垂直于弦的直径--课件

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人教版初中数学《垂直于弦的直径》免费课件

人教版初中数学《垂直于弦的直径》p pt精美（PPT 优秀课件）
小结：
解题方法：在利用垂径定理解题时，通常需要作_弦__心__距_，构造直__角__三__角__形__，把_垂__径_定理和勾__股__定理结合起来，容易得到圆的半径r，弦心距d，和弦长 a之间的关系式_r_2___d_2___a___2 .
ห้องสมุดไป่ตู้
C
设所在圆的圆心为O，
A
18.5 D
半径为R．
B
经过圆心O 作弦AB
R
R-7.23
的垂线OC，D为垂足. 由垂径定理可得，D 是
AB 的中点，C是的中
O
在Rt△AOD中，
点，CD 就是拱高．
1
AD= 2
AB=18.5，OD=OC-CD=R-7.23
∵ OA2=AD2+OD2 ∴R2=18.52+(R-7.23)2
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练习4、如图是一个隧道横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦 CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且 CD=4m，EM=6m. 求⊙O的半径.
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练习1、如图，在⊙O中，弦AB的长为8㎝，
圆心O到AB的距离为3㎝.
求⊙O的半径.
A
B
O.
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练习2、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E. 求证：四边形ADOE是正方形.

人教版数学九年级上册24.垂直于弦的直径课件(共26张)

∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
⌒
⌒
⌒
⌒
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
⌒
⌒
⌒
⌒
AM－CM＝BM－DM
⌒ ⌒
∴AC＝BD
C
A
D
B
.O
N
M
A
C
A
B
.O
.O
O
E
.
A
C
D
B
D
B
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直
径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
即 AC＝BD.
O
.
A
C
E
D
B
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种
常用辅助线的添法．
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),
其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这
段弯路的半径.
解:连接OC.
人教版数学九年级上册
进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解
决一些简单的计算、证明和作图问题.
灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
说一说
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对
称轴？
（2）你是怎么得出结论的？用折叠的方法
●O
圆的对称性：
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
⌒ ⌒
⌒⌒
④ AC=BC
⑤ AD=BD
③ AE=BE

垂直于弦的直径课件

。
04
垂直于弦的直径与勾股定理的关系
勾股定理的表述
勾股定理
在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的证明方法
利用相似三角形的性质、四边形面积的计算、代数方法等。
垂直于弦的直径与勾股定理的联系
垂直于弦的直径是直角三角形斜边的中线。
根据勾股定理，直角三角形斜边的中线长度等于斜边的一半。
在航海学中，勾股定理用于确定船只的位置和航向，例如确定船
只与陆地之间的距离和角度。
05
垂直于弦的直径在现实生活中的应用
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，垂直于弦的直径可以用于确定桥梁的承重能力和稳定性，确保桥梁的安全性和可
靠性。
建筑设计
在建筑设计中，垂直于弦的直径可以用于确定建筑物的结构强度和稳定性，保证建筑物的安全和耐久性。
答案
$( - frac{sqrt{3}}{3},frac{sqrt{3}}{3})$
题目
已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，直线l过点$(a,b)$且与圆C交于A，B两点，$angle AOB = 120^{circ}$（O为坐标原点），则实数r的取值范围是 ____．
感谢您的观看
THANKS
弦
连接圆上任意两点的线段。
直径
经过圆心，并且两端点都在圆上的线段。
性质
弦的中垂线经过圆心
垂直于弦并且经过圆心的线段称为弦的中垂线，它也经过圆心。
弦被直径平分
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的部分。
弦与直径形成的角为直角
垂直于弦的直径与弦形成的角为直角，即弦与直径垂直。

课件《垂直于弦的直径》优质PPT课件_人教版2

B
O·
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.
2m,求桥拱的半径(精确到0. 做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况. 2m,求桥拱的半径(精确到0.
A
C
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
垂径定理经常和勾股定理结合使用。
课堂讨论
①
根据已知条件进行推导： ②
③ ④ ⑤
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③② ④③ ②
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为B M, M
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
5．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
8cm
小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧；
做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况.
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
O
E
AB
O
E
A
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E

第课时垂直于弦的直径(共26张PPT)

24.1 圆
第2课时垂直于弦的直径
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥
主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，
拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（精确到 0.1 m）．
1.探索并了解圆的对称性和垂径定理.
2.能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题.
探究点一圆的轴对称性
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
【针对训练】
A
探究点二垂径定理及其推论的推导
垂径定理：教科书第89页习题24.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两平分弦（不是直径）并且平分弦所对的两条孤.
探平（究分点弦由一（不圆）是的直垂轴径对径）称并性定且平理分弦—所构对的造两条直孤.角三角形—结合）勾股定理—建立方程．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？教科书第89页习题24. 探究点二垂径定理及其推论的推导（2）垂径定理的推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO，（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
重要思路：如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题. 探究点二垂径定理及其推论的推导平分弦（不是直径）并且平分弦所对的两条孤.

《垂直于弦的直径》圆PPT课件

·O
或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股
定理求解.
A
C
B
垂径定理圆是轴对称图形
知识小结内容
推论
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
第二十四章圆 24.1 圆的有关性质
垂直于弦的直径
1
理解圆的轴对称性及垂径定理的推导.(难点)
学
习目
2
能初步应用垂径定理进行计算和证明. （重点）
标
3
通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.
观察思考把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，
你发现了什么？由此你能得到什么结论？
1.半径为4cm的⊙O 中，弦AB=2 cm,
那么圆心O 到弦AB 的距离是
.
O
4
A1E B
2.⊙O 的直径为10 cm，圆心O 到弦AB的距离OE=4cm，
则弦AB 的长是 6cm .
O
54
A EB
达标练习
3.如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D 两点，
(0, 若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是
a 2
2
例题变式
如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为 4 cm，
求⊙O的半径．
解：过圆心O 作OE⊥AB于E， A
,(垂径定理）
3E B
4
O
在Rt △ AOE 中 ,
方法总结

《垂直于弦的直径》ppt

①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
②③⑤
②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
①②④ ①②③
爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
AD=BD
O · A
E D

垂直于弦的直径-PPT课件

OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
Ｃ
Ｏ
垂径定理：
Ａ
ＥＢ
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
推论：
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
几何语言：已知：CD是直径, CD⊥AB
求证：AE=BE
A⌒D=B⌒D. A⌒C =B⌒C
·O
E
A
B
D
证明：连接OA,OB
在Rt△OAE和Rt△OBE中，
OA=OB，OE=OE ∴Rt△OAE≌Rt△OBE.（HL)
∴AE=BE. ∵⊙O关于直径CD对称,
∴点A和点B关于CD对称.
⌒⌒
⌒⌒
∴ AC和BC重合, AD和BD重合.
答：⊙O的半径为5cm.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
37.4m
C
7.2m
A
D
B
R
O 问题：1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到
0.1m).
解决求赵州桥拱半径的问题
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？

垂直于弦的直径的应用课课件

应用
利用垂直于弦的直径来证明平面图形中的一些定理和性质
实例
利用垂直于弦的直径来计算平面图形的面积和周长
03
CHAPTER
垂直于弦的直径在实际问题中的应用
在建筑设计中的应用
建筑结构分析
垂直于弦的直径在建筑设计中可用于分析结构的稳定性。通过计算直径上的应力分布，可以评估结构的承载能力和安全性。
案例三
总结词
日常生活用品中的垂直于弦的直径应用主要体现在工具和家居用品的设计上。
详细描述
在日常生活中，许多工具和家居用品都利用了垂直于弦的直径原理。例如，剪刀、餐具等工具的设计中，通过垂直于弦的直径实现受力点的优化，提高使用舒适度和效率。在家居用品中，如椅子、桌子等，垂直于弦的直径有助于提高家具的稳定性和承重能力，保证使用的安全性和舒适性。
交通工具设计
在交通工具设计中，垂直于弦的直径也有广泛应用。例如，在汽车、火车等交通工具的车身和部件设计中，通过分析直径上的应力分布，可以优化车身结构和材料选择，提高其安全பைடு நூலகம்和经济性。
04
CHAPTER
垂直于弦的直径的应用案例分析
案例一：建筑设计中的垂直于弦的直径应用
总结词
建筑设计中的垂直于弦的直径应用主要体现在空间布局和结构稳定性方面。
实例
利用直径和垂直于直径的弦来计算圆的面积和周长
在三角形中的应用
01
02
03
定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
应用
利用垂直于弦的直径来证明三角形的中线定理和平行四边形定理
实例
利用垂直于弦的直径来计算三角形的面积和周长
在其他图形中的应用

垂直于弦的直径公开课版课件

垂直于弦的直径公开课版课件
• 垂直于弦的直径的基本概念 • 垂直于弦的直径的性质证明 • 垂直于弦的直径定理的应用 • 垂直于弦的直径定理的推论 • 垂直于弦的直径定理的证明方法
目录
Part
01
垂直于弦的直径的基本概念
定义与性质
定义
垂直于弦的直径是一条线段，它过圆心并与给定的弦垂直。
性质
推论二：经过圆心，平分弦的线段垂直于该弦
总结词
此推论说明，如果一条线段经过圆心并平分弦，那么这条线段垂直于该弦。
详细描述
由于线段经过圆心，它必然与圆相交于两点。由于它平分弦，这两点将与弦形成两个相等的部分。根据垂径定理，经过圆心的线段与弦垂直。
推论三：平分弦的直径垂直于该弦
总结词
这个推论表明，如果一条直径平分弦，那么这条直径垂直于该弦。
利用圆的性质证明
总结词：逻辑周密
详细描述：根据圆的性质，直径是圆中最长的弦，因此它必然平分与之垂直的任何其他弦。
利用反证法证明
总结词：反向思考
详细描述：第一假设与弦垂直的直径不平分该弦，然后通过一系列逻辑推理，最终得出矛盾，从而证明垂直于弦的直径必然平分该弦。
THANKS
感谢您的观看
总结词
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的线段，这是垂直于弦的直径的基本性质之一。
VS
详细描述
由于直径是弦的中垂线，它必然将弦分为两段相等的线段。这是基于几何学的基本定理，即任何经过圆心并垂直于弦的线段都将弦平分，并将弦分为两段相等的线段。这个性质在解决几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们快速找到弦的中点，从而简化问题。
Part
03
垂直于弦的直径定理的应用
在几何证明题中的应用