材料力学第8章
材料力学：第八章-应力应变状态分析
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
D
C
sO
E
s 2 , 0
s 1 , 0
D
s
结论：所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用4
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
证： 1. 据纯剪切斜截面应变公式求e45。
2. 据广义胡克定律求 e45。
纯剪切时主应力在45度方向,
3. 比较
例 8-3 边长 a =10 mm 正方形钢块，置槽形刚体内， F = 8 kN，
m 0.3，求钢块的主应力
解：
因二者均为压应力, 故
§8 电测应力与应变花
应力分析电测方法 应变花
已知 sa , ta , sa+90 , ta +90 ,画应力圆
应力圆绘制 先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
ta+90 sa+90
t
sa ,ta
D
t
sa ,ta
D
sa
ta
O
C
sO
E
sa+90 ,ta+90
C
s
E
sa+90 ,ta+90
应力圆的绘制方法(3): 由主应力画应力圆
适用范围： 各向同性材料，线弹性范围内
主应力与主应变的关系
主应变与主应力的方位重合 最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位
最大拉应变发生在最大拉应力方位 如果 s1 0，且因 m < 1/2，则
材料力学(I)第八章-铆钉连接的计算
§8-6 铆钉连接的计算
1
铆钉连接主要有三种方式： 1.搭接（图a），铆钉受单剪； 2.单盖板对接（图b），铆钉受单剪； 3.双盖板对接（图c），铆钉受双剪。
2
铆钉组承受横向荷载
实际铆钉组中位于 两端的铆钉所传递的力 要比中间的铆钉所传递 的力大。
为了简化计算,假设: (1) 如果作用于连接上的力其作用线通过铆钉组 中所有铆钉横截面的形心，而且各铆钉的材料和直径 均相同，则认为每个铆钉传递相等的力。 (2) 不考虑弯曲的影响。 铆钉连接与螺栓连接的计算方法相同。
i 1
2.754 103 N 2.754 kN
22
例题 8-10
F F
'' 2 '' 5
M e r2
2 r i i 1 6
2.928kN
F F
'' 3 '' 4
M e r3
2 r i i 1 6
4.344kN
Fi 的方向垂直于ri。
23
例题 8-10
将Fi'和Fi''按矢量合成以得出每一铆钉所受的力 Fi。图b中示出了1，2，3三个铆钉所受力的情况。 经比较按矢量合成后的力F1，F2，…，F6 知，铆钉 1和6所受力最大，F1=F6=4.41 kN。
24
例题 8-10
5. 此连接为搭接，铆钉受单剪，故受力最大的铆 钉1和6剪切面上的切应力为
F1 4.41 103 N 6 t1 t 6 14 10 Pa 14 MPa A s1 π (0.02 m)2 4
257
例题 8-10
解: 1. 将外力F向铆
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
材料力学第8章-能量法
能量原理的应用
能量原理可以应用于弯曲、拉伸、压缩等各种不同的力学问题。通过计算系统的势能和应变能，可以分 析材料的应力分布、变形情况和稳定性。
弹性势能和弹性材料的能量原 理
弹性势能是指弹性材料在外力作用下产生的能量。通过应变能和弹性势能之 间的关系，可以推导出弹性材料的力学性质和变形方程。
弹塑性材料的能量原理
材料力学第8章-能量法
材料力学的能量法是研究材料变形和力学行为的重要方法，它具有广泛的应 用。本章将介绍能量法的基本概念和应用，以及弹性和弹塑性材料的能量原 理。
能量法的基本概念
能量法是一种力学分析方法，通过考虑系统的能量变化，推导出材料的力学 性质和变形行为。能量法的基本概念包括势能和应变能的概念，以及能量守 恒定律。
通过能量法，我们可以分析臂梁在外力作用下的弯曲行为。通过计算和优化梁的几何参数和材料性质， 可以设计出更加稳定和高效的悬臂梁结构。
总结和要点
能量法是一种重要的材料力学分析方法，它通过考虑材料的能量变化，分析 材料的力学性质和变形行为。
对于弹塑性材料，除了考虑弹性势能外，还需要考虑应变能和塑性势能的贡献。能量原理可以用来分析 弹塑性材料的强度和变形行为。
能量法在材料力学中的重要性
能量法是材料力学中的一种基本方法，它可以用来分析各种不同类型的力学问题，包括材料的变形、破 坏和失稳行为。掌握能量法对于研究和设计材料结构至关重要。
应用实例：悬臂梁弯曲问题的分析
材料力学课件第8章组合变形zym
§8—4 扭转与弯曲的组合 一、圆截面杆弯扭组合 实例： （一）实例： 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶Me。 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶 。 试建立轴的强度条件。 试建立轴的强度条件。 解： 1、确定危险点： 、确定危险点： （1）外力分析 ） F 计算简图： ①计算简图： Fτ 由 ∑ M x = 0 得： FD = Me 2 可确定F 由F可确定 τ。 可确定 外力分解： ②外力分解： 变形判断： ③变形判断： AB段扭转变形，BE段弯扭组合变 段扭转变形， 段弯扭组合变 段扭转变形 形，EC段弯曲变形。 段弯曲变形。 段弯曲变形
解： 、确定各边为中性轴时的压力作用点： 1、确定各边为中性轴时的压力作用点： b2 h2 2 iy = , iz2 = 12 12 h az = ∞ AB截距： a y = − , 截距： 截距 2 h2 iz2 12 = h , zF = 0 F作用点 坐标： yF = − = − 作用点a坐标 作用点 坐标： h 6 ay − 2 同样确定b,c,d点。 同样确定 点 2、连线 确定截面核心。 、连线a,b,c,d确定截面核心。 确定截面核心 解：
3 由： W ≥ M max = 12 ×10 N ⋅ m 6
[σ ]
100 × 10 Pa
= 12 × 10−5 m3 = 120cm3
查表选定16号工字钢。 查表选定 号工字钢。 号工字钢 （2）组合变形校核计算： ）组合变形校核计算： 16号工字钢：W=141cm3,A=26.1cm3 号工字钢： 号工字钢
2、应力状态分析 、 均为单向应力状态 单向应力状态。 均为单向应力状态。
'' σ A = σ ′ +σ A =
F (0.425m) F × (0.075m) + −3 2 15 ×10 m 5310 ×10−8 m 4
材料力学-第8章应力状态与强度理论
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
强度理论概述
关于脆性断裂的强度理论
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
关于脆性断裂的强度理论
零件或构件在载荷作用下，没有明显的破坏 前兆（例如明显的塑性变形）而发生突然破坏的 现 象 ， 称 为 断 裂 失 效 （ failure by fracture or rupture）。
Mechanics of materials
材料力学
材料力学
第 8章
基础篇之八
应力状态与强度理论 及其工程应用(B)
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
什么是“失效”；怎样从众多的失效现象中寻找失效 规律；假设失效的共同原因，从而利用简单拉伸实验结果， 建立一般应力状态的失效判据，以及相应的设计准则，以 保证所设计的工程构件或工程结构不发生失效，并且具有 一定的安全裕度。这些就是本章将要涉及的主要问题。
2 1 3
max 1 ( 1 0)
= b
o max b
失效判据 强度条件
1 b
1
b
nb
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
关于脆性断裂
第二强度理论又称为最大拉应变准则（maximum tensile strain criterion），它也是关于无裂纹脆性材 料构件的断裂失效的理论。
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
关于脆性断裂的强度理论
根据第二强度理论，无论材料处于什么应力状态， 只要发生脆性断裂，其共同原因都是由于微元的最大 拉应变达到了某个共同的极限值。
max
o max
(1 0)
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
材料力学第八章
D2 E2 O2
某实际应力状态：与 包络线相切，1>3， 3 1 有正负。 E3O3 O1O3 D3O3 D1O1 OO1 OO3 E2O2 O1O2 D2O2 D1O1 OO1 OO2 1 3 [ c ] [ t ] D3O3 D2O2 D1O1 2 2 2 1 3 [ c ] [ t ] OO3 OO2 OO1 2 2 2
最大拉应力1，与应力状态无关； 1．断裂原因： 2．强度准则： 1 u / nb 1 [ ] 断裂判据： 1 u 1 b 3．u由单向拉伸断裂条件确定： u b nb [ ] 4．应用情况：符合脆性材料的多向拉断试验，或 压应力不超过拉应力情况，如铸铁单向拉伸和 扭转；不能用于无拉应力的应力状态。
1．屈服原因： 形状改变比能uf，与应力状态无关；
2．强度准则：
1 uf ufu / ns ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 [ ] 2
屈服判据：
1 uf ufu ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 s 2
4．应用情况： 符合表面润滑石料的轴压破坏，某些 脆性材料压应力很大时的双向拉压状态。
§8-2
断裂准则
一、最大切应力理论(第三强度理论，Tresca准则) 不论材料处于何种应力状态，引起材料屈服的 原因是最大切应力max达到共同极限值s。
1．屈服原因： 最大切应力max，与应力状态无关； 2．强度准则： max s / ns 1 3 [ ]
[t]、[c]：许可拉、压应力； [ t ] 1 3 [ t ] 如[t]=[c]，退化为最大切 [ c ] 应力准则。
《材料力学》第八章组合变形
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
材料力学-第8章应力状态与强度理论及其工程应用(A)
应力的面的概念——过同一点 不同方向面上的应力各不相同
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
受力之前,表面的正方形
FP
FP
受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
受力之前,表面斜置的正方形
FP
2
2
x
2
3
3
3
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
例题2
l
FP
S
a
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
y
1 例题2 4 2 3
z
x S平面
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
y
1
FQy
1
4
4 2
3
Mz
x
z
Mx
3
2
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力的点的概念——同一截面上 不同点的应力各不应力状态的基本概念
FQ F Nx
Mz
横截面上的正应力分布 横截面上的剪应力分布
横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表明： 同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的 概念。
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
描述一点应力状态的方法
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
描述一点应力状态的基本方法
微元（Element）
微元及其各面上一点 应力状态的描述
dx
dz
dy
材料力学 第八章
边界条件： x 0
xL
y1 0
y2 0
L
Fb 2 x C1 2L
x连Βιβλιοθήκη 条件：xay1 y2
Fb 3 x C1 x D1 6L
Fb 2 F x ( x a ) 2 C2 2L 2
1 2
Fb 2 C1 ( L b 2 ) C2 , 6L
yC , B
1、载荷分解
q
ql
ql2
2查表：单独载荷作用下
q
5ql yC1 384EI
yC 2
B2
4
ql3 B1 , 24EI
yC1
ql
B1
(ql)l 3 48EI
(ql) l 2 ql3 , 16EI 16EI
yC2
ql2
B2
yC 3
3ql 4 48EI
图所示。试求 ( x), y( x)
和
A 。
Fa L
FAy
FBy
1、求支座反力
FAy
Fb , L
FBy
2、分段列出梁的弯矩方程 AC段 (0 x a)
Fb M 1 ( x) FA x x, L
BC段 (a x L)
Fb M 2 ( x) x F ( x a), L
1 y
y '' ( x )
'2
( x)
3
2
M ( x) EI z
y ( x) ( x) 0
'
1 y ' 2 ( x) 1
故得挠曲线近似微分方程：
M ( x) y' ' EI
材料力学第八章压杆的稳定性
压杆的稳定性
§8-1 压杆稳定性的概念
工程中存在着很多受压杆件。 受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式： 1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到 材料的极限应力，为强度破坏。 2）细长的直杆，其破坏 是由于杆不能保持原有的直线 平衡形式，为失稳破坏。 对于相对细长的压杆，其 破坏并非由于强度不足，而是 由于荷载（压力）增大到一定 数值后，不能保持原有直线平 衡形式而失效。
z y x 轴销
解：先计算压杆的柔度。 在xz面内，压杆两端可视为铰支，μ=1。查型钢表，得 l 1 2 iy=4.14cm，故 y 48.3 i y 0.0414
在xy面内，压杆两端可视为固支， μ=0.5。查型钢表，得iz=1.52cm， 故 l 0.5 2 z 65.8 iz 0.0152
n2π2EI l2
(n = 0,1,2…）
（Euler公式）
x Fcr
π w =Asin l x （半波正弦曲线） l x= 2 时 w0= A
A是压杆中点的挠度w0。为任意的微小值。
l
w
F与中点挠度w0之间的关系 （1） 若采用近似微分方程，则F 与如折线OAB所示； （2） 若采用精确的挠曲线微 分方程，则可得F与w0之间的 关系如曲线OAB'所示； F B'
例 某钢柱长7m，由两根16b号槽钢组成，材料 为Q235钢，横截面如图所示，截面类型为b类。钢柱 的两端截面上有4个直径为30mm的螺栓孔。钢柱μ=1.3 ， 受260kN的轴向压力，材料的[σ]=170MPa。 （1）求两槽钢的间距h。 （2）校核钢柱的稳定性和强度。
解：(1) 确定两槽钢的间距h 钢柱两端约束在各方向均相同， 因此，最合理的设计应使Iy=Iz , 从 而使钢柱在各方向有相同的稳定性。
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算
材料力学08应力状态理论
1.公式推导：
Fin 0 ,
sa dA s xdA cos2 a t xydA cosa sina
s ydAsin2 a t yxdAsina cosa 0
sa
同理， Fit 0, ta
2.任意a斜截面上的应力公式
sa
sx
sy
2
sx
s y
2
cos2a
1 2
s11
等于所示阴影部分面积
切应力的极值作用面与正应力
的极值作用面互成 45o的夹角
t max
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 xy
s max
s min
2
min
极值切应力作用面上的正应力：
s0
s0900
sx
sy
2
5.平面应力状态分析的特征 1）斜截面应力、主应力及最大切应力均是指 xy 平面内的应 力，即其作用面均垂宜于 xy 平面。 2)任意两相互垂直截面上的正应力之和为常量
sa0 及sa0900的方向是相互垂直的。其中，a0由sin2a0和cos2a0的
正负号唯一地确定。
3.正应力极值——主应力
sa0
a0 900
s max
min
sx
sy
2
sx
s
2
y
2
t
2 xy
又，ta0 0 极值正应力就是主应力！
a0 900
smax的指向是介于仅由单
2.纯剪切平面应力状态
V
1
2
E
(s
1
材料力学第八章
FN F zF z F yF y A Iy Iz
式中 A为横截面面积;
C
y
Iy , Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩;
（zF，yF ） 为力 F 作用点的坐标;
（z，y）为所求应力点的坐标.
四、中性轴的位置
FN F zF z F yF y A Iy Iz
z
z
F/A
y
FzF/Wy
z FyF/Wz y
y
FN
(a)
My
(b)
Mz
(c)
（5）对于周边具有棱角的截面,其危险点必定在截面的棱角处, 并可根据杆件的变形来确定
最大拉应力 tmax 和最大压应力 cmin 分别在截面的棱角 D1 D2 处。无需先确定中性轴的位置，直接观察确定危险点的位置 即可
i ay yF
中性轴
2 z
2 iy az zF
（3）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧
z (yF , zF )
O
az ay
y
z
中性轴
O
外力作用点
z
D1(y1,z1) y
中性轴
y
D2(y2,z2)
（4）中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区 横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D1 , D2 两切点
C
Fx 0 Fy 0
FNAB F
FRAx 0.866F FRAy 0.5 F
A 1.2m F
30°
B
D 1.2m
FRAy
FNAB
30°
Fy
B
AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形 中间截面为危险截面.最大压应力 FRAx A 发生在该截面的上边缘 F
材料力学第8章 组合变形
b.未通过轴线或形心主惯性轴，向其分解
注意：荷载分解、简化的前提是不改变研究段的内力。
（2）内力分析方法
用截面法计算任意截面的内力，通过内力确定变形的组成
z
Fsz My
Ty
Fsy
M z FN
FN
T
x M z , Fsy M y , Fsz
轴向拉、压 扭转 x,y面内的平面弯曲 x,z面内的平面弯曲
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
F sin
F cos F
（2）求B点的应力
MB FN
WA
12.32103 25103
0.1 0.22
0.1 0.2
6
B
17.23 MPa
（3）求B点30º斜截面上的正应力
300 cos2 30 17.23 cos2 30 12.99 MPa
（4）求B点的主应力
1 0 2 0 3 17.23 MPa
z
面梁，其横截面都有两个相互垂直的对称 轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上
Mz
的最大正应力发生在截面的棱角处。于是
，可根据梁的变形情况，直接确定截面上
My
最大拉、压应力点的位置，而无需定出其
y
中性轴。
因危险点为单向应力状态（忽略弯曲切应力的影响）， 故，强度条件为：
max
M y max Wy
F sin
12.32kN m
F cos F
例： 如图示一矩形截面折杆，已知F＝50kN，尺寸如图所示， α＝30°。（1）求B点横截面上的应力；（2）求B点α＝30°截
面上的正应力；（3）求B点的主应力σ1、 σ2、 σ3。
FN
B
MB 100mm
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eBook材料力学习题详细解答教师用书(第8章)2006-01-18范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室FAN Qin-Shan’s Education & Teaching Studio课后答案网 ww w .kh da w .c o m习题8－1 习题8－2 习题8－3 习题8－4 习题8－5 习题8－6 习题8－7 习题8－8习题8－9 习题8－10习题8－11 习题8－12课后答案网 ww w .kh da w .c o m第8章 梁的弯曲问题（4）－位移分析与刚度计算8—1 与小挠度微分方程EIM x w −=22d d对应的坐标系有图a 、b 、c 、d 所示的四种形式。
试判断哪几种是正确的：(A) 图b 和c ； (B) 图b 和a ； (C) 图b 和d ；(D) 图c 和d 。
解：根据弯矩的正负号和曲线的凸凹性，可以判断图c 和d 两种情形下22d d w x 和M 都是异号的，所以，正确答案是D 。
8—2简支梁承受间断性分布荷载，如图所示。
试说明需要分几段建立微分方程，积分常数有几个，确定积分常数的条件是什么？（不要求详细解答）解：1。
分4段积分，共有8个积分常数 2。
确定积分常数的条件是： x =0,w 1=0;x =l ,w 1= w 2; θ1=θ2; x =2l ,w 2= w 3; θ2=θ3;习题8－1图习题8－2图 课后答案网 ww w .kh da w .c o mx =3l ,w 3= w 4; θ3=θ4; x =4l ,w 4=0.8—3 具有中间铰的梁受力如图所示。
试画出挠度曲线的大致形状，并说明需要分几段建立微分方程，积分常数有几个，确定积分常数的条件是什么？（不要求详细解答）解：1。
分3段积分，共有6个积分常数 2。
确定积分常数的条件是： x =0,w 1=0; θ1=0 x =l ,w 1= w 2;x =2l , w 2=0;w 2= w 3; θ2=θ3; x =4l ,w 4=0.8—4 试用叠加法求下列各梁中截面A 的侥度和截面B 的转角。
图中q 、l 、a 、EI 等为已知。
解： 题(a)1. EIql EI l ql EI l q A B B B B 12)2()21(6)()()()()(3232121=⋅+−=+=+=θθθθθ（逆时针） 2. EI ql EI l ql EI l ql EI l ql EIl q w w w A A A 38472)2(213)2(22)2(88)2()()(422322421=+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=+=（↑） 习题8－3图习题 8－4图课后答案网 ww w .kh da w.c o m习题8－5图习题 9－4b 解图题(b)——根据挠度表中承受集中力载荷和集中力偶的简支梁以及在外伸段段承受均布载荷的外伸梁的结果叠加，得到：A 截面的挠度 ()()()()()()3412122223425622424A A A B A ql l l l l q l l l ql w w w l w l l EIEIEIθ×−+×=+=+=−×+=（↓）B 截面的转角()()()()()24121222262612B B B B A ql l l l l q l l ql w l EIEIEIθθθθ×−=+=+=−+=−8—5 已知刚度为EI 的简支梁的挠度方程为：()()3230224x lx l EIx q x w +−=据此推知的弯矩图有四种答案，试分析哪一种是正确的：解：根据课后答案网 ww w .kh da w .c o m习题8－6图22d d w M x EI=−和22d d M q x =− 可以得到44d d wEI q x= （a ） 将所给的()()3230224x lx l EIx q x w +−=对x 求4次导数，有404d d 24q w x EI= （b ） （b ）代入（a ）后，得到const 24q q ==⋅ 这一结果表明，梁上作用有连续均布载荷。
图（a ）中的弯矩图就是对应连续均布载荷的弯矩图，所以正确答案是：（a ）8—6 图示承受集中力的细长简支梁，在弯矩最大截面上沿加载方向开一小孔，若不考虑应力集中影响时，关于小孔对梁强度和刚度的影响，有如下论述，试判断哪一种是正确的：(A) 大大降低梁的强度和刚度；(B) 对强度有较大影响，对刚度的影响很小可以忽略不计．；(C) 对刚度有较大影响，对强度的形响很小可以忽略不计；(D) 对强度和刚度的影响都很小，都可以忽略不计。
解：强度取决于危险截面上危险点的应力，现在梁在弯矩最大的中间截面开孔，而且又是竖向的，使得截面的惯性矩减小，从而使危险点的应力增加，因而对强度影响较大。
对刚度的影响是指对梁的变形的影响，由于梁的变形，是梁的所有横截面变形累加的结果，因此个别截面的削弱，不会对梁的变形产生很大的影响。
所以正确答案是：（B ）。
课后答案网 ww w .kh da w .c o m习题 8－7图8—7 轴受力如图所示，已知F P =1.6 kN ，d =32 mm ，E ＝200 GPa 。
若要求加力点的挠度不大于许用挠度[]w ＝0.05 mm ，试校核该轴是否满足刚度要求。
解：由挠度表查得()()()222P 322263941261610024600482944824610646246481020010π3210...C F ba w l a b lEI−−−=−−××××−−××=+×××××× ][mm 0246.0m 1046.25w <=×=−，安全。
8—8 图示一端外伸的轴在飞轮重量作用下发生变形，已知飞轮重W ＝20 kN ，轴材料的E ＝200 GPa ，轴承B 处的许用转角[]θ=0.5°。
试设计轴的直径。
解：由挠度表查得：°≤°⋅××××××=°⋅=°×=5.0π180π102003642120000π1803π180349P d EI Wal EI al F B θ 1117.0≥d m ，取d = 112mm 。
习题8－8图课后答案网 ww w .kh da w .c o m8—9 图示承受均布载荷的简支梁由两根竖向放置的普通槽钢组成。
已知q ＝10 kN/m ，l ＝4 m ，材料的[]σ=100 MPa ，许用挠度[]w =l ／l 000，E ＝200 GPa 。
试确定槽钢型号。
解：1．强度设计：2max 81ql M =][maxσσ≤=zW M 462max 102101008410000][−×=×××=≥σM W z m 3每根槽钢 10021≥=z z WW cm 3选No.16a 槽钢，其W z = 108.3 cm 4 2．刚度设计： 100038454max l EI ql w z ≤= 4931041667.01020038410004100005−×=×××××≥z I m 43.208321==z z I I cm 4选No.22a 槽钢，其I z = 2393.9 cm 4，最后选定两根No.22a 槽钢。
8—10 试求图示梁的约束力，并画出剪力图和弯矩图。
解： 题（a ）1、解静不定问题 变形协调方程()()021=+=A A A θθθ其中（θA ）1和（θA ）2分别为M A 和M 0所引起。
二者都可以由挠度表查得。
代入上式后，得到04630=⋅+−lEI M EI l M A 由此解出8M M A =应用整体平衡条件求得准则处的约束力习题8－9图课后答案网 ww w .kh da w .c o m习题8－10图(a)习题 8－10图(b)lM l M M F F B A 00R R 898=+==2、画出剪力图和弯矩图根据梁上的载荷与约束力，可以画出梁的剪力图和弯矩图。
题（b ）1、解静不定问题 变形协调方程0=B θw B = 00])2(!3!2[132R =−+l q l F l M EI A A0])2(!4!3!2[143R 2=−+l q l F l M EI A A 2R 2448ql lF M A A =+ （a ）2R 64192ql lF M A A =+ （b ）（a ）、（b ）联立解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=ql F ql M A A 3231925R 2 2、画出剪力图和弯矩图课后答案网 ww w .kh da w .c o m根据梁上的载荷与约束力，可以画出梁的剪力图和弯矩图。
8—11 梁AB 和BC 在B 处用较链连接，A 、C 两端固定，两梁的弯曲刚度均为EI ，受力及各部分尺寸均示于图中。
F P ＝40 kN ，q ＝20 kN/m 。
试画出梁的剪力图与弯矩图。
解：1、变形协调方程21)()(B B w w =2、物理方程EIF EI q w X B 3484)(341×−×−= EIF EI F w X B 34)243(6)2()(32P 2×+−×−=3、求解约束力将物理方程代入变形协调方程，得到8410644324P 3×−××−=×q F F X由此解出习题 8－11图课后答案网 ww w .kh da w .c o m习题8－12图75.8)48420461040(23342−=××−××=X F kN 进而求得两端约束力25.7175.8420R =−×=A F kN （↑） 12542120475.82−=××−×=A M kN ·m （逆） 75.4875.840R =+=C F kN （↑）115475.8240−=×−×−=C M kN ·m （顺） 4、画剪力图和弯矩图根据梁上的载荷与约束力，可以画出梁的剪力图和弯矩图。
8—12 图示梁AB 和CD 横截面尺寸相同，梁在加载之前，B 与C 之间存在间隙δ0=1.2 mm 。
若两梁的材料相同，弹性模量E =105 GPa ，q ＝30 kN/m ，试求A 、D 端的约束力。
解：1、变形谐调方程2.10==−δB C w w （1）2、物理方程F F w C 0952.012505010105310)250(3333−=×××××−= （2） F F w B 39.0755.112505010105310)400(125050101058400303333334+−=×××××+×××××−= （3） 3、求解约束力将式（2）、（3）代入（1），得到 0.4853F = 0.555由此解出F = 1.144 kN课后答案网 ww w .kh da w .c o m进而求得CD 梁和AB 梁的约束力：CD 梁144.1R ==F F D kN （↑）286250144.1=×=D M N ·m （顺）AB 梁8610144110400303R ..=−××=−A F kN （↑）1942104003021400144.132−=×××−×=−A M N ·m上一章返回总目录 下一章课后答案网 ww w .kh da w .c o m。