内积与标准正交基

说明 1 n(n ≥ 4 ) 维向量的内积是 维向量数量积 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义 维向量直观的几何意义． 的推广，但是没有 维向量直观的几何意义．
2 内积是向量的一种运算, 如果x, y都是列 向量,内积可用矩阵记号表示为 : (x, y) = xT y.
α ⋅ β = 18 = 2 解 ∵ cosθ = 3 2⋅6 2 α β π ∴θ = .
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念
当( x, y ) = 0时, 称向量x与y 正交 .
由定义知 , 若 x = 0, 则 x 与任何向量都正交 .
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交， 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 量组为正交向量组．
1, 当 i = j; ⇔ α i α = δ ij = 0, 当 i ≠ j
T j
(i , j = 1,2,⋯, n )
定义5 为正交阵， 定义5 若 P 为正交阵，则线性变换y = Px 称为正 交变换． 交变换． 性质 证明 例５ 正交变换保持向量的长度不变． 正交变换保持向量的长度不变． 设y = Px为正交变换 ,
1 2 1 2 0 0 1 2 − 1 2 0 , e 0 . e1 = , e2 = 0 , e3 = 1 2 4 = 1 2 0 1 2 − 1 2 0 0
也为R 也为 4的一个规范正交基 .
四、正交矩阵与正交变换
定义4 定义4 若n阶方阵 A满足 AT A = E (即A− 1 = AT ), 则 称A为 正交矩阵 . 定理 A为正交矩阵的充要条件是 A的列向量都 是单位向量且两两正交． 是单位向量且两两正交． 证明 A AT = E a11 a12 ⋯ a1n a11 a21 ⋯ an1 a21 a22 ⋯ a2n a12 a22 ⋯ an2 = E ⇔ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a a an2 ⋯ ann 1n a2n ⋯ ann n1
1 9 8 −9 4 − 9
8 9 1 9 4 − 9 −
4 1 9 4 = 0 − 9 0 7 9 −
T
0 1 0
0 0 1
所以它是正交矩阵． 所以它是正交矩阵．
例６ 验证矩阵
解
1 1 1 1 − − 2 2 2 2 1 −1 −1 1 2 2 2 是正交矩阵 . P= 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 P的每个列向量都是单位 向量, 且两两正交 ,
则有 y =
y y=
T
x P Px =
T T
x x= x.
T
判别下列矩阵是否为正交阵． 判别下列矩阵是否为正交阵．
1 9 − 8 (2 ) 9 4 − 9 8 − 9 1 9 4 − 9 4 − 9 4 . − 9 7 9
− 1 2 1 3 1 (1) − 1 2 1 1 2 , 13 1 2 − 1
3. 三角不等式 x + y ≤ x + y .
n 单位向量及 维向量间的夹角
1 (1) 当 x = 1时, 称 x 为 单位向量。若x ≠ 0, 可知 x为单位向量。 || x || (2) 当 x ≠ 0, y ≠ 0时,θ = arccos ( x, y ) x y 称为向量x与y的夹角。
例 求向量 α = (1,2,2,3 )与β = (3,1,5,1)的夹角.
所以P是正交矩阵 .
６ 求规范正交基的方法
设α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 是向量空间 V的一个基 , 要求 V 的一个规范正交基 , 就是要找一组两两正交 的单 位向量 e1 , e 2 ,⋯ , e r , 使e1 , e 2 ,⋯ , e r 与α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 等
价, 这样一个问题 , 称为 把α1,α2 ,⋯,αr 这个基规
T 1
由 α1 ≠ 0 ⇒ α1 α1 = α1
T
2
≠ 0, 从而有 λ1 = 0 .
同理可得 λ2 = ⋯ = λr = 0. 故α 1 ,α 2 ,⋯,α r 线性无关 .
４ 向量空间的正交基
若α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r是向量空间 V的一个基 , 且α 1 ,α 2 , ⋯ ,α r 是两两正交的非零向量 组, 则称α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 是 向量空间 V的正交基 . 例1 已知三维向量空间中两个向量 1 1 α1 = 1 , α2 = − 2 1 1 正交， 正交，试求α 3 使α 1 ,α 2 ,α 3 构成三维空间的一个正交 基.
解 设 α 3 = ( x1 , x 2 , x 3 )T ≠ 0, 且分别与 α 1 , α 2正交 .
则有 (α 1 , α 3 ) = ( α 2 , α 3 ) = 0
即
(α1 , α 3 ) = x1 + x2 + x3 = 0 (α 2 , α 3 ) = x1 − 2 x2 + x3 = 0
⋯⋯⋯⋯
[b1 , a r ] [b2 , a r ] [br −1 , a r ] br = a r − b1 − b2 − ⋯ − br −1 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] [br −1 , br −1 ]
那么b1 ,⋯, br 两两正交 , 且b1 ,⋯, br 与a1 ,⋯a r 等价.
二、向量的长度及性质
定义2 定义2 令
x =
[x, x] =
2 2 2 x1 + x2 + ⋯ + xn ,
称 x 为 n 维向量 x 的 长度 (或 范数 ).
向量的长度具有下述性质： 向量的长度具有下述性质： 1. 非负性当 x ≠ 0时, x > 0;当 x = 0时, x = 0; 2. 齐次性 λx = λ x ;
３ 正交向量组的性质
α ⋯α 定理1 若n维向量 α 1, 2 , , r 是一组两两正交的
非零向量, α ⋯ α 线性无关. 非零向量,则α 1, 2 , , r 线性无关.
证明 设有 λ1 , λ2 ,⋯, λr 使 λ1α 1 + λ2α 2 + ⋯ + λα r = 0
T λ1α 1 α 1 = 0 以 a 左乘上式两端 , 得
由于
1 9 8 (2 ) − 9 4 − 9
8 9 1 9 4 − 9 −
8 − 9 1 9 4 − 9
4 9 4 − 9 7 9 −
4 − 9 4 −来自百度文库 9 7 9
1 9 − 8 9 4 − 9
x1 = − x3 , x2 = 0. x1 − 1 α 3 = x2 = 0 若令 x3 = 1, 则有 x 1 3
解之得
构成三维空间的一个正交基. 由上可知α 1 ,α 2 ,α 3 构成三维空间的一个正交基
５ 规范正交基
[e i , e j ] = 0, i ≠ j且i , j = 1,2,3,4. 由于 [e i , e j ] = 1, i = j且i , j = 1,2,3,4.
所以 e1 , e 2 , e 3 , e 4为 R 4的一个规范正交基 .
同理可知
1 0 0 0 0, ε = 1, ε = 0, ε = 0. ε1 = 2 3 4 0 0 1 0 0 0 0 1
解
− 1 2 1 3 1 (1) − 1 2 1 1 2 13 1 2 − 1
考察矩阵的第一列和第二列， 考察矩阵的第一列和第二列， 由于
1 1 1 1 1 × − + − × 1 + × ≠ 0, 3 2 2 2
所以它不是正交矩阵． 所以它不是正交矩阵．
（2）单位化，取 ）单位化，
那么 e1 , e 2 ,⋯, e r 为V的一个规范正交基 .
b1 b2 br e1 = , e2 = , ⋯⋯ , er = , b1 b2 br
上述由线性无关向量组 a1 ,⋯ , a r 构造出正交 向量组 b1 ,⋯ , br的过程 , 称为 施密特正交化过程 .
范正交化. 若a1 , a 2 ,⋯, a r 为向量空间 V的一个基 , （1）正交化，取 b1 = a1 ， ）正交化， [b1 , a2 ] b , b2 = a2 − [b1 , b1 ] 1
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 = a 3 − b1 − b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
α1 α 2 T T ⇔ (α 1 ,α 2 ,⋯,α T ) = E n ⋮ α n T α1 α1 α1 αT ⋯ α1 αT 2 n T T T α 2 α1 α 2 α 2 ⋯ α 2 α n ⇔ =E ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ α T α T ⋯ α T n α1 nα2 nαn
用施密特正交化方法， 例２ 用施密特正交化方法，将向量组 a1 = (1,1,1,1), a 2 = (1,−1,0,4), a 3 = ( 3,5,1,−1) 正交规范化. 正交规范化 正交化， 解 先正交化，取 b1 = a1 = (1,1,1,1) [b1 , a2 ] b b2 = a2 − [b1 , b1 ] 1 1−1+ 4 (1,1,1,1) = (0,−2,−1,3 ) = (1,−1,0,4 ) − 1+1+1+1
定义3 设n维向量 e1 , e2 ,⋯ , er是向量空间 V (V ⊂ R n )的一个基 , 如果e1 , e2 ,⋯ , er两两正交且都是单位 向量, 则称e1 , e2 ,⋯ , er 是 V的一个规范正交基 . 例如
1 2 1 2 0 0 1 2 − 1 2 0 , e 0 . e1 = , e2 = , e3 = 4 = 1 2 1 2 0 0 1 2 − 1 2 0 0
一、内积的定义及性质
定义12 设有n 定义12 设有 维向量 x1 x2 x = , ⋮ x n
y1 y2 y = , ⋮ y n
令 ( x, y ) = x1 y1 + x2 y2 + ⋯ + xn yn 称 ( x, y )为向量 x 与 y 的 内积。
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 = a 3 − b1 − b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] 8 − 14 (0,−2,−1,3) = (1,1,−2,0) = (3,5,1,−1) − (1,1,1,1) − 4 14 单位化， 再单位化， 得规范正交向量组如下 b1 1 1 1 1 1 e1 = = (1,1,1,1) = , , , b1 2 2 2 2 2 b2 1 −2 −1 3 (0 , − 2 , − 1 , 3 ) = 0 , e2 = , , = b2 14 14 14 14 b3 1 1 1 −2 (1,1, − 2 ,0 ) = , , ,0 e3 = = b3 6 6 6 6
内积的运算性质
(其中 x , y , z 为n维向量 , λ为实数 ) :
(1) ( x, y ) = ( y, x); (2)(kx, y ) = k ( x, y ); (3)( x + y, z ) = ( x, z ) + ( y, z ) (4)( x, x) ≥ 0, 且( x, x) = 0 ⇔ x = 0.