北师大版数学高二-选修1教案 4.1.1函数的单调性
北师大版数学高二选修1-1课件 第四章 1.1 导数与函数的单调性
33，
33，则
a
的取值范围是
(_0_，__＋__∞__).
解析
f′(x)＝a(3x2－1)＝3ax＋
33x－
33，
令
f′(x)<0，由已知得－
3 3 <x<
33，
可得a>0.
12345
解析 答案
5.已知a>0且a≠1，证明：函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的. 证明 y′＝axln a－ln a＝ln a(ax－1)， 当a>1时，因为ln a>0，ax<1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的； 当0<a<1时，因为ln a<0，ax>1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的. 综上，函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的.
(√) 4.若f(x)在区间(a，b)上可导，则“f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上是增加的” 的充要条件.( × ) 5.若f(x)的图像在[a，b]上是一条连续曲线，且f(x)在(a，b)上f′(x)<0，则 f(x)在[a，b]上是减少的.( √ )
题型探究
类型一 原函数和导函数图像之间的关系 例1 已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是 图中的
解答
类型三 含参数函数的单调性 例3 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上是增加的，则k的取值范 围是_[1_，__＋__∞__). 解析 由于 f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)上是增加的， 得 f′(x)＝k－1x≥0 在(1，＋∞)上恒成立. 因为 k≥1x，而 0<1x<1，所以 k≥1， 即k的取值范围为[1，＋∞).
北师大版数学高二选修1-1教案4.1.1函数的单调性与导数(二)教案
4．1．1函数的单调性与导数（二）一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程（一）复习1．确定下列函数的单调区间：⑴ y ＝x 3－9x 2＋24x ； ⑵ y ＝x －x 3．（4）f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －32．讨论二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的单调区间．3．在区间(a , b )内f'(x )＞0是f (x )在(a , b )内单调递增的 ( A )A ．充分而不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（二）举例例1．求下列函数的单调区间(1) f (x )＝x －ln x (x ＞0)；(2) )253log()(2-+=x x x f (3) 32)1)(12(x x y --=.（4）)3ln()(b x x f -= （b>0）（5）判断)lg()(2x x x f -=的单调性。
分三种方法：（定义法）（复合函数）（导数）例2．（1）求函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间. （2）讨论函数2()(11,0)1bx f x x b x =-<<≠-的单调性. （3）设函数f (x ) = ax – (a + 1) ln (x + 1)，其中a ≥–1，求f (x )的单调区间.（1）解：y ′ = x 2 – (a + a 2) x + a 3 = (x – a ) (x – a 2)，令y ′＜0得(x – a ) (x– a 2)＜0.（1）当a ＜0时，不等式解集为a ＜x ＜a 2此时函数的单调减区间为(a , a 2)；（2）当0＜a ＜1时，不等式解集为a 2＜x ＜a 此时函数的单调减区间为(a 2, a )；（3）当a ＞1时，不等式解集为a ＜x ＜a 2此时函数的单调减区间为(a , a 2)；（4）a = 0，a = 1时，y ′≥0此时，无减区间.综上所述：当a ＜0或a ＞1时的函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间为(a , a 2)； 当0＜a ＜1时的函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间为(a 2, a )； 当a = 0，a = 1时，无减区间.（2）解：∵22()()()11bx bx f x f x x x --==-=----， ∴f (x )在定义域上是奇函数. 在这里，只需讨论f (x )在(0, 1)上的单调性即可.当0＜x ＜1时，f ′ (x ) =2222222221(1)21()1(1)(1)x x x x x x b b b x x x '-----'==---=2221(1)x b x +--. 若b ＞0，则有f ′ (x )＜0，∴函数f (x )在(0, 1)上是单调递减的； 若b ＜0，则有f ′ (x )＞0，∴函数f (x )在(0, 1)上是单调递增的. 由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论： 当b ＞0时，函数f (x )在(–1, 1)上是单调递减的；当b ＜0时，函数f (x )在(–1, 1)上是单调递增的.（3）解：由已知得函数f (x )的定义域为 (–1, +∞)，且1()1ax f x x -'=+(a ≥–1). （1）当–1≤a ≤0时，f ′ (x )＜0，函f (x )在(–1, +∞)上单调递减.（2）当a ＞0时，由f ′ (x ) = 0，解得1x a=. f ′ (x )、f (x )随x 的变化情况如下表： x1(1,)a - 1a 1(,)a +∞ f ′ (x )– 0 + f (x ) ↘ 极小值 ↗从上表可知，当x ∈1(1,)a -时，f ′ (x )＜0，函数f (x )在1(1,)a-上单调递减. 当x ∈1(,)a +∞时，f ′(x )＞0，函数f (x )在1(,)a+∞上单调递增. 综上所述，当–1≤a ≤0时，函数f (x )在(–1, +∞)上单调递减；当a ＞0时，函数f (x )在1(1,)a -上单调递减，函数f (x )在1(,)a+∞上单调递增.。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修1 函数的单调性》0
《函数的单调性》教学设计一、教学目标设计：1理解函数单调性的概念及其几何特征；会根据定义和图象判断函数的单调性，会根据定义证明简单函数的单调性；2经历函数增减性科学概念的形成过程，体验数学概念形成的基本思想方法，体会数形结合的数学思想；二、教学重难点：１教学重点：函数单调性的定义和依据图象与定义判断证明函数的单调性。
２教学难点：函数单调性定义的形成过程以及根据定义证明函数的单调性。
三、教学过程设计：为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学过程设计为四个阶段：创设情境，引入课题；探究发现，建构概念；自我尝试，运用概念；归纳小结，提高认识。
具体过程如下：（一）创设情境引入新课如图为某市一天内的气温变化图：活动１：请同学们思考回答下列问题（1）观察这个气温变化图，说出这一天气温随时间变化变化的趋势；（2）你能用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征吗？学生：（1）凌晨0点到4点，气温随时间的增大而降低；4点到14点气温随时间的增大而增大；14点到24点气温随时间的增大而降低。
（2）思考后会跃跃欲试或欲言又止。
教师：这里气温是时间的函数，记为, 。
那么，“凌晨0点到4点气温随时间的增大而降低”，就是函数，当时，随的增大而减小；“4点到14点气温随时间的增大而升高”，就是函数，当时，随的增大而增大；“14点到24点气温随时间的增大而降低”，就是函数，当时，随的增大而减小。
这里的函数，当时，随的增大而增大其实就是函数在[4,14]上是增函数；函数，当时，随的增大而减小其实就是函数在[14,24]上是减函数，那么什么叫增函数，什么叫减函数呢？又怎样用数学语言来刻画函数的增减性呢？这也正是我们本节课将要解决的问题---板书课题[设计意图]：从学生身边的实例入手, 即可使学生感受数学源于生活,又可增强问题的趣味性，从而激发学生的学习兴趣。
似曾相识的生活问题用已有的数学知识一时难以得出答案，必会引起学生认知上的冲突，从而激发了学生的求知欲，也使引出本节课题顺理成章（二）探究发现建构概念在本阶段的教学中，为使学生充分感受数学概念的形成与发展过程和数形结合的数学思想，加深对函数单调性的本质的认识，设计以下几个环节,引导学生分别完成对单调性定义的认识1借助图象直观感知问题１：分别做出函数的图像，指出上面每个函数的变化趋势？通过学生熟悉的图像，及时引导学生观察，函数图象上点的情况，引导学生能用自然语言描述出，随着增大时图像变化规律。
高中数学：4.1.1导数与函数的单调性二教案(北师大选修1-1)
导数与函数的单一性教课过程：一．创建情形函数是客观描绘世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，认识函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是特别重要的．经过研究函数的这些性质，我们能够对数目的变化规律有一个基本的认识．下边，我们运用导数研究函数的性质，从中领会导数在研究函数中的作用。
二．新课讲解1．问题：图（ 1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数 h(t ) 4.9t 2 6.5t10的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t 变化的函数v(t)h' (t )9.8t 6.5的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么差别？经过察看图像，我们能够发现：（ 1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t的增添而增添，即h(t)是增函数．相应地，v(t)h' (t )0 ．（ 2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增添而减少，即h(t)是减函数．相应地，v(t)h' (t)0 ．2．函数的单一性与导数的关系察看下边函数的图像，商讨函数的单一性与其导数正负的关系．如图 3.3-3 ，导数f'( x0)表示函数f ( x) 在点 (x0 , y0 ) 处的切线的斜率．（图 3.3-3 ）在 x x0处， f ' ( x0 ) 0 ，切线是“左下右上”式的，这时，函数 f (x) 在 x0邻近单一递增；在 x x1处， f ( x1 ) 0，切线是“左上右下”式的，这时，函数 f (x) 在 x1邻近单一递减．结论：函数的单一性与导数的关系在某个区间 (a , b) 内，假如 f ' (x)0 ，那么函数 y f (x) 在这个区间内单一递加；假如f ' ( x) 0 ，那么函数 y f (x)在这个区间内单一递减．说明：（ 1）特其他，假如f' ( x)0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内是常函数．3．求解函数y f ( x) 单一区间的步骤：（ 1）确立函数y f ( x) 的定义域；（ 2）求导数y' f ' ( x) ；（3）解不等式f'( x) 0，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式f'( x) 0，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例剖析例 1．已知导函数f'( x)的以下信息：当 1 x 4 时，f'(x)0 ；当 x 4 ，或 x 1时，f'( x)0 ；当 x 4 ，或 x1时，f'( x) 0试画出函数 y f ( x) 图像的大概形状．解：当 1 x 4时， f ' ( x)0 ，可知 y f ( x) 在此区间内单一递加；当 x 4 ，或 x 1时，f'( x)0 ；可知 y f ( x) 在此区间内单一递减；当 x 4 ，或 x 1时，f'( x)0 ，这两点比较特别，我们把它称为“临界点”．综上，函数 y f ( x) 图像的大概形状如图 3.3-4所示．例 2．判断以下函数的单一性，并求出单一区间．（1）f ( x)x33x ；（ 2）f ( x) x22x 3（3）f ( x)sin x x x(0, ) ；（4） f ( x) 2x33x224x 1解：（ 1）因为 f ( x)x33x ，所以，f ' (x) 3x2 3 3( x21) 0所以， f ( x)x33x 在R上单一递加，以以下图所示．（2）因为f( x) x22x 3 ，所以， f ' ( x)2x 2 2 x1当 f ' (x)0，即 x 1 时，函数 f ( x)x22x 3 单一递加；当 f ' (x)0，即 x1时，函数 f ( x)x22x 3 单一递减；函数 f ( x)x22x 3 的图像如图3.3-5（ 2）所示．（3）因为 f ( x)sin x x x (0,) ，所以， f ' ( x)cos x 1 0所以，函数 f (x) sin x x 在 (0,) 单一递减，如上图所示．（4）因为f ( x)2x33x224 x 1 ，所以．当 f ' ( x)0 ，即时，函数 f (x)x22x3；当 f ' ( x)0 ，即时，函数 f (x)x22x3；函数 f ( x) 2x33x224 x 1 的图像以以下图所示．注：（ 3）、（4）生练例 3．如图 3.3-6 ，水以常速（即单位时间内注入水的体积同样）注入下边四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t的函数关系图像．剖析：以容器（2）为例，因为容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增添得慢，此后高度增添得愈来愈快．反应在图像上，（ A）切合上述变化状况．同理可知其余三种容器的状况．解：1B,2A,3D,4C思虑：例 3 表示，经过函数图像，不单能够看出函数的增减，还能够看出其变化的快慢．联合图像，你能从导数的角度解说变化快慢的状况吗？一般的，假如一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“峻峭” ；反之，函数的图像就“缓和”一些．如图 3.3-7所示，函数 y f (x) 在0, b或 a , 0内的图像“峻峭” ，在 b ,或, a 内的图像“缓和”．例 4．求证：函数y2x33x2 12x 1 在区间2,1 内是减函数．证明：因为 y ' 6x 2 6x12 6 x 2 x 26 x 1 x 2当 x2,1 即 2 x1时， y ' 0 ，所以函数 y 2x 3 3x 2 12x 1 在区间2,1 内是减函数．说明：证明可导函数f x 在 a , b 内的单一性步骤：（ 1）求导函数 f ' x ；（ 2）判断 f ' x 在 a , b 内的符号；（ 3）做出结论： f ' x 0 为增函数， f ' x 0 为减函数．例 5． 已知函数f (x)4x ax 22x 3 (x R) 在区间1,1 上是增函数，务实数 a 的3取值范围．解： f ' (x) 42ax 2x 2 ，因为 f x 在区间1,1 上是增函数，所以f ' ( x) 0 对x1,1 恒建立，即 x 2ax2 0 对 x1,1 恒建立，解之得：1 a1所以实数 a 的取值范围为1,1 ．说明： 已知函数的单一性求参数的取值范围是一种常有的题型，常利用导数与函数单一性关系：即“ 若函数单一递加，则 f '(x) 0 ；若函数单一递减，则f ' ( x) 0 ”来求解，注意此时公式中的等号不可以省略，不然漏解．例 6． 已知函数 y=x+1，试议论出此函数的单一区间 .x1解： y ′ =(x+ )′x－x 2 1(x 1)( x1)=1－ 1·x 2=22xx( x 1)( x 1)＞ 0.令x2解得 x ＞ 1 或 x ＜－ 1.∴y=x+1的单一增区间是 (－∞，－ 1)和 (1， +∞ ).x令 ( x1)( x 1)＜ 0，解得－ 1＜ x＜0 或 0＜ x＜1.x2∴y=x+ 1的单一减区间是 (－ 1， 0)和 (0， 1) x四．讲堂练习1．求以下函数的单一区间1. f(x)=2x3－6x2+713. f(x)=sinx , x [0,2 ]4. y=xlnx 2. f(x)= +2xx2．课本练习五．回首总结（ 1）函数的单一性与导数的关系（ 2）求解函数y f ( x) 单一区间（ 3）证明可导函数 f x 在 a , b 内的单一性。
高中数学北师大版精品教案《函数的单调性和最值》
函数的单调性和最值【第一课时】 【教材分析】函数的单调性和最值的第一课时，主要学习用数学语言刻画函数的变化趋势（单调性的定义）及简单的应用，是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，对于分析函数性质、求函数最值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及其他函数综合问题等，都有重要的应用，掌握函数单调性的定义和应用，为学习幂函数、指数函数、对数函数，包括导函数等做好准备。
【教学目标与核心素养】1．知识目标：利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法；熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。
2．核心素养目标：通过函数单调性的概念的学习和简单的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。
【教学重难点】（1）利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间；（2）函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性的方法，及作差结果符号的判断方法； （3）常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。
【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入初中学习了一次函数y kx b =+的图象和性质，当0k ＞时，直线是向右上，即函数值y 随x 的增大而增大，当0k ＜时，直线向右下，即函数值y 随x 的增大而减小。
同样二次函数、反比例函数等，也有类似的性质。
思考讨论：（1）如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次32名，以后各次考试成绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名。
（2）如图，是函数()[] 6,9f x x ∈-（）的图象，说出在各个区间函数值()f x 随x 的值的变化情况。
提示：在区间[][][][]6,52,13,4.57,8---、、、上，函数值()f x 都是随x 的值的增大而增大； 在区间[][][][]5,21,3 4.5,78,9--、、、上，函数值f (x )都是随x 的值的增大而减小。
《函数的单调性》示范公开课教案高中数学北师大-2024鲜版
15
利用单调性求最值问题
举例：求函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间 $[0,3]$上的最小值。
解题思路：首先判断 函数在给定区间上的 单调性，然后根据单 调性确定函数的最值 。
解题步骤
2024/3/27
1. 判断函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间 $[0,3]$上的单调性。 通过求导$f'(x) = 2x 2$，可知函数在 $(0,1)$上单调递减， 在$(1,3)$上单调递增 。
通过实例分析、探究学习 等方式，培养学生的数学 思维和解决问题的能力。
情感态度与价值观
培养学生严谨的数学态度 ，感受数学之美，增强数 学学习的兴趣和信心。
5
教材分析与处理
教材分析
本节课选自北师大版高中数学教材，主要内容包括函数单调性的定义、判断方法及其应用。教材注重从实际问题 出发，引导学生探究函数的性质。
2024/3/27
1. 将不等式$x^2 - 2x - 3 < 0$转化 为函数形式，即$f(x) = x^2 - 2x 3$。
3. 根据单调性，解不等式$f(x) < 0$ ，即求解$x^2 - 2x - 3 = 0$的根， 得到$x_1 = -1, x_2 = 3$。因此，不 等式的解集为$(-1,3)$。
18
利用单调性研究函数性质
01
举例：研究函数$f(x) = frac{1}{x}$的单调性。
02
解题思路：通过求导判断函数的单调性，并研究其性质。
03
解题步骤
2024/3/27
04
1. 求函数$f(x) = frac{1}{x}$的导数，得到$f'(x) = frac{1}{x^2}$。
最新北师大版高中数学必修一函数的单调性1教案(精品教学设计)
§3函数的单调性教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程： 阅读与思考 ♦ 1、阅读教材♦ P36的实例分析及思考交流止。
20406080100120140160180421423425427429501503505507509511513515517519♦ 2、思考问题（1）从P36图2-15 （全国从20120421-20120519每日新增艾滋病例的变化统计图）看出，形势从何日开始好转？（2）从P36图2-16你能否说出y 随x 如何变化？ 德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据 时间间隔 记忆保持量 刚刚记忆完毕 100% 20分钟之后 58.2% 1小时之后 44.2% 8-9小时之后 35.8% 1天后 33.7% 2天后 27.8% 6天后 25.4% 一个月后 21.1% ……艾宾浩斯遗忘曲线问:什么是增函数、减函数、函数的单调性？问题1、 作出下列函数的图象,并指出图象的变化趋势:保持量（百分数）天数1 2 3 420 40 60 80 100 (1) 1y x =+(2) 22y x =-+2(3) y x =-1(4) y x=问题2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升或下降趋势”的意思吗？ 在某一区间内，图象在该区间呈上升趋势 当x 的值增大时，函数值y 也增大图象在该区间呈下降趋势 当x 的值增大时，函数值y 反而减小如何用x 与 f(x)来描述上升的图象？Oxy2x 2+-=21yOxx1y =Oy1+=x y 1-1yOx2xy -=那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值⊇x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2）单调区间如果函数y=f(x)在区间I 是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间.那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2）练一练1例３、求证：函数在区间上是单调增函数．()1f x x=--()0-∞，证明：设是（0，+∞）上的任意两个实数，且．21,x x 21x x <12121221121111()()(1)(1)x x f x f x x x x x x x --=-----=-=则1212120,0,()()x x x x f x f x -<>∴<()1()10f x x=--+∞故在区间，上是单调增函数．）上是增函数。
高二数学-1第四章 第1节 函数的单调性与极值北师大版选修知识精讲
高二数学－1第四章第1节函数的单调性与极值北师大版选修1【本讲教育信息】一、教学内容第四章第1节函数的单调性与极值二、教学目标1、理解可导函数的单调性与其导数的关系；2、理解并掌握极值的概念。
了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分必要条件。
3、能利用函数导数判断简单函数的单调性，会求简单的函数的单调区间和极值。
三、教学重、难点函数的单调性与其导数的关系的理解、极值的概念的理解是教学的重点，判断函数的单调性，求函数的极值是教学的难点。
四、知识要点分析：（一）函数的单调性与函数的导数的关系函数。
某个区间内，函数f （x ）的导数f '（x ）>0，则在这个区间上f （x ）单调递增。
某个区间内，函数f （x ）的导数f '（x ）<0，则在这个区间上f （x ）单调递减。
反之，某个区间内，函数f （x ）单调递增，则在这个区间上f （x ）的导数f '（x ）≥0； 某个区间内，函数f （x ）单调递减，则在这个区间上f （x ）的导数f '（x ）≤0 例如函数f （x ）=x 3，在R 上单调递增，其导函数在R 上，f '（x ）≥0.（二）求可导函数y=f （x ）的单调区间的步骤：（1）确定函数定义域（2）求f '（x ）并将f '（x ）通分或分解因式，将之化为乘积或商的形式。
（3）解不等式f '（x ）≥0（或f '（x ）≤0） （4）确认并写出单调区间（三）极值的定义：一般地，设函数)(x f y =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说 f （0x ）是函数)(x f y =的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f （0x ）是函数)(x f y =的一个极小值。
极大值与极小值统称极值。
取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
4.1.1 导数与函数的单调性 学案 高中数学选修1-1北师大版
4.1.1 导数与函数的单调性学习目标1．会从几何直观探索并了解函数的单调性与其导数之间的关系，并会灵活应用；2．会用导数判断或证明函数的单调性；3．通过对函数单调性的研究，加深对函数导数的理解，提高用导数解决实际问题的能力.学习重点灵活应用导数研究与函数单调性有关的问题，并能运用数形结合的思想方法．学习难点灵活应用导数研究与函数单调性有关的问题，并能运用数形结合的思想方法．学习方法 师生共研讨、生生互助学习过程一、自主学习（阅读教材P79-81，完成下列问题）1．复习增函数、减函数的定义：一般地，设函数y=)(x f 的定义域为A ，如果对于定义域A 内某个区间I 上的任意两个自变量的值21x x 、，当21x x <时，（1）若都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间I 上是（2）若都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间I 上是2．函数的单调性与导数的关系（1）设函数y=)(x f ，若在某区间上恒有0)(>'x f ，则)(x f 为该区间上的 函数，若在某区间上恒有0)(<'x f ，则)(x f 为该区间上的 函数， 如果在某区间恒有0)('=x f ，那么)(x f 在该区间为常值函数. 即由0)(>'x f 得函数y=)(x f 的单调 区间，由0)(<'x f 得函数y=)(x f 的单调 区间.（2）若可导函数)(x f 在),(b a 上单调递增⇒ ；若可导函数)(x f 在),(b a 上单调递减⇒ .一、 新知探究.1.知识运用例1．确定函数34)(2+-=x x x f 在哪个区间上是增函数，哪个区间上是减函数.例2．求32287y x x =-+的单调区间.例3．确定函数)2,0(,sin )(π∈=x x x f 的单调减区间.变式：讨论函数x x y sin 2-=在)2,0(π内的单调性．2.随堂练习1．确定下列函数的单调区间：（1）3)(x x x f -= （2）31232)(23+-+=x x x x f（3）x x x f cos sin )(+= （4）)3()(2-=x x x f。
北师大版高中数学必修一函数的单调性教案
教学过程
双边活动及教法运用 二、 讲授新课
1、演示增减函数图象
在函数 )(x f y = 的图象上任取两点),(11y x A ，),(22y x B
x ∆ 表示自变量 x 的增量：12x x x -=∆，
y ∆ 表示函数值 y 的增量：1212)()(y y x f x f y -=-=∆ 2．讲授增减函数概念 一般地，对于函数 )(x f y = 在给定区间上任意两个不相等的值1x 、2x
当 0>∆∆x
y
函数 )(x f y = 在这个 区间上是增函数
当 0<∆∆x
y
函数 )(x f y = 在这个区间上是减函数
3．单调性的定义
如果一个函数在某个区间上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间上具有（严格的）单调性这个区间就叫做这个函数的单调区间
学生观察，教师引导分析，得出初步结论
教师通过图象分析x ∆,y ∆，进行讲评
教师通过图象引导分析0>∆∆x
y
教师通过图象引导分析0<∆∆x
y
教师举例x y 2= 学生观察理解。
北师大版高中数学必修一教学案函数的单调性
五课后巩固练习
1.讨论 的单调性并证明.
2.讨论 的单调性并证明.
3.求函数 的单调区间
A. B. C. D.
3.在区间 上为增函数的是（）
A． B．
C． D．
4.函数 的单调性是.
5.函数 的单调递增区间是，
6..求证 的(0,1)上是减函数，在 是增函数.
7.下列结论正确的是（）
A函数 （R为常数，R 0）在R上是增函数
B函数 在R上是增函数
C函数 在 上是减函数
D函数 在 上是增函数
（1） ；（2） .
练一练：
变式：指出 、 的单调性.
例2求函数 的单调区间
练一练
1求函数 的单调区间
2.物理学中的玻意耳定律 （k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.
三巩固练习
1.函数 的单调增区间是（）
A. B. C.RD.不存在
2.如果函数 在R上单调递减，则（）
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ,当 时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D上是。
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）__________，区间D叫做函数y=f(x)的____________.
2.如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的.
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
函数的单调性1
授课时间
撰写人
撰写时间
学习重点
函数单调性概念、判断函数单调性的方法
高中数学第四章导数应用4.1函数的单调性与极值4.1.1导数与函数的单调性学案北师大版选修1-1
4.1．1 导数与函数单调性课标解读1. 结合实例，借助几何直观探索并了解函数单调性与导数关系.2. 正确理解利用导数判断函数单调性思想方法，并能灵活运用．(重点、难点)3. 会求函数单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．(重点)导数与函数单调性【问题导思】函数f(x)＝x2－2x－2图像如下图：(1)当x0∈(－∞，1)时，函数在(x0，f(x0))处切线斜率f′(x0)大于零还是小于零？(2)函数f(x)＝x2－2x－2在(－∞，1)上单调性如何？【提示】(1)小于零；(2)是减少．导函数符号与函数单调性之间关系如果在某个区间内，函数y＝f(x)导数f′(x)>0，那么在这个区间上，函数y＝f(x)是增加．如果在某个区间内，函数y＝f(x)导数f′(x)<0，那么在这个区间上，函数y＝f(x)是减少．利用导数判断单调性求以下函数单调区间：(1)f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)；(2)f(x)＝－x3＋3x2.【思路探究】先求出函数f(x)导数，再令导数大于或小于0，解不等式，最后结合导函数符号与函数单调性之间关系来求函数单调区间．【自主解答】(1)f′(x)＝cos x－1，∵x∈(0，π)，∴cos x∈(－1，1)，∴f′(x)<0恒成立，即函数f(x)在(0，π)上是减少．故函数f(x)递减区间是(0，π)．(2)f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．当f′(x)>0时，0<x<2，因此，函数f(x)增区间为(0，2)；当f′(x)<0时，x<0或x>2，因此，函数f(x)减区间为(－∞，0)与(2，＋∞)．1 .假设函数单调区间不止一个，那么在写这些区间时，应该用逗号分开或者用“及〞、“与〞连接，切忌用并集符号或者“或〞连接，如此题第(2)小题递减区间不能写成(－∞，0)∪(2，＋∞)．2 .利用导数求函数单调区间根本步骤(1)确定函数f(x)定义域．(2)求导数f′(x)．(3)确定f′(x)>0(或f′(x)<0)时相应x范围：当f′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增加；当f ′(x )<0时，f ′(x )在相应区间上是减少．求以下函数单调区间：(1)f (x )＝43x 3－2x 2＋8；(2)f (x )＝3x 2－2ln x .【解】 (1)函数f (x )定义域为R .f ′(x )＝4x 2－4x ＝4x (x －1)，令f ′(x )>0，得x <0或x >1，∴函数f (x )单调递增区间为(－∞，0)与(1，＋∞)；令f ′(x )<0，得0<x <1，∴函数f (x )单调减区间为(0，1)．(2)函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0，∵x >0，∴x >33.令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0，∵x >0，∴0<x <33.∴f(x)单调递增区间为(33，＋∞)，单调减区间为(0，33)．利用单调性求参数取值范围假设函数f(x)＝x3－ax－1在实数集R上单调递增，求实数a取值范围．【思路探究】由f(x)在R上是增加，知f′(x)≥0对x∈R恒成立，从而转化为一元二次不等式恒成立问题求解．【自主解答】由f′(x)＝3x2－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．即a≤3x2对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只要a≤0.∴f(x)＝x3－ax－1在R上是增函数．∴a≤0.即a取值范围(－∞，0]1. 要验证f′(x)＝0情况．2. 函数单调性求参数取值范围思路：函数在区间[a，b]上是增加(减少)转化成→f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立问题→利用别离参数法或函数性质求解不等式恒成立问题→注意对等号单独验证．将本例中条件“在(－∞，＋∞)上是增加〞变为“在(1，2)上是增加〞，求实数a取值范围．【解】 因为f ′(x )＝3x 2－a ，∴f (x )在(1，2)上是增加， ∴f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(1，2)上恒成立，即a ≤3x 2在(1，2)上恒成立．∵3x 2≥3，∴a ≤3，即a 范围为(－∞，3]． 利用函数单调性证明不等式当x >2时，求证：x －1>ln x .【思路探究】 可设f (x )＝x －1－ln x 通过f (x )单调性证明f (x )>0.【自主解答】 设f (x )＝x －1－ln x (x >2)，那么f ′(x )＝1－1x ＝x －1x. ∵x >2，∴f ′(x )>0.∴当x >2，时，f (x )＝x －1－ln x >f (2)＝1－ln 2>1－ln e ＝0. ∴f (x )>0，即x －1－ln x >0，∴x －1>ln x (x >2)．1 .此题关键是构造函数f (x )，借助函数单调性来证明不等式．2 .利用导数证明不等式一般步骤(1)构造函数：F (x )＝f (x )－g (x )．(2)求导：F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )．(3)判断函数单调性．(4)求F (x )在区间上最小值为0，证得f (x )≥g (x )；求F (x )在区间上最大值为0，证得f (x )≤g (x ).当x >0时，求证e x >1＋x .【解】 设函数f (x )＝e x －(1＋x )，那么f ′(x )＝e x －1， 当x >0时，e x >e 0＝1，∴f ′(x )＝e x －1>0.故f (x )在(0，＋∞)上递增，∴当x >0时，f (x )>f (0)．又f (0)＝e 0－(1＋0)＝0，∴f (x )>0，即e x －(1＋x )>0，故e x >1＋x .求单调区间时忽略定义域范围致误求函数y ＝x －ln x 单调区间．【错解】 由导数公式表与求导法那么可得y ′＝1－1x. 当x ∈(－∞，0)或x ∈(1，＋∞)时，y ′>0，因此，在这两个区间上，函数是增加；当x ∈(0，1)时，y ′<0，因此，在这个区间上，函数是减少． 所以函数y ＝x －ln x 递增区间是(－∞，0)与(1，＋∞)，递减区间是(0，1)．【错因分析】 此题中函数y ＝x －ln x 定义域为{x |x >0}，错解中忽略了函数定义域而导致结果错误．【防范措施】 用导数研究函数单调性时，往往容易忽略函数定义域，造成所求单调区间不正确，因此，一定要牢记在函数定义域内研究函数性质．【正解】 函数定义域为{x |x >0}，由导数公式表与求导法那么可得y ′＝1－1x. 当x ∈(1，＋∞)时，y ′>0，因此，在这个区间上，函数是增加； 当x ∈(0，1)时，y ′<0，因此，在这个区间上，函数是减少． 所以函数y ＝x －ln x 递增区间是(1，＋∞)，递减区间是(0，1)．1. 注意利用导数判断函数单调性方法．2. 利用求导方法讨论函数单调性要注意以下几个方面：①f ′(x )>0是f (x )递增充分条件而非必要条件(f ′(x )<0亦是如此)；②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据f ′(x )>0(或f ′(x )<0)解出在定义域内相应x 取值范围；③在证明不等式时，可以构造函数、确定其定义域，再利用求导方法来证明．3 .函数f (x )是增函数(或减函数)，求函数解析式中参数取值范围时，应令f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)恒成立，解出参数取值范围，然后再检验参数取值能否使f ′(x )恒等于零，假设能恒等于零，那么应舍去这个参数值，假设f ′(x )不恒等于零，那么其符合题意．1 .函数f (x )导函数f ′(x )图像如以下图所示，那么函数f (x )图像最有可能是图中( )图4－1－1【解析】 由f ′(x )符号易判断选A.【答案】 A2 .函数f (x )＝x ln x ，那么( )A ．在(0，＋∞)上递增B ．在(0，＋∞)上递增C ．在(0，1e )上递增D ．在(0，1e)上递减 【解析】 f ′(x )＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝1＋ln x .由1＋ln x >0得ln x >－1＝ln 1e， 即x >1e. 由1＋ln x <0得0<x <1e. ∴f (x )＝x ln x 在(1e ，＋∞)上递增，在(0，1e)上递减． 【答案】 D3 .函数f (x )＝(x －3)e x 单调递增区间是________．【解析】 f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x .令f ′(x )>0，解得x >2.【答案】 (2，＋∞)4 .求函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7单调区间．【解】 f ′(x )＝6x 2－12x .令6x 2－12x >0，解得x >2或x <0.因此当x ∈(2，＋∞)，x ∈(－∞，0)时，f (x )是增加． 令6x 2－12x <0，解得0<x <2.因此当x ∈(0，2)时，f (x )是减少．故f (x )＝2x 3－6x 2＋7单调递增区间为(2，＋∞)与(－∞，0)，单调递减区间为(0，2)．一、选择题1 .函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上( )A ．是增加B ．是减少C ．先增加后减少D ．先减少后增加【解析】 ∵f ′(x )＝2－cos x >0，∴f (x )在R 上是增加．【答案】 A2 .函数y ＝4x 2＋1x 递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，1)C ．(12，＋∞) D ．(1，＋∞) 【解析】 y ′＝8x －1x 2，令y ′>0，即8x 3－1>0∴x >12. 【答案】 C3 .设命题p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，那么p 是q ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1，∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m .由f (x )为增函数f ′(x )≥0在R 上恒成立Δ≤016－12m ≤0m ≥43，故为充分必要条件．应选C. 【答案】 C4 .定义在R 上偶函数f (x )局部图像如下图，那么在(－2，0)上，以下函数中与f (x )单调性不同是( )图4－1－2A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0e －x ，x <0【解析】 利用偶函数图像关于y 轴对称，知f (x )在(－2，0)上为减函数，而y ＝x 2＋1在(－2，0)上为减函数；y ＝|x |＋1在(－2，0)上为减函数；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，x 3＋1，x <0在(－2，0)上为增函数；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，1e x ，x <0在(－2，0)上为减函数，应选C.【答案】 C5 .函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是减函数，那么实数a 取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3)【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，由Δ＝4a 2－12≤0得－3≤a ≤ 3.【答案】 B二、填空题6 .函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6单调减区间为________．【解析】 f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 当f ′(x )<0时，－1<x <11，f (x )是减少．【答案】 (－1，11)7 .函数f (x )＝x 3－ax ＋1既有单调增区间，又有减区间，那么a 取值范围________．【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－a ，由条件知f ′(x )＝0需有两个不等实根．∴a >0.【答案】 (0，＋∞)8 .假设函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，那么a 取值范围为________．【解析】 ∵f ′(x )＝3ax 2－1，且f (x )在R 上为减函数． 当a ＝0时，f ′(x )＝－1<0恒成立；当a ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝12a <0，得a <0. ∴a 取值范围是(－∞，0]．【答案】 (－∞，0]三、解答题9 .求以下函数单调区间：(1)y ＝2x 3－6x 2＋11；(2)y ＝12x . 【解】 (1)y ′＝6x 2－12x ，由6x 2－12x >0，得x >2或x <0，由6x 2－12x <0，得0<x <2.∴函数y ＝2x 3－6x 2＋11单调增区间为(－∞，0)与(2，＋∞)，单调减区间为(0，2)．(2)函数定义域为{x |x ≠0}，y ′＝－12x 2. ∵当x ≠0，y ′＝－12x 2<0恒成立． ∴函数y ＝12x单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间．10 .假设函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，求a 取值范围．【解】 ∵y ′＝－4x 2＋a ，又y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间， ∴方程－4x 2＋a ＝0应有两个不等实根．∴Δ＝16a >0，∴a >0.∴a 取值范围为a >0.11 .求证：当x ≤2时，x 3－6x 2≤－12x ＋8.【解】设f(x)＝x3－6x2＋12x－8，那么f′(x)＝3x2－12x＋12＝3(x2－4x＋4)＝3(x－2)2.∵x≤2时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在(－∞，2]上是增加，∴x≤2时，f(x)≤f(2)＝0，即x3－6x2＋12x－8≤0，即x3－6x2≤－12x＋8.。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修1 函数的单调性》2
【课题】函数的单调性【教学目标】知识目标：⑴理解函数的单调性的概念；⑵会借助于函数图像讨论函数的单调性；能力目标：⑴通过利用函数图像研究函数性质，培养学生的观察能力；⑵通过函数单调性的判断，培养学生的数学思维能力．情感目标：（1）用学生熟悉的主题活动将所学的知识有机的整合在一起；（2）引导学生去感知数学的数形结合思想．通过图形认识特征，由此定义性质，再利用图形（或定义）进行性质的判断；（3）在问题的思考、交流、解决中培养和发展学生的思维能力．【教学重点】⑴函数单调性的概念及其图像特征；⑵简单函数单调性的判定．【教学难点】函数的单调性的判断【教具准备】教学课件．【课时安排】1课时．45分钟【教学过程】Ｃ）随时间回答下面的问题：（1）时，气温最低，最低气温为Ｃ，时气温最高，最高气温为°Ｃ．（2）随着时间的增加，在时间段0时到6时的时间段内，气温不断地；6时到14时这个时间段内，气温不断地．问题2下图为股市中，某股票在半天内的行情，请描述此股票的涨幅情况从上图可以看到，有些时候该股票的价格随着时间推移在上涨，即时间增加股票价格也增加；有时该股票的价格随着时间推移在下跌，即时间增加股票价格反而减小．归纳类似地，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质就是函数的单调性．质疑引导分析说明引导总结看图分析求解观察思考求解了解的走向知识点引导启发学生体会读图方法股市图主要指引导学生体会变化上升下降的描述引出函数单调性*动脑思考探索新知概念函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性． 类型设函数()y f x =在区间(),a b 内有意义．（1）如图（1）所示，在区间(),a b 内，随着自变量的增加，函数值不断增大，图像呈上升趋势．即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <成立．这时把函数()f x 叫做区间(),a b 内的增函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的增区间．（2）如图（2）所示，在区间(),a b 内，随着自变量的增加，函数值不断减小，图像呈下降趋势．即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >成立．这时函数()f x 叫做区间(),a b 内的减函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的减区间．图（1） 图（2）如果函数()f x 在区间(),a b 内是增函数（或减函数），那么，就称函数()f x 在区间(),a b 内具有单调性，区间(),a b 叫做函数()f x 的单调区间． 几何特征函数单调性的几何特征：在自变量取值区间上，顺着轴的正方向，若函数的图像上升，则函数为增函数；若图像下降则函数为减函数．归纳说明 仔细 分析 讲解 关键 词语 强调 说明 引导 说明强调思考 理解 记忆 领会 理解 观察 了解 体会 了解带领 学生 总结 上述 图像 特点 得到 增减 概念 充分 讲解 函数 图像 变化 和增 减之 间的 关系 简单 说明 区间 端点 的问 题 数形 结合 结合判定方法判定函数的单调性有两种方法：借助于函数的图像或根据单调性的定义来判定．*巩固知识典型例题例1小明从家里出发，去学校取书，顺路将自行车送还王伟同学．小明骑了30分钟自行车，到王伟家送还自行车后，又步行10分钟到学校取书，最后乘公交车经过2021回到家．这段时间内，小明离开家的距离与时间的关系如下图所示．请指出这个函数的单调性．分析对于用图像法表示的函数，可以通过对函数图像的观察来判断函数的单调性，从而得到单调区间．解由图像可以看出，函数的增区间为()0,40；减区间为()40,60．例2 判断函数42y x=-的单调性．分析对于用解析式表示的函数，其单调性可以通过定义来判断，也可以作出函数的图像，通过观察图像来判断．无论采用哪种方法，都要首先确定函数的定义域．解法1函数为一次函数，定义域为(,)-∞+∞，其图像为一条直线．确定图像上的两个点即可作出函数图像．列表如下：0 1y－2 2 说明引领讲解强调质疑分析引领观察思考主动求解理解思考领会理解通过例题进一步领会函数单调性图像的意义复习描点法作图的步骤方法再一在直角坐标系中，描出点（0，－2），（1，2），作出经过这两个点的直线．观察图像知函数42y x=-在(,)-∞+∞内为增函数．讲解演示观察次强化函数单调性的图像特征*理论升华整体建构由一次函数y kx b=+（0k≠）的图像（如下图）可知：（1）当0k>时，图像从左至右上升，函数是单调递增函数；（2）当0k<时，图像从左至右下降，函数是单调递减函数．由反比例函数kyx=的图像（如下图）可知：（1）当0k>时，在各象限中y值分别随x值的增大而减小，函数是单调递减函数；（2）当0k<时，在各象限中y值分别随x值的增大而增大，函数是单调递增函数．引导说明归纳引导说明归纳观察思考总结观察思考在例题的基础上引导学生总结一次函数和反比例函数单调性尽量交给学生自我发现总结*运用知识强化练习教材练习3.2.11已知函数图像如下图所示．（1）根据图像说出函数的单调区间以及函数在各单调区间内的单调性．（2）写出函数的定义域和值域．提问巡视指导思考动手求解交流及时了解学生知识掌握的情况*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？引导提问回忆反思培养学生反思学习过程的能力*继续探索活动探究1读书部分：教材章节；2书面作业：习题 A组 1、2说明记录。
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第三章 导数的应用 第一课时 4.1.1函数的单调性
学习目的：
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 学习重点：利用导数判断函数单调性 学习难点：利用导数判断函数单调性
内容分析：
以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数.
在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单
学习过程： 一、复习引入：
1. 常见函数的导数公式：
0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=
x x 1)'(ln =
； e x
x a a log 1)'(log =； x x e e =)'( ； a a a x
x ln )'(= 2.法则1 '
'
'
[()()]()()f x g x f x g x ±=±．
法则2 [()()]'()()()'()f x g x f x g x f x g x '=+, [()]'()cf x cf x '=
法则3 '
2()'()()()'()
(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=
≠ ⎪⎝⎭
二、学习新课：
1. 函数的导数与函数的单调性的关系：
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数3
42
+-=x x y
的图像
可以看到：
在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/
y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，
函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/
y <0时，函数y=f(x) 在区间（－∞，2）内为减
函数.
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/
y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/
y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数
2.用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x ).
②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.
三、范例：
例1确定函数f (x )=x 2－2x +4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
例2确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
例3证明函数f (x )=x
1
在(0，+∞)上是减函数.
例4已知函数y =x +
x
1
，试讨论出此函数的单调区间.
四、课堂练习：
1．确定下列函数的单调区间 (1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =x －x 3
2.讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间.
3.求下列函数的单调区间(1)y =x x 2+ (2)y =9
2-x x
(3)y =x +x
五、小结 ：
f (x )在某区间内可导，可以根据/
()f x ＞0或/
()f x ＜0求函数的单调区间，或判断函数
的单调性，或证明不等式.以及当/
()f x =0在某个区间上，那么f(x )在这个区间上是常数函数
第一课时 3.1.1函数的单调性答案
三、讲解范例：
例1解：f ′(x )=(x 2－2x +4)′=2x －2. 令2x －2＞0，解得x ＞1.
∴当x ∈(1，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 令2x －2＜0，解得x ＜1.
∴当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数. 例2解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0
∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.
∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数.
例3证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x 1，x 2∈(0，+∞)设x 1＜x 2. f (x 1)－f (x 2)=
2
11
22111x x x x x x -=
-∵x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＞0 ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴
2
11
2x x x x -＞0∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴f (x )=
x
1
在(0，+∞)上是减函数. 证法二：(用导数方法证) ∵/
()f x =(
x 1)′=(－1)·x －2=－21x ，x ＞0，∴x 2＞0，∴－21x
＜0. ∴/
()0f x <， ∴f (x )=
21
x
在(0，+∞)上是减函数.
点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.
例4解：y ′=(x +
x
1)′ =1－1·x －2
=2
22)
1)(1(1x
x x x x -+=- 令
2
)
1)(1(x
x x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +
x
1
的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令2
)1)(1(x x x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.∴y =x +x 1的单调减区间是(－1，0)和
(0，1)
四、课堂练习：
1.(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜
2.
∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4) (2)解：y ′=(x －x 3)′=1－3x 2=－3(x 2－
3
1
)=－3(x +33)(x －33)
令－3(x +
33)(x －33)＞0，解得－33＜x ＜33.∴y =x －x 3的单调增区间是(－3
3，3
3
). 令－3(x +
33)(x －33)＜0，解得x ＞33或x ＜－3
3. ∴y =x －x 3的单调减区间是(－∞，－
33)和(3
3
，+∞) 2．解：y ′=(ax 2+bx +c )′=2ax +b, 令2ax +b ＞0，解得x ＞－
a
b
2 ∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调增区间是(－
a
b
2，+∞) 令2ax +b ＜0，解得x ＜－
a b 2.∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调减区间是(－∞，－a
b 2) 3．(1)解：y ′=(
x x 2+)′=2
22
2x x x x -=--∵当x ≠0时，－22x ＜0，∴y ′＜0.
∴y =
x
x 2
+的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) (2)解：y ′=(92-x x )′222)9(29-⋅--=x x x x 2
2
2222)
9(9
)9(9-+-=---=x x x x 当x ≠±3时，－2
22)
9(9
-+x x ＜0，∴y ′＜0. ∴y =
9
2
-x x
的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞). (3)解：y ′=(x +x )′121
12121+=+=-x
x .
当x ＞0时x
21+1＞0，∴y ′＞0. ∴y =
x +x 的单调增区间是(0，+∞)。