【1对1】2015年高中数学学业水平考试专题综合检测课件 2.2
2015年高中数学学业水平考试专题综合检测模拟试卷(二)
2 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(二 )一、选择题 (本大题共 25 小题,第 1~ 15 题每题 2 分,第 16~ 25 题每题 3 分,共60 分.每题中只有一个选项是切合题意的,不选、多项选择、错选均不得分)1. 会合 M ={ a , c ,d } , N = { b , d } ,则 M ∩ N = ()A. ?B.{ d } C. {} D. {}a , c a ,b ,c ,d 2. 函数 y = lg(1 -x)的定义域是 ( )A. { x | }B. { x |x<1 }C. { x | }D. {x |x>1 }x ≤ 1 x ≥ 13. 以下函数中,既是奇函数又是增函数的是( )311xA. y = xB. y = xC. y = log 3xD. y =(2)4. 以下函数中只有一个零点的是 ( )- 1B. y = x 2- 1C. y =2xD. y = lg xA. y = x5. 已知平面 α和直线 a , b , c ,以下条件中,能使 a ∥ b 的是 ()A. a ∥ α, b ∥ αB. a ⊥c , b ⊥ cC. a ⊥ c , c ⊥ α ,b ∥ αD. a ⊥ α,b ⊥ α(第 6题)6. 某长方体的正 (主 )视图、侧 ( 左)视图如下图,则该长方体的俯视图的面积是 ( )A. 6B. 8C. 12D. 167. 点 P(4, a)到直线 4x - 3y - 1=0 的距离等于 3,则实数 a 的值是 ()1 A.2或 7B.0或 10C.7D.108. 圆 x 2+ y 2- 2x =0 与圆 x 2+y 2+ 4y = 0 的地点关系是 ()A. 相离B. 外切C. 订交D. 内切9. 若直线 l 经过第二象限和第四象限,则直线l 的倾斜角的取值范围是()π π πA.[0,2) ,π ) C. (, π ) D. (0 ,π )B.[ 2210. 已知向量a =( x , 1),b = (8, 4),且 a ∥ b ,则 x 的值是 () 1 1A. 2B. 2C. -2D. -211.已知 cos θ=-πθ等于 ( )3, θ∈ (, π ),则 tan524343A. 3B. 4C. -3D. -412. 函数 y = 2cos x , x ∈R 的一个单一递加区间是 ()π π π 3πA. (- , 2 )B. (0, π ) ,2 C.(2 2 ) D. ( π , 2π )x 2 y 213. 椭圆 25+ 9 = 1 的焦点坐标是 ( )A. ( - 3, 0), (3, 0)B. (- 4,0),(4, 0)C. (0,- 4), (0, 4)D. (0 ,- 3), (0, 3)14. sin 15 cos °75 +°cos 15 sin ° 75 等°于 ()13A. 0B. 2C. 2D. 1π15. 为了获得函数 y = sin(2x - 3 )(x ∈ R )的图象,只要把函数 y = sin 2x 的图象上全部的点 ()π个单位长度B. 向右平移 π个单位长度A. 向右平移 36π个单位长度D. 向左平移 π个单位长度C. 向左平移 3 6 16. 在△ ABC 中,若 a = 5 2, c = 10,∠ A = 30°,则∠ B 等于 () A. 105 °B. 60 或° 120 ° C. 15 °D. 105 或° 15°17. 在△ ABC 中, a + b = 13,ab = 40,∠ C =60°,则 c 等于 ( )A.129 B. 11 C. 69 D. 718. 不等式 4x 2- 4x + 1≥ 0 的解集为 ()A.1 B.x x ≥1C.RD. ?22y ≥ 1,19. 当 x ,y 知足条件x - y ≥ 0, 时,目标函数 z =x + y 的最小值是 ()x + 2y - 6≤0A. 0B. 2C. 4D. 520. 在等比数列 { a n } 中, S n 表示数列的前n 项和.若 a 3= 2S 2+ 1, a 4= 2S 3+ 1,则公比q 的值等于 ()A. 3B. -3C. -1D.121. 假如若干个函数的图象经过平移后可以重合,则它们为“互为生成”函数,以下函数:()① f 1 (x)= sinx + cosx ;② f 2 (x)= 2sinx + 2;③ f 3 (x)= sinx ;④ f 4 (x)= 2(sinx + cosx).此中“互为生成”函数有 A. ①②B. ①③C. ②④D. ①②④22. 在空间直角坐标系中,设A(1,2,a),B(2,3,4),若 |AB|=3,则实数 a 的值是()A.3 或 5B. -3或-5C.3或-5D. -3或 523. 设 x ∈R ,则 “x>1”是 “x 2>x ”的 ( ) A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足又不用要条件24. 已知 F 1,F 2 是双曲线x 2- y 2= 1 的焦点,点 P 在双曲线上,若点 P 到焦点 F 1 的距16 20离等于 9,则点 P 到焦点 F 2 的距离为 ()A. 1B. 17C.1或 17D. 1625.x 2- y 2= 1 的一条渐近线垂直,则实数k 的值是 ()直线 y = kx + 1 与双曲线 169A. 4或- 4B. 5或- 5C. 3或-34或- 45 5 444 4 D. 3 3二、填空题 (本大题共 5小题,每题 2 分,共 10 分)26. 已知奇函数 f(x)的定义域是 R ,且当 x ∈ [1,5]时,f(x)= x 3+ 1,则 f(-2) =________.27. 过点 (0 ,1)且与直线 3x + 5y - 7= 0 垂直的直线方程是 ____________ .π128. 函数 y = 2sin( 3 x + 2)的最小正周期是 ________.29. 若 x ,y 都是正实数,且 x + y = 20,则 xy 的最大值是 ________.x 2 y 230. 过椭圆 a 2+ b 2= 1(a>b>0) 的左焦点 F 1 作 x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2 为右焦点. 若∠ F 1PF 2= 60°,则椭圆的离心率为 ________.三、解答题 (本大题共 4 小题,第 31, 32 题每题 7 分,第 33, 34 题每题 8 分,共 30分 )131. (此题 7 分 )已知 a = (cos 2α,sin α- 1),b = (1,2sin α ),且 a ·b =- 5,求 sin α的值.32. (此题 7 分,有 A 、 B 两题,任选此中一题达成,两题都做,以A 题计分 )(A) 在四棱锥 S - ABCD 中,侧棱 SD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面, E 是 SB 的中点. 求证: (1)SD ∥平面 EAC ; (2)AC ⊥ SB.(B)如图,四边形 ABCD 是正方形, PD ⊥平面 ABCD , PD=DC .(1) 求证: AC⊥ PB;(2)求二面角 P- BC- A 的大小.33.(此题 8 分 )已知抛物线 y2=- x 与直线 y= k(x+ 1)订交于 A,B 两点.(1)求证: OA⊥ OB;(2) 当△ AOB 的面积等于10时,求 k 的值.34. (此题 8 分 )已知奇函数x+ b的定义域为1. f( x)=2R ,f(1)=x + a2(1)务实数 a,b 的值;(2)求证:函数 f(x)在区间 (- 1, 1)上为增函数.2 2014 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(二 )1. B2. B3.A4.D5.D6.B7. C8. C9. A 10. A 11. D 12. B 13. D 14. A15. B 16. D 17. D 18. C 19. B 20. A21. C 22. A 23. AF 1 的最小值为10,所以,点24. B [ 提示:假定 F 1 为左焦点,则双曲线右支上的点到 P 必在双曲线左支上,所以 P 到焦点 F 2 的距离为 9+ 8= 17.]25. D 26. - 9 27. 5x - 3y + 3= 0 28. 6 29. 10030.3 [ 提示:由题意,在 Rt △ PF 1F 2 中, |PF 1 |= 23c ,|PF 2|=43c ,所以 23c33 33+ 4c = 333c = 2a ,得 a3 .]12231. 解:a ·b =- 5cos 2α+ 2sin α (sin α- 1)= 1- 2sin α + 2sin α - 2sin α = 1- 2sinα =- 1,∴ sin α = 3.5 532. (A) 证明: (1) 连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 EO ,则 O 是 BD 的中点,∴ EO ∥ SD.∵ EO?平面 EAC ,∴ SD ∥平面 EAC. (2)∵ SD ⊥平面 ABCD ,∴ SD ⊥ AC ,又 BD ⊥ AC , SD ∩ BD = D ,∴ AC ⊥平面 SDB ,∴ AC ⊥ SB.(B)(1) ∵PD ⊥平面 ABCD ,∴ PD ⊥ AC.又∵ BD ⊥ AC ,PD ∩ BD = D ,∴AC ⊥平面 PDB ,∴ AC ⊥ PB. (2) 以射线 DC ,DA ,DP 分别为 x ,y ,z 轴正方向,成立空间直角坐标系,令 AD→ →= 1,则 CB = (0,1,0),PC = (1,0,- 1),∴平面 PBC 的一个法向量为 (1,0, 1).又∵平面 ABCD 的一个法向量为 (0,0, 1),∴ cos θ=1 =2,∴二面角 P -BC -A 的大小为 45°.2 233. 解:(1) 设 A(x 1 ,y 1 ), B(x 2,y 2), y 2=- x? ky 2+ y - k = 0? y 1+ y 2=- 1,y 1·y 2y = k (x + 1) k2→ → (2)直线 y = k(x=- 1,∴ x 1· x 2= (y 1y 2) = 1,∴ x 1x 2+ y 1y 2= 0,∴ OA · OB = 0,即 OA ⊥ OB. 1 1 2= 1 1 1 + 1)恒过定点 (- 1, 0),∴ S △AOB = |y 1- y 2|= 2( y 1+ y 2) - 4y 1y 2 2 2+ 4= 10? k = ± .2 k6 34. 1 = 1,∴ a = 1.解: (1) 由题意, f(0) = 0,∴ b = 0, f(1) =1+ a 2(2) 证 明 : 设 x 1 , x 2 ∈ ( - 1 , 1) , 且 x 1<x 2 , 则 f(x 1) - f(x 2) = x 1 x 1 x 22+ 1 -x 2 2+1=x 1( x 22+ 1)- x 2( x 12+ 1) x 1 x 22- x 2x 12+ x 1- x 2( x 2+ 1)( x 2+ 1) = ( x 2+ 1)( x 2+ 1)1 21 2( 1- x 1x 2)( x 1- x 2)22= ( x 2 + 1)( x 2+ 1) .∵ x 1x 2∈ ( - 1,1),∴ 1- x 1x 2>0, x 1- x 2<0, x 1 + 1>0 , x 2 +1 21>0 ,∴ f(x 1)- f(x 2)<0,即 f(x 1)< f(x 2),∴ f(x)在区间 (-1, 1)上为增函数.。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.2 反 证 法
自 测 自 评
上述步骤的正确顺序为________(填序号).
解析:由反证法的一般步骤可知,正确的顺序 应为③①②. 答案:③①②
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自 测 自 评
3.“实数 a,b,c 不全大于 0”等价于( A.a,b,c 均不大于 0 B.a,b,c 中至少有一个大于 0 C.a,b,c 中至多有一个大于 0 D.a,b,c 中至少有一个不大于 0
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题型3
用反证法证明唯一性命题
例3 用反证法证明:过已知直线a外一点A只有一条直 线b与已知直线a平行.
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证明:假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直 线 a 平行,即 b∩b′=A,b′∥a.因为 b∥a,由平 行公理知 b′∥b.这与假设 b∩b′=A 矛盾,所以 假设错误,故原命题成立.
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跟 踪 训 练
1.已知三个正数 a,b,c 成等比数列,但不成等差数 列,求证: a, b, c不成等差数列.
解析: 假设 a, b, c成等差数列, 则 a+ c=2 b, 即 a+c+2 ac=4b, 而 b2=ac,即 b= ac,所以 a+c+2 ac=4 ac, 所以( a- c)2=0.即 a= c, 从而 a=b=c,与 a,b,c 不成等差数列矛盾, 故 a, b, c不成等差数列.
证明:假设方程 f(x)=0 在区间[a,b]上至少有两个实 根,设 α、β 为其中的两个实根.因为 α≠β,不妨设 α <β,又因为函数 f(x)在[a,b]上是单调递减函数,所以 f(α)>f(β).这与假设 f(α)=0=f(β)矛盾,所以方程 f(x) =0 在区间[a,b]上至多有一个实根.
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2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.1 综合法和分析法
综合法是中学数学证明中最常用的方法. 综合法是 从已知到未知、从题设条件到结论的逻辑推理方法. 综合法是一种由因导果的证明方法. 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等, Q 表示所要证明的结论,则综合法用框图表示为: P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q
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πL2 L2 πL2 L2 4 式成立, 只需证明 2 > 成立, 即证明 2 > , 两边同乘以 2, 4π 16 4π 16 L
L 2 L2 1 1 得 > ,因为上式成立,所以 π2π > 4 . π 4
所以,如果一个圆与一个正方形的周长相等,那么这 个圆的面积比这个正方形的面积大. 点评:分析法.
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从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中使每一步
结论成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公
理等)为止,这种证明的方法叫做分析法.
分析法是从未知到已知、从结论到条件的逻辑推理 方法. 分析法是一种执果索因的证明方法. 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等, Q 表示所要证明的结论,则分析法用框图表示为:
跟 踪 训 练
1 2 3 1.证明: + + <2. log519 log319 log219
1 证明: 因为 logab= , 所以左式=log195+2log193 logba +3log192= log19(5×32×23)=log19360. 因为 log19360<log19361=2, 1 2 3 所以 + + <2. log519 log319 log219
第二章
推理与证明
2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法
2015高考数学(新课标)大二轮复习配套课件:专题2 再谈数形结合的应用 第2讲
第2讲 常考的数列综合问题
(2)求数列{an}的通项公式.
破题切入点 由已知可得n≥2时,2Sn-1=an-2n+1,两式相减.
解 ∵2Sn=an+1-2n+1+1, ∴当n≥2时,有2Sn-1=an-2n+1, 两式相减得 an+1-3an=2n,则a2n+n 1-32·2an-n 1=1,
第四页,编辑于星期五:十五点 十一分。
构建答题模板 第一步:利用条件求数列{bn}的通项公式; 第二步:写出Tn=b1+b2+…+bn的表达式; 第三步:分析表达式的结构特征、确定求和方法.例如:公式法、
裂项法,本题用错位相减法;
第四步:明确规范表述结论;
第五步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范.如本题中
在求an时,易忽视对n=1,n≥2时的讨论.
破题切入点
利用错位相减法求和.
解 设 bn=9-2n2an=2nn-1,
Tn=b1+b2+…+bn=1+22+232+…+n2-n-12 +2nn-1,
所以 Tn=2Tn-Tn=2+1+12+…+2n1-2-2nn-1 =4-2n1-2-2nn-1=4-n2+n-12.
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∴an+23(-1)n=2an-1+23-1n-1(n≥2). 故数列an+32-1n是以 a1-23=13为首项,公比为 2 的等 比数列.
所以 an+23(-1)n=13×2n-1, ∴an=13×2n-1-23×(-1)n.
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第2讲 常考的数列综合问题
故k2=16,因此k=4,
从而 an=Sn-Sn-1=92-n(n≥2). 又 a1=S1=72,所以 an=92-n.
高中数学2015新课标步步高2.2
§2.2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)(2)单调区间的定义如果函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做函数y =f (x )的单调区间. 2.结论M 为最大值1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( × )(2)对于函数f (x ),x ∈D ,若x 1,x 2∈D ,且(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0,则函数f (x )在D 上是增函数.( √ )(3)函数y =|x |是R 上的增函数. ( × )(4)函数y =f (x )在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞). ( × ) (5)函数f (x )=log 5(2x +1)的单调增区间是(0,+∞).( × ) (6)函数y =1-x 21+x 2的最大值为1.( √ ) 2.函数y =x 2-6x +10在区间(2,4)上是( )A .递减函数B .递增函数C .先递减再递增D .先递增再递减答案 C解析 作出函数y =x 2-6x +10的图象(图略), 根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增.3.(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )=|(ax -1)x |在区间(0,+∞)内单调递增”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案 C解析 本题利用函数的图象确定字母的取值范围,再利用充要条件的定义进行判断. 当a =0时,f (x )=|(ax -1)x |=|x |在区间(0,+∞)上单调递增;当a <0时,结合函数f (x )=|(ax -1)x |=|ax 2-x |的图象知函数在(0,+∞)上单调递增,如图(1)所示;当a >0时,结合函数f (x )=|(ax -1)x |=|ax 2-x |的图象知函数在(0,+∞)上先增后减再增,不符合条件,如图(2)所示.所以,要使函数f (x )=|(ax -1)x |在(0,+∞)上单调递增只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f (x )=|(ax -1)x |在(0,+∞)上单调递增”的充要条件.4.函数f (x )=2xx +1在[1,2]的最大值和最小值分别是________________________________________________________________________.答案 43,1解析 f (x )=2x x +1=2(x +1)-2x +1=2-2x +1在[1,2]上是增函数,∴f (x )max =f (2)=43,f (x )min =f (1)=1.5.函数y =log 2112(2x 2-3x +1)的单调减区间为________.答案 (1,+∞)解析 由2x 2-3x +1>0,得函数的定义域为(-∞,12)∪(1,+∞).令t =2x 2-3x +1,则y =log 21t ,∵t =2x 2-3x +1=2(x -34)2-18,∴t =2x 2-3x +1的单调增区间为(1,+∞).又y =log 21t 在(1,+∞)上是减函数,∴函数y =log 21 (2x 2-3x +1)的单调减区间为(1,+∞).题型一 函数单调性的判断例1 讨论函数f (x )=axx 2-1(a >0)在x ∈(-1,1)上的单调性.思维启迪 可根据定义,先设-1<x 1<x 2<1,然后作差、变形、定号、判断. 解 设-1<x 1<x 2<1,则f (x 1)-f (x 2)=ax 1x 21-1-ax 2x 22-1=ax 1x 22-ax 1-ax 2x 21+ax 2(x 21-1)(x 22-1)=a (x 2-x 1)(x 1x 2+1)(x 21-1)(x 22-1). ∵-1<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0,(x 21-1)(x 22-1)>0.又∵a >0,∴f (x 1)-f (x 2)>0, ∴函数f (x )在(-1,1)上为减函数.思维升华 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤:(1)已知a >0,函数f (x )=x +ax(x >0),证明:函数f (x )在(0,a ]上是减函数,在[a ,+∞)上是增函数;(2)求函数y =x 2+x -6的单调区间.(1)证明 设x 1,x 2是任意两个正数,且0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=⎝⎛⎭⎫x 1+a x 1-⎝⎛⎭⎫x 2+a x 2 =x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-a ). 当0<x 1<x 2≤a 时,0<x 1x 2<a ,又x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以函数f (x )在(0,a ]上是减函数; 当a ≤x 1<x 2时,x 1x 2>a ,又x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以函数f (x )在[a ,+∞)上是增函数.(2)解 令u =x 2+x -6,y =x 2+x -6可以看作有y =u 与u =x 2+x -6的复合函数. 由u =x 2+x -6≥0,得x ≤-3或x ≥2.∵u =x 2+x -6在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而y =u 在(0,+∞)上是增函数.∴y =x 2+x -6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞). 题型二 利用函数的单调性求参数例2 (1)如果函数f (x )=ax 2+2x -3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a 的取值范围是( ) A .a >-14 B .a ≥-14C .-14≤a <0D .-14≤a ≤0(2)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(2-a )x +1,x <1,a x ,x ≥1,满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0成立,那么a 的取值范围是________.思维启迪 利用函数的单调性求参数或参数的取值范围,解题思路为视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参.答案 (1)D (2)[32,2)解析 (1)当a =0时,f (x )=2x -3,在定义域R 上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;当a ≠0时,二次函数f (x )的对称轴为x =-1a ,因为f (x )在(-∞,4)上单调递增,所以a <0,且-1a ≥4,解得0>a ≥-14.综合上述得-14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧2-a >0a >1(2-a )×1+1≤a, 解得32≤a <2,∴a 的取值范围是[32,2).思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:①若函数在区间[a ,b ]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;②分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.(1)函数y =x -5x -a -2在(-1,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( )A .a =-3B .a <3C .a ≤-3D .a ≥-3 (2)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1),⎝⎛⎭⎫4-a 2x +2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围为( )A .(1,+∞)B .[4,8)C .(4,8)D .(1,8)答案 (1)C (2)B 解析 (1)y =x -5x -a -2=1+a -3x -(a +2),由函数在(-1,+∞)上单调递增,有⎩⎪⎨⎪⎧a -3<0a +2≤-1,解得a ≤-3. (2)因为f (x )是R 上的单调递增函数,所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1,4-a 2>0,a ≥4-a 2+2.解得4≤a <8,故选B.题型三 函数的单调性和最值例3 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )<0.(1)求f (1)的值;(2)证明:f (x )为单调递减函数;(3)若f (3)=-1,求f (x )在[2,9]上的最小值.思维启迪 抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值,证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证.问题(3)用函数的单调性即可求最值. (1)解 令x 1=x 2>0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 1)=0,故f (1)=0.(2)证明 任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1>x 2,则x 1x 2>1,由于当x >1时,f (x )<0,所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0, 即f (x 1)-f (x 2)<0,因此f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)解 ∵f (x )在(0,+∞)上是单调递减函数. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9).由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2=f (x 1)-f (x 2)得, f ⎝⎛⎭⎫93=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为-2.思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件,对任意x 1,x 2在所给区间内比较f (x 1)-f (x 2)与0的大小,或f (x 1)f (x 2)与1的大小.有时根据需要,需作适当的变形:如x 1=x 2·x 1x 2或x 1=x 2+x 1-x 2等;(2)利用函数单调性可以求函数最值,若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增,则f (x )的最小值是f (a ),最大值是f (b ).(1)如果函数f (x )对任意的实数x ,都有f (1+x )=f (-x ),且当x ≥12时,f (x )=log 2(3x-1),那么函数f (x )在[-2,0]上的最大值与最小值之和为( )A .2B .3C .4D .-1(2)函数f (x )=1x -1在区间[a ,b ]上的最大值是1,最小值是13,则a +b =________.答案 (1)C (2)6解析 (1)根据f (1+x )=f (-x ),可知函数f (x )的图象关于直线x =12对称.又函数f (x )在[12,+∞)上单调递增,故f (x )在(-∞,12]上单调递减,则函数f (x )在[-2,0]上的最大值与最小值之和为f (-2)+f (0)=f (1+2)+f (1+0)=f (3)+f (1)=log 28+log 22=4. (2)易知f (x )在[a ,b ]上为减函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )=1,f (b )=13,即⎩⎨⎧1a -1=1,1b -1=13,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =4. ∴a +b =6.函数单调性的应用典例:(12分)函数f(x)对任意的m、n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且x>0时,恒有f(x)>1.(1)求证:f(x)在R上是增函数;(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2.思维启迪(1)对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义.应该构造出f(x2)-f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点.要构造出f(M)<f(N)的形式.规范解答(1)证明设x1,x2∈R,且x1<x2,∴x2-x1>0,∵当x>0时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1. [2分]f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1,[4分]∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0⇒f(x1)<f(x2),∴f(x)在R上为增函数.[6分](2)解∵m,n∈R,不妨设m=n=1,∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1⇒f(2)=2f(1)-1,[8分]f(3)=4⇒f(2+1)=4⇒f(2)+f(1)-1=4⇒3f(1)-2=4,∴f(1)=2,∴f(a2+a-5)<2=f(1),[10分]∵f(x)在R上为增函数,∴a2+a-5<1⇒-3<a<2,即a∈(-3,2).[12分]解函数不等式问题的一般步骤:第一步:确定函数f(x)在给定区间上的单调性;第二步:将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式;第三步:运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”,转化成一般的不等式或不等式组;第四步:解不等式或不等式组确定解集;第五步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范.温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件x>0时,f(x)>1.构造不出f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1的形式,找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式.解决此类问题的易错点:忽视M、N的取值范围,即忽视f(x)所在的单调区间的约束.方法与技巧1.利用定义判断或证明函数的单调性 设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1<x 2,那么 ①f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数;f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数.②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数. 函数的单调性是对某个区间而言的. 2.求函数的单调区间首先应注意函数的定义域,函数的单调区间都是其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法:根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质. 3.复合函数的单调性对于复合函数y =f [g (x )],若t =g (x )在区间(a ,b )上是单调函数,且y =f (t )在区间(g (a ),g (b ))或者(g (b ),g (a ))上是单调函数,若t =g (x )与y =f (t )的单调性相同(同时为增或减),则y =f [g (x )]为增函数;若t =g (x )与y =f (t )的单调性相反,则y =f [g (x )]为减函数. 简称:同增异减. 失误与防范函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间要分开写,即使在两个区间上的单调性相同,也不能用并集表示.A 组 专项基础训练一、选择题1.函数f (x )中,满足“对任意x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A .f (x )=1x B .f (x )=(x -1)2C .f (x )=e xD .f (x )=ln(x +1)答案 A解析 由题意知f (x )在(0,+∞)上是减函数.A 中,f (x )=1x满足要求;B 中,f (x )=(x -1)2在[0,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;C 中,f (x )=e x 是增函数;D 中,f (x )=ln(x +1)是增函数.2.若函数f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=(a +1)1-x 在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是( )A .(-1,0)B .(-1,0)∪(0,1]C .(0,1)D .(0,1]答案 D解析 ∵f (x )=-x 2+2ax =-(x -a )2+a 2在[1,2]上是减函数, ∴a ≤1.①又g (x )=(a +1)1-x 在[1,2]上是减函数.∴a +1>1,∴a >0.② 由①、②知,0<a ≤1.3.已知函数f (x )=2ax 2+4(a -3)x +5在区间(-∞,3)上是减函数,则a 的取值范围是( )A .(0,34)B .(0,34]C .[0,34)D .[0,34]答案 D解析 当a =0时,f (x )=-12x +5,在(-∞,3)上是减函数,当a ≠0时,由⎩⎪⎨⎪⎧a >0-4(a -3)4a ≥3,得0<a ≤34,综上a 的取值范围是0≤a ≤34.4.已知f (x )为R 上的减函数,则满足f (1x)>f (1)的实数x 的取值范围是( )A .(-∞,1)B .(1,+∞)C .(-∞,0)∪(0,1)D .(-∞,0)∪(1,+∞)答案 D解析 依题意得1x <1,即x -1x >0,所以x 的取值范围是x >1或x <0.5.定义新运算“”:当a ≥b 时,a b =a ;当a <b 时,a b =b 2,则函数f (x )=x )x -x ),x ∈[-2,2]的最大值等于( )A .-1B .1C .6D .12 答案 C解析 由已知得当-2≤x ≤1时,f (x )=x -2, 当1<x ≤2时,f (x )=x 3-2,∵f (x )=x -2,f (x )=x 3-2在定义域内都为增函数. ∴f (x )的最大值为f (2)=23-2=6. 二、填空题6.函数f (x )=ln(4+3x -x 2)的单调递减区间是__________.答案 ⎣⎡⎭⎫32,4解析 函数f (x )的定义域是(-1,4),u (x )=-x 2+3x +4=-⎝⎛⎭⎫x -322+254的减区间为⎣⎡⎭⎫32,4,∵e>1,∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫32,4.7.设函数f (x )=ax +1x +2a 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a 的取值范围是__________.答案 [1,+∞)解析 f (x )=ax +2a 2-2a 2+1x +2a =a -2a 2-1x +2a,∵函数f (x )在区间(-2,+∞)上是增函数.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2-1>0-2a ≤-2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2-1>0a ≥1⇒a ≥1. 8.已知f (x )为R 上的减函数,则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________. 答案 (-1,0)∪(0,1)解析 由f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1),得⎪⎪⎪⎪1x >1, ∴1x >1或1x <-1,∴0<x <1或-1<x <0. 三、解答题9.函数f (x )=x 2-4x -4在闭区间[t ,t +1](t ∈R )上的最小值记为g (t ). (1)试写出g (t )的函数表达式; (2)求g (t )的最小值.解 (1)f (x )=x 2-4x -4=(x -2)2-8. 当t >2时,f (x )在[t ,t +1]上是增函数, ∴g (t )=f (t )=t 2-4t -4;当t ≤2≤t +1,即1≤t ≤2时,g (t )=f (2)=-8; 当t +1<2,即t <1时,f (x )在[t ,t +1]上是减函数, ∴g (t )=f (t +1)=t 2-2t -7.从而g (t )=⎩⎪⎨⎪⎧t 2-2t -7 (t <1),-8 (1≤t ≤2),t 2-4t -4 (t >2).(2)g (t )的图象如图所示,由图象易知g (t )的最小值为-8.10.已知函数f (x )=-2x +1,x ∈[0,2],求函数的最大值和最小值.解 设x 1,x 2是区间[0,2]上的任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=-2x 1+1-(-2x 2+1) =-2(x 2+1-x 1-1)(x 1+1)(x 2+1)=-2(x 2-x 1)(x 1+1)(x 2+1). 由0≤x 1<x 2≤2,得x 2-x 1>0,(x 1+1)(x 2+1)>0,所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),故f (x )在区间[0,2]上是增函数.因此,函数f (x )=-2x +1在区间[0,2]的左端点取得最小值,右端点取得最大值,即最小值是f (0)=-2,最大值是f (2)=-23. B 组 专项能力提升1.已知函数f (x )=x 2-2ax +a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g (x )=f (x )x在区间(1,+∞)上一定( ) A .有最小值B .有最大值C .是减函数D .是增函数答案 D 解析 由题意知a <1,∴g (x )=f (x )x =x +a x-2a , 当a <0时,g (x )在(1,+∞)上是增函数,当a >0时,g (x )在[a ,+∞)上是增函数,故在(1,+∞)上为增函数,∴g (x )在(1,+∞)上一定是增函数.2.已知函数f (x )=e |x -a |(a 为常数).若f (x )在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是________.答案 (-∞,1]解析 ∵f (x )=e |x -a |=⎩⎪⎨⎪⎧e x -a (x ≥a ),e -x +a (x <a ), ∴f (x )在[a ,+∞)上为增函数,则[1,+∞)⊆[a ,+∞),∴a ≤1.3.对于任意实数a ,b ,定义min{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b .设函数f (x )=-x +3,g (x )=log 2x ,则函数h (x )=min{f (x ),g (x )}的最大值是________.答案 1解析 依题意,h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,0<x ≤2,-x +3,x >2. 当0<x ≤2时,h (x )=log 2x 是增函数;当x >2时,h (x )=3-x 是减函数,∴h (x )在x =2时,取得最大值h (2)=1.4.已知函数f (x )=lg(x +a x-2),其中a 是大于0的常数. (1)求函数f (x )的定义域;(2)当a ∈(1,4)时,求函数f (x )在[2,+∞)上的最小值;(3)若对任意x ∈[2,+∞)恒有f (x )>0,试确定a 的取值范围.解 (1)由x +a x -2>0,得x 2-2x +a x>0, a >1时,x 2-2x +a >0恒成立,定义域为(0,+∞), a =1时,定义域为{x |x >0且x ≠1},0<a <1时,定义域为{x |0<x <1-1-a 或x >1+1-a }.(2)设g (x )=x +a x-2,当a ∈(1,4),x ∈[2,+∞)时, g ′(x )=1-a x 2=x 2-a x 2>0恒成立, ∴g (x )=x +a x-2在[2,+∞)上是增函数. ∴f (x )=lg(x +a x-2)在[2,+∞)上是增函数. ∴f (x )=lg(x +a x-2)在[2,+∞)上的最小值为 f (2)=lg a 2. (3)对任意x ∈[2,+∞)恒有f (x )>0,即x +a x-2>1对x ∈[2,+∞)恒成立. ∴a >3x -x 2,而h (x )=3x -x 2=-(x -32)2+94在x ∈[2,+∞)上是减函数, ∴h (x )max =h (2)=2.∴a >2.5.已知f (x )=x x -a(x ≠a ). (1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a >0且f (x )在(1,+∞)内单调递减,求a 的取值范围.(1)证明 任取x 1<x 2<-2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2). ∵(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0,∴f (x 1)<f (x 2),∴f (x )在(-∞,-2)内单调递增.(2)解 任设1<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a =a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ).∵a>0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,∴a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1].。
2015年高中数学学业水平考试专题综合检测(八)
8 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(八)一、选择题(本大题共25小题,第1~15题每小题2分,第16~25题每小题3分,共60分.每小题中只有一个选项是符合题意的,不选、多选、错选均不得分)1. 设全集U ={1,2,3,4,5},已知集合A ={1,3},B ={3,4,5},则集合∁U (A ∩B )=( )A. {3}B. {4,5}C. {3,4,5}D. {1,2,4,5}2. 函数f (x )=sin(2x +π3)(x ∈R )的最小正周期为( )A. π2B. πC. 2πD. 4π3. 若x =1满足不等式ax 2+2x +1<0,则实数a 的取值范围是( )A. (-3,+∞)B. (-∞,-3)C. (1,+∞)D. (-∞,1)4. 圆x 2+y 2-2x +2y =0的周长是( ) A. 2 2π B. 2π C. 2π D. 4π5. 设平面向量a =(3,5),b =(-2,1),则a -2b =( )A. (7,3)B. (7,7)C. (1,7)D. (1,3)6. 若直线l 1:y =(3a +2)x +3与直线l 2:y =3x +2垂直,则实数a 的值为( )A. -79B. 79C. 13D. -137. 不等式|x -1|<2的解集是( )A. x <3B. x >-1C. x <-1或x >3D. -1<x <38. 下列函数中,在(0,+∞)上是减函数的是( )A. y =1xB. y =x 2+1C. y =2xD. y =log 3x9. 若600°角终边上有一点(-4,a ),则a 的值是( ) A. 4 3 B. -4 3 C. ±4 3 D. 310. 已知角α的终边经过点P (4,-3),则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2+α的值为( )A. 35B. -35C. 45D. -45(第11题)11. 一个几何体的三视图如图,其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形,则这个几何体的侧面积为( )A. 33πB. 2πC. 3πD. 4π12. 已知tan x =2,则sin x -cos x sin x +cos x=( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 1513. 不等式x 2-y 2≥0所表示的平面区域(阴影部分)是( )14. 已知椭圆x 210-m +y 2m -2=1,若其长轴在y 轴上,焦距为4,则m 等于( )A. 4B. 5C. 7D. 815. 已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=3,a 2+a 3=6,则a 7=( )A. 64B. 81C. 128D. 24316. 已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为( ) A. 13 B. 135 C. 655 D. 65(第17题)17. 将函数y =sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( )A. y =sin(x +π6)B. y =sin(x -π6)C. y =sin(2x +π3)D. y =sin(2x -π3)18. 在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+bc ,则∠A 的大小为( )A. 30°B. 45°C. 120°D. 150°19. 若a ,b 是异面直线,则一定存在两个平行平面α,β,使( )A. a ⊂α,b ⊂βB. a ⊥α,b ⊥βC. a ∥α,b ⊥βD. a ⊂α,b ⊥β20. 若方程x 2+(m +2)x +m +5=0只有正根,则m 的取值范围是( )A. m ≤-4或m ≥4B. -5<m ≤-4C. -5≤m ≤-4D. -5<m <-221. 圆x 2+y 2-2x +4y -20=0截直线5x -12y +c =0所得弦长为8,则c 的值为( )A. 10B. -68C. 12D. 10或-6822. 已知点P (x ,y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -2≤0,y -1≤0,x +2y -2≥0表示的平面区域上运动,则z =-12x +y 的取值范围是( )A. [-1,0]B. [-1,1]C. [0,1]D. [1,2]23. 在正方体中ABCD -A 1B 1C 1D 1,E 是棱A 1B 1的中点,则A 1B 与D 1E 所成角的余弦值为( )A. 510B. 1010C. 55D. 10524. “α=k π+512π,k ∈Z ”是“sin2α=12”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件25. 双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点,若MF 2垂直于x 轴,则双曲线的离心率为( )A. 6B. 5C. 3D. 2二、填空题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)26. 命题“至少有一个偶数是素数”的否命题为_________________.27. 点(-2,1)到直线3x-4y-2=0的距离等于________.28. 函数y=x+1x的值域是________.29. 在等差数列{a n}中,若a n<0,且a32+a82+2a3a8=9,则其前10项和为________.30. 已知M是椭圆x225+y29=1上的点,F1,F2是椭圆的两个焦点,∠F1MF2=60°,则△F1MF2的面积等于________.三、解答题(本大题共4小题,第31,32题每题7分,第33,34题每题8分,共30分)31. (本题7分)在△ABC中,若cos Bcos C=-b2a+c.(1)求∠B的大小;(2)若b=13,a+c=4,求△ABC的面积.32. (本题7分,有A、B两题,任选其中一题完成,两题都做,以A题计分)(A)如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E,F分别是AB,BD的中点.求证:(1)直线EF∥平面ACD;(2)平面EFC⊥平面BCD.,[第32题(A)]),[第32题(B)])(B)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F分别是A1D1,A1C1的中点.(1)求证:BD⊥CF;(2)求异面直线AE与CF所成角的余弦值.33. (本题8分)已知圆C1:x2+y2+2x+2-8=0与C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于A,B两点.(1)求公共弦AB的长;(2)求经过A,B两点且面积最小的圆的方程.34. (本题8分)设数列{a n}中a1=3,a n+1-a n=3·2n -1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.8 2014高中学业水平考试《数学》模拟试卷(八)1. D2. B3. B4. A5. A6. A7. D8. A 9. B 10. C 11. B 12. B 13. C 14. D15. A 16. C 17. C 18. C 19. A 20. B21. D 22. B 23. B 24. B25. C [提示:M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫c ,b 2a ,|MF 2|=b 2a ,|F 1F 2|=2c ,∴2c =3b 2a ,2ac =3(c 2-a 2),∴3e 2-2e -3=0,e = 3.]26. 所有的偶数都不是素数27. 125 28. (-∞,-2]∪[2,+∞)29. -15 [提示:(a 3+a 8)2=9,∴a 3+a 8=-3,S 10=(a 1+a 10)·102=-15.] 30. 33 [提示:设|MF 1|=m ,|MF 2|=n ,则m +n=10,∵cos 60°=m 2+n 2-(2c )22mn=(m +n )2-2mn -4c 22mn =12,∴mn =12,S =12mn sin60°=3 3.]31. (1)由余弦定理得a 2+c 2-b 22ac a 2+b 2-c 22ab=-b 2a +c,化简得a 2+c 2-b 2=-ac ,∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =-ac 2ac =-12,∴∠B =120°.(2)b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,∴13=(a +c )2-2ac -2ac ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12,∴ac =3,∴S △ABC =12ac sin B =334. 32. (A)证明:(1)∵E ,F 分别是AB ,BD 的中点,∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF ∥AD .∵AD ⊂平面ACD ,∴直线EF ∥平面ACD .(2)∵AD ⊥BD ,EF ∥AD ,∴EF ⊥BD .∵CB =CD ,F 是BD 的中点,∴CF ⊥BD .又EF ∩CF =F ,∴BD ⊥平面EFC .∵BD ⊂平面BCD ,∴平面EFC ⊥平面BCD .(第32题)(B)(1)证明:∵BD ⊥CA ,BD ⊥A 1A ,∴BD ⊥平面ACC 1A 1,∴BD ⊥CF .(2)解:设正方体棱长为2,分别取DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示空间直角坐标系,则A (2,0,0),C (0,2,0),E (1,0,2),F (1,1,2),则AE→=(-1,0,2),CF →=(1,-1,2),∴|AE →|=5,|CF→|= 6. AE→·CF →=-1+0+4=3.又∵AE →·CF →= |AE →||CF →|cos 〈AE →,CF →〉=30cos 〈AE →,CF →〉,∴cos 〈AE →,CF →〉=3010,∴所求角的余弦值为3010.33. 解:(1)由两圆的方程组成的方程组相减即得x -2y +4=0,此为公共弦AB 所在的直线方程.圆心C 1(-1,-1),半径r 1=10,C 1到直线AB 的距离为d =|-1+2+4|5=5,故公共弦长|AB |=2r 12-d 2=2 5. (2)圆心C 2(1,-5),过C 1,C 2的直线方程为y +1-5+1=x +11+1,即2x +y +3=0,过A ,B 且面积最小的圆就是以AB 为直径的圆,由⎩⎨⎧x -2y +4=02x +y +3=0得圆心(-2,1),半径r =5,所以所求圆方程(x +2)2+(y -1)2=5.34. 解:(1)a 2-a 1=3·20,a 3-a 2=3·21,a 4-a 3=3·22,…a n-a n-1=3·2n-2,以上各式相加得a n-a1=3(20+21+22+…+2n-2),∴a n=3+3×1×(1-2n-1)1-2=3·2n-1.(2)b n=3n·2n-1,S n=3[20+2·21+3·22+…+(n-1)·2n-2+n·2n-1],2S n=3[1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n]-S n=3[20+21+22+…+2n-1-n·2n]=3·[1·(1-2n)1-2-n·2n],∴S n=(n-3)·2n+3.。
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修1-2
类型二
用反证法证明存在性命题
【典例2】 (1)(2014·西安高二检测)“任何三角形的外角都至少有两 个钝角”的否定是 .
(2)(2014·石家庄高二检测)已知a,b,c均为实数,且a= x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ ,求证:a,b,c中至少有一个大
2 3 6
于0.
【解题探究】1.题(1)中“至少有两个钝角”的含义是什么? 2.题(2)中a,b,c有什么特点?怎样应用这些特点? 【探究提示】1.“至少有两个钝角”的含义是“有两个钝角或 两个以上钝角”,即钝角的个数大于等于2.
2.题(2)中a,b,c是含有x,y,z的代数式,将a,b,c三个加起来,重
新组合,把含x,y,z的各项分别放在一起.
(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾.
【解析】(1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立,所以它 属于间接证明问题的方法.
(2)错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理.
(3)正确.否定结论导出矛盾就是反证法的实质,从而肯定原结
论.
答案:(1)√ (2)× (3)√
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
2z+1+π-3=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0,即a+b+c>0与 a+b+c≤0矛盾, 所以假设不成立,即a,b,c中至少有一个大于0.
【延伸探究】本例题(1)改为“任何三角形的内角至少有一个 大于或等于60°”的否定为 .
【解析】“至少有一个大于或等于60°”的否定是“三个内角 都小于60°”. 答案:存在一个三角形,其三个内角都小于60°
【1对1】2015年高中数学学业水平考试专题综合检测课件 3.3
16. 用二分法求 f(x)=0 的近似解,已知 f(1)=-2 ,f(3)=0.625 ,f(2)= -0.984.若要求下一个 f(m),则 m=________ 2.5 . 17. 函数 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数 a=________. 4
18. 已知方程 lgx = 3 - x 的解所在的区间为 (k , k + 1)(k∈N*) ,则 k = ________ . 2
23. 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=2x,那 1 么,f(log2 )=________ -3 . 3
1 log2 =f -log23=-f(log23)=-2log23=-3. 3
解析:f
3 24. 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f(x+ ),且 f(-2)=f(-1)= 2 -1,f(0)=2,则 f(1)+f(2)+„+f(2013)+f(2014)=________ -1 .
6. 设 f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程 3x+3x-8=0 在 x∈ 1,2内近似
解的过程中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( B ) A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5,2) D. 不能确定
m 7. 若函数 f(x)=1+ x 是奇函数,则 m 的值是( D ) e -1 A. 0 B. 1 2 C. 1 D. 2
C. f(5)<f(-3)
D. f(-5)<f(3)
提示:可作出草图(为分段函数),由图易知答案.
பைடு நூலகம்
15. 函数 y= |log1x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长 2 度 b-a 的最小值为( B ) A. 3 B. 3 4 C. 4 D. 1 4
【成才之路】14-2015学年高中数学 2.2.2 对数函数及其性质 第2课时 对数函数性质的应用课件 新人教A版必修1
对于形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数,其值域的求 解步骤如下: (1)分解成y=logau,u=f(x)两个函数; (2)求f(x)的定义域;
(3)求u的取值范围;
(4)利用y=logau的单调性求解.
【思维拓展】 讨论.
(1) 若对数函数的底数是含字母的代数式
(或单独一个字母 ),要考虑其单调性,就必须对底数进行分类
当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,
又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.
1 1 ③因为 0>log0.23>log0.24,所以log 3<log 4,即 log30.2 0.2 0.2 <log40.2. ④因为函数 y=log3x 是增函数, 且 π>3, 所以 log3π>log33 =1. 同理,1=logππ>logπ3,所以 log3π>logπ3.
(0,+∞) R 增函数
(0,+∞) R
减函数 图象过点(1,0),即loga1=0.
x∈(0,1)⇒y∈________; x∈(0,1)⇒y∈________; (-∞,0) (0,+∞) 函数值 x∈[1,+∞) x∈[1,+∞) 特点 ⇒y∈__________ ⇒y∈__________ (-∞,0] [0,+∞)
(1)y=log2(x2+4);
(2)y=log1 (3+2x-x2).
2
[解析] (1)y=log2(x2+4)的定义域为R. ∵x2+4≥4,∴log2(x2+4)≥log24=2.
∴y=log2(x2+4)的值域为{y|y≥2}.
(2)设 u=3+2x-x2, 则 u=-(x-1)2+4≤4. ∵u>0,∴0<u≤4. 又 y=log1 u 在(0,+∞)上是减函数,
【创新设计】2014-2015学年高中数学 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课件 新人教A版必修3
1 解 (1)x甲= (99+ 100+ 98+ 100+ 100+ 103)= 100, 6 - 1 x乙= (99+ 100+ 102+ 99+ 100+ 100)= 100. 6 1 2 s 甲 = [(99- 100)2+ (100- 100)2+(98- 100)2+ (100- 100)2+ 6 7 2 2 (100- 100) + (103- 100) ]= , 3 1 2 s 乙 = [(99- 100)2+ (100- 100)2+(102- 100)2+ (99- 100)2+ 6 (100- 100)2+ (100- 100)2]= 1.
2.下列各数字特征中,能反映一组数据离散程度的是 (
)
A.众数
答案
A. 2
B.平均数
C.标准差
D.中位数
(
D.2
C )
B. 0 C.1
3.样本101,98,102,100,99的标准差为 答案 A
-
解析 样本平均数x=100,方差为 s2=2,∴标准差 s= 2, 故选 A.
4.甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示.
-
样本平均数 x是___________.
要点一 众数、中位数、平均数的简单运用
例1 在上一月调查的100位居民的月均用水量的问题中,制
作出了这些样本数据的频率分布直方图:
从中可以看出,月均用水量的众数估计是________;中位数 是________;平均数为________. 答案 2.25 t 2.02 t 2.02 t
- -
规律方法
1.利用频率分布直方图估计数字特征:
(1)众数是最高的矩形的底边的中点. (2)中位数左右两侧直方图的面积相等. (3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐 标之和. 2.利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值,与实际
【步步高】2015届高考数学(理科,全国通用)二轮配套课件:专题二 第1讲 函数、基本初等函数的图象与性质
思 维 条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系, 升 华 推证函数的性质,根据函数的性质解决问题.
性以及函数图象的对称性,在解题中根据问题的
变式训练1
(1)(2013· 重庆)已知函数f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),
f(lg(log210))=5,则f(lg(lg 2))等于( C )
A 中, f(x) 的图象单调递增,但过点 (1,0) ,不满足; B 中, g(x) 的图象单调递减,但过点 (0,1) ,不满足;
D中,两个函数都是单调增函数,也不满足.选C.
答案 C
2 - x +2x,x≤0, (2)(2013· 课标全国Ⅰ)已知函数f(x)= lnx+1, x>0.
主干知识梳理
1.函数的三要素
定义域、值域及对应关系
两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函
数,定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数.
2.函数的性质
(1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定
义证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、判断符
号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.
专题二 函数与导数
第 1讲
函数、基本初等函数
的图象与性质
主干知识梳理
热点分类突破
真题与押题
1.高考对函数的三要素,函数的表示方法等内容的考查 以基础知识为主,难度中等偏下. 2.函数图象和性质是历年高考的重要内容,也是热点内 容,对图象的考查主要有两个方面:一是识图,二是用 考 对函数性质的考查,则主要是将单调性、奇偶性、周期 情 解 性等综合一起考查,既有具体函数也有抽象函数.常以 读 选择、填空题的形式出现,且常与新定义问题相结合, 难度较大. 图,即利用函数的图象,通过数形结合的思想解决问题;
2015年高考理科数学试题全国卷2及解析word完美版
2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题一、选择题1、已知集合A={–2,–1,0,1,2},B={x|(x –1)(x+2)<0},则A∩B=() A .{–1,0} B .{0,1} C .{–1,0,1} D .{0,1,2}2、若a 为实数,且(2+ai)(a –2i)=–4i ,则a=() A .–1 B .0 C .1 D .23、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A .逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着B .2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C .2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D .20064、已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则A .21 B .42 C .63 D .84 5、设函数f(x)=,则f(–2)+f(log 212)=() A .3 B .6 C .9 D .12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后,分体积的比值为()A .B .C .D .7、过三点A .2 8、如上左2a=() A .0 9、已知A ,C 为该球上的动点,若三棱锥O –ABC 的体积最大值为36A .36π.256π10、如上左O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP=x x 的函数,则y=f(x)的图像大致为()A .B .C .D . 11、已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为()A .B .2C .D .12、设函数f’(x)是奇函数f(x)(x R)的导函数,f(–1)=0,当x>0时,xf’(x)–f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是() A .(–∞,–1)∪(0,1) B .(,0)∪(1,+∞)C .(–∞,–1)∪(–1,0) D .(,1)∪(1,+∞) 二、填空题13、设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ=. 14、若x ,y 满足约束条件,则z=x+y 的最大值为.15、(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.16、设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=–1,a n+1=S n S n+1,则S n =________________. 三、解答题17、△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求.(2)若AD=1,DC=,求BD 和AC 的长.18.某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机抽查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62738192958574645376 78869566977888827689B 地区:73836251914653736482 93486581745654766579(1)均值及分散程度(记事件C :“A 地区用户的满意等级高于B 19、如图,长方形ABCD –A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=101F=4.过点E ,F 的平面α(1)在途中画出这个正方形(不必说明画法和理由(2)求直线AF 与α平面所成角的正弦值.20、已知椭圆C :9x 2+y 2=M 2(m>0).直线l A ,B ,线段AB 的中点为M .(1)(2)若l l 的21、设函数(1)证明:(2)2)|≤e –1,求m 的取值范围.22、[选修4ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N E ,F 两点. (1)(2)若AG EBCF 的面积. 23、[选修4xOy 中,曲线C 1:(t 为参数,t≠0),其中0≤α<π. 在以O C 2:ρ=2sinθ,C 3:ρ=2cosθ. (1)求C 2与C (2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB|的最大值24、[选修4–5:不等式选讲]设a ,b ,c ,d 均为正数,且a+b=c+d ,证明: (1)若ab>cd ,则+>+;(2)+>+是|a –b|<|c –d|的充要条件. 2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题 一、选择题1、答案:A .∵(x–1)(x+2)<0,解得–2<x<1,∴B={x|–2<x<1},∴A∩B={–1,0}.2、答案:B .∵(2+ai)(a–2i)=(2a+2a)+(a 2–4)i=–4i ,∴a 2–4=–4,解得a=0.3、答案:D .由柱形图得,从2006年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份负相关.4、答案:B .∵a 1+a 3+a 5=a 1+a 1q 2+a1q 4=3(1+q 2+q 4)=21,∴1+q 2+q 4=7,整理得(q 2+3)(q 2–2)=0.解得q 2=2,∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 1q 4+a 1q 6=a 1q 2(1+q 2+q 4)=3×2×7=42. 5、答案:C .∵f(–2)=1+log 2(2+2)=3,()222log 121log 3log 412log 1222f -+-==222log 3log 2log 6226+===,∴f(–2)+f(log 212)=9.6、答案:D .如图所示截面为ABC ,设边长为a ,则截取部分体积为S △ADC ·|DB|=a 3, 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为=.7、答案:C .由题可得,解得,所以圆方程为x 2+y 2–2x+4y –20=0,令x=0,解得y=–2±2, 所以|MN|=|–2+2–(–2–2)|=4. 8、答案:B .输入a=14,b=18.第一步a≠b 成立,执行a>b ,不成立执行b=b –a=18–14=4; 第二步a≠b第三步a≠b 第四步a≠b 第四步a≠b 第五步a≠b 9、答案:C 点C 到平面10、答案:当点P 在CD 当x=时,从点P B . 11、答案:过点M 作, 12、答案:因为当x>0 又因为函数且g(–, 二、填空题131415、答案:所以Ca+Ca+C+C+C=32,解得a=3.16、答案:–.∵a n+1=S n+1–S n =S n S n+1,∴–=1.即–=–1,∴{}是等差数列, ∴=–(n –1)=–1–n+1=–n ,即S n =–. 三、解答题17、答案:(1);(2)|BD|=,|AC|=1.(1)如图,由题意可得S △ABD =|AB||AD|sin ∠BAD,S △ADC =|AC||AD|sin ∠CAD, ∵S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠DAC,∴|AB |=2|AC|,∴==. (2)设BC 边上的高为h ,则S △ABD =|BD|·h=2S △ADC =2××h ,解得|BD|=,设|AC|=x ,|AB|=2x ,则cos ∠BAD=,cos ∠DAC=.∵cos∠DAC=cos ∠BAD ,∴=,解得x=1或x=–1(舍去).∴|AC|=1. 18、(1)如图所示.通过茎叶图可知A 地区的平均值比B 地区的高,A地区的分散程度大于B地区.(2)记事件不满意为事件A1,B1,满意为事件A2,B2,非常满意为事件A3,B3.则由题意可得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,则P(C)=P(A2)P(B1)+P(A3)(P(B1)+P(B2))=×+×(+)=.19、(1)如图所示(2)建立空间直角坐标系.由题意和(1)可得A(10,0,0),F(0,4,8),E(10,4,8),G(10,10,0),则向量AF=(–10,4,8),EF=(–10,0,0),EG=(0,6,–8).设平面EFHG的一个法向量为n=(x,y,z),则,即,解得x=0,令y=4,z=3,则n=(0,4,3).所以直线AF与α平面所成角的正弦值为sinθ=|cos<AF,n>|===.20、(1)设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),点A(x1,y1),B(x2,y2),则M(,),联立方程,消去y整理得(9+k2)x2+2kbx+b2–m2=0(*),∴x1+x2=–,y1+y2=k(–)+2b=,∴kOM ·kAB=·k=·(–)·k=–9.k=4±,有21∴∴,所以此时当令e–m–2m 在而.当当22则∵.在在Rt△AEO中,sin∠OAE===.∴∠OAE=60°,∵∠OAE=∠OAF=∠EAF,AE=AF,∴∠EAF=2∠OAE=60°,∴△AEF、△ABC是等边三角形.连接OM,∴OM=2.∵OD⊥MN,∴MD=ND=MN=.在Rt△ODM中,OD===1,∴AD=OA+AD=4+1=5.在Rt△ADB中,AB===.∴四边形EBCF的面积为S△ABC –S△AEF=×()2–×(2)2=.23、(1)将曲线C2,C3化为直角坐标系方程C2:x2+y2–2y=0,C3:x2+y2–2x=0.联立,解得或.所以交点坐标为(0,0),(,).(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.∵A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2cosα,α).∴|AB|=|2sinα–2 cosα|=4|sin(α–)|.当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.24、(1)由题意可得(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,∵ab>cd,∴>,而a+b=c+d,∴(+)2>(+)2,即+>+.(2)+>+,即a+b+2>c+d+2,∴>,∴ab>cd,∴–4ab<–4cd,∴(a+b)2–4ab<(c+d)2–4cd,∴(a–b)2<(c–d)2,∴|a–b|<|c–d|.。
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1 23. 已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0,+∞]上是增函数,且 f( )=0,则 2 1 x|0<x< 或x>2 不等式 f(log4x)>0 的解集是____________________ . 2
1 1 解析:因为 f(x)是偶函数,所以 f(- )=f( )=0.又 f(x)在[0,+∞)上是增函数, 2 2 1 1 所以 f(x)在(-∞,0)上是减函数.所以 f(log4x)>0 即为 log4x> 或 log4x<- , 2 2 1 解得 x>2 或 0<x< . 2
2
3. 函数 y=2+log2x(x≥1)的值域为( C )
A. 2,+∞ C. 2,+∞ B. -∞,2 D. 3,+∞
4. 设函数 A. 2
1 f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象过点8,-3 ,则
a 的值为( A )
12. 由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低.若每隔 5 年计算 1 机的价格降低 ,则现在价格为 8100 元的计算机经________年后降为 2400 元 3 ( B ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
1 x 1 - 8100· =2400,得 3
22. ( B ) A. C.
1x2-4x + 不等式 >22ax a 对一切实数 2
x 都成立,则实数 a 的取值范围是
(1,4) (-∞,-4)∪(-1,+∞)
+
B. D.
(-4,-1) (-∞,1)∪(4,+∞)
解析:2x2-4x>22ax a,即 x2- 4+2a x-a>0 对一切实数 x 都成立,令Δ = 4+2a2 -4-a<0,解得-4<a<-1. -
提示:经 x 个 5 年后价格为
x=3.
13. 函数 f(x)=(a2-1)x 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是( D ) A. |a|>1 B. |a|<2 C. a< 2 D. 1<|a|< 2
14. 若函数 f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍, 则 a 的值为( A ) A. 2 4 B. 2 2 C. 1 4 D. 1 2
-
B. 0.76<60.7<log0.76 D. log0.76<0.76<60.7
7. 函数 y=ax 2+1(a>0,a≠1)的图象必经过点( D ) A. (0,1) B. (1,1) C. (2,0) D. (2,2)
8. 若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0, 且 a≠1)的反函数, 且 f(2)=1, 则 f(x) =( A ) A. log2x B. 1 2x 1 C. log x 2 D. 2x
lg6 lg(2×3) lg2+lg3 a+b 提示:由换底公式得 log36= = = = . lg3 lg3 lg3 b
11. 函数
2 y=lg1-x-1 的图象关于(
C )
A. y 轴对称 C. 原点对称
提示:y=lg(
B. x 轴对称 D. 直线 y=x 对称
1+x 2 -1)=lg ,所以为奇函数. 1-x 1-x
-2
提示:函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数是 f(x)=logax,又 f(2)=1,即 loga2 =1,所以 a=2.
9. 已知幂函数 y=(m2-m-1)xm2-2m-3,当 x∈(0,+∞)时为减函数, 则 m 的值为( A ) A. m=2 C. m=-1 或 m=2 B. m=-1 1± 5 D. m≠ 2
2t)+f(2t2-k)<0 ,∴f(t2-2t)<-f(2t2-k).∵f(x)为奇函数,∴f(t2-2t)<f(-2t2 1-2x -(2x+1)+2 1 1 +k).由(1)得 f(x)= x+1 = =- + x ,f(x)在定义域内为 x 2 2 +1 2 +2 2(2 +1) 单调递减函数. ∴ t2-2t>-2t2+k, 即 3t2-2t-k>0 恒成立, ∴k<3t2-2t 对 t∈R 1 1 恒成立,其中 g(t)=3t -2t 在 t∈R 上的最小值为- ,∴ k<- . 3 3
1 2 1 24. 已知 f(x)=log (x -ax-a)在-∞,-2 则实数 a 的取值 上是增函数, 2 1 a-1≤a≤ 范围是__________________ . 2
1 解析:-∞,-2 是函数 1 f(x)的递增区间,说明-∞,-2 是函数
B. -2
1 C. - 2
D.
1 2
5. 下列函数中,在(-∞,0)上为减函数的是( B ) 1 A. y=x 3 B. y=x2 C. y=x3 D. y=x
-2
6. 三个数 0.76,60.7,log0.76 的大小关系为( D ) A. 0.76<log0.76<60.7 C. log0.76<60.7<0.76
19. 计算:
1 30 1- -2 2 0.5 (1) 25 +2 ×24 -(0.01) ;
1 2 1 16 原式=1+ × - = . 4 3 10 15
(2)(lg2)2+lg5·lg20-1.
2 原式=(lg2) +lg5· 2lg2+lg5-1=lg2+lg5 -1=1-1=0.
21. 已知函数 A. (-∞, 0]
3x+1 f(x)= log2x
x≤0 ,若 f(x0)≥1,则 x0 的取值范围是( B ) x>0 B. (-∞, 0]∪[2,+∞) D. R
C. {0}∪[2,+∞)
x0≤0, x0>0, 解析: 或 ∴x0≤0 或 x0≥2. 3 x + 1 ≥ 1 , log x ≥ 1 , 0 2 0
15. 已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图象如右图 所示,则函数 g(x)=ax+b 的图象是( A )
(第15题)
提示:先由 f(x)图象中判断出 b<-1,0<a<1,再由指数函数 y=ax 的图象向下 平移|b|个单位得到 g(x)的图象.
16. 已知函数 f(x)为幂函数,并且过(2, 2)点,则 f(x)=________. 17. 函数 f(x)=
专题训练2 基本初等函数Ⅰ
基础过关 1.若 a>0,且 m,n 为整数,则下列各式中正确的是( D ) m A. am÷an=a n
m n + C. (a ) =am n
B. am·an=am
·n
D. 1÷ an=a0
-n
2. 对于 a>0,a≠1,下列说法中,正确的是( D ) ①若 M=N,则 logaM=logaN;②若 logaM=logaN,则 M=N;③若 logaM2 =logaN2,则 M=N;④若 M=N 则 logaM2=logaN2. A. ①②③④ B. ①③ C. ②④ D. ②
1-2x 25. 已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求实数 k 的取 值范围.
解析 (1)∵f(x)为定义域 R 上的奇函数,∴f(0)=0,∴a=2. (2)∵f(t2-
u=x2-ax
-a 的递减区间,由于是对数函数,还需保证真数大于 0.令 u(x)=x2-ax-
1 1 1 a.∵f(x)=log u(x)在-∞,-2上是增函数,∴u(x)在-∞,-2 上是减函数, 2
且 u(x) > 0 1 1≤a≤ . 2
a 1 a≥-1, ≥- , 2 2 1 在 即 1 a ∴- -∞,-2 上恒成立.∴ 1 + - a ≥ 0 , - 4 2 u ≥ 0 , 2
2
1+x 20. 已知函数 f(x)=loga (a>0,且 a≠1). 1-x (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性; (3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.
解析 1+x (1)由 >0,得-1<x<1,故函数 f(x)的定义域为(-1,1). 1-x
1-x 1+x (2)∵f(-x)=loga =-loga =-f(x), 又由(1)知函数 f(x)的定义域关 1+x 1-x 1+x 于原点对称,∴函数 f(x)是奇函数. (3)当 a>1 时,由 loga >0=loga1, 1-x 1+x 1 +x 1+x 得 >1,解得 0<x<1;当 0<a<1 时,由 loga >0=loga1,得 0< 1-x 1 -x 1-x <1,解得-1<x<0.故当 a>1 时,x 的取值范围是{x|0<x<1};当 0<a<1 时,x 的取值范围是{x|-1<x<0}.
(1,2] log1(x-1)的定义域是________. 2
x-1>0, 提示:不要漏掉真数大于零这个条件,log1(x-1)≥0,解得 1<x≤2. 2 16 1 x 18. 设 0≤x≤2,则函数 f(x)=4x- -3· 2 +5 的最大值是________ . 15 2
12 1 1 5 2 提示:令 t=2x 1≤t≤4,则 y= t -3t+5= t-3 + ,当 t=1 时,ymax= . 2 2 2 2
提示:根据幂函数的定义可得,m2-m-1=1,又因为当 x∈(0,+∞)时幂函 数为减函数,知 m2-2m-3<0,得到 m=2.此时幂函数解析式为 y=x 3.
-
10. 已知 lg2=a,lg3=b,则 lo b a+b