不等式与线性规划教案

一 体验高考1.(2012年高考福建卷,理9)若函数y=2x 图象上存在点(x,y)满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203,则实数m 的最大值为( B )(A)21 (B)1 (C)23 (D)2 解析:∵x+y-3=0和y=2x 交点为(1,2), ∴只有m ≤1时才能符合条件,故选B.2.(2012年高考福建卷,理5)下列不等式一定成立的是( C ) (A)lg(x 2+41)>lg x(x>0) (B)sin x+x sin 1≥2(x ≠k π,k ∈Z ) (C)x 2+1≥2|x|(x ∈R )(D)112+x >1(x ∈R ) 解析:当x>0时,x 2+41≥2·x ·21=x,故lg(x 2+41)≥lg x(x>0), 当且仅当x=21时取等号,因此A 不对,B 中由于x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正、负不确定, 因此sin x+x sin 1≥2或sin x+xsin 1≤-2,故B 不正确, C 中,由基本不等式x+y ≥2xy (x>0,y>0)知x 2+1≥22x =2|x|,故C 一定成立,而D 中,由于x 2≥0,则x 2+1≥1.因此0<112+x ≤1. 从而D 不正确,因此选C.3.(2011年高考湖南卷,理10)设x,y ∈R,且xy ≠0,则(x 2+21y )(21x+4y 2)的最小值为 . 解析:(x 2+21y )(21x +4y 2)=1+4x 2y 2+221y x +4 =5+(4x 2y 2+221y x )≥5+2222214yx y x =5+2×2=9. 当且仅当4x 2y 2=221y x 即x2y 2=21时取得最小值9. 答案:9二备考感悟1.命题与备考(1)不等式解法常与二次函数、集合等知识交汇在一起命题;基本不等式常与函数或代数式的最值问题、不等式恒成立问题、实际应用相互交汇命题.在备考中要熟练掌握各种不等式的解法,注意基本不等式成立的条件.(2)线性规划有时单独考查目标函数的最值问题,或求字母的取值范围问题,有时也会与函数、平面向量、解析几何等相互交汇考查,求解此类问题时应准确作出不等式表示的平面区域.2.小题快做:线性规划问题中,若不等式组表示的平面区域具有边界且目标函数是线性的,则目标函数的最值就在其区域边界的顶点处取得.三热点考向突破考向一 不等式的解法 解不等式的常见策略1.解一元二次不等式的策略:先化为一般形式ax 2+bx+c>0(a>0),再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集.2.解简单的分式不等式的策略:将不等式一边化为0,再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解;3.解含指、对数不等式的策略:利用指、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解;4.解含参数不等式的策略:根据题意确定参数分类的标准,依次讨论求解.【例1】 (1)(2012年高考重庆卷)不等式121+-x x ≤0的解集为( ) (A)(-21,1] (B)[- 21,1](C)(-∞,- 21)∪[1,+∞) (D)(-∞,- 21]∪[1,+∞)2)若函数f(x)=⎩⎨⎧>--≤-+-)3(1)2(log )3(10632x x x x x ,则关于a 的不等式f(6-a 2)>f(a)的解集是 .解析:(1)法一:原不等式等价于(x-1)(2x+1)<0或x-1=0, 即-21<x<1或x=1,所以不等式的解集为(-21,1],选A. 法二:原不等式等价于⎩⎨⎧>+≤-01201x x ①或⎩⎨⎧<+≥-01201x x ②解①得-21<x ≤1,解②得x ∈φ.故原不等式的解集为{x|-21<x ≤1},即x ∈(-21,1].(2)f(x)=-x 2+6x-10在(-∞,3]上单调递增,f(x)=log 3(x-2)-1在(3,+∞)上单调递增且f(x)在(3,+∞)上,f(x)>f(3),∴f(x)在R 上是增函数, ∴6-a 2>a,解得-3<a<2. 答案:(1)A(2){a|-3<a<2}(或(-3,2))关注细节：1)求解分式不等式时通常将其转化为整式不等式求解,但一定要注意分母不等于零这一条件;(2)不等式的解与解集是不同的,填空题中若是求不等式的解集则答案一定要写成集合或区间的形式,本题(2)中若写为-3<a<2则是错误的热点训练1:(1)(2012年山东威海一模)已知f(x)=⎩⎨⎧<-≥00x x x x ,则不等式x+xf(x)≤2的解集是 .(2)(2012年安徽省知名省级示范高中期末)已知不等式ax 2+bx+c<0的解集为{x|-2<x<1},则不等式cx 2+bx+a>c(2x-1)+b 的解集为 .解析:(1)当x ≥0时,原不等式可化为x 2+x-2≤0. 解之得-2≤x ≤1,即不等式的解集为{x|0≤x ≤1}.当x<0时,原不等式可化为x 2-x+2≥0, 即(x-21)2+47≥0恒成立,即不等式的解集为{x|x<0}.综上可知原不等式的解集为 {x|0≤x ≤1}∪{x|x<0}={x|x ≤1}.(2)由题意可知a>0,且-2,1是方程ax 2+bx+c=0的两个根,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-21ac a b,解得⎩⎨⎧-==ac ab 2,所以不等式cx 2+bx+a>c(2x-1)+b 可化为-2ax 2+ax+a>-2a(2x-1)+a,整理得2x 2-5x+2<0,解得21<x<2.∴原不等式的解集为{x|21<x<2}. 答案:(1){x|x ≤1} (2){x|21<x<2}考向二 基本不等式及其应用利用基本不等式求最值要特别注意“折(添)、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中一正二定三相等的条件.【例2】 (1)(2012年山东青岛一模)已知a>0,b>0,且2a+b=4,则ab1的最小值是( )(A)41(B)4 (C)21 (D)2(2)(2012年福州第一中学月考试题)设x,y ∈R,a>1,b>1,若a x =b y =3,a+b=23,则x1+y1的最大值为( )(A)2 (B)23 (C)1 (D)21解析:(1)法一:∵2a+b=4,a>0,b>0, ∴4=2a+b ≥2ab 2. ∴ab ≤2. ∴ab 1≥21. 当且仅当2a=b,即b=2,a=1时取等号, 故选C.法二:∵2a+b=4,∴2a+4b =1.又∵a>0,b>0, ∴ab 1=(2a +4b )×ab 1=b 21+a 41≥2ab81. ∴ab 1≥21即ab 1≥21(当且仅当2a=b,即b=2,a=1时取等号).故选C.(2)因为a>1,b>1,a x =b y =3,a+b=23,所以x=log a 3,y=log b 3.x1+y1=3log 13log 1b a +=log 3a+log 3b =log 3ab ≤log 3(2b a +)2=log 3(232)2=1,热点训练2:(1)(2012年山东泰安模拟)函数y=log a (x+3)-1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny+1=0上(其中m,n>0),则m 1+n2的最小值等于( ) (A)16 (B)12 (C)9 (D)8(2)(2011年高考北京卷)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元,若每批生产x 件,则平均仓储时间为8x天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( ) (A)60件 (B)80件 (C)100件 (D)120件解析:(1)∵y=log a (x+3)-1恒过定点A(-2,-1), ∴2m+n=1.∴m 1+n 2=(m 1+n2)(2m+n) =4+m n +n m4≥4+2nm m n 4⋅ =8.(当且仅当m=41,n=21时取等号)故选D.(2)设每批生产x 件时,平均到每件产品的费用之和为y,则y=x xx ⋅+8800=x 800+8x ≥28800x x ⋅ =20(元), 当且仅当x 800=8x,即x=80件时费用之和最小,故选B. 考向三 平面区域与线性规划问题求解线性规划问题的解题思路:线性规划的基本思想是数形结合,求解时首先要准确作出可行域,根据目标函数所表示的几何意义和平面区域的关系,数形结合找到目标函数取到最值时的最优解. 【例3】 (1)(2012年高考四川卷)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( )(A)1800元 (B)2400元 (C)2800元 (D)3100元(2)(2011年高考湖南卷)设m>1,在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1,,y x mx y x y 下,目标函数z=x+my 的最大值小于2,则m 的取值范围为( ) (A)(1,1+2)(B)(1+2,+∞)(C)(1,3) (D)(3,+ 解析:(1)设生产甲产品x 桶,乙产品y 桶,每天利润为z 元,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00122122y x y x y x ,z=300x+400y. 作出可行域,如图阴影部分所示.作直线300x+400y=0,向右上方平移,过点时,z=300x+400y取最大值, 由⎩⎨⎧=+=+122122y x y x ,得⎩⎨⎧==44y x .∴A(4,4), ∴z max =300×4+400×4=2800.故选C.故当直线z=x+my 平移至经过可行域中的M 点时,z 取最大值.由⎩⎨⎧=+=1y x mx y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=m my m x 111,则M(m +11,m m +1). 所以z=x+my 的最大值为m +11+m m +12=mm ++112,依题意知mm ++112<2,解得1-2<m<1+2,又m>1,则1<m<1+2.故选A.注意：涉及线性规划有关的应用题应根据题意准确列出变量满足的约束条件及目标函数,并准确画图确定最优解.热点训练3:(1)(2011年高考福建卷)已知O 是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点,则OA ·OM 的值是( )(A)[-1,0] (B)[0,1] (C)[0,2] (D)[-1,2](2)若⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤-a y y x y x 00,且z=x+2y 的最大值是3,则实数a 的取值范围是 .解析:(1)由OA ·OM =(-1,1)·(x,y)=-x+y. 令z=-x+y 即y=x+z. 画出可行域和直线y=x,如图,平移y=x,可知当直线经过C(1,1)时,z min =0 当直线经过B(0,2)时,z max =2, 故选C.(2)依题意作出不等式组表示的可行域如图所示.则当直线x+2y-z=0过点A(a,a)时,z=x+2y 取得最大值3.故a+2a=3,所以a=1. 答案:(1)C (2)13 (2012年福州市高中毕业班质检)在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤0121y x y x 下,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为1,则ab 的最大值为 .解析:不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤0121y x y x 所表示的可行域如图所示,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)所表示的平行直线系过点A(1,2)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值,此时有a+2b=1, 由1=a+2b ≥2ab 2, 可得ab ≤81,当且仅当a=21,b=41时,ab 取最大值81.答案:81第3讲 不等式与线性规划知识点、方法 题号 不等式的性质与解法 1、4、11、14 基本不等式及应用 3、5、8、13 平面区域问题 6、7、9 线性规划问题 2、10、12一、选择题 1.若a=22ln ,b=33ln ,c=55ln ,则( C )(A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c 解析:∵a=22ln >0,b=33ln >0,∴b a=3ln 22ln 3=9ln 8ln . ∵y=ln x 在R 上为增函数,∴0<ln 8<ln 9. ∴9ln 8ln <1. ∴a<b,故排除选项B 、D,同理可得c<a,故选C.2.(2012年高考广东卷)已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ,则z=3x+y 的最大值为( B ) (A)12 (B)11 (C)3 (D)-1解析:画出不等式组所表示的平面区域如图所示.平移y=-3x,易知y=-3x+z 过点B(3,2)时,z 有最大值11,故选B. 3.(2012年河南郑州第二次质检)若向量a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直,则9x +3y 的最小值为( D ) (A)12 (B)32 (C)23 (D)6 解析:∵a,b 互相垂直, ∴a ·b=0.∴4(x-1)+2y=0. ∴2x+y=2.又9x +3y ≥y x 392⋅=y x +232=6. (当且仅当9x =3y ,即2x=y=1时取等号).4.(2012年东北三省四市第一次联考)已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<≥)0(,)0(,22x x x x,则f[f(x)]≥1的充要条件是( D ) (A)x ∈(-∞,-2] (B)x ∈[24,+∞)(C)x ∈(-∞,-1]∪[24,+∞) (D)x ∈(-∞,- 2]∪[4,+∞) 解析:当x ≥0时,f[f(x)]=4x ≥1, 所以x ≥4;当x<0时,f[f(x)]=22x ≥1,所以x 2≥2,即x ≥2 (舍)或x ≤-2. 所以x ∈(-∞,- 2)∪[4,+∞),故选D.5.(2012年福建省高中毕业班质检)设a>0,若关于x 的不等式x+1-x a ≥5在x ∈(1,+∞)上恒成立,则a 的最小值为( C ) (A)16 (B)9 (C)4 (D)2 解析:当x>1,a>0时,x+1-x a =(x-1)+1-x a +1≥1)1(2-⨯-x ax +1=a 2+1(当且仅当(x-1)2=a 时取等号), 即此时x+1-x a的最小值是a 2+1. 由a 2+1≥5得a ≥4, 即a 的最小值为4,故选C.6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥01,2,0y kx x y x 表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则k 的取值集合是( B ) (A){0}(B){-21,0} (C)(- 21,0) (D)(- 21,+∞)解析:如图,在平面直角坐标系中分别画出三条直线所对应的平面区域,要使不等式组表示的区域是一个直角三角形,应使其中的两条边界直线垂直,当直线y=kx+1与直线x=0垂直,即在图中l 1的位置时,围成的区域是直角三角形AOB,这时k=0;当直线y=kx+1与直线y=2x 垂直时,即在图中l 2位置时,围成的区域是直角三角形AOC,此时k=-21,故k 的值等于0或-21.7.(2012年福建漳州市质检试题)在平面直角坐标系中,若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x ,(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a 的值为( D )(A)-5 (B)1 (C)2 (D)3解析:不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x ,所围成的区域如图所示. ∵其面积为2,∴|AC|=4, ∴C 的坐标为(1,4),代入ax-y+1=0,得a=3.故选D.8.(2012年衡阳六校联考)已知M 是△ABC 内一点,且AB ·AC =32,∠BAC=30°.若△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积分别为21,x,y,则x 1+y4的最小值为( D ) (A)20 (B)19 (C)16 (D)18解析:依题意AB ·AC =|AB ||AC |cos 30°=32, 则|AB ||AC |=4,故S △ABC =21|AB ||AC |sin 30°=1. 所以21+x+y=1, 即x+y=21.因此x 1+y 4=2(x+y)(x 1 +y4) =2[5+(x y +y x4)]≥2(5+yx x y 42⋅) =18. (当且仅当xy =y x 4,即y=2x=31时,等号成立), 故选D.9.(2012年深圳第一次调研考试)已知变量x,y 满足约束条件,01033032⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+-≥+-y y x y x 若目标函数z=y-ax 仅在点(-3,0)处取到最大值,则实数a 的取值范围是( B )(A)(3,5) (B)(21,+∞) (C)(-1,2) (D)(31,1)解析:如图所示,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线y-ax=0,要使目标函数z=y-ax 仅在点(-3,0)处取到最大值(即直线z=y-ax 仅当经过该平面区域内的点(-3,0)时,相应直线在y 轴上的截距达到最大),结合图形可知a>21,故选B.10.已知点A(a,b)与点B(1,0)在直线3x-4y+10=0的两侧,给出下列说法: ①3a-4b+10>0;②当a>0时,a+b 有最小值,无最大值; ③22b a +>2;④当a>0且a ≠1,b>0时,1-a b 的取值范围为(-∞,-25)∪(43,+∞). 其中正确的个数是( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为点A(a,b),B(1,0)在直线3x-4y+10=0的两侧, 所以(3a-4b+10)(3-0+10)<0,即3a-4b+10<0,故①错误;因为a>0时,点(a,b)对应的平面区域如图(不含边界),所以a+b既没有最小值,也没有最大值,故②错误; 因为原点到直线3x-4y+10=0的距离为|510|=2,而点(a,b)在直线3x-4y+10=0的左上方,所以22ba+>2,故③正确;1-ab的几何意义是点(a,b)与(1,0)的连线的斜率,由图可知,取值范围是(-∞,-25)∪(43,+∞),故④正确.二、填空题11.(2012年北京市西城区二模)已知函数f(x)=x2+bx+1是R上的偶函数,则实数b= ;不等式f(x-1)<|x|的解集为. 解析:∵f(x)=x2+bx+1是R上的偶函数,∴b=0.∴f(x)=x2+1.∴f(x-1)=x2-2x+2.∴x2-2x+2<|x|等价于⎩⎨⎧<+->232xxx,或⎩⎨⎧<+-≤22xxx.解之得1<x<2.答案:0 {x|1<x<2}12.(2012年高考新课标全国卷)设x,y满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-,0,0,3,1yxyxyx则z=x-2y的取值范围为.解析:作出不等式组所表示的区域如图, 由z=x-2y 得平移直线y=21x, 由图象可知当直线经过点A(3,0)时,直线y=21x-21z 在y 轴上的截距最小,此时z 最大为x-2y=3,当直线经过B 点时,直线在y 轴上的截距最大,此时z 最小,由⎩⎨⎧=+-=-31y x y x ,解得⎩⎨⎧==21y x , 即B(1,2),此时z=x-2y=1-4=-3, 所以-3≤z ≤3,即z 的取值范围是[-3,3]. 答案:[-3,3]13.(2012年济南高三模拟)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边为a,b,c,若a,b,c 成等差数列,则角B 的最大值是 . 解析:由余弦定理知cos B=acb c a 2222-+.又∵a,b,c 成等差数列, ∴2b=a+c.∴cos B=acc a c a 24)(222+-+ =acac c a 823322-+≥acc a 833222⋅⨯-41=21(当且仅当a=c 时取等号)又∵B ∈(0,π), ∴B ∈(0,3π]. ∴角B 有最大值3π. 答案: 3π14.(2012年福建宁德市质检试题)在R 上定义运算☉:x ☉y=x(2-y),若不等式(x+m)☉x<1对一切实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是 .解析:由题意得不等式(x+m)(2-x)<1,即x 2+(m-2)x+(1-2m)>0对任意x ∈R 恒成立, 因此Δ=(m-2)2-4(1-2m)<0, 即m 2+4m<0,解得-4<m<0. 答案:(-4,0)。