题型：河南近几年中考数学第23题(最新)
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河南近几年中考数学第23题
23.（11分）（2016河南） 如图1，直线y=-
43x+n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C （0，4）抛物线y=2
3
x 2+bx+c 经过点A,交y 轴于点B （0,-2）.点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D,连接PB.
（1）求抛物线的解析式.
（2）当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长.
（3）如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD /P /，且∠PBP /=∠OAC ，当点P 的对应点P /落在坐标轴上时，请直接写出P 点的坐标.
解：（1）由y=-43x+n 过点C （0，4），得n=4，则y=-43x+4 当y=0时，得-4
3
x+4=0，解得：x=3，
∴点A 坐标是（3,0）…………………………………………………1分 ∵y=
23
x 2
+bx+c 经过点A （3,0）, B （0,-2） ∴22033b+c 32c ⎧=⨯+⎪⎨⎪-=⎩，解得：4b 3c 2
⎧
=-
⎪⎨⎪=-⎩
∴抛物线的解析式是
23x 2-4
3
x-2……………………………………………3分 （2）∵点P 的横坐标为m ，∴P （m ，23m 2-4
3
m-2），D （m ，-2）…………4分
若△BDP 为等腰直角三角形时，则PD=BD; ①当点P 在直线BD 上方时，PD=
23m 2-43m-2+2=23m 2-4
3
m ， （ⅰ）若P 在y 轴左侧，则m ＜0，BD=-m ；
图1
备用图
∴2
3
m2-
4
3
m=-m，解得：m=
1
2
或m=0（舍去）…………………………………5分
（ⅱ）若P在y轴右侧，则m＞0，BD=m；
∴2
3
m2-
4
3
m=m，解得：m=
7
2
或m=0（舍去）…………………………………6分
②当点P在直线BD下方时，PD=-2-(2
3
m2-
4
3
m-2) =-
2
3
m2+
4
3
m，则m＞0，BD=m；
∴-2
3
m2+
4
3
m=m，解得：m=
1
2
或m=0（舍去）……………………………7分
综上：m=7
2
或m=
1
2
。
即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为7
2
或
1
2
。
(3) P
P
）或P
（25
8
，
11
32
）
【提示】∵∠PBP/=∠OAC,OA=3,OC=4；∴AC=5，∴sin∠
PBP/=4
5
，cos∠PBP/=
3
5
，
①当点P/落在x轴上时，过点D/作D/N⊥x轴于N，交BD于点M，
∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,
如图1，ND/-MD/=2,
即3
5
×(
2
3
m2-
4
3
m)-（-
4
5
m）=2
如图2，ND/-MD/=2，
即3
5
×(
2
3
m2-
4
3
m)-（-
4
5
m）=2
解得：P
或P
，
4
3
-
）
②当点P/落在y轴上时，
如图3，过点D/作D/M⊥x轴交BD于点M，过点P/作P/N⊥y轴，交MD/的延长线于点N，∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,
图2
图3
∵PN=BM,即 45×(23m 2-43m)= 35m ∴P （258，1132
）
23.（11分）（2015河南）
如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A,C 间的一个动点（含端点）过点P 作PF ⊥BC 于点F ，点D,E 的坐标分别是（0，6），（-4，0），连接PD,PE,DE.
(1)直接写出抛物线的解析式.
（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值.进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由.
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，且存在多个“好点”， 且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 的周长最小时“好点”的坐标.
则PF=8-(21- x +88)=21
x 8
…………………………………………………4分
过P 作PM ⊥y 轴于点M ，
则PD 2=PM 2+DM 2=(-x)2+2
216--x +88
⎡⎤
⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
=4211x +x +4642=2
21x +28⎛⎫
⎪⎝⎭
∴PD=
2
1x 8
+2, …………………………………………6分