人教版八年级下册数学第1课时 二次根式的概念课件
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数学八年级下册二次根式二次根式的概念PPT公开课
知识点1 二次根式的概念
知识点12 二次根式的有概意念义的条件
知第识1课点2二二次次根根式式的有概意念义的条件 第1课 二次根式的概念
如： 3 ， 65 知第识1课点3二二次次根根式式的有概意念义的综合运用
第知1识课点2 二二次次根根式式的有概意念义的条件 知第识1课点2二二次次根根式式的有概意念义的条件
有意义？ 知识点2 二次根式有意义的条件
第1课 二次根式的概念
知识点3 二次根式有意义的综合运用
1 知识点1 二次根式的概念 （1） ； 第1课 二次根式的概念 2x－1 第1课 二次根式的概念
知识点2 二次根式有意义的条件
解：∵2x－1>0， 知识点2 二次根式有意义的条件
第1课 二次根式的概念
第1课 二次根式的概念
解：∵3x≥0， ∴x≥0.
(3)
x－1 3
；
解：∵x－1≥0，
∴x≥1.
x (4)x－2 解：∵x≥0 且 x－2≠0，
∴x≥0 且 x≠2.
知识点3 二次根式有意义的综合运用
8．(例 3)若式子 x－2 ＋ x－3 有意义，求 x 的取值 范围． 解：∵xx－－23≥≥00.， ∴x≥3.
9.已知 y＝ x－4 ＋ 4－x ＋4，则yx 的值为( A )
D． －3
13.下列式子不是二次根式的是( D )
A. 5 知识点2 二次根式有意义的条件
知识点1 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念
1 第1课 二次根式的概念
知识点2 二次根式有意义的条件 第1课 二次根式的概念
C. 知识点1 二次根式的概念 3 第1课 二次根式的概念
第1课 二次根式的概念 知识点2 二次根式有意义的条件 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 知识点1 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 知识点1 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念
知识点12 二次根式的有概意念义的条件
知第识1课点2二二次次根根式式的有概意念义的条件 第1课 二次根式的概念
如： 3 ， 65 知第识1课点3二二次次根根式式的有概意念义的综合运用
第知1识课点2 二二次次根根式式的有概意念义的条件 知第识1课点2二二次次根根式式的有概意念义的条件
有意义？ 知识点2 二次根式有意义的条件
第1课 二次根式的概念
知识点3 二次根式有意义的综合运用
1 知识点1 二次根式的概念 （1） ； 第1课 二次根式的概念 2x－1 第1课 二次根式的概念
知识点2 二次根式有意义的条件
解：∵2x－1>0， 知识点2 二次根式有意义的条件
第1课 二次根式的概念
第1课 二次根式的概念
解：∵3x≥0， ∴x≥0.
(3)
x－1 3
；
解：∵x－1≥0，
∴x≥1.
x (4)x－2 解：∵x≥0 且 x－2≠0，
∴x≥0 且 x≠2.
知识点3 二次根式有意义的综合运用
8．(例 3)若式子 x－2 ＋ x－3 有意义，求 x 的取值 范围． 解：∵xx－－23≥≥00.， ∴x≥3.
9.已知 y＝ x－4 ＋ 4－x ＋4，则yx 的值为( A )
D． －3
13.下列式子不是二次根式的是( D )
A. 5 知识点2 二次根式有意义的条件
知识点1 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念
1 第1课 二次根式的概念
知识点2 二次根式有意义的条件 第1课 二次根式的概念
C. 知识点1 二次根式的概念 3 第1课 二次根式的概念
第1课 二次根式的概念 知识点2 二次根式有意义的条件 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 知识点1 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 知识点1 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念
人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
人教版八年级下册数学作业课件 第十六章 第1课时 二次根式的概念
知识要点 二次根式的概念及非负性
二次根式的
形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式，根 号下的数叫 被开方数 ．“ ”称为二
概念
次根号，根指数为 2 ，可省略.
二次根式有 意义的条件 被开方数(式)为
非负数
，即 a有意
义⇒a≥0.
二次根式 的非负性 双重非负性： a≥0，a≥0.
1.要判别一个式子(不要将式子化简)是不 是二次根式一定要具备两个特征： 解题策略 (1)含根号且根指数为 2； (2)被开方数为非负数．[如 T1]
解：(1)由题意得 4－3x＞0，解得 x＜43.
(2)由题意得 5－x≥0，解得 x≤5.
(3) 2x2＋1； (4) 2x－1＋ 1－2x. 解：(3)∵2x2＋1＞0，∴x 为一切实数．
(4)由题意得 21x－－21x≥≥00，，解得 x＝12.
1.下列各式中，不是二次根式的是
（B）
A. 45
B. －3
C. a2＋1
D.
2 3
2.要使式子 2021－x有意义，则 x 的取值范围是
（D）
A．x＞0
B．x≥－2021
C．x≥2021
D．x≤2021
3.下列二次根式中，无论 x 取什么值都有意义的是
（C）
A. －x－5 B. x
C. x2＋1 D. x2－5
2.如果一个式子中含多个二次根式或与 分式结合，那么它们有意义的条件是各个 二次根式中被开方数均为非负数，分母不 解题策略 为 0.[如 T4] 3.若|a|＋ b＝0，则 a＝0，b＝0；若 y＝
a－1＋ 1－a＋b，则 a－1＝1－a＝0， a＝1，y＝b.[如 T5，T6]
(建议用时：10 分钟)
二次根式的
形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式，根 号下的数叫 被开方数 ．“ ”称为二
概念
次根号，根指数为 2 ，可省略.
二次根式有 意义的条件 被开方数(式)为
非负数
，即 a有意
义⇒a≥0.
二次根式 的非负性 双重非负性： a≥0，a≥0.
1.要判别一个式子(不要将式子化简)是不 是二次根式一定要具备两个特征： 解题策略 (1)含根号且根指数为 2； (2)被开方数为非负数．[如 T1]
解：(1)由题意得 4－3x＞0，解得 x＜43.
(2)由题意得 5－x≥0，解得 x≤5.
(3) 2x2＋1； (4) 2x－1＋ 1－2x. 解：(3)∵2x2＋1＞0，∴x 为一切实数．
(4)由题意得 21x－－21x≥≥00，，解得 x＝12.
1.下列各式中，不是二次根式的是
（B）
A. 45
B. －3
C. a2＋1
D.
2 3
2.要使式子 2021－x有意义，则 x 的取值范围是
（D）
A．x＞0
B．x≥－2021
C．x≥2021
D．x≤2021
3.下列二次根式中，无论 x 取什么值都有意义的是
（C）
A. －x－5 B. x
C. x2＋1 D. x2－5
2.如果一个式子中含多个二次根式或与 分式结合，那么它们有意义的条件是各个 二次根式中被开方数均为非负数，分母不 解题策略 为 0.[如 T4] 3.若|a|＋ b＝0，则 a＝0，b＝0；若 y＝
a－1＋ 1－a＋b，则 a－1＝1－a＝0， a＝1，y＝b.[如 T5，T6]
(建议用时：10 分钟)
二次根式(1)课件2022-2023学年 人教版八年级数学下册
解:设长方形的长为 3x cm,宽为 2x cm, 根据边长与面积的关系,得 3x·2x=18, 6x2=18, x=± 3, 因为边长不能为负数,所以 x= 3, 所以 3x=3 3, 2x=2 3. 答:它的长是 3 3 cm,宽是 2 3 cm. 备注:每课时带★的题目为提高题.
核心教材母题:教材是新中考命题的依据,近年来广东省中考 数学卷中都有较多题的素材来源于人教版和北师大版.本书 将两个版本重合的教材母题进行汇总,并作为课堂例习题呈 现.
★19.(核心教材母题:人教8下P3、北师8上P51)要画一个面积 为18 cm2的长方形,使它的长与宽之比为3∶2,它的长与宽各 应取多少?
A. －2 C.3 9
B. 3 D.a
知识点二: 正确理解二次根式的概 念 (1)二次根式的概念是从形式上界定的,必须含有二次根号
“ ”,“ ”的根指数为 2,即“ 2 ”,我们一般省略根指数 2,写
作“ ”.如 2 5 可以写作 5.
(2)二次根式 中的被开方数既 可以是一个数 ,也可以是 一个含有 字母的式子.
A.x12
B. x2+x
C.x2－1 1
D. x2+1
15.(2021 丽水)要使式子 x－3有意义,则 x 可取的一个数是
4(答案不唯一) . 16.(2021 广州二模)式子 1 有意义,则 x 的取值范围是
3－x
x＜3 .
9.【例 3】要使下列式子有意义,求 a 的取值范围.
(1) a+1+ 2－a;
第十六章 二次根式
二次根式(1)
学习目标
1.体会研究二次根式是实际的需要. 2.(课标)了解二次根式的概念. 3.利用 a(a≥0)的意义解答具体题目.
八年级数学下册教学课件-二次根式的性质
【详解】
1
2） 9 + −4 + (−1)0 − (2)−1
（1）原式=3 2 + 2 − 4 + 7 − 3=4 2
（2）原式=3+4+1-2=6.
02
练一练
4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|| + ( − )2 的结果是（
A．−2 +
B．2 −
C．−
D．
a
=﹣|b|
=﹣b．
0
b
课后回顾
01
理解二次根式性质的探索过程
02
掌握二次根式的性质
03
通过二次根式性质进行计算
演示完毕
从取值范围看
a≥0
a取任何实数
从运算结果看
a
|a|
意义
表示一个非负数a
的算术平方根的平方
表示一个实数 a
的平方的算术平方根
02
练一练
计算：
1） 16
2）
3）
=
(−5)2 =
3.14 −
42 =4
52 =5
2
= |3.14 − |=π-3.14
02
练一练
1．若 ( − 2)2 ＝2﹣a，则a的取值范围是（
探索与思考
计算：
1） 22
=
2） 0.12 =
3）
4）
2 2
−
5
02
=
2
0.1
2
=
5
0
二次根式的性质二
α2
= a =
a（a≥0）
-a（a<0）
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值 .
人教版八年级数学下《二次根式 第1课时：二次根式的概念和有意义的条件》精品教学课件
1 5；
2
3
2
x
2
；
3
x
；
A. 1
B. 2
D. 4
解:(1)∵−5＜0，∴ 5 不是二次根式；
(2)∵x2+2＞0，∴
课堂小结
C. 3
4 3 5；
5 是二次根式；
(3)∵当x≥0时，x3≥0，∴
3
x不一定是二次根式；
(4)∵ 3 5 的根指数是3，∴ 3 5 不是二次根式.
3
(2)由2x+3≥0，得x≥ .
2
二次根式有意义的条件
被开方数大于或等于0，即a≥0.
布置作业
创设情境
思考
当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？ x3 呢？
探究新知
解：由x2≥0，得x是任意实数，
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
∴当x为任意实数时， x 2 都有意义.
由x3≥0，得x≥0，
探究新知
应用新知
与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.
如果用含有h的式子表示t，那么t该怎么表示?
巩固新知
课堂小结
布置作业
h=5t2
h
t=
5
创设情境
探究新知
应用新知
归纳
h
上面问题中，得到的结果分别是： 3、 S、 65、
5
它们都是表示正数的算术平方根．
.
观察上面的式子，
你能写出二次
可得， x 2 1 在实数范围内有意义.
创设情境
定义
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
最新人教版八年级数学下册全册完整课件
初中数学
全册精品PPT课件 （2套）
每一课都有两套课件！
第十六章 二次根式
17.1.2利用勾股定理解 决简单的实际问题
16.1 二次根式
17.1.2 数轴表示根号13
16.2.1 二次根式的乘法 16.2.2 二次根式的除法 16.3.1 二次根式的加减运算 16.3.2 二次根式的混合运算
17.2.1 勾股定理的逆定 理
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
点击“互动训练” 选择“《二次根式（1）》随堂检测”
回忆
活动一：定向导学
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则
这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 aa
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就 叫做a的算术平方根。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 __6_5___
h 3.h=5t2,则t=___5____
20.1.1平均数
20.1.2中位数与众数
20.2 数据的波动程度
20.3 课题学习 体质健康 测试中的数据分析 小结、构建知识体系、复 习题20
《二次根式》第一课时
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
（1）平方根：25的平方根是±5,3的平方根是 3 ， 0的平方根是0，-5没有平方根.
二次根式具备哪些特点？
（1）有二次根号；
（2）被开方数不能小于0.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究一：什么样的式子是二次根式？
重点知识★
活动3 牛刀小试，初步运用
1
例1.式子：
2，
，
x
全册精品PPT课件 （2套）
每一课都有两套课件！
第十六章 二次根式
17.1.2利用勾股定理解 决简单的实际问题
16.1 二次根式
17.1.2 数轴表示根号13
16.2.1 二次根式的乘法 16.2.2 二次根式的除法 16.3.1 二次根式的加减运算 16.3.2 二次根式的混合运算
17.2.1 勾股定理的逆定 理
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
点击“互动训练” 选择“《二次根式（1）》随堂检测”
回忆
活动一：定向导学
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则
这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 aa
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就 叫做a的算术平方根。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 __6_5___
h 3.h=5t2,则t=___5____
20.1.1平均数
20.1.2中位数与众数
20.2 数据的波动程度
20.3 课题学习 体质健康 测试中的数据分析 小结、构建知识体系、复 习题20
《二次根式》第一课时
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
（1）平方根：25的平方根是±5,3的平方根是 3 ， 0的平方根是0，-5没有平方根.
二次根式具备哪些特点？
（1）有二次根号；
（2）被开方数不能小于0.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究一：什么样的式子是二次根式？
重点知识★
活动3 牛刀小试，初步运用
1
例1.式子：
2，
，
x
16,1 二次根式 第一课时八年级数学下册课件(人教版)
例2 当x 是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？ 解：由x-2≥0，得x ≥2.
当x ≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
1 当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) a 1； (2) 2a 3；
(3) a；
(4) 5 a .
解：(1)由a－1≥0，得a≥1，所以当a≥1时， a 1 在实数范围内有意义．
当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式．
∴ -5a 不一定是二次根式．
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式．
1
1
(5)当x＝－3时，（x 3）2 无意义，∴ （x 3）2 也无意义；
1
1
当x≠－3时，（x 3）2 ＞0，∴ （x 3）2 是二次根式．
3 式子 a＋1 有意义，则实数a 的取值范围是( C )
a－2
A．a≥－1
B．a≠2
C．a≥－1且a≠2
D．a＞2
知识点 3 二次根式的“双重”非负性（a≥0， a≥0）
同时 a (a≥0)也是一个非负数，我们把这个性质叫做二次根
式的双重非负性.
例3 若 x y 1 （y 3）2 0，则x-y 的值为 ( C )
长的等腰三角形的周长是( B )
A．20或16
B．20
C．16
D．以上答案均不对
若式子
x1 ( x 3)2
有意义，则实数x 的取值范围是( B
)
A．x≥－1
B．x≥－1且x≠3
C．x >－1
D．x >－1且x≠3
本题易错在漏掉分母不为0这个条件，由题意
知x＋1≥0且(x－3)2≠0，解得x ≥－1且x≠3.
二次根式(第1课时 概念)八年级数学下册课件(人教版)
∴ x＞1.
∴ x＞-3 且 x ≠1.
∴ x ≤ 1.
归纳知识
要代数式有意义，必需满足所含式子的每个式子有意义.
1. 分式+二次根式 (1) A 1 . B (2) 1 . A
分母≠0 并且 二次根式被开数≥0 A ≥0 且 B ≠0 A >0
典例讲解
变式练习2 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
典例讲解
变式练习3 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
(1) x2 .
(2) x2 2x 1.
解：(1)由题意得
(2)由题意得
∵ 无论 x 为任何实数 x 2+2x+1 = (x+1 ) 2
x 2≥0
∵ 无论 x 为任何实数
∴ x 为任何实数.
(x+1 ) 2≥0 ∴ x 为任何实数.
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为 65 m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s) 与开始落 下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2. 如果用含有h的式子表示t， 那么t为_t_=__5h___.
探究新知
思考，上面问题中，得到的结果，思考下列问题：
解不等式②得 x ≤ 3
解不等式②得 x ≤ 3
∴ 2 ≤ x ≤ 3.
∴ x = 3.
归纳知识
要代数式有意义，必需满足所含式子的每个式子有意义.
1. 多个二次根式
每个二次根式被开数 ≥0
(1) A B N .
A 0, B 0, , C 0.
解不等式组
(2) x a a x .
八年级数学下册课件(人教版)二次根式的乘除
例3 计算：(1) 14 7； (2) 3 5 2 10；
(3) 3 x 1 xy .
3
解：(1) 14 7 14 7 72 2 72 2 =7 2；
(2) 3 5 2 10 3 2 510 6 52 2
6 52 2 6 5 2 30 2;
(3) 3 x 1 xy 3x 1 xy x2 y
二次根式的乘除
第1课时
复习提问
1.什么叫二次根式？
形如 a (a≥ 0)的式子叫做二次根式 .
2.两个基本性质:
2 a =a (a≥ 0)
a2 =∣a∣ =
a (a≥ 0) －a (a＜0)
知识点 1 二次根式的乘法法则
探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) 4 9 =_______, 4 9 =_______; (2) 16 25 =_______, 16 25 =_______;
1 下列各式计算正确的是( C )
A.
3 3 22
B.
8 2
2
C. 3 3 42
D. a a 9b 3b
2
若
1a a2
1a a
，则a 的取值范围是( D )
A．a≤0 B．a<0
C．a>0 D．0<a≤1
3 下列等式不一定成立的是( A )
A. a a ＝(b≠0) bb
B．a
3·a－5＝
(3) 2a 6a ；(4)
b 5
b 20a 2
.
解： (1) 3；
(2) 2 3;
(3) 3 ; 3
(4)2a.
2
a 3 a 3 成立的条件是( D )
a1 a1
人教版八年级数学(下)课件：16_3 二次根式的加减(第1课时)
归纳总结 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同， 则这样的二次根式可以合并. 注意：1.判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化 为最简二次根式再判断; 2.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式) 相加，根指数和被开方数(式)不变.如：
m a n a m n a
巩固练习
下列各式中，与 3 是同类二次根式的是（ D ）
解：原式 2 6 2 2 6
24
3 6 2 .
4
探究新知 考 点 3 二次根式的综合性题目
有一个等腰三角形的两边长分别为5 2,2 6 ，求其周长.
解：①当腰长为
时，
∵ 5 2 5 2 10 2＞2 6， ∴此时能构成三角形，周长为
②当腰长为
时，
∵2 6 2 6 4 6＞5 2， ∴此时能构成三角形，周长为
18 3 2 5,5 2 7.5,
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正 方形木板．
探究新知
二次根 式性质
整式加 分配律 减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 用分配 整式 二次根式 律合并 加减
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
27
33
9
巩固练习
下列计算正确的是 （ C ）
A. 2 2 2
B. 3 2 3 2
C. 12 3 3 D. 3 2 5
已知一个矩形的长为 48 ,宽为 12 ，则其周
长为__1_2__3_.
探究新知
考 点 2 二次根式的加减混合运算
计算: （1）2 12 - 6 1 3 48 ; （2）（ 12 20）（ 3 - 5）.
m a n a m n a
巩固练习
下列各式中，与 3 是同类二次根式的是（ D ）
解：原式 2 6 2 2 6
24
3 6 2 .
4
探究新知 考 点 3 二次根式的综合性题目
有一个等腰三角形的两边长分别为5 2,2 6 ，求其周长.
解：①当腰长为
时，
∵ 5 2 5 2 10 2＞2 6， ∴此时能构成三角形，周长为
②当腰长为
时，
∵2 6 2 6 4 6＞5 2， ∴此时能构成三角形，周长为
18 3 2 5,5 2 7.5,
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正 方形木板．
探究新知
二次根 式性质
整式加 分配律 减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 用分配 整式 二次根式 律合并 加减
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
27
33
9
巩固练习
下列计算正确的是 （ C ）
A. 2 2 2
B. 3 2 3 2
C. 12 3 3 D. 3 2 5
已知一个矩形的长为 48 ,宽为 12 ，则其周
长为__1_2__3_.
探究新知
考 点 2 二次根式的加减混合运算
计算: （1）2 12 - 6 1 3 48 ; （2）（ 12 20）（ 3 - 5）.
人教初中数学八年级下册 16.1《二次根式》二次根式的概念和性质课件1
通常把形如 m a(a 0)的式子也叫做二
次根式,如 3 2, 2a b2 1 等. 24
例题1 化简二次根式:
1 72; 2 12a3; 3 18x2 x 0.
注意判断根号 内字母的取值 范围，
25
例题2 化简二次根式:
1 a;
3
2 5 ;
2x
3 b2 b 0;
aa 0.
29
9a
4 a 1.
a
注意判断根号内 字母的取值范围，
26
写出下列等式成立的条件：
1 (x 2)(x 6) x 2 x 6
2 y 2 y 2
6 y 6 y
27
小结
1.掌握化简二次根式的两个基本步骤: ⑴ 将二次根式中的分母化去; ⑵ 把二次根式中所含的完全平方因式移
不要忽略 4
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
5
a2 1
3 -2
2a 1
a
a 12
你能用魔法师变出的这些代数式 作为被开方数构造二次根式吗？
6
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3
在实数范围内有意义？
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式 在实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5 ； （3） 3 x
7
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件
求此三角形的周长．
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
八年级数学人教版下册同步课件二次根式第一课时
（1） 1 ；
4 3x
解：4-3x>0,
（2） 3 x ；
x2
解：3-x≥0
解得 x 4 .
3
且x-2≠0, 解得x≤3且x≠2.
（3）
x x 1
；
解：x≥0且x+1>0，
解得x≥0.
（5） 2x2 1 ；
解：无论x取什么值， 2x2+1≥1, 故x为任意实数.
（4） x 2 ；
解：-x2=0, 解得x=0.
解：由已知，得x-3≥0, 3-x≥0， 解得x=3. ∴y=1. ∴x+y=4.
分层训练
【A 组】
1. （2020河池）若 y 2x 有意义，则x的取值范围是（
A. x＞0 B. x≥0 C. x＞2 D. x≥2
2. 下列式子中，是二次根式的是（ A ）
A. 2 B. 3 2
C. x
D. x
,,,,
.
解： ， ， 都是二次根式，因为它们都含有二次根号，且被开方数都是非负数.
∴n=2，m-n=25，
（a≥0）表示非负数a的__________________.
13. 观察下表中各式子，并回答下面的问题．
第1个
第2个
第3个
…
12 1
22 2
32 3
…
试写出第n个式子（用含n的代数式表示），这个式子一定是二 次根式吗？为什么？
解：第n个式子是 n2 n .
∵n2-n=n（n-1），n≥1， ∴n（n-1）≥0．
∴ n2 n 一定是二次根式．
【例1】，
4，
16 ，3
8 ，
1 2
x，
a2
2
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平方根是___3____
（3）5 有意义吗？为什么？ 0 呢？
（4）一个非负数a的算术平方根应表示为__a___a___0__
正数有两个平方根且互为相反数；
平方根的性质：0有一个平方根就是0；
负数没有平方根.
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
(1) a 2 , (2) 3 a , (3) 5a2 , (4) 2a 1 .
解：(1) a≥-2; (2) a≤3; (3) a为任意实数； (4) a≥ 1
2
综合应用
6.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
(1) x2 1 , (2) ( x 1)2 , (3) 1 , (4) x 1 .
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
►一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。—— 维尔斯特拉斯 ►历史使人贤明,诗造成气质高雅的人,数学使人高尚,自然哲学使人 深沉,道德使人稳重,而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根 ►在现实中,不存在像数学那样有如此多的东西,持续了几千年依然是 确实的如此美好。——苏利文确。 ►宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。J·H·京斯 ►新的数学方法和概念,常常比解决数学问题本身更重要。——华罗 庚 ►数学是无穷的科学。――赫尔曼外尔 ►上帝是一位算术家。——雅克比
负数没有算术平方根.
探索新知
思考 （1）面积为3 的正方形的边长为_____3__，面积为 S 的正方形的边长为____S___．
被开方数都大于0
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130
m2，则它的宽为___6_5__m．
被开方数可
（3）一个物体从高处自由落下，落以到是地分面数所用的
时间 t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系 h
2
(4) 5 a a≤5
若 a 1 1 a 有意义，则a的值为 1 .
解析： a-1≥0 1-a≥0
a≥1 a=1
a≤1
当a>0时， a表示a的算术平方根，因此 a>0； 当a=0时， a 表示0的算术平方根，因此 a=0. 这就是说，当a≥0时， a ≥0.
基础巩固
随堂演练
1.已知一个正方形的面积是3，那么它的边长 是 3.
解：设矩形的长宽分别是3xcm、2xcm, 由题意得2x×3x=18, 解得x1= 3 ， x2=- 3 (舍).
答：它的长取 3 3 cm，宽取 2 3 cm.
例 当x是怎样的实数时， x 2在实数范围内有意义？
解：由x-2≥0，得 x≥2
当x≥2时， x 2在实数范围内有意义.
知识点 2 二次根式有意义的条件
思考 当x 是怎样的实数时， x2在实数范围内
有意义？ x3呢？
因为x²≥0，所以x可以为任意实数. 要使x³≥0，必须x≥0 .
二次根式有意义的条件：
a有意义
a≥0
练习
当a是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
(1) a-1; a≥1 (3) a; a≤0
(2) 2a 3; a 3
2.使 x 3 有意义的x的取值范围是 x≥-3 .
3.下列各式中一定是二次根式的是( B)
A. x 1
B. ( x 1)2
C. a2 1
D. 1 x
4.二次根式
1 a
中，字母a的取值范围是(
D
)
A.a＜0
B.a≤0
C.a≥0
D.a＞0
5.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围 内有意义？
=5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则t=
h 5
．
从形式和被开方数观察，你发现这些结果 有哪些共同特征？
知识点 1 二次根式的概念 被开方数可以是非负
二次根式：
的数或单项式、多项 式、分式等
一般地，我们把形如 a( a≥0)的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号．
“2 ”中一般把根的指数2 省略，写成“ ”
x2
x 1
解：(1)x为任意实数；
(2)x为任意实数；
(3)x<2；
(4)x≥-1且x≠1.
课堂小结
二次根式的概念
二次根式有意义
的条件
形式上：形如 a 的式子
被开方数：a≥0
拓展延伸 7.求使 x 1 在实数范围内有意义的x的取值范围.
2x
解：由题意得
x 2
1 x
0, 0,
∴1≤ x <2.
第十六章 二次根式 16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
R·八年级数学下册
新课导入
你能写出下列问题的结果吗？
(1)面积为5的正方形边长是 。
(2)面积为S的正方形边长是 。
(3)圆柱的体积为V，高为5，则它的底面
圆的半径r是
。 你说出的这些结果
有什么共同特点呢？
学习目标
（1）会判断一个式子是不是二次根式. （2）会求被开方数中所含字母的取值范围.
√ √ 下列各式: a , x 1, 4, 16, 3 8, 1 x, a2 2, 2
√2 3, 1 2x ( x 1), 2 a2哪些是二次根式？哪些 2 不是？为什么？
分析： 是否含二
次根号
是
被开方数是 否为非负数
是
二次根式
否
否
不是二次根式
练习
要画一个面积为18cm2的长方形，使它的 长与宽之比为3:2.它的长、宽各应取多少？
（3）5 有意义吗？为什么？ 0 呢？
（4）一个非负数a的算术平方根应表示为__a___a___0__
正数有两个平方根且互为相反数；
平方根的性质：0有一个平方根就是0；
负数没有平方根.
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
(1) a 2 , (2) 3 a , (3) 5a2 , (4) 2a 1 .
解：(1) a≥-2; (2) a≤3; (3) a为任意实数； (4) a≥ 1
2
综合应用
6.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
(1) x2 1 , (2) ( x 1)2 , (3) 1 , (4) x 1 .
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
►一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。—— 维尔斯特拉斯 ►历史使人贤明,诗造成气质高雅的人,数学使人高尚,自然哲学使人 深沉,道德使人稳重,而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根 ►在现实中,不存在像数学那样有如此多的东西,持续了几千年依然是 确实的如此美好。——苏利文确。 ►宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。J·H·京斯 ►新的数学方法和概念,常常比解决数学问题本身更重要。——华罗 庚 ►数学是无穷的科学。――赫尔曼外尔 ►上帝是一位算术家。——雅克比
负数没有算术平方根.
探索新知
思考 （1）面积为3 的正方形的边长为_____3__，面积为 S 的正方形的边长为____S___．
被开方数都大于0
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130
m2，则它的宽为___6_5__m．
被开方数可
（3）一个物体从高处自由落下，落以到是地分面数所用的
时间 t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系 h
2
(4) 5 a a≤5
若 a 1 1 a 有意义，则a的值为 1 .
解析： a-1≥0 1-a≥0
a≥1 a=1
a≤1
当a>0时， a表示a的算术平方根，因此 a>0； 当a=0时， a 表示0的算术平方根，因此 a=0. 这就是说，当a≥0时， a ≥0.
基础巩固
随堂演练
1.已知一个正方形的面积是3，那么它的边长 是 3.
解：设矩形的长宽分别是3xcm、2xcm, 由题意得2x×3x=18, 解得x1= 3 ， x2=- 3 (舍).
答：它的长取 3 3 cm，宽取 2 3 cm.
例 当x是怎样的实数时， x 2在实数范围内有意义？
解：由x-2≥0，得 x≥2
当x≥2时， x 2在实数范围内有意义.
知识点 2 二次根式有意义的条件
思考 当x 是怎样的实数时， x2在实数范围内
有意义？ x3呢？
因为x²≥0，所以x可以为任意实数. 要使x³≥0，必须x≥0 .
二次根式有意义的条件：
a有意义
a≥0
练习
当a是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
(1) a-1; a≥1 (3) a; a≤0
(2) 2a 3; a 3
2.使 x 3 有意义的x的取值范围是 x≥-3 .
3.下列各式中一定是二次根式的是( B)
A. x 1
B. ( x 1)2
C. a2 1
D. 1 x
4.二次根式
1 a
中，字母a的取值范围是(
D
)
A.a＜0
B.a≤0
C.a≥0
D.a＞0
5.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围 内有意义？
=5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则t=
h 5
．
从形式和被开方数观察，你发现这些结果 有哪些共同特征？
知识点 1 二次根式的概念 被开方数可以是非负
二次根式：
的数或单项式、多项 式、分式等
一般地，我们把形如 a( a≥0)的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号．
“2 ”中一般把根的指数2 省略，写成“ ”
x2
x 1
解：(1)x为任意实数；
(2)x为任意实数；
(3)x<2；
(4)x≥-1且x≠1.
课堂小结
二次根式的概念
二次根式有意义
的条件
形式上：形如 a 的式子
被开方数：a≥0
拓展延伸 7.求使 x 1 在实数范围内有意义的x的取值范围.
2x
解：由题意得
x 2
1 x
0, 0,
∴1≤ x <2.
第十六章 二次根式 16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
R·八年级数学下册
新课导入
你能写出下列问题的结果吗？
(1)面积为5的正方形边长是 。
(2)面积为S的正方形边长是 。
(3)圆柱的体积为V，高为5，则它的底面
圆的半径r是
。 你说出的这些结果
有什么共同特点呢？
学习目标
（1）会判断一个式子是不是二次根式. （2）会求被开方数中所含字母的取值范围.
√ √ 下列各式: a , x 1, 4, 16, 3 8, 1 x, a2 2, 2
√2 3, 1 2x ( x 1), 2 a2哪些是二次根式？哪些 2 不是？为什么？
分析： 是否含二
次根号
是
被开方数是 否为非负数
是
二次根式
否
否
不是二次根式
练习
要画一个面积为18cm2的长方形，使它的 长与宽之比为3:2.它的长、宽各应取多少？