第2讲曲线运动的描述

1.2平面曲线运动的描述

质点的运动总是要经过一定的轨道. 曲线运动

是常见的运动形式.

本节只研究平面曲线运动.

描述质点的曲线运动，就是要找出质点在曲线运动过程中的位置、速度、加速度及运动方程等的数学表示形式。

1 ［平面］自然坐标系

在曲线上任意选一个点作为原点，沿着曲线建立 一个弯曲的坐标轴，并沿着曲线指定一个正方向

单位矢量

/沿轨道切线，指向运动的一方. 血指向曲线的凹侧异丄亍・

P 点的位置不同，二者的方向往往

（人为的, 随意的），这样就建立了自然坐标系.

分,〒不是恒矢量.

J,

dt 5

dt

不同.

2质点的位置

位置坐标用距离原点的弧长表示，S = 0P

位置坐标可正可负.

位置是时间的函数:s =s(t)

然坐标系下的运动学方程

自然坐标系中，速度仅有切向分量

3质点的速度

A —0时

O |Ar ］二 Av

o

△戸的方向趋向于Pi 点、的切线方向

Asf ds , -

lim ——r = vr v = lim —= & Ar->0 & dt

ds

v =— dt

自然坐标系

直角坐标系

V

2

P

4质点的加速度

t 时刻：必t+At 时刻：v 2

AC 上截取AD=AB,连接BD ・

△0 =巧-习=Av ;+Av r

当△/—()时，△〃—(),则 ZA

〃

D T 90

。 沿着P I 点的法向

Av z = | Av ( | h = v/\3n

(△0 T 0 => |Av (=片△&, v = v (=习)

当△/—0时，△耳与习方向相同

Av r = |Av r | T = Avf

△ /TO 时，△必是速度增量的切向分量，由速度大小变化引

起。 △%是速度增量的法向分量，由速度方向变化引起。

△0

V

1

，

Pl

B

R

V

2

C Av °2

dv 八 dO 八 =——r + v — n

dt / dt “ Av “ u △& 八 =lim ——T + lim ----- n △・o Ar “T° A? Av r a = lim 竺=lim 2211

- + lim

△f ->0 Az &T° A? &T° ZV

自然坐标系s = sd 直角坐标系

/\

八

c

r = x(t)i + y(t) j + z(t)k

->

切向加速度

tangential acceleration

法向加速度

normal acceleration

c a

d_s . v . =—r^+一n

<-

dt 2

R

dv . v 2

. =——T +——n — dt R 'd 。_

dO ds _

----- --------- — ---------

.dt ds dt R y

"是速度大小

a dv d s

ct n —— “ R

加速度的方向总是指向曲线凹进去的一侧•

+小;

V

对于作曲线运动的物体，以下几种说法正确的是:

(A)切向加速度必不为零；

☆ (B)法向加速度必不为零(拐点处除外);

(C)由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，此法向加速度必为零；

(D )若物体作匀速率运动，其总加速度必为零;

(E)若物体的加速度&为恒矢量，它一定作匀变速率运动•

例题1 一球以30m・s-i的速度水平抛出，试求5s 钟后加速盧的切向分量和法向分量。

解：由题意可知，小球作平抛运动，运动方程为

1 2

兀y = 2gt

速度在坐标轴上的分量为

dx d z、

v =^ = —(-gZ2) = gt

y dt dt 2

时刻速度的大小为

= J"j+(加彳

且互相垂直， 则法向加速度为:

刖0

（如

代入数据，得

9.82

x 5

"厂=~I

V302

+（9.8X 5）2

t 时刻切向加速度的大小为 例题2质点在oxy 平面內运动，其运初方程为 r = 2ti +(19 — 2尸)j m 求:⑴质

点的轨迹方程；

切向加速度与法向加速度满足关系 =8.36m ・

(2)在t x=l.OOs到t2=2・00s时间内的平均

速；

(3)t1=l.OOs时的速度及切向和法向加速度.

— 2/

解：⑴由参数方程|尹=]9_2严

消去/得质点的轨迹方程：y = 19-0.5%2

(2)在g=ls到2=2s时间内的平均速度

—

(3)质点在任意时刻的速度和加速度分别为: 则店Is 时的速度为：v=2z-4y

切向和法向加速度分别为:

色=Ja 2 - a ； - 1.79m • s -2

一 dr v =—— dt

=2? — 4tj -6?V a — dt = -4j