题型：河南近几年中考数学第23题(最新)

河南近几年中考数学第23题

23.（11分）（2016河南） 如图1，直线y=-

43x+n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C （0，4）抛物线y=2

3

x 2+bx+c 经过点A,交y 轴于点B （0,-2）.点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D,连接PB.

（1）求抛物线的解析式.

（2）当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长.

（3）如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD /P /，且∠PBP /=∠OAC ，当点P 的对应点P /落在坐标轴上时，请直接写出P 点的坐标.

解：（1）由y=-43x+n 过点C （0，4），得n=4，则y=-43x+4 当y=0时，得-4

3

x+4=0，解得：x=3，

∴点A 坐标是（3,0）…………………………………………………1分 ∵y=

23

x 2

+bx+c 经过点A （3,0）, B （0,-2） ∴22033b+c 32c ⎧=⨯+⎪⎨⎪-=⎩，解得：4b 3c 2

⎧

=-

⎪⎨⎪=-⎩

∴抛物线的解析式是

23x 2-4

3

x-2……………………………………………3分 （2）∵点P 的横坐标为m ，∴P （m ，23m 2-4

3

m-2），D （m ，-2）…………4分

若△BDP 为等腰直角三角形时，则PD=BD; ①当点P 在直线BD 上方时，PD=

23m 2-43m-2+2=23m 2-4

3

m ， （ⅰ）若P 在y 轴左侧，则m ＜0，BD=-m ；

图1

备用图

∴2

3

m2-

4

3

m=-m，解得：m=

1

2

或m=0（舍去）…………………………………5分

（ⅱ）若P在y轴右侧，则m＞0，BD=m；

∴2

3

m2-

4

3

m=m，解得：m=

7

2

或m=0（舍去）…………………………………6分

②当点P在直线BD下方时，PD=-2-(2

3

m2-

4

3

m-2) =-

2

3

m2+

4

3

m，则m＞0，BD=m；

∴-2

3

m2+

4

3

m=m，解得：m=

1

2

或m=0（舍去）……………………………7分

综上：m=7

2

或m=

1

2

。

即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为7

2

或

1

2

。

(3) P

P

）或P

（25

8

，

11

32

）

【提示】∵∠PBP/=∠OAC,OA=3,OC=4；∴AC=5，∴sin∠

PBP/=4

5

，cos∠PBP/=

3

5

，

①当点P/落在x轴上时，过点D/作D/N⊥x轴于N，交BD于点M，

∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,

如图1，ND/-MD/=2,

即3

5

×(

2

3

m2-

4

3

m)-（-

4

5

m）=2

如图2，ND/-MD/=2，

即3

5

×(

2

3

m2-

4

3

m)-（-

4

5

m）=2

解得：P

或P

，

4

3

-

）

②当点P/落在y轴上时，

如图3，过点D/作D/M⊥x轴交BD于点M，过点P/作P/N⊥y轴，交MD/的延长线于点N，∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,

图2

图3

∵PN=BM,即 45×(23m 2-43m)= 35m ∴P （258，1132

）

23.（11分）（2015河南）

如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A,C 间的一个动点（含端点）过点P 作PF ⊥BC 于点F ，点D,E 的坐标分别是（0，6），（-4，0），连接PD,PE,DE.

(1)直接写出抛物线的解析式.

（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值.进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由.

（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，且存在多个“好点”， 且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 的周长最小时“好点”的坐标.

则PF=8-(21- x +88)=21

x 8

…………………………………………………4分

过P 作PM ⊥y 轴于点M ，

则PD 2=PM 2+DM 2=(-x)2+2

216--x +88

⎡⎤

⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

=4211x +x +4642=2

21x +28⎛⎫

⎪⎝⎭

∴PD=

2

1x 8

+2, …………………………………………6分