孪生素数猜想初等证明详解

孪生素数猜想初等证明详解

齐宸

孪生素数是指相差2的素数对，例如3和5，5和7，11和13…。孪生素数猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。

素数对（p, p + 2）称为孪生素数。

孪生素数由两个素数组成，相差为2。为了证明孪生素数猜想，无数的数学家曾为之奋斗，但美丽的公主仍然犹抱琵琶半遮面。

1．孪生素数分类及无个位表示方法

孪生素数按两个素数个位不同划分3类（不包括10以下的3-5、5-7），分别是：

1、孪生素数中两个素数个位为1和3，如11-13，41-43等；

2、孪生素数中两个素数个位为7和9，如17-19，107-109等；

3、孪生素数中两个素数个位为9和1，如29-31，59-61等。

三类孪生素数中个位为1和3的第一类是我们需要重点研究的，其他两类可以忽略不计。因为只要第一类孪生素数无限，也就等价于证明了孪生素数猜想。

自有孪生素数概念以来它们就是由两个素数表示的。若是能简化成一个数字那孪生素数猜想这一世界数学难题也许就向前迈进了一步。无论这一步是一小步，还是一大步。但毕竟能将两个素数组成的孪生素数降格成了像素数那样的单个数字。

分析一下个位为1和3的这一类孪生素数，如41-43这对孪生素数。首先，分别去掉个位1和3后，可以看到剩下了两个数字4和4。用这两个数字完全可以表示一对孪生素数，当然我们心里要想着在这两个数字后面是有个位1和3的。其次，这两个去掉个位的数字又是完全相同的，都是一个数字“4”。这样也就完全可以用一个数字“4”来表示一对孪生素数，也可以说4是一个单数字无个位孪生素数。当然表面上看只有第一类、第二类孪生素数可以用一个数字表示（实际上第三类也可以）。

为什么一定要去掉个位呢？

可将自然数变成互为补集的两类：孪生素数和非孪生素数。并利用一种简单的筛法，将自然数中的非孪生素数及其补集孪生素数分开。而且这个筛法所要得到的是非孪生素数。并用非孪生素数证明孪生素数猜想。

自然数分成互补的孪生素数与非孪生素数，这是一种新的观点。恐怕没有人相信这种新奇的想法，但这是可以实现的。而且还可以将自然数分成互补的四胞胎素数与非四胞胎素数等。

2．无个位合数公式及单数字无个位孪生素数筛法

两数相乘的结果个位为3时，这两数字的个位只能是1、3或7、9，不可能有其他组合，这是小学知识。自然数(10k+1)乘以自然数(10i+3)，利用中学知识就可以将其转化为10[(10i+3)k+i]+3形式。去个位后转换为(10i+3)k+i。去掉个位这一步很关键，可以将孪生素数的两个素数简化为了一个数字。

同法可得个位为1、3、7、9全部无个位合数公式，结果如下:

个位为1：(10i+1)k+i、(10i+3)k+7i+2、(10i+9)k+9i+8

个位为3：(10i+3)k+i、(10i+7)k+9i+6

个位为7：(10i+7)k+i、(10i+3)k+9i+2

个位为9：(10i+9)k+i、(10i+3)k+3i、(10i+7)k+7i+4

个位为3的自然数去掉个位后剩下什么呢。自然数03、13、23、33、43、53、63、73、83、93、103……，去掉个位后剩余：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……,这是含0的全体自然数集合。用这个含0的自然数集合及无个位合数公式计算的结果一定是包含了相应个位下的所有合数，那么不在计算结果中的数字就一定是素数，故此无个位合数公式可以筛选个位为1、3、7、9中的任意素数。同时这个新自然数集合可以有很多种分法：合数及其补集素数；非孪生素数及其补集孪生素数；非四胞胎素数及其补集四胞胎素数。一切都依据其后缀而定。

将个位为1和个位为3的5组合数公式同时使用，就可以得到所有个位为1和个位为3的合数，当然得到的数字是不包含个位的。无论这些合数是否重复，每一个合数在自然中只能占据一个位置。在一定范围内的计算结果会在自然数序列中留下一些空位，这些空位所代表的数字填上个位1后一定不是个位为1的合数，填上个位3后也一定不是个位为3的合数。因此这些空位就是孪生素数的位置，就是去掉个位只用一个数字表示的孪生素数。当然只是个位为1和3的孪生素数。如空位“10”本身既不是孪生素数也不是素数，但在10后面分别填上个位1和3后，就是一对孪生素数101-103。这就是无个位合数公式的单数字孪生素数筛法。任何个位为1和3的数字组合中，只要有一个数字是合数，就一定不是孪生素数，必然要被筛除。最终得到的就是孪生素数。故此筛法将自然数序列成功的分为互补的两类：孪生素数、非孪生素数。比如公式求得10以内的非孪生素数有2、3、5、6、8、9，而补集是1、4、7、10。显然补集全部是孪生素数(特殊数字0除外)。这就是此筛法的妙处，这种互补性极大的简化了孪生素数问题。此筛法实质上去掉了用素数+2来验证孪生素数的过程。

无个位合数公式的孪生素数筛法是非常笨重的，理论上不仅计算素数的倍数，还要计算无意义的合数倍数，存在着大量的重复计算。但此筛法的目的不是得到孪生素数，它实

际想要得到的是那些非孪生素数，是要得到那些单数字无个位非孪生素数，更确切的说是要得到那些由非孪生素数组成的等差数列集合。这些公式计算的结果具体如下：个位为1的(10i+1)k+i计算结果如下：

当i=1，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：12、23、34、45、56...

当i=2，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：23、44、65、86、107...

当i=3，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：34、65、96、127、158...

当i=4，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：45、86、127、168、209...

当i=5，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：56、107、158、209、260...

个位为1的(10i+3)k+7i+2计算结果如下：

当i=0，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：2、5、8、11、14...

当i=1，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：9、22、35、48、61...

当i=2，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：16、39、62、85、108...

当i=3，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：23、56、89、122、155...

当i=4，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：30、73、116、159、202...

个位为1的(10i+9)k+9i+8计算结果如下：

当i=0，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：8、17、26、35、44...

当i=1，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：17、36、55、74、93...

当i=2，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：26、55、84、113、142...

当i=3，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：35、74、113、152、191...

当i=4，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：44、93、142、191、240...

个位为3的(10i+3)k+i计算结果如下：

当i=0，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：3、6、9、12、15...

当i=1，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：14、27、40、53、66...

当i=2，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：25、48、71、94、117...

当i=3，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：36、69、102、135、168...

当i=4，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：47、90、133、176、219...

个位为3的(10i+7)k+9i+6计算结果如下：

当i=0，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：6、13、20、27、34、...

当i=1，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：15、32、49、66、83...

当i=2，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：24、51、78、105、132...

当i=3，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：33、70、107、144、181...

当i=4，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：42、89、136、183、230...