第三章第5节

0
t
0
0
∫
t0
2010-10-21
12
3.5.2 系统的状态响应(续)
例3.3 给定线性时变系统
0 0 1 1 & x= x + 1u, x(1) = 2, t0 = 1, t ∈[1,10] t 0
首先定Φ(t,t0)。为此，求解方程
& x1 = 0 0 0 & x= x x = tx t 0 1 &2 x1 = x1 (t0 ) 2 x2 = 0.5x1 (t0 )t 2 0.5x1 (t0 )t0 + x2 (t0 )
H (t ,τ ) = C(t )Φ(t ,τ ) B(τ ) + D(t )δ (t τ )
2010-10-21 17
3.5.3 脉冲响应矩阵(续)
2) 结论 结论3.39 零初始状态的线性时变系统， 输出响应基于脉冲响应矩阵的表达式为
y(t ) =
∫ H (t,τ )u(τ )dτ , t ∈[t , t
x(t ) = Φ(t , t0 ) x0 + Φ(t , t0 )ξ (t ) = Φ(t , t0 )( x0 + ξ (t ))
x(t0 ) = Φ(t0 , t0 )( x0 + ξ (t0 )) = x0 + ξ (t0 ) ξ (t0 ) = 0 & & & x(t ) = Φ(t , t0 )( x0 + ξ (t )) + Φ(t , t0 )ξ (t )
2) 周期阵A(t)在Lyapunov变换下的属性
2010-10-21 23
3.5.4 A(t)为周期阵的时变系统 运动分析(续)
定义3.10 对A(t)为周期阵的时变线性系统， 引入变换矩阵P(t)， P(t)满足
& P(t ), P(t )
连续
P(t ) > η > 0, t ≥ t0
取变换 x = P(t ) x ，变换后系统为
e β1T 1 = P O P e βnT
22
3.5.4 A(t)为周期阵的时变系统 运动分析(续)
在此基础上，有
Ψ(t + T ) = Ψ(t )Q eβ1T λ1 1 P1 = Ψ(t )P = Ψ(t )P O O P eβnT λn = Ψ(t )e AT
∫
2010-10-21
16
3.5.3 脉冲响应矩阵
考虑零初始条件的线性时变系统
& x = A(t ) x + B(t )u, x(t0 ) = 0, t ∈[t0 , t f ] y = C(t ) x + D(t )u
如同状态转移矩阵，将脉冲响应矩阵记为 H(t,τ)，有如下结论： 1) 结论 结论3.38 脉冲响应矩阵基于状态空间 的描述为
2010-10-21 5
3.5.1 状态转移矩阵(续)
3) 状态转移矩阵的唯一性 4) 状态转移矩阵的形式 结论3.36 Φ(t,t0)具如下形式(Peano-Baker)： 结论
Φ(t , t0 ) = I + A(τ )dτ + A(τ1 ) t0 t0
∫
t
∫
t
∫
τ1
t0
A(τ 2 )dτ 2 dτ1 + L
又
& = A(t )Φ(t , t0 )( x0 + ξ (t )) + Φ(t , t0 )ξ (t ) =
9
2010-10-21
3.5.2 系统的状态响应(续)
& & x(t ) = A(t )Φ(t , t0 )(x0 + ξ (t )) + Φ(t , t0 )ξ (t ) & = A(t ) x + Φ(t , t )ξ (t ) = A(t ) x + B(t )u
& x = A(t ) x + B (t )u y = C (t ) x + D (t )u
2010-10-21 24
3.5.4 A(t)为周期阵的时变系统 运动分析(续)
其中，
& A(t ) = P(t ) A(t ) P 1 (t ) + P(t ) P 1 (t ) B (t ) = P(t ) B(t ), C (t ) = C(t ) P 1 (t ), D (t ) = D(t )
A s.t. Ψ(t + T ) = Ψ(t )e AT
2010-10-21 20
Ψ(t + T )t =0 = Ψ(T ) := H
3.5.4 A(t)为周期阵的时变系统 运动分析(续)
证明：首先Ψ(t)和Ψ(t+T)对定义区间的所 有t都可逆，两者的列分别构成基本解空间 的两组基底，由此，存在常数矩阵Q，使 Ψ(t+T)=Ψ(t)Q 不失普遍性，假定Q的特征值两两相异， 记vi为对应λi的特征向量，P=[v1,…,vn]， 则
定义3.9 基本解阵为下述矩阵方程的解阵 定义
& Ψ(t ) = A(t )Ψ(t ), Ψ(t0 ) = H
其中，H为任意非奇异的实常数矩阵。
2010-10-21 3
3.5.1 状态转移矩阵(续)
下面给出基本解阵和状态转移矩阵的属性 和形式： 1) 基本解阵的构成 结论3.31 基本解阵Ψ(t)不唯一。 结论 结论3.32 基本解阵Ψ(t)可由自治方程 结论
2010-10-21 11
3.5.2 系统的状态响应(续)
x0u (t ) = Φ(t , t0 ) x0 , t ∈[t0 , t f ]
x0 x (t ) =
∫ Φ(t,τ )B(τ )u(τ )dτ
t0
t
2) 状态运动计算上的困难：通常难于确定 Φ(t,t0)的解析表达式。 3) 线性系统状态运动形式上的统一 时变： x(t ) = Φ(t, t0 ) x0 + ∫t Φ(t,τ )B(τ )u(τ )dτ 时不变： x(t ) = Φ(t t ) x + t Φ(t τ )B(τ )u(τ )dτ
0
& Φ(t , t0 )ξ (t ) = B(t )u & ξ (t ) = Φ(t , t ) B(t )u
0
上式两边积分：
ξ (t ) ξ (t0 ) = ξ (t ) =
∫ Φ(t ,τ )B(τ )u(τ )dτ
t0 0
t
x(t ) = Φ(t , t0 ) x0 + Φ(t , t0 ) Φ(t0 ,τ ) B(τ )u(τ )dτ
t0
2010-10-21 10
∫
t
ห้องสมุดไป่ตู้
3.5.2 系统的状态响应(续)
x(t ) = Φ(t , t0 ) x0 + Φ(t , t0 ) Φ(t0 ,τ ) B(τ )u(τ )dτ
t0
∫
t
= Φ(t , t0 ) x0 +
∫ Φ(t,τ )B(τ )u(τ )dτ
t0
t
时变系统运动性质的几点推论 1) 零输入响应和零初态响应：线性时变系 统状态运动x(t)由零输入响应x0u(t)和零初 态响应x0x(t)叠加组成，分别是
& x = A(t ) x, x(t0 ) = x0 , t ∈[t0 , t f ]
的任意n个线性无关解构成。
2010-10-21 4
3.5.1 状态转移矩阵(续)
1) 基本解阵的构成 结论3.33 基本解阵Ψ(t)具有如下形式： 结论 Ψ(t)=Φ(t,t0)Ψ(t0), t∈[t0,tf] 2) 状态转移矩阵和基本解阵的关系 结论3.34 Φ(t,t0)与Ψ(t)具有关系： 结论 Φ(t,t0)=Ψ(t)Ψ1(t0), t∈[t0,tf] 证明：略。
2010-10-21 21
3.5.4 A(t)为周期阵的时变系统 运动分析(续)
λ1 P 1QP = O λn
令 构造
1 βi = ln λi , λi = e βiT , i = 1,2,L, n T
β1 P 1 A = P O βn
2010-10-21
e AT
t0 0
t
f
]
2010-10-21
18
3.5.4 A(t)为周期阵的时变系统 运动分析
考虑一类特殊的线性时变系统
& x = A(t ) x + B(t )u y = C(t ) x + D(t )u
A(t ) = A(t + T ), t
以下分析这类特殊系统运动的属性。 1) 基本解阵 结论3.40 若Ψ(t)是基本解阵，则Ψ(t+T) 结论 也是基本解阵。 证明：只需证Ψ(t+T)满足基本解阵方程和
(1) ( 2)
2010-10-21 14
[
]
3.5.2 系统的状态响应(续)
由此，可定出Φ(t,t0)为
2 0 2 1 0 0 Φ(t, t0 ) = Ψ(t )Ψ (t0 ) = = 0.5t 2 0.5t 2 1 2 2 0 1 t t0 1 0
1 1
进而，可确定系统状态运动规律为
2010-10-21 19
3.5.4 A(t)为周期阵的时变系统 运动分析(续)
初始条件，实际上
& Ψ(t + T ) = A(t + T )Ψ(t + T ) = A(t )Ψ(t + T )
非奇异 这就证明Ψ(t+T)也是基本解阵。证毕。 结论3.41 若Ψ(t)和Ψ(t+T)是基本解阵， 结论 则存在常数矩阵
5) 时变和时不变系统状态转移矩阵的区别 a) 对时变系统，状态转移矩阵Φ(t,t0)依赖 于“绝对时间”，与初始时刻t0选择有关；
2010-10-21 6
3.5.1 状态转移矩阵(续)
对时不变系统，状态转移矩阵Φ(tt0)依赖 于“相对时间”，与初始时刻t0选择无关。 b) 对时不变系统，可给出Φ(tt0)的闭形 式；对时变系统，除特殊和简单情形外， 一般得不到Φ(t,t0)的闭形式。 状态转移矩阵的基本性质 1) 初始值： Φ(t0,t0)=I 2) 逆： Φ1(t,t0)=Φ(t0 ,t)
2010-10-21 13
3.5.2 系统的状态响应(续)
任取两组线性无关的初始状态变量： x1(t0)=0，x2(t0)=1 x1(t0)=2，x2(t0)=0 得到两个线性无关解：
2 0 ( 2) x (t ) = , x (t ) = 2 2 1 t t0
(1)
2 0 Ψ(t ) = x (t ) x (t ) = 2 1 t 2 t0
3.5 连续时间线性时变系统的运 动分析
线性时变系统的运动不管是规律形态还是 分析方法都要复杂得多，但其运动规律在 形式上十分类似于时不变系统。 本节主要内容 3.5.1 状态转移矩阵 3.5.2 系统的状态响应 3.5.3 脉冲响应矩阵 3.5.4 A(t)为周期阵的时变系统运动分析
2010-10-21 2
3.5.1 状态转移矩阵
考虑连续时间线性时变系统
& x = A(t ) x + B(t )u, x(t0 ) = x0 , t ∈[t0 , t f ]
定义3.8 状态转移矩阵为下述矩阵方程的 定义 解矩阵
& Φ(t , t0 ) = A(t )Φ(t , t0 ), Φ(t0 , t0 ) = I
2010-10-21 7
3.5.1 状态转移矩阵(续)
3) 传递性：Φ(t2,t1)Φ(t1,t0) =Φ(t2,t0) 4) 逆求导：
d 1 d Φ (t , t0 ) = Φ(t0 , t ) = Φ(t0 , t ) A(t ) dt dt
2010-10-21
8
3.5.2 系统的状态响应
类似于时不变系统，把系统的运动分解为 “初始状态x0转移项”和“输入作用等价 状态ξ(t)转移项”之和，即
则称 {A(t ), B (t ), C (t ), D (t )} 为 {A(t ), B(t ), C(t ), D(t )} 的 Lyapunov变换。 Lyapunov变换不改变系统的稳定性，但 一般等价变换不保证这一点。
x(t ) = Φ(t, t0 ) x0 + Φ(t,τ )B(τ )u(τ )dτ
t0
∫
t
1 01 = 2 2 + 0.5t 0.5 1
2010-10-21
∫
1 01 0.5t 2 0.5τ 2 11dτ t0
t
15
3.5.2 系统的状态响应(续)
系统状态运动规律
1 01 t 1 01 x(t ) = 2 2 + t 0.5t 2 0.5τ 2 11dτ 0.5t 0.5 1 0 t 1 1 = 2 + 1 t 2 0.5t 2 + 2 0.5t + 1.5 3 3 t 2 = 1 2 3 t + t + 3
第三章 线性系统的运动分析
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 引言 连续时间线性时不变系统的运动分析 连续线性时不变系统的状态转移矩阵 连续线性时不变系统的脉冲响应矩阵 连续时间线性时变系统的运动分析 连续时间线性系统的时间离散化 离散时间线性系统的运动分析
1
2010-10-21