北师大版数学高二-选修1教案 4.1.1函数的单调性

第三章 导数的应用 第一课时 4.1.1函数的单调性

学习目的：

1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；

2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 学习重点：利用导数判断函数单调性 学习难点：利用导数判断函数单调性

内容分析：

以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数.

在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单

学习过程： 一、复习引入：

1. 常见函数的导数公式：

0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=

x x 1)'(ln =

； e x

x a a log 1)'(log =； x x e e =)'( ； a a a x

x ln )'(= 2.法则1 '

'

'

[()()]()()f x g x f x g x ±=±．

法则2 [()()]'()()()'()f x g x f x g x f x g x '=+, [()]'()cf x cf x '=

法则3 '

2()'()()()'()

(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=

≠ ⎪⎝⎭

二、学习新课：

1. 函数的导数与函数的单调性的关系：

我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数3

42

+-=x x y

的图像

可以看到：

在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/

y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，

函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/

y <0时，函数y=f(x) 在区间（－∞，2）内为减

函数.

定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/

y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/

y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数

2.用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x ).

②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.

三、范例：

例1确定函数f (x )=x 2－2x +4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.

例2确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.

例3证明函数f (x )=x

1

在(0，+∞)上是减函数.

例4已知函数y =x +

x

1

，试讨论出此函数的单调区间.

四、课堂练习：

1．确定下列函数的单调区间 (1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =x －x 3

2.讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间.

3.求下列函数的单调区间(1)y =x x 2+ (2)y =9

2-x x

(3)y =x +x

五、小结 ：

f (x )在某区间内可导，可以根据/

()f x ＞0或/

()f x ＜0求函数的单调区间，或判断函数

的单调性，或证明不等式.以及当/

()f x =0在某个区间上，那么f(x )在这个区间上是常数函数

第一课时 3.1.1函数的单调性答案

三、讲解范例：

例1解：f ′(x )=(x 2－2x +4)′=2x －2. 令2x －2＞0，解得x ＞1.

∴当x ∈(1，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 令2x －2＜0，解得x ＜1.

∴当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数. 例2解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0

∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.

∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数.

例3证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x 1，x 2∈(0，+∞)设x 1＜x 2. f (x 1)－f (x 2)=

2

11

22111x x x x x x -=

-∵x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＞0 ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴

2

11

2x x x x -＞0∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴f (x )=

x

1

在(0，+∞)上是减函数. 证法二：(用导数方法证) ∵/

()f x =(

x 1)′=(－1)·x －2=－21x ，x ＞0，∴x 2＞0，∴－21x

＜0. ∴/

()0f x <， ∴f (x )=

21

x

在(0，+∞)上是减函数.