第二节概率的概念
概率论重要知识点总结
概率论重要知识点总结概率论重要知识点总结概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的。
在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。
下面为帮助同学们更好地理解概率论，小编汇总了关于概率论的重要知识点总结，希望对同学们学习上有所帮助。
第一章随机事件及其概率第一节基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用表示。
随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。
必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。
样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω. 样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω 表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件发生必然导致事件B发生，则称B 包含A，记为，则称事件A与事件B 相等，记为A＝B。
事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 事件的积：称事件“事件A与事件B 都发生”为A 或AB。
事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A－B。
用交并补可以表示为互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。
互斥时可记为A＋B。
对立事件：称事件“A不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。
对立事件的性质：事件运算律：设A，B，C为事件，则有：（1）交换律：AB=BA，AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A(BC)＝(AB)(AC) ABAC（4）对偶律（摩根律）：第二节事件的概率概率的公理化体系：第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω 个样本点组成.则定义事件A 的概率为的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域上随机投掷一点，该点落在区域假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ 理解为长度或体积即可. 第四节条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设第五节事件的独立性两个事件的`相互独立：若两事件A、B 满足P(AB)= 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)= 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)= 两两独立独立的性质：若A 均相互独立总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
1-第二节古典概率与几何概率
N C C C 30!/ 10! 10! 10!
10 30 10 20 10 10
9 9 P(A) 3! C 27 C18 C99 /N 50/ 203
1 7 10 10 P(B) C 3 C 27 C 20 C10 /N
3 C / C
7 27
10 30
a( a b 1 )! a P ( Ak ) ( a b )! ab
解法2 1.把a只黑球和b只白球都看着没有区别.
2. 把a+b只球摸出来依次排在一直线的a+b个位置 上.若把a只黑球的位置固定下来,则其它位置必然 a C 为白球,则黑球在a+b个位置中的放法共有 a b , 3.有利于A的场合是在第k个位置上固定一个黑球, 其余a - 1个黑球被放到其余a+b-1个位置上,共有 a 1 Ca 种放法. 因此 b 1
k n k CM CN M P ， n CN
0 k minn , M n M
超几何分布
例11 30名毕业生中有3名运动员，将他们平均分配 到甲、乙、丙三个城市去工作，求： （1）每市都有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个市里的概率。 解 设A={每市有一名运动员}; B={3名运动员集中在一个市里}
P (e1 ) P (e 2 ) P (e n ) nP (e1 )
P ( e1 ) P ( e 2 ) P ( e n ) 1 / n
因此, 若事件A e i1 , e i2 , , e ik 包含了k个基本事件, 则 事件A发生的概率 P ( A) k / n
使 A 发生的基本事件是第一次抽到合格品 , 且第二次也抽到合格品, 共有mA=8×8=64种取法.于是 P(A)= mA/n=64/100 同理B包含的基本事件数mB=2×2=4.所以 P(B)= mB /n=4/100 由于C=A+B,且AB=,所以
高等数学第12章 概率论与数理统计
易知：A B, 即事件A与B为互逆事件
高等数学
6. 事件的运算律
1、交换律：A B＝B A，AB＝BA 2、结合律：(A B) C＝A (B C)
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(A B)C＝(AC) (BC)，
(AB) C＝(A C)(B C) 4、对偶(De Morgan)律：
A U B A I B, AB A U B
推广：U Ak I Ak , I U Ak Ak .
k
k
k
k
高等数学
例 甲、乙两人各向目标射击一次，设：
A=甲击中目标，B 乙击中目标
试用A、B的运算关系表示下列事件 ：
A1 目标被击中： A U B A2 两人恰有一人击中目标： AB U AB A3 目标未被击中： AB A4 两人都击中目标： AB
P(A | B) 1 3
高等数学
条件概率计算
P( A | B) P( AB) P(B)
P(B | A) P( AB) P( A)
高等数学
概率的乘法公式
两个事件 ： P( AB) P( A)P(B | A) P(B)P( A | B)
三个事件 ：
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A2 A1 )
高等数学
概率的性质
1） 对于任一事件 A，有 0 剟P(A) 1
2） 0P() 1， P() 0
3） 若 0AB, 则Æ
0P(A U B) P(A) P(B)
推论： 对于任一事件 ，A有 0P(A) 1 P(A)
推广： n个事件A1，A2，L ，An是互不相容的事件组，有
概率与概率分布
第六章概率与概率分布推论统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。
通过概率论，可以知道在一定条件下，总体的各种抽样结果所具有的概率特性。
然后，推论统计依据这些概率特性，研究在发生了某种抽样结果的情况下总体参数是什么，或者对社会研究中提出的某种假设进行检定。
学习推论统计必须首先对概率论有所了解。
第一节概率论1．随机现象和随机事件概率是与随机现象相联系的一个概念。
所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象。
随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。
例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0．5，这就是概率。
随机现象具有在一定条件下呈现多种可能结果的特性。
但由于到底出现哪种结果，却又无法事先预言。
因此，人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，简称事件。
当随机事件发生的可能性能用数量大小表示出来时，我们就得到了概率。
在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。
随机试验必须符合以下三个条件：①它可以在相同条件下重复进行；②试验的所有结果事先已知；③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（或称样本点）；所有可能出现的基本事件的集合，称为样本空间，记为Ω。
随机事件（可记为A、B、C等）如果仅含样本空间中的一个样本点，该事件称为简单事件；随机事件如果含样本空间中的一个以上的样本点，该事件称为复合事件。
换言之，复合事件是样本空间Ω的某个子集。
随机事件有两种极端的情况：一种是必然会出现的结果，称为必然事件；另一种是不可能出现的结果，称为不可能事件。
从样本空间来看，必然事件是由其全部基本事件组成的，可记为S；不可能事件则不含任何基本事件，可记为Φ。
2．事件之间的关系客观事物之间总是存在着一定的关系，随机事件之间也不例外。
概率论与数理统计总结
第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω｝，其中ω表示基本结果，又称为样本点。
3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示,Ω表示必然事件，∅表示不可能事件.4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。
5、时间的表示有多种：（1）用集合表示，这是最基本形式（2）用准确的语言表示（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系:如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B；（2）相等关系：若A⊂B且B⊃A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。
（3）互不相容:如果A∩B=∅,即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容7、事件运算（1）事件A与B的并:事件A与事件B至少有一个发生,记为 A∪B。
(2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生,记为A∩ B或AB。
(3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生，记为 A－B。
用交并补可以表示为。
（4)对立事件:事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”,记为.对立事件的性质：。
8、事件运算性质：设A，B,C为事件，则有(1）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA（2）结合律：A∪（B∪C)=(A∪B）∪C=A∪B∪C A(BC）=（AB)C=ABC（3)分配律：A∪(B∩C）＝(A∪B)∩(A∪C)、A（B∪C)＝(A∩B）∪(A∩C)= AB∪AC（4）棣莫弗公式（对偶法则）：9、事件域：含有必然事件Ω，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。
具体说,事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ;(2）若A∈ξ，则对立事件∈ξ；（3)若A n∈ξ,n=1,2，···，则可列并ξ。
107521-概率统计随机过程课件-第一章(第二节)古典概率
第一章随机事件的概率第二节概率的定义及性质所谓随机事件的概率,概括地说就是用来描述随机事件出现（或发生）的可能性大小的数量指标.其实概率的思想术语在我们日常生活中经常出现.对未来的不确定事件,我们经说有把握、希望、机会有多大,高考上线率,各种升学率等.“不怕一万，就怕万一”，就是人们对确定事件和不确定事件的认识，为此提前作出的思想准备，表明人类的智慧与先见之明。
古代智人（周文王，姜子牙，诸葛亮，刘伯温等）的掐指一算，就是算的样本空间和随机事件的概率。
数学上只能对简单的随机现象进行概率定义,复杂的随机现象有待于研究.随机事件在一次试验中既可能发生，也可能不发生，似乎无什么规律。
如果在相同的条件下，把一个试验重复做许多次，我们一定会发现，某些事件发生的次数多一些，而另一些事件发生的次数少一些。
表现出一定的规律性。
例如买彩票时投注号码，有极少一部分人能预感到中奖号码的规律。
例如，将一颗骰子重复投掷100次，毫无疑问，事件“出现奇数点”比事件“出现1点”发生的次数会多得多。
那么，发生次数多的事件在每次试验中发生的可能性大一些，而发生次数少的事件在每次试验中发生的可能性小一些。
问题是：如何度量事件发生可能性的大小？对于事件A ，如果实数)(A P 满足：（1）数)(A P 的大小表示事件A 发生可能性的大小；（2）)(A P 是事件A 所固有的，不随人们主观意志而改变的一种度量。
那么数)(A P 称为事件A 的概率。
它是事件A 发生可能性的度量。
在本节中，我们首先介绍一类最简单的概率模型，然后逐步引出概率的一般定义。
一、 概率的古典定义古典型随机试验:如果试验E 的样本空间S 只包含有限个基本事件，设},,,{21n e e e S ，并且每个基本事件发生的可能性相等，即)()()(21n e P e P e P === ，则称这种试验为古典型随机试验，简称古典概型。
下面我们来讨论古典概型中事件A 的概率)(A P 。
概率的概念及其性质
第二节 概率的概念及其性质(The definition of probability and its properties)一、概率的概念孤立地看某个随机事件的发生，似乎没有任何规律，可是，当进行大量的重复实验以后，随机事件发生的规律（即显现可能性）就会显此刻人的眼前。
例如，历史上就有数学家作抛掷硬币的实验，从中考察显现正面的频率。
(见书上表)从上表中能够看到，随着抛掷硬币次数的增加，显现正面次数的频率稳固地在的周围摆动。
这种频率逼近某个常数的性质，就客观描述了随机事件发生或显现可能性的规律，也确实是随机事件显现可能性大小本身所固有的性质。
由此，概念随机事件的概率。
概念1：在相同的条件下，重复进行大量的实验，假设事件A 发生的频率(frequency)稳固地逼近某常数p ，称p 为事件A 发生的概率(probability)，记为P(A)，即p=P(A)。
以上概念是所谓统计性的概率概念，它基于随机事件发生频率的稳固性。
它具有直观因此比较易于明白得的特点。
概率的严格概念是所谓公理化概念(The definition of axioms of probability)。
概念2：设Ω是随机实验E 的样本空间，A 为E 的任意一个事件，P(A)是A 的实函数，知足：（1）P(A) ≥ 0（非负性）；（2） P(Ω)=1（标准性）；（3） 若n A A A ,...,,21，…，两两互不相容，即 j i A A j i ≠Φ=,，i ，J=1，2，…，那么有)()(11∑=∑==ni i n i i A P A P （有限可加性）;而)()(11∑=∑∞=∞=i i i i A P A P （可列可加性）。
由概率的概念，对任何事件A ，有1)(0≤≤A P 成立(参见下例) ；而且由（3）不难看出，0)(=ΦP ；假设A ，B 为互斥事件，有P(A+B)=P(A)+P(B)。
专门地，对任意事件A 有)(1)(A P A P -=。
人教版中考数学考点系统复习 第八章 统计与概率 第二节 概 率
件是
( D)
A．必然事件
B．确定性事件
C．不可能事件
D．随机事件
命题点 2：概率的计算(近 3 年考查 13 次)
3．★(2022·仙桃第 3 题 3 分)下列说法中正确的是
(C)
A．为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取全面调查的方式
B．一组数据 1，2，5，5，5，3，3 的众数和平均数都是 3
1 ∴抽到的学科恰好是历史和地理的概率为9.
命题点 3：统计与概率综合(近 3 年考查 13 次) 9．(2022·荆州第 19 题 8 分)为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学 生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随 机抽取了部分学生的成绩，按成绩(百分制)分为 A，B，C，D 四个等级， 并绘制了如下不完整的统计图表．
根据图表信息，回答下列问题： (1)表中 m＝1122；扇形统计图中，B 等级所占百分比是 4400%%，C 等级对 应的扇形圆心角为 8844°°； (2)若全校有 1 400 人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为 A 等级的共 有 228800 人；
(3)若全校成绩为 100 分的学生有甲、乙、丙、丁 4 人，学校将从这 4 人 中随机选出 2 人参加市级竞赛．请通过列表法或画树状图，求甲、乙两 人至少有 1 人被选中的概率． 解：(3)画树状图如图所示：
次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达
的位置在“－－－”上方的概率是4
11 4
.
8．(2021·黄冈第 19 题 8 分)2021 年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考
联合命题，为确保联合命题的公平性，决定采取三轮抽签的方式来确定
各市选派命题组长的学科．第一轮，各市从语文、数学、英语三个学科
第一章 随机事件及概率讲解
（2）事件的相等：若 A B 且 B A ， 则称A与B相等，记为A=B。
包含关系的性质： (a) A ; (b)A A (c)若A B且B C,则A C (d )若A B且B A,则A B
(3) n个元素的全排列数为 Anr n(n 1) 3 21 n!
c. 组合
（1）从n个元素中取出r个元素而不考虑其顺序，称为组 合，其总数为
C
r n
n r
Anr r!
n(n 1) (n r 1) r!
n! r!(n r)!
（2）若r1 r2 rk n，把n个不同的元素分成k个部分，
事件的交(积) ：事件A与B都发生，称
为A与B的积（交）事件，记为 A B
。
推广：
事件 A1, A2,, An 同时发生：
n
A1 A2 An Ai i 1
事件 A1, A2, 同时发生：
A1 A2 Ai i 1
5、差事件：事件A发生但B不发生 称为A与B之差，记为A-B
例2.9：某城市共发行A,B,C三种报纸，调 查表明居民家庭中订购C报的占30%，同 时订购A,B两报的占10%,同时订购A,C及 B,C两报的各占8%，5%，三报都订的占 3%.今在该城中任找一户，问该户(1)只订 A、B两报；(2)只订C报的概率各为多少？
第一章 概率论的基本概 念
1 理解随机事件的概念，了解样本空间的 概念，掌握事件之间的关系和运算。
2 理解概率的定义，掌握概率的基本性质， 并能应用这些性质进行概率计算。
茆诗松概率论与数理统计教程课件第一章 (2)
4. 求概率的几何方法
例四. 设有N件产品,其中D件次品,从中任取n件,求 其中恰有k(k≤D)件次品的概率.
解 : 样本空间就是从 N个产品中取 n件的不同 方式, 样本点数就是方式数
n CN
所求事件是 n个产品中有 k件次品 , 这个事件可以 通过两个步骤完成 :
k (1)从D件次品里取 k件, 方式数为 C D
n k (2)从N D个正品中取 n k件, 方式数为C N D
概率的定义并没有告诉人们如何去求概率, 也没有 说一个特定的样本空间对应一个特定的概率, 只 是告诉人们以任何方式定义的概率必须满足的条 件.
概率的求法, 根据问题的特点, 分别采取以下 的不同途径进行:
• 频率方法
• 古典方法
• 几何方法
2. 求概率的频率方法
事实上, 人们很早就开始了这方面的思考. 例如, “频 率”早就被引入来描述事件发生的频繁程度. 为了研究女婴出生的可能性, 统计学家克 拉梅(1893-1985) 利用瑞典1935年的官 方资料, 测得女婴出生的频率在0.482左 右摆动, 从而得出女婴出生的概率为 0.482.
分房模型在统计物理学里也有应用. 在那里将本例 中的“人”理解成“粒子”, “房间”理解成不同 的“能级”.
例七.(生日问题) 某班级有n个人 (n≤365), 问至少 有两个人的生日在同一天的概率有多大? 解: 假定一年按365天计算, 把365天当作365个“房间”,
那么问题类比于例五. 这时, 事件“n个人生日全不相同”就相当于例五中 的(2):“恰有n个房间, 其中各住一人”. 令A={n个人中至少有两个人的生日在同一天}, 则其 对立事件是{n个人的生日全不相同}. 根据例五(2)知
概率的进一步认识知识点中
概率的进一步认识知识点中
一、什么是概率
概率是一个变量，表示件事情发生的机率大小。
概率是数学中一种量度，也是一个抽象的概念，包含了多个事件的发生机率。
如果在一系列实验中，一个事件发生的次数越多，那么这种事件发生的可能性就越大，它具有一定的发生概率。
二、概率的定义
概率可以定义为一种事件发生的可能性，它可以通过实验测定和理论计算，可以量化描述一个事件的发生机率，用于计算任何事件是否发生。
常见的概率有绝对概率和相对概率。
绝对概率可以通过实验测定，就是一次实验中其中一种事件出现的频率与实验次数的比值，可用来测定当前实验中发生的概率。
而相对概率，是一种统计和概率比较的方法，它通过比较和计算两个事件发生概率的大小，来测定其中一个事件发生的概率。
三、概率的意义
概率是实际生活中一种重要的概念，它可以用来帮助我们确定事件发生的可能性，指导我们预测未来的情况，以及帮助我们分析从一些随机事件中受益。
此外，它对风险评估和经济分析也很有帮助。
四、概率的应用
概率可以应用于社会科学，金融学，数学，工程学，数据科学，生物学，医学等领域，常用于人们分析不确定的环境，了解系统变换，估计风险。
一概率论的基本概念
必然事件包含一切样本点，它就是样本空间。
不可能事件不含任何样本点，它就是空集 。
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例1 : 从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数， 则这一试验的样本空间为：
={0，1，2，3，4，5，6，7，8}
引入下列随机事件: A={正品件数不超过3} ={0，1，2，3} B={取到2件至3件正品} ={2，3} C={取到2件至5件正品} ={2，3，4，5} D={取到的正品数不少于2且不多于5} ={2，3，4，5}
A B
对任一事件A，有A A ；A A；A .
5、互不相容事件（互斥事件）
如果事件A与B不可能同时发生，则称 事件A与B是互不相容事件（互斥）, 记作A B .
基本事件是两两互不相容的。
A
B
6、逆事件（对立事件）
若A B 且A B ，则称事件A与B互为逆事件 (对立事件). A的对立事件 记 作A .
即事件C发生意味着事件A或事件B至少有一个发生。
3、事件的交(积)
“事件A与事件B同时发生”这一事件称为事件A 与事件B的交(积)事件。记作A B或AB.
对任一事件A，有A A；A .
类似的，
A B
“ 事 件A1, A2 ,, An同 时 发 生 ” 这 一 事 件 称为A1, A2 ,, An
1 : {H ,T }
E2 : 掷两颗骰子，观察出现的点数；
2 : {(i, j) | i, j 1,2,3,4,5,6}
E3 : 在一批电视机中任意抽取一台，测试它的寿命；
3 : {t | t 0}
高中二年级数学概率与统计初步
高中二年级数学概率与统计初步概率与统计是高中数学中的一门重要课程，它涵盖了概率和统计两个方面。
概率是用来描述事件发生的可能性，而统计则是通过对数据进行收集、分析和解释，来给出结论。
本文将从概率和统计两个角度来介绍高中二年级数学中的初步内容。
一、概率1.1 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值。
在实际生活中，我们经常会遇到概率的问题，比如投掷一枚硬币正面朝上的概率是多少，抽一张扑克牌时抽到黑桃的概率是多少等等。
1.2 事件与样本空间在概率问题中，事件是指某个具体结果的集合，样本空间是指所有可能结果的集合。
例如，投掷一枚硬币，事件可以是正面朝上，样本空间可以是{正面，反面}。
1.3 概率的计算方法在概率的计算中，有两种主要的方法：频率法和古典概型法。
频率法是通过做大量的实验来计算概率，古典概型法是通过确定每个结果出现的可能性来计算概率。
二、统计2.1 数据的收集与整理统计的第一步是收集数据，并对数据进行整理和分类。
我们可以使用表格、图表等形式来展示数据，以便更好地进行分析。
2.2 数据的描述性统计描述性统计是用来对收集到的数据进行概括和描述的方法。
常用的描述性统计方法包括平均数、中位数、众数、标准差等。
2.3 样本与总体在统计学中，我们通常会采集一部分数据作为样本，用来对整个总体进行推断。
样本的选择要具有代表性，以确保结果的可靠性。
2.4 统计推断统计推断是通过对样本数据进行分析，来推断总体的特征和性质。
常用的统计推断方法包括假设检验、置信区间等。
结论概率与统计是高中数学中的一门重要课程，它们在实际生活和各个领域中都有广泛的应用。
通过学习概率与统计，学生可以培养逻辑思维能力，提高数据分析和决策能力，为将来的学习和工作打下坚实的基础。
希望本文对读者对高中二年级数学概率与统计初步有所帮助。
工程数学II第二节 条件概率与伯努利概型
• 1 条件概率
• 定义１ 设 A 、B是某随机试验中的两个事件， 且 P(B) 0，则称
P(A B)
P( AB) P(B)
为事件 B 已发生的条件下事件 A发生的条件概
率．
• 例1 一批零件共100个，其正品90个，次品 10个，从中连续抽取两次，每次抽取一个， 作不放回抽样，已知第一次取到正品，求第 二次取到正品的概率．
品A ”
， i
表示“A加工A1 出A来2 的A3零件是次品”，则
．
A1, A2 , A3
且P( A) 1相P(互A)独 1立 ．P( A于1A是2 A3所) 求1次P(品A1)率P( A2 )P( A3)
1 0.990.980.97 5.89%
．
• 例5 设某型号高炮每次击中飞机的概率为 0.25问至少需配备多少门这种高炮，才能使同 时独立发射一次就能击中飞机的概率达到 95%以上．
、
P(BC) P(B)P(C) P(ABC) P(A)P(B)P(C)
则称 A、B 、C 相互独立．
• 例4 加工某一零件共需经过3道工序，设第一、 二、三道工序的次品率分别为1%、2%、3%， 假定各道工序互不影响，求加工出来的零件的 次品率．
• 解 令 Ai 事件且表示“第道工序出现次 (i 1, 2,3)
例2 一批零件共100个，其中有5个次品，从中 每次取出一个零件检测，检测后不再放回， 连续检测两次，求
• （1）第一次检测是正品的概率； • （2）第一次检测到正品后，第二次检测是正
品的概率；
• （3）两次检测全是正品的概率．
• 解 令 A 、B 分别表示“第一次检测是正品”和
“第二次检测是正品”的事件，则由题意可
小学四年级数学下册知识点：概率
小学四年级数学下册知识点：概率
1. 概率的介绍
- 概率是指事件发生的可能性大小。
- 用数字表示概率，范围从0到1，0表示不可能发生，1表示
一定会发生。
- 概率可以通过实验、统计和推理等方法进行计算。
2. 实验与事件
- 实验是指对某个问题进行观察、测量或测试的过程。
- 在一个实验中，可能出现多个不同的结果或事件。
- 事件是指实验中我们感兴趣的某个结果或发生的情况。
3. 等可能事件
- 等可能事件是指在实验中所有可能结果发生的概率是相等的。
- 例如，抛一枚公平的硬币正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。
4. 互斥事件
- 互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
- 例如，抛一枚公平的硬币正面朝上和反面朝上就是互斥事件。
5. 概率的计算
- 如果事件的发生次数是有限的，概率可以用事件发生的次数除以总实验次数来计算。
- 例如，如果我们抛一枚公平的硬币10次，其中正面朝上的次数是4次，那么正面朝上的概率就是4/10 = 0.4。
- 对于等可能事件，概率还可以用事件发生的次数除以总事件数来计算。
6. 事件的组合
- 多个事件可以组合在一起形成更复杂的事件。
- 对于互斥事件的组合，两个事件同时发生的概率为0。
- 对于非互斥事件的组合，可以通过概率的计算规则来计算。
以上就是小学四年级数学下册中关于概率的基本知识点。
概率论初步知识介绍
（2，7）
（2，8） （3，6）
（3，7）
（3，8） （4，6）
（4，7）
（4，8）
2.组合计数法则
▪阶乘
n!=n(n-1)(n-1)…3·2·1
▪排列
从n个不同对象中抽取r个（r<n）进行有序放置称为排列。
若n=r叫全排列。
P
r n
=n(n-1)···(n-r+1)
完成结果 投资成功 投资失败 合计
咨询意见 可以投资 不宜投资
154次 38次
2次
156次
6次
44次
合计
192次
8次
7、事件逆
样本空间S与事件A之差，即S-A这一事件称为A的逆事件、
对立事件或互补事件。记作 A。
8、互斥事件
如果两个事件A与B不可能同时发生，则称A与B互不相容 事件，或称为互斥事件,记作AB=Φ。
在我们的生活中会面临许多不确定性的决策问题
❖ 1、如果提高产品价格，则销售下降的“机会”有多少？ ❖ 2、某种新的装配方法会有多大的“可能性”提高生产率？ ❖ 3、某项工程按期完成的“可能”有多大？ ❖ 4、新投资赢利的机率有多大？
工期超过十个月的概率是多少？
一、概率的加法定理
2、相容事件的加法定理
如果事件A、B同时出现，则事件A和事件B称为联合事件,记 为AB。两个相容事件A与B之和的概率为： P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB) [例] 投资房地产赚钱的概率是0.7，投资电脑软件业的成功率 是0.8，同时投资的成功率是0.6，问投资二者中至少一种赚 钱的概率为多少？ 解：P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB)=0.7+0.8-0.6=0.9
数学 概率
概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的规律。
它是应用数学的一个重要工具，广泛应用于统计学、物理学、生物学等领域。
概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值。
对于一个随机试验，试验的每一个结果都称为样本点。
样本空间是所有可能的样本点的集合。
而事件是样本空间的一个子集。
概率的基本公理有三个：非负性、规范性和可列加性。
非负性指概率必须是非负的数值，即大于等于0。
规范性指样本空间的概率为1，即必然事件的概率为1。
可列加性指如果两个事件互斥，则它们的概率可以相加。
概率的计算方法在概率论中，有三种常见的计算方法：古典概型、几何概型和统计概型。
古典概型适用于样本空间中的每个样本点发生的概率相等的情况。
例如，掷一枚公正的硬币，正面和反面出现的概率都是1/2。
几何概型适用于样本空间是一个连续的区间的情况。
例如，从一个范围为0到1的均匀分布随机选择一个数，落在某个子区间的概率可以用该子区间的长度表示。
统计概型适用于实际问题中，根据历史数据或样本数据进行估计的情况。
例如，根据过去的天气数据，预测明天下雨的概率。
条件概率和独立性条件概率是指在已知某个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。
条件概率可以用P(A|B)表示，读作“A在B发生的条件下的概率”。
独立性指两个事件的发生与否是相互独立的。
如果两个事件A和B是独立的，那么P(A|B) = P(A)，即B的发生对A的发生没有影响。
条件概率和独立性是概率论中的重要概念，它们在实际问题的建模和分析中有着广泛的应用。
例如，在医学诊断中，根据症状来计算各种疾病的概率，可以通过条件概率来实现。
期望值和方差期望值是随机变量的平均值，用E(X)表示。
对于离散型随机变量，期望值可以通过每个取值与其对应的概率相乘再求和来计算；对于连续型随机变量，期望值可以通过对密度函数进行积分来计算。
方差是随机变量偏离其期望值的程度的度量，用Var(X)表示。
它等于随机变量与其期望值之差的平方的均值。
《概率论与数理统计》1-123(频率与概率)
某一事件发生
它包含的一个样本点出现
三、事件间的关系及其运算
试验E S(样本空间) 事件A 必然事件 S 基本事件
不可能事件
A(子集) 样本点
1.事件的关系
① 包含、相等关系 A发生必然导致B发生
AB
称事件A包含于B或B包含A.
文氏图(Venn图)
A与B相等 ，记为A=B
例1: 产品有长度、直径、外观三个质量指标，
②(有﹏放﹏回﹏选﹏取﹏)从n个不同元素中有放回地抽取r个，依 次排成一列，称为可重复排列，排列数记
例 将三封信投入4个信箱，问在下列情形下各有几种 投法？ ⑴ 每个信箱至多允许投入一封信。 ⑵ 每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 解：⑴ 无重复排列:
⑵ 可重复排列:
Ⅳ. 组合 从n个元素中每次取出r个元素，构成一组，称为从n个 元素里每次取出r个元素的组合。 组合数为 或 几个常用性质：
两两互不相容。
证明 由三公理中的可列可加性，令
则由性质1可得 所以下式成立
如果
则
①
≤
②
，0≤
≤1
(加法公式) 推广：
P11
例1 (天气问题) 某人外出旅游两天，据天气预报知： 第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3， 两天都下雨的概率为0.1 试求下列事件的概率： (1) 第一天下雨，第二天不下雨; (2) 第一天不下雨，第二天下雨; (3) 至少有一天下雨; (4) 两天都不下雨; (5) 至少有一天不下雨
解：设A、B分别表示第一、二天下雨 则 (1) (2) (3) (4) (5)
例2 (订报问题) 在某城市中，共发行三种报纸A，B，
C，订购A，B，C的用户占用分别为45%，35%，30%，
第一章第二节概率的定义及其确定方法
设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性
确定事件A包含的基本事件数 事件Ａ由其中的m个基本事件组成
P( A) = A所含的基本事件个数 基本事件总数
= A 所含样本点的数目 样本空间的样本点总数
m n
古典概率的计算：抛掷骰子
抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数 , 求“出现的 点数是不小于3的偶数”的概率．
所求概率为 P(1) 1 , P(2) 2
5
9
所以 P( A) 11 , P(B) 5 .
36
36
4、包括甲，乙在内的10个人随机地排成一行，求甲与 乙相邻的概率。若这10个人随机地排成一圈，又如何呢？
解： 总的基本事件数为 10!
排成行时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为 P88C91C21
排成圈时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为 P88C91C21 P88C21
0xT，0yT。
（1）则样本空间是由点(x，y)构成的边长为T正 方形。
（2）依题意，收音机受到干扰的充分必要条件是
|x-y|t .
T 由等可能性知，所求
概率为
t
A
P(A) S A S
Ot
T
x
阴影部分面积 正方形面积
T 2 (T t)2 T2
1 1 t T
2
一楼房共15层，假设电梯在一楼启动时有10名乘 客，且乘客在各层下电梯是等可能的。试求下列事件 的概率：A1={10个人在同一层下}；A2={10人在不同 的楼层下}；A3={10人都在第15层下}；A4={10人恰有 4人在第8层下}。 解：
P( A)
A 的度量 S的度量
( A) (S)
第三章 概率与概率分布 华中农业大学生物统计学讲义
该试验样本空间由10个等可能的基本事件构成，即n=10，而事 件A所包含的基本事件有3个，即抽得编号为1、2、3中的任何一 个，事件A便发生。
P(A)=3/10=0.3
P(B)=5/10=0.5
12 3 4 5
6
7
8 9 10
一、概率基本概念
A＝“一次取一个球，取得红球的概率”
10个球中取一个球，其可能结果有10个基本事件（即每个球 被取到的可能性是相等的），即n=10 事件A：取得红球，则A事件包含3个基本事件，即m=3
P(A)=3/10=0.3
12 3 4 5
6
7
8
9 10
一、概率基本概念
B＝ “一次取5个球，其中有2个红球的概率” 10个球中任意取5个，其可能结果有C105个基本事件，即n= C105 事件B =5个球中有2个红球，则B包含的基本事件数m= C32 C73
P(B) = C32 C73 / C105 = 0.417
2、在一定条件下可能发生也可能不 发生。
（二）频率（frequency）
一、概率基本概念
若在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A出现的次数m称为事件A出现的 频数，比值m/n称为事件A出现的频率(frequency)， 记为W(A)=m/n。
0≤W(A) ≤1
例：
一、概率基本概念
设样本空间有n个等可能的基本事件所构成，其中事件A包 含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即P(A)=m/n。
古典概率(classical probability) 先验概率(prior probability)
一、概率基本概念
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
随机抽取一个球，求下列事件的概率; （1)事件A＝抽得一个编号< 4 （2)事件B =抽得一个编号是2的倍数
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? 中基本事件总数 n有限——有限性 ? =?? 1 ,? 2 ? n ?
每个基本事件发生的可能性相同 ——等可能性
P(? i ) ?
P(?
j) ?
1 n
则称该试验为古典型随机试验。
二、概率的定义
（2）古典定义 设古典型试验 E的样本空间 ? 中所含基本事件数
为n，A为任意一个事件，若设事件 A包含的基本事 件数为 m ，则 A发生的概率为
? 中基本事件总数无限不可数 ——无限性 每个基本事件发生的可能性相同 ——均匀性 则称该试验为几何型随机试验。
二、概率的定义
（2）几何定义
设几何型试验 E的样本空间 ? 可用一有界区域描 述，其中部分区域可描述 A事件所含样本点数量， 则A发生的概率为
P(A) ?
L(A) ? L(? )
A事件对应子集的几何度量 ? 整个空间的几何度量
7 遍, 观察正面出现的次数及频率 .
试验 序号
1 2 3 4 5 6 7
n?5
n ? 50
n ? 500
nH
f
nH
f
nH
2 0.4
22
0.44 251
随3 n的增0.6大
,
在25
频率
1
2f
处波0动.5较0 大 249
呈现出稳定性
1 0.2
21 0.42 256
f
0.502 0.498 0.512
5 1
设A表示“任取一张是黑桃”，nA ? 13
P4
注：若以花色为基本事件，共 5种花色，即
? ? {黑，红，梅，方，王 }
设A表示“黑桃”，则nA ? 1 ?
P(A) ?
nA
n
?
1 5
此种解法等可能性被破坏了，故结果是错误的。
二、概率的定义
若题目条件改为：一付扑克牌无大小王共 52张， 从中任取一张，求它是黑桃的概率，则以张数或花色 为基本事件数求解均正确。即
以张数为基本事件： P( A) ? nA ? 13 ? 1 n 52 4
以花色为基本事件： P( A) ? nA ? 1
n4
二、概率的定义
利用古典定义解题的基本步骤： 1、选择适当的样本空间满足有限与等可能 2、计算样本点数量，利用公式解题。
二、概率的定义
3. 概率的几何定义
（1）几何试验概型 若随机试验具有如下两个特征：
( P( A ? B ) ? nA? B ? nA ? nB ? P( A) ? P(B ))
n
n
n
n
? ? A1, A2 An两两互斥 ? P( Ai ) ? P( Ai )
i?1
i?1
二、概率的定义
例1 一付扑克牌 54张，任取一张，求它是黑桃的概率。
解: 以每一张扑克牌为基本事件，所以 n ? 54
P ( A) ? m ? A事件包含样本点数 = nA n ? 包含样本点总数 n
二、概率的定义
注：利用该定义计算时应考察有限性和等可能性这 两个条件
古典定义满足：
0 ? P( A) ? 1, P(? ) ? 1, P(? ) ? 0;
AB ? ? ? P( A ? B ) ? P( A) ? P(B );
一、事件的频率
定义
在相同的条件下 , 进行了 n 次试验 ,在这 n
次试验中, 事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发
生的频数.比值 nA 称为事件 A 发生的频率,并记 n
成 f n ( A).
f n (A)
?
事件A出现的次数nA 试验总次数n
一、事件的频率
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做
二、概率的定义
鉴于统计定义的局限性，针对特殊试验人们 往往依照长期积累的关于“对称性”的实际经验， 提出模型直接计算概率。这类模型称为 等可能试 验概型。
等可能试验概型
?古典概型 —— 样本空间有限集 ??几何概型 ——样本空间无限集
二、概率的定义
2. 概率的古典定义
（1）古典试验概型
若随机试验具有如下两个特征：
二、概率的定义
1. 概率的统计定义
在相同的条件下重复进行 n次试验，其中事件Ａ 发生了nA 次，当试验次数充分大时，事件Ａ的频率
nA/n将稳定在某一个常数 p附近，则称此常数 p为事件
Ａ出现的概率，记作 P( A) ? p
注：当试验次数 n充分大时，根据频率的稳定性，可 以用频率近似的代替概率，即
1.0
在
1
25
处波动较小
0.50
0.2 2 24 0.48
247 0.494
251 0.502
2
0.4
18 0.36 26波2 动0最.52小4
4
0.8
27 0.54 258 0.516
一、事件的频率
实验者
德 ?摩根 蒲丰
K ?皮尔逊 K ?皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
二、概率的定义
注： 试验所有样本点可视为等可能落入有界区域的 随机点。尽管样本空间与事件均为无限集，但由于 等可能性的保证，事件的发生可能性取决于二者无 限集度量（长度、面积等）的比较，并且与区域位 置形状无关。
几何定义同样满足：
随机事件及其概率
第二节 概率的概念
引言
随机事件具有偶然性，在一次试验中不可事 先预知。但相同条件下重复进行多次试验，即会 发现不同事件发生的可能性存在大小之分。
事件A发生可能性大小的度量 ——概率P(A)
概率是事件本身具有的属性，是通过大量重 复试验展现出来的内在特征。
介绍众多概率定义之前，先引入频率。
f (H ) n的增大
1 .
2
f
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
一、事件的频率
从上表中可以看出 ,出现 ?正面向上?的频率 fn ?A?
虽然随 n 的不同而变动 ,但总的趋势是随着试验 次 数的增加而逐渐稳定在 0.5 这个数值上 .
可见，在大量重复的试验中，随机事件出现的 频率具有稳定性 ，即通常所说的 统计规律性 . 我们 可以用大量试验下频率的稳定值来描述事件发生的 可能性，得到概率的 统计定义 .
P(A) ? nA n
显然，0 ? P( A) ? 1, P(? ) ? 0, P(? ) ? 1
二、概率的定义
注意：
（1）理解频率与概率的区别与联系 概率是事件的内部一成不变的本质属性，频率只 是随机性很大的表面现象。 （2）频率稳定于概率，但并非以概率为极限 （3）统计定义的局限性
试验n+1次所计算的频率并不一定比 n次试验更加 接近概率，更何况我们无法保证试验的条件不变以及 完成大量的试验，更何况那些存在危险的破坏性试验。