函数的定义域和值域映射

函数定义域、值域、解析式、映射

知识点一：求各种类型函数的定义域

类型一: 含有分母和偶次方根 例1 求下列函数的定义域

1. y=

3102++x x 2. y =

类型二: 偶方根下有二次三项式 例2 求下列函数的定义域

1.. 1

||1

42

-+-=x x y 2.2

3

568

4x

x x y ---=

类型三:含有零次方和对数式

例3 求下列函数的定义域（用区间表示）

（1）02

)23()

12lg(2)(x x x x x f -+--=；

练习:求下列函数的定义域 1. y=x

x -||1

2. 122+--=x x y

3.()f x =

4.)13(log 2+=x y

5. 函数y ＝1122---x x 的取定义域是（ ）

A.[－1，1]

B.(][)+∞-⋃-∞-,11,

C.[0，1]

D.｛－1，1｝

6. 求函数的定义域。

知识点二:抽象函数定义域

类型一:“已知f(x)，求f(…)”型

例1：已知f(x)的定义域是[0，5]，求f(x+1)的定义域。

类型二: “已知f(…) ，求f(x)”型

例2：已知f(x+1) 的定义域是[0，5]，求f(x)的定义域。

类型三: “已知f(…)，求f(…)”型

例3：已知f(x+2)的定义域为[-2，3），求f(4x-3)的定义域。 练习:

1、函数()f x 的定义域是[0，2]，则函数(2)f x +的定义域是 ___________.

2、已知函数()f x 的定义域是[-1，1]，则(2)(1)f x f x +++的定义域为 ___________.

3..已知函数f （x ）的定义域为[0，1]，那么函数f （x 2

－1）的定义域为（ ） A.[0，1] B.[1，2] C.[1，2] D.[－2，－1]∪[1，2]

知识点三: 求函数的值域

方法一:观察法：

例1 求下列函数的值域

（1） y=3x+2 (-1≤x ≤1) （2）x x f -+=42)(

方法二: 分离常数法 例2 求函数54

1

x y x +=-的值域。 练习、 1. 求523x y x -=+的值域 2.求5

21+-=x x

y 值域

方法三: 配方法：

例3 已知函数142+-=x x y ，分别求它在下列区间上的值域。

（1）x ∈R ； （2）[3，4] （3）[0，1] （4）[0，5] 练习：

1.已知函数2

23y x x =+-，分别求它在下列区间上的值域。

（1）x R ∈； （2）[0,)x ∈+∞； （3）[2,2]x ∈-； （4）[1,2]x ∈

方法四: 换元法

例4 求函数y x =

例5 求函数x x x f 41332)(-+-=的值域。

练习、

1 .求函数x x y -+=142的值域 2. 求函数x x y 212-+=的值域

方法五: 图像法

例 .求函数 )32(≤<-x 的值域。

练习: 求函数5

22

2--=

x x y )32(≤<-x 的值域。

方法六: 判别式法

例5的值域求函数3

221

22+-+-=

x x x x y 解 由已知得 (2y-1)x 2-(2y-1)x+(3y-1)=0 (*)

2

10

12

3

(*)21012)1(≠

∴≠-==-y y y 式：，代入，则若

（2）若2y-1≠0，则∵x ∈R ∴Δ=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0

即 (2y-1)(10y-3)≤0 2

1

1032

1103<

≤∴≤≤∴

y y 值域

练习 1. 求函数2212+++=

x x x y 的值域. 2.求函数y = 22

11x

x x +++的值域。

知识点四 ：求函数解析式的几种常用方法

1.换元法：

例1 已知f(x+1)=2

x +2x-3,求f(x)

练习: 已知函数f(2x+1)=3x+2，求f(x).

2.配凑法：

例2 已知f(x+1)=2

x +2x-3,求f(x)

例2 已知f(x+

1x )= 2

21x x

+ , 求f(x). 分析：将2

21x x

+用x+1x 表示出来，但要注意定义域。

练习:

1 已知x ≠0，函数f(x)满足f(x x 1-)=22

1x

x +，求f(x) . 2 已知1)f x +=+()f x

4.解方程组法：

例1 若3f(x)+f(-x)=22

x –x,求f(x).

解：用-x 替换式中x 得:

3f(-x)+f(x)=22x +x. 消去f(-x) 得： f(x)=22

x -2x

例2 设f(x)满足f(x)+2f(

1

x )=x (x ≠0 ),求f(x). 分析：要求f(x)需要消去f(1x ),根据条件再找一个关于f(x)与f(1

x

) 的等式通过解方程组达到目的。

解：将f(x)+2f(1x )=x 中的x 用1x 代替得f(1x )+2f(x)= 1

x

.

消去f(1

x

) 得 :

2()33

x f x x =

- 练习、1 若2()()1f x f x x --=+，求()f x ． 2 若()f x 满足1()2(),f x f ax x

+=求()f x

函数与映射的关系与区别