设t ( x ) = x c os (1- x ) ，则t '( x ) = cos (1- x ) + x s in (1- x ) > 0 在区间(0,1) 上恒成立. 所以t (x ) = x cos (1- x ) 在(0,1) 单调递.增，则0 < t ( x ) < 1 ， 所以 a ≤ 1.(3) 由（2）可知当 a = 1 时，函数G ( x ) = sin (1 - x ) + ln x 在区间(0,1) 上递增，所以sin (1- x )+ ln x < G (1) = 0 ，即sin (1 - x ) < ln 1x(0 < x < 1) ，所以sin 1 (2 + k )2 = sin[1- (k +1)(k + 3) (2 + k )2] < ln (2 + k )2 . (k +1)(k + 3).求和即可得证（略）。
2020年天津市塘沽一中高三毕业班第二次模拟考试数学(版)(含答案)
1 k )2
ln 3 ln 2 .
kx-1 的图像 . 上，则实数 k 的取值范围是 ( )
1 A. ( ,1)
2
B. (0,1)
二 . 填空题 ( 每小题 5 分 , 共 30 分 )
1 C. ( ,0)
2
第 II 卷
D. (-1,0)
10. 函数 f ( x) log 0.5 (4x 3) 的定义域是 ___
11. 已知二项式 ( x2 2 )n 的展开式中各项的二项式系数和为 x
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4. 已知圆 x2
y2
y2 4x 2 y 1 0 关于双曲线 C： a2
x2 b2
1(a
0, b
0) 的一条渐近线对称 , 则双曲
线 C 的离心率为 ()
A. 5
B.5
5 C.
2
5 D.
4
5. 已知数列 { an} 的通项公式是 an n 2 sin( 2n 1 ), 则 a1 a2 a3 L 2
512，其展开式中第四项的系数 ____
12. 已知 F 是抛物线 C : y2 2 x 的焦点， M是 C上一点， FM的延长线交 y 轴于点 N.若 M为 FN 的中点 ,
则|FN|=___
13. 已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上 , PA=PB=PC, △ABC是边长为 2 的正三角形 ,PA⊥ PC,
2
6
g(x)
的图象，则函数 g(x) 的单调递减区间是 ()
A. [ k
,k
]( k Z )
6
2
B. [k ,k
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2020年塘沽一中高三毕业班复课模拟检测数 学答案一、选择题 CDAC DAABD 二、填空题52； 22216y x ；32，1027 ；827 ；77. 816.【答案】解：设“从这100箱橙子中随机抽取一箱，抽到一级品的橙子”为事件A ，则现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的个数为， 则，所以恰好抽到2箱是一级品的概率为．设方案二的单价为，则单价的期望为，因为， 所以从采购商的角度考虑应该采用方案一．用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱， 则现从中抽取3箱，则珍品等级的数量X 服从超几何分布， 则X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，，， ，，X 的分布列为 X 0123P17.【答案】解：与BN 交于F ，连接EF ．由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点． 因为E 是AB 的中点，所以分又平面MEC ，平面MEC ，所以平面分异面直线所成角的余弦值为Ⅲ由于四边形ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，可得． 又四边形ADNM 是矩形，面面ABCD ，面ABCD ， 如图建立空间直角坐标系，则0，，0，，2，，，，，设平面PEC 的法向量为y ，．则，，令，，又平面ADE 的法向量0，， ，，解得，在线段AM 上是否存在点P ，当时使二面角的大小为． 18.（1）由题意知：12c a =，∴2222,a c b a c ==-，∴3b c =. 所以3)3a c bc +=，把2,3a cbc ==代入，解得：2,3a b ==， 所以椭圆方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭， 所以()2222122121121||1213434m m AB m y m m m ++=+-=+=++. 因为G 是ABQ △的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++ 所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 为定值，定值为4. 19.【详解】（1）证明：当1λ=时,()1112nn n a a ---=+,()2+12+1221112n n n n a a a --∴=+=+①，()222121112n n n n a a a ----=+=②, 则①+②得21211n n a a +--=,当1n =时,11a =, {}21n a -∴是首项为1,公差为1的等差数列（2）①当2λ=时,()11122n n n a a ---=+, 当2n =时,()22111222a a --=+=, ()2222212111222n n n n a a a ++++--∴=+=①, ()212122112212n n n n a a a ++--=+=+②,①+②2⨯得22242n n a a +=+,22222433n n a a +⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭,即14n n b b +=, 122282333b a =+=+=Q , {}n b \是首项为83,公比为4的等比数列, 1824433n n n b -∴=⋅=⋅②由（2）①知()22413nn a =-, 同理由212221212n n nn a a a a +-=+⎧⎨=⎩可得212141n n a a +-=+,212111433n n a a +-⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭, 当1n =时,11141333a +=+=, 2113n a -⎧⎫∴+⎨⎬⎩⎭是首项为43,公比为4的等比数列,12114144333n n n a --∴+=⋅=⋅, ()211413n n a -∴=-()()213212421ni n n i a a a a a a a -=∴=+++++++∑L L()()()()()481414248433414141143143993n n n n n n n n n--=-+-=-+--=----, 1111444343333n n n n n n C n n n +++⎛⎫--∴=--= ⎪⋅⋅⎝⎭, ()()211214314434133n n n n n n n n C C n n +++++-+----=-+⋅⋅ ()()()()21243143143413n n n n n n n n n +++⎡⎤-+--+--⎣⎦=+⋅()()122346681213n n n n n n n n ++-++++=+⋅()()122346141213n n n n n n n ++-⋅+++=+当1n =时,21321661412023C C -⨯+++-==⨯；当2n =时,213642428120233C C -+++-==⨯⨯； 当3n ≥时,10n n C C +->,∴对于一切n *∈N ,都有1n n C C +≥,故对任意,p m N *∈,当p m >时,p m C C ≥C 1=1，C 2=1，C 3=1，C 4<1，……所以n 的取值为1,2,3 20.（1）由()1e x g a xx '=+得切线的斜率为()11e k g a '==+，切点为()1,e a . ∴切线方程为：()()e 1e 1y a a x -=+-，∴所求切线的一般式方程为()110ae x y +--=.（2）令()()()ln e e xxf xg xh x x a ax =-=+-由题意可知，()f x 的定义域为()0,∞+，且()()211e e 1e x x xax f x a a x x x-'=+-+=. 令()21e xm x ax =-，得()()22e exxm x a x x '=-+，由10ea <<，0x >得，可知()m x 在()0,∞+ 内单调递减，又()11e 0m a =->，且221111ln 1ln 1ln 0m a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()0m x =在()0,∞+内有唯一解，从而()0f x '=在()0,∞+内有唯一解，不妨设为0x ， 则011lnx a <<，当()00,x x ∈时，()()()00m x m x f x x x'=>=，∴()f x 在()00,x 内单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()()()00m x m x f x x x'=<=，∴()f x 在()0,x +∞内单调递减， 因此0x 是()f x 的唯一极值点.令()ln 1x x x ϕ=-+，则当1x >时，()110x xϕ'=-<，故()x ϕ在()1,+∞内单调递减， ∴当1x >时，()()10x ϕϕ<=，即ln 1x x <-，从而1ln 111ln ln ln 1ln a f a e a a a ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111ln ln ln 1ln 0a a a ϕ⎛⎫=-+=< ⎪⎝⎭，又因为()()010f x f >=，∴()f x 在()0,x +∞内有唯一零点，又()f x 在()00,x 内有唯一零点1，从而，()f x 在()0,∞+内恰有两个零点. 所以()g x 与()h x 的图像有2交点；（3）由（2）及题意，()()010,0,f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()012011e 1,ln 1e ,xx ax x a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 从而1011201ln e x x x x x --=，即102011ln e 1x x x x x -=-, ∵当1x >时，ln 1x x <-，又101x x >>，故()102012111x xx x e x x --<=-, 两边取对数，得120ln ln x x e x -<，于是()10002ln 21x x x x -<<-，整理得0132x x ->，命题得证.。