不等式与线性规划教案

一 体验高考

1.(2012年高考福建卷,理9)若函数y=2x 图象上存在点(x,y)满足约束

条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203,则实数m 的最大值为( B )

(A)21 (B)1 (C)2

3 (D)2 解析:∵x+y-3=0和y=2x 交点为(1,2), ∴只有m ≤1时才能符合条件,故选B.

2.(2012年高考福建卷,理5)下列不等式一定成立的是( C ) (A)lg(x 2+4

1)>lg x(x>0) (B)sin x+

x sin 1

≥2(x ≠k π,k ∈Z ) (C)x 2+1≥2|x|(x ∈R )

(D)

1

1

2

+x >1(x ∈R ) 解析:当x>0时,x 2+41≥2·x ·2

1

=x,

故lg(x 2+41)≥lg x(x>0), 当且仅当x=2

1

时取等号,因此A 不对,

B 中由于x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正、负不确定, 因此sin x+

x sin 1≥2或sin x+x

sin 1

≤-2,故B 不正确, C 中,由基本不等式x+y ≥2xy (x>0,y>0)知x 2+1≥22x =2|x|,故C 一定成立,

而D 中,由于x 2≥0,则x 2+1≥1.因此0<1

1

2+x ≤1. 从而D 不正确,因此选C.

3.(2011年高考湖南卷,理10)设x,y ∈R,且xy ≠0,则(x 2+21y )(21x

+4y 2

)的最小值为 . 解析:(x 2+

21y )(21x +4y 2)=1+4x 2y 2

+221y x +4 =5+(4x 2y 2+

221y x )≥5+22

22

214y

x y x =5+2×2=9. 当且仅当4x 2y 2=221y x 即x

2y 2=2

1时取得最小值9. 答案:9

二备考感悟

1.命题与备考

(1)不等式解法常与二次函数、集合等知识交汇在一起命题;基本不等

式常与函数或代数式的最值问题、不等式恒成立问题、实际应用相互交汇命题.在备考中要熟练掌握各种不等式的解法,注意基本不等式成立的条件.

(2)线性规划有时单独考查目标函数的最值问题,或求字母的取值范围问题,有时也会与函数、平面向量、解析几何等相互交汇考查,求解此类问题时应准确作出不等式表示的平面区域.

2.小题快做:线性规划问题中,若不等式组表示的平面区域具有边界且目标函数是线性的,则目标函数的最值就在其区域边界的顶点处取得.

三热点考向突破

考向一 不等式的解法 解不等式的常见策略

1.解一元二次不等式的策略:先化为一般形式ax 2+bx+c>0(a>0),再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集.

2.解简单的分式不等式的策略:将不等式一边化为0,再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解;

3.解含指、对数不等式的策略:利用指、对数函数的单调性将其转化

为整式不等式求解;

4.解含参数不等式的策略:根据题意确定参数分类的标准,依次讨论求解.

【例1】 (1)(2012年高考重庆卷)不等式1

21

+-x x ≤0的解集为( ) (A)(-2

1,1] (B)[- 2

1,1]

(C)(-∞,- 2

1)∪[1,+∞) (D)(-∞,- 2

1]∪[1,+∞)

2)若函数f(x)=⎩⎨⎧>--≤-+-)

3(1)2(log )

3(10632x x x x x ,则关于a 的不等式f(6-a 2)>f(a)

的解集是 .

解析:(1)法一:原不等式等价于(x-1)(2x+1)<0或x-1=0, 即-2

1

1,1],选A. 法二:原不等式等价于⎩⎨

⎧>+≤-01201x x ①或⎩⎨⎧<+≥-0

120

1x x ②

解①得-21

故原不等式的解集为{x|-2

1

1,1].

(2)f(x)=-x 2+6x-10在(-∞,3]上单调递增,f(x)=log 3(x-2)-1在(3,+∞)上单调递增且f(x)在(3,+∞)上,f(x)>f(3),

∴f(x)在R 上是增函数, ∴6-a 2>a,解得-3

(2){a|-3

关注细节：1)求解分式不等式时通常将其转化为整式不等式求解,但一定要注意分母不等于零这一条件;(2)不等式的解与解集是不同的,

填空题中若是求不等式的解集则答案一定要写成集合或区间的形式,本题(2)中若写为-3

热点训练1:(1)(2012年山东威海一模)已知f(x)=⎩

⎨⎧<-≥00

x x x x ,则不等

式x+xf(x)≤2的解集是 .

(2)(2012年安徽省知名省级示范高中期末)已知不等式ax 2+bx+c<0的解集为{x|-2c(2x-1)+b 的解集为 .

解析:(1)当x ≥0时,原不等式可化为x 2+x-2≤0. 解之得-2≤x ≤1,即不等式的解集为{x|0≤x ≤1}.

当x<0时,原不等式可化为x 2-x+2≥0, 即(x-2

1

)2+4

7≥0恒成立,即不等式的解集为{x|x<0}.

综上可知原不等式的解集为 {x|0≤x ≤1}∪{x|x<0}={x|x ≤1}.

(2)由题意可知a>0,且-2,1是方程ax 2+bx+c=0的两个根,则⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧-=-=-21a

c a b

,

解得⎩⎨

⎧-==a

c a

b 2,所以不等式

cx 2+bx+a>c(2x-1)+b 可化为-2ax 2+ax+a>-2a(2x-1)+a,整理得2x 2-5x+2<0,解得2

1

1

1

考向二 基本不等式及其应用

利用基本不等式求最值

要特别注意“折(添)、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中一正二定三相等的条件.