第二节概率的概念

二、概率的定义
1. 概率的统计定义
在相同的条件下重复进行 n次试验，其中事件Ａ 发生了nA 次，当试验次数充分大时，事件Ａ的频率
nA/n将稳定在某一个常数 p附近，则称此常数 p为事件
Ａ出现的概率，记作 P( A) ? p
注：当试验次数 n充分大时，根据频率的稳定性，可 以用频率近似的代替概率，即
? 中基本事件总数无限不可数 ——无限性 每个基本事件发生的可能性相同 ——均匀性 则称该试验为几何型随机试验。
二、概率的定义
（2）几何定义
设几何型试验 E的样本空间 ? 可用一有界区域描 述，其中部分区域可描述 A事件所含样本点数量， 则A发生的概率为
P(A) ?
L(A) ? L(? )
A事件对应子集的几何度量 ? 整个空间的几何度量
随机事件及其概率
第二节 概率的概念
引言
随机事件具有偶然性，在一次试验中不可事 先预知。但相同条件下重复进行多次试验，即会 发现不同事件发生的可能性存在大小之分。
事件A发生可能性大小的度量 ——概率P(A)
概率是事件本身具有的属性，是通过大量重 复试验展现出来的内在特征。
介绍众多概率定义之前，先引入频率。
二、概率的定义
鉴于统计定义的局限性，针对特殊试验人们 往往依照长期积累的关于“对称性”的实际经验， 提出模型直接计算概率。这类模型称为 等可能试 验概型。
等可能试验概型
?古典概型 —— 样本空间有限集 ??几何概型 ——样本空间无限集
二、概率的定义
2. 概率的古典定义
（1）古典试验概型
若随机试验具有如下两个特征：
设A表示“任取一张是黑桃”，nA ? 13
P(A) ?
nA
n
?
13 54
注：若以花色为基本事件，共 5种花色，即
? ? {黑，红，梅，方，王 }
设A表示“黑桃”，则nA ? 1 ?
P(A) ?
nA
n
?
1 5
此种解法等可能性被破坏了，故结果是错误的。
二、概率的定义
若题目条件改为：一付扑克牌无大小王共 52张， 从中任取一张，求它是黑桃的概率，则以张数或花色 为基本事件数求解均正确。即
以张数为基本事件： P( A) ? nA ? 13 ? 1 n 52 4
以花色为基本事件： P( A) ? nA ? 1
n4
二、概率的定义
利用古典定义解题的基本步骤： 1、选择适当的样本空间满足有限与等可能 2、计算源自文库本点数量，利用公式解题。
二、概率的定义
3. 概率的几何定义
（1）几何试验概型 若随机试验具有如下两个特征：
P(A) ? nA n
显然，0 ? P( A) ? 1, P(? ) ? 0, P(? ) ? 1
二、概率的定义
注意：
（1）理解频率与概率的区别与联系 概率是事件的内部一成不变的本质属性，频率只 是随机性很大的表面现象。 （2）频率稳定于概率，但并非以概率为极限 （3）统计定义的局限性
试验n+1次所计算的频率并不一定比 n次试验更加 接近概率，更何况我们无法保证试验的条件不变以及 完成大量的试验，更何况那些存在危险的破坏性试验。
f (H ) n的增大
1 .
2
f
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
一、事件的频率
从上表中可以看出 ,出现 ?正面向上?的频率 fn ?A?
虽然随 n 的不同而变动 ,但总的趋势是随着试验 次 数的增加而逐渐稳定在 0.5 这个数值上 .
可见，在大量重复的试验中，随机事件出现的 频率具有稳定性 ，即通常所说的 统计规律性 . 我们 可以用大量试验下频率的稳定值来描述事件发生的 可能性，得到概率的 统计定义 .
P ( A) ? m ? A事件包含样本点数 = nA n ? 包含样本点总数 n
二、概率的定义
注：利用该定义计算时应考察有限性和等可能性这 两个条件
古典定义满足：
0 ? P( A) ? 1, P(? ) ? 1, P(? ) ? 0;
AB ? ? ? P( A ? B ) ? P( A) ? P(B );
( P( A ? B ) ? nA? B ? nA ? nB ? P( A) ? P(B ))
n
n
n
n
? ? A1, A2 An两两互斥 ? P( Ai ) ? P( Ai )
i?1
i?1
二、概率的定义
例1 一付扑克牌 54张，任取一张，求它是黑桃的概率。
解: 以每一张扑克牌为基本事件，所以 n ? 54
一、事件的频率
定义
在相同的条件下 , 进行了 n 次试验 ,在这 n
次试验中, 事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发
生的频数.比值 nA 称为事件 A 发生的频率,并记 n
成 f n ( A).
f n (A)
?
事件A出现的次数nA 试验总次数n
一、事件的频率
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做
? 中基本事件总数 n有限——有限性 ? =?? 1 ,? 2 ? n ?
每个基本事件发生的可能性相同 ——等可能性
P(? i ) ?
P(?
j) ?
1 n
则称该试验为古典型随机试验。
二、概率的定义
（2）古典定义 设古典型试验 E的样本空间 ? 中所含基本事件数
为n，A为任意一个事件，若设事件 A包含的基本事 件数为 m ，则 A发生的概率为
1.0
在
1
25
处波动较小
0.50
0.2 2 24 0.48
247 0.494
251 0.502
2
0.4
18 0.36 26波2 动0最.52小4
4
0.8
27 0.54 258 0.516
一、事件的频率
实验者
德 ?摩根 蒲丰
K ?皮尔逊 K ?皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
二、概率的定义
注： 试验所有样本点可视为等可能落入有界区域的 随机点。尽管样本空间与事件均为无限集，但由于 等可能性的保证，事件的发生可能性取决于二者无 限集度量（长度、面积等）的比较，并且与区域位 置形状无关。
几何定义同样满足：
7 遍, 观察正面出现的次数及频率 .
试验 序号
1 2 3 4 5 6 7
n?5
n ? 50
n ? 500
nH
f
nH
f
nH
2 0.4
22
0.44 251
随3 n的增0.6大
,
在25
频率
1
2f
处波0动.5较0 大 249
呈现出稳定性
1 0.2
21 0.42 256
f
0.502 0.498 0.512
5 1