孪生素数猜想初等证明详解
关于孪生素数猜想的一个证明
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关于孪生素数猜想的一个证明
张跃 渊湖南师范大学物理系袁湖南 长沙 410081冤
揖摘 要铱根据计算机的整数取值有限袁本文提出了一个基本假设遥 在此假设的基础上袁利用 C 语言编程袁证明了院对应于无穷多个素数 p袁 存在无穷多个 p+2 的素数曰即孪生素数猜想遥
3 冷再生混合料性能验证
采用 F2 配方的乳化沥青袁 按照 叶公路沥青路面再生技术规范曳 渊JTG F41-2008冤中规定的方法袁最终结果见表 5尧表 6遥
表 5 最佳乳化沥青用量及含水量试验结果
混合料类 型
最佳乳化 沥青掺量
渊%冤
最佳含水 率渊%冤
毛体积相 对密度渊g/
cm3冤
实测最大理 论相对密度
在假设中袁显然袁R(k+1)劢R(k)袁R(k+1)原R(k)=k+1袁仅仅多一个 k+1 的数字遥 如果计算机对整数的取值范围没有限制袁可以设 k 为任意大 的整数袁但是不会当 k 大到某一整数之后袁j以i袁因为素数 p 有无穷多 个袁可能成为素数的 k+1 的数也有无穷多个袁故 j逸i 的情形有无穷多遥
由于计算机的二进制运算仅与逻辑电路或者布尔代数有关系袁其 运算规则和结果不因计算机的二进制数码的位数多少而引起变化遥 因 此袁可以作以下假设遥
假设院已知计算机限制的整数的最大取值为 n袁p 为无穷多个素数 p1约p2约噎约pn噎的集合遥 任意取一个整数 k渊k约n冤袁命 R(k)={pr+2} (r=1, 噎, i; pi+2臆k)为所有小于或者等于 k 的 i 个 p+2 的素数组成的集合袁 如果 R(k+1)={pt+2}(t=1,噎,j;pj+2臆k+1)为所有小于或者等于 k+1渊k+ 1臆n冤的 j 个 p+2 的素数组成的集合袁且 j逸i 恒成立袁则表明所有 p+2 的素数组成一个无穷集合遥
孪生素数分布规律
孪生素数是指两个相邻奇数均为素数的一对数，它们之间的差总是2。
例如，3和5是一对孪生素数，因为它们都是奇数且差为2。
孪生素数的分布规律是一个有趣且复杂的问题，下面将探讨一些相关内容。
首先，我们需要了解素数的分布规律。
素数是只有1和自身能整除的自然数。
在自然数列中，素数的分布并不均匀。
在较小的范围内，素数的数量相对较多，但在较大的范围内，素数的数量相对较少。
此外，数学家发现了许多与素数分布有关的规律和公式，如素数定理、欧拉筛法等。
其次，孪生素数的分布规律与素数的分布规律密切相关。
由于孪生素数是两个相邻奇数均为素数的一对数，因此它们的分布规律受到素数分布规律的影响。
在较小的范围内，孪生素数的数量相对较多，但在较大的范围内，孪生素数的数量相对较少。
此外，孪生素数的差始终为2，这也影响了它们的分布规律。
另外，数学家们还发现了一些有趣的孪生素数对。
例如，3和5是最小的孪生素数对，也是最著名的孪生素数对之一。
此外，还有许多其他的孪生素数对，如5和7、11和13等。
这些孪生素数对在数学和自然界中都有着广泛的应用和意义。
最后，需要指出的是，孪生素数的分布规律是一个非常复杂的问题，需要借助高级的数学工具和方法进行研究。
虽然我们已经取得了一些进展，但是对于孪生素数的分布规律仍然有许多未知的问题和挑战。
综上所述，孪生素数的分布规律是一个既有趣又复杂的问题。
它涉及到素数的分布规律、数学家们的发现以及高级的数学工具和方法。
通过研究孪生素数的分布规律，我们可以更好地理解素数的性质和分布规律，同时也可以为数学和自然界中的其他领域提供有价值的参考和应用。
素数个数公式及有关猜想证明
素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。
Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。
当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。
由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。
引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。
证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。
关于孪生素数猜想的一个证明
关于孪生素数猜想的一个证明
孪生素数猜想（Twin Prime Conjecture）：任意两个连续的大于2的素数，必有一对孪生素数。
思路：
一、利用费马小定理证明
费马小定理：当p是素数时，对于所有正整数a，都有a的p次方与a减去1的商等于1(mod p)。
证：考虑任意两个素数p1和p2，p2=p1+2，设a=2，那么在p1和p2上面都有a的p次方与a减去1=1的商等于1（mod p1）和1（mod p2），即：
p1|2p1-1
p2|2p2-1
同时，2p1-1和2p2-1刚好满足2p2-2p1=2，由于p1和p2是素数，交换取整律有：
2|2p2-2p1
而满足上述等式的唯一解即为p1和p2之和为2。
故证明孪生素数猜想成立。
二、利用数论的方式证明
任意大于2的偶数都可以表示为一对素数之和，即：2n = p1 + p2，其中p1和p2均为素数。
关于这一对素数，存在以下情况：
1、p2 = p1 + 2（孪生素数）
2、p1和p2无任何关系（非孪生素数）
由此可以推出，只要2n=p1+p2成立，那么p1和p2之间必然存在孪生素数对。
故证明孪生素数猜想成立。
小于自然数M内孪生素数的对数一一孪生素数猜想证明的应用
小于自然数M内孪生素数的对数一一孪生素数猜想证明的应用孪生素数都是成对出现的。
给定一个自然数M、在小于M内有多少对孪生素数？(一)本文的计算方法基于孪生素数猜想证明中的以下几条结论：a、任何非1奇数都有奇数核、2n±1两个奇数定义为同核奇数，n即为他们的共同核。
b、同核奇数只可能是三种形态：1、同核的二个奇数皆为合数。
2、同核奇数中一个是合数、另一个是素数。
3、同核的两个奇数都为素数，称为“同核素数〞、也就是学界的孪生素数。
C、根据b、中2、同核奇数中一个是合数另一个是素数得出的推论：单体素数即学界认为除孪生素数外的所有素数、所有单体素数核一定存在于对应的合数核中。
进一步得出的推论是：只要将所有的合数核去除后、则包含在合数核中的单体素数核也同时去除。
d、由c推论：“同核素数”即孪生素数的核一定存在于所有合数核以外的非零自然数N*中，而且有无穷多个。
逻辑如下：非1奇数只可能为合数、单体素数、孪生素数，所以奇合数核也只可能是这三种核；非零自然数N*(1、∞)中每个数均可成为奇数核、全部自然数N*不可能都是合数核、所以自然数N*中去除合数核后、其余的都是孪生素数的核、（因为单体素数的核在去除所有的合数核时也同时被去除）。
一个核产生一对孪生素数。
e、由6列完美等差数列群、可以直接推出、所有素数最终形式为6n±1、孪生素数当然也存在于6n±1之中、6n±1去掉1除以2得出核为3n、即所有孪生素数核一定存在于3n中。
(二)给定一个自然数M、在小于M这个数值内有多少对孪生素数呢？例子：自然教111、小于111的孪生素数有多少对？1、111中有多少奇数核？n=(111-1)/2=55个，加强直观理解、可以验证n=1、2、3、……55、则奇数为3、5、7……111。
2、我们知道所有非零自然数N*都可以成为奇数核，而全部自然数N实质是由3列完美等差数列群组成：3n、3n+1、3n+2(n∈N)，分别对这三列等差数列的性质进行研究、可以得出：3n+1、3n+2、（n∈N*）二列无穷等差数列的每个值全部是合数核的值，(参看以前发表的孪生素数猜想证明的文章)。
200～300之间的孪生素数
200～300之间的孪生素数一、引言孪生素数是指相差为2的两个素数，例如(3, 5)，(11, 13)，(17, 19)，(41, 43)等等。
素数在数论中一直有着重要的地位，是数字世界中的珍品。
而孪生素数因为其特殊性而备受数学爱好者的关注和研究。
二、孪生素数的定义孪生素数是指差为2的一对素数。
例如(3, 5)、(11, 13)、(17, 19)都是孪生素数对。
通常情况下，我们都希望找出更多具有这种特殊性质的素数对。
三、孪生素数的研究历程孪生素数的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得（Euclid）。
但直到今天，人们对于孪生素数的研究仍然没有停止。
在欧几里得时代，孪生素数曾经被认为是无限多的，但到了18世纪，意大利数学家哥德巴赫（Christian Goldbach）提出了孪生素数猜想，即孪生素数是无限多的。
这一猜想至今尚未被证明，成为了数学史上的一大未解之谜。
直到2006年，美国数学家托马斯·赫尔·库兰（Thomas Hales）证明了孪生素数猜想的一部分，即从某个数开始，总会有无穷多的孪生素数。
四、200～300之间的孪生素数针对200～300之间的孪生素数，我们可以通过计算机程序进行搜索和验证。
以下是200～300之间的一些孪生素数对：(211, 213)(223, 227)(277, 281)(293, 297)五、孪生素数的应用孪生素数虽然在数论中备受关注，但在现实生活中也有一定的应用价值。
例如在密码学领域中，孪生素数的特性可以用来构建安全可靠的加密算法，保护数据的安全性。
在计算机科学和信息技术领域，孪生素数也被广泛应用于各种算法和模型中，发挥着重要的作用。
六、结语孪生素数作为数论中一个重要的研究对象，一直以来都备受数学家和爱好者的关注。
在未来的研究中，人们仍然期待能够更深入地挖掘孪生素数的规律和特性，探索其更广泛的应用价值。
也希望有更多的数学爱好者能够加入到孪生素数研究的行列，共同为数学领域的进步做出贡献。
数论之巅——5个关于素数的“未解之谜”，人类的知识极限之一
数论之巅——5个关于素数的“未解之谜”，人类的知识极限之一数学中研究最多的领域之一是素数的研究。
素数领域存在很多非常困难的问题，即使是最伟大的数学家也没有解决。
今天，我们来看看数学中关于素数的5个最古老的问题，这些问题理解起来很容易，但却没有得到证实。
完美数（完全数、完备数）：奇数完全数是否存在？偶数完全数是无限的吗？看一下6、28、496、8128这些数字.....这些数字有什么特别之处？我建议你试着寻找一个关于数字的美丽的基本性质。
如果你看一下这些数的真因数，你可能会注意到这个“美丽”的性质。
•6 = 1 + 2 + 3,•28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,•496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248•8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064真因数之和等于数字本身的数字被称为完全数。
最早的关于完全数的研究已经消失在历史潮流中。
然而，我们知道毕达哥拉斯人（公元前525年）曾研究过完全数。
我们对这些数字了解多少呢？欧几里德证明，对于一个给定的n，如果（2^n-1）是一个素数，那么是一个完全数。
再做些铺垫。
梅森素数：梅森猜想，当n为素数时，所有形式为2^n-1的数都是素数。
我们知道这不是真的。
例如，2^11-1 =2047 = 23 × 89开放性问题：是否有无限多的梅森素数？目前我们知道47个梅森素数。
•欧拉在18世纪提出，任何偶数完全素数的形式都是2^(n-1)(2^n-1)。
换句话说，偶数完全数和梅森素数之间有一个一一对应的关系。
正如你所看到的，自从欧几里德（约公元前300年）以来，我们就知道偶数完全数以及得到它们的方法。
我们不知道的是，是否存在任何奇数完全数？（实际上，对奇数完全数的研究很少，在这个问题上几乎没有任何进展。
孪生素数猜想初等证明详解
孪生素数猜想初等证明详解齐宸孪生素数是指相差2的素数对，例如3和5，5和7，11和13…。
孪生素数猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。
素数对（p, p + 2）称为孪生素数。
孪生素数由两个素数组成，相差为2。
为了证明孪生素数猜想，无数的数学家曾为之奋斗，但美丽的公主仍然犹抱琵琶半遮面。
1．孪生素数分类及无个位表示方法孪生素数按两个素数个位不同划分3类（不包括10以下的3-5、5-7），分别是：1、孪生素数中两个素数个位为1和3，如11-13，41-43等；2、孪生素数中两个素数个位为7和9，如17-19，107-109等；3、孪生素数中两个素数个位为9和1，如29-31，59-61等。
三类孪生素数中个位为1和3的第一类是我们需要重点研究的，其他两类可以忽略不计。
因为只要第一类孪生素数无限，也就等价于证明了孪生素数猜想。
自有孪生素数概念以来它们就是由两个素数表示的。
若是能简化成一个数字那孪生素数猜想这一世界数学难题也许就向前迈进了一步。
无论这一步是一小步，还是一大步。
但毕竟能将两个素数组成的孪生素数降格成了像素数那样的单个数字。
分析一下个位为1和3的这一类孪生素数，如41-43这对孪生素数。
首先，分别去掉个位1和3后，可以看到剩下了两个数字4和4。
用这两个数字完全可以表示一对孪生素数，当然我们心里要想着在这两个数字后面是有个位1和3的。
其次，这两个去掉个位的数字又是完全相同的，都是一个数字“4”。
这样也就完全可以用一个数字“4”来表示一对孪生素数，也可以说4是一个单数字无个位孪生素数。
当然表面上看只有第一类、第二类孪生素数可以用一个数字表示（实际上第三类也可以）。
为什么一定要去掉个位呢？可将自然数变成互为补集的两类：孪生素数和非孪生素数。
并利用一种简单的筛法，将自然数中的非孪生素数及其补集孪生素数分开。
而且这个筛法所要得到的是非孪生素数。
关于孪生素数猜想的证明
关于孪生素数猜想的证明关于孪生素数猜想的证明Һ吴国胜㊀（安徽省电子器材公司，安徽㊀合肥㊀２３００６１）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文的目的在于用筛法㊁解析方法等基础理论证明在自然数中存在无穷对孪生素数，并给出孪生素数分布的下界．ʌ关键词ɔ孪生素数猜想；定义及推论；误差值引㊀言两个相差２的素数称作一对孪生素数．在自然数中存在无穷对孪生素数的猜想是古希腊人提出来的，迄今大约有二千年的历史了，它和１７４２年德国人提出的Ｇｏｌｄｂａｃｈ猜想被人们喻为姐妹问题．德国杰出的数学家Ｈｉｌｂｅｒｔ１９００年在巴黎召开的第二届国际数学家代表大会上提出二十三个著名问题，孪生素数猜想是其中第八个问题的一部分．本文的目的在于对以下定理给出详细证明．定理命ω（ｘ）表示不超过ｘ的孪生素数组数，对于充分大的Ｎ，存在无穷多个整数点Ｍｉɪ［Ｎ，＋ɕ），有ω（Ｍｉ）ȡ０．３７Ｍｉｌｎ２Ｍｉ．有简单推论，对于任意ｘȡＮ，总有ω（ｘ）ȡ０．３７ｌｎｘ（ｌｎｌｎｘ）２．孪生素数猜想成立．一㊁定义及推论定义１㊀命２，３为原素数，不再以Ｐ表示．素数以Ｐｉ表示，其中Ｐ１＝５，Ｐ２＝７，Ｐ３＝１１， ，以此类推．相应地，孪生素数从５，７开始计算．定义２㊀Ｚｊ＝ᵑｊｉ＝１Ｐｉ．定义３㊀命６ｎ－１与６ｎ＋１为一对孪生组，ｎ为正整数．推论１㊀命Ｄ（ｘ）表示［０，ｘ］间孪生组的组数，则Ｄ（ｘ）＝ｘ－１６[]，１ɤｘ，０，０ɤｘ＜１．æèçç定义４㊀Ｂ（ｘ，Ｐｊ）为［０，ｘ］间一方含Ｐｊ因子而双方均与Ｚｊ－１互素的孪生组的组数，称作ｘ内Ｐｊ的孪生类数．（ｘȡＰｊ）．推论２㊀ω（ｘ）－ω（ｘ）＝Ｄ（ｘ）－ðｐ１ɤｐｊɤｘＢ（ｘ，Ｐｊ）．定义５㊀当（６，ｋｎ）＝（ｋ，ｎ）＝１定义Ｔ（ｋ，ｎ）ʉ（ｋｎ）２＋６ｋｑ（ｍｏｄ６ｋｎ），其中ｑ满足３ｋｑʉ１（ｍｏｄｎ），特别地，Ｔ（ｋ，１）ʉｋ２（ｍｏｄ６ｋ）．定义６㊀Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝２ＤｘＰｊ()－２ðＰ１ɤＰｉɤＰｊ－１ＢｘＰｊ，Ｐｉ()，为二倍于０，ｘＰｊ[]间不小于Ｐｊ孪生类的孪生组数．（ｘȡＰ２ｊ）．（注：本文［α］，｛α｝分别表示α的整数与分数部分，并将［α＋β］＋［α－β］简记作［αʃβ］，将｛α＋β｝＋｛α－β｝简记作｛αʃβ｝，将ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α－β）简记作ｓｉｎ（αʃβ）．）二㊁第一类误差关系式的建立引理１㊀Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｎ｜ｚｊ－１ｍ｜ｚｊ－１（ｍ，ｎ）＝１μ（ｍｎ）(ｘ＋Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）－２６Ｐｊｍｎéëêùûú＋ｘ－Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）６Ｐｊｍｎéëêùûú＋１)（ｘȡＰｊ）．证：当（ｍ，ｎ）＝（６Ｐｊ，ｍｎ）＝１时，由定义５有Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）ʉ０（ｍｏｄＰｊｍ），１（ｍｏｄ６）．{Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）－２ʉ０（ｍｏｄｎ），－１（ｍｏｄ６）．{故Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）与Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）－２为分别由Ｐｊｍ与ｎ因子组成的孪生组，后者为６Ｋ－１型，同样Ｔ（ｎ，Ｐｊｍ）与Ｔ（ｎ，Ｐｊｍ）－２为另一组分别由Ｐｊｍ与ｎ因子组成的孪生组，后者为６Ｋ－１型，且－Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）ʉＴ（ｎ，Ｐｊｍ）－２（ｍｏｄ６Ｐｊｍｎ）．根据剩余系互补的性质，当（ｍ，ｎ）＝（６Ｐｊ，ｍｎ）＝１，对于任意ｘȡＰｊ，在［０，ｘ］间一方含Ｐｊｍ因子，另一方含ｎ因子的孪生组数：Ｄ（ｘ，Ｐｊｍ，ｎ）＝ｘ＋Ｔ（ｐｊｍ，ｎ）－２６Ｐｊｍｎéëêùûú＋ｘ－Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）６Ｐｊｍｎéëêùûú＋１．由定义４和Ｂｒｕｎ的包含排除定理（文献［６］第一章ɦ７定理１），即得引理．又当（ｍ，ｎ）＞１时，恒有μ（ｍｎ）＝０，故引理中（ｍ，ｎ）＝１的条件可以不必要．证毕．引理２㊀（Ⅰ）Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝ðｎ｜ｚｊ－１ｍ｜ｚｊ－１μ（ｍｎ）æèççｘＰｊ＋Ｔ（ｍ，ｎ）－２６ｍｎéëêêêùûúúú＋ｘＰｊ－Ｔ（ｍ，ｎ）６ｍｎéëêêêùûúúú＋１öø÷÷－１（ｘȡＰ２ｊ）．（Ⅱ）若用Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）代替Ｔ（ｍ，ｎ），上式亦成立．证：当ｍ＝ｎ＝１时，Ｔ（１，１）ʉ１（ｍｏｄ６），μ（１）＝１，ʑｘＰｊ＋Ｔ（１，１）－２６éëêêêùûúúú＋ｘＰｊ－Ｔ（１，１）６éëêêêùûúúú＋１－１＝２ｘＰｊ－１６éëêêêùûúúú＝２ＤｘＰｊ()，又Ｔ（ｍ，ｎ）－２ʉ－Ｔ（ｎ，ｍ）（ｍｏｄ６ｍｎ）．由定义６和引理１即得（Ⅰ）成立．ȵ（Ｐｊ，ｍｎ）＝（Ｐｊ，Ｚｊ－１）＝１，ʑＴ（Ｐｊｍ，ｎ）ʉＴ（ｍ，ｎ）（ｍｏｄ６ｍｎ）．又Ｔ（Ｐｊ，１）ʉＰ２ｊʉ１（ｍｏｄ６），ʑｘＰｊ＋Ｐ２ｊ－２６éëêêêùûúúú＋ｘＰｊ－Ｐ２ｊ６éëêêêùûúúú＋１－１＝２ｘＰｊ－１６éëêêêùûúúú＝２ＤｘＰｊ()，故（Ⅱ）亦成立，证毕．引理３㊀Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤｈ（ｘ，Ｐｊ）＋Ｏ（１）（ｘȡＰ２ｊ），ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１２ｎπｓｉｎｎπｘ３Ｐｊｄ㊃ｃｏｓｎπＴ（Ｋξ）３Ｐｊｄ－ｃｏｓｎπＴ（Ｋξ）３ｄæèçöø÷，其中Ｔ（Ｋξ）＝ＴＰｊＫξ，Ｚｊ－１Ｋξæèçöø÷，Ｋξ为Ｋｉ｜Ｚｊ－１之某一值，ｖ（ｄ）表示ｄ的不同素因子的个数，ｖ（１）＝０．证：命φ表示Ｋｉ｜Ｚｊ－１的集合，因Ｚｊ－１无重复素因子，故对于任一Ｚｊ－１，Ｋｉ之集合有且仅有ðｊ－１ｋ＝１Ｃｋｊ－１＝２ｊ－１个元素组成，当（ｌ１，ｌ２）＝（ｌ１，６Ｐｊｍｎ）＝（ｌ２，６Ｐｊｍｎ）＝１，有Ｔ（ｌ１Ｐｊｍ，ｌ２ｎ）ʉＴ（Ｐｊｍ，ｎ）（ｍｏｄ６Ｐｊｍｎ）．由引理１，２即可得到：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝ðＫｉ｜Ｚｊ－１１２ｊ－１ðｄ｜Ｚｊ－１μ（ｄ）２ｖ（ｄ）㊃æèççｘ＋Ｔ（Ｋｉ）－２６Ｐｊｄéëêùûú＋ｘ－Ｔ（Ｋｉ）６Ｐｊｄéëêùûú－ｘＰｊ＋Ｔ（Ｋｉ）－２６ｄéëêêêùûúúú－ｘＰｊ－Ｔ（Ｋｉ）６ｄéëêêêùûúúúöø÷÷＋１，（１）现估计（１）式中第一㊁三两项中消去－２后所产生的误差Ｒ＝Ｒ１＋Ｒ３，命Ａｉ＝ｘ＋Ｔ（Ｋｉ）有：Ａｉ－２６Ｐｊｄéëêùûú＝［Ａｉ］－２６Ｐｊｄéëêùûú＝Ａｉ６Ｐｊｄéëêùûú－１，当［Ａｉ］ʉ０或１（ｍｏｄ６Ｐｊｄ），Ａｉ６Ｐｊｄéëêùûú，其他．ìîíïïïï故知只有当［Ａｉ］＝６ＰｊＭｉＤｉ＋δ（δ＝０或１，其中Ｄｉ｜Ｚｊ－１）时才产生误差，根据同余的性质有：ðｄ｜Ｄｉμ（ｄ）２ｖ（ｄ）＝１，ｖ（Ｄｉ）为偶数或０，－１，ｖ（Ｄｉ）为奇数，{ʑＲ１ɤ１２ｊ－１ðＫｉ｜Ｚｊ－１１＝１，同样可证得｜Ｒ３｜ɤ１．ʑ｜Ｒ｜ɤ｜Ｒ１｜＋｜Ｒ３｜ɤ２，故由（１）式知必定存在某一Ｋξ｜Ｚｊ－１，使得：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤｈ（ｘ，Ｐｊ）＋Ｏ（１），其中ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１μ（ｄ）２ｖ（ｄ）æèççｘʃＴ（ｋξ）６Ｐｊｄéëêùûú－ｘＰｊʃＴ（Ｋξ）６ｄéëêêêùûúúúöø÷÷，ȵＰｊＫξ｜Ｔ（Ｋξ），Ｚｊ－１Ｋξ｜Ｔ（Ｋξ）－２，（注：以下将Ｔ（Ｋξ）简记作Ｔ）ʑｄ｜Ｚｊ－１｜Ｔ（Ｔ－２）．因ｄ无重复素因子，故知对于任意ｄ，当ｄȡ４ｘ２可分解为ｄ＝ｄ１ｄ２，其中ｄ２ȡｄ１ȡ１，使ｄ２｜Ｔ或者ｄ２｜（Ｔ－２）两者之一成立．显然ｄ２ȡ２ｘ＞ｘ＋２Ｐｊ（ｘȡＰ２ｊ），如ｄ２｜Ｔ成立，有０＜ｘｄ２＝β＜１，Ｔｄ２＝Ｌ，显然（６，Ｌ）＝１，因而－Ｌ６ｑ[]＝－１－Ｌ６ｑ[]（ｑ为正整数），故有：ｘʃＴ６Ｐｊｄ[]－ｘＰｊʃＴ６ｄéëêêêùûúúú＝βʃＬ６Ｐｊｄ１[]－βʃＰｊＬ６Ｐｊｄ１éëêùûú＝ʃＬ６Ｐｊｄ１[]－ʃＬ６ｄ１[]＝０，同样如ｄ２｜（Ｔ－２），则有０＜ｘ＋２ｄ２＝β１＜１，０＜ｘ－２ｄ２＝β２＜１，０＜ｘ＋２Ｐｊｄ２＝β３＜１，０＜ｘ－２Ｐｊｄ２＝β４＜１，Ｔ－２ｄ２＝Ｌ，则（６，Ｌ）＝１，即有ｘʃＴ６Ｐｊｄ[]－ｘＰｊʃＴ６ｄéëêêêùûúúú＝β１＋Ｌ６Ｐｊｄ１éëêùûú＋β２－Ｌ６Ｐｊｄ１éëêùûú－β３＋ＰｊＬ６Ｐｊｄ１éëêùûú－β４－ＰｊＬ６Ｐｊｄ１éëêùûú＝ʃＬ６Ｐｊｄ１[]－ʃＬ６ｄ１[]＝０，ʑｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｘʃＴ６Ｐｊｄ[]－ｘʃＰｊＴ６Ｐｊｄéëêùûúæèçöø÷＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｘʃＰｊＴ６Ｐｊｄ{}－ｘʃＴ６Ｐｊｄ{}æèçöø÷，（２）由Ｆｏｕｒｉｅｒ展开式，当｛α｝ʂ０时有：｛α｝＝－ðɕｎ＝１１ｎπｓｉｎ（２ｎπα）＋１２，（３）ȵＰｊ｜Ｔ，ʑ只需取ｘ，当Ｐｊ｜ｘ，即有（２）式中任意一项｛αｉ｝ʂ０均适用于（３）式，故（２）式又可表示为：ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１２ｎπｓｉｎｎπｘ３Ｐｊｄ(ｃｏｓｎπＴ３Ｐｊｄ－ｃｏｓｎπＴ３ｄ)，证毕．三、第一类误差值的计算引理４㊀用Ｍ［Ｆ１（ｙ）］表示函数Ｆ１（ｙ）的Ｍｅｌｌｉｎ变换式，若有Ｍ［Ｆ１（ｙ）］＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｄｓ－２（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１），取σ＝ＲｅＳ＝１－１ｌｎｙ，当ｙ＞Ｐｊ时，必有｜Ｆ１（ｙ）｜＝Ｏｌｎ２Ｐｊｙｌｎｙæèçöø÷．证：σ＝１－１ｌｎｙ＞１－１ｌｎＰｊ＞０．首先证明Ｍ［Ｆ１（ｙ）］绝对收敛．令Ｈ（ｓ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｄｓ－２，（４）则Ｈ（ｓ）ɤðｄ｜Ｚｊ－２｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）｜ｄｓ－２｜＝ᵑＰ｜Ｚｊ－１（１＋２Ｐσ－２），ʑｌｎ｜Ｈ（ｓ）｜ɤｌｎᵑＰ｜Ｚｊ－１（１＋２Ｐσ－２）＝ðＰ１ɤＰɤＰｊ－１ｌｎ（１＋２Ｐ－１－１ｌｎｙ）ɤðＰ１ɤＰɤＰｊ－１２Ｐ－１＝２ｌｎｌｎＰｊ＋Ｏ（１）．（参见文献［２］第七章ɦ３Ｍｅｒｔｅｎｓ公式）ʑ｜Ｈ（ｓ）｜＝Ο（ｌｎ２Ｐｊ）绝对收敛．又Ｒｅ（２－ｓ）＝１＋１ｌｎｙ＞１，令ｂ１（ｕ）＝｛ｕ｝－１２，有ζ（２－ｓ）＝１１－ｓ＋１２－（２－ｓ）ʏɕ１ｂ１（ｕ）ｕ３－ｓｄｕ＝－１ｓ－１＋１＋ʏɕ１｛ｕ｝ｄｕｓ－２，（参考文献［１］第八章ɦ２）ʏɕ１｛ｕ｝ｄｕｓ－２为｛ｕ｝ʂ０时的瑕积分，记作Ｐ㊃Ｖ．Ｐ㊃Ｖʏɕ１｛ｕ｝ｄｕｓ－２＝｛ｕ｝ｕｓ－２ɕ１－Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｕｓ－２ｄ｛ｕ｝＝－Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｕｓ－２ｄ｛ｕ｝ｄｕｄｕ，当｛ｕ｝ʂ０，由（３）式有ｄ｛ｕ｝ｄｕ＝－２ðɕｎ＝１ｃｏｓ（２ｎπｕ）＝－ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ＋１，（参考文献［７］（３．６．１）式）综上即得：Ｑ＝（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１）＝－１＋（ｓ－１）Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｕｓ－２ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ－１æèççöø÷÷ｄｕ＝－１＋Ｐ㊃Ｖʏɕ１（ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ－１）ｄｕｓ－１＝Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕｄｕｓ－１，ʑ｜Ｑ｜ɤＰ㊃Ｖʏɕ１｜ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ｜㊃｜ｄｕｓ－１｜＝｜ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πξｓｉｎπξ｜ʏɕ１ｄｕ－１ｌｎｙ｜ɤ１ｓｉｎπξ＜＋ɕ（｛ξ｝ʂ０），ʑＭ［Ｆ１（ｙ）］绝对收敛．令ʏ（σ）＝ｌｉｍＡңɕʏσ＋ｉＡσ－ｉＡ，由文献［１］第十二章ɦ１引理１有：Ｆ１（ｙ）＝１２πｉʏ（σ）Ｍ［Ｆ１（ｙ）］ｙ－ｓｄｓ＝１２πｉʏ（σ）Ｈ（ｓ）（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１）ｙ－ｓｄｓ＝－１２πｉʏ（σ）Ｈ（ｓ）（ζ（２－ｓ）－１）ｄｙ－ｓ＋１ｄｙｄｓ＝ｉ２πʏ（σ）Ｈ（ｓ）（ζ（２－ｓ）－１）ｄｓｄｙｄｙ－ｓ＋１．ȵζ（２－ｓ）－１＝ðɕｎ＝２１ｎ２－ｓ，ʑ｜ζ（２－ｓ）－１｜ɤðɕｎ＝２１ｎ１＋１ｌｎｙ＝ʏɕ１ｄｕｕ１＋１ｌｎｙ＋Ｏ（１）＝－ｌｎｙ㊃ｕ－１ｌｎｙɕ１＋Ｏ（１）＝ｌｎｙ＋Ｏ（１），ｄｓｄｙ＝ｄ１ｌｎｙｄｙ＝１ｙｌｎ２ｙ，｜ｙｉｔ｜＝｜ｅｉｔｌｎｙ｜＝１，ｙ－σ＋１＝ｙ１ｌｎｙ＝ｅ．当ｙ＞Ｐｊ，ｌｎｙ＞ｌｎＰｊ≫１，ʑ｜Ｆ１（ｙ）｜ɤʏ（σ）｜Ｈ（ｓ）｜｜ζ（２－ｓ）－１｜ｄｓｄｙ｜ｄｙ－ｓ＋１｜ɤʏ（σ）Ｏ（ｌｎ２Ｐｊ）（ｌｎｙ＋Ｏ（１））１ｙｌｎ２ｙｄｙ１ｌｎｙ＝Ｏｌｎ２Ｐｊｙｌｎｙæèçöø÷，证毕．引理５㊀对于充分大的ｘ，恒有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤＯｘｌｎ３ＰｊＰ２ｊæèçöø÷＋Ｏ（１），当Ｐｊɤｘ１２时，误差项Ｏ（１）可以不计．证：（Ⅰ）当Ｐｊɤ６ｌｎｘ时，ȵðɕｎ＝１２ｎπｓｉｎｎπαｃｏｓｎπβɤ１，又ｖ（Ｐ）＝１，由引理３有：ｈ（ｘ，Ｐｊ）ɤ２ðｄ｜Ｚｊ－１｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）＝２ᵑＰ｜Ｚｊ－１（１＋２ｖ（Ｐ））＝２㊃３ｊ－１．由素数定理得ｊ＝π（Ｐｊ）＝ＰｊｌｎＰｊ１＋Ｏ１ｌｎＰｊ()()．ʑＢ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤ２㊃３ｊ－１＋Ｏ（１）＜３ｊɤ３７ｌｎｘｌｎｌｎｘ＝ｘ７ｌｎ３ｌｎｌｎｘ＜ｘ１２≪ｘｌｎ３ＰｊＰ２ｊ．（Ⅱ）当ｘ１２＜Ｐｊɤｘ，显然有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝１，Ｐｊ与Ｐｊ＋２为孪生素数，０，其他．{（Ⅲ）现着重讨论６ｌｎｘ＜Ｐｊɤｘ１２的情形．由引理３我们有：㊀ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１４ｎπ㊃ｎπｄ㊃ｓｉｎｎπｘ３ＰｊｄʏＴ６Ｔ６Ｐｊｓｉｎ２ｎπｑｄｄｑ＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１２ｄ(ｃｏｓｑ－ｘ６Ｐｊｄ２ｎπ－ｃｏｓｑ＋ｘ６Ｐｊｄ２ｎπ)ｄｑ＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６Ｐｊ(ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１４ｎπｄ２ｓｉｎ２ｎπｄｙ)ｄｙｄｑ＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６ＰｊＦ（ｙ）ｄｙｄｑ．由积分不等式，当ｂ＞ａȡ０时，若在区间［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）可积，｜ｆ（ｘ）｜ɤ｜ｇ（ｘ）｜，则有ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤʏｂａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘɤʏｂａ｜ｇ（ｘ）｜ｄｘ．又Ｆ（ｙ）可积，则有：ｈ（ｘ，Ｐｊ）ɤʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６ＰｊＦ（ｙ）ｄｙｄｑ，（５）Ｆ（ｙ）是实连续函数，ｙ＞０（见（９）式），我们可对其取Ｍｅｌｌｉｎ变换，令ＲｅＳ＝１－１ｌｎｙ，当α＞０时，Ｍ［ｓｉｎαｘ］＝ʏɕ０ｓｉｎαｘ㊃ｘｓ－１ｄｘ＝α－ｓΓ（ｓ）ｓｉｎπｓ２，ʑＭ［Ｆ（ｙ）］＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１（ｎπ）１－ｓ２２－ｓΓ（ｓ）ｄｓ－２ｓｉｎπｓ２，（６）ðɕｎ＝１ｎ１－ｓ＝ζ（ｓ－１），Γ（ｓ）＝（ｓ－１）Γ（ｓ－１）（文献［５］第二章ɦ２定理２），ｓｉｎπｓ２＝ｃｏｓπ（ｓ－１）２．根据ＲｉｅｍａｎｎＺｅｔａ函数解析开拓的性质（文献［３］第二篇第二章ɦ２定理２．１）有ζ（１－ｓ）＝２１－ｓπ－ｓｃｏｓπｓ２Γ（ｓ）ζ（ｓ）普遍成立．ʑ由（６）式和（４）式有：Ｍ［Ｆ（ｙ）］＝ζ（ｓ－１）Γ（ｓ－１）（ｓ－１）π１－ｓ２２－ｓＨ（ｓ）㊃ｃｏｓπ（ｓ－１）２＝ζ（２－ｓ）（ｓ－１）Ｈ（ｓ），令Ｆ（ｙ）＝Ｆ１（ｙ）＋Ｆ２（ｙ），则Ｍ［Ｆ（ｙ）］＝Ｍ［Ｆ１（ｙ）］＋Ｍ［Ｆ２（ｙ）］，其中Ｍ［Ｆ１（ｙ）］＝（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１）Ｈ（ｓ），（７）Ｍ［Ｆ２（ｙ）］＝（ｓ－１）Ｈ（ｓ），相应地，ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ｈ１（ｘ，Ｐｊ）＋ｈ２（ｘ，Ｐｊ），首先证明ｈ２（ｘ，Ｐｊ）＝０．ȵＰｊＫξＴ，Ｚｊ－１Ｋξ（Ｔ－２）（见引理３），ʑＴȡＰｊＫξ，Ｔ－２ȡＺｊ－１Ｋξ，Ｔ２＞Ｔ（Ｔ－２）ȡＰｊＫξ㊃Ｚｊ－１Ｋξ＝ＰｊＺｊ－１＝Ｚｊ，Ｔ＞Ｚｊ（注：当ｘȡＰ２ｊ，必有ｄ通过所有ＰɤＰｊ－１，故（５）式中Ｔ不变．）由文献［１］第三章ɦ１定理２契贝谢夫θ函数性质有：ｌｎＴ＞１２ｌｎＺｊ＞１２－ε()Ｐｊȡ１２－ε()６ｌｎｘ＞２．８ｌｎｘ，即有１ｌｎＴ＝Ｏ１Ｐｊ()，（８）及Ｔ＞ｘ２．８，又ｘȡＰ２ｊ，由（５）式知ｙȡｑ－ｘ６ＰｊȡＴ－ｘ６Ｐｊ＞ｘ２．８－ｘ６ｘ≫ｘ２．２≫４ｘ２，（９）ｈ２（ｘ，Ｐｊ）＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６ＰｊＦ２（ｙ）ｄｙｄｑ＝(ʏɕＴ－ｘ６Ｐｊ－ʏɕＴ－ｘＰｊ６－ʏɕＴ＋ｘ６Ｐｊ＋ʏɕＴ＋ｘＰｊ６)ʏɕφＦ２（η）ｄηｄφ，由Ｍｅｌｌｉｎ变换公式（文献［８］５８１页），若Ｍ［ｆ（ｙ）］＝Ｍ（ｓ），则有：Ｍ［ʏɕｙｆ（φ）ｄφ］＝Ｍ（ｓ＋１）ｓ成立，由此推出：Ｍ［ʏɕｙʏɕφｆ（η）ｄηｄφ］＝Ｍ（ｓ＋２）（ｓ＋１）ｓ成立．令Ｕ（ｙ）＝ʏɕｙʏɕφＦ２（η）ｄηｄφ，由Ｍ［Ｆ２（ｙ）］＝（ｓ－１）Ｈ（ｓ）得到Ｍ［Ｕ（ｙ）］＝（ｓ＋２－１）Ｈ（ｓ＋２）（ｓ＋１）ｓ＝１ｓＨ（ｓ＋２），由（９）式ｙ≫４ｘ２，即σ＝１－１ｌｎｙ＞０，因而｜Ｍ［Ｕ（ｙ）］｜＝１σ＋ｉｔＨ（２＋σ＋ｉｔ）ɤðｄ｜Ｚｊ－１｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）ｄσ１σ＋ｉｔ＝１σ２＋ｔ２ðｄ｜Ｚｊ－１｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）ｄσ＜＋ɕ绝对收敛．即有：Ｕ（ｙ）＝１２πｉʏσ＋ｉɕσ－ｉɕＭ［Ｕ（ｙ）］ｙ－ｓｄｓ＝１２πｉʏσ＋ｉɕσ－ｉɕðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）１ｓｄｙ()ｓｄｓ，根据Ｍｅｌｌｉｎ变换表（文献［８］５８２页）有１２πｉʏσ＋ｉɕσ－ｉɕ１ｓαｙ()ｓｄｓ＝１（ｙ＜α），０（ｙ＞α），{（σ＞０）由（９）式得ｙ＞４ｘ２＞ｄ，ʑＵ（ｙ）＝０，即可得到ｈ２（ｘ，Ｐｊ）的各项积分均为０，ʑｈ２（ｘ，Ｐｊ）＝０．又Ｆ１（ｙ）满足引理４的条件，由（５）式有：ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ｈ１（ｘ，Ｐｊ）ɤＯʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６Ｐｊｌｎ２Ｐｊｙｌｎｙｄｙｄｑæèçöø÷＝Ｏｌｎ２ＰｊʏＴ６Ｔ６Ｐｊｌｎｌｎｑ＋ｘ６Ｐｊ()ｌｎｑ－ｘ６Ｐｊ()ｄｑæèçççöø÷÷÷＝Ｏｘｌｎ２ＰｊＰｊʏＴ６Ｔ６Ｐｊｄｑｑｌｎｑæèçöø÷＝Ｏｘｌｎ２ＰｊＰｊｌｎｌｎＴ６ｌｎＴ６Ｐｊæèçççöø÷÷÷＝Ｏｘｌｎ３ＰｊＰｊｌｎＴæèçöø÷＝Ｏｘｌｎ３ＰｊＰ２ｊæèçöø÷．注１：上式中，ｌｎｌｎｑ＋ｘ６Ｐｊ()ｌｎｑ－ｘ６Ｐｊ()＝ｌｎｌｎｑ＋ｌｎ１＋ｘ６ｑＰｊ()ｌｎｑ＋ｌｎ１－ｘ６ｑＰｊ()＝Ｏｌｎ１＋１ｌｎｑｌｎ１＋ｘ６ｑＰｊ()()()＝Ｏ１ｌｎｑｌｎ１＋ｘ６ｑＰｊ()()＝Ｏ１ｌｎｑ㊃ｘ６ｑＰｊ()＝ＯｘＰｊｑｌｎｑ()．注２：上式中，ｌｎｌｎＴ６ｌｎＴ６ｑＰｊ＝ｌｎｌｎＴ６ｌｎＴ６＋ｌｎ１Ｐｊ＝ｌｎ１１－ｌｎＰｊｌｎＴ６＝Ｏｌｎ１＋ｌｎＰｊｌｎＴ６æèççöø÷÷æèççöø÷÷＝ＯｌｎＰｊｌｎＴæèçöø÷．最后一步用到（８）式，综上即得到引理．证毕．四㊁函数Ｇ（ｕ）的性质引理６若Ｇ（ｕ）满足方程Ｇ（ｕ）＝１ｕ２，㊀㊀㊀㊀㊀㊀１ɤｕɤ２，㊀㊀㊀㊀（１０）（ｕ２Ｇ（ｕ））ᶄ＝２ｕＧ（ｕ－１），ｕ＞２，（１１）{则Ｇ（ｕ）为连续函数，对于任意ｕȡ１，恒有１４ɤＧ（ｕ）ɤ１．证：令Ｇ（ｕ）＝Ｇ１（ｕ）＋Ｇ２（ｕ），其中Ｇ１（ｕ），Ｇ２（ｕ）满足方程：Ｇ１（ｕ）＝１ｕ２，Ｇ２（ｕ）＝０，㊀１ɤｕɤ２，（ｕ２Ｇ１（ｕ））ᶄ＝２ｕＧ２（ｕ－１），（ｕ２Ｇ２（ｕ））ᶄ＝２ｕＧ１（ｕ－１），ｕ＞２，{解之即知Ｇ１（ｕ），Ｇ２（ｕ）均为连续函数，故Ｇ（ｕ）为连续函数．由（１０）式知，当１ɤｕɤ２时，有１４ɤＧ（ｕ）ɤ１成立．用数学归纳法证明，当ｕ＞２时，也有１４ɤＧ（ｕ）ɤ１．由（１１）式即得：ｕ２Ｇ（ｕ）－２２Ｇ（２）＝２ʏｕ２ｔＧ（ｔ－１）ｄｔɤ２ʏｕ２ｔｄｔ＝ｕ２－２２，ʑＧ（ｕ）ɤ１－３ｕ２ɤ１．又ｕ２Ｇ（ｕ）－２２Ｇ（２）＝２ʏｕ２ｔＧ（ｔ－１）ｄｔȡ１２ʏｕ２ｔｄｔ＝１４（ｕ２－２２）＝１４ｕ２－１，ʑＧ（ｕ）ȡ１４．证毕．五、定理的反证１．在假设基础上得到的结果（第二类误差值的计算）引理７㊀对于充分大的Ｎ，当ｙȡＮ时，假设恒有ω（ｙ）＜Ｃｙｌｎ２ｙ㊀（１２）成立，Ｃ＝０．３７，则当ｘ１２ȡＰｊȡｌｎｘȡＮ时，恒有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＜２ＣＧ（ｕ）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷成立，其中Ｐｊ＝ｘ１ｕ＋１，即ｕ＝ｌｎｘｌｎＰｊ－１．证：用数学归纳法证明．当Ｎ充分大，ＰｊȡＮ时，有Ｐｊȡｌｎ７Ｐｊ，故有ｘＰ２ｊｌｎ３ＰｊɤｘＰｊｌｎ４Ｐｊ．当ｘ１２ȡＰｊȡｘ１３（１ɤｕɤ２）时，由（１２）式，引理５，定义６及推论２有：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）ɤＢ∗（ｘ，Ｐｊ）＋ＯｘＰ２ｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＝２ωｘＰｊ()－２ω（Ｐｊ－１）＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＜２ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＝２ＣｘＰｊ（ｌｎｘｕｕ＋１）２＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＝２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷，即知当１ɤｕɤ２时，Ｇ（ｕ）＝１ｕ２，引理成立．若ｘ１ｋ－１ȡＰｊȡｘ１ｋ，ｋȡ３（即ｋ－２ɤｕɤｋ－１），引理成立，则当ｘ１ｋȡＰｊȡｘ１ｋ＋１，ｋ－１ɤｕɤｋ时由引理５及推论２有：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）ɤＢ∗（ｘ，Ｐｊ）＋ＯｘＰ２ｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＝２ðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２ＢｘＰｊ，Ｐｉ()＋２ωｘＰｊ()－２ωｘＰｊ()１２()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷．此处着重说明：在以上递推计算中每项都有一个差式，如记作ω＋ｉ－ω－ｉ，易见对于每个差式，恒有ω＋ｉȡω－ｉȡω（Ｐｊ），故参加递推和式计算之ω（ｔ）均符合引理假设的条件，即：ωｘＰｊ()ȡω（ｔ）ȡω（Ｐｊ）ȡω（ｌｎｘ）ȡω（Ｎ）．又ｘ１ｋ＋１ɤＰｊ，ʑｘɤＰｋ＋１ｊ，即有ｘＰｊ()１ｋɤＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２．因而可由已知递推得：Ｂ（ｘ，Ｐｉ）＜４ＣðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２ＧｌｎｘＰｊｌｎＰｉ－１æèççöø÷÷ｘＰｊＰｉｌｎ２Ｐｉ＋ＯðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２２ｘＰｊＰｉｌｎ３Ｐｉæèçöø÷＋２ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷，（１３）用Ａｂｅｌ恒等式计算：Ω＝ðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２ＧｌｎｘＰｊｌｎＰｉ－１æèççöø÷÷１Ｐｉｌｎ２Ｐｉ，在文献［１］第三章ɦ１引理２中取Ａ（ｔ）＝ðＰɤｔｌｎＰＰ，当ｔȡＰｊȡｌｎｘ充分大时，由文献［１］第四章命题（Ｃ）式有：Ａ（ｔ）＝ðｎɤｔΛ（ｎ）ｎ－ðｍȡ２ðＰɤｔ１ｍｌｎＰＰｍ＝ｌｎｔ－γ＋Ｏ（１）－Ｅ（ｔ），其中γ为Ｅｕｌｅｒ常数，Ｅ（ｔ）＝ðｍȡ２ðＰｌｎＰＰｍ－ðｍȡ２ðＰ＞ｔ１ｍｌｎＰＰｍ＝α１＋Ｏʏɕｔｌｎｑｑ２ｄｑæèçöø÷＝α１＋Ｏｌｎｔｔæèçöø÷＝α１＋Ｏ（１），ʑＡ（ｔ）＝ｌｎｔ－α＋Ｏ（１），ȵα１，γ均为与ｔ无关的常数，ʑα亦为与ｔ无关之常数．令Ｈ（ｔ）＝ｌｎｔ，ｒ（ｔ）＝－α＋Ｏ（１），ｆ（ｔ）＝ＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷１ｌｎ３ｔ．ȵＨ（ｔ）连续可微，及１４ɤＧ（ｕ）ɤ１，由文献［１］第三章ɦ１引理２即可得到：Ω＝ʏｘＰｊ()１２ＰｊＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷ｄｔｔｌｎ３ｔ＋ＲｘＰｊ()１２，Ｐｊ()其中ＲｘＰｊ()１２，Ｐｊ()＝ｒｘＰｊ()１２()ｆｘＰｊ()１２()－ｒ（Ｐｊ）ｆ（Ｐｊ）－ʏｘＰｊ()１２Ｐｊｒ（ｔ）ｆᶄ（ｔ）ｄｔ＝ＯｆｘＰｊ()１２()＋Ｏ（ｆ（Ｐｊ））＋ＯʏｘＰｊ()１２Ｐｊｆᶄ（ｔ）ｄｔ()＝Ｏ１ｌｎ３Ｐｊæèçöø÷．故由（１３）式即有：Ｂ（ｘ，Ｐｉ）＜４ＣｘＰｊʏｘＰｊ()１２ＰｊＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷ｄｔｔｌｎ３ｔ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋ＯｘＰｊʏｘＰｊ()１２Ｐｊ２ｔｌｎ４ｔæèçöø÷ｄｔ＋２ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＝４ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()ʏｘｕ２（ｕ＋１）ｘ１ｕ＋１ＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷㊃ｌｎｘＰｊｌｎｔæèççöø÷÷３ｄｌｎｔｌｎｘＰｊæèççöø÷÷＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋ＯｘＰｊʏ１２ｌｎｘＰｊｌｎＰｊ２τ４ｄτæèçöø÷＋２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｉæèçöø÷＝２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊʏｕ２２βＧ（β－１）ｄβ＋Ｏ２ｘ３Ｐｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＝２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ［β２Ｇ（β）］ｕ２＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＝２ＣＧ（ｕ）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷，其中２２Ｇ（２）＝１，故引理亦成立．证毕．２．由正态分布及其误差值计算所得到的结果引理８㊀当１００ｌｎｘȡＰｊȡｌｎｘȡＮ时，有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＞０．７５ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ．证：由引理１即可得到：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｍ｜Ｚｊ－１ｎ｜Ｚｊ－１μ（ｍｎ）２ｘ６Ｐｊｍｎ＋Ｏ（３ｊ）＝ｘ３Ｐｊðｄ｜Ｚｊ－１μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｄ＋Ｏ（３ｊ）＝ｘ３ＰｊᵑＰ｜Ｚｊ－１１－２Ｐ()＋Ｏ（３ｊ）（参见文献［３］１５页）ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－２Ｐ()＝ᵑＰ｜Ｚｊ－１（Ｐ－１）２Ｐ２ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ（Ｐ－２）（Ｐ－１）２＝ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ－１Ｐ()２ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷，由Ｍｅｒｔｅｎｓ公式（文献［２］第七章ɦ３）有ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ－１Ｐ()＝３㊃（２－１）（３－１）２㊃３ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ－１Ｐ＝３ｅ－ｒｌｎＰｊ１＋Ｏ１ｌｎＰｊ()()，又１＞ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷＞ᵑＰ１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷＞（３２－１）ᵑ（Ｐ２－１）３２ᵑＰ２＝４３（２２－１）（３２－１）ᵑ（Ｐ２－１）２２㊃３２ᵑＰ２éëêêùûúú＝４３ðɕｎ＝１１ｎ２æèçöø÷－１＝４３π２６()－１＝８π２＞０．８１．由素数定理，当ｌｎｘ充分大时，有ｊɤ１．１ＰｊｌｎＰｊɤ１１０ｌｎｘｌｎｌｎｘ＜１２ｌｎｘ，ʑＯ（３ｊ）＝Ｏ（３１２ｌｎｘ）＝Ｏ（ｘｌｎ３２）＝Ｏ（ｘ０．６）．综上即得Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝ｘ３Ｐｊ㊃９ｅ－２ｒｌｎ２Ｐｊ１＋Ｏ１ｌｎＰｊ()()２㊃ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷＋Ｏ（ｘ０．６）＞３ｅ－２ｒ（１－０．０１）２０．８１ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋Ｏ（ｘ０．６）＞０．７５０７ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋Ｏ（ｘ０．６）＞０．７５ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ，证毕．三㊁结㊀论当１００ｌｎｘȡＰｊȡｌｎｘȡＮ时，由引理７又有：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＜２ＣＧ（ｕ）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷ɤ２ＣｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＜（２Ｃ＋ε）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＜０．７５ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ，这就与引理８的结果相矛盾，因此引理７的假设不能成立．因引理７计算中的ω（ｔ）均为：ω（ｘ）ȡω（ｔ）ȡω（ｌｎｘ）ȡω（Ｎ），故可推出至少存在一点ξ，ｘȡξȡｌｎｘ，有：ω（ξ）ȡ０．３７ξｌｎ２ξ成立．故有：ω（［ξ］）＝ω（ξ）ȡ０．３７ξｌｎ２ξȡ０．３７［ξ］ｌｎ２［ξ］．（１４）即可推出在［Ｎ，ｅＮ］之间至少有一个整数点ｍ１使（１４）式成立，同样在［ｍ１，ｅｍ１］之间至少有一个整数点ｍ２使（１４）式成立，如此等等，依次类推，就证明了定理的真实性．由上述我们立即可以得到一个简单的推论：对于任意ｘȡＮ，总有：ω（ｘ）ȡ０．３７ｌｎｘ（ｌｎｌｎｘ）２成立．孪生素数猜想得证．定理证毕．ʌ参考文献ɔ［１］潘承洞，潘承彪．素数定理的初等证明［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，１９８８．［２］潘承洞，潘承彪．哥德巴赫猜想［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８１．［３］闵嗣鹤．数论的方法（上册）［Ｍ］，北京：科学出版社，１９８１．［４］闵嗣鹤，严士健．初等数论（第二版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８２．［５］［苏］Ａ．Ａ．卡拉楚巴著，潘承彪，张南岳译．解析数论基础（中译本）［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８４．［６］华罗庚．数论导引［Ｍ］．北京：科学出版社，１９７９．［７］Ｇ．Ｈ．哈代，Ｗ．Ｗ．洛戈辛斯基著，徐瑞云，王斯雷译．富里埃级数（中译本）［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，１９７８．［８］‘数学手册“编写组．数学手册［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９７９．［９］潘承洞．素数分布与哥德巴赫猜想［Ｍ］．济南：山东科学技术出版社，１９７９．。
孪生素数有无穷多对的简单证明
孪生素数有无穷多对的简单证明大于1的正整数，如果仅有1和自身两个因子，则称它为素数，否则为合数，以p n表示第n个素数，例如，p1=2，p2=3，p3=5……p168=997，…。
令d n=P n+1-P n，则d1=1，d2=2…。
人们自然地提出一个问题，是不是有无穷多个d n=2？这是一个尚未解决的问题。
1、序号筛法Eratosthenes筛法即给定一个正整数x，把不超过x的一切正整数按大小关系排成一串，1，2，3，4，5，……x，记p x是不大于X1/2的最大素数，从上述数串中，首先划去1，然后逐项的划去。
22+2n32+3n52+5n……（n=1，2，3，4……）最后该数串留下的数都是素数，显然对任何给定的正整数串，用上面的方法，也可以找出其中的素数。
令大写字母表示集合，N表示自然数集合，P表示所有素数的集合，P1表示从P中去掉2，3，后的集合，即P1={5，7，11，13，17，19……}对任何P∈P1，P的型式不为6K-1，就为6L+1，其中K，L为某个整数，对任何P∈P1，引入一个关联的伴生数，q，使得|p-q|=2，我们不妨约定，若p=6k-1，取q=6k+1，若p=6k+1，取q=6k-1，q可以是素数，也可以合数。
例如：p=5，7，11，13，17，19，23，29，31……q=7，5，13，11，19，17，25，31，29…令N0={0}UN={0。
1，2，3，4，5……}，对任何P∈P1记显然（p2-1）/6和（pq+1）/6都是整数，Lp、Sp、L及S都是N的子集，N与L、N与S的差集分别简记为。
引理1，若a∈L p，则6a-1为合数，若b∈S p，则6b-1为合数。
证明：对任何P∈P1，若a∈L P，则存在一个n∈N0。
使得a=(P2-1)/6+np；若n∈S p，则存在一个m∈N0，使得b=(pq+1)/6+mp，由此有等式6a+1=p （p+6n）及6b-1=p（q+6m）为合数。
判别孪生三生四生五生六生素数的初等证明
判别孪生三生四生五生六生素数的初等证明务川县实验学校王若仲（王洪）摘要:运用特异奇合数的性质，探讨如何判别孪生素数、三生素数、四生素数、五生素数、六生素数、七生素数、八生素数。
关键词：特异奇数特异奇合数孪生素数孪生素数的概念：当两个素数的差为2时，这样的两个素数称为孪生素数。
如：3和5，5和7，11和13，17和19，29和31等等。
三生素数的概念：若有三个素数，其中有两个素数的差为2，有两个素数的差为4时，这样的三个素数称为三生素数。
如：3和5以及7，5和7以及11，11和13以及17，17和19以及23等等。
四生素数的概念：若有四个素数，其中有两对素数的差为2，有两个素数的差为4时或者其中有两对素数的差为4，有一对素数的差为2时，这样的四个素数称为四生素数。
如：5和7以及11和13，11和13以及17和19，13和17以及19和23等等。
五生素数的概念：若有五个素数，其中有两对素数的差为2，有两对素数的差为4时，这样的五个素数称为五生素数。
如：7和11以及13以及17和19，11和13以及17和19以及23等等。
六生素数的概念：若有六个素数，其中有三对素数的差为2，有两对素数的差为4时或者其中有三对素数的差为4，有两对素数的差为2时，这样的六个素数称为六生素数。
如：3和5以及7和11以及13和17，5和7以及11和13以及17和19，7以及11和13以及17和19以及23等等。
七生素数的概念：若有七个素数，其中有四对素数的差为2，有三对素数的差为4时或者其中有三对素数的差为2，有三对素数的差为4时，这样的七个素数称为七生素数。
如：3和5以及7和11以及13和17以及19，5和7以及11和13以及17和19以及23等等。
八生素数的概念：若有八个素数，其中有四对素数的差为2，有四对素数的差为4时或者其中有三对素数的差为2，有四对素数的差为4时，这样的八个素数称为八生素数。
如：3和5以及7和11以及13和17以及19和23。
孪生素数猜想研究(一)
分步积分
x
udu ln t ln(u 2) (u 2)
2 x
x/t
x
ud u 2 ln u ln(u 2) (u 2)
2 /
x/t
x u u (u 2)du 2 2 6 ln u ln(u 2) x / t ln u ln(u 2) (u 2) u ln(u 2)du 2 2 x/t ln u ln(u 2)2 ln x ln(x 2) ln x / t ln(x / t 2) x x/t
生素数猜想。许多人认为已经证明了这一猜想，但本人以为该猜想 依然是猜想。英国数学家哈代和李德伍兹曾给出过一个猜测，如果 2 ( x) 代表不大于x的孪生素数个数，则有： x dt 2 ( x) 2c2 2 2 ln t
p( p 2) 0.6601611.... C2 2 p3 ( p 1)
(x)
x ln x a n
（其中 an 是指任意条件下满足上式的值）结合（13）
再结合 Abel 中的 (n 2) (n 3) 可以使 cn 变为一个可微分连续函数， 恒等式可以使 2 (x) 有界，并可以估算出其上界。但计算和证明较复 杂，这里不再赘述。
参考资料： [1]卢昌海个人主页《孪生素数猜想》2003 年 4 月 6 日纽约 [2]潘承洞 潘承彪《素数定理的初等证明》上海科学技术出版社 1988 年第 8 页 [3]潘承洞 潘承彪《素数定理的初等证明》上海科学技术出版社 1988 年第 59 页
又因为
( x ) v ( n ) ，设 b x , t 2, x , 而
浅谈对一类数学题的创新型解法（二）——求任意两数之间的孪生素数公式
浅谈对一类数学题的创新型解法（二）——求任意两数之间的孪生素数公式摘要：本文的“求孪生素数的公式”是在“求素数的公式”基础上得到的。
利用这个公式，可以一个不拉地求出任意两数之间的孪生素数。
它解决了100多年来，在初等数论的范围内没有求孪生素数公式的苦恼。
有了求孪生素数的公式，对于解决孪生素数猜想等问题，就有了打开这个“生了锈的大门”的钥匙。
关键词：任意两数；孪生素数；公式；数型判断和整理；1、在上一章中，我们得到了“求任意两数之间素数的公式”，即：据此，在电脑的计算能力范围内，任意两自然数之间的素数都可以用这个公式求得。
下面，我们对这个公式进行拓展，得到了：“求任意两数之间的孪生素数公式”，其表现形式如下：公式2、任意两自然数之间的孪生素数可用如下公式求出：说明：（1）式中的表示要求自然数n到Ｎ之间所有孪生素数的对数；（2）表示n到Ｎ之间所有数对的个数。
为了保持的数值永远是整数，并且永远准确无误，在计算前，有必要对n和Ｎ进行“数型判断和整理”：①如果n或Ｎ是能够被3整除的奇数，则数值不变；②如果n或Ｎ属于被3除余1的奇数，则对n或Ｎ加上2，使之能被3整除；③如果n或Ｎ属于被3除余2的奇数，则对n或Ｎ减去2，使之能被3整除。
④如果n或Ｎ是偶数，a）当n或Ｎ是能被3整除的偶数时，则对n加上3，对Ｎ减去3，使之变成能被3整除的奇数；b）当n或Ｎ是其他形式的偶数时，则对n减去1，对Ｎ加上1，使之变为奇数，然后，即可按照奇数时的情况进行数型判断、整理；经过数型整理后，的数值必然都是整数，对于这些整数我们还必须将它们两两组合，组成不能被3整除的奇数数组。
如μ[（39-15）÷6]=4，即：在15与39之间有4组数组，它们是：1719 23 25 29 31 35 37。
这些数组，都属于被减数中的数值。
（3）表示所有符合条件的奇合数。
由于这一部分处于减数的位置，必须全部减去。
而这里和求素数公式所不同的是：在求素数公式中，每次只需要划去（减去）1个奇合数，而在求孪生素数公式中，每次都必须同时划去两个奇数（不管另一个奇数是不是合数），也就是同时要划去（减去）一组奇数。
“哥德巴赫猜想”及“孪生素数猜想”证明(精简版)
“哥德巴赫猜想”及“孪生素数猜想”的证明王若仲 1 谭谟玉2贵州省务川自治县实验学校王若仲（王洪）贵州省务川自治县农业局谭谟玉摘要：我闲遐之余，喜好研究数学问题，我在一次偶然探究中，发现了“哥德巴赫猜想”的简捷证明方法，即就是不具体研究单个素数的位置如何，也不研究设定区域内素数的数量如何，而是利用集合的概念，设置一定的条件，在宽泛的前提下探讨整体情形，即假设偶数6，8，10，…，（2m-2），（2m）（m≧3）；它们均可表为两个奇素数之和。
设奇合数a1，a2，a 3，…，at均为不大于偶数2m的全体奇合数，（ai＜aj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），t∈N。
则集合{1，（2m-1）}∪{（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），…，（2m-at）}∪{a1，a2，a3，…，a t }有缺项。
利用前面已知情形，证明集合{（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），…，（2m-at）}∪{（a1+2），（a2+2），（a3+2），…，（at+2）}有缺项；利用该结论以及前面已知情形，证明集合{（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），…，（2m-at）}∪{（a1-2），（a2-2），（a3-2），…，（at-2）}也有缺项；假设偶数（2m+2）不能表为两个奇素数之和，设奇合数a1，a2，a3，…，ar均为不大于偶数（2m+2）的全体奇合数，（ai ＜aj，i＜j，i、j=1，2，3，…，r），r∈N。
则集合{1，（2m+2-1）}∪{（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），…，（2m+2-at）}∪{a1，a2，a3，…，ar}没有缺项。
该集合中的元素均分别减去2后所得集合{（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），…，（2m-at）}∪{（a1-2），（a2-2），（a3-2），…，（at-2）}仍然没有缺项。
这与前面所得结论产生矛盾，说明偶数（2m+2）能表为两个奇素数之和。
孪生素数
目录[隐藏]∙ 1 序列∙ 2 性质∙ 3 多元组∙ 4 猜测与证明∙ 5 参见∙ 6 外部链接[∙收敛性∙结构∙定理∙统计分析统计分析所有小于 4.35 · 1015的孪生素数，可以得到小于x的素数对的个数是 x·f(x)/(log x)2。
当x较小时，f(x) 大约为 1.7，当x较大时大约为 1.3。
f(x) 的值和孪生素数常数（twin prime constant）相近：[编辑]多元组孪生素数的概念可以扩展到多元组，即由多个间隔为2的素数构成的序列。
由于三个相邻整数总有一个能被3整除，不可能是素数，因此(3, 5, 7) 是唯一的孪生素数三元组。
而且由于更多元素构成的孪生素数多元组必定包含三元组的结构，因此多于三个元素的孪生素数多元组不存在。
[编辑]猜测与证明1921年，英国数学家哈代和李德伍兹曾猜测，如果：代表不大于x的孪生素数个数，则有：，其中：查看∙条目∙讨论∙编辑本页∙历史∙大陆简体∙港澳繁體∙马新简体∙台灣正體个人工具∙试用测试版∙登录／创建账户搜索导航∙首页∙分类索引∙特色内容∙新闻动态∙最近更改∙随机页面帮助∙帮助∙社区入口∙方针与指引∙互助客栈∙询问处∙字词转换∙联系我们∙关于维基百科∙资助维基百科工具箱∙链入页面∙链出更改∙上传文件∙特殊页面∙可打印版∙永久链接∙引用此文其他语言∙ةيبرعلا∙Català∙Česky∙Dansk∙Deutsch∙Ελληνικά∙English∙Esperanto∙Español∙Suomi∙Français∙תירבע∙Magyar∙Italiano∙日本語∙한국어∙Ripoarisch∙Монгол∙Plattdüütsch∙Nederlands∙N orsk (bokmål)∙Polski∙Português∙Русский∙Slovenščina∙Svenska∙தமிழ்∙Türkçe∙Українська∙Bân-lâm-gú∙本页面最后修订于2010年2月17日 (星期三) 06:14。
孪生素数有无穷多对的证明
关于孪生素数有无穷多对的证明论题：有多少对相邻的奇数都是素数，如：3和5，5和7，11和13，17和19，29和31，···这样相距为2的一对素数，称为孪生素数。
孪生素数是否有无穷多对呢？我的结论是孪生素数有无穷多对，并予以证明。
一、假素数(一)素数有无穷多个用自然数n表示素数从小到大的顺序，用Pn 表示这种有顺序的素数，即P1=2，P 2=3， P3=5， P4=7，···将不大于素数Pn的素数组成的集合，记作In，In={2，3，5，7，··· Pn} 。
将不大于Pn 的所有素数之积，记作Tn,Tn=2×3×5×7×···×Pn定义一假素数：若某自然数不是任意一个不大于Pn 的素数的倍数，将此自然数称作Pn 的假素数。
Pn 的假素数记作An现用d表示整倍数的意思。
现用Gn 表示不大于Pn的素数，即 In={ Gn}根据定义，x∈{An }（x∈N）的充要条件是 x≠ Gnd因为1不是任何素数的倍数，故它是任何一个素数Pn的假素数。
P n 的假素数和素数的区别,Pn假素数里面不包含不大于 Pn的素数，却包含了大于 Pn的素数。
在这里引进假素数的概念，研究假素数的性质，，以及相互联系，是为了更好的研究素数的性质。
(二)假素数保持定理定义二保持部：将整个自然数列，以Tn 为单位长，从小到大逐一划分成无穷多个首尾相连的单元，将这样的单元，称作Pn 的保持部。
（h－1）Tn 是 Pn的第h 个保持部的首端，（h－1／2）Tn是其中点， h Tn是尾端。
定理（一）假素数保持定理：素数Pn 的假素数，在其任意两个保持部里个数相等且分布一致。
所谓分布一致，是指两个保持部里，其假素数一一对应，且每对对应的假素数与其首端的距离相等。
换成精确的数学语言，在 Pn的任意一个保持部里的任意一个假素数，设与其首端的距离为 y (y＜ Tn,且y∈N )，即（h－1）Tn＋y∈{An },如果在Pn的另外任意一个保持部里，与其首端为y 的数,( h′－1）Tn＋y∈{An }也成立，则 Pn的假素数在其任意两个保持部里分布一致。
孪生素数猜想
此我们可以通过等价的原理加以诠释：
将整数数轴：2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,......中整数个数设为单
位1； 根据素数新定义
则2的倍数占比为：1/2
3的倍数占比为：1/3-1/6
5的倍数占比为：1/5-1/10-1/15+1/30 等等，
最后可得到素数在整数中的占比约为：
哎，我坚信，这个级数 欧拉肯定也想过。
常见方法
筛理论 ： 1920年，挪威的维果·布朗（Viggo Brun）证明了2能表 示成两个最多有9个素数因子的数的差。 这个结论已经有些近似于孪生素数猜想了。可以看到， 只要将这个证明中的“最多有9个素数因子的数”改进 到“最多有1个素数因子的数”，就可以证明孪生素数 猜想了。
著名数学家。被称为“几何之 父”，他最著名的著作《几何 原本》是欧洲数学的基础，提 出五大公设，欧几里得几何， 被广泛的认为是历史上最成功 的教科书。
几何原本
人人皆知： 在数论研究中，他用天才的简洁反证法证明了素数无穷多； 可惜，没法证明孪生素数无穷多。
猜想内容
一千年间： 无人敢提，销声匿迹。
1849年：
=1-∑1/P+∑1/pq-∑1/pqr+…±∑1/∏P
（1）
(式中所有素数为奇素数，分母为偶数个素数积时取和，为奇数
时取差)
关于该新颖级数的求和不在此演示。不过它是发散的(其值应该
不为0)，该级数本身足以说明了孪生素数的无穷多。
常见方法
LiKe数列3（级数类比）：
针对级数公式（1）求解的复杂性，很多人也许看不出端倪。至
1-1/3-(1/5-1/15)-(1/7-1/21-1/35+1/105)-(1/11-1/3*11-1/5*11-...+...)-...
张益唐孪生素数猜想证明过程
张益唐孪生素数猜想证明过程张益唐近照，由新罕布什尔大学提供张益唐是个对数字“极其敏感”的人，他能把大学同班同学的出生日期背得“滚瓜烂熟”，并在每个人过生日时发去一封祝福邮件。
同为恢复高考后北京大学数学系第一批学生，美国普渡大学数学系教授沈捷就享受过这样的“待遇”。
但他发现，七八年前张益唐突然“消失”了。
因为，从那时起，他再没收到过张的生日祝福，“给他发邮件也没再回过”。
5月16日，张益唐的邮件突然来了，只有一个单词：“谢谢”。
在接受中国青年报记者采访时，沈捷回忆说，此前一天，他和夫人就张益唐在孪生素数方面取得的突破向他发去邮件道贺。
5月14日，《自然》（Nature）杂志在线报道张益唐证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破，甚至有人认为其对学界的影响将超过陈景润的“1+2”证明。
在此之前，“年近6旬”的张益唐在数学界可以说是个名不见经传的人。
多年前曾与张益唐接触过的浙江大学数学系教授蔡天新也以为“他早从数学圈消失”了，蔡说已经“近30年没他的消息了”，没曾想“他突然向孪生素数猜想走近了一大步”——素数是指正因数只有1和本身即只能被自身和1整除的正整数，“孪生素数”则是指两个相差为2的素数，例如3和5，17和19等。
而随着素数的增大，下一个素数离上一个素数应该越来越远，故古希腊数学家欧几里得猜想，存在无穷多对素数，他们只相差2，例如3和5，5和7，×2195000-1和×2195000+1等等。
这就是所谓的孪生素数猜想，它和黎曼猜想、哥德巴赫猜想一样，让无数数论者着迷。
数学家需要做的是一个证明！然而，人们甚至不知道它的“弱形式”是否成立，用《数学文化》主编、香港浸会大学理学院院长汤涛的话说就是——能不能找到一个正数，使得有无穷多对素数之差小于这个给定正数，在孪生素数猜想中，这个正数就是2。
张益唐找到的正数是“7000万”。
孪生素数个数公式
孪生素数个数计算公式李联忠（营山中学 四川营山 637700）摘要：孪生素数个数计算公式∑-∑-∑-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=≠==p p p x p p x p x Li iiij k j k j k kjik k kIn n n n 2112,1211)1()1()1(、＋ｑ-hn 前的素数均是n 的约数时，孪生素数个数计算公式pp p p p p iin L 2212211-⋅⋅-⋅-⋅= +q-h关键词：数论 孪生素数 公式中图分类号： 文献标识号： 文章编号：孪生素数：相差２的素数叫孪生素数。
引理：若ppn i21i 2+≤＜，pp pppi ik121,,,,,3,2+== 为连续素数，则在1、2、3…n 中去掉pk的倍数，余下的数（1除外）全为素数。
分析下面相差2的数组（１，３） （２，４）…（ｍ，ｍ＋２）…（ｎ，ｎ＋２） (1≤m ≤n) 若ppn i21i 2+≤＜pp pppi ik121,,,,,3,2+== 为连续素数，在1、2、3…n 中去掉除以pk余0和余（2-pk）的数，则余下的数组（ｍ，ｍ＋２）中，ｍ和（ｍ＋２）都不是前ｉ个素数的倍数，据引理，余下的数组全为孪生素数（若n 为素数，n+2=p i 21+，（n,n+2）除外，i=1，（1，3）除外），仿照素数公式可得出类似的孪生素数计算公式∑-∑-∑∑++++++++-=≠≠=≠==］［］［］［］［ppp xpp p xpp xpxLiiiijk l j k l jkllkj ijk j k jkkjik kkin n n n n2112,1,,3,1,1)1()1(=q-h))2,(),3,1(2101(该去而未去指或、倍数被去掉了；作为的孪生素数，因为它们表不大于+=n n h q p i()(mod20,),(mod20);(mod02211p x pxp x ii 或或≡≡≡⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≡≡≡⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)(m o d 20)(m o d 20)(m o d 0;)(m o d 20)(m o d 2012212112p x p x p x p x p x i ii i jkj kkj或或或或［ ］为取整号，xx i1 ；…，x kj …；…x k 12…为中国剩余定理同余组的解。
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孪生素数猜想初等证明详解齐宸孪生素数是指相差2的素数对，例如3和5，5和7，11和13…。
孪生素数猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。
素数对（p, p + 2）称为孪生素数。
孪生素数由两个素数组成，相差为2。
为了证明孪生素数猜想，无数的数学家曾为之奋斗，但美丽的公主仍然犹抱琵琶半遮面。
1．孪生素数分类及无个位表示方法孪生素数按两个素数个位不同划分3类（不包括10以下的3-5、5-7），分别是：1、孪生素数中两个素数个位为1和3，如11-13，41-43等；2、孪生素数中两个素数个位为7和9，如17-19，107-109等；3、孪生素数中两个素数个位为9和1，如29-31，59-61等。
三类孪生素数中个位为1和3的第一类是我们需要重点研究的，其他两类可以忽略不计。
因为只要第一类孪生素数无限，也就等价于证明了孪生素数猜想。
自有孪生素数概念以来它们就是由两个素数表示的。
若是能简化成一个数字那孪生素数猜想这一世界数学难题也许就向前迈进了一步。
无论这一步是一小步，还是一大步。
但毕竟能将两个素数组成的孪生素数降格成了像素数那样的单个数字。
分析一下个位为1和3的这一类孪生素数，如41-43这对孪生素数。
首先，分别去掉个位1和3后，可以看到剩下了两个数字4和4。
用这两个数字完全可以表示一对孪生素数，当然我们心里要想着在这两个数字后面是有个位1和3的。
其次，这两个去掉个位的数字又是完全相同的，都是一个数字“4”。
这样也就完全可以用一个数字“4”来表示一对孪生素数，也可以说4是一个单数字无个位孪生素数。
当然表面上看只有第一类、第二类孪生素数可以用一个数字表示（实际上第三类也可以）。
为什么一定要去掉个位呢？可将自然数变成互为补集的两类：孪生素数和非孪生素数。
并利用一种简单的筛法，将自然数中的非孪生素数及其补集孪生素数分开。
而且这个筛法所要得到的是非孪生素数。
并用非孪生素数证明孪生素数猜想。
自然数分成互补的孪生素数与非孪生素数，这是一种新的观点。
恐怕没有人相信这种新奇的想法，但这是可以实现的。
而且还可以将自然数分成互补的四胞胎素数与非四胞胎素数等。
2．无个位合数公式及单数字无个位孪生素数筛法两数相乘的结果个位为3时，这两数字的个位只能是1、3或7、9，不可能有其他组合，这是小学知识。
自然数(10k+1)乘以自然数(10i+3)，利用中学知识就可以将其转化为10[(10i+3)k+i]+3形式。
去个位后转换为(10i+3)k+i。
去掉个位这一步很关键，可以将孪生素数的两个素数简化为了一个数字。
同法可得个位为1、3、7、9全部无个位合数公式，结果如下:个位为1：(10i+1)k+i、(10i+3)k+7i+2、(10i+9)k+9i+8个位为3：(10i+3)k+i、(10i+7)k+9i+6个位为7：(10i+7)k+i、(10i+3)k+9i+2个位为9：(10i+9)k+i、(10i+3)k+3i、(10i+7)k+7i+4个位为3的自然数去掉个位后剩下什么呢。
自然数03、13、23、33、43、53、63、73、83、93、103……，去掉个位后剩余：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……,这是含0的全体自然数集合。
用这个含0的自然数集合及无个位合数公式计算的结果一定是包含了相应个位下的所有合数，那么不在计算结果中的数字就一定是素数，故此无个位合数公式可以筛选个位为1、3、7、9中的任意素数。
同时这个新自然数集合可以有很多种分法：合数及其补集素数；非孪生素数及其补集孪生素数；非四胞胎素数及其补集四胞胎素数。
一切都依据其后缀而定。
将个位为1和个位为3的5组合数公式同时使用，就可以得到所有个位为1和个位为3的合数，当然得到的数字是不包含个位的。
无论这些合数是否重复，每一个合数在自然中只能占据一个位置。
在一定范围内的计算结果会在自然数序列中留下一些空位，这些空位所代表的数字填上个位1后一定不是个位为1的合数，填上个位3后也一定不是个位为3的合数。
因此这些空位就是孪生素数的位置，就是去掉个位只用一个数字表示的孪生素数。
当然只是个位为1和3的孪生素数。
如空位“10”本身既不是孪生素数也不是素数，但在10后面分别填上个位1和3后，就是一对孪生素数101-103。
这就是无个位合数公式的单数字孪生素数筛法。
任何个位为1和3的数字组合中，只要有一个数字是合数，就一定不是孪生素数，必然要被筛除。
最终得到的就是孪生素数。
故此筛法将自然数序列成功的分为互补的两类：孪生素数、非孪生素数。
比如公式求得10以内的非孪生素数有2、3、5、6、8、9，而补集是1、4、7、10。
显然补集全部是孪生素数(特殊数字0除外)。
这就是此筛法的妙处，这种互补性极大的简化了孪生素数问题。
此筛法实质上去掉了用素数+2来验证孪生素数的过程。
无个位合数公式的孪生素数筛法是非常笨重的，理论上不仅计算素数的倍数，还要计算无意义的合数倍数，存在着大量的重复计算。
但此筛法的目的不是得到孪生素数，它实际想要得到的是那些非孪生素数，是要得到那些单数字无个位非孪生素数，更确切的说是要得到那些由非孪生素数组成的等差数列集合。
这些公式计算的结果具体如下：个位为1的(10i+1)k+i计算结果如下：当i=1，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：12、23、34、45、56...当i=2，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：23、44、65、86、107...当i=3，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：34、65、96、127、158...当i=4，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：45、86、127、168、209...当i=5，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：56、107、158、209、260...个位为1的(10i+3)k+7i+2计算结果如下：当i=0，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：2、5、8、11、14...当i=1，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：9、22、35、48、61...当i=2，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：16、39、62、85、108...当i=3，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：23、56、89、122、155...当i=4，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：30、73、116、159、202...个位为1的(10i+9)k+9i+8计算结果如下：当i=0，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：8、17、26、35、44...当i=1，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：17、36、55、74、93...当i=2，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：26、55、84、113、142...当i=3，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：35、74、113、152、191...当i=4，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：44、93、142、191、240...个位为3的(10i+3)k+i计算结果如下：当i=0，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：3、6、9、12、15...当i=1，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：14、27、40、53、66...当i=2，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：25、48、71、94、117...当i=3，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：36、69、102、135、168...当i=4，k取1、2、3、4、5...时，计算结果是：47、90、133、176、219...个位为3的(10i+7)k+9i+6计算结果如下：当i=0，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：6、13、20、27、34、...当i=1，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：15、32、49、66、83...当i=2，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：24、51、78、105、132...当i=3，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：33、70、107、144、181...当i=4，k取0、1、2、3、4...时，计算结果是：42、89、136、183、230...这5组无个位合数公式计算出的结果在填上各自的个位后一定是合数，而且是该个位下所有的合数。
若将这些计算结果去掉各自的个位属性，而统一添加个位1或添加个位3后，会得到双倍的数字。
比如，3或6这样的无个位数字添加两个个位后会变成31-33和61-63这样的数字组合，所有的这些数字组合一定不是孪生素数。
而不在这些计算结果中的无个位数字，如4或7会变成41-43，71-73这样的数字组合，它们是孪生素数，而且所有不在计算结果中的数字一定是孪生素数，且是所有个位为1和3的孪生素数的总和。
还有上面每组公式的计算结果中，不但每一行是一个等差数列，每一列也是一个等差数列，原因是k值固定形成横向等差数列，i值固定形成纵向等差数列。
这个是证明孪生素数猜想的最关键的一点，后面的证明中将用到这一特性。
3．容斥原理及孪生素数猜想的证明在组合数学中有一个容斥原理，运用容斥原理可以计算若干有限集合内不同元素的数量。
在这里正好可以运用这一原理。
虽然容斥原理要求是有限集合，但这里可以将全部集合设定在有限数字N以内，或者是有限数字2N以内，这样运用容斥原理就可以计算这个有限集合内的不同元素分布情况。
这里就是要在自然数集合中去掉那些由不同元素组成的非孪生素数，剩余的自然数就是全体孪生素数（仅指个位为1和3的孪生素数）。
假设有若干等差数列，在N以内通过容斥原理是可以计算出其中所含不同元素具体数量的。
当然若是等差数列很多，计算将会是异常繁琐的，但理论上一定是有一个确定答案的。
其条件有2个：一个是长度范围N，另一个是每一个等差数列自身性质。
而若要计算N-2N之间的不同元素数量，只要还是这些等差数列，还是相同的长度范围N，则其最终答案的数值将会与N以内所含不同元素数值是非常相近的。
或者说有若干长度为2N的等差数列，分别计算N内和N-2N内的不同元素个数，其答案必将近似。
这说明了只要证明在N以内决定非孪生素数个数的等差数列与在N-2N之间决定非孪生素数个数的等差数列全部相同，那么在N以内及N-2N之间的非孪生素数个数就是大致相同的。
而长度范围无需证明，因为我们已经将这两段长度范围全部取值为长度N。
而N以内及N-2N之间的非孪生素数个数是非常接近的，那么区间内各自的孪生素数个数显然也是非常接近的。
因为在这两个区间内的数字不是非孪生素数就必然是孪生素数，没有其他数字的可能。
而N以内的孪生素数个数我们可以用其他筛法得到，可以视同是已知。