清华大学断裂力学讲义ch7-动态裂纹扩展
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
v 2 x ,t x1
2
2
u3,
1 1 1 u 0 0 3 0 , 3, 2 2 3 2 Cl Cs Cs
定解方程从对时间的二阶导数变做对移动坐标的二阶导，进而引入 变换型的复变量使方程变成调和方程
※ 裂纹扩展的能量判断准则
1 dW dU dT 1 dW dU dT G v 动态能量释放率 I B da da da Ba dt dt dt 其中与静态能量释放率相比，多出动能项 T。
动态能量释放率 GI v 与动态强度因子 K D v 存在如下关系
※关于超音速裂纹扩展的 Mother&Daughter Crack 的理论 工作（Gao，Huang and Abraham，2001，JMPS） 1. 裂纹的起裂按照 Griffith 的能量断裂准则 2. daughter crack 产生于当 mother crack 裂纹前方延长 线上的峰值拉应力大于最大内聚力时
1 2 2 G FK D E
F 为能量转换因子
4 s l 1 s2
2
0对应于瑞利波速
F
1 Cs2 4 s l 1 s2 2
v 3 l
，两个极限
当 v 0 ，退化为静态裂纹， F 1
F 随 v 增加而增加，当 v 趋近于瑞利波速 C R 时， F ，即若裂纹
Arl cos l ，3 Brs sin s
再利用裂纹上下岸的表面自由边界条件 ,3 u
2 0
得特征方程并解特征值为
2 l 3 B A 2 1 s 2，
只剩一个未知量A，怎么定？
l 1 v 2 / Cl2
x 2 ,t
ˆ3 u l x1
x 2 ,t
(近
为什么？
物质点对时间导数
l v x ,t x ,t x1 x1
2 2
ˆ3 u u 3 l x1
x 2 ,t
v l 为裂纹扩展速度，类似的
按瑞利波速扩展，需要无限的裂纹注入裂尖，据此亦可说明断裂速 度应小于瑞利波速。 （稍后讨论）
不多的几个动态裂纹理论解 Yoffe 的平移运动中心裂纹的动态裂纹解
动态断裂研究热点--超音速或跨音速裂纹扩展 ※实验（Rosakis,1999，Nature）II型，弱界面（解释）
※实验（Rosakis,1999，Nature）II 型续
A
s 1 v 2 / Cs2
0 时，动态应力强度因子为零，对
应于瑞利波速 C R ，所以该公式表明裂纹不可能在均匀介质 中以高于瑞利波速的速度运行。
v CR Cs Cl （稍后讨论）
※ 裂纹扩展的应力强度因子准则 当静态裂纹 K I K IC 时， 裂纹起裂， 裂纹扩展速度逐渐增加， 而动态裂纹应力强度因子 K D 逐渐减小，当 K D 低于 K IC 时， 止裂，之后 K I 又上升，裂纹再次起裂和扩展，循环往复这 一过程，直至 K D K IC 。
u3 ReH zs ， ReF zl ，3 ReGzs ，其中 H、F 和 G 是解
析函数。如何确定？
i l i s z r e z r e 两个复平面上的极坐标表示 l l ， s s
u1 ,1 3, 2
以 I 型问题为例，类似于静态裂纹，以幂级数展开，首项为
第七章 动态裂纹扩展
Baidu Nhomakorabea
※ 经典的动态断裂 ※ 现今动态断裂方面的一个热点问题
经典动态断裂研究 ※首先考察一般的动态弹性力学问题 i ij, j f i u 平衡方程： 1 ij ui , j u j .i 2 几何方程： 本 构 方 程 （ 各 向 同 性 线 弹 性 ）： ij kk 2 ij
fi
，
,3 , ，
i ui , u
准静态裂纹扩展
定解方程可以解耦变成以下两组： 1. 反平面剪切问题： u3 2,1 1, 2
, 0 ，因此定解方程
u3,
1 3 0 2u 【题 7-1】 ， 待定场函数为 u3 Cs
2. 平面应变问题： u1 ,1 3, 2 ， u2 , 2 3,1 ，对应的定解方程为 1 1 , 2 0 3, 2 3 0 ， ， 待定场函数为 和3 Cl Cs
先以 Rayleigh 波速扩展，突然 产生 daughter crack 并以 1.6 倍的纵波波速扩展，超音速扩展
看动画展示
※非线性系统分子动力学模拟（双二次势） （Buehler，Abraham，Gao，2003，Nature）
相对于 Rayleigh 波 速
※局部波速效应的理论工作——III 型剪切动态裂纹 （Guo G，Yang W，Huang Y，2003，JMPS） 超音速扩展仍建立 在局部非线性弹性 硬化基础上。 提出预储存能量可 以保证裂纹超音速 扩展时正的能量释 放率。
E E 1 2 1 ， 21 其中
i ，将几何方程代入本构方程最终代入 动态问题，不再忽略惯性项 u 平衡方程，得 Navier 方程 i u j, ji 2ui u
※一般的动态弹性力学问题
2 i u ui u j , ji Navier 方程：
在静态断裂问题时，我们采用应力函数等来自动满足一些方程。对 于动态问题，Sternberg 证明，满足上式的位移场可以用一个标量 势函数 和一个散度为零的向量势函数 k 来表示
ui ,i eijkk , j
k ,k 0
称为 Helmholtz 变换，可以证明 Navier 方程等价于下述波动方程 1 2 2 0 Cl 1 2 k 2 k 0 Cs
A
1． 动态裂纹尖端场仍具有 r 1/ 2 的奇异性
K III v 1 I II K I v ; v K II v ; v 3 3 ; v ， 2r 2r
l 1 v 2 / Cl2
i l x2 ， zl x1
i s x2 ， 其 中 l 1 v 2 / Cl2 zs x1
，
s 1 v 2 / Cs2
通解为 u3 ReH zs ， ReF zl ，3 ReGzs ，其中 H、F 和 G 是解析函数【题 7-2】 。注意是亚音速 v Cs ，两个复平面。
观测到了马赫锥，超音速扩展？
超过剪切波速 Cs ！ 经典理 论不能预测！ 稳定扩展波速为 2Cs 符合 Freund 的理论预测
※超音速裂纹扩展的分子动力学模拟（Abraham 和 GaoH2000PRL）
（思考何种波速）
三角形晶格，1424×712 atoms界面原子间采用LJ势，其余采用二次 势
3．动态应力强度因子 K D 与裂纹扩展速度 v 有关 l 1 v 2 / Cl2
K D lim 2r 22 r ,0, t
r 0
显然，当 4 s l 1
2 2 s
3 2 4 s l 1 4 1 s2
2 2 s
3. 传统理论不能解释的跨音速和超音速裂纹扩展
2 C Cs 其中 l 为纵波波速， 为横波波速。
1 2 2 0 k ,k 0 Cl 1 2 k 0 ※ 具体到裂纹尖端场 k 2 Cs 当无限靠近裂尖 L 时，有以下量级关系
ui ,i eijk k , j
s 1 v 2 / Cs2
il x2 zl x1
i s x2 zs x1
动态扩展裂纹的应力强度因子
K D lim
r 0
3 2r 22 r ,0, t
2 4 s l 1 4 1 s2
2 2 s
在静态裂纹时，对于定解方程采 用复变函数中的解析函数使方 程自动满足，动态裂纹可以类似 处理，但是需采用随裂尖运动的 坐标系 x1 l t ， x2 x2 x1
l t 为裂纹扩展长度
原定解方程都建立在物质点上，如
u3,
1 3 0 2u ，如何用移动坐标表 Cs
动态断裂小结 1. 经典的动态断裂预测裂纹扩展速度不能超过 Rayleigh 波速，应力奇异性仍为 r 的-1/2 次方，应力强度因子随 裂纹扩展速度增加而减少
0 有最大环向应力。 2. 对于 I 型裂纹扩展， 而当 v 0.6Cs 时，最大环向应力出现在 60 度角的方向。可以用于解释 动态裂纹扩展分叉。
, x2 ,t) u ˆ3 ( x1 ˆ3 ( x1 l t , x2 , t ) 示？以 u3 为例， u3 ( x1 , x2 , t ) u
u 3 3 u 物质点对时间导数 t
似在裂尖成立)
x
ˆ3 u t
x
ˆ3 u t
x
ˆ3 u l x1
s 1 v 2 / Cs2
il x2 zl x1
i s x2 zs x1
1 I II ; v K II v ; v K I v 2r
2．角分布函数与裂纹扩展速度 v 和泊桑比 有关。以 I 型 动态裂纹为例，当 v 0 ，解退化为静态裂纹， 0 有最大 环向应力。而当 v 0.6Cs 时，最大环向应力出现在 60 度角 的方向。可以用于解释动态裂纹扩展分叉。
※另一种可能的机制—局部波速控制扩展（Abraham 等人 2002PNAS） 分子动力学模拟 对比两种势： 二次势：线弹性 非二次势： （非线性弹 性） 由 LJ 势的斥力部分 对称构造，并确保与二 次势在平衡位臵时的初 始刚度一致。
先以 Rayleigh 波速扩展，突然 产生 daughter crack 并以纵波 波速扩展
※超音速裂纹扩展的分子动力学模拟(Abraham 和 GaoH2000PRL)续
裂纹扩展速度的禁区
观察到 II 型裂纹扩展的一个转折点
※超音速裂纹扩展 的分子动力学模拟 (Abraham GaoH2000PRL)续 在裂纹转折点处发 生了什么现象？ Mother Crack & Daughter Crack 超音速扩展的机制 和解释一 和
2
2
u3,
1 1 1 u 0 0 3 0 , 3, 2 2 3 2 Cl Cs Cs
定解方程从对时间的二阶导数变做对移动坐标的二阶导，进而引入 变换型的复变量使方程变成调和方程
※ 裂纹扩展的能量判断准则
1 dW dU dT 1 dW dU dT G v 动态能量释放率 I B da da da Ba dt dt dt 其中与静态能量释放率相比，多出动能项 T。
动态能量释放率 GI v 与动态强度因子 K D v 存在如下关系
※关于超音速裂纹扩展的 Mother&Daughter Crack 的理论 工作（Gao，Huang and Abraham，2001，JMPS） 1. 裂纹的起裂按照 Griffith 的能量断裂准则 2. daughter crack 产生于当 mother crack 裂纹前方延长 线上的峰值拉应力大于最大内聚力时
1 2 2 G FK D E
F 为能量转换因子
4 s l 1 s2
2
0对应于瑞利波速
F
1 Cs2 4 s l 1 s2 2
v 3 l
，两个极限
当 v 0 ，退化为静态裂纹， F 1
F 随 v 增加而增加，当 v 趋近于瑞利波速 C R 时， F ，即若裂纹
Arl cos l ，3 Brs sin s
再利用裂纹上下岸的表面自由边界条件 ,3 u
2 0
得特征方程并解特征值为
2 l 3 B A 2 1 s 2，
只剩一个未知量A，怎么定？
l 1 v 2 / Cl2
x 2 ,t
ˆ3 u l x1
x 2 ,t
(近
为什么？
物质点对时间导数
l v x ,t x ,t x1 x1
2 2
ˆ3 u u 3 l x1
x 2 ,t
v l 为裂纹扩展速度，类似的
按瑞利波速扩展，需要无限的裂纹注入裂尖，据此亦可说明断裂速 度应小于瑞利波速。 （稍后讨论）
不多的几个动态裂纹理论解 Yoffe 的平移运动中心裂纹的动态裂纹解
动态断裂研究热点--超音速或跨音速裂纹扩展 ※实验（Rosakis,1999，Nature）II型，弱界面（解释）
※实验（Rosakis,1999，Nature）II 型续
A
s 1 v 2 / Cs2
0 时，动态应力强度因子为零，对
应于瑞利波速 C R ，所以该公式表明裂纹不可能在均匀介质 中以高于瑞利波速的速度运行。
v CR Cs Cl （稍后讨论）
※ 裂纹扩展的应力强度因子准则 当静态裂纹 K I K IC 时， 裂纹起裂， 裂纹扩展速度逐渐增加， 而动态裂纹应力强度因子 K D 逐渐减小，当 K D 低于 K IC 时， 止裂，之后 K I 又上升，裂纹再次起裂和扩展，循环往复这 一过程，直至 K D K IC 。
u3 ReH zs ， ReF zl ，3 ReGzs ，其中 H、F 和 G 是解
析函数。如何确定？
i l i s z r e z r e 两个复平面上的极坐标表示 l l ， s s
u1 ,1 3, 2
以 I 型问题为例，类似于静态裂纹，以幂级数展开，首项为
第七章 动态裂纹扩展
Baidu Nhomakorabea
※ 经典的动态断裂 ※ 现今动态断裂方面的一个热点问题
经典动态断裂研究 ※首先考察一般的动态弹性力学问题 i ij, j f i u 平衡方程： 1 ij ui , j u j .i 2 几何方程： 本 构 方 程 （ 各 向 同 性 线 弹 性 ）： ij kk 2 ij
fi
，
,3 , ，
i ui , u
准静态裂纹扩展
定解方程可以解耦变成以下两组： 1. 反平面剪切问题： u3 2,1 1, 2
, 0 ，因此定解方程
u3,
1 3 0 2u 【题 7-1】 ， 待定场函数为 u3 Cs
2. 平面应变问题： u1 ,1 3, 2 ， u2 , 2 3,1 ，对应的定解方程为 1 1 , 2 0 3, 2 3 0 ， ， 待定场函数为 和3 Cl Cs
先以 Rayleigh 波速扩展，突然 产生 daughter crack 并以 1.6 倍的纵波波速扩展，超音速扩展
看动画展示
※非线性系统分子动力学模拟（双二次势） （Buehler，Abraham，Gao，2003，Nature）
相对于 Rayleigh 波 速
※局部波速效应的理论工作——III 型剪切动态裂纹 （Guo G，Yang W，Huang Y，2003，JMPS） 超音速扩展仍建立 在局部非线性弹性 硬化基础上。 提出预储存能量可 以保证裂纹超音速 扩展时正的能量释 放率。
E E 1 2 1 ， 21 其中
i ，将几何方程代入本构方程最终代入 动态问题，不再忽略惯性项 u 平衡方程，得 Navier 方程 i u j, ji 2ui u
※一般的动态弹性力学问题
2 i u ui u j , ji Navier 方程：
在静态断裂问题时，我们采用应力函数等来自动满足一些方程。对 于动态问题，Sternberg 证明，满足上式的位移场可以用一个标量 势函数 和一个散度为零的向量势函数 k 来表示
ui ,i eijkk , j
k ,k 0
称为 Helmholtz 变换，可以证明 Navier 方程等价于下述波动方程 1 2 2 0 Cl 1 2 k 2 k 0 Cs
A
1． 动态裂纹尖端场仍具有 r 1/ 2 的奇异性
K III v 1 I II K I v ; v K II v ; v 3 3 ; v ， 2r 2r
l 1 v 2 / Cl2
i l x2 ， zl x1
i s x2 ， 其 中 l 1 v 2 / Cl2 zs x1
，
s 1 v 2 / Cs2
通解为 u3 ReH zs ， ReF zl ，3 ReGzs ，其中 H、F 和 G 是解析函数【题 7-2】 。注意是亚音速 v Cs ，两个复平面。
观测到了马赫锥，超音速扩展？
超过剪切波速 Cs ！ 经典理 论不能预测！ 稳定扩展波速为 2Cs 符合 Freund 的理论预测
※超音速裂纹扩展的分子动力学模拟（Abraham 和 GaoH2000PRL）
（思考何种波速）
三角形晶格，1424×712 atoms界面原子间采用LJ势，其余采用二次 势
3．动态应力强度因子 K D 与裂纹扩展速度 v 有关 l 1 v 2 / Cl2
K D lim 2r 22 r ,0, t
r 0
显然，当 4 s l 1
2 2 s
3 2 4 s l 1 4 1 s2
2 2 s
3. 传统理论不能解释的跨音速和超音速裂纹扩展
2 C Cs 其中 l 为纵波波速， 为横波波速。
1 2 2 0 k ,k 0 Cl 1 2 k 0 ※ 具体到裂纹尖端场 k 2 Cs 当无限靠近裂尖 L 时，有以下量级关系
ui ,i eijk k , j
s 1 v 2 / Cs2
il x2 zl x1
i s x2 zs x1
动态扩展裂纹的应力强度因子
K D lim
r 0
3 2r 22 r ,0, t
2 4 s l 1 4 1 s2
2 2 s
在静态裂纹时，对于定解方程采 用复变函数中的解析函数使方 程自动满足，动态裂纹可以类似 处理，但是需采用随裂尖运动的 坐标系 x1 l t ， x2 x2 x1
l t 为裂纹扩展长度
原定解方程都建立在物质点上，如
u3,
1 3 0 2u ，如何用移动坐标表 Cs
动态断裂小结 1. 经典的动态断裂预测裂纹扩展速度不能超过 Rayleigh 波速，应力奇异性仍为 r 的-1/2 次方，应力强度因子随 裂纹扩展速度增加而减少
0 有最大环向应力。 2. 对于 I 型裂纹扩展， 而当 v 0.6Cs 时，最大环向应力出现在 60 度角的方向。可以用于解释 动态裂纹扩展分叉。
, x2 ,t) u ˆ3 ( x1 ˆ3 ( x1 l t , x2 , t ) 示？以 u3 为例， u3 ( x1 , x2 , t ) u
u 3 3 u 物质点对时间导数 t
似在裂尖成立)
x
ˆ3 u t
x
ˆ3 u t
x
ˆ3 u l x1
s 1 v 2 / Cs2
il x2 zl x1
i s x2 zs x1
1 I II ; v K II v ; v K I v 2r
2．角分布函数与裂纹扩展速度 v 和泊桑比 有关。以 I 型 动态裂纹为例，当 v 0 ，解退化为静态裂纹， 0 有最大 环向应力。而当 v 0.6Cs 时，最大环向应力出现在 60 度角 的方向。可以用于解释动态裂纹扩展分叉。
※另一种可能的机制—局部波速控制扩展（Abraham 等人 2002PNAS） 分子动力学模拟 对比两种势： 二次势：线弹性 非二次势： （非线性弹 性） 由 LJ 势的斥力部分 对称构造，并确保与二 次势在平衡位臵时的初 始刚度一致。
先以 Rayleigh 波速扩展，突然 产生 daughter crack 并以纵波 波速扩展
※超音速裂纹扩展的分子动力学模拟(Abraham 和 GaoH2000PRL)续
裂纹扩展速度的禁区
观察到 II 型裂纹扩展的一个转折点
※超音速裂纹扩展 的分子动力学模拟 (Abraham GaoH2000PRL)续 在裂纹转折点处发 生了什么现象？ Mother Crack & Daughter Crack 超音速扩展的机制 和解释一 和