基于维纳滤波的图像复原

基于维纳滤波的图像复原
摘要: 本文简单介绍了用维纳滤波图像复原算法，该方法计算量小鉴别精度高抗噪声能力较强，提高了图像的复原质量。

关键词: 图像复原; 维纳滤波
Image restoration based on wiener filtering
Abstact:This thesis makes a introduction on the image restoration by Wiener filtering.The method has less calculation,the advantages of high precision,and strong anti-noise capability.And the image restoration results are improved significantly campared with the results obtainly by using traditional Wiener filters.
Keywoerd:image restoration;wiener filtering
1 引言
图像复原是图像处理的重要组成部分，由于图像在获取
和传输过程当中通常不可避免的要受到一些噪声干扰，因此
在进行其他图像处理以及图像分析之前，应该尽量将图像复
原到其原始真实状态，以减少噪声对图像理解的干扰，故而
图像复原技术不仅仅是一种重要的图像处理方法，也是图像
工程中其他各种应用的前提，或者说是它们的预处理。

图像复原技术是数字图像处理的一个基本和重要的课
题。

与图像增强技术不同，图像复原的目的是将观测到的退
化图像以最大的保真度复原到退化前的状态。

研究内容主要
是对退化图像中的模糊和噪声进行建模，通过逆向过程来估
计原始图像。

这种估计往往是近似的，通过某种最佳准则作
为约束。

图像复原的关键问题是在于建立退化模型。

如图1所示：
˄
图1 基本图像退化/复原模型
图像退化过程可以被模型化为一个退化函数和
一个加性噪声项，共同作用于原始图像f(x,y)，产生一
幅退化的图像g(x,y)。

给定f(x,y)，退化因子H和噪声n(x,y)。

的一些先验知识，便可以获得原始图像的一个近似估计∧f。

根据该模型，退化图像的数学描述为：
g(x,y)=H[f(x,y)]+n(x,y)
2 维纳滤波图像复原
2.1维纳滤波介绍
维纳滤波是诺波特维纳在二十世纪四十年代提出的一种滤波器，即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，根据最小均方误差准则( 滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小) ，求得最佳线性滤波器的参数。

维纳滤波器是一种自适应最小均方误差滤波器。

维纳滤波的方法是一种统计方法，它用的最优准则是基于图像和噪声各自的相关矩阵，它能根据图像的局部方差调整滤波器的输出，局部方差越大，滤波器的平滑作用就越强。

它的最终
目的是使复原图像
∧
f(x,y) 与原始图像f(x,y) 的均方误差最小，即
m in
}
)]
,
(
)
,
(
{[2=
-
∧
y
x
f
y
x
f
E
其中E［●］为数学期望算子。

因此，维纳滤波器通常又称为最小均方误差滤波器。

2.2 维纳滤波原理
维纳滤波综合了退化函数和噪声统计特性两个方面进行复原处理维纳滤波建立在最小化统计准则的基础上，它所得的结果只是平均意义上的最优。

从退化图像g(x,y)复原出原图像f(x,y)的估计值，噪声为n(x,y)。

用向量f、g、n来表示f(x,y)、g(x,y)、n(x,y)，Q为对f的线性算子。

最小二乘方问题可看成是使形式为
2
∧
f
Q
的函数服从约束条件2
2n
f
H
g=
-
∧
的最小化问题，也就是说，在约束条件2
2n
f
H
g=
-
∧
下求
∧
f
Q得最小化而得到f 的最佳估计。

这种有条件的极值问题可以用拉格朗日乘数法来处理。

用拉格朗日法建立目标函数：
][)(min 2
2
2
n f
H g f
Q f J --+=∧
∧
∧λ
其中λ为一常数，是拉格朗日常数。

加上约束条件后，就可以按一般求极小值的方法进行求解。

将上式两边对∧
f 微分，并令其结果为零，得：
g H Q sQ H H f T T T 1)(-∧
+= (1)
此式为维纳滤波复原方法的基础。

设f R 和n R 分别为f 和n 的相关矩阵，即 }{T f ff E R =，}{T n nn E R =
f R 的第ij 个元素是}{j i f f E ，代表f 的第i 个和第j 个元素的相关。

因为f 和n 中的元素都是实数，所以f R 和n R 都是实对称矩阵，对于大多数图像而言，相邻像素之间相关性很强，在20~30个像素之外趋于零。

在此条件下，f R 和n R 可以近似为分块循环矩阵，并进行对角化处理，有
1-=WAW R f ；1-=WBW R n
式中A 和B 都是对角阵，W 为酉阵，A 和B 的元素对应f R 和n R 中的相关元素的傅里叶变换。

这些相关元素的傅里叶变换成为图像和噪声的功率谱。

若Q Q T 用n f R R 1
-来代替，则(1)式变为
g H
R sR H H f T
n f T
11)(--∧
+
= (2)
由循环矩阵对角化的知识可知，分块循环矩阵
1-=WDW H ,1*-=W WD H T
其中D 为对角化矩阵，其元素正是H 的本征值，*D 是
D 的复共轭。

因而(2)式变为 g
W D R sR DD f W
n f 1
*11*
1
)(---∧
-+
=
写成频率域形式为： ),(])
,(),()
,()
,(1
[
),(2
2
v u G v u P s v u H v u H v u H v u F f n
∙+= (3)
上式成为维纳滤波，括号中的项组成的滤波器通常成为维纳滤波器或最小均方差滤波器。

其中，G(u,v)是退化图像的傅里叶变换；H(u,v)是退化函数。

2.3 维纳滤波器的传递函数
由上面原理的推导可知，维纳滤波器的传递函数为：
)
,()
,(),()
,()
,(1
),(2
2
v u P v u P s v u H v u H v u H v u H f n
∙+=
ω
如果噪声是零，则噪声的功率谱消失，并且维纳滤波退化为逆滤波，所以说逆滤波是维纳滤波器的特例。

当处理白噪声时，谱2
),(v u N 是个常数，大大简化了处理过程，然而，为退化图像的功率谱很少是已知的，当这些值未知或者不能估计时，经常使用的方法是用下面的表达式近似维纳滤波器的传递函数：
K
v u H v u H v u H v u H +=22),(),(),(1
),(ω
K 是个特殊常数。

)
,()
,(v u p v u P K f n ≈。

3 结论
在对图像缺乏足够的先验知识时，可以利用已有的知识和经验对模糊和噪声等退化过程做数学建模进行图像复原。

图像退化过程的先验知识在图像复原技术中起重要作用。

维纳滤波是假设图像信号可以近似看成平稳随机过程的前提下，按照使输入图像和复原图像之间的均方误差达到最小的准则函数来实现图像复原的方法 如果我们知道退化函数的PSF ，那么利用维纳滤波进行图像复原的效果还是不错的。

参考文献
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