内积与标准正交基
已知标准正交基求内积
已知标准正交基求内积内积是线性空间的一种运算，表示向量之间的乘法运算。
在标准正交基的情况下，内积的计算可以简化为向量的坐标之间的乘积和的形式。
本文将介绍什么是标准正交基，并给出求解内积的公式和示例。
首先，我们需要了解标准正交基的概念。
在n维线性空间中，如果一个向量组S={v1, v2, ..., vn}满足以下条件：1. 向量组中的各向量长度都为1，即||vi||=1，其中i=1,2,...,n；2. 向量组中的任意两个不同的向量互相正交，即vi⋅vj=0，其中i≠j；那么，这个向量组S就是标准正交基。
对于标准正交基中的向量vi和vj，我们可以用它们的坐标表示为Vi=[xi1, xi2, ..., xin]和Vj=[xj1, xj2, ..., xjn]。
此时，向量vi⋅vj的计算可以简化为它们坐标之间的乘积和：vi⋅vj = xi1 * xj1 + xi2 * xj2 + ... + xin * xjn下面，我们来看一个求解内积的例子。
假设有一个三维线性空间，其标准正交基为{v1, v2, v3}，其中：v1 = [1, 0, 0]v2 = [0, 1, 0]v3 = [0, 0, 1]现在，我们要计算向量a = [2, 3, 4]和向量b = [5, 6, 7]的内积。
首先，我们需要将向量a和向量b分别表示为标准正交基中的坐标形式：a = 2 * v1 + 3 * v2 + 4 * v3 = 2 * [1, 0, 0] + 3 * [0, 1, 0] + 4 * [0, 0,1] = [2, 3, 4]b = 5 * v1 + 6 * v2 + 7 * v3 = 5 * [1, 0, 0] + 6 * [0, 1, 0] + 7 * [0, 0, 1] = [5, 6, 7]然后，我们将两个向量的坐标逐一相乘并求和，即可得到内积的结果：a⋅b = 2 * 5 + 3 * 6 + 4 * 7 = 10 + 18 + 28 = 56因此，向量a和向量b的内积为56。
四规范正交基(标准正交基)
例2 设
1 1 4 1 2 , 2 3 , 3 1 , 1 1 0
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。 解 取
b1 1;
1 b1 1 e1 2 b1 6 1
b2 e2 b2
1 1 1 3 1
b3 3
3 , b1 b 3 , b2 b
b1
2 1
b2
2
2
4 1 1 1 1 5 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1
e3
0 0 1 2 1 2
0 0 1 e4 2 1 2
由于 所以
e
i
,e j
1 0
i j i j
(i,j=1,2,3,4)
e1 ,e2 ,e3 ,e4
1 b2 1 则e2 2 b2 2 1
1 2 取b2 2 2 , e1 e1 1 1 2
3 再把 α31
1 0 它的基础解系为 1 0 , 2 1 1 1
令 1 1 , 2 2 ,
则 α3 与α1,α2 正交,显然α1与α2 线性无关,
施密特标准正交化.
因此可用
1 b1 1 取b1 = α1 , 则e1 0 , b1 2 1
b2 2 2 , e1 e1
b1 b1 2 2 , b1 b1
2
内积空间的标准正交基与施密特正交化
内积空间的标准正交基与施密特正交化在线性代数中，内积空间是一种具有内积运算的向量空间。
内积空间的一个重要性质是存在标准正交基，也可以通过施密特正交化方法得到正交基。
本文将介绍内积空间的标准正交基及施密特正交化方法，并分析它们在向量计算和应用中的重要性。
一、内积空间的标准正交基在内积空间中，向量的内积运算满足线性性、正定性和对称性等性质。
一个向量空间的标准正交基是指基向量两两正交且长度为1的基向量组。
对于内积空间中的任意两个不同的标准正交基，它们之间的过渡矩阵是正交矩阵。
为了构造内积空间的标准正交基，可以使用Gram-Schmidt正交化过程。
设V是一个内积空间，有n个线性无关的向量v1, v2, ..., vn，我们可以通过以下递推公式构造一个标准正交基：u1 = v1 / ||v1||u2 = (v2 - proj(v2, u1)) / ||(v2 - proj(v2, u1))||...un = (vn - proj(vn, u1) - proj(vn, u2) - ... - proj(vn, un-1)) / ||(vn - proj(vn, u1) - proj(vn, u2) - ... - proj(vn, un-1))||其中，proj(v, u)表示向量v在向量u上的投影。
通过Gram-Schmidt正交化过程，我们可以将任意线性无关的向量组转化为一个标准正交基。
标准正交基在计算和解决向量空间相关问题时非常有用，可以简化计算过程并提高计算效率。
二、施密特正交化方法施密特正交化是一种将线性无关的向量组转化为正交向量组的方法，并不要求正交向量组是标准正交基。
施密特正交化方法在实践中非常常用，特别是在信号处理、图像处理等领域。
给定一个向量空间V和线性无关向量组v1, v2, ..., vn，施密特正交化过程可以通过以下递推公式实现：u1 = v1u2 = v2 - proj(v2, u1)...un = vn - proj(vn, u1) - proj(vn, u2) - ... - proj(vn, un-1)在施密特正交化过程中，我们首先将第一个向量保持不变。
矩阵论练习16（内积与标准正交基）
a. \(\beta_1=\alpha_1=1\) b. \(\\alpha_2,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1 = x\) c. \(\beta_3=\alpha_3 - \frac{<\alpha_3,\beta_2>}{<\beta_2,\beta_2>}\beta_2 - \frac{<\alpha_3,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1 = x^2 - \frac{1}{3}\)
由以上步骤可以看出，内积的定义决定了什么样的基是正交基，同时内积的定义方式也影响向量的长度。
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矩阵论练习 16（内积与标准正交基）
题目
在 \(V=R_3[x]\) 中定义内积：\(<f(x),g(x)>=\int_{-1}^1 f(x)g(x)dx\)，求 \(V\) 的一组标准正交基。
解答
思路：先找出一组基，再 Schmidt 正交化，然后再标准化即可。
上面省略中间计算步骤，比如要求 \(<\alpha_2,\beta_1>\)， \(<\alpha_2,\beta_1>=\int_{-1}^1 (x\cdot 1) dx=0\).
3. 标准化 a. \(\gamma_1 = \frac{\beta_1}{\| \beta_1 \|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) b. \(\gamma_2 = \frac{\beta_2}{\| \beta_2 \|}=\sqrt{\frac{3}{2}}x\) c. \(\gamma_3 = \frac{\beta_3}{\| \beta_3 \|}=\sqrt{\frac{45}{8}}(x^2-\frac{1}{3})\) 其实就积分，要算 \(\| \beta_1 \|\), \(\| \beta_1 \|=\sqrt{<\beta_1,\beta_1>}=\sqrt{\int_{-1}^1 (1\cdot 1)dx}=\sqrt{2}\) 其余计算这里就不计算了。
标准正交基
标准正交基一、标准正交基的定义及相关概念1、欧几里得空间：设V 实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（βα,），它具有以下性质： （1）(βα,）=(αβ,); （2）(k βα,)=k(βα,);（3）(γβα,+)=(γα,)+(γβ,);（4）(αα,)>=0，当且仅当α=0时，(αα,)=0;这里，γβα,,是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间，简称欧氏空间。
2、正交向量组：欧式空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。
3、标准正交基：在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
二、标准正交基的相关性质1、正交向量组的性质：（1）正交向量组是线性无关的。
证明：设m ααα,...,,21是一正交向量组，m k k k ,...,,21是m 个实数，且有： 0...2211=+++m m k k k ααα用i α与等式两边作内积，得：0),(=i i i k αα由0≠i α，有0),(>i i αα，从而：0=i k ),...,2,1(m i = 命题得证。
（2）单个非零向量组成的向量组是正交向量组。
（3）在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。
（如：在平面上找不到三个两两垂直的非零向量，在空间中找不到四个两两垂直的非零向量。
）2、标准正交基的性质：（1）若n εεε,...,21是一组标准正交基，则：⎩⎨⎧≠==.,0;,1),(j i j i j i εε 证明：j i =时，由单位向量定义：1),(=j i εε，1),(=∴j i εεj i ≠时，由正交向量定义：0),(=j i εε 命题得证。
（2）对一组正交基单位化就得到一组标准正交基。
例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212100,212100,002121,0021214321e e e e由于⎪⎩⎪⎨⎧====≠=).4,3,2,1,;(,1),(),4,3,2,1,;(,0),(j i j i e e j i j i e e ji j i所以4321,,,e e e e 是4R 的一组标准正交基。
内积空间的标准正交基
线性无关性的证明可以通过构造一个行列式来证明，该行列式的值等于所有线性组合系数的乘积，如 果该行列式的值为零，则说明存在一组不全为零的实数，使得线性组合等于零向量，从而证明了线性 无关性。
03 标准正交基的构造方法
正交化过程
01
选取一组线性无关的向量作为初始基底。
02
通过正交化过程，将这组线性无关的向量转化为正交向量组。
内积空间的标准正交基
目录
• 引言 • 标准正交基的性质 • 标准正交基的构造方法 • 标准正交基的应用 • 标准正交基的例子
01 引言
什么是内积空间
交换律
01
x·y=y·x
分配律
02
z·(x+y)=z·x+z·y
非负性
03
x·y≥0
内积空间的标准正交基的定义
• 标准正交基是指由单位向量组成的向量组，这些单位向量两两正交，即它们的点积为0。对于一个内积空间，如果存在一组 线性无关的向量，它们两两正交并且模长为1，那么这组向量就构成了该内积空间的标准正交基。
VS
描述
这n个基向量是正交的，即它们的内积都为 0。同时，它们的模都为1，即对于每一个 基向量，其各分量平方和都等于1。
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正交性
两两正交
标准正交基中的向量两两正交，即对于任意两个不同的向量$e_i$和$e_j$，如果$i neq j$，则$e_i cdot e_j = 0$。
正交化过程
在构造标准正交基时，需要先选择一组线性无关的向量，然后通过正交化过程将 它们转化为正交基。
基的唯一性
唯一性定理
对于同一个内积空间，如果存在两个不同的标准正交基，则 这两个基之间可以通过一个可逆线性变换相互转化。
线性代数-N维向量空间-第5节-标准正交基
n
[, ] = i=1aibi = T.
第四章 n维列向量空间
2. 内积的基本性质
(1) 对称性: [, ] = [, ];
§ 4.5 内积与正交矩阵
(2) 线性性: [k11+k22,] = k1[1, ]+k2[2,];
(3) [, ] 0; 且[, ] = 0 = 0 .
(3) 三角不等式(Triangle Inequality):
| +| |||| + ||||.
第四章 n维列向量空间
§ 4.5 内积与正交矩阵
5. 长度为1的向量称为单位向量(unit vector).
对于非零向量, ||||1是一个单位向量.
——单位化/标准化(normalize).
(i,j1,2,
i j
,n),
故Ae1，Ae2，…，Aen也是一个标准正交组.
第四章 n维列向量空间
§4.5 内积与正交矩阵
§4.5 内积与正交矩阵
一. Rn中向量的内积, 长度和夹角
1. 设 =(a1, a2, …, an)T, =(b1, b2, …, bn)T,
则称实数
n
i=1aibi
为向量
与
的内积
(inner/dot/scalar product).
记为[, ], 即
(4) (Cauchy-Schwartz Inequality) |[, ]| [, ] [, ].
考察y = [, ]x2 + 2[, ]x + [, ].
n
=
i=1
(xai
+
bi)2
0
5.3 n维向量空间的正交化
返回
1. 定义 若实矩阵 A 满足 AAT=ATA=I ,则称 A 则称 为正交矩阵 . 2. 性质
(1) A = A , (2) A = A = I =1.
T T 2
正交矩阵的乘积也是正 交矩阵. T T T T 设 A A = AA = I B B = BB = I , 则
β1 = (β1 , β1 )
4 4 1 = (α1 , α1 ) + (α2 , α2 ) + (α3 , α3 ) = 1 , 9 9 9 同样 ，β2 = β3 = 1 .
α2 = X1 = (1, 0, − 1) , ( X2 , α2 ) 1 α3 = X2 − α2 = (0, 1, − 1) − (1, 0, − 1) (α2 , α2 ) 2
1 = (− 1, 2, − 1) . 2
返回
将 X1 , X2 正交化：
例4 将 α1 = (1, 1, 1) , α2 = (1, 2, 1) ,α3 = (0, − 1, 1) 标准正交化. 解 设 β1 = α1 = (1, 1, 1), 4 (α2 , β1 ) β2 = α2 − β1 = (1, 2, 1) − (1, 1, 1) 3 (β1 , β1 )
是 Rn 的标准正交基 .
1 1 1 1 0 0， ，3 = (0， 0) 1 α1 = ，， ，2 = − ， α α ， 2 2 2 2 3 是 R 的标准正交基 .
返回
α1 , α2 ,L,αs 满足： (1) (αi , α j ) = 0 , (i ≠ j, αi ≠ 0, α j ≠ 0) (2) αi = 1, (i = 1, 2,L, s) ( α Lα 则称α1， 2， ， s 为标准 规范)正交向量组.
数值分析(03)内积空间与内积空间中的正交系
b
a
f ( x ) dx ) ( g ( x ) dx )
2 a
2
1 2
b
1 2
思考 : ( f , g ) ( x ) f ( x ) g( x )dx 写出Cauchy Schwarz不等式的表达形式.
数值分析
数值分析
用内积范数表示 Schwarz不 等 式 的 形 式 是 ( , )
数值分析
数值分析
由Schwarz不 等 式, 当 , 不 是 零 向 量 时 ( , )
1,
即
1
( , )
1
定义 V 定义2-15 内 积 空 间 中 任 意 两 个 向 量 和 的 夹 角
arccos
( , )
， 且 [0, ]
x, x
2 2 2 x1 x 2 x n ,
称 x 为 n 维向量 x 的内积范数 .
(2) x R n , A为n阶对称正定矩阵, x的A范数定义为 x
A
xT Ax
i , j 1
xa
i
n
ij
xj
特别，A为n阶对角阵, x的A范数,定义为 x
A
x T Ax
(1) R 中, x , y R ,
n n
( x, y)
x y
i 1 i
n
i
( x i ) ( yi ) x y
i 1 i 1
n
1 2 2
n
1 2 2
(2)C [a , b]中, f ( x ), g( x ) C [a , b]
线性代数 第五章 向量空间
称为n元向量空间。
,an P
向量空间---基和维数
向量空间V中若向量组 1 ,2 , ,k 为极大
向 线性无关组，则称其为向量空间V的一组基
量 维数：基中所含向量的个数，dimV k.
空 Pn 的基和维数：由n个n元向量组成的极大
间
线性无关组。故基不唯一。
1,2, ,n , i 0,0, ,1, ,0T
m2 n 2
mn1n , mn2n ,
m11
M=
m21
mnnn .
mn1
m12 m22
mn2
m1n
m2
n
mnn
1 2
n 1 2
n M
M称为基(I)到基(II)的过渡矩阵。（M可逆？）
向量空间---过渡矩阵
(I ) 1,2, ,n; (II) 1, 2, , n 是 Pn
间
Байду номын сангаас
k31 3 , 1 / 1, 1 ; k32 3 , 2 / 2 , 2 ;
3 3
3 , 2 2 , 2
2
3, 1 1, 1
1.
向量空间---作业
向 P139 6 量 P142 3(1), 3(2) 空 P147 6,7
, , , ;
, 0, 且 , 0 O.
, , 是 Rn 中任意向量，k为任意实数。
向量空间---内积和标准正交基
向量的长度：|| || ,
向
单位向量： || || 1
向 的两组基，向量 在基(I)、(II)的坐标分
5-1向量的内积、长度及正交性
定义 5 若 n 阶方阵 A 满足 ATA=E，则 A 为正交矩阵. 根据定义，容易证明如下正交矩阵的性质：
设 A, B 皆为 n 阶正交矩阵，则 ① A1 AT ; ② A1(即 AT) 也是正交矩阵； ③ AB 也是正交矩阵； ④ A 1或1;
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定理 4 A为 n 阶正交矩阵的充要条件是：A 的列向量 组是正交单位向量组.
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例3
1
1
4
设 R3 的一组基为 1 2 , 2 3 , 3 1
1
1
0
用施密特正交化方法将这组基规范正交化.
解 首先将 1,2,3 正交化：
取
1 2
1;
2
[ 2 [1
, ,
1 1
] ]
1
1 3 1
4 6
1 2 1
5 / 3 5 / 3 ; 5 / 3
(向量间的夹角不变)
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四、小结
1. 施密特正交化方法：由一组线性无关的非零向量 组，通过特定的线性运算，构造出一组正交单位 向量组. (注意正确顺序是先正交化、再单位化) 利用施密特正交化方法，可将向量空间的基规范 正交化.
2. 下列条件等价: (1) A 为 n 阶正交矩阵； (2) AT A E 或 AAT E; (3) A1 AT ; (4) A 的列向量组(或行向量组)是正交单位向量组； (5) A 的列向量组(或行向量组)是 Rn 的规范正交基.
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设 k11 k22 ks s O (*)
证明 1，2， ， s 线性无关，就是要证明上式中的组
合系数 ki (i 1,2, , s)必须全为零.
内积空间的标准正交基
( ml2 sin 2
E e2 )
4 0r
)
r2
0 ]R
0
Pn (x)
2 k 0
(1)k
(2n 2k)! 2n k!(n k)!(n
2k )!
xn2k
Pn ( x)
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
为勒让德多项式的级数表示．
注意到 x cos , 故可方便地得出前几个勒让德多项式:
P0 (x) 1
P1(x) x cos
P2 (x)
k 1
定理2.4.6 若（en）是内积空间X的标准 正交系，M = Span {e1, e2, … , en }， x ∈ X，对任意的 m 维数组（ α1, α2 , … , αn）有
m
m
x kek x x,ek ek
k 1
k 1
2.4.3 内积空间的标准正交基 定义2.4.7（内积空间的完全标准正交系或 标准正交基）
x∈X，级数
m
x0 x, ei ei
i 1
是 x 在M上的正交投影。
而且有：
m
x0 2 x, ei 2
i 1
x x0 2 x 2 x0 2
定理2.4.5 若（en）是内积空间X（无穷维 的）的标准正交系， x ∈ X，则有下列贝 塞尔不等式成立：
x, ek 2 x 2
中的标准正交基，则任意的 x ∈ X 都可 以
表示为
x x, ek ek
k 1
定义（完备的） 设（en）是内积空间X 中的标准正交系，如果对于每一个x∈X，
帕塞法耳等式
x 2 x, ek 2
k 1
恒成立，则称（en）是完备的。
内积及标准正交基
2当 x 0, y 0时, arccos(x, y)
xy 称为向量x与y的夹角。
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念
当(x, y) 0时,称向量x与y 正交 .
由定义知,若 x 0,则 x 与任何向量都正交. ２ 正交向量组的概念
2 1
22 1 1
2 1
P
2 1
2
0
2 1 2
0
2 0 1
2 0
是正交矩阵.
1
2 2
解 P的每个列向量都是单位向量,且两两正交,
所以P是正交矩阵.
６ 求规范正交基的方法
设1 , 2 ,, r是向量空间V的一个基,要求V
的一个规范正交基,就是要找一组两两正交的单
位向量e1 ,e2 ,,er ,使e1 ,e2 ,,er与1 , 2 ,, r等
同理可得2 r 0. 故1,2 ,,r线性无关.
４ 向量空间的正交基
若1,2 ,,r是向量空间V的一个基,且1,2 ,
,
是两
r
两正交
的非
零向量组,
则
称
1
,
2
,,
是
r
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
1
正交，试求 3 使1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交
证明 A AT E
a11
a21
a12
a22
a1n a11 a2n a12
已知标准正交基求内积
已知标准正交基求内积内积是线性代数中一个非常重要的概念，它常常被用来衡量向量之间的夹角和长度。
在笛卡尔坐标系中，我们可以使用内积来计算向量的长度、夹角以及向量的投影等。
标准正交基是由单位向量组成的一组基，其中每个向量都与其他向量垂直。
假设有一组标准正交基{v₁, v₂, …, vₙ}，其中vᵢ与vₙ垂直（i ≠ j），那么任意向量v可以表示为以下形式的线性组合：v = a₁v₁ + a₂v₂ + … + aₙvₙ其中a₁, a₂, …, aₙ是向量v在标准正交基下的坐标。
我们可以使用内积的性质来计算向量的坐标以及向量之间的夹角。
内积满足以下性质：1. 对称性：对于任意向量a和b，有a·b = b·a2. 线性性：对于任意向量a、b和标量c，有(a + b)·c = a·c + b·c3. 分配性：对于任意向量a、b和c，有(a + b)·c = a·c + b·c利用这些性质，我们可以计算标准正交基向量之间的内积。
由于标准正交基的向量是彼此垂直的，所以除了与自己的内积为1外，与其他基向量的内积都为0。
具体来说，对于标准正交基{v₁, v₂, …, vₙ}，当i ≠ j时，有vᵢ·vₙ = 0，当i = j时，有vᵢ·vᵢ = 1。
利用标准正交基向量内积的性质，我们可以计算任意向量在标准正交基下的坐标。
考虑一个向量v与标准正交基{v₁, v₂, …, vₙ}，我们希望求解向量v的坐标a₁, a₂, …, aₙ。
根据内积的性质，可以得到以下计算公式：v·vᵢ = (a₁v₁ + a₂v₂ + … + aₙvₙ)·vᵢ = a₁(v₁·vᵢ) + a₂(v₂·vᵢ)+ … + aₙ(vₙ·vᵢ)由于标准正交基向量是彼此垂直的，所以只有当i = j时，内积vᵢ·vₙ = 1，否则为0。
怎么求标准正交基
怎么求标准正交基首先，我们需要明确什么是标准正交基。
在一个内积空间中，如果向量集合中的任意两个向量的内积为0，且每个向量的模长为1，那么这个向量集合就是一个标准正交基。
标准正交基的优点在于它的向量之间相互垂直，且模长为1，这样的基可以更方便地进行向量运算和表示，因此在实际问题中有着重要的作用。
接下来，我们来讨论如何求标准正交基。
一种常用的方法是施密特正交化方法。
给定一个线性无关的向量组，我们可以通过施密特正交化方法将这个向量组变换成一个标准正交基。
具体的步骤如下：假设有向量组{v1, v2, ..., vn}，首先令u1=v1，然后令u2=v2-投影(u1,v2)u1，再令u3=v3-投影(u1,v3)u1-投影(u2,v3)u2，以此类推，依次求出u1,u2,...,un，最后再将每个向量单位化即可得到标准正交基。
除了施密特正交化方法之外，还可以利用矩阵的特征值和特征向量来求标准正交基。
给定一个对称矩阵A，我们可以通过求解A的特征值和特征向量来得到标准正交基。
具体的步骤是先求解A的特征值和对应的特征向量，然后将特征向量单位化，最终得到标准正交基。
另外，还有一种常用的方法是利用正交矩阵来求标准正交基。
对于一个正交矩阵Q，它的列向量就构成了一个标准正交基。
因此，我们可以通过构造一个正交矩阵来得到所需的标准正交基。
总的来说，求标准正交基是线性代数中的一个重要问题，它有着广泛的应用。
在实际问题中，我们可以通过施密特正交化方法、特征值和特征向量、正交矩阵等方法来求解标准正交基。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
线代第五章(1)向量的内积、长度及正交性
(3) 三角不等式
|| x + y || ≤ || x || + || y ||.
当 || x || = 1 时, 称 x 为单位向量. 向量的内积满足施瓦茨不等式 [ x, y ]2 ≤ [ x, x ][ y, y ] , 由此可得
定义 3 设 n 维向量 e1 , e2 , · , er 是向量空 · ·
间V( V Rn ) 的一个基, 如果 e1 , · , er 两两正交, · ·
且都是单位向量, 则称 e1, · , er 是 V 的一个规范 · ·
正交基.
14
例2 设
1 1 5 1 2 1 4 2 a1 , a2 , a3 , a4 3 3 1 1 1 0 0 14
向量组 b1 , · , br 的过程称为施密特(Schimidt) · ·
· · · · 正交化过程. 它不仅满足 b1 , · , br 与 a1, · , ar
等价, 还满足对任何 k (1 ≤ k ≤ r), 向量组 b1 , · , · ·
bk 与 a1 , · , ak 等价. · ·
23
1 1 5 2 1 4 a1 , a2 , a3 , 3 1 1 1 0 0
试求一个非零向量 a4 , 使 a1, a2, a3, a4 两两正交.
容易验证 b1 , · , br 两两正交, 且 b1 , · , br 与 · · · · a1 , · , ar 等价. · · 然后只要把它们单位化, 即取
内积空间中施密特方法求正交基
内积空间中施密特方法求正交基嘿，咱今天就来唠唠内积空间中施密特方法求正交基这档子事儿！你想想啊，这内积空间就像是一个神秘的大舞台，里面的向量们就像是一群各具特色的演员。
而我们要找的正交基呢，那就是这个舞台上最闪亮、最独特的那一组演员，它们相互之间笔直挺立，谁也不干扰谁。
施密特方法呢，就像是一个神奇的魔法棒，能把那些原本可能有点歪歪扭扭的向量们给变端正喽！它能让这些向量一个个都变得规规矩矩，相互正交。
比如说，咱有一组向量，它们就像一群调皮的小孩子，东倒西歪的。
可一旦我们拿起施密特魔法棒，嘿，奇迹就发生啦！这些向量就会被慢慢调整，变得整整齐齐，互相垂直。
这就好像是我们在整理房间，把那些乱七八糟的东西都归置得井井有条。
原本这里一个角落堆着东西，那里一个角落又有别的，乱糟糟的。
但经过我们精心整理后，一切都变得那么有序，让人看着就舒服。
那具体咋操作呢？哎呀，其实也不难啦！就是一步一步地按照规则来。
先挑出一个向量，把它当作宝贝一样对待，然后再处理其他的向量，让它们跟这个宝贝向量保持垂直。
就这么一点点地弄，最后就能得到我们梦寐以求的正交基啦！你说这神奇不神奇？这施密特方法简直就是数学世界里的大救星啊！它让我们能在复杂的内积空间里找到那片宁静的正交之地。
你再想想，如果没有这个方法，那我们得多头疼啊！面对那些杂乱无章的向量，简直就是无从下手。
但有了施密特方法，一切都变得那么简单明了。
咱学数学不就是这样嘛，一点点地去探索，去发现那些隐藏在深处的奥秘。
内积空间中施密特方法求正交基就是这样一个有趣又有用的玩意儿，它能让我们在数学的海洋里畅游得更畅快！所以啊，大家可千万别小瞧了这个施密特方法，它可是有着大本事的呢！好好去研究研究，你就会发现其中的乐趣和奇妙之处。
相信我，一旦你掌握了它，你就会像找到了宝藏一样开心！别犹豫啦，赶紧去试试吧！。
向量的内积、正交性
2 2 2 x1 x2 x3 [ x , x ]
向量的长度 定义：令
|| x || [ x , x ]
2 2 2 x1 x2 xn
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质：
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
回顾：线段的长度
P(x1, x2)
x2
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
若令 x = (x1, x2)T，则
| OP |
2 2 x1 x2 [ x , x ]
O
x1
P 若令 x = (x1, x2, x3)T，则 x3 x2 x1 O
|| e1 || [e1 , e1 ] 1
从而 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个规范正交基．
1 1 4 例：设 a1 2 , a2 3 , a3 1 ，试用施密特正交化 1 1 0 过程把这组向量规范正交化．
x1 x 3 得 x2 0
1 1 从而有基础解系 0 ，令 a3 0 ． 1 1
定义： n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 V R n中的向量， 满足 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1, e2, …, er 两两正交； e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基．
说明：
• 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数． • 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y ．
1-CH4-d1d2欧氏空间及内积标准正交基(经济类)
例2 在R3中,向量 与 如图所示
2
3
求:两向量的内积
解: , cos(, )
3 2cos =3 3
3 上页 下页 返回9
一、向量的内积-- 3、向量的夹角
例3:
已 知向量
3
与向量
2
内积为2,且
计算内积: ,2
解: 由内积的性质 得:
,2
1
,
2
1
1 , 2
, 2
1
2
1
,
, 1 ,
1
2 , ,
1
1
1
,
2 , 1
1
1
,
=0
12
,
11
11
同理可验证;
,
1
3
0
, 0
3
2
所以向量组 , , 是正交的
1
2
3
上页 下页 返回17
例4 已知R 3中的一组基为
1
1
1
1
1
2
0
1
1
3
1
0
求R 3的一个与基1，2， 3等价的标准正交基。
3.等量减等量，其差相等；4.彼此能重合的物体全等； 5.整体大于部分。 五条公设: 1.过两点能作且只能作一直线； 2.线段(有限直线)可以无限地延长； 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆； 4.凡是直角都相等； 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同 侧的两个内角和小于180°,则这两条直线经延长后在这一侧一定相 交。
2
1 2 1 2 0
0
0
0
1
=E
2
1
2
怎么求标准正交基
怎么求标准正交基首先，我们需要了解标准正交基的定义。
在一个内积空间中，如果向量集合中的向量两两正交且归一化，即它们之间的内积为0且它们的模为1，那么这个向量集合就是标准正交基。
接下来，我们来介绍一种求解标准正交基的常用方法——施密特正交化方法。
假设我们有一个线性无关的向量组{v1, v2, ..., vn}，我们可以通过施密特正交化方法将它们变换成一个标准正交基。
首先，我们取向量组中的第一个向量v1，对它进行归一化处理，即得到第一个标准正交基e1。
然后，我们取向量v2，将它在e1上的投影减去，得到一个新的向量，然后对这个新的向量进行归一化处理，得到第二个标准正交基e2。
依此类推，对于向量组中的每一个向量，都可以通过这种方法得到一个标准正交基。
施密特正交化方法的关键在于对向量的投影和归一化处理，通过这种方法，我们可以将任意线性无关的向量组变换成一个标准正交基。
除了施密特正交化方法，我们还可以通过矩阵的特征值分解来求解标准正交基。
对于一个对称矩阵，我们可以通过特征值分解得到它的特征向量，然后对特征向量进行归一化处理，就可以得到一个标准正交基。
此外，还有其他一些特殊情况下的求解方法，比如利用奇异值分解、Gram-Schmidt方法等。
不同的方法适用于不同的情况，我们需要根据具体的问题来选择合适的方法。
总的来说，求解标准正交基是线性代数中的一个重要问题，通过施密特正交化方法、特征值分解等方法，我们可以比较容易地求解标准正交基。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题来选择合适的方法，以便更加高效地求解标准正交基。
希望本文对你有所帮助，谢谢阅读！。
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定义12 设有n 定义12 设有 维向量 x1 x2 x = , ⋮ x n
y1 y2 y = , ⋮ y n
令 ( x, y ) = x1 y1 + x2 y2 + ⋯ + xn yn 称 ( x, y )为向量 x 与 y 的 内积。
[e i , e j ] = 0, i ≠ j且i , j = 1,2,3,4. 由于 [e i , e j ] = 1, i = j且i , j = 1,2,3,4.
所以 e1 , e 2 , e 3 , e 4为 R 4的一个规范正交基 .
同理可知
1 0 0 0 0, ε = 1, ε = 0, ε = 0. ε1 = 2 3 4 0 0 1 0 0 0 0 1
二、向量的长度及性质
定义2 定义2 令
x =
[x, x] =
2 2 2 x1 + x2 + ⋯ + xn ,
称 x 为 n 维向量 x 的 长度 (或 范数 ).
向量的长度具有下述性质： 向量的长度具有下述性质： 1. 非负性当 x ≠ 0时, x > 0;当 x = 0时, x = 0; 2. 齐次性 λx = λ x ;
解 设 α 3 = ( x1 , x 2 , x 3 )T ≠ 0, 且分别与 α 1 , α 2正交 .
则有 (α 1 , α 3 ) = ( α 2 , α 3 ) = 0
即
(α1 , α 3 ) = x1 + x2 + x3 = 0 (α 2 , α 3 ) =x1 − 2 x2 + x3 = 0
解
− 1 2 1 3 1 (1) − 1 2 1 1 2 13 1 2 − 1
考察矩阵的第一列和第二列， 考察矩阵的第一列和第二列， 由于
1 1 1 1 1 × − + − × 1 + × ≠ 0, 3 2 2 2
所以它不是正交矩阵． 所以它不是正交矩阵．
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 = a 3 − b1 − b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] 8 − 14 (0,−2,−1,3) = (1,1,−2,0) = (3,5,1,−1) − (1,1,1,1) − 4 14 单位化， 再单位化， 得规范正交向量组如下 b1 1 1 1 1 1 e1 = = (1,1,1,1) = , , , b1 2 2 2 2 2 b2 1 −2 −1 3 (0 , − 2 , − 1 , 3 ) = 0 , e2 = , , = b2 14 14 14 14 b3 1 1 1 −2 (1,1, − 2 ,0 ) = , , ,0 e3 = = b3 6 6 6 6
用施密特正交化方法， 例２ 用施密特正交化方法，将向量组 a1 = (1,1,1,1), a 2 = (1,−1,0,4), a 3 = ( 3,5,1,−1) 正交规范化. 正交规范化 正交化， 解 先正交化，取 b1 = a1 = (1,1,1,1) [b1 , a2 ] b b2 = a2 − [b1 , b1 ] 1 1−1+ 4 (1,1,1,1) = (0,−2,−1,3 ) = (1,−1,0,4 ) − 1+1+1+1
⋯⋯⋯⋯
[b1 , a r ] [b2 , a r ] [br −1 , a r ] br = a r − b1 − b2 − ⋯ − br −1 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] [br −1 , br −1 ]
那么b1 ,⋯, br 两两正交 , 且b1 ,⋯, br 与a1 ,⋯a r 等价.
3. 三角不等式 x + y ≤ x + y .
n 单位向量及 维向量间的夹角
1 (1) 当 x = 1时, 称 x 为 单位向量。若x ≠ 0, 可知 x为单位向量。 || x || (2) 当 x ≠ 0, y ≠ 0时,θ = arccos ( x, y ) x y 称为向量x与y的夹角。
例 求向量 α = (1,2,2,3 )与β = (3,1,5,1)的夹角.
1 9 8 −9 4 − 9
8 9 1 9 4 − 9 −
4 1 9 4 = 0 − 9 0 7 9 −
T
0 1 0
0 0 1
所以它是正交矩阵． 所以它是正交矩阵．
例６ 验证矩阵
解
1 1 1 1 − − 2 2 2 2 1 −1 −1 1 2 2 2 是正交矩阵 . P= 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 P的每个列向量都是单位 向量, 且两两正交 ,
α1 α 2 T T ⇔ (α 1 ,α 2 ,⋯,α T ) = E n ⋮ α n T α1 α1 α1 αT ⋯ α1 αT 2 n T T T α 2 α1 α 2 α 2 ⋯ α 2 α n ⇔ =E ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ α T α T ⋯ α T n α1 nα2 nαn
３ 正交向量组的性质
α ⋯α 定理1 若n维向量 α 1, 2 , , r 是一组两两正交的
非零向量, α ⋯ α 线性无关. 非零向量,则α 1, 2 , , r 线性无关.
证明 设有 λ1 , λ2 ,⋯, λr 使 λ1α 1 + λ2α 2 + ⋯ + λα r = 0
T λ1α 1 α 1 = 0 以 a 左乘上式两端 , 得
内积的运算性质
(其中 x , y , z 为n维向量 , λ为实数 ) :
(1) ( x, y ) = ( y, x); (2)(kx, y ) = k ( x, y ); (3)( x + y, z ) = ( x, z ) + ( y, z ) (4)( x, x) ≥ 0, 且( x, x) = 0 ⇔ x = 0.
x1 = − x3 , x2 = 0. x1 − 1 α 3 = x2 = 0 若令 x3 = 1, 则有 x 1 3
解之得
构成三维空间的一个正交基. 由上可知α 1 ,α 2 ,α 3 构成三维空间的一个正交基
５ 规范正交基
则有 y =
y y=
T
x P Px =
T T
x x= x.
T
判别下列矩阵是否为正交阵． 判别下列矩阵是否为正交阵．
1 9 − 8 (2 ) 9 4 − 9 8 − 9 1 9 4 − 9 4 − 9 4 . − 9 7 9
− 1 2 1 3 1 (1) − 1 2 1 1 2 , 13 1 2 − 1
定义3 设n维向量 e1 , e2 ,⋯ , er是向量空间 V (V ⊂ R n )的一个基 , 如果e1 , e2 ,⋯ , er两两正交且都是单位 向量, 则称e1 , e2 ,⋯ , er 是 V的一个规范正交基 . 例如
1 2 1 2 0 0 1 2 − 1 2 0 , e 0 . e1 = , e2 = , e3 = 4 = 1 2 1 2 0 0 1 2 − 1 2 0 0
范正交化. 若a1 , a 2 ,⋯, a r 为向量空间 V的一个基 , （1）正交化，取 b1 = a1 ， ）正交化， [b1 , a2 ] b , b2 = a2 − [b1 , b1 ] 1
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 = a 3 − b1 − b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
也为R 也为 4的一个规范正交基 .
四、正交矩阵与正交变换
定义4 定义4 若n阶方阵 A满足 AT A = E (即A− 1 = AT ), 则 称A为 正交矩阵 . 定理 A为正交矩阵的充要条件是 A的列向量都 是单位向量且两两正交． 是单位向量且两两正交． 证明 A AT = E a11 a12 ⋯ a1n a11 a21 ⋯ an1 a21 a22 ⋯ a2n a12 a22 ⋯ an2 = E ⇔ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a a an2 ⋯ ann 1n a2n ⋯ ann n1
α ⋅ β = 18 = 2 解 ∵ cosθ = 3 2⋅6 2 α β π ∴θ = .
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念
当( x, y ) = 0时, 称向量x与y 正交 .
由定义知 , 若 x = 0, 则 x 与任何向量都正交 .
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交， 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 量组为正交向量组．
由于
1 9 8 (2 ) − 9 4 − 9
8 9 1 9 4 − 9 −
8 − 9 1 9 4 − 9
4 9 4 − 9 7 9 −
4 − 9 4 − 9 7 9
1 9 − 8 9 4 − 9
1, 当 i = j; ⇔ α i α = δ ij = 0, 当 i ≠ j
T j
(i , j = 1,2,⋯, n )
定义5 为正交阵， 定义5 若 P 为正交阵，则线性变换y = Px 称为正 交变换． 交变换． 性质 证明 例５ 正交变换保持向量的长度不变． 正交变换保持向量的长度不变． 设y = Px为正交变换 ,
所以P是正交矩阵 .
６ 求规范正交基的方法