第四章 (1)根轨迹法(基本概念)

第四章 根轨迹法
根轨迹法是解决由开环零点,得到闭环极点分布 情况的图解法。
根轨迹：是当开环系统中某一个参数(增益K)变 化时,闭环系统特征方程根在平面上变 化的轨迹。
如果一旦获得根轨迹, 则: ①可直接得到闭环极点。 ②得到系统对时间响应的全部信息。 ③可间接得到闭环频率响应的信息。
本章的目的： ①画根轨迹。 ②从根轨迹上分析系统各种信息。
1 2 j
1 j
s2 -2 1
s1
如何绘制根轨迹?
闭环特征根： s1 1 1 K
s2 1 1 K
分析：1K=1 临界阻尼，重根；
20K1，两个负实根 过阻尼状态；
(3)K>1 共轭复根 ， 欠阻尼 衰减振荡 ， 且K越大 越小 ，振荡越烈；
K与根轨迹有什么关系?
二.根轨迹方程
开环传函:
ຫໍສະໝຸດ Baidu
m
G(s)
KG
(1s
1)(
2 2
s
2
21 2s
1)
sv (T1s 1)(T22s2 2 2s 1)
f
KG* (s zi )
i 1 q
(首1式)
(s pi )
i 1
KG —前向通路增益 (尾1式)
KG* —前向通路根轨迹增益 (首1式)
(尾1式)
K G*＝K G
1 T1
22 T2 2
三. 幅值和相角条件
由根轨迹方程得:
m
(s zi )
K
i 1 n
1
(s pj )
j 1
幅值条件方程 相角条件方程
m
K
i 1 n
j 1
(s zi ) 1
(s pj )
m
n
(s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j 1
两个条件与轨迹上的点有什么关系?
结论:
1)相角条件方程与K无关，幅值方程才 与K相关;
引言
A.闭环系统的稳定性和动态性能 取决于闭环极点特征方程的根。
B.当待定参数变化时特征根随之变 化，这个根的变化轨迹就形成根轨迹。
C.用来研究根轨迹的变化规律以及 和闭环系统性能间的关系的方法，称为 控制系统根轨迹分析法。
§4.2 根轨迹的概念
要求： 1)掌握根轨迹的概念 2)掌握根轨迹幅值条件和相角条件
2)相角条件是决定根轨迹的充要条件， s平面上一点若满足相角条件,即为根轨迹 上的一点。
3)幅值方程用于确定根轨迹上一点的K值;
根轨迹点
幅值方程
四. 根轨迹与系统性能
1.稳定性 如果系统特征方程的根都位于S平面 的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若
根轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交
点处的K值，就是临界稳定的开环增益Kc。 2.稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，
所以属Ⅰ型系统，因而根轨迹上的K值就是静态
速度误差系数。
如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图
确定闭极点位置的允许范围. K
如何分析系统性能?
3.动态性能:当 K>1时，所有闭环极点
均位于实轴上，系统为过阻尼系统，其单位 阶跃响应为单调上升的非周期过程。
闭环传函:
(s zi )
G(s)H (s) K
i 1 n
(s pj )
G
c
(s)
1
G(s) G(s)H
(s)
j 1
闭环特征方程: G(s)H (s) 1 0
G(s)H (s) 1
根轨迹方程
m
(s zi )
K
i 1 n
1
(s pj )
j 1
根轨迹方程与点有什么关系?
K--根轨迹增益
开环极点:s1=0 , s2= 2
开环零点: 无
如何绘制根轨迹图?
k
Y
s(s+2)
2)闭环传函：
(s)
s
2
K 2s
K
闭环特征方程: s2+2s+K=0
闭环特征根：
K 0
0.25
1 2 5
s1 0 1 3
2 1
1 j
1 2 j
1 j
s1 1 1 K
j
s2 1 1 K
s2 2 1 3
2 1
1 j
4.1 引 言
问题的提出： 闭环控制系统的稳定性和性能指标是由
闭环极点在复平面的上的位置决定的，因此 在系统设计分析中，确定系统闭环极点的位 置尤为重要。
在一般情况下，系统的开环传递函数是容 易求得。如采用分析法、实验法等。因而容 易求得系统的开环极点。
但是系统的闭环极点却难以求取。一般要 解高次代数方程。那么能否通过不解方程来近 似获取系统的闭环极点呢？
z j ( j 1,，l) — 反馈通路传递函数的零 点
当K=1时，特征方程的两个相等负实 根，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应 为响应速度最快的非周期过程。
当0<K<1时，特征方程为一对共轭复根， 系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振 荡过程，振荡幅度或超调量随K 值的增加而 加大，但调节时间不会有显著变化。
五、闭环零、极点与开环零、极点的关系
(s) G(s) 1 G(s)H (s)
引言
根轨迹法是一种图解方法，它是经典控 制理论中对系统进行分析和综合的基本方法 之一。
由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的 根（即系统的闭环极点）在S平面上的分布， 因此，用根轨迹法分析自动控制系统十分方 便，特别是对于高阶系统和多回路系统，应 用根轨迹法比用其他方法更为方便。
本章主要介绍根轨迹的概念，应用 MATLAB绘制根轨迹和用根轨迹法分析自动 控制系统的性能.
l
K
* H
(s z j )
H (s)
j 1 h
(s p j )
j 1
K
* H
— 反馈通路的根轨迹增益
f
l
K *
(s zi )
(s z j )
G(s)H (s)
i 1
q
j 1 h
(s pi ) (s p j )
i 1
j 1
K*
K
* G
K
* H
— —开环根轨迹增益
z（i i 1,，f）— 前向通路传递函数的零 点
另一个问题是，通过解方程求得的闭环 极点，是在系统参数一定的情况下求得的。 但当系统中的参数变化时，如开环增益K变化 时，又得重新解方程求根，因而很不方便。
为了解决以上问题，1948年，伊万斯提 出了控制系统分析设计的根轨迹法。
这种方法是根据反馈控制系统的开环、闭 环极点传递函数之间的关系，根据一定的准 则，直接由开环传递函数的零、极点，求出 闭环极点。从而，比较容易的得到系统的性能.
重点： 1)根轨迹的概念 2)闭环系统的特征根的根轨迹与开环 传递函数的关系
什么是根轨迹?
一.根轨迹基本概念
m
(s zi )
G(s)H (s) K
i 1 n
(s pj)
j 1
根轨迹：开环传函某个参数由0 时闭环
特征根在S平面上移动的轨迹。
什么是根轨迹?
例1：
X
1)开环传函:
-
G(s) K s(s 2)