第一章 概率论与数理统计1
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概 率 论
第一章 随机事件与概率
例1 设B A ,为随机事件,已知()
4.0,6.0)(,
5.0)(===A B P B p A P ,求 1) )(B A P + 2) )(B A P 3) ()B A P 4) )(B A P - 5) )(B A P + 例2 6个不同的球,投入编号为1到7的7个空盒中,求下列事件的概率:1) 1号到6号盒中各有一个球 2) 恰有6个盒中各有1个球 3) 1号盒内有2个球
例3 袋中有两个5分的,三个贰分的,五个1分的钱币。任取其中5个,求钱额总数超过壹角的概率。
例4 验收一批共有60件的可靠配件,按验收规则,随机抽验3件,只要3件中有一件不合格就拒收整批产品,假设,检验时,不合格品被误判为合格品的概率为0.03 ,而合格品被判为不合格品的概率为0.01,如果在60件产品中有3件不合格品,问这批产品被接收的概率是多少?
例5 验收成箱包装的玻璃器皿,每箱24只装,统计资料表明,每箱最多有2件残品,且含0,1和2件残品的箱各占80%,15%和5%。现随意抽取一箱,从中随意检验4只,若未发现残品则通过验收,否则逐一检验并更换。试求:1)一次通过验收的概率 2)通过验收的箱中确无残品的概率。
例6 一个医生已知某疾病的自然痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定10人中至少有4人治好,则认为这种药有效,反之,则无效,求:1)虽然新药有效,且把痊愈的概率提高到35%,但经过验收被否定的概率;2)新药完全无效,但经过试验被认为有效的概率。
例7 设B A ,是两个事件,0)(,0)(21>=>=P B P P A P ,且121>+P P ,证明:1
211)(P P A B P --≥ 例8 已知161)()(,0)(,41)()()(====
==BC P AB P AB P C P B P A P ,求C B A ,,全不发生的概率。
例9 在长度为a 的线段内任取两点,将其分成三段,求它们能构成三角形的概率。 例10 设有三门炮同时对某目标射击,命中的概率分别为0.2,0.3,0.5,目标命中一发被击毁的概率是0.2,命中两发被击毁的概率为0.6,命中三发被击毁的概率为0.9,求三门炮在一次射击中击毁目标的概率。 例11 假设一厂家生产的仪器,以概率0.70可以直接出厂,以概率0.30需进一步调试,调试后以概率0.80可以出厂,并以概率0.20定为不合格品而不能出厂。现该厂生产了)
2n(n ≥
台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立),求:
1) 全部能出厂的概率; 2)其中恰好有两件不能出厂的概率; 3)其中至少有两件
不能
出厂的概率。
例12 某型号的高炮,每门炮发射一发击中飞机的概率是0.6。现若干门炮各发射一发,问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机至少需配置几门炮?
习 题
一 填空题
1 设B A ,为随机事件,,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则()______=B A P
2 设事件B A ,相互独立,已知,8.0)(,
5.0)(==B A P A P 则()______=B A P ()______=B A P
3 设B A ,是两个任意不相容的事件,则________)(=-B A P
4 设B A ,是两个随机事件,已知()
7.0,4.0)(,3.0)(===B A P A B P B A P ,则 _______)(=+B A P
5 设41)()()(===C P B P A P ,81)()()(===BC P AC P AB P ,161)(=ABC P ,则 _______)(=C B A P ________)(=C B A P P(C B A ,,恰好发生一个)=________ P(C B A ,,至多出现一个)= ________ ()_______=C B A A P
6 一射手对同一目标射击4次,假设每次是否命中目标是相互独立的,已知至少命中一
次的一射手对同一目标射击4次,假设每次是否命中目标是相互独立的,已知至少命中一次的概率是81
80,则该射手的命中概率是________ 7 设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率是________
8 通信渠道传递15个信号,假设每个信号在传递过程中失真的概率为P ,若C B A ,,分别表示A :无一信号失真;B :恰有一信号失真;C :两个以上信号失真,则____)(=A P ____)(=B P ____)(=C P
9 两封信随机地投入已标号为1,2,3,4,5的五个信筒内,则第3号信筒刚好只投入一封信的概率为________
10 有k 个袋子,每个袋内均有n 张卡片,分别编有号码1,2,n , 。现在从每个袋中各
取1张卡片,则取到卡片上的最大编号不超过2+m ,且不小于m 的概率为________
11 在一张打上方格的纸上投一枚直径为1的硬币,方格边长为________时,才能使硬币不与线相交的概率不小于1%
12 甲、乙两射手对同一目标进行射击,甲射手的命中率为1P ,乙射手的命中率为2P ,)1,0(21<
应满足关系________ 二 选择题
1 设B A ,为任意两个事件,且0)(,>⊂B P B A ,则下列成立的是( )
A ))()(
B A P A P < B ))()(B A P A P ≤
C ))()(B A P A P >
D ))()(B A P A P ≥ 2 设B A ,满足1)(=A B P ,则( )
A )A 是必然条件
B )0)(=A B P
C )B A ⊃
D ))()(B P A P ≤
3 对事件B A ,,下列命题正确的是( )
A) 事件B A ,互不相容,则事件B A ,也互不相容。 B) 如果B A ,相容,则B A ,也相容。
C) 如果B A ,互不相容,且,0)(,0)(>>B P A P 则B A ,相互独立。
D)若B A ,相互独立,则B A ,也独立。
4 设B A ,C 是两两独立且不能同时发生的随机事件,且,)()()(x C P B P A P ===则x 的最大值为( )
A) 21 B ) 1 C) 31 D) 4
1 5 已知B A ,C 为任意三个随机事件,则[]))((C A B A P -+等于( )
A) )()()()(ABC P AB P AC P A P -+- B) )()()()(ABC P AB P AC P A P --+