高数复习资料(连续与可导)

f ( x ) − f ( 0) 故 f ′(0) = lim =1 x →0 x−0
例：
且 设对任意实数 x 均有 f (1 + x ) = a f ( x )， f ′(0) = b
点处可导， ( a , b 为非零常数 ), 证明 f ( x ) 在 x = 1 点处可导，并求 f ′(1)。
若 f (0) = 0 , 由于 x = x + 0 , 则 f ( x) = f ( x) f (0) = 0 ,
与 f ′(0) = 1 矛盾 , 故 f (0) = 1 .
f ( x + ∆x) − f ( x) lim ∆x →0 ∆x
f ( x) f (∆x) − f ( x) f (∆x) − 1 = lim = f ( x) lim ∆x →0 ∆x → 0 ∆x ∆x
1 2n n
100 , 解： f ( x) = 2 x ,
| x |≤ 10 | x |> 10
函数 f ( x) 在 | x |< 10 U | x |> 10 上连续 ,
f (−10 − 0) = f (−10 + 0) = f (−10) = 100 f (10 − 0) = f (10 + 0) = f (10) = 100
由零点存在定理
得∃ξ ∈ [a, b] ⊂ (−∞,+∞), 使 f (ξ ) = 0
练习四/十
设函数f ( x)在[0,1]上连续，且f (1) > 1, 证明∃ξ ∈ (0,1), 使f (ξ ) = ξ .
−2
证： F ( x ) = x 2 f ( x ) − 1, 则F ( x)在[0,1]上连续. 令
ϕ ( x ) − ϕ ( 0)
例 : 设 f ′(0) = 1, 且对任意实数x, y, 均成立 f ( x + y ) = f ( x) f ( y ), 证明f ′( x) = f ( x) .
证 : 取x = y = 0, 得f (0) = f (0) ⋅ f (0),
有f (0) = 0或f (0) = 1.
dx 1 2 = = x −1 dy dy dx
例：设 y = x
( x > 0) , 计算 y′( ) . 2 解：ln y = sin 2 x ln x
sin 2 x
π
2 ′ y sin x = 2 sin x cos x ⋅ ln x + y x
sin x (sin 2 x ⋅ ln x + ) y′ = x x π π 1 1 y′( ) = ( ) ⋅ (0 + π ) = 1 2 2 2
f (0 + ∆x) − f (0) = f ( x) lim ∆x →0 ∆x
= f ( x) ⋅ f ′(0) = f ( x) .
∴ f ′( x) = f ( x) .
例 : 若对x ∈ (−δ , δ ), 恒成立 f ( x) − x ≤ x ,
2
证明函数f ( x)在点x = 0处可导.
1 ϕ ( x) cos f ( x) − f (0) / x 解 : f (0) = lim = lim x →0 x →0 x−0 x
1 = lim cos = 0 x →0 x−0 x ϕ ( x) − ϕ (0) / = ϕ (0) = 0 Q lim x →0 x−0 1 cos 是有界函数 x
证 明
当 x = 0 时， f (1) = a f (0),
f (1 + x ) − f (1) lim a f ( x ) − a f (0) = lim x →0 x x →0 x
f ( x ) − f ( 0) = a lim = a f ′( 0 ) x →0 x
=ab
∴ f ′(1) = ab
F (0) = −1 < 0,
F (1) = f (1) − 1 > 0,
由零值定理， ∃ ξ ∈ ( 0 ,1), 使 F (ξ ) = 0，
即ξ 2 f (ξ ) − 1 = 0,
亦即 f (ξ ) = ξ −2 .
练习四/十五
n →∞
讨论函数 f ( x) = lim[100n + x ] 的连续性 .
证 :由已知得f (0) = 0.
f ( x) − x 又0 ≤ ≤ x , ( x ≠ 0) 且 lim x = 0, x →0 x f ( x) − x f ( x) − x 于是 lim = 0, 从而 lim = 0. x →0 x →0 x x f ( x) − x f ( x) − f (0) 但 lim = lim − 1 x →0 x →0 x x−0
K 2 = [ f ′( x) sin x + f ( x) cos x] |
因为K1 = K 2
π
2
对应点处的
x = 2 kπ +
π
2
= f ′(2kπ +
π
2
)
可知两曲线在交点处有公共切线
所以两曲线在交点处相切
2.导数的计算
导数公式
导数的四则运算法则
复合函数的导数（链式法则）
隐函数, 反函数, 参数方程求导,
sin x
2
2
例: 设y = (ln x) ⋅ x
x
ln x
+ e , 求y′(e).
3
2
解 : 令z = (ln x) x ⋅ x ln x , 则 ln z = x ln(ln x) + (ln x) ,
z′ 1 2 = ln(ln x) + + ln x, z ln x x 1 2 x ln x z ′ | x =e = (ln x) ⋅ x [ln(ln x) + + ln x] | x =e ln x x = e+2
= e x + f ( x)
f ( x ) 也可导， f ′( x ) = e x + f ( x ) . 且 ∴ x ≠ 0 时， 也可导，
例：设函数f ( x)可导, 且f ( x) ≠ 0, 证明 :
曲线y = f ( x)与y = f ( x) sin x在交点处相切 .
证 : 先求两曲线的交点
练习四/一(4)
x 1 2 3 + x sin 3 , x < 0 x = 0 是函数 f ( x) = 的 ) ( 2 x 1 + sin , x>0 3 x
1 2 x 1 2 x lim f ( x) = lim− ( + sin ) = + lim ⋅ = 1 x →0 − x →0 3 x 3 3 x →0 − x 3
对数求导法,抽象函数求导. 极坐标系下曲线的切线
1 − e − x 例 : 设 f ( x ) = x , x ≠ 0 , 讨论 f ′( x )的连续性. 0, x=0
2
解：
当x ≠ 0时, f ′( x ) =
2x e
2 − x2
−1+ e 2 x
− x2
,
当 x ≠ 0 时 , f ′( x) 连续 .
x( x − 1) 1 f ( x) = sin x ( x + 1)( x − 1) 2x −1
练习四/八 练习四 八 若 k > 0, 证明直线y = kx + h与
曲线y = sin x至少有一个交点.
证： f ( x) = kx + h − sin x 令 则f ( x)在(−∞,+∞)上连续 1 1 取a = (−1 − h) b = (1 − h) k k 有 f (a) ≤ 0 , f (b) ≥ 0
由 f ( x) = f ( x) sin x , 有 sin x = 1
得 x = 2kπ +
π
2
(k = 0,±1,±2,L)
曲线 y = f ( x) 在x = 2kπ +
π
2
对应点处的切线斜率为
K1 = f ′( x) |
x = 2 kπ +
π
2
= f ′(2kπ +
π
2
)
而曲线 y = f ( x) sin x在x = 2kπ + 切线斜率为
x →0
− x2
+
−1
2
x
)
= 2 − 1 = 1 = f ′(0)
f ′( x)在点x = 0处连续,
∴ f ′( x)连续 .
1 1− x dx 例：设函数y = ln ,求 . 2 1+ x dy
1 1 解 : y = ln 1 − x − ln 1 + x 2 2
1 dy 1 − 1 1 1 = 2 = ⋅ − ⋅ dx 2 1 − x 2 1 + x x − 1
例：
若对一切实 数 也可导， 且 且 f ′(0) = 1， 证明当 x ≠ 0 时，f ( x ) 也可导，
x , y, 有
f ( x + y ) = e x f ( y ) + e y f ( x )，
f ′( x ) = e x + f ( x ) .
明 令 x = 0 , y = 0 , 有 f (0) = f ( 0) + f (0), 得 f ( 0) = 0, 证
f ( x) − f (0) 1− e f ′(0) = lim = lim x →0 x →0 x−0 x2
− (− x 2 ) = lim = 1, 2 x →0 x
− x2
lim f ′( x) = lim
x →0 x →0
2x e
e
− x2
2 − x2
−1 + e x2
− x2
= lim(2e
2
例： 设曲线方程为 e
解：e
x2 y
x2 y
− 4 x − y = 5 , 求此曲线
x | y =0 = −1
视为 x = x( y )
在纵坐标为 y = 0 的点处的切线方程 .
− 4x − y = 5
2
x2 y
e
x2 y
(2 xy + x y′) − 4 − y′ = 0
再解：e
e
− 4x − y = 5
2 e 2 −1
y′(1) = e ⋅ 2 ⋅ f (1) + ef ′(1) ⋅ e ⋅1
1 2
= 3e
3
例: 设由方程 tan( x + y ) = y确定y = y ( x), 求y′ .
解 : sec ( x + y ) ⋅ (1 + y′) = y′,
2
sec ( x + y ) y′ = 2 1 − sec ( x + y )
y′(e) = z ′ | x =e +0 = e + 2.
例: 设y = e f ( x ), 其中f (u )可导,
x2 e2
且f (1) = e , f ′(1) = 1, 求y′(1).
2
解 : y′ = e ⋅ 2 x ⋅ f ( x ) + e f ′( x ) ⋅ e x
x2 e2 x2 e2
∴ 函数 f ( x) 在点 x = −10 及点 x = 10 处都连续 , 从而 f ( x) 在 (−∞,+∞) 上连续 .
下一次讨论:
练习二/一(1,2) 练习五/一(4),二(3),四(2),十一,十三 练习六/三,四,七
内容： 内容：计算函数的导数
1.导数的定义及其几何意义, 物理意义
x 2 lim来自百度文库f ( x) = lim (1 + sin ) = 1 x →0 + x →0 + 3 x
f (0 − 0) = f (0 + 0)
∴ x = 0 是 f ( x) 的可去间断点
练习四/二(3)
x2 − x 1 函数f ( x) = sin 的跳跃间断点是 ____, 2 x ( x − 1) 2x −1 可去间断点是 ____, 振荡间断点是 ____, 无穷间断点是 ____ .
e x f ( ∆ x ) + e ∆x f ( x ) − f ( x ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim lim ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x
x f ( ∆x ) − f ( 0 ) e ∆x − 1 = lim e + f ( x) = e x f ′( 0 ) + f ( x ) ∆x → 0 ∆x ∆x
f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = lim f ′( x0 ) = lim x → x0 ∆x →0 x − x0 ∆x 左, 右导数
f ′( x0 )存在 ⇔ f −′ ( x0 ) = f +′ ( x0 )
切线斜率
速度
1 ϕ ( x) cos , x ≠ 0 例 : 设 函数f ( x ) = , x 0, x=0 且连续函数ϕ ( x)满足ϕ (0) = ϕ / (0) = 0, 求f / (0).
x2 y
′y + x 2 ) − 4 x′ − 1 = 0 (2 xx
x′ | y =0 = 0
切线方程 x = −1
x = ln(1 + 9t 2 ) 确定y = y( x), 例: 设由 = − 1 y t arctan(3t ) 3 dy 计算 |t =−1 . dx 3 dy 1 − 1 ⋅ dy dt 3 1 + (3t ) 2 t 解: = = = 18t dx dx 2 dt 1 + 9t 2